Блок 2

Программа
элективного курса для учащихся 9-х классов:
«Абсолютная величина числа или модуль».
Авторы: Долгинцева Л. В., Ладющенкова О. Е.
Пояснительная записка.
Уравнения, неравенства и другие задачи, связанные с модулем, в последние годы стали
широко использоваться как на школьных экзаменах, так и экзаменах при поступлении в
учебные заведения. К сожалению, эти задачи либо мало, либо вообще не представлены
в учебниках для общеобразовательных классов. В учебниках с углублённым изучением
математики задачи, содержащие модуль, представлены достаточно полно.
Цель курса: создать целостное представление о теме и расширить спектр задач,
посильных для учащихся.
Задачи:
1. Создание устойчивого интереса к предмету, развитие математических
способностей, подготовка к обучению в профильных классах;
2. Предоставление учащимся возможности проанализировать свои способности к
математической деятельности;
3. Развитие способности к самостоятельному обучению и творчеству;
4. Оказание помощи в углубленном изучении данной темы.
Формы и методы работы:
 Исключение методов принуждения в учёбе;
 Использование приёмов, активизирующих работу школьников,
дифференцированные задания, свободный выбор заданий для домашней
самостоятельной работы;
 Проведение уроков «общения», на которых рассматриваются
дополнительные, часто применяемые свойства;
 Использование групповых форм работы;
 Формой контроля может стать обучающая самостоятельная работа,
итоговое тестирование, исследовательская работа.
Планируемые результаты:
 Задачи с модулем расширят и углубят базовый раздел «Модуль».
 Учащиеся приобретут навык в решении задач, содержащих модули.
 Этот курс поможет ученику проверить себя и ответить на вопрос: «Могу
ли я, хочу ли я учить это, заниматься этим?»
Содержание:
Программа содержит три блока, связанных одной идеей. Можно использовать
все блоки или любой из них.
Первый блок осуществляет актуализацию и систематизацию базовых знаний и
умений, рассматривает стандартные задачи с модулем и расширяет спектр
задач, посильных для учащихся.
Во втором блоке идёт речь о построении графиков функций, содержащих знак
модуля.
В третьем блоке рассматриваются задачи с модулем и параметром, а также
нестандартные задания с модулем.
На изучение трёх блоков отводится 20 часов.
1
№
п/п
1
2.
Тематическое планирование.
Наименование разделов и тем
К-во Форма контроля
час.
А) актуализация знаний
1
Составление опорного конспекта,
учебный проект
Б) полезные упражнения
1
Урок «общения»
В) уравнения с модулем
3
Самоконтроль, обучающая
самостоятельная работа
Г) неравенства с модулем
3
Самоконтроль, проверочная
самостоятельная работа
А) основные сведения о
2
Исследовательская
функциях – преобразования
самостоятельная работа.
сдвига вдоль осей координат,
Оценка в малых группах
сжатие и растяжение,
построение графиков функций у
= f(-x), y = - f(x)
Б) построение графиков
4
Исследовательская
функций
самостоятельная работа.
работа в группах
у  f ( x) , y  f ( x ), y  f ( x ) ,
y  f ( x), y  f ( x) , y  x
3.
4.
А) Модуль и параметры
Б) Нестандартные задачи с
модулем
Проверка усвоения знаний
1
3
Моделирование
Поисковая работа
2
Тестирование. Защита
исследовательского проекта
Литература.
1. Ткачук В. В. Математика абитуриенту. М., «Тепс» 1995.
2. Рурукин А. Н. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по
математике. М., «Вако» 2004.
3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр.
Киев «А. С. К.» 1997.
4. Колесникова С. И. Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. М.,
«Айрис Пресс» 2004.
5. Азевич А. М.Двадцать уроков гармонии. М., «Школа – пресс», 1998.
6. Генденштейн Л. Э., Ершова А. П., Ершов А. С. Наглядный справочник по
алгебре и началам анализа с примерами. Москва – Харьков, 1997.
7. Башмаков М. И. и др. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Дидактические
материалы. М., Дрофа, 2004.
8. Открытый лицей. Всероссийская Заочная Многопредметная школа
(ОЛ ВЗМШ). Пособия 1999-2002 г.
9. Задания школьных физико-математических школ: Долгопрудный, г.
Тверь, г. Москва, МГУ.
10. Журнал «Математика в школе», №4-№5 – 2004.
11. Газета «Математика», №№ 3, 20, 23, 25-28, 33 – 2004 г.
2
Приложения
Блок 1.
Определение. Абсолютной величиной числа или модулем числа а (с обозначением а )
