Формирование случайных процессов с заданными

1
Заглавие документа
Овсянников А.В. Формирования случайных процессов с заданными
вероятностными характеристиками // Труды БГТУ. Сер. физ.-мат. наук и
информ. Вып.X. 2002 С.133-136
Авторы:
Тема:
Овсянников Андрей Витальевич
Теория вероятностей и математическая статистика
Дата публикации: 2002
Издатель:
университет
УО Белорусский государственный технологический
Аннотация: В статье рассмотрена задача формирования случайных
процессов с заданными вероятностными характеристиками. Задача имеет
ряд важных практических приложений: от тестирования каналов связи до
анализа поведения сложных систем при «нестандартных» возмущающих
воздействиях.
Формирование случайного процесса производится на основе
стохастического дифференциального уравнения (СДУ). Нелинейные
функции, входящие в СДУ однозначно определяются коэффициентами
сноса и диффузии, которые входят в уравнение Фоккера-ПланкаКолмогорова (ФПК). Если из каких-либо соображений задаться одним из
коэффициентов (сноса или диффузии) другой может быть однозначно
определен по уравнению ФПК при заданной плотности распределения
вероятности (ПРВ) случайного процесса. Рассмотрен вариант решения
задачи, когда коэффициент диффузии является постоянной величиной.
Получены выражения для СДУ содержащие ПРВ.
Найденные выражения для СДУ позволяют разработать структурные
схемы в системе Simulink Matlab для моделирования процессов с заданной
ПРВ.
Приведен пример моделирования случайного процесса с
обобщенной гауссовской ПРВ. Достоверность результатов оценивается с
помощью полученных гистограмм распределений.
2
УДК 621
А.В.Овсянников, доцент
ФОРМИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ЗАДАННЫМИ
ВЕРОЯТНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
The paper is dedicated to the task of creation and simulation of stochastic of processes with
the given probability characteristics. The creation of stochastic process is yielded on the basis of the
stochastic differential equation, the parameters which one are defined through a density function of
probability. The example of simulation of stochastic process is reduced.
Задача формирования случайных процессов с заданными вероятностными
характеристиками имеет ряд важных научно-практических приложений, таких, как
имитация и тестирование каналов связи, включая проводные; анализ устойчивости
сложных многопараметрических систем управления при “нестандартных”
возмущающих воздействиях; анализ поведения объекта при различных входных
воздействиях и т.д.
В основе наиболее распространенного метода формирования случайных
процессов с заданными характеристиками лежит преобразование некоторого исходного
случайного процесса (обычно нормального) с помощью линейной инерционной и
нелинейной безынерционной цепей или нелинейной инерционной цепи. Этот метод
является частным случаем формирования процессов на основе стохастических
дифференциальных уравнений (СДУ) [1]
dy t
dt
f t, y
g t, y n y t ,
(1)
где для симметризированного СДУ коэффициенты сноса и диффузии определяются
через нелинейные функции:
a t, y
b t, y
f t, y
1
b t, y ,
4 y
1
N y g 2 t, y ,
2
(2)
1
N y t 2 t1 .
2
Здесь N y – односторонняя спектральная плотность.
Если относительно процесса y t
известна плотность распределения
вероятностей (ПРВ) P t , y , то функции f , g a , b необходимо найти. Эта задача
не имеет строго единственного решения, однако, если из каких-либо соображений
задаться одной из функций, другую можно вычислить. Так, например, если задаться
величиной b t , y b const и ввести обозначения
M yt
0, M y t1 y t 2
3
ln P t , y
,Zy
t
Zt
ln P t , y
,
y
то из стандартного уравнения Фоккера – Планка – Колмогора [2] получаем
f t, y
y
1
b Z y2
2
f t, y Z y
Zy
Zt
y
0.
(3)
При известной ПРВ P t , y и b const с помощью стандартных способов
решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных (3) можно
найти функцию f t , y . Таким образом синтезировано СДУ (1) для нестационарного
случая.
Если о процессе y t известна только одномерная ПРВ P y , уравнение (1)
принимает вид
dy t
dt
b d ln P y
2
dy
2b
ny t .
Ny
(4)
Как показано в [1], коэффициент диффузии марковского процесса может быть
приближенно определен через заданную корреляционную функцию. Наиболее просто
такая задача решается при экспоненциальном характере корреляционной функции.
