3 z i 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
ВАРИАНТ № 1
Для оценки «3» необходимо набрать более 10 баллов, «4» - более 14,5, «5» - более 17,5 баллов
1. Вычислить z 
3  2i
 2(5i  3) , указать веществ. и мнимую часть этого комплексного числа (2 б).
4  3i
18
2. Записать z  3  i в тригонометрической форме, указать его модуль и аргумент, найти z (2 б).
3. Для прямой 2x+6y-5=0 найти угловой коэффициент. Записать уравнение прямой, проходящей через
A(2;-3) перпендикулярно данной прямой, привести его к виду «в отрезках», построить эту прямую (2 б).
4. Определить тангенс угла между прямой x=y и прямой, проходящей через точки А(3;2) и В(1;3); найти
точку пересечения этих прямых (2 б).
5. Найти среди прямых x  y  3  0 , 2 x  4 y  5  0 , y  2 x  3 , 2 x  2 y  1  0 параллельные и
перпендикулярные (1,5 б).
6. Определить графически часть плоскости, удовлетворяющую системе линейных неравенств 4 x  5 y  12 ,
4 x  3 y  20  0 , y  0 , x  0 , найти вершины полученной области (3 б).
7. Найдите A  B, A  B , A \ B для множеств A={-3,-2,-1,0,1,2}, B={-5,-3,0,2,4} (1 б).
8. Докажите теорему о частном комплексных чисел в тригонометрической форме (2 б).
9. В треугольнике с вершинами A(3;5), B(-4;4), C(2;8) найти уравнение и длину средней линии,
параллельной стороне AB (2,5 б).
10. Прибыль от продажи товара в одном магазине определяется функцией y  2  3x , во втором магазине
– функцией y  3 
16
x , где x – количество товара (в сотнях единиц), y – прибыль (в тысячах рублей).
5
Определить, начиная с какого количества проданного товара прибыль от продаж во втором магазине
больше (2 б).
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Виды матриц (определения и примеры).
2. Арифметические операции с матрицами: линейные, транспонирование, произведение матриц
(умение проводить вычисления).
3. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы (определения).
4. Ступенчатая матрица, теорема о ступенчатой матрице, ранг матрицы (понятие, умение определять).
5. Минор и алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы (определения, умение
находить).
6. Основная теорема теории определителей (формулировка, уметь раскрывать определитель по любой
строке или столбцу).
7. Свойства определителей (уметь доказывать, а также применять к вычислению определителей и к
решению задач, аналогичных приведенным в лекциях).
8. Обратная матрица, ее единственность, теорема о существовании (формулировка), свойства (с
доказательством). Уметь находить обратную матрицу любым способом, уметь решать матричные
уравнения, уметь выполнять задания вида:
a) доказать, что для невырожденных матриц A, B (с определителями, отличными от нуля)
1
1
утверждения АВ  ВА и А В  ВА
равносильны;
2
9.
10.
11.
12.
13.
b) доказать, что если A – невырожденная матрица, то из А  А следует А  E .
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), их совместность-несовместность,
определенность-неопределенность..
Теорема Крамера (полное доказательство для случая двух переменных и решение систем).
Понятие о решении СЛАУ, равносильные системы, элементарные преобразования систем и связь
между матрицами равносильных систем.
Каноническая система, приведенная матрица и теорема о совместных СЛАУ.
Теорема Кронекера-Капелли и теорема о количестве решений (использовать при решении СЛАУ
методом Гаусса).
ВАРИАНТ № 1
Оценка «3» - 6,5-9,5 баллов, оценка «4» - более 9,5 баллов, «5» - более 12,5 баллов.
1. Сформулируйте
теорему КронекераКапелли и
определите, является
ли совместной
данная система лин.
алг. уравнений (2б)
 x1  3x 2  3x3  2 x 4  x5  1
 x  2x  x  x  x  2
 1
2
3
4
5

  x1  4 x 2  x3  x4  x 5  3
3x1  3x 2  5 x3  2 x 4  x5  2
  1 2
 1 1


   1 1


  2  2 3   ? (2б)
4.   3 0   
 2 1   2 1
  1 0




2. Найдите A32 для
3

2
4

1

2
3
1
0
3. Найдите матрицу,
обратную к данной,
 3 4

методом Гаусса (2б)
 5 4
1 2 1 
(2б)


1 4
A  1 3 3

3 5 2
 2 1 


5. Найдите x2
методом Крамера
(2б)
 3x1  x 2  3x3  2

 5 x1  2 x 2  2 x3  1
 4 x  2 x  3x  7
2
3
 1
6. Дайте определение ступенчатой матрицы и сформулируйте теорему о ступенчатой матрице. (1б)
7. Докажите равенства
ka11
ka12
a21
a22
k
a11
a12
a21
a 22
и
a11
a12
a21 a22

1 ka11  a21 ka12  a22
(2б)
a21
a22
k
8. Дайте определение обратной матрицы и покажите, что если A  0 и A 2  E , то матрица, обратная к A
существует, причем A 1  A (1б)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
ВОПРОСЫ
1. Однородные системы и их свойства (без док-ва).
2. Понятие о фундаментальной системе решений (ФСР) однородной СЛАУ, теоремы о ФСР и о векторном
представлении общего решения СЛАУ (формулировки). Уметь строить фундаментальные системы
решений предложенных однородных СЛАУ.
3. Доказательство единственности нулевого и противоположного элементов в линейном пространстве.
4. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Уметь проверить систему векторов на
линейную зависимость или независимость. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых
системах (формулировки).
5. Базис и ранг системы векторов (определения). Уметь разложить вектор системы по предложенному
базису, уметь выделить базис из предложенной системы (*).
6.Базис линейного пространства, единственность разложения по базису (с док-вом). Уметь определить,
является ли набор векторов базисом в соответствующем пространстве.
7. Размерность линейного пространства, размерность пространства n-мерных векторов.
8. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы (знать определения, находить).
9. Уметь выписать матрицу квадратичной формы или записать квадратичную форму по заданной матрице,
уметь определить знак квадратичной формы и привести ее к каноническому виду.
10. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду и закон инерции (формулировки).
ВАРИАНТ № 1
Для получения «3» надо набрать 5,5-9 баллов, «4» - 9,5-12 баллов, «5» - 12,5-14 баллов.
1. Разложите вектор b  (1,2,0) по системе векторов a1  (1,1,3) , a2  (6,1,7) a3  (1,0,4) (2 балла).
2. Определите знак квадратичной формы F ( X )  2 x12  2 x1 x2  2 x22  4 x2 x3  9 x32 (1,5 балла).
 x1  x2  x3  x4  0

3. Найдите фундаментальную систему решений для 3x1  2 x 2  x3  x 4  0 (2 балла)
3x  x  5 x  x  0
2
3
4
 1
4. Дайте определение собственных чисел и
собственных векторов квадратной матрицы, найдите
собственные числа и собственные векторы матрицы
1
0 
 3


B    3  1 0  (3,5 балла)
 4  8  2


5. Восстановите квадратичную форму по
заданной симметрической матрице
2  1
2


A   2  5 3  , найдите ее угловые
 1 3
8 

миноры и приведите к каноническому виду (2
балла)
6. Сформулируйте и докажите лемму о единственности нулевого элемента в линейном пространстве
(1,5балла)
7. Проверьте (ответ обосновать), является ли базисом в пространстве R4 набор векторов a1  (0;1;1;0) ,
a2  (1;1;3;1) , a3  (0;1;1;2) , a4  (1;3;5;1) (1,5 балла).