Нелинейный изгиб и устойчивость сферического сегмента

УДК 539.37
НЕЛИНЕЙНЫЙ ИЗГИБ И УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКОГО СЕГМЕНТА,
НАГРУЖЕННОГО ДАВЛЕНИЕМ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
М. С. Ганеева, В. Е. Моисеева
Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань, Россия
В работе изучается устойчивость и нелинейный изгиб тонкого упругопластического
сферического сегмента под действием давления сжимаемой жидкости. Приведены результаты
численного решения для оболочки с жестко заделанными и шарнирно закрепленными краями в
зависимости от условий постановки эксперимента.
1. Постановка задачи и метод решения. Рассматриваются нелинейный
осесимметричный изгиб и устойчивость тонкой сферической оболочки под действием
давления сжимаемой жидкости с выпуклой стороны оболочки. Невесомая сжимаемая
жидкость находится в герметически закрытой емкости с жесткими стенками (рис. 1).
Давление в емкости создается медленной подачей жидкости. Характеристики жидкости:
M 0 , V0 , p0 – масса, объем и давление в ненапряженном состоянии оболочки, m , v , p – масса
дополнительно поданной в емкость жидкости, соответствующее изменение объема емкости и
установившееся в ней давление.
Пусть давление p в емкости в процессе всего
x
нагружения изменяется по адиабатическому закону [1]
p  p0 ((1  m / M 0 ) /(1  v / V0 ))
(1)
где  – коэффициент адиабаты. Параметром нагружения
будет служить масса подаваемой в емкость жидкости m . В
случае малых деформаций можно принять
N
R

z
H0
s
H
0
m
sN
v  2  wrds ,
V0
Рис.2a1
(2)
0
где w(s ) – функция прогиба оболочки.
Используются соотношения теории оболочек Кирхгофа-Лява, описывающие
осесимметричное, моментное, геометрически и физически нелинейное напряженнодеформированное состояние сферической оболочки при умеренных поворотах [2] под
действием равномерного нормального давления
(3)
P  p  p0 ,
где p определяется по формулам (1) и (2). Выражения напряжений через деформации
представляются по теории малых упругопластических деформаций для сжимаемого
материала [3] с диаграммой линейного упрочнения. Для вектора разрешающих функций
Y  (T11* , Q1* , M 11 , P, u, w, 1 , B) , где
s
B( s )  2  wrds, B(0)  0, B( sN )  v –
(4)
0
функция, характеризующая изменение объема полости из-за прогиба оболочки, записывается
система уравнений нелинейного осесимметричного изгиба
dY
(5)
 A ( s )Y  F ( s, Y ), 0  s  sN .
ds
Здесь A ( s ) – матрица коэффициентов размерности 8×8, F ( s, Y ) – вектор геометрически
и физически нелинейных членов 8×1.
При s  0 используются предельные уравнения в полюсе [2] и граничные условия
Q1*  0, u  0, 1  0, B  0 .
(6)
У основания оболочки s  sN принимаются условия жесткой заделки
u  0, w  0, 1  0
(7)
или шарнирного закрепления
u  0, w  0, M11  0 .
(8)
К условиям при s  sN добавляется нелинейное условие, представляющее зависимость между
неизвестными P и v , приближенно следующую из (1) с учетом (3), (4):
P  p0 1  m M 0   v V0   p0  p0 1  m M 0  


(9)
 (  1)(  2)
2
3
  (  1)
 1 
 v V0  
 v V0   .
2
6


При численном решении вместо (9) могут быть реализованы крайние случаи
нагружения, когда происходит рост параметра нагрузки Pk 1  Pk  P, k  1, K или заданное
изменение объема оболочки в процессе деформации:
(10)
vi 1  vi  v, i  1, J .
Алгоритм численного решения нелинейной краевой задачи (5)–(9) слагается из
следующих основных этапов:
а) пошаговый процесс по ведущему параметру ml M 0 , l  1, L ;
б) на шаге ml M 0 использование метода линеаризации [2]:
dYl( q 1) 
dF(Yl( q ) )  ( q 1)
dF(Yl( q ) ) ( q )
(q)
  A( s ) 
Y

F
(
s
,
Y
)

Yl , q  0,
l
 l
ds
dY 
dY

(11)
dF
– матрица Якоби вектор-функции F( s, Y ) ;
dY
в) применение метода ортогональной прогонки [4] к линеаризованным уравнениям (11) на N
отрезках меридиана;
г) численное интегрирование интегралов по нормальной координате z по (M+1) слою по
толщине оболочки.
2. Пример и анализ результатов. Результаты расчетов приведены для пологого
сферического сегмента: R/h = 500, a/h = 63,246, H0/h = 4,016,  N  0,1268 , H/H0 = 2; 10.
Yl( 0)  Yl 1,
Представлены зависимости параметра нагрузки P E от максимального значения прогиба w h в
случае жестко заделанного основания (7) (рис. 2) и шарнирного закрепления (8) (рис. 3).
Задавались характеристики: E  19, 62 104 МПа ,   0,3 ,   0,9 ,  S  294,3 МПа ,   1, 4
(воздух),   7 (жидкость), p 0  0, 0981 МПа . Использованы следующие сокращения: Г –
геометрически нелинейное решение, ГФ – геометрически и физически нелинейное решение. На
рис. 2, 3 сплошными линиями изображены Г- и ГФ-зависимости P( w) при нагружении (10), то
есть без учета влияния сжимаемости жидкости на давление на оболочку. Штриховые линии 1–4
соответствуют скачкообразной потере устойчивости оболочки после достижения верхней
предельной нагрузки (точка Q) при учете сжимаемости жидкости (9). При этом для решения 1
H H 0  2 ,   7 , для решения 2 H H 0 =2,   1, 4 , для решения 3 H H 0  10 ,   7 , для
решения 4 H H 0  10 ,   1, 4 .
6
6
10 P/E
Q
3
2
Г ГФ
3
4
3
2
1
3
Q
5
ГФ
0
1
0
00
10  P/E
6
w/h
-3
Г
4
Г
3
2
6 ГФ
Г
0
Рис. 2
3
6
w/h
Рис.3
В случае граничных условий (8), по сравнению с условиями (7), прослеживаются
некоторые отличия. До достижения верхней предельной нагрузки наблюдается нагрузка
волнообразования с числом волн по параллели n  2 (точка 5). Нижняя критическая нагрузка
(точка 6) оказывается отрицательной и является поддерживающей. При деформировании
сегмента в условиях действия давления сжимаемой вязкой жидкости, находящейся в малом
объеме ( H H 0 =2,   7 ), не наблюдается скачкообразных переходов: процесс развивается по
кривой ГФ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильгамов М.А. Статические задачи гидроупругости. – Казань: ИММ КазНЦ РАН,
1994. – 208 с.
2. Ганеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения. – М.: Наука, 1992. – 161
с.
3. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч.I. Упругопластические деформации. – М.–Л.:
Гостехтеориздат, 1948. – 376 с.
4. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных
линейных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. – 1961. – Т. 16. – №
3. – С. 171–174.