8 класс, серия 1, периодически ориентированная и

8 класс, серия 1, периодически ориентированная и
направленная на человечность
8 класс, серия 1, периодически ориентированная и
направленная на человечность
1. На прямых (а вовсе не обязательно на сторонах) АВ,
ВС, СА треугольника АВС взяты соответственно точки
С1, А1 и В1, отличные от его вершин. Докажите, что
окружности, описанные около треугольников А1В1С,
А1ВС1, АВ1С1 имеют общую точку.
2. Прямая Симсона. Из произвольной точки, лежащей
на окружности, описанной около треугольника, опущены перпендикуляры на его стороны (или на продолжения сторон). Докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на
одной прямой.
3. Точка Микеля. На плоскости даны четыре прямые общего положения. Вокруг
каждого треугольника, образованного любыми тремя из них описана окружность. Докажите, что эти четыре окружности имеют общую точку.
4. а) Последовательность периодична с периодом 7. В ней оставлены только 1-й,
10-й, 100-й, 1000-й и т.д. члены. Докажите, что полученная последовательность
– периодична. b) То же – для произвольной периодической последовательности
с периодом любой длины.
5. Какой наименьший период может быть у суммы последовательностей с
наименьшими периодами 4 и 12?
6. Конечная последовательность из N членов непостоянна и периодична с периодами 13 и 14. Каково наибольшее значение N?
7. На окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC
(AB = AC) взята точка D, а на прямой AD взята точка E, не совпадающая с D и A.
Окружность, описанная около треугольника BDE, пересекает прямую AB в точке
F. Докажите, что FE параллельно BC.
8. Пусть О — центр правильного многоугольника A1A2A3...An, X – произвольная
⃗ ; б) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
точка. Докажите, что а) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴2 + ⋯ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴𝑛 = 0
𝑋𝐴1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑋𝐴2 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑋𝐴3 + ⋯ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ . в) Точка O - центр правильного 105-угольника A1A2…A105. Найти
𝑋𝐴𝑛 = 𝑛𝑋𝑂
сумму всех векторов OAi, где i - все числа, взаимно простые с числом 105.
1. На прямых (а вовсе не обязательно на сторонах) АВ,
ВС, СА треугольника АВС взяты соответственно точки С1,
А1 и В1, отличные от его вершин. Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1В1С, А1ВС1, АВ1С1
имеют общую точку.
2. Прямая Симсона. Из произвольной точки, лежащей на
окружности, описанной около треугольника, опущены
перпендикуляры на его стороны (или на продолжения
сторон). Докажите, что основания этих перпендикуляров
лежат на одной прямой.
3. Точка Микеля. На плоскости даны четыре прямые общего положения. Вокруг
каждого треугольника, образованного любыми тремя из них описана окружность. Докажите, что эти четыре окружности имеют общую точку.
4. а) Последовательность периодична с периодом 7. В ней оставлены только 1-й,
10-й, 100-й, 1000-й и т.д. члены. Докажите, что полученная последовательность
– периодична. b) То же – для произвольной периодической последовательности
с периодом любой длины.
5. Какой наименьший период может быть у суммы последовательностей с
наименьшими периодами 4 и 12?
6. Конечная последовательность из N членов непостоянна и периодична с периодами 13 и 14. Каково наибольшее значение N?
7. На окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC
(AB = AC) взята точка D, а на прямой AD взята точка E, не совпадающая с D и A.
Окружность, описанная около треугольника BDE, пересекает прямую AB в точке
F. Докажите, что FE параллельно BC.
8. Пусть О — центр правильного многоугольника A1A2A3...An, X – произвольная
⃗ ; б) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
точка. Докажите, что а) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴2 + ⋯ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴𝑛 = 0
𝑋𝐴1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑋𝐴2 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑋𝐴3 + ⋯ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ . в) Точка O - центр правильного 105-угольника A1A2…A105. Найти
𝑋𝐴𝑛 = 𝑛𝑋𝑂
сумму всех векторов OAi, где i - все числа, взаимно простые с числом 105.
