Семинар 9. «Векторы на плоскости и в пространстве» 1) Определить скалярное произведение векторов a 3i 4 j 7 k и b 2i 3 j 2k . 2) Определить угол между векторами a i 2 j 3k и b 6i 4 j 2k . 3) Даны точки M1 2;0;0 , M 2 0;0;4 , Ì 3 2;0;2 , Î 0;0;0 . Найти угол между векторами Î M 3 и M1M 2 . 4) Найти длины сторон и углы треугольника с вершинами À 1; 2;4 , Â 4; 2;0 , Ñ 3; 2;1 . 5) Найти угол между диагоналями параллелограмма, если заданы три его вершины À 2;1;3 , Â 5;2; 1 , Ñ 3;3; 3 . 6) Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a 6; 1;1 ; b 2;3;1 . 7) В плоскости находятся два вектора a , b . Известно, что a 3, b 4 и угол между ними 600 . Найти длину вектора d 2à b . 8) Даны вершины треугольника À 1;2;1 , Â 3; 1;7 , Ñ 7;4; 2 . Показать, что этот треугольник равнобедренный. 9) Даны вершины четырехугольника À 1; 2;2 , Â 1;4;0 , Ñ 4;1;1 , D 5; 5;3 . Показать, что его диагонали взаимо перпендикулярны. 10) При каком значении m векторы a mi 3 j 4k и b 4i m j 7k перпендикулярны? 11) Найти 5a 3b 2a b , если a 2, b 3, a b . 12) Найти векторное произведение векторов a 2i 3 j 5k и b i 2 j k . 13) Вычислить площадь треугольника с вершинами À 1;1;1 , Â 2;3;4 , Ñ 4;3;2 . 14) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a 3b , 3a b , если a 1, b 1, а угол между ними 300 . 15) Найти смешанное произведение векторов a 2i j k , b i 3 j k , c i j 4k . 16) Показать, что векторы a 2i 5 j 7 k , b i j k , c i 2 j 2k . 17) Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах AB , AC и AD , если À 2;2;2 , Â 4;3;3 , Ñ 4;5;4 , D 5;5;6 . 18) Найти объем треугольной пирамиды с вершинами À 2;2;2 , Â 4;3;3 , Ñ 4;5;4 , D 5;5;6 . 19) Найти объем тетраэдра, заданного вершинами À 0;0;0 , Â 1;1;0 , Ñ 2;1;0 , D 0;0;6 . 20) Найти объем тетраэдра, заданного вершинами À 0;0;0 , Â 4;1;1 , Ñ 1;1;0 , D 0;0;8 .