3632267_Voprosuy_k_yekzamenu

Вопросы к экзамену по курсу
«Нелинейная динамика»
1. Введение.
1.1. Примеры возникновения пространственных, временных и пространственновременных структур в физике, химии, биологии, экологии, социологии, технике.
1.2. Динамика Ферхюльста. Универсальность Фейгенбаума. Бифуркации. Хаос.
Литература:

Г. Хакен. Синергетика: Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся
системах и устройствах. М.: Мир, 1985 (гл.1).

В. Эбелинг. Образование структур при необратимых процессах: Введение в
теорию диссипативных структур.- Москва-Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2003 (гл.4-7).

Р.М. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет,
2000 (гл.6).
2. Динамические системы (ДС) и их устойчивости.
2.1. Понятие ДС, фазовое пространство ДС, уравнение движения и оператор
эволюции (отображения) ДС, точечные и распределенные ДС, консервативные и
диссипативные ДС.
2.2. Траектория, неподвижная точка и цикл ДС, инвариантное множество, предельное
множество и предельный цикл ДС, аттрактор, репеллер и седловое множество
ДС.
2.3. Устойчивость неподвижных точек ДС, гиперболические и негиперболические
неподвижные точки, теорема Гробмана-Хартмана.
2.4. Устойчивость траектории по Ляпунову, асимптотическая устойчивость.
Устойчивость множества по Ляпунову, поглощающее множество.
2.5. Неблуждающее множество и устойчивость траектории по Пуассону.
Устойчивость траектории по Лагранжу.
2.6. Топологическая эквивалентность, структурная устойчивость и гиперболичность
ДС. «Грубость» ДС.
2.7. Ляпуновские показатели, свойства ляпуновских показателей.
Литература:

Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов. Современные проблемы нелинейной
динамики. – М.: Эдиториал УРСС, 2000 (гл.3, гл.10).

В.С. Анищенко и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических
системах. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003
(гл.1).

С.П. Кузнецов. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2006 (гл.9).
3. Бифуркации и устойчивость неподвижных точек динамических систем.
3.1. Структурная неустойчивость и бифуркация ДС. Бифуркационная диаграмма.
Коразмерность бифуркации. Центральное многообразие и анализ бифуркаций.
3.2. Простейшие бифуркации («седло-узел», «обмен устойчивости», «вилка») и их
нормальные формы.
3.3. Бифуркация Андронова-Хопфа. Теорема Хопфа.
3.4. Цепочки бифуркаций, сценарии перехода к хаосу.
3.5.
3.6.
3.7.
Классификация точек кривых на бифуркационной диаграмме (регулярные и
особые точки, двойные особые точки, точки возврата, сопряженные точки,
особые точки высокого порядка).
Устойчивость и неустойчивость бифуркационных решений, смена устойчивости.
Теория несовершенств и изолированные решения, разрушающие бифуркацию.
Устойчивость изолированных решений, разрушающих бифуркацию.
Литература:

Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов. Современные проблемы нелинейной
динамики. – М.: Эдиториал УРСС, 2000 (гл.4).

Х.В. Брур, Ф. Дюмортье, С. Ван Стрин, Ф. Такенс. Структуры в динамике:
Конечномерные детерминированные системы. – Москва-Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2003 (гл.3).

В.С. Анищенко и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических
системах. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003
(гл.1).

Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Нелинейные колебания, динамические системы
и бифуркации векторных полей.- Москва-Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2002 (гл.3).

Ж. Йосс, Д. Джозеф. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. –
М.: Мир, 1983 (гл.2, гл.3).
4. Распределенные динамические системы. Конвективная неустойчивость («ячейки
Бенара»).
4.1. Основные уравнения конвекции вязкой несжимаемой жидкости в приближении
Буссинеска. Равновесное распределение температуры и давления.
4.2. Исследование устойчивости равновесного состояния. Основные уравнения малых
нестационарных возмущений состояния равновесия. Числа Релея, Прандтля и
Грасхофа. Граничные условия.
4.3. Нормальные моды возмущенного состояния. Задача на собственные значения.
Условие потери устойчивости, критическое число Релея. Конвективные ячейки.
Конвективные валы.
4.4. Термоконвекция вязкой жидкости в вертикальной ячейке (ячейка Хеле-Шоу).
Граничные условия. Решение методом Галеркина. Система Лоренца.
4.5. Примеры систем, описывающихся уравнениями Лоренца (конвекция жидкости в
замкнутой петле, водяное колесо, одномодовый лазер).
4.6. Динамика системы Лоренца. Фазовый портрет, аттрактор Лоренца. Неподвижные
точки, анализ неподвижных точек на устойчивость.
4.7. Бифуркации в системе Лоренца.
Литература:

Д.И. Трубецков, Е.С. Мчедлова, Л.В. Красичков. Введение в теорию
самоорганизации открытых систем. – М.: Физматлит, 2005 (гл.6).

П.Г. Фрик. Турбулентность: подходы и модели. – Москва-Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2003 (гл.1).

В. Эбелинг. Образование структур при необратимых процессах: Введение в
теорию диссипативных структур.- Москва-Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2003 (гл.5).

С.П. Кузнецов. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2006 (гл.3, гл.4).