Алгебра - Основные образовательные программы ТюмГУ

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г.Ишиме
УТВЕРЖДАЮ
Директор филиала
______________ /Шилов С.П./
20.11.2014
АЛГЕБРА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика
очной формы обучения
1
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
от 20.11.2014
Содержание: УМК по дисциплине Алгебра
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения
Автор(-ы): Шустова М.В.
Должность
Заведующий
кафедрой физикоматематических
дисциплин и
профессиональнотехнологического
образования
Председатель УМС
филиала ТюмГУ в
г.Ишиме
Начальник ОИБО
ФИО
Мамонтова
Т.С.
Дата
согласования
Результат
согласования
Примечание
16.10.2014
Рекомендовано
к электронному
изданию
Протокол заседания
кафедры от 16.10.2015
№2
Протокол заседания
УМС от 11.11.2015
№3
Поливаев
А.Г.
11.11.2014
Согласовано
Гудилова
Л.Б.
20.11.2014
Согласовано
2
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г. Ишиме
Кафедра физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования
Шустова Марина Владимировна
АЛГЕБРА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика
очной формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
Шустова М.В. УМК по дисциплине Алгебра
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения.
Тюмень, 2014.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Алгебра
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел «Образовательная
деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой физико-математических дисциплин и
профессионально-технологического образования.
Утверждено директором филиала ТюмГУ в г. Ишиме.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР Мамонтова Т.С., к.п.н., доцент
Ф.И.О., ученая степень, звание заведующего кафедрой
© Тюменский государственный университет, филиал в г. Ишиме, 2014.
© Шустова М.В., 2014.
4 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Ишимский государственный педагогический институт им. П.П. Ершова"
УТВЕРЖДАЮ
Ректор ФГБОУ ВПО «ИГПИ
им. П.П. Ершова»
_______________ С.П. Шилов
«___» ______________ 2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
СД.Ф.5 АЛГЕБРА
050201.65 – Математика с дополнительной специальностью Физика
Ишим 2011
5 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
ПРИНЯТО
На заседании кафедры
математики, информатики и МП
Протокол № 2 от «20» октября 2011 г.
Зав. кафедрой
_______________
роспись
Т.С. Мамонтова
И.О.Ф. зав. кафедрой
ОДОБРЕНО
На заседании УМК факультета
Протокол № 2 от «22» октября 2011 г.
Председатель УМК
_______________ ____Е.В. Ермакова__
роспись
И.О.Ф. председателя
СОГЛАСОВАНО
«23» октября 2011 г.
Начальник ОИБО
_______________ ___Л.Б. Гудилова___
роспись
И.О.Ф. начальника ОИБО
ВВЕДЕНА В ДЕЙСТВИЕ с «1» ноября 2011 г.
РАЗРАБОТАНА ___к.п.н., ст. преподаватель М.В. Шустова____
(наименование структурного подразделения (ий), разработавшего (их) документ или руководитель рабочей
группы и ее члены)
РЕЦЕНЗЕНТЫ
_______к.п.н., доцент Т.С. Мамонтова____________________
(Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность)
_______к.ф.-м.н., доцент В.Н. Алексеев____________________
(Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность)
Периодичность ПЕРЕСМОТРА – 1 раз в год
Программа составлена на основе ГОС ВПО «31» января 2005
Номер государственной регистрации729 пед/маг (новый)
6 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
Содержание
I. Программа дисциплины ……………………………………………………………………
1. Выписка из ГОС ВПО ………………………………………………………………
2. Введение……………………………………………….................................................
2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины………....................
2.2. Требования к уровню освоения дисциплины ……………………………..
2.3. Требования к организации дисциплины…………………………………...
2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы ……………………………...
II. Содержание дисциплины …………………………………………………………….........
1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий……………………………………
2. Материально-техническое оснащение дисциплины ……………………………
III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов……………………
1. Организация аудиторной работы студентов ………………………………….....
1.1. Краткий курс лекций………………………………………………………..
1.2. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним…….
2. Организация самостоятельной работы студентов ……………………………...
