3 Евклидовы и псевдоевклидовы пространства Тема 8 Системы координат Школьная геометрия изучает различные метрические свойства простейших геометрических фигур, то есть в основном находит соотношения между длинами и углами треугольников и многоугольников, а также на базе этого вычисляются площади, поверхности и объёмы некоторых тел. Центральными понятиями, на которых строится геометрия, являются длина отрезка или кривой, угол между двумя пересекающимися линиями. Целью аналитической геометрии было описание геометрических фигур при помощи уравнений в декартовой системе координат на плоскости или в трёхмерном пространстве. Дифференциальная геометрия изучает то же, но в ней глубоко будут использоваться как средства аналитической геометрии, так и дифференциального исчисления и линейная алгебра. Итак, геометрия разворачивается в некотором пространстве, которое состоит из точек P, Q, R, …. В это пространство введём декартовы координаты (х1, … , хn), то есть поставим в соответствие каждой точке пространства определённые наборы чисел (х1, х2, … , хn), которые будем называть координатами. Число координат есть размерность пространства. Потребуем также, чтобы разным точкам соответствовали разные наборы чисел. Две точки P(х1,…, хn) и Q(y1, … , yn) совпадают тогда и только тогда, когда хi = yj, для всех i = 1, …, n. И наоборот, каждому набору чисел (х1,…, хn) должна соответствовать какая-либо точка изучаемого пространства. Такое пространство называется декартовым. Пример. Пусть n = 3. 1) Пусть каждой точке Р соответствуют три её координаты (х1, х2, х3); 3 2) P(х , х , х ), Q(y , y , y ), |PQ| = ℓ = ( y i x i ) 2 . 1 2 3 1 2 3 2 2 i 1 Если условия 1 и 2 выполняются, то пространство называется евклидовым, а декартовы координаты с такими свойствами, называются евклидовыми координатами. С точками евклидова пространства свяжем векторы: Р OP – радиус-вектор О Точка О – начало координат. Вектор, идущий из точки О в изучаемую точку Р, называется радиус-вектором этой точки. Декартовы координаты (х1,…, хn) точки Р, называются координатами вектора. Пусть = (хi), = (yi), = (хi + yi). Можно также вектор умножить на число. ℓ1 = (1, 0, 0), ℓ2 = (0, 1, 0), ℓ3 = (0, 0, 1) – единичные векторы. Если = (х1, х2, х3), то = х1ℓ1 + х2ℓ2 + х3ℓ3. Для любых n аналогично. Поэтому евклидово пространство можно рассматривать как линейное 32 или векторное пространство, в котором расстояние между точками (концами радиус-векторов) = (хi), = (yi) измеряется ℓ2 = 3 ( y i xi )2 . i 1 Определение. Евклидовым скалярным произведением векторов = (хi), 3 = (yi), называется число = = y i x i , i = 1, 2, …, n (рис. 22). Слеi 1 довательно, P - Q Рисунок 22 PQ 2 , z i , то | . 2 Из аналитической геометрии известно, что cos = . Таким образом, длины и углы связаны с понятием скалярного произведения. Это понятие будет взято за первичное, на котором строится геометрия. Пусть в евклидовом пространстве задана кривая в параметрической i форме хi = f (t), i = 1, 2, …, n, где f i(t) – дифференцируемые функции от параметра t, а a t b . Касательным вектором или вектором скорости df i . Кривая кривой в момент времени t мы определяли вектор vt dt называется регулярной, если её вектор скорости отличен от нуля в каждой точке этой кривой. b Определение. Длиной линии называется число ℓ = a Пусть х = i f i b vt vt dt (t ) dt . a (t) и х = g (t) – две линии, которые пересекаются при t t 0 . i i df i dg i , w – касательные векторы в точке t t 0 . v dt t t0 dt t t0 Определение. Углом между двумя линиями в точке их пересечения при заданном аргументе t t 0 называется угол между векторами v, w , то есть wv cos = . wv Можно выбрать параметр t так, чтобы v c , где c – константа. Тогда b dt c(b a) . Такой параметр t, что vt 1 , мы называли натуральa 33 ным параметром – он равен длине линии, которую мы пробегаем. В евклидовой геометрии будет встречаться лишь положительное скалярное произведение вектора самого на себя. = х1 х1 + х2 х2 + … + хn хn , 2 2 2 x1 x 2 ... x n 0 . Приведём пример неположительного скалярного