Ф е д е р а л ь н о е а г е н т с т в о п о о б р а з о в а н и ю

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Утверждаю
Декан факультета информатики
С.П. Сущенко
«
»
2010 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Специальность 351500 – МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И
АДМИНИСТРИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
Статус дисциплины:
федеральный компонент специальности
Томск - 2010 г.
ОДОБРЕНО
кафедрой программной инженерии
Протокол №19 от 01.12.2010.
Зав. кафедрой, профессор _________________О.А.Змеев
РЕКОМЕНДОВАНО методической комиссией факультета информатики
Председатель комиссии, профессор _____________________ Б.А.Гладких
“___”_____________2010 г.
Рабочая программа по курсу “Математический анализ” составлена на основе
требований Государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования по специальности
351500 – МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И
АДМИНИСТРИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ, утвержденного 10 марта
2000 г. Общий объем курса 636 часов. Из них: лекции – 160 часов, лабораторные занятия –
158 часов, самостоятельная работа студентов – 318 часов. Экзамен в первом, втором и
третьем семестрах. Общая трудоемкость курса 14.4 зач. ед.
СОСТАВИТЕЛЬ:
Терпугов Александр Федорович – доктор физико-математических наук, профессор
кафедры прикладной информатики
Выписка
из Государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования по специальности 351500 – МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И
АДМИНИСТРИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ (квалификация –
математик-программист).
ЕН.Ф.01.02
Математический анализ. Пределы и непрерывные функции; числовые
ряды; производная и дифференциал; приложения производной к исследованию функций;
функциональные последовательности и ряды; интеграл от непрерывной (кусочнонепрерывной) функции одной переменной; евклидово пространство; дифференциальное
исчисление для функций нескольких переменных; дифференцируемые отображения,
неявные функции; криволинейные интегралы; аналитические функции; теория меры;
интеграл; ряды и интегралы Фурье.
Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
1.1. Цель преподавания дисцилины
Целью курса является изучение математического анализа.
1.2. Задачи изучения дисциплины
Студент должен владеть методами математического анализа.
1.3. Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения курса
Для изучения курса необходимо знание математики в объеме средней
школы.
2. Содержание дисцилины
2.1. Теоретическая часть
I семестр (108 часов).
Часть 1. Теория вещественных чисел.
Множества, операции над множествами. Взаимно-однозначное соответствие
между множествами. Счетные множества, их свойства. Взаимно-однозначное
соответствие точка – число. Несчетность отрезка [0, 1] и понятие о множествах
мощности континуума.
Счетность множества рациональных чисел. Вещественные числа, правило
сравнения вещественных чисел. Верхняя и нижняя грани числового множества,
супремум и инфимум, их свойства. Теорема о существовании супремума.
Приближение вещественных чисел рациональными.
Часть 2. Теория пределов.
Определение числовой последовательности, операции над
последовательностями. Определение предела числовой последовательности.
Бесконечно-малые последовательности и их свойства. Сходящиеся
последовательности и их свойства. Предельный переход в неравенствах.
Монотонные последовательности, теорема о существовании предела
монотонной последовательности. Лемма о вложенных отрезках. Бином Ньютона
и число e.
Подпоследовательности и предельная точка, связь этих понятий. Лемма
Больцано-Вейерштрасса. Признак сходимости Больцано-Коши для
последовательности. Верхний и нижний пределы последовательности и их
свойства.
Функция одной переменной, способы ее задания. Предельное значение
функции. Теорема, связывающая понятие предела функции и предела
последовательности. Свойства предельных значений. Монотонные функции,
теорема о существовании предела монотонной функции. Признак БольцаноКоши существования предела функции. Сравнение бесконечно-малых и
бесконечно-больших величин, O и o символика.
Часть 3. Непрерывные функции.
Определение непрерывности функции, разрывы функции, типы разрывов.
Свойства непрерывных функций, непрерывность сложной функции.
Первая и вторая теоремы Больцано-Коши, первая и вторая теоремы
Вейерштрасса. Обратная функция и теорема о существовании обратной
функции у строго монотонной непрерывной функции. Равномерная
непрерывность и теорема Кантора.
