Программа курса "Высшая математика"

Программа курса
"Высшая математика"
Составитель: доц. Викторова Н.Б.
( кафедра нелинейного анализа и оптимизации)
Аннотация
Курс " Высшей математики " является базовым в образовании студентов -экономистов.
Его задача - дать фундаментальную подготовку в области важнейших математических
понятий и методов, используемых в анализе экономики, обеспечить возможность
понимания последующих курсов теории вероятностей, математической статистики,
математической экономики и др. Курс опирается на хорошее знание школьного материала
по алгебре, геометрии и началам математического анализа. Преподавание "Высшей
математики" имеет цель: ознакомить студентов с основами математического аппарата,
необходимого для решения теоретических и практических задач экономики; привить
студентам умение самостоятельно изучать требуемую литературу; развить логическое и
алгоритмическое мышление; воспитать абстрактное мышление и умение строго излагать
свои мысли.
Форма контроля.
Контроль знаний осуществляется в виде контрольных работ и тестов в течение всего
курса обучения.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Тема 1. ВВЕДЕНИЕ
Значение математической культуры в современном образовании экономистов. Примеры
применения математических методов в исследовании экономических процессов.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ТЕМА 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
Основные понятия линейной алгебры. Системы линейных уравнений. Совместные и
несовместные системы. Определенные и неопределенные. Метод последовательного
исключения неизвестных. Векторы и матрицы. Операции над матрицами. Определение и
свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление
определителей методом элементарных преобразований. Разложение определителя по
строке и столбцу. Метод Крамера. Обратная матрица. Матричный метод решения систем
линейных уравнений.
Тема 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НА СОВМЕСТНОСТЬ
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
n- мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов.
Размерность и базис векторного пространства. Ранг системы векторов.Ранг матрицы.
Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и методом элементарных
преобразований. Общий случай линейных систем. Критерий совместности. Однородные и
неоднородные системы. Фундаментальная система решений однородной линейной
системы. Построение базиса в пространстве решений однородной системы.
Тема 4. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ. ЛИНЕЙНЫЕ
ОПЕРАТОРЫ.
Разложение вектора по базису. Формула преобразования координат при преобразовании
базиса. Матрица перехода. Евклидово пространство. Процесс ортогонализации Шмидта.
Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.
Характеристическое уравнение. Приведение матрицы линейного оператора к
диагональному виду.Квадратичные формы.Канонический вид квадратичной формы.
Метод Лагранжа выделения полных квадратов.Знакоопределенные квадратичные
формы.Критерий Сильвестра.
Тема 5. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ
Использование алгебры матриц. Матричные вычисления. Примеры. Использование
систем линейных уравнений. Примеры. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
Примеры. Линейная модель торговли. Пример.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Тема 6. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Метод математической индукции. Множества и операции над ними. Способы задания
множеств.Верхняя и нижняя грани множеств. Наибольший и наименьший элементы
множества.
Тема 7. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Понятие последовательности, предела последовательности. Геометрический смысл
предела. Единственность предела последовательности. Понятие бесконечно малой и
бесконечно большой последовательности. Понятие ограниченной последовательности.
Ограниченность сходящейся последовательности. Признаки существования предела.
Теорема о пределах. Понятие о числе " e ". Предельная точка. Нижний и верхний
пределы.
Тема 8. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Понятие предела функции. Единственность предела. Бесконечно большие и бесконечно
малые функции. Предел суммы, произведения, отношения двух функций. Первый
замечательный предел. Второй замечательный предел. Односторонние пределы. Точки
разрыва, их классификация. Понятие непрерывности функции в точке. Свойства функций,
непрерывных на отрезке. Непрерывность элементарных функций.
Тема 9. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Понятие производной. Геометрический и механический смысл производной. Понятие
дифференциала. Его геометрический смысл. Необходимое и достаточное условие
дифференцируемости функции. Связь непрерывности и дифференцируемости. Правило
вычисления производной. Производные элементарных функций. Производная сложной и
обратной функции. Свойств дифференциала. Производная и дифференциалы высших
порядков.