называется расстояние от точки, изображающей данное число а на координатной
прямой, до начала отсчёта.
а, еслиа  0,
а 
 а, еслиа  0
Модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа
равен противоположному числу, модуль числа 0 равен 0.
Записывают: а = а, если а – положительное,
а = - а, если а – отрицательное,
а = 0, если а = 0.
Примеры:
1. 0 = 0;
 12 = 12;
 17 = 17,
 (4) = 4;
 (2) = 2.
2. Закончи каждое равенство:
а = … , если а – отрицательное,
х = … , если х – положительное,
m = … , если m = -13,
- у = … , если у – положительное,
 у = … , если у – отрицательное.
3. Сравни:
(- 5) и - (+5);
и 5
5
5 и - 5 ;
0
и (-21);
0 и
 21 .
4. Модуль некоторых чисел равен: а) 9. Это числа …,
б) 0. Это числа …,
в) - 9. Это числа …
5. Отметь на числовой прямой все значения х, удовлетворяющие всем
перечисленным условиям: 1) х – целое, х < 3; 2) х – целое, х > 0, х < 5;
3) х – натуральное, 2 < х < 4; 4) х < 0, х < -2.
6. Поставь метки И (истинно) или Л (ложно):
1) Для любых значений t верно равенство t = t;
2) Равенство а = - а верно для а = 0;
3) m>n, то m > n ;
4) m > n , то m > n.
3
Основные свойства модуля.
1) а  0; 2) а =  а ; 3) а > a; 4) ав = а в ;
5) a  b = b  a ;
6) а  b  а + b ; 7) а  b = а + b , тогда и только тогда, когда ab  0;
8) а + в = а + в, тогда и только тогда, когда а  0, в  0;
9) а  b = а + b , тогда и только тогда, когда ab  0;
10) а - в  0 , тогда и только тогда, когда а2- в2  0.
Полезные упражнения.
Раскрыть модуль: 1)   3 ; 2) 1 2 ; 3)
6) х 2  2 х  2 ; 7) х 2  х 
5  2 ; 4) х 2 ; 5) х 4  1 ;
1
.
4
Самоконтроль:
1. а) Модулем положительного числа является ……. Например ……..
б) Модулем отрицательного числа является …….. Например …….
в) Модулем нуля является ………..
2. Упрости: -(-27); -  4 ;
 (2) ; + (- 24); - (+ 2а); - (- (+ 2а)).
3.Отметь на числовой прямой все точки удовлетворяющие условиям:
1) а – целые, а =4; 2) х – целые, х  4; 3) в – натуральные, в = 3
4) t – неотрицательные, t = 0.
4. Приведи примеры, опровергающие данные высказывания:
1) «значение выражения (-m) всегда отрицательно»
(например: «если m = …, то …»);
2) «если m  n , m > n» (например, если m = …, n =0, то …, но …);
3) «если m  n , то m =n;
4) «для любых значений t верно равенство t = t»;
Уравнения с модулем.
Ещё раз обратимся к опорному конспекту:
а, еслиа  0,
а 
 а, еслиа  0
1. 10  ... ,
 20  ... , 0  ... ,  100  ...
2. Вычислите а , если а =3; а = -5.
Определите, какие из предложенных решений верны:
1) а  а, если а  0 , поэтому 3 = 3, т. к. 3>0;
2) а  а, если а < 0, поэтому  5 = -5, т. к. –5 < 0.
Запишите решение 2) правильно.
4
3. Преобразуйте любое из данных выражений к такому виду, чтобы в записи не
использовался знак модуля: (выбор учащихся: а) или б) или в)).
а) х  3 , б) 2 х  4  3х, в) х 1  х  2 .
Повторяем: модуль числа а – это расстояние от точки с координатой а до начала
координат.
о
а
4. Решить уравнения: 1) х  5, 2) х  0, 3) х  2. Изобразите решение на
координатной прямой.
5. Внимательно рассмотрите предложенные уравнения:
1) х  х  5,
2) х  3х  5,
3) х  3  2 ,
4) 2 х  5  х  1,
5)
х 5
  х  1,
2 2
6) 2 х  5  2  х,
7) х  2  2(3  х) ,
8) 3х  5  5  2 х ,
9) х  2  3 3  х ,
10) х  1  1  2.
а) Распределите данные уравнения по группам:
I
II
Модуль содержится в
Модуль содержится в
левой части
обеих частях уравнения
…………
……………
…………
……………
III
Уравнение содержит
двойной модуль
……………..
…………….
б) Решите уравнения 3), 6). 8) разными способами ( на доске с помощью учителя).
в) Решите одно из уравнений (по выбору):
х 5
1) х  2  1;
2)
3) х  2  3(3  х).
  х  1;
2 2
Рефлексия: при помощи шкалы ответьте на вопросы:
 Кто может решить уравнение самостоятельно?
 Кому нужна помощь?
 Кто не может самостоятельно решить уравнение?
(со второй группой работает консультант; с третьей – учитель)
г) Решите уравнение 10).
Вопросы при решении:
- Чем данное уравнение отличается от предыдущих? (двойным
модулем).
- Как «избавиться» от одного из модулей?
- Что можно сказать о решении уравнения х  1  1;
д) Остальные уравнения решите дома по желанию.
Обобщение.
Способы решения уравнения вида f ( x)  g ( x) :
I способ (по определению)
преобразования)
 f ( x)  0,

 f ( x)  g ( x );
 f ( x)  0,

 f ( x)   g ( x );
II способ (используя равносильные
 g ( x)  0,

 f ( x)  g ( x),
 f ( x)   g ( x).

