НИТУ МИСиС

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
НИТУ МИСиС
ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
для специальностей " физика, физико–химические методы исследования процессов и
производств, физика металлов, наноматериалы "
Москва 2009
1. ЦЕЛЬ обучения
Научить: оперировать основными понятиями математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнения и теории функций комплексного переменного; использовать их методы для построения и анализа математических моделей физических явлений и
технологических процессов.
2. Приобретаемые умения и навыки на основе полученных знаний
для формирования частных компетентностей и свойств личности:
Умения:
–применять теорию и технику вычисления пределов для исследования локальных и глобальных свойств функций, описывающих данный процесс (Л № 1.2–2.6, 3.6–3.8; ПЗ.№ 1.3–
1.7,1.13–1./15;ДЗ.№1); ИД6; ЛС6; ИК2; ИК6;ОПК4; ОПК7;
– использовать методы дифференциального исчисления для решения экстремальных задач,
исследования поведения функций и решения нелинейных уравнений (Л. № 3.4–3.9,4.3–4.5;
ПЗ. № 1.13–1.19,1.21,1.24,1.25; ДЗ.№1,2 ) ; ИД6; ЛС6; ИК2; ИК6;ОПК4; ОПК7;
– применять интегральное исчисление, векторный анализ и теорию функций комплексного
переменного для вычисления геометрических параметров и физических характеристик объектов (Л. № 5.10,7.6,8.1,8.6,11.3,12.7; ПЗ. №2.6,2.7,2.24,2.25,2.28–2.33,3.20–3.22; ДЗ.№3,4);
ИД6; ЛС6; ИК2; ИК6;ОПК4; ОПК7;
– описывать и анализировать процессы с помощью методов дифференциального исчисления, теории обыкновенных дифференциальных уравнения и теории функций комплексного
переменного (Л. № 3.4,3.5,3.8,3.9,4.3–4.5,5.10,6.3,6.4,6.6,6.10,8.1–8.6,12.2,13.3; ПЗ. № 1.1–
1.8, 1.14–1.18,1.23–1.25,2.10–,2.18,3.15–3.25; ДЗ.№1–6 ); ИК1;ИК2; ИК6;ОПК4; ОПК7;
– строить математические модели физических явлений и технологических процессов, решать поставленные задачи средствами математического анализа, теории обыкновенных
дифференциальных уравнения и теории функций комплексного переменного, давать полученным математическим результатам соответствующую интерпретацию (Л. № 3.4,3.5,3.8,
3.9,4.3–4.5,5.10,6.3,6.4,6.6,6.10,8.1–8.6,12.2,13.3; ПЗ. № 1.1–1.8, 1.14–1.18,1.23–1.25,2.10–
2.18, 3.15–3.25; ДЗ.№ 1–6); ЛС6; ИК1;ИК2; ИК6;ОПК1; ОПК7;
–применять числовые ряды для вычисления с заданной точностью числовых характеристик, в том числе интегральных, данного процесса (Л. № 9.4 ; ПЗ. № 3.1–3.3; ДЗ.№ 5);
ИД6;ЛС;ИК2;ИК6;ОПК9;
–использовать степенные ряды и ряды Фурье, а также интерполяционные многочлены Лагранжа для аппроксимации функций, описывающих данный процесс (Л. №10.3,10.7,10.8;
ПЗ. № 3.13,3.14; ДЗ№3,5); ИД6;ЛС6;ИК2; ИК6; ОПК7; ОПК9;
– использовать методы теории функций комплексного переменного для вычисления определенных и несобственных интегралов от функций действительного переменного, решения
обыкновенных уравнений и уравнений математической физики (Л. №12.7,13.3; ПЗ № 3.20–
3.25; ДЗ№6 ) ; ИД1; ИД2; ИД6; ЛС6; ИК2; ИК5; ОПК1; ОПК4; ОПК5; ОПК7; ОПК8;
2
– применять теорию функций комплексного переменного для нахождения комплексного
потенциала течения жидкости, а также для определения поверхностной плотности заряда
(Л. № 12.2; ПЗ.№ 3.15,3.16; ДЗ№6); ИД1; ИД2; ИД6; ЛС6; ИК2; ИК5; ОПК1; ОПК4; ОПК5;
ОПК7; ОПК8;
– прогнозировать течение процесса, используя решения соответствующих дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, описывающих данный процесс (Л.
