Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Разработка урока по теме «Логарифмические уравнения», алгебра и начала анализа, 10 класс. Автор: учитель математики МАОУ СОШ №45 г. Калининграда Борисова Алла Николаевна. г. Калининград 2014 – 2015 учебный год Автор – Борисова Алла Николаевна Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 города Калининграда Предмет – математика (алгебра и начала анализа) Класс – 10 Тема – «Логарифмические уравнения» Учебно-методическое обеспечение: Алгебра и начала анализа, 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений, базовый уровень /Ш.А.Алимов и др., - 18 - е изд., - М.: Просвещение, 2013 г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений, базовый и профильный уровень /Ю.М.Колягин и др., - 4 - е изд., - М.: Просвещение, 2014 г. Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы - Microsoft Office Power Point 2007 Цель: систематизация и обобщение знаний по теме: «Решение логарифмических уравнений». Открытие нового метода решения логарифмических уравнений. Задачи урока: Образовательные: закрепление основных методов решения логарифмических уравнений, предупреждение появления типичных ошибок; применение обобщённых знаний, умений и навыков в новых условиях – создание проблемной ситуации с целью открытия нового метода решения логарифмических уравнений; совершенствование умения быстро и правильно решать логарифмические уравнения. Развивающие: развитие познавательного интереса к предмету. формирование ключевых и предметных компетентностей. развитие творческих способностей. развитие математически грамотной речи; развитие логического мышления. Воспитательные: воспитание познавательной активности, культуры общения, ответственности, самостоятельное развитие зрительной памяти; подготовка к сознательному восприятию учебного материала; формулирование мотивации желания работать на уроке; обоснование выбора методов, средств и форм обучения; оптимизировать обучение путем разумного сочетания и соотношения методов, средств и форм, направленных на получение высокого результата за время урока. Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал. Тип урока: комбинированный. Структура урока: № n/n Название этапа урока Время 1 Организационный момент. 1 мин 2 Проверка домашнего задания. 7 мин 3 Повторение теории. 2 мин 4 Повторение методов решения логарифмических уравнений. 5 мин 5 Введение нового материала. 12 мин 6 Физкультминутка. 2 мин 7 Закрепление изученного материала. 15 мин Подведение итогов урока. 1 мин Целесообразность использования медиа продукта на занятии продиктована интенсификацией учебно-воспитательного процесса: улучшением наглядности изучаемого материала, увеличением количества предлагаемой информации, уменьшением времени подачи материала; повышением эффективности усвоения учебного материала за счет групповой и самостоятельной деятельности учащихся. Обоснование выбора форм и методов работы на уроке по теме «Логарифмические уравнения» и методические рекомендации по применению презентации на уроке. Тема «Логарифмические уравнения» является одной из ключевых тем по алгебре и началам анализа и входит в тему «Логарифмическая функция» по авторскому планированию Ш.А.