5
III способ (частный случай)
f ( x)  в , в  R
1) в < 0, уравнение корней не имеет;
2) в =0, f(x)=0;
 f ( x)  b.
3) b > 0, 
 f ( x)  b.
6. Каким способом легче решить уравнения?
1) 2 х  4  1,
4) 3х  4 4 х 2  3х  2,
2) х 2  2 х  7  4,
5) х  1  х  2  2.
3) х 2  х  8   х,
7. Решите уравнения самостоятельно:
1) х 2  4 х  3  2,
5) х  7  4,
2) х   х 2 ,
6) х 2  1  х  1  0,
3) 2 х  3  2 х  3,
7) х  х  2  2,
4) х  3  6 х  х 2  9,
8) х  2  2(3  х).
3
Ответы: 1) нет решений. 2) нет решений. 3) х  . 4) х = 3. 5) х = 3, х = 11. 6) х = -1.
2
7)  2;0. 8) х = ½.
Проверочная самостоятельная работа.
Решите уравнения:
1) х  5 ,
5) х  1  2  1,
2)  х  5,
6)
3) х   х,
7) х 2  5х  2  12  8х,
4) х  5  5  х ,
8)
х  1  2  1,
х  1  1  х  2.
Ответы: 1) нет решений. 2) –5; 5. 3) х  0. 4) х – любое действительное число. 5) –
2; 0; 2; 4. 6) 0. 7) –1; 5. 8)  1;1
Неравенства с модулем.
1. Решим неравенства:
1) х  2
-2
0
2
-3
 x  3,
 x  3.

-2 < x < 2.
3
4) х  3  5
3) х  2  3
 x  2  3,

 x  2  3;
-1< x< 5.
Ответ:
2) х  3
 x  5,

 x  1;
х  (-1; 5).
 x  3  5,
 x  3  5;

 x  2,
 x  8;

Ответ: х  (;2)  (2;).
6
Полезные упражнения.
5) x  1,
8) x   x,
6) x 2  3 x  2  1,
9)
x
 1,
x
10) х x  1  0,
7) х  x,
11) х x  1  0.
2. Решите самостоятельно:
1) 2 x  3  5,
5) x 2  4  0,
2) x  2,
6) 4 x  5  3,
3)  x  2,
7) x  1  1,
4) x  x,
8) x 2  x  3  9.
Обобщение.
 f ( x)  g ( x),
Неравенство вида f ( x)  g ( x) равносильно системе 
 f ( x)   g ( x).
Решить неравенства:
1. х 2  4  3 х.
 x 2  4  3 x,
 2
 x  4  3x;
2

 x  3 x  4  0,
 2

 x  3 x  4  0;
( x  1)( x  4)  0,

( x  1)( x  4)  0;
-1
-4
Ответ: х  (1;4)
4
1
1 < x < 4.
2.. х + 6  3х  2  7 х
2
3х  2  х 2  7 х  6,
2

( х  2)  0,
 2

 х  10 х  8  0;
3х  2  х  7 х  6,

3х  2   х 2  7 х  6;
2
 х  R,

( х  5  17 )( х  5  17 )  0;
х  5  17 . или х  5  17 .
Ответ: х  (;5  17 )  (5  17 ;).
 f ( x)  g ( x),
Неравенство вида f ( x)  g ( x) равносильно совокупности 
 f ( x)   g ( x).
1.
3
 2 х.
2
3

 х  1  2  2 х,

 х  1   3  2 х;

2
х 1 
1

3 х  2 2 ,

х  1 ;

2

х 

х 

5
,
6
1
2
5/6
1/2
х
1
.
2
7
1
Ответ: х   ;).
2
2, х2- 5х  6  0.
5x  6  x 2 ,
5 х  6  x 2 ,

2
5 x  6   x ;
 x 2  5 x  6  0,
 2
 x  5 x  6  0;
( x  1)( x  6)  0.
( x  2)( x  3)  0;

-1
-3
-6
-2
Неравенство вида f ( x)  g ( x) равносильно неравенству f 2 ( x)  g 2 ( x) или
( f ( x)  g ( x))( f ( x)  g ( x))  0.
1.
2x  1  x  2 ,
(2 x  1) 2  ( x  2) 2 ,
(2х – 1 – х – 2)(2х – 1 + х + 2) > 0,
(х – 3)(3х + 1) > 0,
-1|3
3
x < -1|3 или x > 3.
1
Ответ: x  (; )  (3;).
3
2.
3 х  х,
(3  х) 2  х 2 , (3 + х – х)(3 + х + х)  0,
3
х .
2
 3
Ответ: х   ;).
 2
3(2 х  3)  0,
Неравенства, в которых приходится раскрывать модуль по определению.
1. х 2 х  3  2.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