№ 6.1–6.10; ПЗ. №2.10–2.21; ДЗ №4); ИД1; ИД2; ИД6; ЛС6; ИК2; ИК5; ОПК1; ОПК4; ОПК5;
ОПК7; ОПК8;
–моделировать процессы управления различными технологическими схемами. (Л. № 1–14;
ПЗ. №2.10–2.21; ДЗ №4); ИД1; ИД2; ИД6; ЛС6; ИК2; ИК5; ОПК1; ОПК4; ОПК5; ОПК7;
ОПК8;
– применять аппарат дифференциальных уравнений для анализа устойчивости положений
равновесия и характера точек покоя физических и технологических процессов. (Л. №12–14;
ПЗ № 2.19–2.21; ДЗ№4). ИД1; ИД2; ИД6; ЛС6; ИК2; ИК5; ОПК1; ОПК4; ОПК5; ОПК7;
ОПК8;
Навыки:
– самостоятельной работы с литературой для поиска информации об отдельных определениях, понятиях и терминах, объяснения их применения в практических ситуациях; решения
теоретических и практических типовых и системных задач, связанных с профессиональной
деятельностью ( все лекции ).
– логического, творческого и системного мышления ( все лекции);
– применения методов математического анализа ( ПЗ№1.1–3.25; ДЗ№1–6);
–решения естественнонаучных и технических задач с использованием аппарата математического анализа (ПЗ№1.20,1.25, 2.6,2.7,2.11–2.21,2.24–2.34,3.8,3.12,3.14,3.16,3.10–3.225 ;
ДЗ№1–6).
3. Объем учебного курса и виды учебной работы (час)
Таблица 1.
Вид учебной работы
Общая трудоемкость
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа
Курсовой проект (работа)
Вид итогового контроля
Зачетных
единиц
10
Всего
часов
Семестры
3
527
340
170
170
1
158
102
51
51
2
211
136
68
68
158
102
51
51
187
56
75
56
Экзамен Экзамен
Экзамен
3
4.1. Разделы учебного курса и виды занятий.
№
Раздел дисциплины
1
Введение в анализ.
Предел функции. Непрерывность функции одной
переменной.
Дифференциальное исчисление функций одной
переменной .
Функции нескольких переменных
Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Несобственный интеграл.
Обыкновенные дифференциальные уравнения .
Кратные интегралы.
Векторный анализ.
Числовые ряды.
Функциональные ряды. Степенные ряды. Ряды
Фурье.
Интегралы, зависящие от параметра.
Теория функций комплексного переменного.
Интегральные преобразования Фурье и Лапласа.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Лекции
10
Табл. 2
Практические
занятия
8
12
10
18
22
11
11
24
18
20
12
12
8
24
16
10
6
16
16
6
14
7
6
16
7
4.2. Содержание лекционного курса.
(170 часов)
СЕМЕСТР 1
(51 час )
Раздел 1. Введение в анализ. [[1.а., 2.а., 4.а.,1.б.,4.б.]]
(10 часов)
1.1. Предмет математического анализа, его роль в изучении и создании математических моделей. Математическая символика. Числовые множества. Предел числовой последовательности.
1.2. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Единственность
предела. Ограниченность сходящейся числовой последовательности. Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами и арифметическими операциями Бесконечно
малые и бесконечно большие последовательности.
1.3. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности (свойство Вейерштрасса). Число е.
1.4. Принцип вложенных отрезков. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши существования предела последовательности.
1.5. Точная верхняя грань (супремум) и точная нижняя грань (инфимум) числового множества. Теорема существования точной грани ограниченного множества.