Алимова. На её рассмотрение отводится 4 часа. Кроме того, в заданиях ЕГЭ прошлых лет указанная тема встречается довольно часто и вызывает сложность при усвоении, а метод логарифмирования при решении уравнений рассматривается недостаточно полно. Поэтому предлагаемые формы и методы работы по данной теме способствуют отработке навыков решения логарифмических уравнений. Задания, предложенные на уроке, подбирались с учетом возрастных особенностей учащихся и способствуют развитию логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях с учетом меж предметных связей при решении задач практического содержания. Предложенные формы и методы применяются для групповой, самостоятельной и фронтальной работы. И последнее примечание: все учащиеся класса с начала учебного года разделены на три группы: группа А – самые «слабые» учащиеся, группа В – «средние» учащиеся, группа С – учащиеся с высоким уровнем обученности по предмету. Ход урока. I. Организационный момент. 1) Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность данной темы (слайд №1). 2) Учитель: Ребята, к сегодняшнему уроку я подобрала высказывание современного польского математика С. Коваля: «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы» (слайд №2). Думаю, что эти слова будут помогать нам в нашей с вами работе. 4) На слайде №3 приводится план работы на уроке по данной теме. План урока. 1. Проверка домашнего задания. 2. Повторение. 3. Открытие нового знания. 4. Закрепление. II. Проверка домашнего задания. 1) 2 уч-ся оформляют самостоятельно на доске номера из домашней работы №344(2): 𝑥−1 𝑙𝑜𝑔2 𝑥+4 + 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 4) = 2; 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥−1)(𝑥−1)(𝑥+4) 𝑥+4 = 2𝑙𝑜𝑔2 2; 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − 1)2 = 𝑙𝑜𝑔2 22 ; (𝑥 − 1)2 =4; 𝑥 − 1 = 2 или 𝑥 − 1 = −2 𝑥=3 𝑥 = −1. Проверка: 3−1 1) 𝑥 = 3; 𝑙𝑜𝑔2 3+4 + 𝑙𝑜𝑔2 (3 − 1)(3 + 4) = 2; 𝑙𝑜𝑔2 4 = 2. −1−1 −2 2) 𝑥 = −1; 𝑙𝑜𝑔2 −1+4 + 𝑙𝑜𝑔2 (−1 − 1)(−1 + 4) = 2; 𝑙𝑜𝑔2 ( 3 ) + 𝑙𝑜𝑔2 (−6) = 2 − не имеет смысла. Ответ: 3. №348(2): 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑥 2 = 2,5; О.Д.З: { 𝑥>0 ; 𝑥≠0 𝑙𝑜𝑔 2 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2𝑥 − 2,5 = 0; 2 1 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 2𝑥 − 2,5 = 0; 𝑙𝑜𝑔22 𝑥 − 2,5𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 1 = 0; Введём новую переменную 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥, 𝑡 ∈ 𝑅. Получим: 𝑡 2 − 2,5𝑡 + 1 = 0; 1 𝑡 = 2 или 𝑡 = 2; Вернёмся к исходной переменной: 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 2; 𝑥 = 4; 1 или 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 2 ; 𝑥 = √2. Оба корня удовлетворяют О.Д.З 1 Ответ: 2 ; √2. 2) В это время на экране появляются решения других домашних номеров (в некоторых допущены ошибки). Учащиеся после обсуждения в парах реагируют (либо соглашаются, либо нет), фронтально обсуждаются ошибки (слайды № 4, 5). Проверь домашнюю работу! №343 (2): 2) log 4 x 2 3; log 4 x 2 3log 4 4; log 4 x 2 log 4 43 ; x 2 64; x 8. Ответ: 8 №345 (2): 2 2) 2log x 5log x 400; О. Д .З. : x >0; 22log x 5log x 400; 3 3 3 3 (4 5)log3 x 202 ; 20log3 x 20 2 ; log 3 x log 3 32 ; x 32. x 9. Ответ: 9 Проверь домашнюю работу! №347 (1): 1) О. Д .З. : x >0; y >0. lg x lg y 7 lgx lg y 5; 2 lg x 12 lgx lg y 5; lg x 6 6 lg y 5; lg x lg 10 6 lg y lg 10 1 ; x 1000000 . y 10 Ответ: (1 000 000;10) III. Повторение. 1) Фронтальная устная работа с классом (слайд №6). Устная работа •Что понимают под логарифмическим уравнением? •Что называется корнем уравнения? •Что значит «решить уравнение»? •Какие уравнения называются равносильными? •Что такое потенцирование? •Обязательной ли является в общем случае проверка найденных значений неизвестного по условию уравнения? •Какие свойства логарифмов вам известны? 2) Математический диктант с последующей взаимопроверкой (ответы: да – 1, нет – 0) (слайд №7). Диктант (ответы: да – 1, нет – 0) Верно ли утверждение? 