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины………………………..……….
3.1. Основная литература………………………………………………………..
3.2. Дополнительная литература………………………………………………..
3.3. Электронные ресурсы ………………………………………………………
4. Методические рекомендации для преподавателя ………………………………
5. Методические рекомендации для студента ………………………………………
IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля ………………………………
1. Вопросы к коллоквиумам, зачетам, экзаменам …………………………………
4
4
4
4
4
4
5
6
6
8
9
9
9
9
10
10
10
11
11
11
11
12
12
7 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
I. Программа дисциплины
1. Выписка из ГОС ВПО
Понятия группы, кольца, поля. Алгебры, алгебраические системы. Кольца классов вычетов.
Поле комплексных чисел. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Теория
делимости. Системы линейных уравнений. Матрицы и определители. Векторные пространства.
Евклидовы пространства. Линейные преобразования и их матрицы. Собственные векторы и
собственные значения линейных операторов. Подгруппы. Смежные классы по подгруппе,
факторгруппы. Подкольца. Идеалы кольца, факторкольца. Кольца главных идеалов. Евклидовы
и факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом.
Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены. Алгебраическая
замкнутость поля комплексных чисел. Неприводимые над полем действительных чисел
многочлены. Расширения полей, алгебраические и конечные расширения, приложение к
задачам на построение с помощью циркуля и линейки.
2. Введение
Рабочая программа (РП) дисциплины «Алгебра» разрабатывалась на основе требований
ГОС ВПО в соответствии с нормативно-правовыми актами, учредительными и нормативными
документами ФГБОУ ВПО ИГПИ.
РП дисциплины «Алгебра» предназначена для студентов физико-математического
факультета педагогического института. РП включает планы практических занятий и
методические рекомендации к ним; вопросы (тесты) для самоконтроля; организацию СРС и ее
методическое обеспечение; материалы входного и итогового контроля; терминологический
минимум (терминологический словарь).
2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Алгебра» является вооружение будущего специалиста
необходимыми знаниями, умениями и навыками, позволяющими в процессе работы
осуществлять преподавательскую деятельность по соответствующей школьной дисциплине на
высоком методическом и научном уровне.
Задачи преподавания и изучения дисциплины:
- расширить и углубить знания по алгебре, полученные в средней общеобразовательной
школе;
- сформировать научные представления, практические умения и навыки в области
линейной алгебры, теории групп, колец и полей;
- осуществлять межпредметные связи, добиться использования полученных знаний при
изучении смежных дисциплин и в профессиональной деятельности при обучении математике
школьников.
2.2. Требования к уровню освоения дисциплины.
После изучения дисциплины «Алгебра» студент должен

иметь целостное представление об алгебре как науке, знать ее место в современном мире
и в системе наук;

знать определения базовых понятий, уметь четко формулировать и обосновывать
основные факты (перечень их прилагается по семестрам);

обладать навыками и умениями в решении как стандартных задач, так и задач, требующих
эвристических подходов и элементов учебного исследования.
2.3. Требования к организации дисциплины
Курс «Алгебра» в течение 3 и 4 семестра предусматривает изучение векторных и
евклидовых пространств, линейных отображений, групп, колец, полей, демонстрирует место и
значение методов алгебры в практической и исследовательской деятельности. Изучение этого
курса в указанный период предусматривает 108 часов аудиторных занятий (из них 54 часа
лекций и 54 часа практических занятий) и 76 часов самостоятельной работы. Общая
трудоемкость курса – 184 часа.
8 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Таблица 1
Семестры
Всего
Вид учебной деятельности
часов
1 сем.
2 сем.
3 сем.
4 сем.
Общая трудоемкость дисциплины
400
180
72
108
108
Аудиторные занятия
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа студентов
(СРС)
234
108
126
166
90
40
50
46
36
14
22
40
54
28
26
40
54
26
28
40
Зачет,
экзамен
Экзамен
Зачет
Экзамен
Вид итогового контроля
9 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
II. Содержание дисциплины
1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Наименование разделов и тем
1 семестр
Алгебры и алгебраические системы
Понятие группы, кольца, поля
Подгруппы. Смежные классы по подгруппе.
