оболочки вращения, частично заполненные жидкостью, при

ПРОБЛЕМИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МЕХАНІКИ
І МІЦНОСТІ КОНСТРУКЦІЙ
ISSN 2079–1836
2012, вип. 19
УДК 539.3
В. И. Гнитько, канд. техн. наук, У. Е. Огородник,
В. В. Науменко, канд. техн. наук, Е. А. Стрельникова, д-р техн. наук
ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ,
ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННЫЕ ЖИДКОСТЬЮ,
ПРИ СЕЙСМИЧЕСКИХ И ИМПУЛЬСНЫХ НАГРУЗКАХ
Предложен метод анализа динамического поведения оболочек вращения, частично
заполненных идеальной несжимаемой жидкостью, под действием сейсмических и
импульсных загрузок. Метод основан на сведении задачи об определении давления
жидкости на оболочку к системе сингулярных интегральных уравнений и решении
задача гидроупругости с помощью сочетания методов конечных и граничных
элементов.
Ключевые слова: оболочки вращения, сингулярные интегральные уравнения,
метод граничных элементов, метод конечных элементов.
Введение. Контейнеры и резервуары для хранения нефти и других легковоспламеняющихся и опасных жидкостей широко используются в различных областях инженерной практики, таких как авиастроение, химическая и
нефтегазовая промышленность, энергетическое машиностроение, транспорт. Эти резервуары функционируют в условиях повышенных технологических нагрузок и заполнены нефтью, легковоспламеняющимися или ядовитыми веществами. Аварийный риск при функционировании таких емкостей,
связанный с сейсмической опасностью, взрывами, другими форс-мажорными обстоятельствами, долгое время недооценивался во многих странах, в
частности, на Украине, вследствие недостаточной проработки проблемы.
Катастрофические последствия крупнейших землетрясений последних лет
привлекли внимание к теоретическим работам, посвященным оценке и мониторингу аварийного риска, как при сейсмических воздействиях, так и при
внештатных ситуациях на производстве. Актуальность таких исследований
подтверждается новыми картами сейсмической активности (сейсмическая
зона Вранча) и расположением крупных промышленных центров Украины в
зоне повышенной сейсмической опасности.
Постановка задачи и метод решения. Рассматривается задача о действии импульсных нагрузок на оболочку вращения с произвольным разветвленным меридианом при частичном заполнении жидкостью. Решение задачи состоит из нескольких этапов, каждый из которых представляет самостоятельную задачу. На первом этапе определяются частоты и формы колебаний
оболочки в вакууме. Вектор перемещений, представляющий собой решение
связанной гидродинамической задачи, ищется в виде линейной комбинации
собственных форм колебаний оболочки в вакууме. Далее, определяются частоты и формы свободных колебаний оболочки, содержащей жидкость. Гравитационные силы не учитываются. Жидкость рассматривается идеальная,
____________________________
 В. И. Гнитько, У. Е. Огородник,
В. В. Науменко, Е. А. Стрельникова, 2012
65
несжимаемая. Её движение, вызванное действием вынуждающей силы, начинается из состояния покоя, и вследствие теоремы Томпсона, является безвихревым. В этих условиях существует потенциал скоростей, удовлетворяющий уравнению Лапласа. На оболочку, кроме вынуждающей силы, действуют
силы давления со стороны жидкости. С использованием интеграла Коши−Лагранжа величину этого давления можно выразить через потенциал
скоростей. Для потенциала скоростей имеем граничное условие непротекания, связывающее его с нормальной составляющей перемещения. Потенциал скоростей также ищем в виде линейной комбинации решений краевых задач для уравнения Лапласа для каждой моды колебаний. Определение этих
потенциалов представляет собой второй этап решения связанной динамической задачи гидроупругости. Затем определяются частоты и формы колебаний жесткой оболочки с учетом гравитационных сил. Результирующий потенциал скоростей представляем в виде суммы двух потенциалов, соответствующих задачам определения частот и форм свободных колебаний жидкости
в жесткой оболочке и упругой оболочки с жидкостью без учета гравитационной составляющей. Интегрирование по объему жидкости сведено к интегрированию вдоль меридиана оболочки и радиуса свободной поверхности жидкости, т. е. является одномерным. Далее, приходим к системе дифференциальных уравнений второго порядка для решения задачи о вынужденных колебаниях оболочки, частично заполненной жидкостью. Третий этап решения
связанной задачи динамики состоит в численном решении полученной системы дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта.
Матричное уравнение движения оболочки, частично заполненной жидкостью, запишем в виде
LU  MU  Pl  Q ,
(1)
где L , M – матрицы жесткости и масс; U   u1 , u2 , u3  – вектор-функция
перемещений; Q  t  – вектор внешней нагрузки; P  t  – гидродинамическое
давление жидкости. Давление жидкости находим из интеграла КошиЛагранжа, который в линейном приближении имеет вид
P
P