Непрерывность элементарных функций – показательная функция
гиперболические функции, логарифмическая функция, степенная функция.
Непрерывность тригонометрических функций и функций, обратных к
тригонометрическим.
Замечательные пределы:
,
,
,
,
и
другие. Неопределенные выражения. Раскрытие степенных неопределенностей.
Часть 4. Производная.
Определение производной и ее геометрический смысл. Алгебра производных,
таблица производных. Особые случаи.
Теорема Ферма, теорема Ролля. Формулы Коши и Лагранжа.
Производные высших порядков. Дифференциал и его геометрический смысл.
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции, связь
дифференциала и производной. Правила дифференцирования. Дифференциалы
высших порядков. Производные от параметрически заданных функций.
Формула Тейлора для полинома. Формула Тейлора для функции, свойства
остаточного члена. Остаточный член в форме Пеано, остаточный член в форме
Лагранжа. Разложение в ряд Тейлора функций
Часть 5. Применение производных.
.
Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа и .
Условие постоянства и монотонности функции. Определение локального и
глобального экстремума функции, необходимое и достаточное условия
экстремума. Схема исследования функции на экстремум.
Выпуклые и вогнутые функции, вид их графика и свойства Неравенство
Иенсена. Связь выпуклости с поведением производной и видом ее графика по
отношению к касательной. Точки перегиба, необходимое и достаточное условия
точки перегиба. Схема исследования функции на выпуклость – вогнутость.
Асимптоты. Схема исследования графика функции.
II семестр (108 часов).
Часть 6. Неопределенный интеграл.
Первообразная, ее свойства. Неопределенный интеграл его свойства. Таблица
неопределенных интегралов. Замена переменных, интегрирование по частям.
Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексных чисел, операции над
комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая
интерпретация комплексных чисел, модуль и аргумент комплексного числа,
тригонометрическая форма комплексных чисел. Умножение, деление,
возведение в степень и извлечение корней из комплексных чисел в
тригонометрической форме. Формула Эйлера и показательная форма
комплексных чисел. Разложение многочленов на сомножители. Разложение
рациональных дробей на простейшие. Интегрирование дробно-рациональных
функций.
Интегралы от тригонометрических функций – универсальная подстановка и
упрощенные случаи. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
Интегрирование биномиальных коэффициентов. Подстановки Эйлера.
Часть 7. Определенный интеграл.
Процедура построения определенного интеграла. Суммы Дарбу и признак
существования определенного интеграла. Интегрируемость монотонной и
непрерывной функций. Свойства интегрируемых функций. Свойства
определенных интегралов. Первая теорема о среднем.
Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям. Замена переменных в
определенном интеграле. Определенный интеграл как функция верхнего
предела.
Геометрические приложения определенного интеграла – длина дуги кривой,
площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора, объем и
поверхность тела вращения.
Функции с ограниченной вариацией, их свойства. Определение интеграла
Стилтьеса, его свойства и вычисление.
Часть 8. Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы первого рода, их свойства. Признаки существования
несобственных интегралов от неотрицательных функций. Интегралы от
функций произвольного знака – признак Больцано-Коши, абсолютная
сходимость, признак Дирихле. Пример неабсолютно сходящегося интеграла.
Признак Абеля.
Несобственные интегралы второго рода, их свойства. Признаки существования
несобственных интегралов от неотрицательных функций.
Главные значения несобственных интегралов. Преобразование несобственных
интегралов – интегрирование по частям, замена переменных. Интегралы
Фруллани.
Интегральные неравенства – неравенства Гельдера, Минковского, Иенсена.
Обобщенная формула интегрирования по частям и остаточный член формулы
Тейлора в интегральной форме.
Часть 9. Числовые ряды.
Определение числового ряда, его сходимости и расходимости. Свойства
сходящихся рядов. Сходимость рядов с положительными членами – Признаки
Коши, Даламбера. Сходимость гармонического ряда и признак сходимости
Раабе. Отсутствие универсального ряда для построения признака сходимости.
Интегральный признак сходимости Коши. Оценка остатка сходящегося ряда и
темпа роста расходящегося ряда.