Факторгруппы
Идеалы кольца, факторкольца. Кольца главных
идеалов
Кольца классов вычетов
Подкольца.
Евклидовы и факториальные кольца.
Поле комплексных чисел
II семестр
Кольцо многочленов от одной переменной над полем.
Теория делимости. Факториальность кольца
многочленов над факториальными кольцами
III семестр
Системы линейных уравнений
Матрицы и определители
Векторные пространства
Евклидовы пространства
Линейные преобразования и их матрицы
Собственные векторы и собственные значения
линейных операторов
IV семестр
Многочлены т нескольких переменных,
ТАБЛИЦА 2
Объем в часах по видам
Всего
Л
ПЗ
СРС
180
40
50
90
12
2
4
6
20
4
6
10
16
4
4
8
24
6
6
12
12
16
24
56
72
2
4
6
12
14
4
4
6
16
22
6
8
12
28
36
72
14
22
36
108
20
32
16
12
16
28
6
8
4
4
4
26
4
8
4
2
4
54
10
16
8
6
8
12
2
4
6
108
26
28
54
17.
симметрические многочлены
24
6
6
12
18.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел
24
6
6
12
24
6
6
12
36
8
10
18
Неприводимые над полем действительных чисел
19.
многочлены
Расширение полей, алгебраические и конечные
20.
расширения, приложения к задачам на построение с
помощью циркуля и линейки
ВСЕГО
468
108
126
234
Краткое содержание курса
1 семестр
Алгебры и алгебраические системы.
Алгебраические операции, их свойства. Частично алгебраические операции. Понятие алгебры.
Главные операции алгебры. Однотипные алгебры. Алгебраическая система. Полугруппа.
Моноид.
Понятие группы, кольца, поля).
Определение, примеры, простейшие свойства групп, колец, полей. Гомоморфизм групп, колец,
полей. Характеристика групп, колец, полей, ее свойства. Основные понятия теории групп
10 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
(абелева группа, порядок группы, степень элемента в группе). Циклические группы. Строение
циклических групп конечного и бесконечного порядка.
Подгруппы. Смежные классы по подгруппе. Факторгруппы.
Понятие подалгебры. Подгруппы, их простейшие свойства, примеры. Признак подгруппы.
Левый и правый смежный класс группы по подгруппе, их свойства. Разложение группы в
смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальная группа и факторгруппа.
Идеалы кольца, факторкольца. Кольца главных идеалов.
Понятие правого (левого) идеала кольца, двустороннего идеала кольца. Тривиальные идеалы
кольца, собственные идеалы кольца. Сумма, произведение, пересечение идеалов кольца.
Факторкольцо, его свойства. Примеры. Делимость в кольце главных идеалов. Тривиальные и
собственные делители элемента.
Кольца классов вычетов.
Понятие элемента, сравнимого по идеалу. Понятие класса вычетов по идеалу. Свойства классов
вычетов.
Подкольца.
Понятие подкольца, его свойства. Признак подкольца. Примеры подколец. Основная теорема о
гомоморфизмах колец. Главное подкольцо кольца.
Евклидовы и факториальные кольца.
Простые и составные элементы области целостности. Понятие факториального кольца.
Примеры не факториальных колец. Критерий факториальности колец. Факториальность кольца
главных идеалов. Понятие Евклидова кольца, его свойства. НОД и НОК для области
целостности. Свойства НОД и НОК в кольце главных идеалов.
Поле комплексных чисел.
Понятие комплексного числа, его геометрическая интерпретация и действия над комплексными
числами. Алгебраическая форма записи комплексного числа, действия над комплексными
числами в алгебраической форме записи. Тригонометрическая форма записи комплексного
числа, действия над комплексными числами в тригонометрической форме записи. Возведение в
степень и извлечение корня комплексного числа. Корни из единицы. Первообразные корни.
II семестр
Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Теория делимости.
Факториальность кольца многочленов над факториальными кольцами.