Тема 10 . ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).
Формула Тейлора и Маклорена Условие постоянства функции. Условие монотонности
функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Критические точки
первого рода. Достаточные условия экстремума I и II рода. Наибольшее и наименьшее
значение функции. Правило Лопиталя.Выпуклость и вогнутость функции. Критические
точки II рода. Понятие точки перегиба.Достаточное условие точки перегиба. Асимптоты.
Построение графиков функции.
Тема 11. ПРИМЕНЕНИЕ В ЭКОНОМИКЕ
Предельные показатели в макроэкономике. Максимизация прибыли. Оптимизация
налогообложения предприятия.
Тема 12. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица простейших
интегралов. Основные методы вычисления первообразных. Интегрирование
рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби в сумму
простейших. Интегрирование тригонометрических выражений, простейших
иррациональностей.
Тема 13. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Понятие интегральной суммы. Интеграл Римана. Теоремы о среднем. Формула НьютонаЛейбница. Замена переменных в определенном интеграле. Производная интеграла по
переменному верхнему пределу. Несобственные интегралы 1 и 2 рода. Вычисление
площадей.
Тема 14. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
РЯДЫ
Понятие числового ряда, его сходимость и расходимость. Необходимое условие
сходимости. Расходимость гармонического ряда. Признаки сравнения, признаки
Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости ряда. Понятие абсолютной и
условной сходимости ряда. Примеры. Понятие степенного ряда. Радиус и промежуток
сходимости. Ряд Тейлора.Ряды Фурье.
Тема 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Функции нескольких переменных. Область определения и область изменения функции.
Множества уровня. Частные производные. Понятие дифференциала функции нескольких
переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Производная по
направлению. Градиент. Условный экстремум. Функция Лагранжа.
Тема 16. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАДАЧАХ
ЭКОНОМИКИ
Прибыль от производства товаров разных видов. Пример. Задача ценовой дискриминации.
Пример. Оптимальное распределение ресурсов. Максимизация прибыли производства
продукции. Оптимизация спроса. Метод наименьших квадратов.
Тема 17. ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие решения.
Начальное условие. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Применение аппарата
дифференциальных уравнений в экономике: модель естественного роста выпуска, рост
выпуска в условиях конкуренции, динамическая модель Кейнса, неоклассическая модель
роста.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"
для студентов экономического факультета РУДН
( зима 2005-2006)
1. Матрицы. Операции над ними.Виды квадратных матриц.
2. Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы. Определенные и
неопределенные.
3.Определители второго и третьего порядков. Метод Крамера для систем из двух
уравнений с двумя неизвестными .
4. Перестановки.Четность и нечетность перестановок. Подстановки.Четность
подстановки.
5. Определители n порядка. Свойства определителей.
6. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке .
7. Вычисление определителей методом элементарных преобразований.
8. Обратная матрица.Cуществование и единственность.
9. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Метод элементарных преобразований для нахождения обратной матрицы.
10.Метод Крамера для случая n уравнений.
11. n- мерное векторное пространство.
12. Линейная зависимость и независимость векторов.
Свойства понятия линейной зависимости векторов.
13. Базис системы векторов. Ранг системы векторов. Размерность и базис векторного
пространства.
14. Ранг матрицы.Теорема о ранге матрицы.
15. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и методом
элементарных преобразований.
16. Критерий совместности линейных систем ( теорема Кронекера-Капелли).
17. Метод Гаусса для решения систем.
18. Однородные и неоднородные системы.Существование ненулевого решения
однородной системы.Свойства решений однородной системы.
19. Фундаментальная система решений однородной линейной системы. Построение
базиса в пространстве решений однородной системы.Структура общего решения
неоднородной системы.
20. Единственность разложение вектора по базису. Формула преобразования координат
при преобразовании базиса. Матрица перехода.
21. Пространство со скалярным произведением.Длина вектора.Ортонормированный базис.
22. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
Преобразование матрицы линейного оператора при преобразовании базиса.
23. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Характеристический
многочлен.
24. Линейная независимость собственных векторов оператора с попарно различными
собственными значениями. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному
виду.
