4.3 Лабораторная работа № 3 «Частотные характеристики типовых динамических звеньев» Целью работы является исследование частотных характеристик типовых динамических звеньев первого и второго порядков и определение их устойчивости по виду частотных характеристик. 4.3.1 Частотные характеристики В теории управления частотные методы анализа и синтеза основаны на исследовании реакции системы на гармоническое воздействие [4]: U вх (t ) U Авх sin t Re(U Авхе jt ) . (4.3.1) где: U Авх – амплитуда входного сигнала, - угловая частота. После окончания переходного процесса, вызванного U в х (t ) , на выходе системы установятся гармонические колебания той же частоты , но имеющие другую амплитуду U A вых и фазовый сдвиг : U вых (t ) U A вых sin t ( ) Re(U A выхе j t ) . (4.3.2) В общем случае передаточная функция имеет вид: B( S ) b0 s m b1 s m1 ... bm1 s bm W (S ) . A( S ) a0 s n a1 s n 1 ... an 1 s an (4.3.3) и, соответственно, дифференциальное уравнение: (a0 p n a1 p n1 ... an1 p an ) U вых (t ) . (4.3.4) (b0 p m b1 p m1 ... bm1 p bm ) U вх (t ) Подставив в уравнение (4.3.4) выражения (4.3.1 - 4.3.2) и выполнив ряд преобразований, получим: jt ( ) n n1 a0 ( j ) a1 ( j ) U A выхe ... an1 ( j ) an U вх е jt b0 ( j )m b1 ( j ) m1 ... bm1 ( j ) bm . (4.3.5) Анализируя уравнения (4.3.4) и (4.3.5) можно записать: A( j ) U A выхе j (t ) B( j ) U Авхe jt или W ( j ) B( j ) , A( j ) W ( j ) U A вых е j ( ) . (4.3.6) U A вх Таким образом, амплитудно–фазовую частотную характеристику (АФЧХ) , иначе комплексный частотный коэффициент – W ( j) , можно получить через передаточную функцию W (s ) : при s j , W (s) W ( j) , W ( j ) P( ) jQ( ) H ( )e j ( ) , где: P( ) , Q( ) – соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики; H ( ) , ( ) – амплитудная и фазовая частотные характеристики. Запишем выражения, позволяющие определить частотные характеристики, изменяя частоту от 0 до ∞: U A вых (i ) - коэффициент передачи на частоте i ; (4.3.7) H (i ) U A вх (i ) H ( ) W ( j ) P 2 ( ) Q 2 ( ) ; (4.3.8) Q( ) ( ) argW ( j ) arctg ; (4.3.9) P( ) АФЧХ W ( j ) в комплексной плоскости (см. рис.4.3.1) представляет годограф, который рисуется концом вектора H ( ) при изменении частоты от 0 до ∞ [6]. Q( ) P(2 ) P( ) (2 ) H(2 ) Q(2 ) 1 0 2 Рис. 4.3.1.Амплитудно-фазовая частотная характеристика W j На практике для построения частотных характеристик используют логарифмический масштаб, рисунок 4.3.2, где: L( ) – логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ); L( ) 20 lg H ( ) ; ( ) – логарифмическая фазовая L( ), Дб 40 20 lg K 20 0 1 2 lg( ) 1 2 lg( ) ( ), градус 0 -90o -180 o Рис. 4.3.2. ЛАЧХ - L( ) и ЛФЧХ - ( ) частотная характеристика (ЛФЧХ). ЛАЧХ L( ) и ЛФЧХ ( ) можно построить, не только используя формулы (4.3.8) - (4.3.9), но и по виду передаточной функции, разбив ее на типовые динамические звенья. АФЧХ последовательно соединенных звеньев можно представить так: W ( j ) H1 ( ) e j1 ( ) H 2 ( ) e j2 ( ) ... H N ( ) e jN ( ) N H i ( ) exp j1 ( ) j 2 ( ) ... j N ( ) ; i 1 Следовательно, и ЛАЧХ, и ЛФЧХ последовательно соединенных типовых звеньев, построенных в логарифмическом масштабе, складываются. Диаграмма Найквиста, ЛАЧХ, ЛФЧХ устойчивых и не устойчивых звеньев и систем имеют характерные отличительные характеристики. Одной из задач выполнения данной лабораторной работы является уяснение характерных признаков частотных характеристик устойчивых и не устойчивых звеньев и систем. Для уяснения этих признаков все частотные характеристики должны сопровождаться переходными характеристиками, позволяющими легко определить устойчивость звеньев и систем. 4.3.2 Программа работы 1. Составить схему моделирования апериодического звена первого порядка, изображенную на рисунке 4.1.1. 2. Коэффициент «с» задать равным 2. 3. Провести исследование модели при коэффициенте «а», равном 1, K ии s Рис. 4.1.1. - Схема моделирования апериодического звена первого порядка 0.5 и -1. Получить графики h(t ) , H () - диаграмму Найквиста, логарифмические частотные характеристики – L( ) , ( ) , расположение корней на комплексной плоскости. 4. Сделать выводы по полученным графикам, оценить устойчивость звена. Определить коэффициент передачи для «а» = 1. 5. Составить схему моделирования интегро-дифференцирующего звена, изображенную на рисунке 4.1.2 при «с»=10. K ии s Рис. 4.1.2. - Схема моделирования интегро-дифференцирующего звена 6. Провести исследование модели по диаграмме Найквиста при коэффициенте «а», равному 1 и -1. 7. Сделать выводы по полученным графикам, оценить устойчивость звена. 8. Составить схему моделирования апериодического звена второго порядка, изображенную на рисунке 4.2.1. K ин s K ин s Рис. 4.2.1. - Схема моделирования динамического звена второго порядка 9. Провести исследование модели по временным – h(t), логарифмическим частотным характеристикам – L( ) , ( ) и 10. диаграмме Найквиста, используя перебор коэффициентов K1 и K 2 представленного в таблице 4.3.1. Таблица 4.3.1 Номер « K1» « K2 » эксперимента 1 5 10 2 10 5 3 10 100 11. Сделать выводы по полученным графикам, оценить устойчивость звена. Почему диаграммы Найквиста устойчивых звеньев начинаются при 0 с точки с координатами [Кстат, j=0] ? 12. Составить схему моделирования апериодического звена второго порядка с коэффициентами обратной связи a 1 и a 2 , изображенную на рисунке 4.2.2. K ии s K ии s Рис. 4.2.2. - Схема моделирования динамического звена второго порядка с коэффициентами обратной связи a1 , a 2 . 13. Выставить в блоках модели следующие коэффициенты: « K 1 »=5, « K 2 »=10. 14. Провести исследование модели по временным – h(t), логарифмическим частотным характеристикам – L( ) , ( ) и диаграмме Найквиста, используя перебор значений коэффициентов « a1 » и « a 2 » согласно таблице 4.3.2. Таблица 4.3.2 Номер « a1 » « a2 » эксперимента 1 -1 1 3 1 1 3 1 -0.5 15. Сделать выводы по полученным графикам, оценить устойчивость звена. 4.3.3 Контрольные вопросы 1. Как по АФЧХ (диаграмме Найквиста) определить коэффициент передачи Кстат.. 2. В каком квадранте комплексной плоскости подойдет к началу координат годограф WPC ( j ) системы, если порядок числителя передаточной функции m =1, а порядок знаменателя n =4.