Анализ процессов в электромеханических системах классическим методом Три метода Решение систем дифференциальных уравнений и соответственно анализ процессов в электромеханических системах осуществляют с использованием трех методов: • Классический метод; • Операторный метод; • Метод переменных состояний. Решения системы дифференциальных уравнений на примере RLC-цепи Схема RLC-цепи при подключении к источнику постоянного напряжения имеет следующий вид: Составим Систему Дифференциальных Уравнений, описывающую процессы в данной цепи. di E 1( t ) i ( t ) R L U ( t ) C dt dU ( t ) C i (t ) C dt Представим СДУ в нормальной форме Коши: di 1 E 1( t ) i ( t ) R U ( t ) C dt L dU ( t ) 1 C i (t ) dt C Запишем СДУ в матричной форме: 1 R E d i(t ) L L i(t ) L 1(t ). U ( t ) dt U С (t ) 1 С 0 0 C где R L A 1 C 1 L - матрица 0 коэффициентов перед переменными состояния цепи E B L - вектор свободных членов 0 СДУ; i(t ) X (t ) U С (t ) состояний - Вектор переменных Определение корней СДУ Запишем однородную СДУ в виде: 1 R d i(t ) L L i(t ) . U С (t ) dt U С (t ) 1 0 C Составим характеристическое уравнение R 1 1 L L R det( A E ) 1 L LC C введем обозначения R 1 a b L LC Тогда характеристическое уравнение можно записать в виде: a b 0. 2 Решение этого уравнения имеет следующий вид 2 2 a a R 1 R 1,2 b . 2 2 LC LC LC Предположим, что корни характеристического уравнения действительные и разные: 1 a, 2 b Отметим, что для устойчивости динамической системы необходимо, чтобы действительные части корней характеристического уравнения были отрицательными. Найдем собственные вектора для каждого собственного значения матрицы A. Для значения λ1 = −a алгебраическая система уравнений будет выглядеть следующим образом: 1 R ( ) h 1 h 2 0 1 1 1 L L 1 h11 1 h21 0 C или 1 R ( a ) h 1 h 2 0 1 1 L L 1 h11 a h21 0 C Примем значение h1λ1=1 и определим h2 второго уравнения системы: 1 h 2 1 . C a λ1 из Собственный собственного вектор для значения цыA: первого матри- 1 h11 (1) . h 1 h 2 1 C a Аналогично будет находиться собственный вектор и для второго собственного значения матрицы A: 1 h1 2 1 (2) . h1 2 1, h2 2 , h 1 C b h 2 2 C b Общее решение однородной СДУ x0 (t) запишется в виде: (1) 1t (2) 2t x0 (t ) N1 h e N 2 h e или 1 1 at bt x0 (t ) N1 e N2 e . 1 1 C a C b Можно записать отдельно выражения для каждой неизвестной временной функции: at bt i0 (t ) N1 e И N2 e , 1 at 1 bt U C0 (t ) N1 e N2 e . C a C b Предположим, что корни характеристического уравнения комплексно сопряженные: 12 a j . В этом случае собственный вектор ищется только для одного из этих значений. Найдем собственный вектор для λ1 = −α + jβ : 1 R ( ) h 1 h 2 0 1 1 1 L L 1 h11 1 h21 0 C Принимаем h1λ1 =1 и находим уравнения системы: h2λ1 из второго 1 1 h 2 1 . C 1 C (a jβ) Общее решение однородной СДУ в этом случае запишется в виде: i0 (t ) (1) 1t (1) 1t x0 (t ) N1 Re(h e ) N 2 Jm(h e ). U C 0 (t ) Запишем каждую компоненту решения отдельно: 1t общего 1t i0 (t ) N1 Re(h11 e ) N 2 Jm(h11 e ), 1t 1t UC 0 (t ) N1 Re(h21 e ) N2 Jm(h21 e ). Найдем составляющие общего решения однородной СДУ. По формуле Эйлера для комплексных чисел: 1t e e at ( a j )t at e e βt e (cos(βt ) j sin(βt )). тогда Re(h11 e 1t Jm(h11 e 1t )e at cos(βt ), )e at sin(βt ). Для разделения вещественной и мнимой частей второй составляющей h2λ1 собственного вектора домножим числитель и знаменатель h2λ1 на число, комплексно сопряженное знаменателю h2 λ1 : 1 1 (a jβ) h 2 1 . C 1 C (a jβ) C (a jβ) ( a jβ) Учитывая формулу умножения комплексно сопряженных чисел друг на друга, запишем: (a jβ) a β h 2 1 j , 2 2 2 2 2 2 C (a β ) C (a β ) C (a β ) at a β at h 2 1 e j ( e cos(β t ) je sin(βt )) 2 2 2 2 C (a β ) C (a β ) 1t e at at sin(βt ) a e cos(βt ) Re(h21 e ) , 2 2 2 2 C (a β ) C (a β ) 1t at at a e sin(βt ) β e cos(βt ) 1t Jm(h21 e ) . 