1. Если 2 x 7 , то x log 2 7 2. Если log 3 x 3 , то x = 9 3. Если log x 64 2 , то x = 8 4. Если 3 x 5 , то x log 5 3 5. Если log 7 42 x , то x =-2 6. Если log 2 x 4 , то x = 16 Далее – обсуждение ошибочно указанных утверждений и исправление их с помощью учащихся на слайде (ошибки в равенствах 2, 4 и 5). 3) Далее к доске выходят 2 учащихся и объясняют решение домашних номеров: №344(2) и №348(2), которые оформляли на доске. 4) Разбейте уравнения на группы по способу решения (слайд №8). Проверь себя! log3(x²-3х+1)= log3(2x-3) Используя свойства логарифма lg(x + 3)lg(3x - 5) = 0 Графический log2(x+1)=-2x+3 По определению логарифма log5( x-2 )= 1 log3(x+6)+ log3(x-2)=2 log22x - log2x - 2 = 0 2lg(2x-1)- lg2(2x-1)= 0 xlgx=100x Потенциирование Введение новой переменной Разложения на множители IV. Введение нового материала. 1) В ходе решения уравнений ученики сталкиваются с проблемой. Они не знают, как можно решить последнее уравнение. На основе затруднения учащимся предлагается сформулировать цель урока и задачи для достижения этой цели (слайд № 9). 2) Проблемная беседа. - Назовите проблему. (Не хватает изученных методов для решения последнего уравнения.) - Какую цель ставите перед собой? (Открыть новый метод решения логарифмических уравнений.) 3) Учащиеся работают в группах с заданием решить уравнение x lgx=100x; При необходимости учитель отдельным группам делает подсказку: как lg x можно сделать из показателя степени множителем? ( Вспомните свойство логарифма). Ученики, открывшие новый метод, комментируют его на исходном примере (слайд № 9). Новый метод называется логарифмированием. V. Физкультминутка. Один учащийся выходит к доске и предлагает простые упражнения для шеи, рук и спины. VI. Закрепление изученного материала. 1) Обобщение результата исследовательской деятельности учащихся. Итог работы на данном этапе – это формулировка алгоритма решения уравнений методом логарифмирования учащимися (слайд № 10). Метод логарифмирования. При решении логарифмических уравнений часто используется операция логарифмирования,т.е переход от уравнения log a f x log a g x к уравнению f x g x Следует иметь ввиду, что такой переход в общем случае может привести к потере корней, поскольку сужает область допустимых значений переменной. На множестве, определенном условиями f x 0, g x 0 уравнения log a f x log a g x равносильны. 2) Первичное закрепление. и f x g x 2 уч-ся с комментированием решают методом логарифмирования уравнения на доске (слайд № 11, 12). Первичное закрепление Xlgx+2 = 1000 1)ОДЗ: Х>0 2) Т. к. обе части уравнения положительны, то логарифмируя их по основанию 10, получим: lgxlgx+2 = lg1000 ( lgx+2)·lgx=lg1000 lg2x+ 2lgx- 3=0 lgx=y 2 у + 2у- 3=0 y=- 3 или у=1. lgx=- 3 или lgx=1, x=10-3=0,001 x=10 Ответ: 0,001; 10. Первичное закрепление xlоg5x=x10 1)ОДЗ: х>0 2) Т. к. обе части уравнения положительны, то прологарифмируя их по основанию 5, получим lоg5xlоg5x=lоg5x10; lоg25х = 10lоg5x; lоg25х -10lоg5x =0; lоg5x(lоg5x -10) =0; lоg5x =0 или lоg5x = 10; х =1 или х = 5 10 . Ответ: 1; 5 10 3) Самостоятельная работа по теме урока. А) Группа А («слабые» учащиеся). Работают самостоятельно, при необходимости подзывают учителя и получают необходимые им консультации(эти задания представлены на слайде № 13) . Решите уравнения методом логарифмирования 1) x2lgx=100 2) x0,5lgx=0,01x2 3) X2log3x=3log33x 14 После окончания работы взаимопроверка (слайд № 14, 15, 16). Решите уравнения методом логарифмирования 1) x2lgx=100 1)ОДЗ: х>0 2) Т. к. обе части уравнения положительны, то прологарифмируя их по основанию 10, получим 2lgx·lgx=lg100; 2lg2x=2; lg2x=1; lgx=1 или x=10 lgx=-1; x= 0,1 Ответ: 1; 5 10 Решите уравнения