Документ 741831

ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ «ГОРНЫЙ»
СОГЛАСОВАНО
УТВЕРЖДАЮ
Руководитель работ по направлению
подготовки бакалавров 080200,
декан, профессор
Зав. кафедрой высшей математики
профессор
____________ И.Б. Сергеев
«___» ___________ 2012 г.
____________ А.П. Господариков
«___» ___________ 2012 г.
Рабочая программа дисциплины
«Математика»
Направление подготовки: 080200 Менеджмент
Профиль подготовки: «Производственный менеджмент»
Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр
Форма обучения: Очная
Санкт-Петербург
2012
Аннотация: Курс "Математика" содержит основы математических знаний и
элементы математических методов дисциплин «Математический анализ» и
«Дифференциальные уравнения». Современный специалист должен обладать навыками
математической формализации стоящих перед ним задач, уметь применять необходимый
математический инструментарий при выборе и обосновании решений, анализе их
эффективности, а также возможных последствий принимаемых решений.
В результате обучения по предмету студенты должны овладеть основными
методами классического математического анализа (дифференциального и интегрального
исчисления), уметь их использовать при постановке прикладных задач, содержательно
интерпретировать получаемые количественные результаты анализа. В курсе
предусмотрено проведение семинарских занятий, целью которых является приобретение
студентами прочных навыков математических расчетов и осмысление теоретического
материала. Кроме того, закрепление полученных знаний проводится посредством
самостоятельной работы студентов, формой контроля которой являются индивидуальные
домашние задания по ключевым разделам курса, а также расчетно-графические задания.
Курс читается в течение первого семестра 1 курса.
1. Цели и задачи изучения дисциплины
Цели:
•
Приобретение базовых знаний и формирование основных навыков по
математическому анализу, необходимых для решения задач, возникающих в практической
экономической деятельности;
•
развитие логического мышления и математической культуры;
•
формирование необходимого уровня теоретического и практического
уровня владения аппаратом математического анализа для понимания основ теории
вероятностей, математической и экономической статистики, экономической теории.
Задачи:
•
изучение основных понятий и методов математического анализа;
•
формирование навыков и умений решать типовые задачи и работать со
специальной литературой;
•
выработка умения использовать аппарат математического анализа для
решения теоретических и прикладных задач в математике, информатике и менеджменте.
•
Выработка умения анализировать полученные результаты
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина «Математика» является базовой дисциплиной математического и
естественнонаучного цикла дисциплин Федерального государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению по
направлению «Менеджмент» (бакалавриат).
Дисциплина «Математика» базируется на знаниях, полученных в рамках
школьного
курса
математики
или
соответствующих
дисциплин
среднего
профессионального образования.
Обучение математике строится на междисциплинарной интегративной основе.
Принцип интегративности предполагает интеграцию знаний из различных предметных
дисциплин.
Дисциплина «Математика» является общим теоретическим и методологическим
основанием для дисциплины «Дополнительные главы математики» и специальных
дисциплин экономического и профессионального циклов, входящих в ООП бакалавра
менеджмента.
Дисциплины, для которых «Математика» является предшествующей:
- «Дополнительные главы математики»
- «Экономическая теория»
- «Методы принятия управленческих решений»
- «Маркетинг»
- «Финансовый менеджмент»
3. Требования к результатам освоения дисциплины
В совокупности с другими дисциплинами базовой части математического цикла
ФГОС ВПО дисциплина «Математика» обеспечивает инструментарий формирования
следующих компетенций бакалавра менеджмента:
а) Общекультурные компетенции (ОК):
•
владение культурой мышления, способность к восприятию, обобщению и
анализу информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-5);
•
умение логически верно, аргументировано и ясно строить устную и
письменную речь (ОК-6);
•
стремление к личностному и профессиональному саморазвитию (ОК-10);
•
владеть
методами
количественного
анализа
и
моделирования
теоретического и экспериментального исследования (ОК-15);
•
способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях и
корпоративных информационных системах (ОК-18);
б) Профессиональные компетенции (ПК):
•
умение применять количественные и качественные методы анализа при
принятии управленческих решений и строить экономические, финансовые и
организационно-управленческие модели (ПК-31);
•
способность выбирать математические модели организационных систем,
анализировать их адекватность, проводить адаптацию моделей к конкретным задачам
управления (ПК-32);
•
владеть средствами программного обеспечения анализа и количественного
моделирования систем управления (ПК-33);
В результате освоения содержания дисциплины «Математика 1» студент должен
обладать следующими компетенциями:
знать
основные понятия и инструменты математического анализа, методы решения
дифференциальных уравнений;
уметь
решать типовые математические задачи курса, используемые при принятии
управленческих решений; использовать математический язык и математическую
символику при построении организационно-управленческих моделей;
владеть
математическими и количественными методами решения типовых организационноуправленческих задач; навыками работы с математической литературой и навыками
применения современного математического инструментария для решения задач
экономики.
