Бинарные отношения Транзитивное замыкание Для произвольного отношения A можно найти минимальное транзитивное отношение a такое, что a⊆b. Минимальность отношения понимается в том смысле, что для любого транзитивного отношения g из a ⊆ g следует b ⊆ g. Таким отношением является транзитивное замыкание отношения a. Если X — это множество аэропортов, а xRy эквивалентно «существует рейс из x в y», и транзитивное замыкание R равно P, то xPy эквивалентно «можно долететь из x в y самолётом» (хотя иногда придётся лететь с пересадками). Транзитивное замыкание Транзитивным замыканием отношения R называется бинарное отношение R’ такое, что x R’ y тогда и только тогда, когда существует такая цепочка элементов из X: z0 = x, z1, z2, ..., zn = y, что между соседями в этой цепочке выполнено отношение R: z0 Rz1, z1R z2, ..., zn-1 Rzn. Нетранзитивное отношение Отношение R, определенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz не следует xRz. Пример нетранзитивного отношения: «x отец y» Нетранзитивным является отношение "". Пусть x=2, y=3, z=2, тогда справедливо xy и yz, но x=z, т.е. (x, z)R. Транзитивность Отношение R1 называется транзитивным относительно отношения R2, если: из (x, y) R1 и (y, x) R2 следует, что (x, z) R1; из (x, y) R2 и (y, x) R1 следует, что (x, z) R1. Негатранзитивность отношений (x,y) ∉ R и (y, z) ∉ R → (x, z) ∉ R В графе негатранзитивного отношения отсутствие связи (кольца или дуги) между двумя вершинами влечет отсутствие петель в обоих вершинах. Отношения R1 - ">" и R2 - " " негатранзитивны, так как отношенияR1доп - "",R2доп - "=" транзитивны. Возможно одновременное выполнение свойств транзитивности и негатранзитивности. Например, отношение R1 одновременно транзитивно и негатранзитивно, а R2, как известно, транзитивным не является. Свойства бинарных отношений Полнота ∀(x, y) ∈ X либо xRy либо yRx, либо и то и другое одновременно – полносвязное или связное отношение Ацикличность Отношение R называется ацикличным, если из наличия какого-либо пути между вершинами соответствующего графа следует отсутствие обратной дуги (обратного пути) между этими вершинами (в графе отсутствуют любые циклы ). ∀n x1Rx2∧ x2Rx3∧ x3Rx4∧… ∧ xn-1Rxn но не наоборот. Свойства операций над отношениями Rk -1=( Rk -1 Rk -1=( Rk -1 (R1 o R2) -1 = R1 -1 o R2 -1. (R1 o R2 )oR3 = R1o(R2 o R3). (R1 R2 )oR3 = (R1 oR3 )( R2o R3 ). Свойства операций над отношениями (R1 R2 )oR3 (R1 oR3 )( R2o R3 ). если R1 R2 то R1o R3 R2o R3; если R1 R2 то R1-1 R2-1; если R1 R2 то R3oR1 R3oR2. (R1 R2)d = R1d R2d; (R1 R2)d = R1d R2d; (R d)d = R. Связи между бинарными отношениями Отношение R симметрично тогда и только тогда, когда R = R-1. Если R рефлексивно, то Rd антирефлексивно, если R антирефлексивно, то Rd рефлексивно. Отношение R слабо полно тогда и только тогда, когда Rd антисимметрично. Отношение R асимметрично тогда и только тогда, когда Rd полно. Отношения эквивалентности (подобия, равносильности) Отношение R на множестве A2 называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами: рефлексивность (симметричность транзитивность \ Обозначается =, ≈, ~, ≡ Отношение эквивалентности Условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно: x=x для всех x∈A (рефлексивность) Если x=y, то y=x (симметричность) Если x=y и y=z, то x=z (транзитивность) Примеры отношение тождества IX = {(a, a)|a∈X} на непустом множестве X; отношение параллельности на множестве прямых плоскости; отношение подобия на множестве фигур плоскости; отношение равносильности на множестве уравнений; отношение "иметь одинаковые остатки при делении на фиксированное натуральное число m" на множестве целых чисел. Это отношение в математике называют отношением сравнимости по модулю m и обозначают a≡b (mod m); отношение "принадлежать одному виду" на множестве животных; отношение "быть родственниками" на множестве людей; отношение "быть одного роста" на множестве людей; отношение "жить в одном доме" на множестве людей. Классы экввалентности Система непустых подмножеств {M1, M2, …} множества M называется разбиением этого множества, если M = M1∪M2∪ … и при i≠j Mi∩Mj =Ø. Сами множества M1, M2, … называются при этом классами данного разбиения. Примеры Разложение всех многоугольников на группы по числу вершин - треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д.; Разбиение всех треугольников по свойствам углов (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные); Разбиение всех треугольников по свойствам сторон (разносторонние, равнобедренные, равносторонние); Разбиение всех треугольников на классы подобных треугольников; Разбиение множества всех учащихся данной школы по классам. Пример 1 Пример 2 А и B равны по модулю n, если их остатки при делении на n равны. Например по модулю 5 равны 2, 7, 12 … [0] = {0, n, 2n, …} [1] = {1, n+1, 2n+1, …} … [n-1] = {n-1, n+n-1, 2n+n-1, …} Класс эквивалентности Классом эквивалентности C(a) элемента a называется подмножество элементов, эквивалентных a. Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если и b∈C(a), то C(a) = C(b). Теорема: отношение эквивалентности, заданное между элементами базового множества х, определяет разбиение множества х на непересекающиеся классы эквивалентности базового множества (в каждый из классов входят взаимно эквивалентные отношения). Фактор-множество Получающееся при этом множество классов называется фактормножеством {ck}.или X / ˜. Отношение порядка Бинарное отношение a на множестве X называется отношением порядка, если оно Транзитивно ∀ x,y,z ∈ A xRy ∧ yRz → xRz и антисимметрично ∀ x,y ∈ A xRy ∧ yRx → x=y Множество X с определенным на нем отношением порядка a называется упорядоченным множеством и обозначается <X; a>. Отношение строгого порядка Отношение порядка R называется отношением строгого порядка на множестве X, если a антирефлексивно ∀x∈X ¬(xRx) Отношение строгого порядка обозначается символом < или Pуп Пусть f и g - функции с одинаковыми областями определения. Определим отношение > следующим образом: f > g, если для любого x из области определения функции f(x) > g(x). Очевидно, что данное отношение является отношением строгого порядка. Пример f > g. Пары функций f и h, а также g и h несравнимы. Отношение толерантности Отношение безразличия является отношением симметрии и рефлексивности. x Iуп y <=> ( x Pуп у и yPуп x ). Так как (x, y) и (y, x) не принадлежат Pуп, то нельзя сказать, что x лучше y, или x лучше y. Основные свойства Pуп Pdуп = Pdуп; Pуп Pdуп = Pуп; I =Pуп Pdуп . Rуп = Pdуп; Pуп = Rdуп , т.е. Pуп и Rуп образуют двойственную пару. P∪P-1∪I=Х × Х – все декартово произведение Отношение нестрогого порядка На базе введенных отношений строгого упорядочения и безразличия можно построить новое отношение Rуп = Pуп Iуп, которое называется нестрогим упорядочением. Отношение нестрогого упорядочивания (x≥y) это полное и рефлексивное отношение. Отношение безразличия Пусть мы имеет некоторое произвольное отношение R, причем R ∩ R-1=Rs – симметричная часть R. Если R было рефлексивным, то Rs можно считать отношением безразличия. Теорема R\R-1=Rs=I, R\Rs=P, а значит, R=P∪U Любое полное отношение R с R\R-1=Rs=I, R\Rs=P индуцирует отношения строгого упорядочения P и безразличия I. I – симметричная часть R, P – асимметричная часть. Отношение слабого порядка Асимметричное, негатранзитивное отношение Pсл назовем слабым порядком. x>y (слабый порядок, т.к. ассиметрично и его дополнение x≤y, транзитивно, а значит и негатранзитивно). Кроме того, по аналогии с Iуп введем отношение Iсл xIслy <=> ((x, y) Pсл и (y, x) Pсл) или xIслy <=> ((y, x)Pсл и (x, y)Pсл). Назовем его отношением эквивалентности. Отношение нестрогого слабого порядка Введем также отношение Rсл = Pсл Iсл, называемое нестрогим слабым порядком. Из определения следует, что Pсл Pуп. Так как Pуп только асимметрично, а Pсл асимметрично и негатранзитивно, то из (x, y)Pсл всегда следует (x, y)Pуп. В качестве примера Rсл можно привести отношение "". Свойства слабого порядка Rсл = Pdсл , Rdсл = Pсл. Iсл = Rsсл , Pсл = Rdсл. Для любых x,yA выполняется одно и только одно из соотношений: xPслy, yPслx, xIслy. Отношение Pсл транзитивно. Отношение Iсл рефлексивно, симметрично, транзитивно. Отношение Rсл транзитивно и полно. Отношение качественного порядка Дополним отношение строгого упорядочения Pуп свойством транзитивности. Назовем полученное отношение качественным порядком Pкач.. Пусть х, у - вещественные числа. Введем качественный порядок: хРкачу <=> x > у +1. Очевидно, что в данном случае отношение Ркач асимметрично и транзитивно, но оно не является негатранзитивным. Дополнение к введенному отношению определим как х Ркач у <=> х у +1 Положим у = 0; х = 0.9; z = -0.9. Тогда, очевидно, выполняются отношения (х, y) Ркач ; (y, z) Ркач ; (х, z) Ркач. Т.е. условие негатранзитивности не выполняется. Отношение Парето Введем на множестве точек n-мерного евклидова пространства следующее отношение Par, называемое отношением Парето: х, уРаr <=> i : хi yi и j : хj > уj. Отношение Парето называется также безусловным критерием предпочтения (БКП). Пример x y а) x1 < y1 x2 > y2 нет отношения Раr; y x б) x1 > y1 x2 = y2 есть отношение Раr, x лучше y; x y в) x1 < y1 x2 < y2 есть отношение Раr, y лучше x. Производные отношения Iкач - отношение качественного безразличия хIкачу <=> ( xРкач у) и (уРкач х ); Rкач - нестрогий качественный порядок Rкач = Рd кач. Качественный ассиметричные отношения. Так как порядок – это и транзитивные асимметрия+негатранзитивность=транзитивность, значит слабый порядок качественный, но не наоборот. Другие отношение Отношение Rчаст называется нестрогим частичным порядком, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Нестрогий частичный порядок можно определить по формуле Rчаст = PкачI . Рефлексивное и транзитивное бинарное отношение называется предпорядком. Симметричный предпорядок является отношением эквивалентности, антисимметричный предпорядок - нестрогим частичным порядком.