4
Раздел 2. Предел функции. Непрерывность функций одной переменной. [1.а., 2.а., 4.а., 4.б.]
(12 часов)
2.1. Два определения предела функции, их эквивалентность. Критерий Коши существования
предела функции.
2.2. Свойства функций, имеющих предел. Односторонние и бесконечные пределы.
x
ex 1
sin x
ln( 1  x)
 1
2.3. Замечательные пределы: lim
, lim 1   , lim
, lim
. Обознаx  x0
x
x  
x 0 x
x 0 x
чения “О-большое” и “о-малое”, асимптотическое представление функции. Таблица эквивалентных бесконечно малых.
2.4. Непрерывность функции в точке, свойства функций, непрерывных в точке. Классификация точек разрыва. Асимптоты графика функции и методы их отыскания.
2.5. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке (об ограниченности, о достижимости супремума и инфимума, о прохождении через нуль и о промежуточных значениях).
2.6.Теоремы о непрерывности монотонной функции и функции, обратной к монотонной. Непрерывность элементарных функций. Гиперболические функции.
Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. [1.а.,2.а.,4.а.,2.б.]
(18 часов)
3.1. Дифференцируемость функции в точке. Производная и дифференциал, их геометрический и физический смысл. Связь дифференцируемости и непрерывности. Правила дифференцирования. Таблица производных.
3.2. Производные и дифференциалы высших порядков.
3.3. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций ( теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа,
Коши).
3.4. Локальный экстремум функций одной переменной. Условия существования локального
экстремума функции и способы его отыскания. Условие монотонности функции на отрезке.
3.5. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Приложения к
решению прикладных задач физики и техники.
3.6. Правило Лопиталя. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме
Пеано. Единственность тейлоровского разложения.
3.7. Разложение элементарных Функций по формуле Тейлора и Маклорена.
3.8. Приложения правила Лопиталя и формулы Тейлора к вычислению пределов, выделению
главной части функции и исследованию поведения функции в окрестности точки, а также к
приближенным вычислениям. Методы приближенного решения нелинейных уравнений.
3.9. Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции. Общая
схема исследования и построения графиков функций одной переменной.
Раздел 4. Функции нескольких переменных .[1.а.,2.а. ,5.а., 2.б.]
(11 часов)
4.1. Две эквивалентные нормы в конечномерном пространстве Rn, сходимость по норме. Открытые, замкнутые, связные множества. Область, замкнутая область, компакт. Функции нескольких переменных (ФНП) как отображение из Rn в Rm. Вектор-функция как отображение
из R1 в Rn. Линии и поверхности уровня.
4.2. Предел и непрерывность ФНП. Предел по множеству, непрерывная кривая в Rn. Свойства ФНП, непрерывных на компакте. Частные производные. Дифференцируемость отображения Rn в Rm. Условия дифференцируемости. Матрица–производная Якоби и дифференциал. Примеры отображений из Rn в R1 и из R1 в Rn.
5
4.3. Геометрический смысл дифференциала, касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Производная по направлению и градиент. Производная суперпозиции отображений. Теорема
о неявной функции.
4.4. Производные и дифференциалы высших порядков ФНП. Формула Тейлора и ее приложения к исследованию поведения функции в окрестности точки. Локальный экстремум
ФНП, условия его существования и методы поиска.
4.5. Отыскание наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой ограниченной
области. Условный экстремум, условия его существования и методы отыскания. Решение
прикладных задач физики и техники.
4.6. Обзорная лекция.
СЕМЕСТР 2
(68 часов)
Раздел 5. Неопределенные и определенные интегралы. Несобственные интегралы. [1.а.,2.а.,
5.а.,2.б.]
(24 часа)
5.1. Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства. Таблица неопределенных
интегралов. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
5.2. Основные методы интегрирования: метод замены переменной, метод интегрирования по
частям.
5.3. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Основная теорема высшей алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на неприводимые множители.
5.4. Интегрирование рациональных дробей.
5.5. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций.
5.6. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Ограниченность интегрируемой
функции. Критерий интегрируемости.