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы (типовые расчёты)
Реферат
Другие виды самостоятельной работы
Текущие домашние задания
Индивидуальные домашние задания
Подготовка к экзамену
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
часы
зачётные единицы
Всего
часов
Семестры
1
2
108
108
54
54
54
54
144
144
24
10
24
10
51
24
35
288
51
24
35
Экз.
288
8
8
5. Содержание дисциплины
5.1 Содержание разделов дисциплины
№№
п/п
Наименование раздела
дисциплины
1.
Основы математического
анализа
2.
Дифференциальное
исчисление функций
одной переменной
Содержание раздела
1.1. Основные понятия.
Элементы математической логики. Бином Ньютона. Множество
вещественных чисел, Абсолютная величина. Числовые функции. Способы
задания функций. Область определения и множество значений функции.
График функции. Сложная и обратная функции. Основные элементарные
функции и их свойства. Функции в экономическом моделировании:
функция потребления, функции спроса и предложения, и т.п.
(самостоятельное изучение – реферат).
1.2. Теория пределов.
Числовые последовательности. Предел числовой последовательности
и его свойства. Единственность предела. Ограниченность сходящейся
последовательности. Переход к пределу в неравенствах, теорема о трех
последовательностях. Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности, их свойства. Свойства пределов, связанные с
арифметическими действиями. Монотонные последовательности.
Теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной
ограниченной последовательности. Число e. Формула непрерывных
процентов (самостоятельное изучение – реферат).
Предел функции. Различные типы пределов: односторонние пределы,
пределы в бесконечности, бесконечные пределы. Бесконечно малые и
бесконечно большие функции, их свойства. Свойства пределов. Первый
и второй замечательные пределы.
1.3. Непрерывность функций.
Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, разности,
произведения и частного непрерывных функций. Непрерывность
сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Теорема о
сохранении знака непрерывной функции. Точки разрыва функции, их
классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о
существовании корня, о промежуточных значениях, об ограниченности
функции, о достижении наибольшего и наименьшего значений, о
непрерывности обратной функции.
2.1. Производные и дифференциалы.
Производная функции. Дифференцируемость и дифференциал
функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Основные
правила дифференцирования. Производная сложной и обратной
функции. Производные основных элементарных функций. Производные
и дифференциалы высших порядков. Геометрический смысл
производной и дифференциала функции. Уравнение касательной к
графику функции. Приложение производной в экономической теории:
понятия предельных издержек и предельного дохода, эластичности
функции и ее применение при анализе спроса и потребления (пункты
изучаются самостоятельно – реферат).
2.2. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Локальный экстремум функции, теорема Ферма. Теоремы Ролля,
Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций. Правило Лопиталя
раскрытия неопределенностей. Формула Тейлора (Маклорена) с
остаточным членом в формах Лагранжа и Пеано. Разложение функций eх
,sin x , cos x , (1 + x)a, ln(1 + x) по формуле Маклорена.
2.3. Исследование функций с помощью производных.
Признак монотонности функции на интервале. Достаточное условие
локального экстремума. Выпуклые (вогнутые) функции. Достаточные
условия выпуклости функции. Необходимый и достаточный признаки
точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема
исследования функции и построения ее графика. Отыскание
наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
(оптимизация).