Основные понятия и свойства многочленов от одной переменной. Отношение и свойства
делимости для многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов. НОД
многочленов. Алгоритм Евклида. Линейная форма НОД многочленов. Взаимно простые
многочлены. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых. Кратные
неприводимые множители многочлена. Неприводимость многочленов над полем рациональных
чисел. Лемма Гаусса. Критерий Эйзенштейна. Основные теоремы о корнях многочленов.
Теорема Безу. Схема Горнера и ее применение. Рациональные корни многочлена. Основная
теорема алгебры. Доказательство эквивалентности различных ее формулировок. Формулы
Виета. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. Алгебраические
уравнения 2, 3, 4–ой степени. Действительные корни многочленов с действительными
коэффициентами (система Штурма). Факториальность кольца многочленов над
факториальными кольцами.
III семестр
Системы линейных уравнений.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Однородные системы уравнений.
Фундаментальная система решений. Определители n-го порядка и их свойства. Разложение
определителей по элементам строки или столбца. Вычисление определителей.
Формулы Крамера.
Матрицы и определители.
Действия над матрицами и их свойства. Обратная матрица. Матричный способ решения систем
линейных уравнений. Ранг матрицы и способы его вычисления. Теорема Кронекера-Капелли.
11 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
Векторные пространства.
Определение, примеры, простейшие свойства векторного пространства над полем.
Определение, примеры подпространств. Подпространства, порожденные системой векторов.
Базис пространства. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Свойства линейной
зависимости. Координаты вектора. Эквивалентность различных определений базиса.
Размерность пространства. Изоморфизм векторных пространств. Строение конечномерных
векторных пространств. Координаты вектора в разных базисах. Формула перехода.
Пересечение и сумма подпространств. Прямая сумма подпространств.
Евклидовы пространства.
Определение, свойства скалярного произведения векторов. Евклидово пространство.
Выражение скалярного произведения через координаты вектора. Модуль вектора, угол между
векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональная система векторов. Существование
ортогонального базиса. Ортонормированный базис. Изоморфизм евклидовых пространств
одинаковой размерности. Ортогональное дополнение к подпространству. Процесс
ортогонализации базиса евклидового пространства.
Линейные преобразования и их матрицы.
Определение, примеры, простейшие свойства линейного преобразования векторного
пространства. Матрица линейного преобразования. Примеры. Ранг и дефект линейного
преобразования. Невырожденные линейные преобразования. Операции над линейными
преобразованиями. Инвариантные подпространства.
Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Условие приведения
матрицы линейного преобразования к диагональному виду.
IV семестр
Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.
Кольцо многочленов от нескольких переменных. Изоморфизм колец многочленов. Нормальное
представление многочлена и степень многочлена. Лексикографическое упорядочивание членов
многочлена. Симметрические многочлены. Лемма о симметрических многочленах. Основная
теорема о
симметрических многочленах. Результант двух многочленов. Исключение
переменных.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
Теорема о возрастании модуля многочлена. Непрерывность модуля многочленов. Наименьшее
значение модуля многочлена. Лемма Даламбера. Алгебраическая замкнутость поля
комплексных чисел. Формулы Виета.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
Сопряженность мнимых корней полиномов с действительными коэффициентами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
Расширение полей, алгебраические и конечные расширения, приложения к задачам на
построение с помощью циркуля и линейки
Простое расширение поля. Минимальный многочлен алгебраического элемента. Строение
простого
алгебраического
расширения
поля.
Освобождение
от
алгебраической
иррациональности в знаменателе дроби. Конечное расширение поля. Составное алгебраическое
расширение поля. Простота составного алгебраического расширения поля. Поле
алгебраических чисел.
2. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для обеспечения освоения данной дисциплины имеются: учебные пособия, средства
мультимедиа и интерактивные доски, программное обеспечение.
12 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов
1. Организация аудиторной работы студентов
1.1. Краткий курс лекций
В библиотеке института и на кафедре математики, информатики и МП имеется
необходимое количество учебной литературы по данной дисциплине. Тематика лекций
соответствует содержанию разделов дисциплины (раздел II, таблица 2).
