1. Найти точечную оценку дисперсии нормальной генеральной совокупности для данной выборки –2 –1 0 1 2 𝑋𝑖 2 2 1 3 2 𝑛𝑖 2. Методом максимального правдоподобия найти оценку параметра λ по данной выборке в предположении, что генеральная совокупность может быть описана непрерывной случайной величиной, плотность распределения которой 𝑓(𝑥) = 𝐴𝜆11⁄6 𝑥 10 𝑒𝑥𝑝(−𝜆1⁄3 𝑥 2 ) 1 3 5 7 9 𝑋𝑖 30 9 16 18 27 𝑛𝑖 3. Найти интервальные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности для данных результатов обработки выборки. Уровень значимости 𝛼 = 0,05, 𝑛 = 17, ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛𝑖 = 85, ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 𝑛𝑖 = 697. 4. С помощью критерия серий на уровне значимости 𝛼 = 0,2 проверить гипотезу о независимости элементов следующей выборки: 14, 11, 18, 13, 13, 16, 15, 11, 12, 14, 14, 17, 12, 17, 18, 13, 14, 15, 13, 13, 17, 18, 14, 14, 12, 16, 16, 11, 12, 14, 18, 18, 14, 12, 16, 14, 15, 14, 13, 16, 17, 11, 17, 16, 17, 15, 16, 18, 16, 14. 5. С помощью критерия 𝜒 2 на уровне значимости 𝛼 = 0,01 проверить гипотезу об однородности двух выборок 3 5 7 9 11 𝑋𝑖 (1) 18 29 21 9 9 𝑌𝑖 (2) 8 11 8 3 0 𝑌 𝑖 6. По данной выборке {12; −9; 0; −8; 8; −8; 0; 0; 12; 8} построить вариационный и статистический ряды, а также эмпирическую функцию распределения. 7. Дана выборка, для которой: 𝑛 = 23; 〈𝑋〉 = 0,1968355; 〈𝑋 2 〉 = 79,45874. Проверить гипотезу о числовом значении математического ожидания 𝐻0 : 𝜇 = −9 нормальной генеральной совокупности, из которой сделана данная выборка с уровнем значимости 𝛼 = 0,02. В качестве альтернативной выбрать гипотезу 𝐻1 : 𝜇 ≠ −9. 8. Методом моментов найти оценку параметров μ и σ нормального распределения по данной выборке 2 3 5 7 8 𝑋𝑖 2 2 3 2 1 𝑛𝑖 9. Известно, что 10% грецких орехов могут быть пустыми. Куплено 5 орехов. Найти вероятность того, что хотя бы 2 ореха не пусты. 10. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [3; 7]. Найти вероятность того, что при однократной выборке она попадет в пределы отрезка [4; 7]. 11. Среди 67 лотерейных билетов ровно 11 выигрышных. Найти вероятность выигрыша при покупке 5 билетов. 12. В первой урне 4 белых и 2 черных шаров, во второй – 5 белых и 9 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают 2 шара, после чего из второй урны наугад вынимают 2 шара. Эти последние шары оба оказались белыми. Какова вероятность того, что 2 шара, переложенных из первой урны во вторую, были оба белыми? 13. Дана функция распределения вероятностей случайной величины Х: 0, если 𝑥 < 1; 2𝑥 + 2 𝐹(𝑥) = { , если 1 ≤ 𝑥 ≤ 4; 21 1, если 𝑥 > 4. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х. Найти вероятность попадания Х в интервал (0; 2). Найти квантиль 𝑋0,18 уровня 0,18. 14. У фирмы есть возможность приобрести акции двух предприятий на общую сумму 175 денежных единиц. По оценкам экспертов, предприятия работают независимо, причем одно из них сулит в течение года доходность 16% с риском (среднеквадратическим отклонением) 0,03, тогда как другое – доходность 8% с риском 0,04 на единицу капитала. Как надо распределить средства, чтобы риск вложения был минимален? 15. Закон совместного распределения вероятностей случайных величин Х и Y задан таблицей X\Y 1 2 3 0 0,10 0,08 0,02 1 0,15 0,12 0,03 5 0,25 0,20 0,05 Определить, являются ли статистически независимыми случайные величины Х и Y? Ответ обосновать.