𝑥2 + 𝑦2 = 𝐴
9. Сколько решений может иметь системы уравнений (А>0, B>0) {
?
|𝑥| + |𝑦| = 𝐵
10. Точка Микеля возвращается на окружность. Четыре прямые образуют
четыре треугольника. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников и точка Микеля лежат на одной окружности.
𝑥2 + 𝑦2 = 𝐴
9. Сколько решений может иметь системы уравнений (А>0, B>0) {
?
|𝑥| + |𝑦| = 𝐵
10. Точка Микеля возвращается на окружность. Четыре прямые образуют
четыре треугольника. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников и точка Микеля лежат на одной окружности.
8 класс, серия 2, алгебро-геометрическая
11. На окружности даны точки А, В, М и N. Из точки М проведены хорды МА1 и
МВ1, перпендикулярные прямым NB и NA соответственно. Докажите, что АА1
параллельна. ВВ1.
12. Назовем окружность, проходящую через середины сторон треугольника, серединной окружностью (хотя она совсем не так называется). Докажите, что в
любом четырёхугольнике АВСD серединные окружности треугольников АВС,
АВD, АСD, ВСD имеют общую точку.
13. Сколько решений может иметь системы
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝐴
уравнений (А>0, B>0) {
?
|𝑥| + |𝑦| + |𝑧| = 𝐵
14. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная AB к окружности S1, а через точку P
– прямая CD, параллельная AB (точки B и C
лежат на S2, точка D – на S1). Докажите, что
ABCD – параллелограмм.
16. На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы ABB2A1, BCC2B1,
CAA2C1. Доказать, что из отрезков A1A2, B1B2
и C1C2 можно составить треугольник.
17. Дан треугольник АВС и точки А1, В1, С1 на сторонах ВС, СА, АВ соответственно,
причем АС1:С1В = ВА1:А1С = СВ1:В1А. Докажите, что точки пересечения медиан
треугольников АВС и А1В1С1 совпадают.
ab
.
a b
19. Пусть точка I является центром вписанной в треугольник ABC окружности. Доказать, что центр окружности, описанной около треугольника AIC, лежит на
биссектрисе угла B.
20. Числа abc, ab+bc+ca и a+b+c положительны. Докажите, что числа a, b и c тоже положительны.
18. Известно, что a2 + b2 = 3ab и a> b > 0. Вычислите
8 класс, серия 2, алгебро-геометрическая
11. На окружности даны точки А, В, М и N. Из точки М проведены хорды МА1 и
МВ1, перпендикулярные прямым NB и NA соответственно. Докажите, что АА1
параллельна. ВВ1.
12. Назовем окружность, проходящую через середины сторон треугольника, серединной окружностью (хотя она совсем не так называется). Докажите, что в
любом четырёхугольнике АВСD серединные окружности треугольников АВС,
АВD, АСD, ВСD имеют общую точку.
13. Сколько решений может иметь системы
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝐴
уравнений (А>0, B>0) {
?
|𝑥| + |𝑦| + |𝑧| = 𝐵
14. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная AB к окружности S1, а через точку P
– прямая CD, параллельная AB (точки B и C
лежат на S2, точка D – на S1). Докажите, что
ABCD – параллелограмм.
16. На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы ABB2A1, BCC2B1,
CAA2C1. Доказать, что из отрезков A1A2, B1B2
и C1C2 можно составить треугольник.
17. Дан треугольник АВС и точки А1, В1, С1 на сторонах ВС, СА, АВ соответственно,
причем АС1:С1В = ВА1:А1С = СВ1:В1А. Докажите, что точки пересечения медиан
треугольников АВС и А1В1С1 совпадают.
ab
.
a b
19. Пусть точка I является центром вписанной в треугольник ABC окружности. Доказать, что центр окружности, описанной около треугольника AIC, лежит на
биссектрисе угла B.