1.2. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним
ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1. Алгебраические операции, их свойства.
2. Алгебраические системы.
3. Группы. Простейшие свойства групп, изоморфизм, характеристика.
4. Кольца. Простейшие свойства колец, изоморфизм, характеристика.
5. Поля. Простейшие свойства полей, изоморфизм, характеристика.
6. Подгруппы. Смежные классы по подгруппе. Факторгруппы.
7. Идеалы кольца, факторкольца.
8. Кольца главных идеалов.
9. Делимость в кольце главных идеалов.
10. Кольца классов вычетов (4 ч).
11. Подкольца (4ч).
12. Евклидовы кольца.
13. Факториальные кольца.
14. Контрольная работа №1
15. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
16. Действия над комплексными числами в геометрической форме (4ч).
17. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме (4ч).
18. Возведение в степень и извлечение корня.
19. Корни из единицы.
20. Контрольная работа №2.
21. Теорема о делении с остатком.
22. НОД многочленов и алгоритм Евклида.
23. Линейная форма НОД многочленов.
24. Отделение кратных неприводимых множителей многочлена.
25. Нахождение числа корней многочлена.
26. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.
27. Формулы Виета.
28. Уравнения 3 степени.
29. Уравнения 4 степени.
30. Система Штурма.
31. Контрольная работа №3.
32. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
33. Однородные системы уравнений. Фундаментальная система решений.
34. Определители и их свойства. Формулы Крамера.
35. Действия над матрицами. Обратная матрица.
36. Матричные уравнения. Ранг матрицы.
37. Контрольная работа №4.
38. Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис.
39. Координаты вектора в базисе. Формула перехода к новому базису.
40. Евклидовы пространства.
41. Операции над линейными преобразованиями.
42. Матрицы линейных преобразований.
13 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
43. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.
44. Контрольная работа №5.
45. Представление многочлена и степень многочлена
46. Лексикографический порядок записи многочленов от нескольких переменных.
47. Применение симметрических многочленов.
48. Нахождение наименьшего модуля многочлена.
49. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
50. Формулы Виета.
51. Сопряженность мнимых корней полиномов с действительными коэффициентами.
52. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
53. Контрольная работа №6
54. Простое расширение поля. Минимальный многочлен алгебраического элемента.
55. Строение простого алгебраического расширения поля.
56. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
57. Конечное расширение поля.
58. Составное алгебраическое расширение поля, его простота.
План практических занятий
1. Актуализация опорных знаний (ответы студентов на вопросы для самопроверки,
связанные с терминологическим минимумом) и умений (обсуждение результатов выполнения
заданий домашней СРС).
2. Выполнение заданий, обеспечивающих усвоение основных понятий, овладение
основными умениями (групповое и индивидуальное).
3. Подведение итогов занятия.
4. Постановка домашнего задания.
2. Организация самостоятельной работы студентов
Под самостоятельной работой студентов понимается подготовка к практическим
занятиям по теории (устные ответы на вопросы для самопроверки) и практике (письменное
выполнение заданий домашней работы).
3.Учебно-методическое обеспечение дисциплины
3.1. Основная литература
Основная:
1. Боревич, З.И. Определители и матрицы [Текст]: учеб.пособие / З.И. Боревич. - 5-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. - 192 с. – 2 экз.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры [Текст]: учеб.для вузов. – 2-е
изд., исправл. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 272с. – 5 экз.
3. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры [Текст]. 15-е изд., стер. – СПб: Изд-во «Лань», 2006, 2008.
– 432с.: ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература) – 17 экз.
4. Сборник задач по алгебре [Текст] / Под ред. А.И. Кострикина: учеб.пособ. : Для вузов. В 2т.
Т.1. / Ч.I. Основы алгебры. Ч.II. Линейная алгебра и геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 264с.
– 5 экз.
5. Сборник задач по алгебре [Текст] / Под ред. А.И. Кострикина: учеб.пособ. : Для вузов. В 2т.
Т.2. / Ч.III. Основные алгебраические структуры. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 168 с. – 5 экз.