ЛИТЕРАТУРА
1. И.М.Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. Москва, 1966.
2. Г.Е.Шилов. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства.Москва,
1969.
2. П.Е.Данко, А.Г.Попов,Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Москва,1997. Ч.1.
3. А.В. Ефимов, Б.П.Демидович. Сборник задач по математике для втузов.Москва, 1993.
Ч.1.
5. Н.Ш.Кремер. Высшая математика для экономистов. Москва, 1997.
6. М.С.Красс. Математика для экономических специальностей. Москва, 1998.
7. Зорич В.А. Математический анализ. Москва,1981. Ч.1.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО "ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ"
для студентов экономического факультета
РУДН
Составитель: доц. Викторова Н.Б.
( кафедра дифференциальных уравнений и функционального анализа )
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1. Метод математической индукции.
2. Множества и операции над ними.
3. Верхняя и нижняя грани множеств.
4. Числовая последовательность.Предел последовательности.Геометрический смысл
предела.
5. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой последовательности. Теорема о
пределах.
6. Понятие о числе " e ".
7. Предел функции. Односторонние пределы. Бесконечно большие и бесконечно малые
функции.
8. Предел суммы, произведения, отношения двух функций. Первый замечательный
предел. Второй замечательный предел.
9. Точки разрыва, их классификация.
10. Понятие непрерывности функции в точке. Свойства функций, непрерывных на
отрезке. Непрерывность элементарных функций.
11. Понятие производной. Геометрический и механический смысл производной. Правила
вычисления производной.
12. Определение дифференцируемой функции.Дифференциал. Его геометрический
смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости.
13. Производные элементарных функций.
14. Производная сложной и обратной функции.
15. Свойства дифференциала.
16. Производная и дифференциалы высших порядков.
17. Теорема Ферма.
18. Теорема Ролля.
19. Теорема Лагранжа.
20. Условие постоянства функции.
21. Условие монотонности функции.
22. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Критические точки первого
рода. Достаточные условия экстремума I и II рода.
23. Наибольшее и наименьшее значение функции.
24. Правило Лопиталя.
25. Выпуклость и вогнутость функции. Критические точки II рода. Понятие точки
перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
26. Асимптоты.
27. Построение графиков функции. Схема исследования функции.
28. Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица
простейших интегралов. Метод подведения под знак дифференциала и метод замены
переменной. Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей.
Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших. Интегрирование
тригонометрических выражений, простейших иррациональностей.
29. Нижняя и верхняя интегральные суммы Дарбу. Понятие интегральной суммы. Понятие
определеннного интеграла и интегрируемой функции.
30. Свойства определенного интеграла.
31. Теорема о среднем.
32. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность интеграла как
функции верхнего предела. Производная от интеграла по переменному верхнему
пределу.
33. Формула Ньютона-Лейбница.
34. Замена переменных в определенном интеграле.
35. Несобственные интегралы 1 и 2 рода.
36. Геометрические приложения определенного интеграла.
37. Функции нескольких переменных. Область определения и область изменения
функции. Предел функции. Непрерывность.
38. Частные производные.Полное приращение и полный дифференциал.
39. Производная сложной функции. Частные производные различных порядков.
40. Экстремум функции нескольких переменных. Стационарные точки.Необходимое
условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
41. Условный экстремум. Функция Лагранжа.
42. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие решения.
Начальное условие. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными.
43. Однородные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
ЛИТЕРАТУРА
1. П.Е.Данко, А.Г.Попов,Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Москва,1997. Ч.1,2.
2. А.В. Ефимов, Б.П.Демидович. Сборник задач по математике для втузов.Москва, 1993.
Ч.1,2.
3. Зорич В.А. Математический анализ. Москва,1981. Ч.1.
4. Н.Ш.Кремер.Высшая математика для экономистов. Москва, 1997.
5. М.С.Красс. Математика для экономических специальностей.
Москва, 1998.
6. Г.С.Фихтенгольц "Дифференциальное и интегральное исчисление", М.,
Физматгиз, 1956.