Операции над множествами

Теория множеств
Пояснения используемых символов:
 -символ принадлежности элемента (стоит слева) множеству (стоит
справа)
:= по определению равно

логическое отрицание
 логическое «И»
 логическое «ИЛИ»
 логическое следование (если … то …)
 -сокращенно «для всех»
{…} – описание множества
1. {1,3,5,8} – описание множества путем перечисления его элементов
2. {x|логическое выражение-условие} - описание множества путем
задания условия, которому должны удовлетворять элементы.
Операции над множествами
Над множествами, как и над многими другими математическими объектами,
можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретикомножественными операциями. В результате операций из исходных множеств
получаются новые множества.
Сравнение множеств
Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество
A), если каждый элемент A есть элемент B:
A  B := x A  x B.
В этом случае A называется подмножеством B, B — надмножеством A. Если
A  B и  (A = B), то A называется собственным подмножеством B.
Заметим, что M M  M.
Два множества называются равными, если они являются подмножествами
друг друга: A = B := A  B  B  A
Операции над множествами
Ниже перечислены основные операции над множествами:
пересечение
A  B := {x|x A  x B}
объединение
A_  B := {x|x A  x B}
дополнение
A:= {x|(x A)}
разность
A \ B := {x|x A (x В)}
Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (множество U,
которое содержит A):
_
A := U \ A
Пример (один из вариантов практического задания на зачете):
А = {2, 3, 4, 7}
B = {3, 4, 5}
A  B = {3, 4}
A  B = {2, 3, 4, 5, 7}
A \ B = {2,7}
Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы
Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над
геометрическими фигурами как множествами точек.Например:
Диаграмма, иллюстрирующая
операцию A  B
Диаграмма, иллюстрирующая
операцию A  B
Бинарное отношение
Важную роль в анализе различных связей между объектами, изучаемыми
гуманитарными науками играет понятие «бинарное отношение».
ПРИМЕР 1
В истории часто используются так называемые генеалогические древа.
Рис. 1 Древо семьи Павла I
Генеалогическое древо построено на бинарном отношении «Предокпотомок».
ПРИМЕР 2
Формализуем понятие бинарного отношения.
Декартово или прямое произведение:
A X B = {(a,b)|a A  b B}
Частным случаем декартова произведения является Декартов квадрат
A X A = {(a,b)|a A  b A}
Бинарным отношением на множестве A называется подмножество R декартова
квадрата A X A (т. е. подмножество множества всех упорядоченных пар
элементов из A). В пределах этого текста xRy будет означать, что
(x,y)R.
Для наглядного представления отношений используются таблицы (матрицы).
Каждый элемент таблицы соответствует упорядоченной паре элементов из
A. Элементы таблицы равны 0 или 1, в зависимости от того, входит ли
соответствующая пара в отношение(1) или нет (0).
Пример
А={1,2,3} А состоит из натуральных чисел от 1 до 3.
Таблица соответствует парам
1
2
3
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
Отношение R – строго меньше
1
2
3
1
0
0
0
2
1
0
0
3
1
1
0
Свойства отношений
Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как
Рефлексивность:xM (xRx)
Пример рефлексивного отношения (это – пример
1 2 3
отношения полного порядка). Красным цветом выделены
1 1 1 1
элементы, обеспечивающие рефлексивность отношения.
2 0 1 1
3 0 0 1
Антирефлексивность (иррефлексивность): xM ( xRx)
Пример антирефлексивного отношения (это – пример
1 2 3
отношения строго полного порядка). Красным цветом
1 0 1 1
выделены элементы, обеспечивающие антирефлексивность
2 0 0 1
отношения.
3 0 0 0
Симметричность:
1
2
3
1
0
1
1
2
1
0
1
3
1
1
0
x,y  M (xRy yRx)
Пример симметричного отношения. Красным цветом
выделены элементы, обеспечивающие симметричность
отношения.
Антисимметричность: x,y  M (xRy  yRx x=y)
Транзитивность: x,y,z M (xRy  yRz xRz)
Полнота: x,y  M (xRy  yRx)
Асимметричность x,y  M (xRy   yRx)
Виды отношений
Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением
эквивалентности.
Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется
отношением (частичного) порядка.
Рефлексивное антисимметричное транзитивное полное отношение называется
отношением полного порядка.
Антирефлексивное антисимметричное транзитивное полное отношение
называется отношением полного строгого порядка
Элементы теории графов
Графом называется бинарное (2-арное) отношение на множестве элементов,
называемых вершинами графа. Вершины соединяются дугой (изображается на
рисунках стрелкой), если соответствующая упорядоченная пара входит в
отношение.
Граф называется неориентированным, если отношение симметрично. В этом
случае дуги называются ребрами графа.
Граф называется ориентированным, если отношение антисимметрично.
Из определения непосредственно следует естественный способ описания
графа в виде матрицы (таблицы) смежности. (Таблица есть отношение.)
Матрица квадратная, т.е. числа строк и столбцов совпадают. 1 означает
наличие отношения, 0 – отсутствие.
Графы применяются для наглядного изображения бинарных отношений.
Пример.
Отношение R – строго меньше на множестве 3 первых натуральных чисел.
Матрица смежности:
1
0
0
0
1
2
3
2
1
0
0
3
1
1
0
Граф:
2
1
3
Другим примером графа может служить дерево, изображенное в примере 2.