Задачи для тренировки теорвер

-1-
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
I. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Аудиторные задачи
1. В магазин поступило 30 новых цветных телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты.
Наудачу отбирается один телевизор для проверки. Какова вероятность, что он не имеет скрытых
дефектов?
2. Подбрасываются 2 игральные кости. Найти вероятности указанных событий: A = {числа очков
на обеих костях совпадают}, B = {число очков на первой кости больше, чем на второй},
C = {сумма очков четна}, D = {сумма очков больше двух}, E = {сумма очков не меньше пяти},
F = {хотя бы на одной кости появится цифра 6}, G = {произведение выпавших очков равна 6}.
3. На шахматную доску случайным образом ставят 2 ладьи. Какова вероятность того, что они не
побьют друг друга?
4. Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7
третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают 5 человек на предстоящую конференцию.
Найти вероятности событий: A = {будут выбраны одни третьекурсники}, B = {все первокурсники
попадут на конференцию}, C = {не будет выбрано ни одного второкурсника}, D = {будут выбраны
2 первокурсника и 2 второкурсника}, E = {будут выбраны 4 второкурсника}.
5. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на пяти карточках. Наугад последовательно выбираются три
карточки, и вытянутые таким образом цифры ставятся слева направо. Найти вероятность того, что
полученное при этом трехзначное число будет четным.
6. Числа 1, 2, … , 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятности событий: A = {числа
будут записаны в порядке возрастания}, B = {числа 1 и 2 будут стоять рядом и в порядке
возрастания}, C = {числа 3, 6 и 9 будут следовать друг за другом и в порядке возрастания}.
7. n мужчин и n женщин случайным образом рассаживаются в ряд на 2n мест. Найти вероятности
событий: A = {никакие два мужчины не будут сидеть рядом}, B = {все мужчины будут сидеть
рядом}.
8. Общество состоит из 5 мужчин и 10 женщин. Найти вероятность того, что при случайной
группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина.
9. Из разрезной азбуки выкладывается слово «Математика». Затем все буквы этого слова
тщательно перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность
того, что снова получится это слово?
10. Для уменьшения числа игр 2n футбольных команд, среди которых 2 призера предыдущего
чемпионата, путем жеребьевки разбиваются на 2 подгруппы по n команд каждая. Какова
вероятность qn того, что обе команды–призеры попадут в разные группы?
Домашние задачи
11. Автомат изготавливает однотипные детали, причем технология изготовления такова, что 5%
произведенной продукции оказывается бракованной. Из большой партии взята наудачу одна
деталь для контроля. Найти вероятность события А = {деталь бракованная}.
12. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность событий: A = {число читается
одинаково как слева направо, так и справа налево (например, 13531), B = {число кратно пяти},
C = {число состоит из нечетных цифр}.
13. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому
числу очков.
14. В ящике комода лежат 10 носков черного цвета и 6 носков в зеленую полосочку. Наудачу
вынимаются 3 носка. Найти вероятность того, что образовалась пара.
15. Чайный сервиз на 6 персон состоит из 6 чашек, 6 блюдец, чайника, сахарницы и молочника. Во
время ссоры нигде не работающая Клава запустила в своего друга Григория тремя первыми
попавшимися под руку предметами из сервиза. Какова вероятность того, что не пострадали
чашки? (Указание: считать, что предметы попадались Клаве под руку совершенно случайно.)
16. В урне 7 белых, 3 черных и 2 красных. Наудачу достают 2 шара. Найти вероятность того, что
они оба окажутся одного цвета.
17. В урне 5 белых шаров, 3 черных и 6 красных. Наудачу достают 5 шаров. Какова вероятность
