Задачи с параметром 1. Задача.(9 класс) При каких значениях параметра a уравнение (a - 1)x2 + 2x + a - 1 = 0 имеет ровно один корень? Решение. При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a 4a2 - 8a = 0, откуда a = 0 или a = 2. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a {0; 1; 2}. ФЯ\Ый 2. Задача. Найти все значения параметра a, при которых имеет два различных корня уравнение x2+4ax+8a+3 = 0. 2. Решение. Уравнение x2+4ax+8a+3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a24(8a+3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a2-8a-3 > 0, откуда a<1– 7 или a>1+ 2 7 2 2. Ответ: a (-; 1 – 7 ) (1 + 2 7 ; ). 2 3. Задача. Известно, что f2(x) = 6x-x2-6. а) Постройте график функции f1(x) при a = 1. б) При каком значении a графики функций f1(x) и f2(x) имеют единственную общую точку? Решение. 3.а. Преобразуем f1(x) следующим образом График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа. 3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx+b и y = ax2+bx+c (a 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx+b = ax2+bx+c имеет единственный корень. Используя представление f1 из 3.а, приравняем дискриминант уравнения a = 6x-x2-6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x-a = 6x-x2-6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a= 3. 4. Задача. Найти все значения a, при которых множество решений неравенства x2-2ax-3a 0 содержит отрезок [3;6]. Решение. Первая координата вершины параболы f(x) = x2-2ax-3a равна x0 = a. Из свойств квадратичной функции условие f(x) 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем a 3, 3 < a < 6, a 6, f(3) = 9-9a 0, D = 4a2+12a 0, f(6) = 36-15a 0. Решением первой системы является множество (-,1]. Вторая и третья система решений не имеют. Ответ: a (-,1]. 5. Задача (9 кл.) При каком наименьшем натуральном значении a уравнение x2+2ax-3a+7 = 2x имеет ровно два решения? Решение. Перепишем это уравнение в виде x2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a2+a-6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3. Ответ: 3. 6. Задача (10 кл.) Найти все значения a, при которых график функции x2+ax+2 f(x) = a-1 проходит через точку с координатами (-1;1). Решение. Из условия f(-1) = 1 имеем уравнение 1= 1+-a+2 , a-1 или, после очевидных преобразований, a-2 = 2-a. Последнее уравнение равносильно неравенству a 2. Ответ: a [2;). 7. Задача (10 кл.) При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения x2-2ax+a2-a = 0 больше чем 12? Решение. Дискриминант уравнения x2-2ax+a2-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 = a2-a. Отсюда x12+x22 = (x1+x2)2-2x1·x2 = 2a2+2a. Решениями неравенства 2a2+2a > 12, удовлетворяющими условию a 0, являются числа a> 2. Ответ: a > 2. 8.Задача. Решить уравнение Решение. Рассмотрим функции . и . При нет решений; при и при при два решения; - четыре решения; - три решения. Ответ: при нет решений; при и при при 9.Задача.Найти все значения , при которых корни уравнения положительны. Решение. Контрольная точка 1. . 2. , т.к. меняет суть уравнения. ; два решения; - четыре решения; - три решения. Получим . Ответ: 9.Задача. Найти все значения , при каждом из которых уравнение имеет ровно два корня. Если таких значений больше одного, в ответе укажите их произведение. Решение. Разложим квадратный трехчлен на множители. ; ; ; Получим . Это уравнение равносильно совокупности Поэтому данное уравнение имеет ровно два корня, если Отсюда находим, что искомыми значениями . Ответ: -5. являются и 10.задача. Найдите все значения параметра ,при каждом из которых имеет единственное решение. уравнение Решение. Будем решать задачу графическим способом. Оставим корень слева, а все остальное перенесем вправо. Представим наше уравнение в виде системы Построим график каждой функции и найдем, при каком значении параметра графики имеют единственную точку пересечения. Первая функция: Вынесем за скобку: График этой функции представляет из себя семейство прямых, которые имеют различный коэффициент наклона и общую точку с координатами (2;3): Вторая функция: Преобразуем выражение под корнем – выделим полный квадрат: График функции точке (-4;0) и радиусом 3. представляет из себя полуокружность с центром в Определим, при каком коэффициенте наклона прямая имеет с полуокружностью одну точку пересечения: Мы видим, что прямые, заключенные между прямыми полуокружностью одну общую точку. Прямая прямая – две. Прямая и имеют с имеет одну общую точку, а также имеет с полуокружностью одну общую точку. Найдем коэффициенты наклона этих прямых. Для этого мы рассмотрим соответствующие прямоугольные треугольники: Коэффициент наклона прямой равен 1. Коэффициент наклона прямой равен 3/9=1/3. Коэффициент наклона прямой равен нулю. Итак, прямая и полуокружность имеют одну общую точку, если и . Умножим первое неравенство на -1 и получим Ответ: 11.