произведения векторов четырёхмерного пространства: (х1, х2, х3, х0 = ct). Это пространство играет важную роль в специальной теории относительности. Пусть = (х1, х2, х3, х0), = (y1, y2, y3, y0). Тогда = х1 y1 + х2y2 + х3y3 – х0y0. Такое пространство называется псевдоевклидовым или пространством Минковского. В этом пространстве существуют векторы трёх типов: 1) пространственноподобные векторы: > 0; 2) времениподобные векторы: < 0; 3) световые векторы: = 0. Здесь длины векторов могут оказаться мнимыми или нулевыми. Определение. Областью без границы называется совокупность точек в трёхмерном пространстве такая, что вместе с любой точкой из этой совокупности ей принадлежат все достаточно близкие к ней точки пространства. Область с границей получается, если добавить к области без границы её предельные точки (то есть точки, которые можно достичь изнутри области сходящимися к ним последовательностями внутренних точек). Область без границы: x1 x 2 1, с границей: x1 x 2 1. Всё пространство – область. 2 2 2 2 Определение. Градиентом функции f(х1,…, хn) в точке P( x01 , …, x0n ) в заданной декартовой системе координат евклидова пространства (или его области) называется вектор n f f grad f | p = = i i , где i – базисные орты. t x ' x0' i 1 x Если рассматривать градиент как функцию от заданной точки P, то мы получаем векторное поле, то есть когда в каждой точке пространства или его области задан вектор, прикреплённый к этой точке. Пусть заданы теперь в пространстве функция f(х1, …, хn) и некоторая кривая xi = xi(t), i = 1, …, n, a t b . С какой скоростью изменяется функция f(х1(t)), …, f( хn(t)) = (t) при изменении параметра t? Найдем n n f f d f dx1 f dxn grad f v , где grad f i i , v i , i 1 ... n dt x dt x dt i 1 x n 1 x – базисные орты. 34 Определение. Производной функции f(x1, …, xn) по направлению вектора = (y1,…,yn), вычисленной в точке P = ( x0i ), называется скалярное произведение градиента функции f, вычисленного в точке Р, на вектор . df Обозначается d f i i y , x x0i i i 1 x n P Теорема. Если задана кривая xi = xi(t), i = 1, …, n, такая, что в точках этой кривой скалярное произведение градиента f и вектора скорости равно нулю, то функция f постоянна вдоль этой кривой. ◄Доказательство. Если xi = xi(t) – кривая, t f x i t , то dx i df d – вектор скорости кривой. Так как grad f v , где v dt dt dt d grad f v 0 , то 0 , t – const. ► dt Общеизвестны следующие типы координат (рис. 23): 1) декартовы координаты (x1, …, xn); 2) на плоскости – полярные координаты (r, ); x = r cos , y = r sin ; 3) цилиндрические координаты (r, , z); z = z, x = r cos , y = r sin , то есть полярные координаты в плоскости 0ху; 4) сферическая система координат (r, , ); z = r cos , x = r sin cos , y = r sin sin . 1) y 2) M(r, ) М(х, у) 0 r x 3) 0 z 4) z М(r, , z) M(r, , ) z 0 0 y r r x x 35 y Рисунок 23 Пусть заданы декартовы (первичные) координаты (x1, …, xn). Пусть теперь заданы и какие-то другие координаты в той же области (z1, …, zn). Это значит, что каждая хi = xi (z1, …, zn) или zi = zi(x1, …, xn). Значит, каждой точке области можно сопоставить как набор первичных координат (х) = (хi), так и набор новых координат (z) = (zj). Поэтому декартоn вы координаты можно выразить через новые и наоборот. Пусть xi = a ij z j , j i = 1, …, n – линейная замена координат в пространстве. А чтобы теперь выразить z через х, необходимо и достаточно, как известно из линейной алгебры, чтобы матрица А = (a ij ) имела обратную матрицу: А-1 = В = ( b ij ). Обратная матрица В определяется так: В = ( b ij ), где E i k – единичная матрица. Условимся делать такую запись: n a ij z j n 1, i k j 1 bij akj ki ; ki 0, i k ; = aij z j , где суммирование будет j производиться по двум входящим в эту формулу индексам. Итак, если точке P соответствовал набор координат (x1, …, xn), то в новых координатах этой точке будет соответствовать набор (z1, …, zn), приn xi чём xi = a ij z j , i = 1, …, n, где a ij j . z j Рассмотрим произвольные координаты хi = xi (z1, …, zn), i = 1, …, n и точку P = ( x01 , …, x0n ). Предположим, что координаты определяют каждую точку в нашем пространстве, то есть любому набору чисел ( x01 , …, x0n ) соответствует хотя бы один набор ( z 01 , …, z0n ) такой, что x0i = x0i ( z 01 , …, z0n ). Определение. Точка P = ( x01 , …, x0n ) называется неособой точкой системы координат (z1, …, zn) при zi = z 0i , где i = 1, …, n и x0i = xi( z 01 , …, z0n ), x i a i . Эта матрица и называется тогда и только тогда, если A j j z z q z q 0 x x матрицей Якоби , а J = | | называется якобианом. z z n xi Известно, что если x = Az, х = (хi), a ij j , z = (zi), где xi = a ij z j , z j dxi aij j , i = 1, …, n, то z = Bx, где В есть обратная матрица по отношению dz к матрице А. Поставим вопрос: вычислить длину кривой в общих координатах z, где 36 x1 x1 z1 , z 2 , x 2 x 2 z1 , z 2 , x1 , x 2 – декартовы координаты. Кривая z1 z1 t , z 2 z 2 t или x1 x1 z1 t , z 2 t , x 2 x 2 z1 t , z 2 t b dx1 dx2 – вектор скорости. , ℓ = v(t ) dt , где v(t ) a dt dt 2 2 2 2 dx1 dx2 dxi . Так как x1 x1 z1 t , z 2 t , v i 1 dt dt dt dx1 x1 dz1 x1 dz 2 dx2 x 2 dz1 x 2 dz 2 2 2 1 2 , , x x z (t ), z (t ) , то dt z1 dt z 2 dt dt z1 dt z 2 dt 1 2 1 2 dx1 dx2 1 dz 1 dz 2 dz 2 dz , , v1x a11v1z a12vz2 , vx2 a12v1z a22vz2 . a1 a2 a1 a2 dt dt dt dt dt dt 2 2 2 2 2 vx v1x vx2 a11v1z a12vz2 a12v1z a22vz2 a11a11v1z v1z 2a11a12v1z vz2 a12 a12vz2vz2 a12 a12v1z v1z 2a12 a22v1z vz2 a22 a22vz2vz2 a11a11 a12 a12 v1z v1z 2a11a12 a12 a22 v1z vz2 a12 a12 a22 a22 vz2vz2 2 gik vzi vzk , i , k 1 2 где gik aij akj , i, k 1,2 . j 1 Итак, для любого n можно записать, что | V x |2 n g , ik i k 1 n n dz i dz k j j j q , где g g a a a a . ik ki i k jq i k dt dt j 1 j, q 1 Координаты z1, …, zn называются евклидовыми, если длина вектора в них выражается формулой VZ 2 dz 1 dz n ,..., ). ( y ) , где V z ( y ,..., y ) ( j 1 dt dt j j 2 i dxi j j Если x x ( z ), (a ) ( j n dz 1 n ) A , то необходимо и достаточно для ев- 1, i j клидовости координат, чтобы выполнялось условие: g ij ij . 0 , i j Выясним, как преобразуются компоненты g ij матрицы G при переходе к новым координатам. Пусть в системе (х) 1 11 ,..., 1n , 2 21 ,..., 2n . В системе (Z) 1 11 ,...,1n , 2 21 ,..., 2n . Пусть заданы новые координаты (у) в z i i j j 1 n той же области и z z y ,..., y , i = 1, 2, …, n. Пусть B B j i . y Векторы 1 , 2 в координатах y1 ,..., y n имеют тогда компоненты 11 ,...,1n , 1 2 ,..., 2n , причём n n k 1 1 1i bki 1k , 2j bj 2 (*). Пусть матрица, дающая вы- ражение для скалярного произведения в координатах (у), равна hij . Это 37 значит, что 1 2 n hk1k 2 k ,1 n gij1i2j . i , j 1 Используя (*), имеем: n hk1k 2 k , 1 n gij1i2j i , j 1 n n i n i k n j g b b ij k 1 2 bk gijbj 1k 2 hk i , j 1 k 1 1 k , 1 i , j 1 n n bki gij bj . i , j 1 Тема 9 Риманова и псевдориманова метрика Пусть задано пространство (или область) с декартовыми координатами (x ) и заданы новые координаты (zi), xi = xi(z1,…zn), причём новая система не n x k x k n x k x q имеет особых точек. Мы показали, что gij i kq i j . j z z k 1 z z k , q 1 Значит, в координатах (z) имеем для скалярного произведения формулу i n gij1i 2j . Риманова метрика в области пространства с произвольныi , j 1 ми регулярными координатами (z) задаётся набором функций gij z g ji z , причём если задана кривая z i z i t , i = 1, …, n, то квадратом длины её ξ1ξ2 = dzi z i z j 2 в точке t t 0 называется число gij вектора скорости vz . dt dt dt t t0 Определение. Будем говорить, что набор функций gij z g ji z задаёт риманову метрику в координатах (z), если при любых (z1, …, zn) форма n gij i i , j 1 j положительна. Если det( g ij ) 0, но указанная форма знаконеопре- делённая, то будем говорить, что набор задаёт псевдориманову метрику. Определение. Длиной кривой по отношению к римановой или псевдоb dzi dz j римановой метрике будем называть число ℓ gij dt . dt dt a Если заданы новые координаты (у) в той же области такие, что zi = zi(y), z 0 , то в новых координатах (у) риманова метрика определяется набоy z k z l ром функций g (у), где g (у) = g (у) и g ij i g kl i g ij ( y1 ,..., y n ) . На y y ' ij ' ij ' ji z i матричном языке g g , где k y 38 . g g ij , g gij . Определение. Будем говорить, что метрика евклидова, если найдутся x i 1 n i i 1 n 0 , такие, что новые координаты (x , …, x ), x = x (z , …, z ), z j n x k x k x k x q kq i j . В координатах (x1, …, xn) имеем i j z z k 1 z z k , q 1 1, i j , и координаты (х) называются евклидовыми. gij ij 0 , i j Мы всегда требуем, чтобы gij 0 или ещё говорят, чтобы метрика g ij n gij была невырожденной. Если матрица ( g ij (z)) определяет положительную квадратичную форму, то есть длины всех ненулевых векторов положительны, то мы говорим, что g ij задаёт риманову метрику. Если gij 0 , но форма n gij i j знакопеременная, то будем говорить, что имеется псевдо- i , j 1 риманова метрика. Важен случай при n = 4 и форма n gij i i , j 1 j в каждой точке ( z 01 , …, z0n ) может быть приведена к виду: 2 3 4 . Это такие метрики, на которых построена общая теория относительности. 1 2 2 2 2 Определение. Линейное вещественное пространство размерности n называется псевдоевклидовым пространством индекса s, если в этом пространстве задана билинейная форма ξη = – ξ1η1 – … – ξsηs + ξs+1ηs+1 + …+ ξs+q=nηs+q=n. Если s = 0, то получаем евклидово пространство Rn. Выше приведенное пространство будем обозначать Rsn . Пространство R14 является пространством специальных теорий относительности и называется пространством Минковского. Длина вектора в псевдоевклидовом пространстве Rsn определяется следующей формулой: s ( ) s , где ( ) 1 1 ... s s s 1 s 1 ... s q n s q n . s Тема 10 Псевдоевклидово пространство В отличие от пространства Rn в пространстве Rsn длины векторов могут быть нулевыми и мнимыми. В пространстве Rn совокупность всех точек , таких что образует (n – 1)–мерную сферу, Sn-1 (гиперсфера). В псевдоевклидовом пространстве Rsn также рассматривается множество точек , 39 удаленных от начала координат на расстояние , где может быть действительным, мнимым числами или нулём. Это множество точек называется псевдосферой индекса S и обозначается S sn 1 . Будем различать псевдосферы действительного, мнимого и нулевого радиусов. Псевдосфера нулевого радиуса имеет уравнение: – (ξ1)2 – (ξ2)2 –… – (ξs)2 + (ξs+1)s + …+ (ξs+q=n)2 = 0. Это есть конус второго порядка в пространстве Rsn с вершиной в начале координат. Все векторы, выходящие из начала координат и лежащие на этом конусе, имеют нулевую длину. Векторы, лежащие вне этого конуса, имеют длину, отличную от нуля. Псевдосфера S sn 1 нулевого радиуса называется изотропным или световым конусом. Векторы, лежащие внутри конуса, имеют положительный 2 квадрат длины, > 0 и, называются времениподобными, а векторы лежащие вне этого конуса имеют отрицательный квадрат длины, < 0, и называются пространственноподобными. Векторы, лежащие на изотропном конусе, называются изотропными или световыми, = 0. 2 Примеры. 1) Пусть n = 1, s = 0. R01 совпадает с обычной вещественной прямой. 2) Пусть n = 2, s = 1 и пусть заданы декартовы координаты (х1, х2). Тогда получаем изотропный конус –(х1)2 + (х2)2 = 0 х1 = х2. Этот конус разбивает пространство R2 на две области. В одной из них скалярное произведение (ξξ)1 > 0, когда x 2 > x1 и (ξξ)1 < 0, когда x 2 < x1 (рис. 24). x2 ξξ)1> 0 (ξξ)1< 0 (ξξ)1< 0 x1 (ξξ)1> 0 Рисунок 24 Псевдосфера действительного радиуса – это гипербола –(х1)2 + (х2)2 = α2(α= = ) и псевдосфера мнимого радиуса – гипербола –(х1)2 + (х2)2 = –α2( = αi) (рис. 25). х2 =0 = αi х1 =α 40 Рисунок 25 3) Пусть n = 3, s = 1. Изотропный конус (псевдосфера нулевого радиуса) является обычным конусом второго порядка с осью х1: –(х1)2 + (х2)2 + (х3)2 = 0. Он разбивает всё пространство на две области: внутреннюю и внешнюю (рис. 26). х2 ↓(ξξ)1 > 0 (ξξ)1 < 0 х1 0 х3 Рисунок 26 Псевдосферы вещественного радиуса – это однополостные гиперболоиды: –(х1)2 + (х2)2 + (х3)2= α2(α = ), а псевдосферы мнимого радиуса – это двуполостные гиперболоиды: –(х1)2 + (х2)2 + (х3)2= – α2( = αi) (рис. 27). =α =0 0 = αi Рисунок 27 Изучим метрические свойства пространства R13 . Это пространство будем моделировать в пространстве R3. Через (х, у, z) обозначим декартовы координаты пространства R3. Тогда псевдоскалярное произведение имеет вид (ξξ)1 = –х2 + у2 + z2. Гиперсферой или псевдосферой мнимого радиуса i в пространстве R13 является двуполостный гиперболоид – 2 = –х2 + у2 + z2. Так как этот гиперболоид вложен в R3, то можно сказать, что геометрия пространства R13 индуцирует некоторую геометрию на гиперболоиде или с точки зрения римановой метрики метрика пространства R13 индуцирует некоторую метрику на гиперболоиде. 