-2-
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
того, что в выборку попадут 2 белых, 2 черных и 1 красный шар.
18. Из группы, где 8 мужчин и 5 женщин, наудачу выбрали 3 человека. Найти вероятность того,
что среди выбранных лиц будет а) по крайней мере, одна женщина, б) по крайней мере две
женщины.
19. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр.
Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 женщины?
20. 12 студентов, среди которых Иванов и Петров, случайным образом занимают очередь за
учебниками в библиотеку. Какова вероятность, что между Ивановым и Петровым в
образовавшейся очереди окажутся ровно 5 человек?
21. Опыт состоит в четырехкратном выборе с возвращением одной из букв алфавита {а, б, к, о, м}
и выкладывании слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что в результате
будет выложено слово "мама "?
22. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что
телефонные номера состоят из 7 цифр, причем все комбинации равновероятны, найти вероятности
событий: A = {четыре последние цифры номера одинаковы}, B = {все цифры различны}, C =
{номер начинается с цифры 5}, D = {номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2}.
Дополнительные задачи
Д1. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Какова вероятность, что
среди них окажется по крайней мере одна кость с шестью очками?
Д2. Из десяти первых букв русского алфавита наудачу составляется новый алфавит, состоящий из
пяти букв. Найти вероятности событий: A = {в состав нового алфавита входит буква а},
B = {в состав нового алфавита входят только согласные буквы}.
Д3. Полная колода карт (52 карты) делится пополам. Найти вероятность того, что количество
черных и красных карт в обеих пачках одинаковым.
Д4. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически отпирается, если в
определенной последовательности набрать три цифры из имеющихся десяти. Некто вошел в
подъезд и, не зная кода, стал наудачу пробовать различные комбинации из трех цифр. На каждую
попытку он тратит 20 секунд. Какова вероятность события A = {вошедшему удастся открыть дверь
за один час}?
Д5. 9 пассажиров наудачу рассаживаются в трех вагонах. Найти вероятность того, что а) в каждый
вагон сядет по 3 пассажира; б) в один вагон сядут 4, в другой – 3 и в третий – 2 пассажира.
Д6. 52 карты раздаются четырем игрокам (каждому по 13 карт). Найти вероятности событий:
A = {каждый игрок получит туза}, B = {хотя бы один из игроков получит все 13 карт одной
масти}, C = {все тузы попадут к одному из игроков}, D = {двое определенных игроков не получат
ни одного туза}.
Д7. Ирочка Маслова наивно верит, что если она соберет 20 разных наклеек от жевачек Барби и
отошлет их по указанному адресу, то добрые тети и дяди пришлют ей взамен настоящую куклу
Барби. Объясните Ирочке строго математически нереальность ее затеи, вычислив вероятность
собрать 20 разных наклеек, купив ровно 20 жевачек. (Примечание: вероятность вытащить любую
наклейку из произвольной жевачки одна и та же.)
Д8. Пустые горшочки с медом Винни-Пух ставит на полочку вместе с полными для того, чтобы
вид уменьшающегося числа горшков не слишком портил ему настроение. В настоящий момент в
Пуховом буфете вперемежку стоят 5 горшочков с медом и 6 абсолютно пустых. Какова
вероятность того, что в двух взятых на ужин горшочках окажется мед?
Д9. 9 пассажиров наудачу рассаживаются в трех вагонах. Найти вероятность того, что а) в каждый
вагон сядет по 3 пассажира; б) в один вагон сядут 4, в другой – 3 и в третий – 2 пассажира.
Д10. N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (N > 2). Найти вероятность
p того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.
Д11. В одной урне 2 белых и 5 черных, во второй - 4 белых и 6 черных шаров. Наудачу достают по
одному шару из каждой урны. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров окажется: а)