Задача. Найдите все значения параметра, при которых система имеет единственное решение: Решение( графически): Так как параметр присутствует в системе одном единственном экземпляре, то это означает, что одна из линий остается фиксированной независимо от параметра, а другая меняется в зависимости от него. Искомый параметр – это то значение числа a, при котором две линии пересекаются в одной точке. Сразу отметим, что задачу достаточно решить для положительных значений параметра и добавить к нему еще и противоположные числа. Несложно построить фигуру окружностей радиуса 3. – она представляет собой пару Графиком второго уравнения будет окружность с меняющимся радиусом «a», при увеличении которого она увеличивается в размере. как показано на рисунке, указывая изменение размера окружности в направлении зеленой стрелки. Сами окружности отмечены зелеными номерами в порядке роста радиуса. При его малых значениях (n=1) общих точек с фигурой (|x|-5)2+(y-3) 2=9 нет. В положении n=2 происходит касание правой окружности, но еще нет общих точек с левой. Отдельное исследование количества точек пересечения с каждой окружностью. Снимем с рисунка левую окружность и найдем «a», при которых правой 1 и 2 точки пересечения. имеет с Касание внешним образом происходит, когда расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, то есть a+3=AB. Отрезок AB=5 легко найти из прямоугольного треугольника ABC. Тогда a=AK=5-3=2. Касание внутренним образом (с окружность №4) возможно, когда расстояние между центами AB равно разности радиусов. Отсюда a=AB+BD=8. Если 2 < a < 8, то окружности будут иметь две точки пересечения, а если параметр не попадает в отрезок [a;b], то пересечений нет. Аналогично можно разобраться и с левой. Рассуждая также, получим: при – касание, при – 2 точки при – нет точек. на рисунке: Понятно, что все параметры, попадающие под линии дают как минимум 2 общие. Осталось подсказать, что единственность достигается на концах отрезка Для финального ответа важно не забыть указать еще и отрицательные значения параметра. Ответ: 12.Задача.При каких значениях параметра a система неравенств { (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑎)2 ≤ 𝑎2 2𝑦 − 𝑥 ≥ 4 имеет хотя бы одно решение? Решение. Геометрическое место точек F1 плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют первому неравенству системы, есть круг с центром M (a;a) и радиусом 𝑟 = |𝑎|. Геометрическое место точек 𝐹2 плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют второму неравенству системы, представляет верхнюю полуплоскость с границей –𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 (см. При 𝑎 = 0 система неравенств { 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 0 2𝑦 − 𝑥 ≥ 4 не имеет решений. С увеличением значения |𝑎| радиус круга увеличивается, причем круг перемещается вверх при a > 0, вниз при a < 0. Данная система неравенств будет иметь хотя бы одно решение, если множества 𝐹1 и 𝐹2 будут иметь хотя бы одну общую точку. При увеличении радиуса при некоторых значениях 𝑎1 < 0 и 𝑎2 > 0 круг коснется прямой − 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0, а при дальнейшем увеличении |𝑎| множества 𝐹1 и 𝐹2 будут иметь общие точки. Используя формулу расстояния от точки 𝑀 (𝑎; 𝑎) до прямой 𝑙, заданной уравнением − 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0, получим: 𝜌(𝑀, 𝑙) = | − 𝑎 + 2𝑎 − 4| √(−1)2 + 22 = |𝑎 − 4| √5 Значения параметра 𝑎, при которых произойдет касание, находим из уравнения 𝜌(𝑀, 𝑙) = |𝑎| или |𝑎 − 4| = √5 |𝑎|. Отсюда получаем два решения 𝑎1 = −1 − √5 и 𝑎2 = −1 + √5. Соответственно, условию задачи удовлетворяют все 𝑎 такие, что 𝑎 ∈ (-∞; −1 − √5] ∪ [−1 + √5; +∞). Ответ. (-∞; −1 − √5] ∪ [−1 + √5; +∞). Замечание. Значения параметра 𝑎, при которых произойдет касание, можно было найти, подставив 𝑦 = 0,5𝑥 + 2 в уравнение окружности (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑎)2 = 𝑎2 , а затем поставить условие равенства нулю дискриминанта.