3.
4.
5.
Дифференциальное
исчисление функций
нескольких переменных
Элементы высшей
алгебры
Интегральное исчисление
функций одной и двух
переменных
Дифференциальные
6.
уравнения
3.1. Основные понятия.
Функции нескольких переменных. Поверхности (линии) уровня
функции. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном
множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего
значений.
3.2. Дифференцирование функций нескольких переменных.
Частные производные, дифференцируемость, дифференциал функции
нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости.
Непрерывность дифференцируемой функции. Производная сложной
функции. Производная по направлению, градиент. Свойства градиента.
Частные производные высших порядков. Теорема Шварца.
3.3. Экстремумы функций нескольких переменных.
Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие
экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум
функции нескольких переменных. Метод исключения переменных.
Отыскание глобальных экстремумов дифференцируемой функции на
замкнутом ограниченном множестве.
Функция полезности. Задача потребительского спроса. Кривые
безразличия. Общая модель потребительского выбора (пункты
изучаются самостоятельно – реферат).
Метод наименьших квадратов.
4.1. Комплексные числа.
Комплексные числа, действия с ними. Различные формы записи
комплексных
чисел
(алгебраическая,
тригонометрическая
и
показательная). Формула Эйлера.
4.2. Алгебраические многочлены и рациональные дроби.
Алгебраические многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры.
Разложение многочлена с действительными коэффициентами на
линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей
на простейшие.
5.1 Первообразная. Простейшие способы интегрирования.
Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных
интегралов. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной в
неопределенном интеграле, интегрирование по частям.
5.2. Интегрирование алгебраических дробей.
5.3. Подстановки, применяемые при интегрировании.
Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых
классов иррациональных и трансцендентных функций.
5.4. Определенный интеграл.
Определенный
интеграл
(по
Риману)
и
его
свойства.
Интегрируемость непрерывной функции. Интеграл с переменным
верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной
функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в
определенном интеграле, интегрирование по частям.
5.5. Приложения определенного интеграла.
Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление
площади криволинейной трапеции и объема тела вращения. Примеры
использования определенного интеграла в экономике (пункт изучается
самостоятельно – реферат).
5.6. Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы первого и второго рода (с бесконечными
пределами и от неограниченных функций) и их свойства.
5.7. Кратные интегралы.
Понятие повторного и двойного интеграла. Приложения.
6.1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения 1 порядка.
Основные понятия: порядок уравнения, частное и общее решения,
задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи
Коши. Геометрический смысл уравнения первого порядка и его
решения. Понятие об особых точках и особых решениях ДУ. ДУ с
разделенными и разделяющимися переменными. Однородные ДУ.
Линейные ДУ первого порядка, их решение методом Лагранжа. ДУ в
полных дифференциалах.
6.2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие
понижение порядка.
ДУ высших порядков. Основные понятия. Теорема существования и
единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие
понижение порядка.
7.
Элементы теории рядов
6.3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с
постоянными коэффициентами.
Линейные ДУ n-го порядка. Свойства решений линейного однородного
ДУ. Линейная зависимость и независимость решений. Структура
общего решения линейного однородного ДУ. Решение линейного
однородного ДУ с постоянными коэффициентами методом Эйлера.
Структура общего решения линейного неоднородного ДУ. Физический
смысл решений однородного и неоднородного ДУ. Принцип
суперпозиции. Нахождение частного решения линейного неоднородного
ДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального
вида методом подбора.
Решение линейного неоднородного ДУ методом Лагранжа.
6.4 Понятие разностных уравнений.
7.1.Числовые ряды.
Понятие ряда. Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое
условие сходимости. Гармонический и геометрический ряды.
Простейшие действия над рядами: умножение на число, сложение и
вычитание рядов. Ряды с положительными членами. Признаки
сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Знакочередующиеся ряды.
Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Их абсолютная и условная
сходимость.
7.2.Функциональные ряды.
Функциональные ряды. Область сходимости, методы ее определения.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства
степенного ряда.
Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи разделов дисциплины с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
№ № разделов данной дисциплины, необходимых для
изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2
3
4
5
6
7
1.