один белый шар, б) два белых шара.
Д12. Колода из 52 карт раздается поровну четверым игрокам. Найти вероятность того, что: а) у
-3-
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
каждого из игроков окажется по одному тузу; б) у одного из игроков все тринадцать карт будут
одной масти; в) у каждого из игроков будут все карты от двойки до туза.
ОТВЕТЫ
1. 5/6 2. P(A) = 1/6 3. 7/9 4. P(A) = 1/143; P(B) = 2/91; P(C) = 12/143 5. 0,4 6. P(A) = 1/9!;
2
2
P(B) = 1/9; P(C) = 1/72 7. P( A)  2  n! /  2n !; P( B)   n  1 n! /  2n ! 8. 10!5!(3!)5/2515!
9. 2!2!3!/10! 10. n /  2n  1 11. 0,05; P(B) = 5/12; P(C) = 1/2; P(D) = 35/36; P(E) = 5/6; P(F) = 11/36;
P(G) = 1/9; 12. P(A) = 0,01; P(B) = 0,2; P(C) = 5/144 13. 1/216 14. 1 15. 12/65 16. 25/66 17. 90/1001
18. a) 115/143; б) 45/143 19. 18/35 20. 1/11 21. 1/625 22. P(A) = 0,001
Д1. 1  С 721 / C 728 =0,932. Д2. P(A) = 1/2; P(B) = 1/42 Д3. (26!)4/(13!)452! Д4. 0,25; P(B) = 0,0605;
P(C) = 0,1; P(D) = 0,00021
P( B) 
16  39!13!
13! 3 52!
4
Д5. а) 9!/(3!) 3 б) 9!/4!3!2!3
3 9
9
Д6. P( A) 
4! 48!13!
4
12! 4 52!
 0,105;
 8,4  1012 . Д7. 20!/ 2020 Д8. 2/11 Д9. а) 9!/(3!)339; б) 9!/4!3!2!39
II. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
Аудиторные задачи
1. На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый
свет и полминуты – красный, затем снова одну минуту – зеленый и полминуты – красный и т.д. В
случайный момент к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он
проедет перекресток без остановки?
2. Какова вероятность, не целясь, попасть бесконечно малой пулей в прутья квадратной решетки,
если толщина прутьев равна а, а расстояние между их осями равно ℓ (ℓ > a)?
3. Значения a и b равновозможны в квадрате a  1, b  1. Найти вероятности событий: A = {корни
квадратного трехчлена x2  2ax  b действительны}, B = {корни квадратного трехчлена
положительны}.
4. (Задача Бюффона). На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся на
расстоянии 2a друг от друга. На плоскость наудачу брошена тонкая игла длиною 2   a  .
Найти вероятность того, что игла пересечет одну из прямых.
5. Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных изделий в партии из 1000 изделий.
Найдите относительную частоту изготовления бракованных изделий.
6. (Парадокс Бертрана – детализация понятия случайности). В круге радиуса R случайно
проводится хорда. Найти вероятность того, что длина хорды больше стороны правильного
треугольника, вписанного в окружность (центр хорды находится на диаметре, на биссектрисе
центрального угла, в круге).
Домашние задачи
7. Зритель собрался посмотреть по телевизору только один из двух намеченных фильмов, а
именно тот который начнется транслироваться раньше. Как стало позднее известно, 2-й фильм
начался в 10 часов, а 1-й в случайный момент времени между 9.30 и 10.15. Найти вероятность
того, что зритель посмотрел 2-й фильм.
8. На плоскость с нанесенной на ней квадратной сеткой многократно бросается монета диаметра d,
в результате чего установлено, что в 40% случаев монета не пересекает ни одной стороны
квадрата. Оценить размер сетки.
9. Из отрезка [–1, 2] наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше
единицы, а произведение меньше единицы?
10. Кусок проволоки длиною в 20 см был согнут в наудачу выбранной точке (точка сгиба
равномерно распределена). После этого, перегнув проволоку еще в двух местах (не ломая ее)
сделали прямоугольную рамку. Найти вероятность того, что площадь полученной рамки не
превосходит 21 см2.
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
-4-
11. Известный французский естествоиспытатель Бюффон провел 4040 подбрасываний монеты.
При этом герб у него появился 2300 раз. Определить относительную частоту появления герба.
Дополнительные задачи
Д1. Внутри квадрата с вершинами  0,0  , 1,0  , 1,1 и  0,1 наудачу выбирается точка M  X , Y  .




