ПРОГРАММА КОЛЛОКВИУМА

ПРОГРАММА КОЛЛОКВИУМА1
1. Мнимая единица, комплексное число, его алгебраическая форма. Модуль и аргумент комплексного
числа, тригонометрическая форма записи. Теорема об арифметических действиях с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме (доказательство).
2. Теорема Муавра и ее следствие, извлечение корней из комплексных чисел (формулировки). Определение геометрического места комплексных чисел на плоскости (см. упр.1.6., 1.7).
3. Общее уравнение прямой на плоскости, смысл параметров.
4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, смысл параметров.
5. Формула для определения тангенса угла между прямыми на плоскости (с выводом) и ее следствия (условия параллельности и перпендикулярности).
6. Вывод уравнения прямой с известным угловым коэффициентом, проходящей через заданную
точку.
7. Нахождение углов, сторон, высот и медиан в треугольниках (см. упр. 2.13-2.15)
8. Параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве, общее уравнение прямой в пространстве (см. упр. 2.16, 2.17)
9. Виды матриц (с примерами). Определения арифметических операций с матрицами (сложение, умножение на число, транспонирование, произведение матриц) и их свойства (с доказательством). Применение свойств арифметических операций к ответам на вопросы типа «Как изменится произведение матриц
AB, если переставить j-ю и i-ю строки матрицы A?»
10. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков: понятие об определителе, раскрытие по первой строке. Миноры и алгебраические дополнения к элементам матрицы, основная теорема об определителях.
11. Свойства определителей (с доказательством для случая определителя 2-го порядка). Применение свойств к вычислению определителей (см. упр. 4.4), к ответам на вопросы типа «Как изменится определитель n-го порядка, если у каждого элемента изменить знак на противоположный?»
12. Теорема Крамера (с доказательством для случай системы двух уравнений с двумя переменными).
13. Определение обратной матрицы, теорема о существовании обратной матрицы (доказательство
необходимости). Применение определения к доказательству утверждений типа «Пусть A  0 , B  0 ,
тогда AB  BA  AB 1  B 1 A .»
14. Свойства обратной матрицы (с доказательством). Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы (см. упр. 5.5)
15. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): основные определения и обозначения, векторная (матричная) запись, совместность-несовместность, определенность-неопределен-ность.
16. Решение СЛАУ, равносильные СЛАУ, элементарные преобразования СЛАУ, теорема о равносильных системах (формулировка). Связь между матрицами равносильных СЛАУ.
17. Решение СЛАУ методом обратной матрицы (см. упр. 6.4)
18. Приведенные матрицы и канонические СЛАУ, ведущие и свободные неизвестные, теорема о сведении СЛАУ к канонической системе (формулировка).
19. Теорема Кронекера-Капелли и теорема о количестве решений (формулировки).
20. Решение СЛАУ методом Гаусса.
ПРИМЕРЫ БИЛЕТОВ НА КОЛЛОКВИ/УМЕ
№1
1. Формула для определения тангенса угла между прямыми на плоскости (с выводом)
2. Дайте определения верхней треугольной, диагональной, единичной матриц, определите вид данных мат-
  2 1 3


риц :  0 0 2  ,
 0 0 4


1 0 0   2 1 0 1 0 0

 

 
0 0 0 ,  0 4 0 , 0 1 0
0 0 1  0 0 4 0 0 1

 

 
 x1  2 x2  3x3  5

4. Решить систему методом обратной матрицы  2 x1  x2  x3  1
 x  3x  4 x  1
2
3
 1
1
Номера упражнений даются по задачнику Ермакова
5. Найдите все значения для 6 1
6. Миноры и алгебраические дополнения к элементам матрицы, основная теорема об определителях (сфор-
2
мулировать и с ее помощью найти
0
0 3
1
1 2 4
2
0
0 5
1
2
0 1
).
№2
1. Определение обратной матрицы, теорема о существовании обратной матрицы (доказательство необходимости).
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, смысл параметров. Укажите координаты точки пересечения с осью ОУ прямой y   x  2 . Какой угол эта прямая образует с положительным направлением оси
ОХ?
3. Дайте определение произведения матриц, укажите свойства операции. Покажите, что если A, B – квадратные матрицы одного порядка, AB  BA , то ( A  B) 2  A2  2 AB  B 2
4. Решить СЛАУ методом Гаусса, выписать общее и два любых частных решения
 x1  3x2  2 x3  4 x4  2