2 2 2 2 C (a β ) C (a β ) Общее решение однородной СДУ: i0 (t ) N1 e at cos(βt ) N 2 e at sin(βt ), a e at sin(βt ) β e at cos(βt ) U C 0 (t ) N1 2 2 2 2 C (a β ) C (a β ) e sin(βt ) a e cos(βt ) N2 . 2 2 2 2 C (a β ) C (a β ) at at Вывод Сравнивая результаты общего решения однородной СДУ при действительных и комплексно сопряженных корнях, можно отметить, что в первом случае переходные процессы в ЭМС имеют апериодический характер, а во втором случае – затухающий колебательный. Частное решение СДУ Найдем частное решение неоднородной СДУ при подстановке в исходную СДУ значения t = ∞ : R 0 L 1 0 C 1 E L i (t ) L . U ( t ) С 0 0 Найдем решение этой СЛАУ методом Крамера. Тогда получим Полученное частное решение неоднородной СДУ легко объясняется физически – конденсатор заряжается до напряжения источника питания E, а ток в цепи после окончания переходного процесса становится равным нулю, так как при работе на постоянном токе конденсатор представляет собой разрыв цепи. Этапа определения постоянных интегрирования Нахождение постоянных интегрирования осуществляют путем подстановки в общее решение неоднородной СДУ значения t = 0 и последующего решения получившейся СЛАУ. Решим задачу Коши для обоих случаев собственных значений матрицы A – действительных и комплексно сопряженных Действительные отрицательные корни Найдем постоянные интегрирования при действительных отрицательных собственных значениях матрицы A: λ1 = −a, λ2 = −b . Общее решение неоднородной СДУ в этом случае имеет вид i(t ) x(t ) xч x0 (t ) U C (t ) 1 1 0 at bt N1 e N2 e 1 1 E C a C b При t = 0 и нулевых начальных условиях, то есть i (0) = 0, UC (0) =0 . Запишем получившуюся СЛАУ: 1 0 0 N1 1 N 0 E 2 C a 1 . 1 C b Перенесем свободные члены: 1 0 N1 1 N E 2 C a 1 . 1 C b Решим эту СЛАУ методом Крамера: 1 1 C a 1 1 1 ba ; 1 C b C a C a b C b 1 0 1 E, 2 1 E C b 0 1 E 1 E C a тогда 1 E C a b 2 E C a b N1 , N2 . ba ba Запишем компоненты общего решения неоднородной СДУ: - для тока E C a b at bt i(t ) iч N1 e N 2 e (e e ); ba at bt для напряжения на емкости 1 at 1 bt U C (t ) U С.част N1 e N2 e C a C b E b at E a bt Е e e . ba ba Комплексные сопряженные корни Определим постоянные интегрирования при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения: λ1,2 = −α ± jβ. Общее решение неоднородной СДУ имеет в этом случае следующий вид: Общее решение неоднородной СДУ i(t ) x(t ) xч x0 (t ) U C (t ) Re(h11 e ) Jm(h11 e ) 0 N1 N2 . 1t 1t E Re(h21 e ) Jm(h21 e ) 1t 1t При t = 0 и нулевых начальных условиях, то есть i (0) = 0, UC (0) =0 . Запишем получившуюся СЛАУ 0 0 N1 Re(h11 ) Jm(h11 ) 0 E N . Re(h2 ) Jm(h2 ) . 2 1 1 Перенесем свободные члены, а также учтем, что h1λ1 = 1 и Re(h1λ 1 ) = 1 , Jm(h1λ1 ) = 0, тогда получим систему линейных дифференциальных уравнений в виде: 1 0 0 N1 . . N 2 Re(h21 ) Jm(h21 ) E Решим эту СЛАУ методом Крамера: 1 0 Re(h21 ) Jm(h21 ) Jm(h21 ); 1 0 0 E Jm(h21 ) 0; 2 1 0 Re(h21 E E; Тогда 1 N1 0; 2 2 2 E E C (a β ) N2 . Jm(h21 ) β Запишем компоненты общего решения СДУ: 1t 1t i(t ) iч N1 Re(h11 e ) N 2 Jm(h11 e ) E C (a b ) N 2 Jm(h11 e ) sin(βt ); β 2 1t 2 1t 1t U C (t ) U С.част N1 Re(h21 e ) N 2 Jm(h11 e ) at E a e sin(βt ) at E E e cos(βt ). β