3
 x  2 ,
2 х  3  0,


2( x  1 )( x  2)  0;
 х ( 2 х  3)  2;

2
2 х  3  0,


 x  3 ,
 x ( 2 x  3)  2;

2

 x  R;
3/2
-½
2
8
3
 2  х  2,

x  3 ;

2
х<2.
Ответ: х  (;2).
Решить неравенство:
х  1  х  2  x  3.
Решение.
х– 1 - 1 +
+
х– 2 +
2
 x  1,
1) 
1  x  x  2  x  3;
1  x  2,
2) 
 x  1  x  2  x  3;
 x  2,
3) 
 x  1  x  2  x  3;
 x  1,
х<0;

 x  0;
1  x  2,
нет решений.

 x  2;
 x  2,
x>6.

 x  6;
Ответ: х  (;0)  (6;)
Неравенства с двойным модулем.
Решите неравенство х  1  2  9  х(6  х).
Решение.
х  1  2   х 2  6 х  9,
х  1  2  ( х  3) 2 .
Так как левая часть больше или равна нулю, а правая меньше или равна нулю, то
равенство возможно при тех и только тех значениях х при которых левая и правая
части неравенства одновременно равны нулю. Имеем равносильную систему
уравнений:
  х  1  2  0,
 х  1  2  0,

х = 3.

  ( х  3) 2  0;

х

3
.


Ответ: х = 3.
Решение неравенств с модулем методом логических рассуждений.
1. х  2 ( х  1)  0.
Решение.
Так как х  2  0 при всех х  2, то х – 1>0, т. е. х >1.
Ответ: х  (1;).
х  5 (3х  7)  0.
Решение:
Так как х  5  0 для всех х  R , то данное неравенство равносильно совокупности
2.
 х  5  0,
3 х  7  0;

 х  5,

х  2 1 .
3

9
Ответ: (;2
Решить самостоятельно.
1. 2  х  2  х,
Ответы:
1
3
  5.
 ;2.
2.
х  2  х  2,
(2;).
3.
х  1  2 х  2,
4.
х  2  х  2  4,
1;5.
 2;2.
5.
2 х  1  х  3  4,
(0;2).
6.
х  1 ( х  1)  0,
(1;+  ).
7.
x  5 ( x  7)  0,
(-  ;5)  (5;7).
8.
3  х  2  1,
9.
3х  2 х  1.
 2;0  4;6
 ;1. :
Проверочная самостоятельная работа по теме: «Уравнения и неравенства с
модулем».
Подготовительное упражнение к самостоятельной работе
1
Найти ошибки в решении неравенства : 2 х  1х  3  3.
2х  1
 3,
х3
Решение:
3
 2х  1
 х  3  3,

 2 х  1  3;
 х  3
8
3
2
 2 х  1  3х  9
 0,

х3

 2 х  1  3 х  9  0;