3x1  8 x2  7 x3  10 x4  4
 2 x  x  5 x  6 x  0
1
2
3
4

a1  b1 x a1  b1 x
a1
b1
c1
a2  b2 x c2  2 x a2
a3  b3 x a3  b3 x c3
a3
b2
b3
c2 .
c3
5. Докажите, что a 2  b2 x
c1
ПРОГРАММА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1
1. Задачи на арифметические действия с комплексными числами (сложение, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня).
2. Представление комплексных чисел в алгебраической и геометрической форме, переход от одной
формы к другой, определение модуля и аргумента.
3. Определение вектора нормали и углового коэффициента прямой на плоскости, нахождение точек
пересечения прямых, угла (тангенса угла) между прямыми, проверка условия параллельности (перпендикулярности) прямых.
4. Составление уравнений прямых (проходящих через заданную точку параллельно (перпендикулярно) заданной прямой, проходящих через две заданных точки)
5. Переход от одного вида уравнения прямой к другому (общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, уравнение в отрезках, параметрическое уравнение).
6. Графическое решение систем линейных неравенств
7. Задачи на параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве
8. Арифметические операции с матрицами
9. Определение ранга матрицы
10. Вычисление определителей, теорема Крамера
11. Поиск обратной матрицы двумя способами.
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ
1. Вычислить z 
3  2i
 2(5i  3) , указать веществ. и мнимую часть этого комплексного числа
4  3i
18
2. Записать z  3  i в тригонометрической форме, указать его модуль и аргумент, найти z
.
3. Для прямой 2x+6y-5=0 найти угловой коэффициент. Записать уравнение прямой, проходящей через
A(2;-3) перпендикулярно данной прямой, привести его к виду «в отрезках», построить эту прямую.
4. Определить тангенс угла между прямой x=y и прямой, проходящей через точки А(3;2) и В(1;3); найти
точку пересечения этих прямых.
5. Найти среди прямых x  y  3  0 , 2 x  4 y  5  0 , y  2 x  3 , 2 x  2 y  1  0 параллельные и перпендикулярные.
6. Определить графически часть плоскости, удовлетворяющую системе линейных неравенств 4 x  5 y  12 ,
4 x  3 y  20  0 , y  0 , x  0 , найти вершины полученной области.
7. В треугольнике с вершинами A(3;5), B(-4;4), C(2;8) найти а) уравнение и длину средней линии, параллельной стороне AB; б) уравнение и длину высоты CD.
8. Составьте параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1;-2), B(-4;1;2), укажите координаты еще какой-нибудь точки, принадлежащей этой прямой. Лежит ли на прямой точка С(1;2;3)?
3

2
9. Найдите A32 для 
4

1

2  3 4

3  5 4
1  1 4

0  2 1 
  1 2
 1 1

   1 1 


  2  2 3   ?
10.   3 0   
 2 1   2 1
  1 0




1 2 1 


11. Найдите матрицу, обратную к данной, методом Гаусса и методом алг. дополнений A   1 3 3 
3 5 2


 3x1  x 2  3 x3  2

12.Найти x2 методом Крамера  5 x1  2 x2  2 x3  1
 4 x  2 x  3x  7
2
3
 1
2 3 4 
 3


4 5 4 
 9
13.Определить ранг матрицы 
5  2 1 4 


 2 0
1  2 

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
Для оценки «3» необходимо набрать не менее 6,5 баллов, «4» - не менее 9,5баллов, «5» - не менее 12 баллов
ВАРИАНТ № 1
1. Вычислить z 
2i  7
 (2  3i ) , указать вещественную и мнимую часть z. (1,5 б)
3i
2. Даны точки А(-3;4), В(1;2), С(2;-1). Найти тангенс угла между прямыми CA и CB (2 б).
3. Для прямой 2y-5x-3=0 найти угловой коэффициент. Записать уравнение прямой, проходящей через
A(-2;3) параллельно данной прямой, привести его к виду «в отрезках», построить эту прямую (1,5 б).
4. Определить графически часть плоскости, удовлетворяющую системе линейных неравенств x  y  1 ,
x  y  5  0 , y  0 , x  0 , найти вершины полученной области (2,5 б).
T
3
 1

 3  1 5 3 2  

    2  1  ? (1,5 б)
5. 
 1 2   1 0 1  
4 
 3
1

1
6. Найти ранг матрицы A   1

0
0

1 0 0

0 1 0
0 0 1  и A43 (2 б)

1 1 0
1 0 1 
2 3
 2


7. Найдите матрицу, обратную к данной, методом алг. дополнений: A   1  1 0  (2 б)
  1 2 1


ВАРИАНТ № 2
1. Записать z  1 3i в тригонометрической форме, найти z15 и
z (2 б).
2. Найти среди прямых y  2 x  5 , x  4 y  5 , 8 x  2 y  7  0 , 3 x  12 y  1  0 , параллельные и перпендикулярные (1,5 б).
3. Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(-2;0;3) и B(4;1;6). Принадлежит ли этой прямой точка С(4;1;1)? (1,5 б)
4. Определить графически часть плоскости, удовлетворяющую системе линейных неравенств 4 x  5 y  12 ,
4 x  3 y  20  0 , x  0 , y  0 найти вершины полученной области (2,5 б).
 3 1 
 1 2


