Задание на лабораторную работу № 1 «Численное решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Численное решение нелинейного уравнения». Цель работы – освоить методы решения систем линейных алгебраических уравнений и решения нелинейных уравнений с одной переменной. Часть I. Решение СЛАУ. 1. Необходимо самостоятельно, без использования готовых модулей, разработать программы, реализующую метод Зейделя. 2. Программу нужно проверить на системе уравнений: 100 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 105, x1 + 100 x2 + 3 x3 = 104, x + 2 x + 100 x = 103, 2 3 1 (1) Решение 1 x = 1 1 обоими методами должно быть достигнуто за 2–4 итерации с точностью 𝜀 = 0.001. 3. В рамках индивидуального задания нужно решить систему уравнений из вопроса № 1 теста с помощью разработанной программы. В отчете необходимо: 1) описать преобразование системы к виду x1 = f1( x1, x2 , x3 ); x2 = f 2 ( x1, x2 , x3 ); x = f ( x , x , x ); 3 3 1 2 3 2) привести листинг программы (C++, C#, Python и другие); 3) скрины работы программы; 4) в таблицу внести результаты решения проверочной системы (1) и индивидуальной системы (из тестового вопроса): • полученное решение с точностью до 3 знаков, • число выполненных итераций, • начальную точку Решение Начальная точка Число итераций Проверочная система Индивидуальная система Начальную точку рекомендуется задавать: 𝑥 (0) 0 0) = (… 0 Условие останова: (𝐿) |𝑥𝑖 (𝐿−1) − 𝑥𝑖 | < 𝜀, 𝑖 = 1,2, 3, где 𝜀 = 0.001, 𝐿 – номер последней итерации. Часть II. Решение нелинейного уравнения. Дано два уравнения: тестировочное x2 + 4 x − 5 = 0 (2) с корнями 𝑥1 = −5 и 𝑥2 = 1, и индивидуальное (в вопросе № 2 теста). Необходимо выполнить решение обоих уравнений в два этапа – отделение и уточнение корня. 1. Этап отделения корня проводится с помощью графика/анализа поведения производной функции. По итогу этапа нужно получить отрезок, на котором функция монотонна и имеет ровно один корень. В отчет необходимо включить весь процесс (либо график и его анализ, либо ручную/программную реализацию анализа производной) и записать полученные границы отрезка. 2. На этапе уточнения корня необходимо составить программы, выполняющие уточнение корня на найденном выше отрезке двумя способами: а) методом Ньютона; б) методом простых итераций, и с помощью этих программ найти корни обоих уравнений. Условие останова рекомендуется следующее: f ( xL ) , где 𝜀 = 0.001, 𝐿 – номер последней итерации. Начальную точку везде задаем x0 = a+b . 2 Если решение не сходится: • можно уменьшить точность 𝜀, • можно взять другую начальную точку. Тогда весь процесс подбора параметров необходимо отразить в отчете. В отчете должны быть для обоих уравнений: 1) этап отделения корня; 2) листинг программ (C++, C#, Python и другие); 2) скрины работы программ; 3) таблицы, в которые внесены результаты решения (для каждого уравнения отдельно): Результаты начальная точка число итераций, за которые найден корень Метод Метод Ньютона Метод простой итерации Полученные решения выводим с точностью до 3 знаков. найденный корень
