ivanov_sv - Саратовский государственный университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФИЗИЧЕСКИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИ
НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
С ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ ВНУТРИ НЕЁ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ
Ю. А. Блинков1, С. В. Иванов1, Л. И. Могилевич2
Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского
2
Московский государственный университет путей сообщения
(Поволжский филиал)
1
Волновые процессы в упругих оболочках, не взаимодействующих с
вязкой жидкостью, рассмотрены в [1-2].
Рассмотрим бесконечно длинную упругую цилиндрическую оболочку, внутри которой находится вязкая несжимаемая жидкость. Уравнения
движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в
цилиндрической системе координат r , , x записываются в случае осесимметричного течения в виде
V
1
1
 grad V 2  rotV  V  grad  p =  rot rotV ,
(1)
t
2

divV
= 0.
На границе с оболочкой выполняются условия прилипания жидкости и условия на оси
W
U
Vr = 
,x =
ïðè r = R1  W ; Vr ,Vx <  ïðè r = 0. (2)
t
t
Здесь t - время; Vr ,Vx - проекции вектора скорости жидкости на оси
цилиндрической системы координат; p - давление;  - плотность;  кинематический коэффициент вязкости; U - продольное упругое перемещение оболочек по оси x ; W - прогиб, положительный к центру кривизны оболочки; R1 - внутренний радиус оболочки.
Записывая уравнения движения элемента цилиндрических оболочек
в перемещениях для модели Кирхгофа-Ляве, считаем материал нелинейно-упругим с кубической зависимостью интенсивности напряжений  1 от
интенсивности деформаций e1 [3]
 1 = Ee1  me13.
(3)
Здесь E - модуль Юнга; m - константа материала, определяемая из
опытов на растяжение или сжатие.
Уравнения динамики физически нелинейных оболочек с учетом (3)
записываются в виде
Eh0  U 1 U 2 1 W 2 h0  2W 2
W
[
 ( )  (
)  ( 2 )  0 ]{1 
1   x x 2 x
2 x
24 x
R
4 m U 2 U W W 2
 2U

[(
) 
 ( ) ]}  0 h0 2 = qx .
3 E x
x R
R
t
Eh0 h0  2  2W U  2W
 W U

( 2 
) {
[

2
2
1  0 12 x x
x x
x x x
1 U
1 W 2 h0  2W 2
W
 ( )2  (
)  ( 2 )  0 ]{1 
2 x
2 x
24 x
R
4 m U 2 U W W 2
1
U

[(
) 
 ( ) ]}}  {0 [

3 E x
x R
R
R
x
1 U 2 1 W 2 h0  2W 2 W
 ( )  (
)  ( 2 ) ]  }{1 
2 x
2 x
24 x
R
4 m U 2 U W W 2
 2W

[(
) 
 ( ) ]}  0 h0 2 = qn .
3 E x
x R
R
t
(4)
Здесь 0 - плотность материала оболочки; 0 - коэффициент Пуассона; R - радиус срединной поверхности оболочки; h0 - толщина оболочки; c0 - скорость звука в материале оболочки; q x , qn - напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри кольцевого сечения.
Если снести напряжения на невозмущенную поверхность оболочек
W  R  , то можно считать, что поверхностные напряжения со стороны
жидкости определяются формулами
V 
  V V 

(5)
qx =    x  r  , qn =  p  2  r  .

r

x

r





r=R
r=R
Принимая за характерную длину - длину волны l , перейдем к безразмерным переменным для исследования уравнений (4)
c
x
E
W = wmu30 , U = umu10 , t * = 0 t , x* = , c0 =
,
l
l
0 1  02 
где c0 - скорость звука в материале оболочки.
Применяя методы возмущений, найдем связь
wml
u
u30 = 0 10 ,
um R

определим безразмерную скорость волны
c 2 = 1  02
(6)
(7)
и уравнение
2
2
2
 2u10 1 um 1  0 u10  2u10 1  R  0 1  0  4u10

  

  l
2
  2   l 
2
 4
2
2
2
2m  um 
2
2  u10   u10



  1  0  0  1  0 
2
E  l 
   
2

 2 1  2 0 
2
  hlR c
0 0
1 0
(8)
u10
= 0.

Здесь
 = x*  ct * , = t * ,
um
=  = o(1),
l
а  - малый параметр задачи.
Легко видеть, что замена
u10
= c ,  = c1 , t = c2

позволяет записать уравнение (8) в виде

  3

 6
 3  6 1 2
  = 0.
t
 

(9)
(10)
Здесь  = 1 (при 0 < 1/2 - неорганические материалы),  = 1
(при 0 > 1/2 - живые организмы) и  = 0 (при 0 = 1/2 - резина), а
2
2
2m  um 
2 c c1


1 =
1




.
 
0
0
E  l 
c2
Постоянные c, c1 , c2 определяются через физические константы задачи и  .
При отсутствии жидкости (  = 0) последнее слагаемое выпадает и
уравнение превращается в модифицированное уравнение Кортевега-де
Вриза, имееющее точное частное решение.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект 10-01-00177).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1999. 132 с.
2. Аршинов Г. А.,Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Двумерные уединенные волны в
нелинейной вязкоупругой деформируемой среде// РАН Акустический журнал.2000
.Т .46,№ 1 .с. 116-117
3. Москвитин В. В. Сопротивление вызко-упругих материалов. М.: Наука, 1972. 328 с
1.