41 Рассмотрим гиперболоид – 2 = –х2 + у2 + z2, х > 0 (рис. 28). z 0 x аx + by + cz = 0 у Рисунок 28 Точками индуцированной на гиперболоиде геометрии мы назовём обычные точки гиперболоида, а прямыми индуцированной геометрии назовём всевозможные линии на гиперболоиде, которые получаются при пересечении гиперболоида плоскостями ax + by + cz = 0, проходящими через начало координат. Установим соответствие между геометрией на гиперболоиде и геометрией в круге на евклидовой плоскости. Такое преобразование называется стереографической проекцией. R2 N x S 2 O f(x) Рисунок 29 Плоскость R2 проходит через центр О сферы S2 и стереографическая проекция f : S2 R2 сопоставляет каждой точке х, не совпадающей с северным полюсом N сферы, точку f(x) – точку пересечения луча Nx с плоскостью R2 (рис. 29). При этом северному полюсу соответствует бесконечно удалённая точка расширенной комплексной плоскости. Стереографическая проекция псевдосферы S12 на плоскость R12 определяется подобным же образом. Центром псевдосферы S12 = {– 2 = –х2 + у2 + z2} является начало координат О. Северный полюс есть точка с декартовыми координатами ( , 0, 0). Плоскость, на которую осуществляем проекцию, есть плоскость YOZ. Так как мы рассмотрели только одну часть гиперболоида х > 0, то образ этой плоскости при проекции f покрывает не всю плоскость R2 = YOZ, а только открытый круг радиуса . Теорема. Пусть (x, y, z) – координаты точки х є S12 (х > 0), и пусть (u1, u2) 42 – координаты точки f(x) є YOZ, где f – стереографическая проекция. Тогда 2 2 , x 1 1 2 2 2 2 (u ) (u ) 2 u1 , (u1 ) 2 (u 2 ) 2 2 2 u 2 z . (u1 ) 2 (u 2 ) 2 2 y ◄Доказательство. Сечение гиперболоида плоскостью, проходящей через ось ОХ, имеет следующий вид: y x f x ,0,0 ,0,0 x Рисунок 30 Тогда из рисунка 30 видно, что y x z x x x , 2 , y u1 1 , z u 2 1 2 x 2 y 2 z 2 . Так 1 u u 2 2 2 2 как x y z , то подставляя y и z в это уравнение, получим, что x u 2 2 1 2 2 x 1 u 2 2 2 x 2 2 . 1 x 1 2 2 1 2 2 u u Аналогичное доказательство для у и z. ► При стереографической проекции f : S12 → (y2 + z2 < 2) = D2 точки гиперболоида переходят в точки двумерного круга D2 радиуса . В какие кривые на круге D2 перейдут прямые геометрии на гиперболоиде, то есть линии пересечения гиперболоида плоскостями ax + by + cz = 0? Теорема. Каждая линия пересечения S12 плоскости ax + by + cz = 0 43 переходит при отображении f в дугу окружности, пересекающую окружность y2 + z2 = 2 под прямым углом. ◄Доказательство. Для доказательства достаточно подставить в уравнение плоскости ax + by + cz = 0 выражение х, у, z через u1 , u 2 , u 0 . Тогда a 2a 2 u u 1 2 2 2 2 2bu 1 u u 1 2 2 2 2 2cu 2 u u 1 2 2 2 2 0 b c b a u1 u 2 2 – окружности с центром в точке 2 a a a 2 2 2 2 b2 c2 b c 2 , пересекающая окружность y 2 z 2 2 в точках А , и r 2 a a a 2 2 b c и В под прямым углом r . ► a a 2 2 Итак, геометрия, индуцированная на псевдосфере S12 геометрией псевдоевклидового пространства R13 , совпадает с геометрией, возникающей в круге радиуса на евклидовой плоскости R, если в качестве точек этой геометрии взять обычные точки этого круга, а в качестве прямых этой геометрии взять дуги окружностей, пересекающих границу круга под прямым углом. Геометрия, индуцированная на псевдосфере геометрией R13 , называется геометрией Лобачевского, а её модель в круге радиуса на евклидовой плоскости называется моделью Пуанкаре геометрии Лобачевского. Сам Лобачевский получил свою геометрию без псевдоевклидовых пространств. Если → ∞, то геометрия