Вопросы к зачету по дисциплине «Алгебра»

Вопросы к зачету по дисциплине «Алгебра»
6 курс. 2 семестр.
1. Определитель 2го и 3го порядка. их правила вычисления.
2. Определитель n-го порядка. Свойства определителя 1-9.
3. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя 10-ое свойство
определителя.
4. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца) и следствия из
нее.
5. Система линейных уравнений. Теорема Крамера.
6. Равносильные системы уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений.
7. Матрица и ее ранг. Элементарные преобразование матриц. Способы нахождения ранга
матрицы.
8. Матрица. Сложение матриц и его свойства.
9. Умножение матрицы на число и его свойства.
10. Умножение матриц и его свойства.
11. Единичная и обратная матрица. Метод вычисления обратной матрицы.
12. Матричные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
13. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и
деление комплексных чисел в алгебраической форме. Сопряженные комплексные
числа и их свойства. Извлечение квадратного корня.
14. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма
комплексного числа модуль и аргумент. Свойства модуля. Умножение, деление и
возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме.
15. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме.
Корни n-ой степени из единицы, их свойства.
16. Группы (определение, примеры). Ближайшие свойства из определения группы.
17. Подгруппы. Примеры подгрупп. Признак подгрупп. Теоремы о пересечении двух
подгрупп и объединение неубывающей цепочки подгрупп.
18. Гомоморфизм групп. Ядро и образ гомоморфизма. Примеры.
19. Определение линейного пространства. Ближайшие свойства из аксиом линейного
пространства.
20. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейной независимости.
21. Базис и размерность линейного пространства. Свойства базиса.
22. Координаты вектора. Матрица перехода от одного базиса к другому.
23. Подпространство. Операции над подпространствами.
24. Линейные операторы. Простейшие свойства. Примеры.
25. Ядро и образы линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора.
26. Действия под линейными операторами.
27. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные векторы и
собственные значения линейного оператора.
28. Кольцо, типы колец, примеры. Ближайшее следствия из аксиом кольца. Кратное и
степень элемента кольца. Мультипликативная группа элементов кольца.
29. Подкольцо, примеры, признак подкольца. Идеал кольца, примеры. Пересечение и
объединение идеалов кольца.
30. НОД и НОК элементов кольца, их свойства в произвольном коммуникативном кольце
с единицей.
31. Свойства НОД и НОК в кольце главных идеалов.
32. Евклидовы кольца. Их свойства. Алгоритм Евклида нахождения НОД двух элементов
евклидова кольца.
33. Деление многочлена на многочлен, Теорема Безу. Схема Горнера.
34. НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида. Неприводимые над полем многочлены.
35. Корни многочлена. Число корней многочлена. Теорема Виета.
36. Нахождение рациональных корней многочлена с рациональными коэффициентами.
37. Кольцо многочленов от нескольких переменных над полем. Наивысший член
многочлена. Лексикографическая запись многочлена от нескольких переменных.
38. Симметрические многочлены, свойства наивысших членов симметрических
многочленов.
39. Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических
многочленах.
40. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
41. Многочлены над полем действительных чисел.