На основе изложенного проведено моделирование уравнений (1), (4) в системе
Simulink MatLab. Разработаны структурные схемы формирующих фильтров
моделирования случайных процессов с различными ПРВ. Достоверность
моделирования подтверждалась получением временных реализаций процессов y t и
построением соответствующих гистограмм.
В качестве примера рассмотрим формирование и моделирование случайного
процесса с заданной одномерной обобщенно-нормальной ПРВ
P ( q, y )
q
2 2 Г (1 / q )
exp{
y
q
2q / 2 q
},
(5)
где q 0.5 – параметр распределения (при q =2 распределение переходит в гаусовское,
при q =1 – в лапласовское). СДУ (4) в этом случае принимает вид
dy(t )
dt
b q/2
2
q
2
q
y
q 1
sign( y )
2b
n y (t ).
Ny
(6)
Рассмотрим процесс моделирования. Структурная схема формирующего
фильтра в системе Simulik MatLab представлена на рис.1. В качестве генератора
”белого шума” из библиотеки блоков Simulik выбран элемент, генерирующий “белый
4
шум” с ограниченной полосой. В параметрах блока было установлено значение N y =4.
b q/2
q 1
Блок f ( y ) содержит функцию
2
q qy
sign( y ) (было принято значение
2
b =2). Для построения гистограммы временной реализации случайного процесса (6)
(блок HIST) использовалась передача данных процесса через рабочее пространство
MatLab (блок TO WORKSPASE). Для сравнения на полученные гистограммы
наносилась автоматически адаптируемая системой Simulik гауссовская кривая
(функция histfit).
Рис.1
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
-30
-20
-10
Рис.2 а)
0
10
20
30
Рис.2 б)
1200
1000
800
600
400
200
0
-25
Рис.3 а)
-20
-15
-10
-5
0
Рис.3 б)
5
10
15
20
5
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
-6
Рис.4 а)
-4
-2
0
2
4
6
Рис.4 б)
Результаты моделирования представлены на рис.2, рис.3 и
моделировании задавались следующие параметры: рис.2 – q 0.5,
q 1;
1; рис.4 – q 2,
1.
Анализ моделирования позволяет говорить о соответствии
результатов известным теоретическим, следовательно, структура рис.1
использована для моделирования реальных процессов.
рис.4. При
0.1; рис.3 –
полученных
может быть
ЛИТЕРАТУРА
1.Кловский Д.Д., Конторович В.Я., Широков С.М. Модели непрерывных каналов связи
на основе стохастических дифференциальных уравнений/ Под ред. Д.Д. Кловского. –
М.: Радио и связь, 1984. – 248с.
2.Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием
сигналов. – М.: Сов.радио, 1975. – 704с.
6
УДК 621
Овсянников А.В. Формирования случайных процессов с заданными
вероятностными характеристиками // Труды БГТУ. Сер. физ.-мат. наук и информ.
Вып.X. 2002 С.133-136
В статье рассмотрена задача формирования случайных процессов с заданными
вероятностными характеристиками. Задача имеет ряд важных практических
приложений: от тестирования каналов связи до анализа поведения сложных систем при
«нестандартных» возмущающих воздействиях.
Формирование случайного процесса производится на основе стохастического
дифференциального уравнения (СДУ). Нелинейные функции, входящие в СДУ однозначно
определяются коэффициентами сноса и диффузии, которые входят в уравнение ФоккераПланка-Колмогорова (ФПК). Если из каких-либо соображений задаться одним из
коэффициентов (сноса или диффузии) другой может быть однозначно определен по уравнению
ФПК при заданной плотности распределения вероятности (ПРВ) случайного процесса.
Рассмотрен вариант решения задачи, когда коэффициент диффузии является постоянной
величиной. Получены выражения для СДУ содержащие ПРВ.
Найденные выражения для СДУ позволяют разработать структурные схемы в
системе Simulink Matlab для моделирования процессов с заданной ПРВ.
Приведен пример моделирования случайного процесса с обобщенной
гауссовской ПРВ. Достоверность результатов оценивается с помощью полученных
гистограмм распределений.
Ил.4. Библиогр.– 2 назв.