   gz  0  as  t  x ,
l
t
l
(2)
где i – плотность жидкости; z – координата точки жидкости, отсчитываемая в вертикальном направлении; g – ускорение свободного падения,
as  t  x – ускорение горизонтального сейсма.
Обозначим смоченную поверхность оболочки через S1 , а свободную поверхность – через S0 . Пусть декартова система координат 0xyz связана с
оболочкой, свободная поверхность жидкости S0 в состоянии покоя совпадает с плоскостью x0 y . Считаем, что резервуар с жидкостью подвергается
динамическому воздействию. На смоченной поверхности упругой оболочки
требуем выполнения условия непротекания, на свободной поверхности
66
задаем динамическое и кинематическое граничные условия. Динамическим
граничным условием является равенство давления жидкости на свободной
поверхности атмосферному давлению, а кинематическое условие заключается в том, чтобы частицы жидкости, находящиеся на свободной поверхности жидкости в начальный момент времени, оставались на ней во все последующие моменты.
Таким образом, получаем следующую краевую задачу
LU  MU  l   gz  as t  x  Q ;
 w

, P  S1 ;
n t
 
  , P  S0 ;   g   as  t   0 , P  S0
n
для определения неизвестных функций U и  . Будем искать собственные
формы колебаний оболочки в жидкости в следующем виде
m
U  x, y , z , t  
 ck t  uk  x, y, z  ,
k 1
где функции uk ( x, y , z ) – собственные формы колебаний оболочки в вакууме, ck (t ) – неизвестные коэффициенты. Потенциал скоростей  представим в виде суммы двух потенциалов   1  2 . Для определения 1 сформулируем следующую краевую задачу:
 2 1  0 ,
1 w

, P  S1 , 1  0, P  S0 .
n
t
(3)
Здесь
m
w  x, y , z , t  
 wk  x, y, z  ck t  ,
k 1
функции wk ( x, y , z ) – нормальные компоненты собственных форм колебаний пустой оболочки. Отметим, что из соотношения (2) и второго из уравнений (3) следует, что
m
1 ( x, y , z , t ) 
 1k ( x, y, z) ck (t ) .
k 1
Для определения функций 1k имеем следующие краевые задачи:
 2 1k  0 ,
1k
 wk , P  S1 , 1k  0, P  S0 .
n
(6)
67
Потенциал 2 ищем в виде
n
2 ( x , y , z , t ) 
 d k (t )  2 k ( x , y , z ) ,
k 1
где функции 2k – собственные формы колебаний жидкости в жестком сосуде. Определим эти собственные формы. Для этого предварительно рассмотрим задачу
 2  0 ,

 
 0 , P  S1 ,
  , P  S0 ,   g   0 , P  S0 .
n
n
(4)
Последнее из уравнений (4) следует из динамического условия на свободной поверхности при отсутствии сейсмической составляющей. Дифференцируя это уравнение по t , приходим к уравнению для потенциала скоростей жидкости в жестком сосуде


 g
 0 , P  S0 .
n
Решение этой задачи ищем в форме ( x, y, z , t )  eit  ( x, y , z ) . Потенциал
, описывающий свободные гармонические колебания жидкости, является
решением следующей краевой задачи:
 2  0 ,