5.7. Интегрируемость монотонной ограниченной функции и непрерывной Функции.
5.8. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
5.9. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.
Интегрирование подстановкой и по частям в определенном интеграле.
5.10. Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, вычисление объема тела, вычисление длины дуги кривой. Приложения определенного интеграла к
решению прикладных задач геометрии, физики и техники .
5.11. Определение и геометрический смысл несобственных интегралов по бесконечному
промежутку и от неограниченной функции на конечном промежутке. Основные свойства
сходящихся интегралов.
5.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций, признаки сравнения.
Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
Абсолютная и условная сходимость интеграла от знакопеременной функции.
Раздел 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения. [7a.,3a., 6a.]
(20часов)
6.1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения
(ДУ) первого порядка. Решение и интегральная кривая ДУ первого порядка. Общее решение
ДУ. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ
первого порядка. Геометрический смысл ДУ первого порядка. Метод изоклин.
6
6.2. Простейшие методы отыскания решений ДУ первого порядка. Приложения ДУ первого
порядка.
6.3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ высших порядков. Понятие о краевых задачах. Некоторые приемы понижения порядка дифференциального
уравнения. Приложения ДУ второго порядка.
6.4.Однородные и неоднородные линейные ДУ. Фундаментальная система решений линейного однородного ДУ и ее определитель Вронского. Теорема о структуре общего решения
линейного однородного ДУ. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного
ДУ.
6.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений линейного
однородного ДУ.
6.6. Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Отыскание частного решения неоднородного ДУ методом подбора в
случае специальной правой части уравнения. Приложения линейных ДУ.
6.7.Теорема существования и единственности решения задачи Коши для систем ДУ первого
порядка. Сведение к ДУ высшего порядка. Однородные и неоднородные линейные системы,
структура их общего решения. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородных линейных систем.
6.8.Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами, их общее решение. Запись общего решения линейных систем с постоянными коэффициентами в матричной форме.
6.9.Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости решения системы ДУ. Автономные системы ДУ, их фазовое пространство и фазовые траектории. Положения равновесия, их
устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
6.10. Классификация положений равновесия двумерной линейной автономной системы ДУ
с постоянными коэффициентами. Приложения систем линейных ДУ.
Раздел 7. Кратные интегралы. [1.а.,3.а.,5.а., 3.б.]
(12 часов)
7.1. Определение и свойства двойного интеграла. Геометрический и физический смысл
двойного интеграла. Теоремы, дающие достаточные условия интегрируемости.
7.2. Определение и свойства тройного интеграла, его физический смысл; n – кратные интегралы
7.3. Сведение кратных интегралов к повторным.
7.4. Отображения из Rn в Rn . Формула замены переменных в кратном интеграле.
7.5. Полярные, цилиндрические, сферические координаты. Геометрический смысл модуля
якобиана отображения.
7.6. Приложения кратных интегралов к задачам механики, физики и техники.
Раздел 8. Векторный анализ. .[1.а.,3.а.,5.а., 3.б.]
(12 часов)
8.1. Вектор-функции.
8.2. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Циркуляция векторного поля. Формула Грина на плоскости.
8.3. Скалярные и векторные поля. Основные дифференциальные операции векторного анализа (градиент, дивергенция, ротор). Потенциальные векторные поля.
7
8.4. Ориентированные поверхности. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы первого и второго рода. Поток векторного поля.
8.5. Формулы Остроградского-Гаусса, Стокса. Соленоидальные векторные поля.
8.6. Приложения векторного анализа.
СЕМЕСТР 3
(51 час )
Раздел 9. Числовые ряды. [1.а.,3.а.,6.а., 4.б.]
(8 часов)
9.1. Определение и свойства сходящихся рядов. Ряды с комплексными членами. . Ряды с неотрицательными членами.
9.2. Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена. Признаки сходимости Даламбера, Коши, Раабе и Гаусса.
9.3. Сходимость знакопеременных рядов. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Признаки сходимости Дирихле и Абеля.
