Расчет справедливой ценыx

УДК 519.2.
Расчет справедливой цены для модели (B,S)-рынка с дивидендами
Галицына Е.Н.
Научный руководитель: доцент Данилова Н.В.
Институт математики, механики и компьютерных наук им.И.И.Воровича
г.Ростов-на-Дону, Россия
В работе приводится алгоритм расчета справедливой цены для Европейского
Call-опциона с финансовым обязательством:
S  K , еслиS N  K
.
f N  (S N  K )   N
еслиS N  K
0,
В результате находится капитал портфеля с дивидендами. Расчёты задаются с
помощью рекуррентных формул в непрерывном и дискретном времени.
Рассмотрим портфель с дивидендами в случае дискретного времени:
  S  Dn 
Х 
  n    n    n  
 , n  1, 2,, N .
 Bn 
  Bn  Bn 
Dn  cSn1 , c  const
Модель (B,S) – рынка в случае дискретного времени выглядит следующим образом:
 Sn  Sn 1 1  n   n n 

 Bn  Bn 1 (1  rn )
𝑁
Процесс (𝑆𝑛 )𝑁
𝑛=0 описывает стоимость акции, процесс (𝐵𝑛 )𝑛=0 описывает величину
банковского счёта. Значения 𝑆0 , 𝐵0 известны. Источником случайности является
последовательность независимых случайных величин (𝜀𝑛 )𝑁
таких, что
𝑛=0
{∅,
𝜀𝑛 𝜖{−1,1}.Рассматривается естественная фильтрация 𝐹0 =
𝛺}, 𝐹𝑛 = 𝜎(𝜀1 , … , 𝜀𝑛 ) .
Параметры модели: 𝑟𝑛 - процентная ставка, 𝛿𝑛 > 0 волатильность, 𝜇𝑛 − снос.
Мартингальная мера для портфеля с дивидендами имеет следующий вид:
p   n  1  p 
rn  n  c(1  n ) 1

2 n (1  c)
2
p   n  1  1  p  q 
1 rn  n  c(1  n )

2
2 n (1  c)
Ограничения на параметры:
max(- n 
rn  c
r c
,  n -1)<n   n  n
1 c
1 c
𝑋
𝑝 −такая мера, относительно которой процесс (𝐵𝑛)
𝑛
𝑁
𝑛=1
является мартингалом.
Задача для расчёта справедливой цены 𝑋 0 имеет следующий вид:
min X 0
 
  X 
  Xn 
Sn
n
 
   n   
c
Bn
  Bn 
  Bn 
X  f
N
 N



Формула для решения:
X N  f N  g n1 ( Sn )
X n 1  g n 1 ( Sn 1 ) 
1
{g n ( Sn 1 (1  n   n )) p  g n ( Sn 1 (1  n   n ))q}
1  rn
Аналогично рассмотрим модель (B,S) – рынка в случае непрерывного времени:
dSt  St (  dt   dWt )
t  [0T ]

dBt  Bt (rdt )
Балансовое приращение имеет вид:
min X 0
 
  X 
  Xt
t
d 
   t  d 
  Bt
  Bt 
X  f
T
 T

St 
  c dt 
Bt 

Зависимость параметров дискретного и непрерывного времени выглядит следующим
образом :    h , r  rh , c  ch ,    h
Где h 
T
.
N
Формула для решения задачи имеет следующий вид:
  S0 
  S0 


2 
2 
 ln    T  r  c   
 ln    T  r  c   
2 
2 
K
K



X 0  S0 exp ( T )
 K exp(rT ) 




 T
 T








1
( x) 
2
x
e


t2
2
dt - это функция Лапласа.
Пусть 𝑀1 < 𝑀2 . Введем два барьера 𝑀1 , 𝑀2 такие, что:
M 1 (ih)  M 1exp(dih)
M 2 (ih)  M 2 exp(dih)
Тогда параметры модели вычисляются следующим образом:
ri  r1I S M ((i 1) h )  r2 I M ((i 1) h )S M ((i 1) h )  r3 I S M ((i 1) h )
 i1 1

 1

 i1 2

i 1
2
i  1IS

 2 I M ((i 1) h)S M ((i 1) h)  3 I S M ((i 1) h)
 1

 t1 2

i 1
2
i  1IS

  2 I M ((i 1) h)S M ((i 1) h)  3 I S M ((i 1) h)
 1

 t1 2

i 1
2
t 1  M1 (( i 1) h )
t 1  M1 (( i 1) h )
Пусть задано следующее разбиение: 0=T0 <T1 <...<TN =T .
Формула для решения имеет следующий вид :
V ( x, t )  exp (r (T  t )) 
N g (S

  2 

Ti 1 )
Ef  xexp   r 
(
T

t
)

(
T

T
)


sqrt
(
T

t
)




i
i 1



2
S
i

1

T
i 1



где x  S0 , t  0, g ( Si 1 )  x ,   [0,1],  ~ (0,1) .
Рассмотрим реализацию метода вычисление
опциона-колл для модели с дивидендами.
справедливой цены европейского
Для исходных данных T := 1; K := 6; S0 := 6; delta := 0.1e-1; r := 0.5; N := 10
с
X 0d
X 0c
0
0.391
0.391
0.005
0.376
0.374
0.01
0.362
0.361
0.015
0.347
0.345
0.02
0.332
0.331
0.025
0.318
0.319
0.03
0.304
0.302
0.035
0.291
0.29
0.04
0.276
0.275
Таблица 1. Зависимость справедливой цены от параметра с
Поведение справедливой цены убывает с ростом c - это вполне реалистично, так как
от дивидендов мы получаем прибыль, поэтому можем позволить себе иметь меньшую
справедливую цену. Если портфель самофинансируемый, то есть дивидендов нет, то
мы от них прибыли не получаем, следовательно нам необходимо платить большую
справедливую цену. В таблице 1. представлена зависимость справедливой цены от c ,
хорошо видно, что при c  0 у нас самая большая справедливая цена, которая
совпадает со справедливой ценой самофинансируемого портфеля. При увеличении c
видно, что справедливая цена уменьшается. В таблице 1 получены данные при
расчете справедливой цены в непрерывном ( X 0c ) и дискретном времени( X 0d ).
Рассмотрим
пример
с
участием
двух
барьеров.
Пусть
r1  0.1, 1  0.001, r2  0.11,  : 1,  2  0.002, r3  0.13, 3  0.003N  5, S0  6, T  1, t  0
Рис.1. График зависимости справедливой цены от α.
При
значении   0 значение справедливой цены, совпадает со значением
справедливой цены вычисленной в дискретном времени при одинаковых параметрах.
Литература
1.А.В.Мельников "Финансовые рынки: стохастический анализ ирасчёт производных
ценных бумаг." М.:ТВП, 1997.
2.А.Н.Ширяев. "Основы стохастической финансовой математики". Том 1.Факты
модели. М.:Фазис, 1998.
3.Г.И.Белявский, Н.В.Данилова "Диффузионные модели со случайным переключением
параметров. Расчеты и финансовые приложения. "LambertAcademicPublishing" 2002