х3
 х  8
 х  3  0,

 5 х  10  0;
 х  3
Объединяя решения, получим 3 < х  8.
Ответ: х  3;8.
Проверочную самостоятельную работу можно взять в следующей литературе:
1) ж. «Математика в школе» №2-2004 стр. 17 (карточки 1 – 8),
2) М. И. Башмаков. Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. Дидактические
материалы.
М – Дрофа, 2004 (стр. 26) (уровень работы ниже, чем в
журнале).
10
Блок 2
Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля.
Понятие функции – важнейшее понятие математики. Умение строить графики и
читать их – это один из главных элементов математической культуры. Эти умения
необходимы представителям различных профессий. Часто график функции является
лишь вспомогательным элементом решения. Необходимо знакомить учащихся с
различными способами построения графиков функций, что пригодится в
дальнейшем обучении.
В школьном курсе мы встречаем далеко не все способы построения графиков,
поэтому предлагаемый курс систематизирует и расширяет ранее приобретённые
знания.
Функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого
данного множества сопоставляет единственное число у.
Обозначение: y = f(x), где x – независимая переменная (аргумент функции),
y – зависимая переменная (функция).
Область определения D(y) – множество значений, которые может принимать
переменная х.
Область значений функции (множество значений). Е(у) – множество значений,
которые принимает функция у.
Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x;f(x)).
Y
f(x2)
x1
x2
x
f(x1)
Один из приёмов построения графиков – это преобразование исходных простейших
графиков.
Рассмотрим некоторые основные типы преобразований графиков.
1. График функции y = f(x) + a (a>0) получается из графика функции y = f(x) сдвигом
его вдоль оси оу (параллельным переносом) на а единиц вверх, а для функции
y = f(x) – а – переносом на а единиц вниз.
у =х2+1
у = х2
y = f(x) + a
y = f(x)
у = х2-1,5
y = f(x) - a
-1,5
11
2. График функции y = f(x + a) (a>0) получается из графика функции y = f(x) сдвигом
вдоль оси Ох на а единиц влево, график y = f(x-a) (a>0) – на а единиц вправо.
y=f(x2)
2
y = f(x)
y=f(x+2)
y=f(x-
2
3)
y = f(x + a)
y = f(x - a)
-2
0
3
3. График функции y = kf(x) (k>0) получается из графика функции y=f(x)
1
растяжением в
k раз вдоль оси Оу при k>1 (сжатием в
раз вдоль оси Оу при
k
0<k<1). При этом точки пересечения полученного графика с осью Ох – те же, что и у
исходного графика.
y=2x2
y=x2
y=1|3x2
y =kf(x), 0<k<1
y = kf(x), k>1
5. График функции y = f(kx), (k>0) получается из графика функции y = f(x)
1
сжатием вдоль оси Ох в k раз при k>1 (растяжением в
раз при 0<k<1). При
k
этом точки пересечения графика с осью Оу – те же, что и у исходного графика.
у
у
y = f(kx), 0<k<1
y = f(kx), k>1
х
y = f(x)
х
y = f(x)
5. График y=B f(kx+a)+b строится поэтапным выполнением преобразований 1 – 4.
1) f(x)  f(kx) (преобразование 4),
a
2) f(kx)  f(k(x+ )) (преобразование 2),
k
a
a
3) f(k(x+ ))  B f(k(x+ )) (преобразование 3),
k
k
a
a
4) В f(k(x+ ))  В f(k(x+ )) +b (преобразование 1).
k
k
12
6. График функции y= - f(x) получается преобразованием симметрии графика функции
y=f(x) относительно оси Ox.
у= f(x)
Пример
у
у=х2
у
х
0
х
y = - f(x)
у= - х2
7. График функции y= f(- x) получается преобразованием симметрии графика
функции y= f(x) относительно оси Оу.
у
y= f(x)
х
y= f(- x)
Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля.
В методической литературе этому вопросу уделяется немало внимания; наблюдения
показывают, что такие задачи вызывают у учащихся затруднения при построении
графиков. Для построения всех типов графиков учащимся достаточно хорошо
понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе.
а, еслиа  0,
Определение
а 
 а, еслиа  0
8. График функции y  f ( x ) получается из графика функции y= f(x) следующим
образом: 1) часть графика y= f(x) для х  0 отражаем симметрично относительно оси
Оу;
2) часть графика для x < 0 «пропадает».
Примеры:
1) у  2 х  х 2
Пусть f(x) = 2x – x2, то данная в условии функция есть y= f( х ).
у = 2x – x2, график – парабола, ветви которой направлены вниз. Координаты
вершины (1;1). Точки пересечения с осью Ох: (0;0), (2;0).
у
у
1
2
0
1 y=f(x)
х
-2 -1 0 1
у=f( х )
2)
у  х 2  4 х  3.
3
-3
-1
1
3) у  х 2  3 х  2.
3
-2
-1
2
1 2
13
(Можно строить график, используя
определение модуля:
 х 2  3 х  2, х  0
у  х 3х 2   2
).
 х  3 х  2, х  0
2
4) у = х2 - х -2
Вершина –
у
1
1
( ;2 )
2
4
-2
2
х
-2
9. График функции y  f (x) получается из графика функции y = f(x) следующим
образом: 1) часть графика, лежащую над осью Ох, оставляем без изменения (точки
графика с положительными ординатами);
2) часть графика, лежащую под осью Ох, отражаем симметрично
относительно оси Ох.
Функция y  f (x) неотрицательна (её график расположен в верхней полуплоскости).
Постройте графики:
1) y  x 2  4
4
-2
2
-4
2) у  2 х  х 2
0
3) у  1  х 2 .
2
у  х2 1
1
1
-1
4) у  2  ( х  1) 2  ( х  1) 2  2
2
1
14
10. Для того, чтобы построить график функции y  f ( x ) , надо сначала построить
график функции y = f(x) при x>0, затем при x<0 построить изображение, симметричное
ему относительно оси Оу, а затем на интервале, где f( х )<0, построить изображение,
симметричное графику у= f( х ) относительно оси Ох.
у  2 х  х2 .
1
-2
2
11.Построение графиков зависимостей y  f (x) вызывают наибольшие затруднения,
поэтому их построение можно разобрать дополнительно для хорошо успевающих
учащихся. Учитывая, что в формуле y  f (x), f ( x)  0 и на основании определения
 у, еслиу  0,
модуля у  
 у, еслиу  0
Перепишем формулу y  f (x) в виде у   f ( x), где f ( x)  0.
Для построения графиков зависимостей (а не функций) достаточно построить
график функции y = f(x) для тех х из области определения, при которых f ( x)  0, и
отразить полученную часть графика симметрично оси Ох.
Таким образом, график зависимости y  f (x) состоит из графиков функций y = f(x) и
y = -f(x), где f ( x)  0.
Построить графики зависимостей:
1)
у х
2)
у  х2
1
1
3)
у  х 2  5х  6
2
4)
у   х 2  5х  6
3
2
3
-6
15
12. Построение зависимостей
у  f (x)
 y  0,
 y  0,
а) 
в) 
 y  f ( x )
 y  f ( x)
1) Сначала строим y  f (x)
2) Отражаем y  f (x) симметрично оси Ох.
Или, проще говоря, надо объединить график y = f(x) и график, симметричный
ему относительно оси Ох, т. е. y = - f(x)/
Примеры:
1) у  х 2  2
2) у  х
2
График функции
у  х.
- биссектриса I координатного угла
 х, еслиx  0
х 
- биссектриса II координатного угла
 х, еслих  0
График функции у  х - прямой угол
с вершиной в точке (0;0) и сторонами,
направленными «вверх».
1) Постройте график функции:
а) у  х  3
б) у  х  3
у  х 3
у  х3
в) у  2 х  2
-3
6
у  6 х 5
1
х6 3
3
д) у  6  х  5
г) у 
у  2 х  2
2) Постройте график функции у  х  1  х  2
I способ:
(х+1) +
+
(х-2) - -1 - 2 +
 х  1,
 х  1,
1) 