9.4. Некоторые свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Оценка остатка ряда. Приложения числовых рядов к приближенным вычислениям.
Раздел 10. Функциональные ряды. [1.а.,3.а.,6.а.]
(16 часов)
10.1. Поточечная и равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда.
Критерий Коши. Признак Вейерштрасса.
10.2. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей. Непрерывность суммы
равномерно сходящегося ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование функционального ряда
10.3. Степенные ряды. Круг и радиус сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость
степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
10.4. Ряд Тейлора. Понятие ряда Тейлора. Единственность разложения функции в степенной
ряд. Необходимое и достаточное условия разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение
элементарных функций в ряд Тейлора. Приближенные вычисления с помощью ряда Тейлора.
10.5. Ряды Фурье по ортогональным системам функций. Тригонометрический ряд Фурье.
Теорема о поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
10.6. Неполные тригонометрические ряды Фурье. Разложение функции, заданной на произвольном отрезке [a, b].
10.7. Задача о наименьшем квадратичном уклонении. Неравенство Бесселя. Множество кусочно-непрерывных на отрезке [a, b] функций Q[a, b]. Сходимость в среднем. Полные ортогональные системы функций в пространстве Q[a, b]
10. 8. Критерий полноты системы. Равенство Парсеваля. Поточечная, равномерная сходимость и сходимость в среднем последовательности функций. Равномерная сходимость и сходимость в среднем тригонометрического ряда Фурье.
Раздел 11. Интегралы, зависящие от параметра. [1.а.,3.а.]
( 6 часов)
11.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, интегрируемость и
дифференцируемость по параметру.
11.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная по параметру сходимость несобственных интегралов. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра. Достаточный признак равномерной сходимости несобственного интеграла (признак
Вейерштрасса). Свойства равномерно сходящихся интегралов
8
11.3. Приложения интегралов, зависящих от параметра. Интеграл Дирихле. Интеграл Эйлера-Пуассона. Гамма-Функция Эйлера.
Раздел 12. Элементы теории функций комплексного переменного. [8a.,3a.]
(14 часов)
12.1. Понятие функции комплексного переменного. Предел и непрерывность ФКП. Дифференцирование ФКП.
12.2. Элементарные функции комплексного переменного и их приложения.
12.3. Интеграл от ФКП.
12.4. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши.
12.5. Ряд Тейлора ФКП. Ряд Лорана.
12.6. Классификация особых точек аналитической функции. Вычет в особой точке. Основная
теорема о вычетах.
12.7. Приложение теории вычетов к вычислению определенных интегралов.
Раздел 13. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа. [1a.,8a.,3. ]
(7 часов )
13.1. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.
13.2. Определение и основные свойства преобразования Лапласа.
13.3. Восстановление оригинала по его изображению. Приложения операционного исчисления.
13.4. Обзорная лекция.
9
4.3. Перечень тем практических занятий.
(85 часов)
СЕМЕСТР 1
(51 час )
№
1.1,1.2
1.3,1.4
1.5,1.6,1.7
1.8,1.9
1.10
1.11,1.12
1.13
1.14
1.15,1.16
1.17,1.18
1.119.
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
10
Наименование.
Элементарные функции и их графики.
Предел последовательности.
Предел функции. Вычисление пределов функций с
помощью эквивалентных бесконечно малых. Сравнение функций.
Построение графиков функций без производных, но
с асимптотами. Непрерывность. Точки разрыва.
Дифференцируемость в точке, производная и дифференциал. Касательная и нормаль.
Табличное дифференцирование.
Производные высших порядков. Производные
функций, заданных параметрически и неявно.
Формула Тейлора. Выделение главной части функции.
Вычисление пределов по правилу Лопиталя и с помощью формулы Тейлора.
Исследование функций и построение графиков.
Построение графиков функций, заданных параметрически.
Решение задач на отыскание наибольшего и
наименьшего значений функции. Решение прикладных задач.
Частные
производные.