методом логарифмирования 2) x0,5lgx=0,01x2 1)ОДЗ: х>0 2) Т. к. обе части уравнения положительны, то прологарифмируя их по основанию 10, получим lgx0,5lgx=lg0,01x2; 0,5lgxlgx – (-2+2lgx)=0 0,5lg2x - 2lgx+2=0 lg2x - 4lgx +4 =0 (lgx -2)2=0 lgx =2 х=100 Ответ:100 Решите уравнения методом логарифмирования 3) X2log3x=3log33x 1)ОДЗ:х>0 2) Т. к. обе части уравнения положительны, то прологарифмируя их по основанию 3, получим log3X2log3x=log33log33x 2log3x·log3x=log3(3x)·log33 2log32x = 1+log3x 2log32x -1-log3x=0 X=10 или х=3-0,5 Х=√3/3 Ответ: 10; √3/3 Б) Группа В («средние» учащиеся). Работают самостоятельно (по необходимости пользуются помощью учителя или соседа по парте) по карточкам. 3 уч-ся работают на откидной доске (она закрывается, и все остальные учащиеся не видят того, что пишет ученик у доски). Задания по теме «Решение уравнений методом логарифмирования» (10 класс, уровень В). № 1. ( x )log5x-1=5; № 2. X2log16x= 64 ; x № 3. X2log3x=3log33x. Решение: № 1. ( x )log5x-1=5; ОДЗ: x>0 Логарифмируем по основанию 5: (log5x-1)log5 x =1; (log5x-1)log5x=2; log 52 x-log5x-2=0; log5x=2 или log5x=-1 1 x= . 5 x=25 Ответ: 1 ; 25. 5 № 2. X2log16x= 64 ; ОДЗ: x>0 x Логарифмируем по основанию 4, предварительно преобразовав уравнение x log4x= 1 log 24 x=3- log4x; 2 2 log 24 x+log4x-6=0; log4x= -2 или log4x= x= 1 16 Ответ: 3 2 x=8. 1 ; 8. 16 № 3. X2log3x=3log33x ; ОДЗ: x>0 Используя основное логарифмическое тождество, преобразуем уравнение к виду: x2log3x=3x и логарифмируем по основанию 3, получим: 2log 32 x=1+log3x; 2log 32 x-log3x-1=0; 1 log3x=1 или log3x=- ; 2 64 x x=3 x= 3 3 3 ; 3. 3 Ответ: По окончании – фронтальная проверка: 3 других уч-ся комментируют решения, предложенные уч-ся на доске. Учитель проверяет правильность выполнения задания. Б) Группа С («сильные» учащиеся). Получают задания – карточки. Работают самостоятельно, учитель оказывает помощь, если понадобиться. Задания по теме «Решение уравнений методом логарифмирования» (10 класс, уровень С). № 1. 3 x 2 lg x = x 10 ; lg x № 2. log5 x6∙5log1/x5= 11 11 5 ; № 3. x log2 x 98 ∙ 14 log 7 =1 2 Решение: № 1. 3 x 2 lg x x lg x = 10 ; ОДЗ: x>0 Логарифмируем по основанию 10: 2lg3x∙lgx-lgx∙lg x 3 =lg 10 ; 2lg4x - 3 2 1 lg x - =0; 2 2 4lg4x - 3lg2x - 1=0; Пусть lg2x=t; где t 0 4t2-3t-1=0 1 t=1 или t= - не удовл. условию t 0. 2 lg2x=1 lgx=1 или lgx=-1; x=10 x= Ответ: 1 . 10 1 и 10. 10 № 2. log5 x6∙5log1/x5=11 11 5 ; ОДЗ: x>0 x6∙5log1/x5= 115 log 5 ; 11 1 x ∙ 5 logx 5 6 =5-5; Логарифмируем по основанию 5: 1 log5x6+logx5∙log5 =-5; 5 6log5x- 1 +5=0; log 5 x 6log 52 x+5log5x-1=0; log5x= 1 или log5x=-1; 6 1 x= ; 5 x= 6 5 Ответ: 1 ; 5 6 5. № 3. x log2 x 98 ∙ 14 log2 7 =1; ОДЗ: x>0 Логарифмируем по основанию 2: log2 x log2 x 98 +log214log27=0 (log2x-log298)∙log2x+log27∙(log27+log22)=0 (log2x-2log27-1)∙log2x+log27∙(log27+1)=0 log 22 x-(1+2log27)log2x+log 22 7+log27=0 Решаем его как квадратное уравнение: Д=(1+2log27)2-4log 22 7-4log27=1+4log27+4log 22 7-4log 22 7-4log27=1; log2x= 1 2 log 2 7 1 1 2 log 2 7 1 или log2x= ; 2 2 log2x=log214 log2x=log27; x=14 x=7. Ответ: 7 и 14. Ученик, решивший уравнение первым, оформляет решение на доске. VII. Подведение итогов урока, выставление отметок. (слайд № 17) Рефлексия (итог урока) • Какую цель ставили перед собой на уроке? • Cмогли ли её достичь? • Оцените свою деятельность на уроке. • Какой вид деятельности вам больше понравился? VIII. Домашнее задание ( по карточкам) Решите уравнение (1—5) методом логарифмирования. 1. 𝑥 𝑙𝑔 3 𝑥−5𝑙𝑔𝑥 2. 𝑥 2−𝑙𝑔 3. 𝑥 = 0,0001; 2 𝑥−𝑙𝑔𝑥 2 2𝑙𝑔2 𝑥 1 = ; 𝑥 = 10𝑥 3 ; 4. (𝑥 + 7)lg(𝑥+7) = 10; 2 5*. 6𝑙𝑜𝑔6 𝑥 + 𝑥 𝑙𝑜𝑔6𝑥 = 12 (уровень С).