 2
 0 , P  S1 ,

 , P  S0 .
n
n
g
(5)
Её решение определяет ряд собственных чисел k и соответствующих им
собственных функций 2k . Решив задачу (5), будем искать 2 в виде
n
2 ( x , y , z , t ) 
 dk (t )  k ( x, y, z ) ,
2 k  x, y , z    k  x, y, z  .
k 1
Таким образом, получены представления для потенциалов 1 и 2 . При
этом потенциал   1  2 удовлетворяет уравнению Лапласа и граничному
условию непротекания на поверхности оболочки. На свободной поверхности
должны выполняться условия
 
  , P  S0 ;   g   as  t  x  0 , P  S0 .
n
Первое из этих условий дает
n

k 1
68
 k ( x, y , z ) 
dk (t )
 ;
n
n
 dk (t )
k 1
 k ( x, y, z )
.
n
(6)
Отсюда, подставляя представление для  во второе из уравнение (6), получим
n

dk (t ) 2k ( x, y, z)  g
k 1
m

ck (t )
k 1
1k ( x, y, z )
g
n
n
 dk (t)
k 1
2k ( x, y, z )
 as  t  x  0.
n
Используя соотношения, которым удовлетворяют функции 2k , приходим к
дифференциальным уравнениям
n

k 1
dk (t )  k2 d k (t ) 2 k ( x, y, z )  g


m
1k ( x, y , z )
 as  t  x  0 .
n
 ck (t )
k 1
(7)
Умножим уравнение (7) скалярно на функцию 2l . В силу ортогональности системы собственных форм колебаний жидкости в жестком сосуде получим следующие соотношения:
dl (t )  l2 dl (t ) 
g
 2l , 2l 
m
 1k

, 2l   as  t   x, l   0, l  1, 2.., n .
n

ck (t ) 
k 1
После определения функций 1k и 2k подставляем их в уравнение (1)
и получаем следующее дифференциальное уравнение:
n
 m

 m

 m

L
ck uk   M 
ck uk   l 
ck 1k 
d i 2i  gz  as  t  x   Q . (8)






i 1
 k 1

 k 1

 k 1





Пусть k , uk – собственные частоты и формы свободных колебаний
оболочки в вакууме. Имеют место следующие соотношения:
Luk  k2 Muk ,
( Muk , u j )   kj .
(9)
Умножив скалярно уравнение (8) на ui и принимая во внимание условия
формировки (9), получим следующую систему n  m дифференциальных
уравнений второго порядка:
n
m

c j  t   2j c j  t   l  ck 1k , u j 
di 2i , u j  g z , u j  as t  , u j  
 k 1

i 1
 
  

 




 Q, u j , j  1, m;
dl (t )  l2 dl (t ) 
g
 2l , 2l 
m
 1k

, 2l   as  t   x, l   0, l  1, 2,..., n.
n

 ck (t) 
k 1
69
Для решения связанной задачи гидроупругости необходимо определить
потенциалы 1 и 2 . Эти задачи сведены к решению систем сингулярных
интегральных уравнений [3, 4]. Для определения 1 получена следующая
система сингулярных интегральных уравнений:
R
21  z 0   1  z    z , z0  r  z  d   q     P, P0  d  



0
 w  z    P, P0  r  z  d 1 , P0  S1 ;


R

1  z    z, z0  r  z  d   q      P, P0  d  


,
0
(10)
 w  z    P, P0  r  z  d 1 , P0  S0 ,


где
  z , z0  
  r 2  r 2   z  z 2


z z
1 

0
0
E  k   F  k   nr  0
E   k  nz  ;

a b
a b

a  b  2r 


 
4
  P, P0  
4
ab
F  k  .
Для определения потенциала 2 требуется найти функции  k . Обозначим
через 1k значения функций  k на смоченной поверхности S1 и через 0k –
значения функций  k на свободной поверхности S0 . Используем прямую
формулировку метода граничных элементов. Опуская для удобства индекс
k , записываем следующую систему сингулярных интегральных уравнений:
21 

1
S1


S1
 1
2
  dS1 
n  r 
g
1
 1
 0 r dS0    0 z  r  dS0  0;
S0
 1
2
1   dS1  2 0 
n  r 
g
S0