Дифференцируемость
функции нескольких переменных . Дифференциал.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Производная по направлению и градиент.
Частные производные и дифференциалы высших
порядков. Формула Тейлора.
Экстремум функции двух и трех переменных.
Условный экстремум. Максимум и минимум функций нескольких переменных в замкнутой ограниченной области. Решение прикладных задач.
Обзорное занятие
Табл. 3.1.
Количество часов.
4
4
6
4
2
4
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
1
СЕМЕСТР 2
(68 часов )
Первообразная и неопределенный интеграл. Табличное интегрирование. Интегрирование по частям и интегрирование подстановками.
Интегрирование рациональных , тригонометриче2.3,2.4,2.5
ских и некоторых иррациональных функций.
Определенный интеграл. Его вычисление и при2.6,2.7
ложения.
Несобственные интегралы на бесконечном и ко2.8
нечном промежутке. Признаки сравнения.
Абсолютная и условная сходимость несобствен2.9
ного интеграла.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
2.10,2.11
Решение прикладных задач.
Понижение порядка дифференциального уравнения и решение краевых задач для дифференциаль2.12
ных уравнений второго порядка. Решение прикладных задач.
Нахождение общего решения линейных диффе2.13,2.14,2.15,2.16 ренциальных уравнений высших порядков. Решение прикладных задач.
Решение систем линейных дифференциальных
2.17,2.18
уравнений. Решение прикладных задач.
Положение равновесия и устойчивость по Ляпуно2.19,2.20,2.21
ву. Решение прикладных задач.
Расстановка пределов в повторном интеграле. Вы2.22,2.23
числение двойного интеграла в декартовых координатах.
Двойной интеграл в криволинейных координатах.
2.24,2.25
Полярные координаты. Решение прикладных задач.
Вычисление тройного интеграла в декартовых ко2.26,2.27,2.28,2.29 ординатах, цилиндрических и сферических координатах. Решение прикладных задач.
Криволинейные интегралы первого и второго ро2.30
да. Циркуляция векторного поля. Формула Грина
на плоскости.
Скалярные и векторные поля. Основные дифференциальные операции векторного анализа (гради2.31
ент, дивергенция, ротор). Потенциальные векторные поля.
Ориентированные поверхности. Площадь поверх2.32
ности. Поверхностные интегралы первого и второго рода. Поток векторного поля.
Формулы Остроградского-Гаусса, Стокса. Солено2.33
идальные векторные поля.
2.34
Приложения векторного анализа.
2.1,2.2
4
6
4
2
2
4
2
8
4
6
4
4
8
2
2
2
2
2
11
СЕМЕСТР 3
(51 час )
№
Наименование.
3.1,3.2,3.3
3.4,3.5
3.6,3.7
3.8
3.10,3.11,3.12
3.13, 3.14
3.15
3.16
3.17
3.18,3.19
3.20, 3.21,3.22
3.23,3.24,3.25
3.26
Числовые ряды. Оценка остатка ряда.
Функциональные ряды. Поточечная и равномерная
сходимость.
Степенной ряд. Область сходимости и радиус сходимости. Оценка остатка ряда.
Разложение функции в ряд Тейлора. Приложения
степенных рядов.
Ряды Фурье по тригонометрической системе и их
приложения.
Интегралы, зависящие от параметра, и их приложения.
Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Восстановление аналитической функции по вещественной (мнимой части).
Элементарные ФКП. Конформные отображения.
Интегрирование ФКП. Интегральная теорема Коши
и формула Коши.
Ряды Тейлора и Лорана. Классификация изолированных особых точек аналитических функций. Вычеты и их вычисление.
Вычисление интегралов с помощью вычетов.
Интегральные преобразования Фурье и Лапласа.
Обзорное занятие
Количество часов.
6
4
4
2
6
4
2
2
2
4
6
6
1
4.4. Перечень тем семинарских занятий
Табл. 4.1.
( Семинарские занятия не предусмотрены)
4.5. Перечень тем лабораторных занятий.
Табл. 5.1.