Лобачевского превращается в обычную геометрию Евклида. Можно рассматривать ещё одну геометрию на сфере, в которой “точками ” являются обычные точки сферы 2 : x 1âR2 , а “прямыми” являются всевозможные экваторы сферы R2 (пересечение со всевозможными плоскостями, проходящими через центр сферы). Если в качестве точек взять пары (х, –х), где х пробегает всю 2 , то в этой геометрии будут выполнены все постулаты Евклида, кроме аксиом порядка и пятого постулата. Подведем некоторые итоги. Пусть задано пространство (область) с декартовыми координатами (х ,…, хn) и заданы новые координаты (z1, …, zn), xi = xi(z1, …, zn), х = х(z), x причём новая система координат не имеет особых точек. 0 – якоz 1 b биан. Если длина кривой x = x (t) измерялась по формуле i i a dx i i 1 dt n 2 dt , то мы имеем дело с евклидовыми координатами. В новых координатах (z) 44 имеем z i z i t , i = 1, …, n. Длина той же самой кривой в новых координа dxi dt ; i 1 a k k k q i i j n x x n 1, i j x x dx dx dz . Поэтому gij i . j kq i j , где ij j z z 0 , i j dt dz dt k 1 z z k , q 1 1 n dz dz dz – вектор скорости кривой в новых коорди ,..., Заметим, что dt dt dt b тах gij dzi dz j dt , где xi = xi(z1(t),…, zn(t)) и dt dt dx dx1 dx n натах. ,..., dt dt dt g ij dzi dz j dt dt n – тот же самый вектор в старых координатах: dx dz , . Если имеются две кривые z i f i t и z i g i t , i = 1, …, n, dt dt пересекающиеся в одной точке t t0 , – угол между их векторами скоро df i dg i 1 2 , 2 . В координатах (z) сти, то cos , где 1 1 2 dt t t0 dt t t0 для скалярного произведения имеем формулу: 1 2 gij1i 2j , i = 1, …, n. Риманова метрика в области пространства с регулярными координатами z1,…, zn задаётся набором функций gij ( z ) g ji ( z ) , причём, если задана кри- вая z i z i t , i = 1, …, n, то квадратом длины её вектора скорости dzi z i z j 2 в точке t t0 называется число gij . vz dt dt dt t t0 Набор функций gij ( z ) g ji ( z ) адаёт риманову метрику (в координатах (z1, …, zn)), если при любых z1, …, zn форма gij i j положительна. Если det( g ij ) 0, но указанная форма знакопеременная, то говорят, что набор задаёт псевдориманову метрику. Если заданы новые координаты у1,…,уn, таz кие что zi = zi(у1, …, уn), 0 , то в новых координатах у1, …, уn риманова y метрика определяется набором функций g ij' (у1, …, уn), g ij' = g 'ji , где g ij' z k z l g g ij' ( y ' ,..., y n ) . На матричном языке g A g AT , где kl i j y y z i A k , g g ij , g gij . y Метрика евклидова, если найдутся новые координаты x1, …, xn, n x k x k n x i x k x q 0 g xi = xi(z1, …, zn), , такие, что i j kq i j . В коij z j z z k 1 z z k , q 1 45 1, i j ординатах x1, …, xn имеем g ij ij , и координаты x1, …, xn назы0, i j ваются евклидовыми. Линейное вещественное пространство размерности n называется псевдоевклидовым пространством индекса s, если в этом пространстве задана билинейная форма , s 1 1 ... s s s 1 s 1 ... n n . Если s = 0, то получаем евклидово пространство. Псевдоевклидово пространство индекса s обозначается S sn . Пространство R14 является пространством специальных теорий относительности и называется пространством Минковского. Длина вектора в псевдоевклидовом пространстве Rsn определяется следующей формулой: s ( ) s . Тема 11 Движение псевдоевклидового пространства Изучим несколько подробнее псевдоевклидово пространство. Рассмотрим движение псевдоевклидовой плоскости R12 . Предположим, что это движение оставляет неподвижным начало координат. И пусть в n-мерном пространстве заданы две области: x с координатами (х1, …, хn) = (x) и z с координатами (z1, …, zn) = (z). И пусть каждой точке области z поставлена в соответствие точка области x , так, что хi = xi(z1, …, zn). Если координаты z1, …, zn можно выразить через х1, …, хn, то есть zj = zj(x1,…,xn), j = 1, 2, …, n, то будем говорить, что задано преобразование области z в области x . При этом требуется, чтобы функции zi(х) и обратные им функции zj(х) были гладкими. Пусть теперь в области имеется риманова или псевдориманова метрика, которая задаётся в координатах