  1 1


  2  3 1   ? (1,5б 6. Для матрицы
5.  4  1  
 1 2   2 0
  1 3




7. Найти матрицу, обратную к данной, методом Гаусса:
1 2 1

2
0
 3
 1 1 3

3 2
5
4

5
найти M 43 , A21 (2б)
1

1 
 1 1 2 


A   1  2  8  (2б)
 4  6  1


ПРОГРАММА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Однородные системы и их свойства (без доказательства).
2. Понятие о фундаментальной системе решений (ФСР) однородной СЛАУ, теоремы о ФСР и о векторном
представлении общего решения СЛАУ (формулировки). Уметь строить фундаментальные системы
решений предложенных однородных СЛАУ и представлять общее решение СЛАУ в векторном виде
(упр.7.1, 7.2).
3. Линейное пространство (полное определение). Доказательство единственности нулевого и
противоположного элементов в линейном пространстве. Доказательство леммы о пространстве Rn.
4. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Уметь проверить систему векторов на
линейную зависимость или независимость (упр.8.2). Теоремы о линейно зависимых и линейно
независимых системах (с доказательством).
5. Базис и ранг системы векторов (определения). Уметь разложить вектор системы по предложенному
базису, уметь выделить базис из предложенной системы (упр.8.1, 8.3).
6.Базис линейного пространства, единственность разложения по базису (с док-вом). Уметь определить,
является ли набор векторов базисом в соответствующем пространстве.
7. Используя свойства базиса и определение ФСР, уметь решать задачи, аналогичные упр.7.3, 7.4
8. Размерность линейного пространства (определение и формулировки двух теорем. Размерность
пространства Rn (обосновывать).
9. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы (знать определения, уметь
проверить, является ли число собственным значением, уметь находить собственные значения и
собственные векторы – упр. 9.1, 9.2, 9.3).
10. Уметь выписать матрицу квадратичной формы или записать квадратичную форму по заданной
матрице, уметь определить знак квадратичной формы и привести ее к каноническому виду по методу
Якоби, уметь определить параметр, при котором квадратичная форма является положительно или
отрицательно определенной, уметь доказать неопределенность квадратичной формы в случае, когда среди
угловых миноров есть равные нулю (упр. 10.1-10.3)
11. Невырожденные линейные преобразования, теорема о приведении квадратичной формы к
каноническому виду и закон инерции (формулировки). Уметь привести квадратичную форму к
каноническому виду с указанием преобразования.
12. Евклидовы пространства, евклидовость пространства Rn. (обосновывать)
13. Скалярное произведение, проверка элементов на ортогональность и ортонормированность.
14. Норма в евклидовом пространстве, норма в Rn.
15. Ортонормированный базис, доказательство корректности определения. Ортонормированный базис в
Rn.
ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
Для получения «3» надо набрать 6,5-9 баллов, «4» - более 9 баллов, «5» - от 11,5 баллов
ВАРИАНТ № 1
1. Разложите вектор b  (1,2,1) по системе векторов a1  (2,0,3) , a2  (1,1,1) a3  ( 1,7,4) (2 балла).
2. Приведите квадратичную форму F ( X )  x12  4 x1 x2  6 x1 x3  2 x2 x3  3x32 к каноническому виду методом Якоби (1,5 балла).
 x1  x2  x3  x4  0

3. Найдите фундаментальную систему решений для 3x1  2 x 2  x3  x 4  0 (2 балла)
3x  x  5 x  x  0
2
3
4
 1
4. Дайте определение собственных чисел и собственных векторов квадратной матрицы, найдите собственные числа и собственные векторы матрицы
1
0 
 3


B    3  1 0  (2,5 балла)
 4  8  2


5. Восстановите квадратичную форму по заданной симметрической матрице
 5 0  1


A   0  3  , определить, при каких зна 1 3 1 


чениях  квадратичная форма положительно
определена (2 балла)
6. Сформулируйте и докажите лемму о единственности нулевого элемента в линейном пространстве
(1,5балла)
7. Проверьте (ответ обосновать), является ли базисом в пространстве R4 набор векторов a1  (0;1;1;0) ,
a2  (1;1;3;1) , a3  (0;1;1;2) , a4  (1;3;5;1) (1,5 балла).
ВАРИАНТ № 2
1. Дайте определения линейно зависимых и линейно независимых систем векторов и проверьте, каким
свойством обладает система векторов a1  (2;0;4;1) , a2  (1;3;2;4) , a3  (0;6;8;7) , a4  (1;1;2;1) (1,5
балла)
2. При каком  квадратичная форма F ( X )  x12  4 x1 x2  2 x1 x3  3x22  2 x2 x3  x32 является отрицательно определенной? (2 балла).
 x1  x2  2 x3  3x4  2

3. Представить общее решение системы  x1  2 x2  3 x3  x4  5 в векторном виде (2,5 балла)
2 x  x  3x  4 x  1
3
4
 1 2
4. Докажите, что число =1 является собственным
2
2
 3


числом матрицы B    1  2 0  и найдите соб  2  2  1


ственные векторы, ему соответствующие (2 балла)
5. Восстановите квадратичную форму по задан-
1 2 1 


ной симметрической матрице A   2 6 0  ,
 1 0 10 


и приведите ее к каноническому виду методом
Якоби (1,5 балла)
6. Сформулируйте и докажите лемму о единственности разложение по базису (1,5балла)
7. В системе векторов a1  (1;7;2) , a2  (1;2;1) , a3  (2;4;3) , a4  (1;1;1) выделите базис и выразите
оставшиеся вектора через вектора базиса (2 балла).