ОЛИМПИАДА 2014 год 9 КЛАСС ВАРИАНТ 1 Задача 1 Что больше 1 2 3 ... 300 или 100 200 ? Задача 2 В прямоугольном треугольнике ABC из вершины B прямого угла опущена высота BD на гипотенузу AC. Известно, что |AB|=13, |BD|=12. Найти площадь треугольника ABC. Задача 3 В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность, которая касается боковой стороны AB в точке M. Через точку M проведен перпендикуляр ML к стороне AC треугольника ABC (точка L – основание этого перпендикуляра). Найти величину угла BCA, если известно, что площадь треугольника ABC равна 1, а площадь четырехугольника LMBC равна S. Задача 4 На прямой дороге расположены последовательно пункты A, B, C, D. Расстояние от пункта A до пунктов B, C, D находятся в отношении 1:2:4. В направлении от A к D по дороге через равные промежутки времени с одной и той же скоростью едут автобусы. Из A в D вышли в разное время три пешехода и пошли по дороге с одной и той же скоростью. Первого пешехода в пути между A и B обогнали 3 автобуса. Второго пешехода между A и C обогнали 4 автобуса. Третий пешеход вышел из A и прибыл в D, когда через эти пункты проезжали очередные автобусы. Сколько автобусов обогнали третьего пешехода в пути между A и D? Задача 5 Окружность задана уравнением x 2 y 2 2 x 8 y 8 0 . Найдите центр окружности и ее радиус. Задача 6 Определить, 2 7 83 16 3 кратно 37? Задача 7 Упростите выражение: 10 3 2 10 4 2 Задача 8 Найдите наименьшее значение выражения 2 x 2 3 y x 5 y 3 2 x 2 2 и значения x и y, при которых оно достигается. Задача 9 Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые делятся на 6. Задача 10 Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если известно, что их сумма равна 27 и при уменьшении первого числа на 1, второго – на 3 и третьего – на 2 они составляют геометрическую прогрессию. Задача 11 При каких значениях С число 2 находится между корнями уравнения 2x 2 1 x (C 3)(C 5) 0 ? 2 Задача 12 Докажите, что уравнение ( x 2 8x 17)( x 2 4 x 7) 3 не имеет корней.