х1, …, хn симметричной невырожденной матрицей gij g ji (x) . Если задано преобразование хi = xi(z), то в координатах (z) эта же метрика задаётся матрицей x k xl ' gij g ji (z ) , где gij i g kl j . z z Определение. Преобразование хi = xi(z) называется движением данной метрики, если gij' ( z) gij ( x( z)) . Так как мы изучаем движение псевдоевклидовой плоскости, то рассматриваемое движение задаётся матрицей x 0 ay 0 by1 A: 1 , (1) 0 1 x cy dy a b где (х0, х1) – псевдоевклидовы координаты, A . Метрика в этих c d 46 координатах имеет вид: gij g00 1, g11 1, g10 g01 0 . Так как преобразование (1) является движением, то G ( gij ) AT GA . (2) Учитывая, что det AT det A и определитель произведения равен про2 изведению определителей, получаем: det A 1, det A = ±1. Таким образом, из равенства (2) имеем: 1 0 a c 1 0 a b a c a b a 2 c 2 ab cd 2 2 0 1 b d 0 1 c d b d c d ab cd b d a 2 c 2 1 b 2 d 2 1 . Полагаем, что а 0. ab cd 0 c c c2d 2 1 2 2 2 2 Пусть , b d , , , , d d 1 d d 1 a a 1 2 a2 1 . Рассмотрим a 2 c 2 1 , b 2 1 1 1 1 , , 1 2 2 , a a2 2 a 1 2 1 c a 1, 2 2 a2 c2 1, a2 c2 1 2 2, 2 a a a c2 a2 1, 1 11 2 c 1 , c . 2 2 2 1 1 1 Здесь знак а совпадает со знаком с, а знак b – со знаком d. 1 1 2 1 2 A . Если обозначим = tgφ, тогда chφ = 1 2 2 1 1 2 shφ = 1 , 1 2 . Итак, 1 2 ch sh (3) . A sh ch Множество преобразований (1) псевдоевклидовой плоскости с матрицей А вида (3) образует группу, которая называется группой гиперболических поворотов или псевдоортогональной группой и обозначается О(1, 1): , A1 , A2 , A3 . A0 Определение. Преобразования R12 с матрицами А0, А3 называются собственными движениями псевдоевклидовой плоскости, а с матрицами А1, А2 47 называются ортохронными преобразованиями. Рассмотрим преобразование (1) в случае, когда А = А0, тогда y 0 y1 y 0 y1 0 1 x ; x . Так как x 0 ct , x1 x , y 0 ct , y1 y , то 2 2 1 1 t y ct y c , . t ct x 1 2 1 2 1 2 Найдём выражения y и t через x и t : ct y t t 1 2 c y ; x 1 2 ct y t t 1 2 t x c 1 2 ct , x 2 c . Аналогично можно получить, t 1 c t x 1 , t c c 1 2 ct x что y . 2 1 Выясним физический смысл параметра . Пусть в системе координат Y находится в состоянии покоя заданная точка М – начало координат. В этом x x случае y = 0. А это значит, что x ct 0, c . Но v есть скорость t t точки М в системе координат Х, равная скорости в системе координат Y v относительно Х. Значит . c t 2 y t 2 x c ; x t y ; t c ; y t x – преобразоИтак, t 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 c c c c вания Лоренца. Приведем некоторые интересные выводы. 1 Замедление времени. Пусть в системе координат Х на неподвижных часах происходит время Δt = t2 – t1. Найдём значения t1 и t 2 , соответствующие соответственно t1 и t 2 , в одной и той же точке с абсциссой y в системе координат Y. Из фор t1 2 y t 2 2 y c ; t c ; мул преобразования Лоренца имеем, что t1 2 2 2 1 2 1 2 c c 48 t t2 t1 t2 t1 1 2 t 2 . Отсюда следует, что t t . Таким обра- 1 2 c2 c зом, движущиеся часы идут медленнее неподвижных часов. 2 Сокращение длин. Пусть в системе координат Х находится стержень, длина которого ℓ, где х1 – координаты начала стержня, х2 – координаты конца стержня, то есть ℓ = х2 – х1. Если координаты концов этого стержня в системе координат Y измерены в один и тот же момент времени t , равный, y1 и y2 , то, исполь t y1 зуя формулы преобразования Лоренца, имеем, что x1 ; 2 1 x2 c2 t y2 ; 2 1 c2 x2 x1 y2 y1 1 2 2 1 2 . Таким образом, длина стержня в той си- c c2 стеме отсчёта, относительно которой этот стержень движется, меньше, чем его длина ℓ в той системе отсчёта, относительно которой он находится в состоянии покоя. Тема 12 Кривые в псевдоевклидовом пространстве Параметризованной кривой в евклидовом пространстве R3 называется отображение r : I → R3, где t → (x(t), y(t), z(t)). Пусть задано трёхмерное псевдоевклидово пространство R13 . Векторы ортонормированного репера 0; a0 ; a1 ; a2 удовлетворяют условию: a0 a0 1 , ai a j 0 , i, j = 0, 1, 2, ai ai 1 , i = 1, 2. Координаты любой точки в этом репере будем обозначать так: a = (х0, х1, х2), х0 = ct, х1 = х, х2 = y, так как R13 – подпространство Минковского. В векторном пространстве R13 , связанным с точечным пространством R13 , существуют времениподобные, пространственноподобные и изотропные векторы. В зависимости от того, каким будет в каждой точке кривой вектор касательной, кривые в пространстве R13 также будем называть времениподобными, пространственноподобными и изотропными. Определение. Отображение r : I → R13 : t → (x0(t), х1(t), х2(t)) будем 49 называть параметризованной кривой в псевдоевклидовом пространстве R13 и обозначать r (t) = (x0(t), х1(t), х2(t)). Определение. Параметризованная кривая называется времениподобной n-параметризованной кривой, если r ' t r t 1 . Будем обозначать через σ натуральный параметр, а n-параметризованную кривую будем записывать в виде: r (σ) = (x0(σ), х1(σ), х2(σ)). dr Найдём производную: r ' , где 1 . Из этого d 2 равенства получаем, что d r (d )2 . С другой стороны d r 2 = – dx0 + 2 + dx1 + dx2 . Итак, d = dx0 – dx1 – dx2 . Так как х0 = ct, х1 = х, 2 х2 = y, то d = c2(dt)2 – (dx)2 – (dy)2. Следовательно, 2 2 2 dx 2 dy 2 dx dy d 2 2 c , где V . Тогда dt dt dt dt dt 2 2 2 2 2 2 b 2 d 2 2 c c 1 2 dt – длина дуги времениподобной криc dt a 2 вой, в теории специальной относительности называется собственным c временем частицы. Определение. Времениподобная кривая r называется регулярной, если r ' 0 и бирегулярной, если r ' r '" . Определение. Вектором кривизны времениподобной n-параметризованной кривой в точке σ называется вектор k r" , а кривизной – величина k r" . К каждой точке времениподобной кривой прикрепим правый ортонорr" k ( ) мированный репер: r ' , . Третий вектор k ( ) r" должен быть ортогонален векторам и , 1 . Чтобы его определить, введём в пространстве R13 векторное произведение двух векторов так, чтобы для векторов ортонормированного базиса выполнялись следующие условия: a0 , a1 a2 ; a1 , a2 a0 ; a2 , a0 a1 (рис. 31). a2 a0 50 a1 Рисунок 31 Для векторов , , должны выполняться соотношения (рис. 32): , , , , , ` Рисунок 32 Репер r ; ; ; называется репером Френе кривой r = r(σ) в точке σ, где – вектор касательной, – главная нормаль, – бинор маль. Плоскость, содержащую вектора и , будем называть соприкаса ющейся, плоскость, содержащую вектора и , – нормальной, а вектора и – спрямляющейся: L , – соприкасающаяся плоскость, L , – нормальная плоскость, L , – спрямляющаяся плоскость. Выведем аналог формул Френе для времениподобной кривой. Так как r ' , то ' r" k , k . Так как репер Френе правый ортонормированный репер, то для него выполнимы равенства: 1 ; 1; 1 ; 0 . Нужно найти ' . Вектор ' ортогонален векторам и , то есть он коллинеарен вектору : так как 1 2 0 , то есть ' ; 0 0 . Значит, что k k k 0 . 0 Таким образом, k ; æ . Так как , , то ' ' , , ' -æ , k , k + æ . Итак, k k æ – формулы Френе времениподобной n-параметризованной кривой. æ В этих формулах функции k(σ) и æ(σ) назовём кривизной и кручением. Найдём формулы для их вычисления: r ' ; r" k ; r" ' k 2 + k æ . Найдём векторное произведение: r ' , r" , k k k r ' , r" , то есть 51 k ( ) r ' ( )r" ( ) . Найдём теперь произведение r ' , r r '" , k k 2 k æ = k 3 , k 2 æ , 0 k 2 æ k 2 æ . 0 1 r ' ( )r" ( )r" ' ( ) . | [r ' ( ), r " ( )] |2 Пусть кривая r имеет другую эквивалентную параметризацию, отлич ную от n-параметризации, то есть пусть (t) = (x0(t), х1(t), х2(t)), где t = t(σ) – Таким образом, æ d dt функция перехода, то есть r t . Тогда r t ; dt d 2 3 r t t ; r t 3 t t t . Подставив полученные формулы в выражения для вычисления кривиз 2 2 1 2 2 ны и кручения, получаем: r ' ' t ' . t ' 2 , то есть ' 1 t' 2 , т. к. r ( ) r ( ) 1 . Тогда ' k ( ) r ' ( )r" ( ) ' t ' , " (t ' ) 2 't" (t ' )3 ' , " ', " 3 , 1 ( ') 3 3 r ' ( )r" ( )r" ' ( ) [r ' , r " ]r '" (t ' ) ' , " " ' (t ' ) 3 " ' t ' t" ' t" ' æ 2 2 2 3 [r ' , r " ] [r ' , r " ] (t ' ) ' , " (t ' ) 6 ' " '" ' " '" ', " (t ' ) ' , " 6 2 2 . Итак, кривизна: k (t ) r ' (t ), r"(t ) 1 r ' (t ) 2 кручение: æ(t ) 3 , r ' (t )r" (t )r '" (t ) . r ' (t ), r" (t ) 52 2