 у   х  1  х  2;  у  2 х  1;
3
16
 1  х  2,
2) 
 у  х  1  х  2;
 1  х  2,

 у  3;
 х  2,
 х  2,
3) 
-1
2

 у  х  1  х  2;  у  2 х  1.
II способ: график можно построить путём сложения ординат графиков функций
у  х  1 и у  х  2 соответствующих одним и тем же абсциссам.
3
-1
2
3) постройте график функции у  х  1  х  2
3
-1
2
-3
Самостоятельно изобразите на координатной плоскости множество точек (х; у),
удовлетворяющих равенству:
1) у  х;
3) у   х  2;
2) у  х  3;
4)
Ответы:
1)
у  2 х  3;
1
5) у   х  1;
3
6) у  2  х;
3)
7) у  1  х  3;
8) у  1  2 х  3.
5)
2
1
4
7)
-3
2
-4
2)
4)
6)
8)
3
3
-1,5
4
2
2
-2
1,5
17
И вообще, равенство у  в  ах  с изображается на координатной плоскости углом с
 с 
вершиной в точке   ; в  и сторонами, направленными вправо, если а>0, и влево, если
 а 
а<0. Если а = 0, то изображается параллельными прямыми у = в + с и у = в – с.
Проверочная самостоятельная работа.
Постройте график функции:
Ответы
1
1) у = 1 - х
1
6
2) у = 2 х  3
3
3
3) у = 2 х  3
-1,5
1,5
1
4) у = 1-2х
0,5
4
3
5) у = х 2  2 х  3
-3
3
8
6) у = х  6 х  8
2
-4
-2
0
2
4
7) у = х  2  3
3
1
-5
Блок III.
-2
0
1
Задачи с параметром и модулем.
Нестандартные задачи и модуль.
Задачи с параметром традиционно представляют для учащихся сложность в
логическом, техническом и психологическом плане. Однако, именно решение таких
задач открывает перед учащимися большое число эвристических приёмов общего
характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале.
18
Уравнение с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром.
Рассмотрим уравнения с параметром и модулем:
1. х
1)
2)
3)
2. х = - а
1) а > 0, нет решений;
2)а = 0, х = 0;
3)а < 0, х1 = -а, х2 = а.
=а
а < 0, нет решений;
а = 0, х = 0;
а > 0, х1 = а, х2 = - а.
3. х = -а2
1) а = 0, х = 0;
2) а  0, нет решений.
4. х + а = 0
1) а = 0, х = 0;
2) а  0, нет решений.
5. х  2  в
6.
1) в < 0, нет решений;
2) в = 0, х = 2;
1
а
2 х
х  2.
1) а  0, решений нет;
2) а > 0, то 2  х 
3)в> 0, х1 = в+2, х2 = 2-в.
1

2  х  а ,

2  х   1 ;
а

1
;
а
1

х  2  а ,

х  2  1 .
а

Проверим, нет ли таких а, при которых х = 2.
1
1
2   2, нет решений; 2   2, нет решений.
а
а
Таких а нет.
Ответ: при а  0 уравнение не имеет решений,
1
При а>0, х  2  .
а
6. Решите уравнение х 2  х  х  а  0.
I способ. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, тогда и только
тогда, когда каждое из них равно нулю.
при  а  0,х  0
 х  0
 х 2  х  0, 
Имеем, 
при  а  1,х  1
 х  1
 х  а  0;
 х  а;
при  а  1,а  0  решений  нет.