Сходимость произвольных рядов. Признак сходимости Больцано-Коши,
абсолютная и неабсолютная сходимость. Знакопеременные ряды и признак
Лейбница. Преобразование Абеля, признаки Дирихле и Абеля.
Сочетательное свойство сходящихся рядов. Переместительное свойство
абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана. Умножение рядов. Двойные
ряды.
Бесконечные произведения – определение, свойства. Сходимость бесконечных
произведений.
III семестр (108 часов).
Часть 10. Функции многих переменных.
Точки и области в многомерном пространстве. Многомерные параллелепипеды
и шары.
Функции многих переменных. Предел функции многих переменных. Повторные
пределы, теорема об их равенстве.
Частные производные, градиент. Полное приращение и дифференциал функции
многих переменных. Теоремы, дающие необходимое и достаточное условие
дифференцируемости функции. Производная от сложной функции.
Производная по направлению, ее связь с градиентом. Производные от неявных
функций.
Производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Ряд Тейлора функции многих переменных.
Безусловный экстремум функции многих переменных. Необходимое т
достаточное условие экстремума функции многих переменных. Условный
экстремум и метод Лагранжа.
Часть 11. Криволинейные и кратные интегралы.
Криволинейные интегралы первого рода – определение, вычисление.
Криволинейные интегралы второго рода – определение, вычисление, векторная
форма записи, физический смысл, связь с криволинейными интегралами
первого рода. Независимость криволинейных интегралов от пути (плоский
случай). Потенциал, ротор векторного поля. Криволинейные интегралы по
простым контурам.
Двойные интегралы – определение, свойства. Вычисление двойных интегралов
по прямоугольной области и по криволинейной трапеции. Перестановка
интегралов в повторном интеграле. Формула Грина. Замена переменных в
двойных интегралах.
Площадь поверхности (без вывода). Поверхностные интегралы первого и
второго рода – определение, вычисление. Формула Стокса (без вывода).
Тройные интегралы – определение, вычисление. Формула ОстроградскогоГаусса. Полевые операции – градиент, дивергенция, ротор, их свойства.
Часть 12. Функции комплексного переменного.
Определение функции комплексного переменного. Производная функции
комплексного переменного, ее геометрический смысл. Условия Коши-Римана,
их достаточность.
Интеграл от функции комплексного переменного, его свойства, связь с
криволинейными интегралами второго рода. Независимость интеграла от пути
для аналитической функции. Интегральная формула Коши. Формула Коши для
высших производных.
Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов,
признаки Больцано-Коши и Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся
рядов – непрерывность суммы, почленный переход к пределу, почленное
интегрирование, аналитичность суммы, почленное дифференцирование.
Степенные ряды. Область сходимости, нахождение радиуса сходимости.
Свойства суммы степенного ряда. Операции над степенными рядами.
Разложение аналитических функций в ряд Тейлора.
Асимптотические ряды, их свойства. Формула Эйлера-Маклорена. Формула
Стирлинга.
Часть 13. Теория вычетов.
Ряды Лорана – определение, область сходимости, свойства суммы. Выражение
для коэффициентов ряда Лорана через его сумму. Неравенство на
коэффициенты.
Особые точки аналитических функций – устранимая особая точка, полюс,
существенно особая точка. Связь этих понятий с разложением функции в ряд
Лорана.
Вычеты в особых точках – определение, вычисление. Основная теорема теории
вычетов. Вычисление интегралов вида
и
с помощью вычетов.
Логарифмический вычет. Теорема Руше.
Преобразование Лапласа – определение, формула обращение, свойства.
Применение преобразования Лапласа.
Преобразование Фурье – определение, формула обращение, свойства.
Применение преобразования Лапласа.
2.2. Практические и семинарские занятия
По курсу предусмотрены практические занятия по всем темам курса.
2.3. Лабораторные работы не предусмотрены
2.4. Курсовой проект
Курсовой проект не предусмотрен.
3. Учебно-методические материалы по дисциплине
3.1. Основная литература
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Том 1, 2, 3. – М.: Наука, 1970.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1, 2. – М.:
Наука, 1980.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. –
М.: Наука, 1972.
3.2. Дополнительная литература не требуется.
3.3. Наглядных пособий и технических средств обучения при чтении данного
курса не предусмотрено.