Найти вероятности событий: A  M   x, y  | x 2  y 2  a 2  , B  M   x, y  | xy  a  , a  0 .

Д2. В случайный момент времени x [0, T ] появляется радиосигнал длительностью t1 . В
случайный момент времени y [0, T ] включается приемник на время t 2  t1 . Найти вероятность
обнаружения сигнала, если: а) приемник настраивается мгновенно; б) время настройки приемника
равно t 3 (t 3  t 2  t 1) .
Д3. В сфере радиуса R случайно и независимо друг от друга разбросано N точек. а) Найти
вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки будет не меньше a. б) Найти
N
4
предел этой вероятности, если R   и 3   (эта задача взята из звездной астрономии).
R
3
ОТВЕТЫ
5d
a
a
1. 2/3. 2.  2   3. P(A) = 2/3; P(B) = 1/12 4. 2l / a 5. 0,005 6. 1/2; 1/3; 1/4 7. 1/3 8.
5 2


9. 1/6 + 2/9 ln2 10. 0.6 11. 115/202
 0,25a 2 , если 0  a  1,

a1  ln a  , 0  a  1,
1

Д1. P( A)   a 2  1  a 2  0,25  arccos  , если 1  a  2 , P( B)  
;

1,
1  a.
a



1,
если 2  a,
N
2
2
2
2
4 a 
  a 3 

 t1  t3 
 t1 
 t2 
 t2 
3
Д2. а) 1  0,5 1    0,5 1   ; б) 1  0,5 1 
  0,5 1   Д3. а) 1     ; б) e
T
T
T
T
R








