1) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах p 41a 3b и q 81a b , где b 2 и угол между векторами a и b равен 150 . a 3, Площадь параллелограмма, построенного на векторах p и q , можно вычислить как модуль их векторного произведения: S pq Вычисляем векторное произведение векторов: p q 41a 3b 81a b 3321a a 41a b 243b a 3b b 3321 a a 41 a b 243 a b 3 b b 3321 0 202 a b 3 0 202 a b - т.к. a a 0 , b b 0 , a b b a . Следовательно, площадь параллелограмма 1 S 202 a b 202 a b sin 150 202 3 2 606 (кв. ед.) 2 Ответ: S пар. 606 кв. ед. Свойства векторного произведения векторов: 1) При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. a b a b 2) Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т.е. a b a b a b 3) Векторное произведение обладает распределительным свойством: a b c a c b c 4) Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е. a b a b 0 1 2) Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2m n и 4m 5 n , где m и n единичные векторы, образующие угол 45 . 1-й способ решения. Найдём векторы a и b : a b 2m n a 3m 3n a b 4m 5 n b m 2n S a b a b 3m 3n m 2n 3m m 3n m 6 m n 6 n n 3m n - т.к. m m 0 , n n 0 , n m m n . Имеем a b 2 m n и a b 4m 5 n , где a и b - векторы-стороны параллелограмма. 2 3 2 S a b 3m n 3 m n sin 45 3 1 1 (кв. ед.) 2 2 2-й способ решения. Используем тот факт, что площадь S 2 параллелограмма, построенного на диагоналях исходного параллелограмма, в 2 раза больше площади S 1 исходного параллелограмма. S 2 2m n 4m 5 n 2m n 4m 5n 8 m m 4n m 10m n 5n n 6 m n 2 S 2 6 m n 6 m n sin 45 6 1 1 3 2 2 S2 3 2 (кв. ед.) S1 2 2 Литература: 1) Минорский В.П. "Сборник задач по высшей математике”, 2005, стр. 59 (задача 432). 3) Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a 2i j и b j 2k . Если сторонами параллелограмма являются векторы a и b , то его диагонали соответствуют векторам a b и a b : 2 Угол между векторами a b и a b найдём посредством формулы скалярного произведения векторов, в которую входит косинус угла между ними. Итак, a 2 ; 1; 0 b 0 ; 1; 2 a b 2 0 ; 1 1 ; 0 2 2 ; 0 ; 2 a b 2 0 ; 1 1 ; 0 2 2 ; 2 ; 2 Косинус угла : a b a b cos a b a b Ответ: 2 2 2 0 2 2 2 22 0 2 22 2 2 22 2 2 0 2 . 4) Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a 3 p q , b p 2q , где p 1 , q 2 , p,q . 3 Если сторонами параллелограмма являются векторы a b и a b : Угол и a и b , то его диагонали соответствуют векторам между векторами a b 3 p q p 2q 4 p q a b 3 p q p 2q 2 p 3q найдём посредством формулы скалярного произведения векторов, в которую входит косинус угла между ними. Косинус угла : a b a b cos a b a b Скалярное произведение a b a b 4 p q 2 p 3q 8 p 8 p 2 3 q 2 2 2q p 12 p q 3q 2 10 p q 8 1 2 3 2 2 10 1 2 cos 8 12 10 6 3 3 Модули a b 4 p q 4 2 1 2 2 4 1 cos 13 3 и a b 2 p 3q 2 2 6 2 2 2 3 cos 46 3 находим из треугольников, образованных векторами, применив формулу косинусов: Следовательно, a b a b cos a b a b 6 3 598 0 (острый угол) 299 13 46 3 598 1, 323 рад 75 48 299 arccos 5) Известно, что a 13 , b 19 , a b 24 . Найти a b . Сумма и разность векторов a и b соответствуют диагоналям параллелограмма, стороны которого образованы этими векторами. Обозначим стороны такого параллелограмма как a и b , а искомую величину a b обозначим x . Используя теорему косинусов, запишем систему: a b a b 2 a 2 b 2 2ab cos 2 a 2 b 2 2ab cos 4 Подставим известные величины: 24 2 13 2 19 2 2 3 19 cos 2 2 2 x 13 19 2 3 19 cos Сложим уравнения: 24 2 x 2 2 13 2 19 2 x 2 2 13 2 19 2 24 2 484 x 22 Ответ: a b 22 . 5