II способ. Графический.
Построим графики функций у  х 2  х и у   х  а .
у  х2  х
1
1
19
у  ха
Общие точки графиков функций у  х 2  х и у   х  а существуют в двух
случаях:
при а = 0, х = 0; при а = 1, х = 1.
Ответ: при а = 0, х = 0;
При а = 1, х = 1;
При а  1, а  0 решений нет.
8.Решите уравнение х  5  2в  8  0
Решение. х  5  2в  8
2в  8  0,

 х  5  2в  8,
 х  5  2в  8;

в  4,

 х  2в  3,
 х  2в  13;

в = 4, х = 5.
Ответ: если в = 4, то х = 5,
Если в > 4, то х1 = 2в – 3, х2 = -2в+13;
Если в < 4, то решений нет.
9. Решите уравнение х  а  х  4
Решение. (х – а)2 – (х+4)2 = 0,
(х – а + х + 4)(х – а – х – 4) = 0,
(2х – а + 4)(- а – 4) = 0,
2 х  а  4,
0 х  а  4;

а4
, 2) если а = - 4, то х  R, если а  4, тох  Ø
1) х 
2
Ответ. Если а = 4, то х  R,
а4
.
Если а  4, тох 
2
10. Для каждого значения параметра а найдите число корней уравнения
х  1  х  3  а.
Решение. Построим графики функций у  х  1  х  3 и у = а.
 х  1,
1  х  3,
 х  3,
1) 
2) 
3) 
 у  2 х  4;
 у  2;
 у  2 х  4.
у = а – семейство прямых, параллельных оси ОХ.
у= х  1  х  3
4
2
у=а
0 1
3
если а <2, то уравнение решений не имеет,
если а = 2, то множеством решений является отрезок 1;3,
20
если а > 2, то решений два.
11. Решите уравнение х  а  3  х.
Рассмотрим графики функций: 1) у = 3 – х,
2) у = х  а  - семейство прямых,
полученных сдвигом графика функции у  х вдоль оси ОХ.
1)
у = ха
а<3
3
если а < 3, то треугольник АВС – равно бедренный, т. к.  А =  С = 450,
ВН – высота и медиана, значит Н – середина
а3
АС, поэтому х =
2
В
С
А
Н
3
у=3–х
2) а = 3
графики совпадают при х  3
3
у=3–х
3) а > 3
решений нет
3
у=3-х
а3
;
2
При а = 3, х  3;
При а > 3, решений нет.
Ответ: при а < 3, х =
Неравенства с модулем и параметром.
Рассмотрим неравенства с модулем и параметром.
1. а х > 0
1) а  0, решений нет;
2) а >0, х – любое число не равное нулю.
7. а х  0
1) а < 0, х = 0;
2) а  0, х  R.
8. а х < 0.
21
1) а  0, решений нет;
2) а < 0, х – любое число не равное нулю.
4, а х  0.
5.
6.
1) а  0,.х  R ;
2)а > 0, х = 0.
х  3  а.
1) а < 0, х  R;
2) а = 0, х – любое число не равное 3;
 х  3  a,
 x  a  3,
3) а > 0, тогда 

 x  3  a;  x  3  a.
Ответ: а < 0, х  R;
при а = 0, х  R; х  3;
при а > 0, х   ;3  а   (3  а;).
х 5 2 а  0.
х 5  2a
1) а>2, х  R;
2) a = 2, x > 5 или x < 5;
 х  5  2  a,  x  7  a,
3) а<2, 

 x  5  a  2;  x  a  3.
Ответ: а>2, х  R;
a = 2, х  (;5)  (5;) ;
a < 2, , х   ; а  3  (7  а;).
Нестандартные задачи.
1.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у  х  5 и
у   х  3  х  3 
1) у  х  5
-5
5
5
2) у   х  3  х  3 
 x  3,