Дополнительные главы
математики
+
+
+
2.
Экономическая теория
+
+
+
3.
Методы принятия управленческих
+
+
+
+
решений
4.
Маркетинг
+
5.
Финансовый менеджмент
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5.3 Разделы дисциплины и планы занятий
№
п/п.
1
2
3
4
5
6
7
Раздел дисциплины
Лекции,
час.
ПЗ, час.
СР, час.
6
6
18
10
10
44
6
6
14
3
3
4
15
15
35
уравнения
8
8
14
Элементы теории рядов
Итого:
6
54
6
54
15
144
Основы математического
анализа
Дифференциальное
исчисление функций одной
переменной
Дифференциальное
исчисление функций
нескольких переменных
Элементы высшей алгебры
Интегральное исчисление
функций одной и двух
переменных
Дифференциальные
6.Лабораторный практикум
Не предусмотрен.
7. Практические занятия (семинары)
№
п/п
№ раздела
(темы
дисциплины)
1.
1
2.
2(1)
3.
2(2,3)
Тематика практических занятий (семинаров)
Понятие множества и простейшие операции над множествами.
Основные элементарные функции и их графики. Четность и
нечетность, периодичность, монотонность, ограниченность
функций.
Вычисление
пределов
последовательностей.
Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей
алгебраическими способами и с применением замечательных
пределов и эквивалентных функций. Непрерывность функции.
Точки разрыва функции, исследование их характера.
Проверочная работа по пределам(1 час)
Техника дифференцирования. Логарифмическая производная.
Дифференциал функции. Его применение в приближенных
вычислениях. Производные высших порядков. Производные
функций, заданных параметрически и неявно.
Индивидуальное домашнее задание №1.
Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя.
Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное
условия локального экстремума. Нахождение наибольшего и
наименьшего значения функции на отрезке. Полное исследование
функции и построение ее графика.
Выдача расчетно-графического задания №1.
Трудоемкость
(час.)
7
6
4
4.
3
5.
4
6.
5(1,2,3)
7.
5(4,5,6)
8.
6
12.
7
Нахождение области определения ФНП. Вычисление пределов
ФНП. Нахождение частных производных. Применение полного
дифференциала к приближенным вычислениям. Нахождение
производных сложных функций нескольких переменных.
Нахождение
частных
производных
высших
порядков.
Вычисление
производных
функций,
заданных
неявно.
Вычисление градиента и производной по направлению.
Определение касательной плоскости и нормали к поверхности.
Исследование функции двух переменных на экстремум.
Определение наибольшее и наименьшего значения функций двух
переменных в замкнутой области. Поиск условного экстремума.
Метод множителей Лагранжа. Применение метода наименьших
квадратов.
Индивидуальное домашнее задание №2.
Действия над комплексными числами. Переход от алгебраической
формы комплексного числа к тригонометрической и
показательной. Разложение рациональных дробей на простейшие.
Непосредственное
интегрирование.
Основные
методы
интегрирования. Понятие об интегралах, не выражающихся через
элементарные функции. Интегрирование дробно-рациональных
функций. Интегрирование рациональных выражений от
тригонометрических и от иррациональных функций.
Вычисление определенного интеграла по формуле НьютонаЛейбница. Интегрирование по частям и заменой переменных в
определенном интеграле. Вычисление площадей, объемов и длин
дуг с помощью определенного интеграла. Вычисление
несобственных интегралов I и II рода. Интеграл Эйлера-Пуассона.
Вычисление кратных интегралов.
Выдача расчетно-графического задания №2.
ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.
Однородные ДУ. Линейные ДУ первого порядка. Уравнение
Бернулли. ДУ высших порядков, допускающие понижение
порядка. Решение линейных однородных ДУ с постоянными
коэффициентами. Решение линейных неоднородных ДУ со
специальной правой частью методом подбора частного решения.
Контрольная работа №1 (дифференциальные уравнения).
Числовые ряды. Вычисление суммы ряда. Исследование
сходимости положительных рядов по признакам сравнения,
Даламбера, Коши. Исследование сходимости знакочередующихся
и знакопеременных рядов с использованием признака Лейбница.
