Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения»,

Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения»,
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
2-ой семестр 2012-2013 уч. года.
Интегрирование линейных однородных уравнений n-го порядка с постоянными
коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений.
Интегрирование линейных неоднородных уравнений n-го порядка с постоянными
коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов.
Уравнение Эйлера.
Интегрирование уравнений n-го порядка. Метод понижения порядка.
Зависимые и независимые интегралы системы дифференциальных уравнений (СДУ).
Сведение СДУ к равносильному уравнению и обратная задача.
Теорема Пикара для СДУ.
Следствия из теоремы Пикара.
Теорема о непрерывной зависимости решения СДУ от параметров.
Теорема о непрерывной зависимости решения СДУ от начальных условий.
Теорема о существовании общего решения СДУ.
Лемма об элементарной мажоранте.
Теорема Коши о существовании голоморфного решения СДУ.
Линейная СДУ и её свойства.
Фундаментальная матрица линейной СДУ и ее свойства.
Линейная неоднородная СДУ. Общее решение и решение в форме Коши.
Представление фундаментальной матрицы в случае, когда матрица системы
перестановочна со своим интегралом (случай Лаппо-Данилевского).
At
Интегрирование линейной стационарной системы с помощью матрицы e .
Особые точки. Узел и седло.
Особые точки. Центр и фокус.
Особые точки. Вырожденный и дикритический узел.
Особые точки. Случай нулевых собственных чисел.
СДУ с периодическими коэффициентами. Теорема Ляпунова – Флоке.
Периодические решения уравнения 2-го порядка. Случай единственного
периодического решения.
Периодические решения уравнения 2-го порядка. Семейства периодических решений.
Случай отсутствия периодических решений у уравнения 2-го порядка.
Метод малого параметра. Нерезонансный случай.
Метод малого параметра. Резонансный случай. Резонанс n-го рода.
Метод малого параметра. Автономный случай.
Понятие о предельном цикле..
Литература.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу диф. уравнений.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных диф. уравнений.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные диф. уравнения.
Степанов В.В. Курс диф. уравнений.
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Лектор
О. Н. Чижова