а) 
2x
 y  3 ;
 3  х  3,
б) 
 у  2;
-3
3
 х  3,

в) 
 2х
 у  3
3)
-5 -3
-2
3 5
А
В
-5 С
22
1
63  9
2
2. Сколько решений имеет уравнение х 2  4 х  m.
SABC =
Решим графически (аналитическое решение достаточно сложное).
1) у = х2 – 4х
2) у = х2 – 4 х
2
-4
4
-4
-4
3) у = х 2  4 х
4
-4
4
у = m – прямые, параллельные оси ОХ.
Ответ: если m < 0, то решений нет;
если m = 0, то три решения;
если 0<m<4, то 6 решений;
если m = 4, то 4 решения;
если m > 4, то 2 решения.
ху
3. Постройте график уравнения х  у  4 ху
2
2
Решение. 1) если х и у одного знака, то ху  ху и уравнение имеет вид:
х + у = 4, это окружность с центром (0;0), радиусом R = 2.
2) если х и у разных знаков, то ху   ху и уравнение имеет вид:
2
2
х2  у2 
1
1
, это окружность с центром (0;0) и радиусом R = .
4
2
2
0,5
-2
-0,5
2
4.Постройте график уравнения у  х  1.
Решение. Рассмотрим уравнение отдельно для каждой координатной четверти.
a. x > 0, у > 0: у + х = 1, у = 1 – х;
b. х < 0, у > 0: у = 1 + х;
c. х < 0, у < 0: - х – у = 1, у = - х – 1;
d. х > 0, у < 0: - у + х = 1, у = х – 1. График – квадрат.
Самостоятельно постройте графики зависимостей:
1) у  х  1
Ответы: 1)
2)
2) у = х  2  2 .
2
1
-1
-4
-2
0
2
4
23
5. Постройте график функции у 
1) x > 0, y = 1;
2) x < 0, y = -1
х
, х0
х
1
-1
6. Постройте график функции
у
х( х  1)
, х  1.
х 1
1) x > -1,y = x;
2) x < -1, y = -x.
-1
Самостоятельное моделирование.
Постройте графики зависимостей:
1) у  х 
Ответы:
х
1
х
-1
2) у  х  2  2  2
-6 -4 -2 0
2
4
6
2
3) у   х  1  2 х
1
1/3
4
4) у 
х 1
х 1
( х 2  4), х  1.
-2
1
2
-3
5
3
5) у 
х2
х2
(3  х), х  2.
-2
3
-5
2
2
6) х  у  2.
2
7)
-2
х  у  2.
-2
2
24
8) х  у  2.
9) х  у  2.
-2
2
10) х  у  2.
2
-2
-2
2
Тест.
Из пяти предложенных ответов выбрать один верный.
Зависимость
1
.
1
2
3
4
5
у  1 4 х
1
1
1
- 0,25
- 0,25
- 0,25
- 0,25
-2
2
.
у  1 4 х
2
1
1
1
- 0,25
- 0,25
- 0,25
- 0,25
-2
3
.
у  1  4х  2
2
1
1
1
- 0,25
- 0,25
- 0,25
- 0,25
-2
4
.
у  1  4х  2
1
2
- 0,25
1
1
1
- 0,25
- 0,25
- 0,25
5
.
у  1 4 х
2
1
- 0,25
1
1
- 0.25
- 0,25
- 0,25
25
Ответы.
Номер задачи
1
2
3
4
5
Номер правильного
ответа
4
3
5
3
2
Задачи, которые под силу далеко не каждому абитуриенту.
Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите
её площадь.
1. х 2  у 2  4 х
Решение. х 2  у 2  4 х  0,  х  2  у 2  4. Это два симметричных относительно
оси ОУ круга с центрами в точках (-2;0) и (2;0) и радиусом R = 2.
2
S = 2πR2 = 2πּ4 = 8 π.
2
2. 2 х  3  3 у  2  6.
Решение. Множество точек – ромб, полученный из ромба 2 х  3 у  6 путём
параллельного переноса точки пересечения диагоналей (0;0) в точку (3;2).
2
-3
0
3
-2
Диагонали ромба: d1 = 6, d2 = 4.
S = 1|2 d1d2 = 1|2ּ6ּ4 = 12.
 х 2  у 2  4,
3. 
 х  у  2 2 .
1-е неравенство – множество точек координатной плоскости, из которого вырезан
круг r=2 (без границы). Сторона квадрата, описанного около круга, равна 2r = 4, а
диагональ 2r 2  4 2. Координаты вершин квадрата ( 2 2 ;0), (0; 2 2 ), (- 2 2 ; 0), (0;2 2 ). Значит, неравенством х  у  2 2 изображён квадрат, описанный около круга х2
+ у2 = 4.
26
2
-2
2
S = а2 - π r2 = 42 -π·4 = 16 - 4π.
-2
2
2

( х  2)  ( у  2)  4,
4. 

у  х  2.
Первое неравенство задаёт на плоскости круг с центром (2;2) и r =2, второе –
внутреннюю область прямого угла с вершиной в точке (2;0).
2
1 2 1
1
1
π r + · 2 r · r = 2π · 4 + · 2· 4 = 2π +
2
2
2
2
4.
S=
2

( х  2)  у  4,
5. 

 х  у  2.
Первое неравенство задаёт на плоскости круг с центром (-2;0), r = 2, второе –
квадрат с вершинами в точках (2;0), (0;2), (-2;0), (0;-2).
2
2
-2
2
Sсектора =
1 2 1
π r = π·4 =π, т. к. r = 2,  = 900 (1/4 круга).
4
4
-2
27
Творческая домашняя работа.
По данному графику функции у = f(x) постройте графики:
1) у = f(х) + 1
2) у = f (х + 4)
3) у = f (x)
4) у = f ( x )
1
5) y = f ( x )
F
B
6) y = f(-x)
7) y  f (x) .
C
E
1
2
K
3
M
4
N
-1
A
D
2) Используя один из графиков, нарисуйте орнамент.
3) Докажите, что квадрат ABCD равновелик фигуре MEFKN.
4) В чём связь графика функции y = f(x), изображённой на рисунке и «геометрии
горящей свечи» (В чём связь, что символизирует, что напоминает)?
5) Дорисуйте любой из графиков до небольшого произведения искусства, ведь
истинное искусство без математики не обходится: красота и математика
идут рука об руку.
28