Нахождение области сходимости функциональных и степенных
рядов. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.
Решение примеров на приложения степенных рядов.
Индивидуальное домашнее задание №3..
Итого:
6
2
8
9
8
6
54
Самостоятельная работа
Обязательными при изучении дисциплины «Математика» являются следующие
виды самостоятельной работы:

разбор теоретического материала по пособиям и конспектам лекций (в т.ч.
при подготовке к экзамену);

написание рефератов по указанным в п.5.1 темам;

выполнение текущих домашних заданий;

выполнение двух расчетно-графических работ;

выполнение трех индивидуальных домашних заданий.
Примерные темы заданий для самостоятельной работы студентов
1. Расчетно-графическое задание №1: Исследование функций.
2. Расчетно-графическое задание №2: Определенный интеграл.
3. Индивидуальное домашнее задание №1: Производные.
4. Индивидуальное домашнее задание №2: Функции нескольких переменных.
5. Индивидуальное домашнее задание №3: Числовые и функциональные ряды.
8. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
Не предусмотрены
9.
Учебно-методическое
и
информационное
обеспечение
дисциплины:
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. СПб: Специальная литература,
2005.
Бугров С.Я., Никольский С.М. Высшая математика, т.т.1-3, М.:Дрофа,2004.
Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для студентов
ВУЗов, в 2-х ч. – М.: 1999.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Интеграл-пресс, т.т.1-2,
2005.
Господариков А.П. и др. Математический практикум. / Часть 1. Учебное пособие. – СПГГИ,
2007.
Господариков А.П. и др. Математический практикум. / Часть 2. Учебное пособие. – СПГГИ,
2007.
Господариков А.П. и др. Математический практикум. / Часть 3. Учебное пособие. – СПГГИ,
2007.
Господариков А.П. и др. Математический практикум. / Часть 4. Учебное пособие. – СПГГИ,
2007.
Господариков А.П. и др. Математический практикум. / Часть 5. Учебное пособие. – СПГГИ,
2007.
Господариков А.П., Лебедев И.А., Акчурин Т.Р., Керейчук М.А., Прозоров К.В. Высшая
математика. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
Дифференциальное и интегральное исчисления. Дифференциальные уравнения и
ряды Учебное пособие. – СПГГИ, 2009.
11.
12.
Ермаков В.И. и др. Общий курс высшей математики для экономистов. – М.: Инфра-М, 2008.
Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов. Учебное пособие. – М.: Инфра-М, 2006.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
13.
14.
15.
16.
Смирнов В.И. Курс высшей математики ( тт 1,2,3( ч.1 и 2 )). – СПб: БХВ-Петербург.: 2008.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1992.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.т.1-2. – СПб: Лань, 2006.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 2006.
ПРОГРАМНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Не предусмотрено
БАЗЫ ДАННЫХ, ИНФОРМАЦИОННО-СПРАВОЧНЫЕ И ПОИСКОВЫЕ СИСТЕМЫ
Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы отсутствуют.
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, оснащенные
мультимедийным оборудованием.
11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
В период сессии контроль осуществляется в форме экзаменов (I семестр). Контроль в
течение семестра и перед началом экзаменационной сессии включает проверку
контрольных и проверочных работ и расчетно-графических заданий и индивидуальных
домашних заданий. Кроме того, в течение семестра осуществляются промежуточные
собеседования по темам основы математического анализа и дифференциальное
исчисление функций одной переменной. Студенты, не выполнившие контрольных работ,
индивидуальных домашних заданий и расчетно-графических заданий, к экзамену не
допускаются. Экзамен проводится в виде теста, в котором при ответе на каждый вопрос
студенту предлагается выбрать один из пяти вариантов ответов.
_____________________________________________________________________________
Разработчики:
Горный университет
доцент кафедры
высшей математики
Т.Р. Акчурин
Горный университет
доцент кафедры
высшей математики
Г.А. Колтон
Декан ФФиГД, заведующий
кафедрой высшей математики
Горного университета
профессор
А.П. Господариков