6. Смирнов, В.Д. Минимум по общей алгебре [Текст]: учеб.пособие для педвузов по спец.
«Математика» / В.Д. Смирнов. – Ишим: Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2006. – 44 с. – 92 экз.
7. Фадеев, Д.К. Задачи по высшей алгебре [Текст]: учеб.пособие / Д.К. Фаддеев, И.С.
Соминский. – 15-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2005. – 288 с. – 30 экз.
2 экз.
5 экз.
17 экз.
5 экз.
5 экз.
92 экз.
30 экз.
3.2. Дополнительная литература
Дополнительная:
1. Оленькова, Т.В. Задания для самостоятельной работы студентов первого курса по изучению
курса алгебры [Текст]: Учебное пособие для студентов первого курса физ.-мат. спец. педвузов: в 3
ч. – Ишим, Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2004. – Ч.1-2: задания минимального уровня. – 48с. –
55 экз.
2. Шнеперман, Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел [Текст] / Л.Б. Шнеперман. - 2-е
55 экз.
10 экз.
14 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
изд., стер. - СПб.: Лань, 2008. - 224 с. – 10 экз.
3.3. Электронные ресурсы:
1. Электронно-библиотечная система elibrary: http://elibrary.ru
2. Универсальная справочно-информационная полнотекстовая база данных “East View”
ООО «ИВИС»: http://www.eastview.com/
3. Электронный справочник «Информио»: http://www.informio.ru/
4. Электронно-библиотечная система "Университетская библиотека онлайн":
http://www.biblioclub.ru
4. Методические рекомендации для преподавателя
Курс «Алгебра» относится к циклу ДПП (дисциплин предметной подготовки).
Государственного образовательного стандарта по специальности 032100.00 – «Математика с
дополнительной специальностью». В основу разработки рабочей программы этого курса
положены требования этого стандарта по дисциплине Ф.05 «Алгебра».
На практических занятиях по курсу алгебры должны быть выработаны соответствующие
навыки и умения, связанные с решением примеров и задач.
5. Методические рекомендации для студентов
Студенту следует помнить, что дисциплина «Алгебра» предусматривает обязательное
посещение студентом лекций и практических занятий. Она реализуется через систему
аудиторных и домашних работ, контрольных работ. Самостоятельная работа студентов
заключается в выполнении домашних заданий с целью подготовки к практическим занятиям
(см. планы практических занятий), выполнение курсовых работ и вариантов контрольных
работ. Результаты самостоятельной работы оформляются в виде курсовых работ. Контроль над
самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в виде контрольных
работ, зачетов, экзаменов.
15 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля
1. Вопросы к зачетам, экзаменам
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
2.1. Вопросы к зачету (1 семестр)
Построение системы комплексных чисел.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Геометрическое представление комплексных чисел.
Геометрическая интерпретация действий над комплексными числами.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Извлечение корней из комплексных чисел.
Корни п–ой степени из 1.
Первообразные корни.
2.2. Вопросы к экзамену (1 семестр)
1.
Определение, примеры, простейшие свойства групп. Задание группы с помощью
таблицы Кэли.
2.
Основные понятия теории групп (абелева группа, порядок группы, степень
элемента в группе). Аддитивная и мультипликативная запись группы.
3.
Определение подгруппы, признак подгруппы, примеры подгрупп.
4.
Определение изоморфных групп. Примеры изоморфизмов. Свойства
изоморфизма.
5.
Циклические группы. Строение циклических групп конечного и бесконечного
порядка.
6.
Разложение группы в смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
Строение групп простого порядка.
7.
Нормальная подгруппа и факторгруппа. Примеры.
8.
Гомоморфизм групп, примеры. Теоремы об образе и ядре гомоморфизма.
Основная теорема о гомоморфизмах групп.
9.
Определение, примеры и простейшие свойства колец.
10.
Подкольцо, признак подкольца. Идеал. Примеры подколец и идеалов.
11.
Гомоморфизм и изоморфизм колец. Факторкольцо. Примеры.
12.
Понятие и свойства делимости в коммутативном кольце. Примеры.
13.