( Лабораторные занятия не предусмотрены)
5. Учебно–методическое обеспечение дисциплины
5.1. Рекомендуемая литература (основная и дополнительная)
а) основная литература
1.а. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1,2,3 -М. :
Наука, 1999 , 1150 с.
2.а.. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математического
анализа.(Под редакцией Ефимова А.В., Демидовича Б.П.), М.,Наука, 1986, 464с., с илл.
12
3.а. Сборник задач по математике для ВТУЗов, Специальные разделы математического анализа (под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.) - М., Наука, 1986, 366с., с илл.
4.а. Плужникова Е.Л., Разумейко Б.Г. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Учебно–методическое пособие 537 –М.: МИСиС, 2001,133с.
5.а. Плужникова Е.Л., Разумейко Б.Г. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление. Учебно–методическое пособие 537 –М.: МИСиС,
2001,151с.
6.а. Плужникова Е.Л., Разумейко Б.Г. Ряды и дифференциальные уравнения . Учебно–
методическое пособие 1713 –М.: МИСиС, 2001, 180с.
7.а. Федорюк М.В., Обыкновенные дифференциальные уравнения, - 23 М., Наука, 1985, 448с.
с илл.
8.а. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Лекции по теории функций комплексного
переменного - М., Наука, 1976, 408с. с илл.
б) дополнительная литература
1.б. Высшая математика. Раздел: Основные общематематические понятия и некоторые сведения из элементарной математики Учебное пособие 1499 - М.: МИСиС, 1998, 74 с.
2.б. Высшая математика. Раздел: Математический анализ. Учебное пособие 688. - М., МИСиС, 1990, 154 с.
3.б. Высшая математика. Раздел: Приложения кратных интегралов. Учебное пособие 306. М., МИСиС, 1993, - 82с.
4.б. Высшая математика. Раздел: Пределы. Ортогональные базисы. Ряды. Учебное пособие
840. - М., МИСиС, 1994, - 79с.
5.2.Средства обеспечения усвоения дисциплины( перечень обучающих,
контролирующих и расчетных программ, диафильмов, кино– и телефильмов).
( Не предусмотрено)
6. Материально–техническое обеспечение дисциплины (указываются специализированные лаборатории и классы, основные установки и стенды).
( Не предусмотрено )
7. Методические рекомендации по организации обучения ( включаются в программу по
усмотрению разработчиков).
(Не предусмотрено)
8. Перечень заданий для самостоятельного выполнения.
Вид учебной работы
Домашнее задание №1
Домашнее задание №2
Домашнее задание №3
Домашнее задание №4
Домашнее задание №5
Домашнее задание №6
Срок выдачи (№ недели)
Срок сдачи (№
недели)
Табл.6.1.
Контролируемый
объем
(№,№ разделов)
1
8
1
8
1
8
6
15
6
15
6
15
1,2
3,4
5,6
7,8
9,10,11
12,13
13
9. Перечень контрольных мероприятий.
Вид контрольного мероприятия
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Контрольная работа
Срок проведения
( № недели)
№1
№2
№3
№4
№5
№6
7
14
7
14
7
14
Табл. 7.
Контролируемый
объем учебного курса
(№,№ разделов)
1,2
3,4
5,6
7,8
9,10,11
12,13
Контрольные работы проводятся в часы практических занятий в указанные сроки.
Самоконтроль знаний проводится в дни и часы, установленные преподавателем в
среде e–learning.
Программа составлена в соответствии с требованиями государственных образовательных
стандартов подготовки бакалавров и магистров по направлениям в области техники и технологии.
Авторы программы
1. Недосекина И.С. доц. каф. математики МИСиС_____________________/_______________/
2. Разумейко Б.Г. проф.каф. математики МИСиС_____________________/_______________/
3. Сабурова Т.Н. доц. каф. математики МИСиС_____________________/_______________/
Программа одобрена на заседании кафедры___________________протокол №______от_____
200______
Зав. Каф. математики, проф. Разумейко Б.Г.
14