20. Числа abc, ab+bc+ca и a+b+c положительны. Докажите, что числа a, b и c тоже положительны.
18. Известно, что a2 + b2 = 3ab и a> b > 0. Вычислите
8 класс, серия 3, про геометрию и графы
8 класс, серия 3, про геометрию и графы
21. Ортоцентр остроугольного треугольник служит центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
22. Докажите, что у любого треугольника существуют три вневписанных окружности, и данный треугольник является ортотреугольником для треугольника,
вершины которого – центры вневписанных окружностей.
23. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вневписанными окружностями, пересекаются
в одной точке.
24. Точки A, B, C лежат на одной прямой. Точка M не принадлежит этой прямой.
Доказать, что окружности с диаметрами MA, MB,MC имеют еще одну общую
точку.
25. Точки M и N симметричны вершине C треугольника ABC относительно прямых, содержащих биссектрисы его углов A и B. Доказать, что точка P касания
стороны AB с вписанной в треугольник ABC окружностью является серединой
отрезка MN.
26. Даны две концентрические окружности. Через две точки этих окружностей,
лежащие на одной прямой с центром, проведена произвольная окружность. Доказать, что две другие точки пересечения ее с данными окружностями тоже лежат на одной прямой с центром.
27. В стране N городов. Между любыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придется поменять вид транспорта не более раза.
28. В каждой из трех школ учится n учеников, и у каждого школьника n+1 друг в
сумме в двух других школах. Докажите, что можно выбрать в каждой школе по
одному школьнику так, чтобы они попарно дружили между собой.
29. В некотором обществе у каждых двух знакомых между собой людей нет общих знакомых, а у каждых двух незнакомых между собой людей есть ровно два
общих знакомых. Докажите, что у каждого человека в этом обществе одно и тоже число знакомых.
30. В стране 2012 городов. Каждый город связан авиалиниями с некоторыми
другими, причем для каждого города число исходящих из него авиалиний есть
степень двойки. Для каждого города статистик подсчитал
количество маршрутов из этого города в другие города,
имеющих не больше одной пересадки. Докажите, что
сумма всех полученных чисел не может быть равна 2 000
000.
21. Ортоцентр остроугольного треугольник служит центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
22. Докажите, что у любого треугольника существуют три вневписанных окружности, и данный треугольник является ортотреугольником для треугольника,
вершины которого – центры вневписанных окружностей.
23. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вневписанными окружностями, пересекаются
в одной точке.
24. Точки A, B, C лежат на одной прямой. Точка M не принадлежит этой прямой.
Доказать, что окружности с диаметрами MA, MB,MC имеют еще одну общую
точку.
25. Точки M и N симметричны вершине C треугольника ABC относительно прямых, содержащих биссектрисы его углов A и B. Доказать, что точка P касания
стороны AB с вписанной в треугольник ABC окружностью является серединой
отрезка MN.
26. Даны две концентрические окружности. Через две точки этих окружностей,
лежащие на одной прямой с центром, проведена произвольная окружность. Доказать, что две другие точки пересечения ее с данными окружностями тоже лежат на одной прямой с центром.
27. В стране N городов. Между любыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придется поменять вид транспорта не более раза.
28. В каждой из трех школ учится n учеников, и у каждого школьника n+1 друг в
сумме в двух других школах. Докажите, что можно выбрать в каждой школе по
одному школьнику так, чтобы они попарно дружили между собой.
29. В некотором обществе у каждых двух знакомых между собой людей нет общих знакомых, а у каждых двух незнакомых между собой людей есть ровно два
общих знакомых. Докажите, что у каждого человека в этом обществе одно и тоже число знакомых.
30. В стране 2012 городов. Каждый город связан авиалиниями с некоторыми
другими, причем для каждого города число исходящих из него авиалиний есть
степень двойки. Для каждого города статистик подсчитал количество маршрутов из этого города в другие
города, имеющих не больше одной пересадки. Докажите, что сумма всех полученных чисел не может быть
равна 2 000 000.