Группа обратимых элементов кольца. Понятие и свойства ассоциированных
элементов.
14.
Простые и составные элементы области целостности.
15.
Факториальные кольца. Примеры не факториальных колец.
16.
Критерий факториальности колец.
17.
Понятие НОД для области целостности.
18.
Евклидовы кольца. Примеры.
19.
Определение, примеры, простейшие свойства полей.
20.
Характеристика поля. Подполя. Простые поля.
21.
Расширения полей. Строение простого алгебраического и простого
трансцендентного расширений поля. Теорема о простоте составного алгебраического
расширения.
Кроме теоретического вопроса в билете студенту будет предложено практическое задание
(аналогичное одному из заданий контрольных работ по дисциплине).
1.
2.
2.3. Вопросы к экзамену (2 семестр)
Основные понятия и свойства многочленов от одной переменной
Отношение и свойства делимости для многочленов.
16 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
3.
Теорема о делении с остатком для многочленов.
4.
НОД многочленов. Алгоритм Евклида.
5.
Линейная форма НОД многочленов. Взаимно простые многочлены.
6.
Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых.
7.
Кратные неприводимые множители многочлена.
8.
Неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Лемма Гаусса.
9.
Критерий Эйзенштейна.
10.
Основные теоремы о корнях многочленов. Теорема Безу.
11.
Схема Горнера и ее применение.
12.
Рациональные корни многочлена.
13.
Основная теорема алгебры. Доказательство эквивалентности различных ее
формулировок.
14.
Формулы Виета. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
15.
Алгебраические уравнения 2, 3, 4–ой степени.
16.
Действительные корни многочленов с действительными коэффициентами
(система Штурма).
Кроме теоретического вопроса в билете студенту будет предложено практическое задание
(аналогичное одному из заданий контрольных работ по дисциплине).
2.4. Вопросы к зачету (3 семестр)
1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
2. Однородные системы уравнений. Фундаментальная система решений.
3. Определители n-го порядка и их свойства.
4. Разложение определителей по элементам строки или столбца.
5. Вычисление определителей.
6. Формулы Крамера.
7. Действия над матрицами и их свойства.
8. Обратная матрица.
9. Матричный способ решения систем линейных уравнений.
10. Ранг матрицы и способы его вычисления.
11. Теорема Кронекера-Капелли.
2.6. Вопросы к экзамену по (4 семестр)
1.
Определение, примеры, простейшие свойства векторного пространства над полем.
2.
Определение, примеры подпространств. Подпространства, порожденные
системой векторов. Базис пространства.
3.
Линейно зависимые и независимые системы векторов. Свойства линейной
зависимости.
4.
Координаты вектора. Эквивалентность различных определений базиса.
Размерность пространства.
5.
Изоморфизм векторных пространств. Строение конечномерных векторных
пространств.
6.
Координаты вектора в разных базисах. Формула перехода.
7.
Пересечение и сумма подпространств. Прямая сумма подпространств.
8.
Определение, примеры, простейшие свойства линейного преобразования
векторного пространства.
9.
Матрица линейного преобразования. Примеры.
10.
Ранг и дефект линейного преобразования. Невырожденные линейные
преобразования.
11.
Операции над линейными преобразованиями.
17 стр. из 16 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра»
12.
Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения
линейного преобразования.
13.
Условие приведения матрицы линейного преобразования к диагональному виду.
14.
Определение, свойства скалярного произведения векторов. Евклидово
пространство. Выражение скалярного произведения через координаты вектора.
15.
Модуль вектора, угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского.
16.
Ортогональная система векторов. Существование ортогонального базиса.
17.
Ортонормированный базис. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой
размерности.
18.
Ортогональное дополнение к подпространству.
19.
Процесс ортогонализации базиса евклидового пространства.
20.
Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены
21.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел
22.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены
23.
Расширение полей, алгебраические и конечные расширения.
24.
Приложения к задачам на построение с помощью циркуля и линейки
Кроме теоретического вопроса в билете студенту будет предложено практическое задание
(аналогичное одному из заданий контрольных работ по дисциплине).
18 стр. из 16 стр.