КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Объединение, пересечение, разность множеств (определения и примеры). 2. Комплексные числа: алгебраическая форма записи (вещественная и мнимая части), тригонометрическая форма записи (модуль и аргумент). Определения и примеры. 3. Теоремы о производной и частном комплексных чисел (в алгебр. и тригоном. форме) – с док-вом. 4. Общее уравнение прямой на плоскости. 5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. 6. Уравнение прямой в отрезках. 7. Вывод формулы угла между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности. 8. Параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве. 9. Плоскость и прямая в пространстве. 10. Геометрическая фигура на плоскости. Вывод уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат и в точке (a;b). ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ: 1. Осуществление арифметических операций с комплексными числами. 2. Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической и наоборот. 3. Переход от одного вида уравнения прямой на плоскости к другому. 4. Составление уравнений прямых 5. Проверка параллельности и перпендикулярности прямых, определение угла между прямыми. 6. Составление уравнений и определение длин сторон, медиан и высот в треугольнике. 7. Определение точек пересечения прямых. 8. Решение задач, связанных с параметрическим уравнением прямой. 9. Графическое решение систем линейных неравенств. 10. Решение задач экономического характера. ПРИМЕР ВАРИАНТА Для оценки «3» необходимо набрать от 11 до 14 баллов, «4» - от 15 до 18 баллов, «5» - от 19 до 21 балла. 1. Вычислить z (2 3i )(3 4i ) 2(5i 1) , указать вещественную и мнимую часть этого комплексного 2i числа (2 балла). 14 2. Записать z 1 3i в тригонометрической форме, указать его модуль и аргумент, найти z (2 балла). 3. Для прямой 5x-3y=6 найти угловой коэффициент. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A(-1;2) параллельно данной прямой, привести его к виду «в отрезках», построить эту прямую (2 балла).. 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;3) и B(5;-5), выписать ее вектор нормали (2 балла). 5. Определить тангенс угла между прямыми 2x+y=5, 5x-7y-3=0, найти их точку пересечения (2 балла). 6. Выбрать из данных прямых параллельные и перпендикулярные: 3x=y, x+3y=4, 6x-2y=7, x-3y-2=0 (1 балл).. x 1 t 7. Дано параметрическое уравнение прямой: y 3 2t , где t R . Выписать координаты направляющего z 5t 3 вектора прямой и точки, лежащей на этой прямой, привести уравнение к общему или каноническому виду (2 балла). 8. Определить графически часть плоскости, удовлетворяющую системе линейных неравенств y x 0 , 2 y 3x 9 , y 0 , x 5 , найти вершины полученной области (3 балла). 9. Дать определение разности множеств, найти A \ B, B \ A для A={-7,-5,-4,3,4,5}, B={-5,-3,0,2,3,4} (1 балл). 10. Доказать теорему о произведении комплексных чисел в тригонометрической форме (2 балла). 11. Прибыль от продажи 50 единиц товара составляет 50р., от продажи 100 единиц – 200 р. Считая функцию прибыли линейной, составить ее уравнение и определить прибыль от продажи 300 единиц товара. (2 балла). КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ 1. Виды матриц (определения и примеры). 2. Арифметические операции с матрицами: линейные, транспонирование, произведение матриц (определения, свойства операций без док-ва, умение проводить вычисления). 3. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы. 4. Ступенчатая матрица, теорема о ступенчатой матрице, ранг матрицы (понятие, умение определять). 5. Минор и алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы (определение, умение находить). 6. Основная теорема теории определителей (формулировка, уметь раскрывать определитель по любой строке или столбцу). 7. Свойства определителей (уметь доказывать, а также применять к вычислению определителей и к решению задач вида: как изменится определитель произвольного (n-го) порядка, если поменять местами первый и последний столбец). 8. Обратная матрица, ее единственность, теорема о существовании, свойства (уметь доказывать, уметь находить обратную матрицу любым способом, уметь решать матричные уравнения, а также отвечать на вопросы вида: доказать, что для невырожденных матриц A, B (с определителями, 1 1 отличными от нуля) утверждения АВ ВА и А В ВА равносильны; доказать, что если A – 2 невырожденная матрица, то из А А следует А E ). 9. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), их виды. 10. Теорема Крамера (полное доказательство для случая двух переменных и решение систем). 11. Понятие о решении СЛАУ, равносильные системы, элементарные преобразования систем и связь между матрицами равносильных систем. 12. Каноническая система, приведенная матрица и теорема о совместных СЛАУ. 13. Теорема Кронекера-Капелли и теорема о количестве решений (использовать при решении СЛАУ методом Гаусса). ПРИМЕР ВАРИАНТА Оценка «3» - более 7 баллов, оценка «4» - 11-14 баллов, «5» - более 14 баллов. 1. Сформулируйте основную теорему теории определителей и найдите | A | , раскрыв по «удобной» строке (столбцу) (2б) 2 3 4 0 1 2 0 0 0 1 4 1 1 0 A 3 1 T 3 1 3 1 5 3 2 2 1 ? (2б) 4. 1 2 1 0 1 3 4 2. Определите ранг матрицы (1б) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 0 3 3 5 2 1 1 3 4 0 5. Решите методом Гаусса (в случае неопределенной системы запишите 1 частное решение) (3 б) 3. Найдите матрицу, обратную к данной методом алг. дополнений: 1 1 3 A 4 3 2 (2б) 1 2 5 3x1 +2x2 x3 x4 4 3x1 4 x2 2x3 x4 2 x 5 x 3x 2 x 1 2 3 4 1 6. Сформулируйте теорему Крамера. (1б) 2 3 5 11 (2 б) 2 3 5 7. Найдите матрицу X из уравнения X 3 a1 b1 y a1 y b1 8. Не раскрывая определитель, доказать: a 2 b2 y a 2 y b2 a3 b3 y a3 y b3 c1 a1 2 c2 ( 1 y ) a2 c3 a3 b1 b2 b3 c1 c 2 (дать c3 обоснование, использующее свойства определителя) (2б) 9. Пусть А, В – квадратные матрицы одного и того же порядка, причем AB BA . Докажите, используя свойства арифметических операций с матрицами, что A 2 B 2 ( A B)( A B) (2б) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Однородные системы и их свойства (с доказательством) 2. Понятие о фундаментальной системе решений (ФСР) однородной СЛАУ, теорема о ФСР (формулировка). Уметь строить фундаментальные системы решений предложенных однородных СЛАУ. 3. Векторное представление общего решения СЛАУ (формулировка теоремы и практическое применение). 4. Уметь выписать матрицу квадратичной формы или записать квадратичную форму по заданной матрице, уметь определить знак квадратичной формы и привести ее к каноническому виду. 5. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду и закон инерции (формулировки). 6. Линейные пространства (определение). 7. Лемма о единственности (с док-вом). 8. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Уметь проверить систему векторов на линейную зависимость или независимость. 9. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых системах (с док-вом). 10. Базис и ранг системы векторов (определения). Уметь разложить вектор системы по предложенному базису, уметь выделить базис из предложенной системы. 11.Базис линейного пространства, единственность разложения по базису (с док-вом) 12. Размерность линейного пространства, размерность пространства n-мерных векторов. 13. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы (знать определения, уметь находить). ПРИМЕРЫ ПРОВЕРОЧНЫХ ЗАДАНИЙ - показать, что если система векторов содержит два равных вектора, то она линейно зависима. - показать, что если a, b, c - линейно независимые вектора, то вектора b-a и c-a не пропорциональны. - Известно, что a, b, c - линейно независимые вектора. Выяснить, являются ли линейно независимыми системы векторов: а) a, a+b, a+c; б) a+b, c-b, a+c. - Доказать симметричность матрицы A+B, если A, B - симметрические матрицы одного порядка. - Доказать, что собственные значения диагональной матрицы равны ее диагональным элементам. ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА Для получения «3» надо набрать 8-10 баллов, «4» - 11-13 баллов, «5» - 14-15 балллов. 1. Доказать линейную зависимость предложенной системы векторов, выделить базис и разложить оставшиеся вектора по базису: a1 (1,2,1) , a2 (2,0,3) , a3 (1,1,1) , a4 (1,7, 4) (3 балла) 2 2 2.Определить знак кв. формы F ( X ) x1 4 x1 x2 3x3 6 x2 x3 и свести ее к каноническому виду. (2 балла) x1 2 x2 3x3 x4 0 3. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для x1 x2 2 x3 0 (2 балла) x x 2x 0 2 4 1 4. Дайте определение собственных чисел и собственных векторов квадратной матрицы, найдите собственные числа и собственные векторы матрицы B (4 балла) 4 2 2 B 0 1 0 1 2 1 5. Сформулируйте и докажите теорему о системе векторов, содержащей нуль-вектор. (2 балла, за формулировку 0,5 балла) 6. Дайте определение базиса линейного пространства. Является ли предложенный набор векторов базисом в пространстве R4: a1 (1; 4; 2;1) , a2 (1; 1;1; 1) , a3 (0; 2; 2;1) ? (2 балла)