S0
(11)
1
 0 dS0  0.
r
Для численного решения систем (10), (11) использован метод граничных элементов с постоянной аппроксимацией плотности [1, 2].
70
Численный эксперимент. В качестве примера приведем данные анализа сейсмического воздействия на жесткую цилиндрическую оболочку со
следующими параметрами: радиус R  1 м, толщина h  0, 01 м, высота
L  2 м, модуль Юнга E  2 105 МПа, коэффициент Пуассона   0, 3 , плотность материала   7800 кг/м3; плотность жидкости l  1000  кг/м3. На рис. 1
показаны акселерограмма землетрясения в Эль-Центро, США (9 баллов) и
свободная поверхность жидкости в начальный момент землетрясения.
Рис. 1 – Акселерограмма землетрясения
и свободная поверхность жидкости
в начальный момент времени
На рис. 2 изображена свободная поверхность жидкости в различные моменты времени, полученная описанным численным методом для анализа
динамического поведения колебаний жидкости в жестком резервуаре при
землетрясении, акселерограмма которого представлена на рис. 1.
Рис. 2 – Свободная поверхность жидкости в различные моменты времени
Решены также задачи о свободных и вынужденных колебаниях упругих и
жестких цилиндрических, конических и сферических оболочек с жидкостью.
Выводы. Таким образом, предположен метод анализа динамического поведения оболочек вращения, частично заполненных идеальной несжимаемой
жидкостью, под действием сейсмических и импульсных загрузок. Метод основан на сведении задачи об определении давления жидкости на оболочку к системе сингулярных интегральных уравнений и решении задача гидроупругости с
помощью сочетания методов конечных и граничных элементов.
71
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Бреббия К. Методы граничных элементов. / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. –
М. : Мир, 1987. – 524 с.
2. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в математической физике, теории упругости и дифракции волн / И. К. Лифанов. – М. :
ТОО «Янус», 1995.– 520 с.
3. Strelnikova E. Free and forced vibrations of the shells of revolution interacting with the
liquid / [E. Strelnikova, E. Yeseleva, V. Gnitko, V. Naumenko] // Proc. of XXXII Conference
“Boundary elements and other mesh reduction methods” WITPress, Transaction on Modeling
and Simulation. – 2010. – P. 203–211.
4. Ventsel E. S. Free vibrations of shells of revolution filled with a fluid. / [E. S. Ventsel,
V. Naumenko, E. Strelnikova, E. Yeseleva] // Engineering analysis with boundary elements. –
2010. – № 34. – P. 856–862.
Институт проблем машиностроения
им. А. Н. Подгорного НАН Украины,
Харьков, Украина
Поступила в редколлегию 02.03.2012
В. І. Гнітько, канд. техн. наук, У. Є. Огородник,
В. В. Науменко, канд. техн. наук, О. О. Стрельнікова, д-р техн. наук
ОБОЛОНКИ ОБЕРТАННЯ,
ЧАСТКОВО ЗАПОВНЕНІ РІДИНОЮ,
ПРИ СЕЙСМІЧНИХ ТА ІМПУЛЬСНИХ НАВАНТАЖЕННЯХ
Запропоновано метод аналізу динамічної поведінки оболонок обертання,
частково заповнених ідеальною нестисливою рідиною, під дією сейсмічних та
імпульсних навантажень. Метод засновано на редукції задачі визначення тиску
рідини на оболонку до системи сингулярних інтегральних рівнянь та розв’язанні
задачі гідропружності за допомогою поєднання методів скінченних та граничних
елементів.
Ключові слова: оболонки обертання, сингулярні інтегральні рівняння, метод
граничних елементів, метод скінченних елементів.
V. I. Gnitko, Associate Professor, U. E. Ogorodnyk,
V. V. Naumenko, Associate Professor, E. A. Strelnikova, Professor
PARTIALLY FILLED SHELLS OF REVOLUTION
UNDER IMPULSE AND SEISMIC LOADING
The method is supposed for analyzing the dynamical behavior of shells of revolution
partially filled with ideal incompressible liquid at impulse and seismic loading. The
method is based on reducing the problem of pressure definition to solution of the system
of singular integral equations with solving thereinafter the hydro-elasticity problem using
combination of finite and boundary element methods.
Keywords: shells of revolution, singular integral equations, boundary element method, finite
element method.
72