   
3
III. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ, УМНОЖЕНИЯ, УСЛОВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Аудиторные задачи
1. Пусть события А, В и С – три произвольных события. Найти выражения для событий,
состоящих в том, что из А, В, С а) произошло только А, б) произошли только А и В, в) все три
события произошли; г) произошло по крайней мере одно из событий; д) произошли по крайней
мере два события; е) произошло одно и только одно событие; ж) произошли два события;
и) произошло не более двух событий.
2. Один раз подбрасывается игральная кость. События: А = {выпало простое число очков}, В =
{выпало четное число очков}. Вычислить вероятность P  A | B  .
3. В семье двое детей. Считая, что рождение мальчика и девочки – независимые и равновероятные
события, вычислить вероятность того, что оба ребенка – мальчики, если известно, что в семье есть
мальчик.
4. Из колоды в 36 карт наудачу извлекается одна карта. События: A = {вынутая карта – туз}, B =
{вынута карта черной масти}, F = {вынутая карта – фигура, т.е. валет, дама, король или туз}.
Установить, зависимы или независимы три пары событий: A и B, A и F, F и B.
5. В автопробеге участвуют 3 автомобиля: первый автомобиль может сойти с маршрута с
вероятностью 0,15; второй – с вероятностью 0,05; третий – с вероятностью 0,1. Определить
вероятность того, что к финишу прибудут: а) только один автомобиль; б) два автомобиля; в) по
крайней мере два автомобиля.
6. Предположим, что 25% населения живет в области, охваченной коммерческим TV,
рекламирующим две новые модели автомобилей фирмы; 34% населения охвачено радиорекламой.
Также известно, что 10% населения слушают радио- и теле- рекламу. Если случайно отобрать
человека, живущего в данной области, то чему равна вероятность того, что он знаком, по крайней
-5-
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
мере, хотя бы с одной из рекламных передач фирмы?
7. Предположим, что 86% людей, которые интересуются возможными инвестициями в
брокерскую фирму, не покупают акции, а 33% не покупают облигации. Также известно, что 28%
интересующихся прерывают покупку ценных бумаг – как акций, так и облигаций. Некто
интересуется делами компании; чему равна вероятность того, что он будет покупать либо акции,
либо облигации, либо и то и другое?
8. Вероятность успешной сдачи экзамена по ТВ и МС равна 0,7, а при следующей попытке она
увеличивается на 0,1. Определить вероятность того, что студент сдаст экзамен, если у него
имеется только 3 попытки.
9. Только один из n ключей подходит к данной двери. а) Найти вероятность того, что придется
опробовать ровно k ключей  k  n для открывания данной двери. б) Найти вероятность, что для
открытия двери потребуется не более 4 попыток.
10. Ниже приведены 5 схем соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним
выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности
событиями; надежность (вероятность безотказной работы) k–го элемента равна pk
(соответственно qk  1  pk – вероятность его отказа). Отказ каждого из элементов приводит к
прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность P
каждой из схем.
11. Иван и Петр поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Иван
бросает первым. Найти вероятности выигрыша для каждого из игроков, считая, что бросание
монеты может продолжаться неограниченно долго.
12. Партия из 25 деталей содержит 3 бракованные. Контролер для проверки берет наудачу 5
деталей. Если среди отобранных деталей не будет обнаружено бракованных деталей, то партия
принимается. Найти вероятность того, что данная партия будет принята.
Домашние задачи
13. Бросаются две игральные кости. Пусть событие А состоит в том, что сумма очков нечетная; В –
состоит в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать события АВ, А В, АВ .
14. Вероятность того, что СМО не откажет к моменту времени t1 , равна 0,8, а вероятность того,
что она не откажет к моменту времени t 2  t1 , равна 0,6. Найти вероятность того, что СМО, не
отказавшая к моменту времени t1 , не откажет и к моменту времени t 2 .
15. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются 2 шара. Найти
вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета, при условии, что не вынут синий шар.
16. Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом.
Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t первого узла равна p1 , второго
p2 . Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего обнаружено, что он вышел из
строя (отказал). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.
17. Вероятность разорения в течение года для первого банка равна p1 , для второго банка – p 2 .
Прошел год. Считая разорение банков независимыми событиями, найти вероятности событий:
А = {ни один банк не разорился}, В = {разорился один из банков}.
-6-
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
18. Партия из 25 деталей содержит 3 бракованные. Контролер для проверки берет наудачу 5
деталей. Если среди отобранных деталей будет обнаружено не более одной бракованной детали,
то партия принимается. Найти вероятность того, что данная партия будет принята.
19. Новому работнику предоставляются три попытки проявить свои способности. Вероятность
того, что ему удастся это с первой попытки, равна 0,2, со второй – 0,3, с третьей – 0,4. Исходы
попыток представляют независимые события. Найти вероятность того, что работник оправдает
оказанное ему доверие.
20. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка равна 0,7. Стрелок делает два выстрела
по мишени. Найти вероятность следующих событий: а) стрелок попадает два раза, б) попадает
один раз, в) попадает хотя бы один раз.
21. Служащий кредитного отдела банка знает, что 12% фирм, бравших кредит в банке,
обанкротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение пяти лет. Он также знает, что
обанкротились 20% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился,
то чему равна вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг банку?
22. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, наудачу и последовательно извлекают по
одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить
четвертое извлечение, если выборка производится: а) с возвращением; б) без возвращения.
23. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принимают правильное решение
независимо друг от друга с вероятностью p, а третий судья для принятия решения бросает монету.
Окончательное решение жюри принимает по большинству голосов. Какова вероятность, что жюри
примет правильное решение? Как изменится это значение, если третий судья будет вести себя
также, как и два других? Укажите оптимальный состав жюри.
Дополнительные задачи
Д1. Студент может уехать в университет или троллейбусом, который ходит через каждые 20 мин.,
или автобусом, который ходит через каждые 10 мин. Какова вероятность того, что студент,
подошедший к остановке, уедет в течение ближайших пяти минут?
Д2. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит
не менее чем на три из четырех поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос
билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность, что студент сдаст зачет?
Д3. (Задача де Мере). Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью,
не меньшей 0,5, хотя бы один раз появилась сумма очков, равная 12?
Д4. Секрет увеличения доли определенного товара на рынке состоит в привлечении новых
потребителей и их сохранении. Сохранение новых потребителей товара называется brand loyalty
(приверженность потребителя к данной марке или разновидности товара) и это одна из наиболее
ответственных областей рыночных исследований. Производители нового сорта товара знают, что
вероятность того, что потребители сразу примут новый продукт и создание brand loyalty потребует
по крайней мере шести месяцев, равна 0,02. Производитель также знает, что вероятность того, что
случайно отобранный потребитель примет новый сорт, равна 0,05. Предположим, что потребитель
только что изменил марку товара. Какова вероятность того, что он сохранит свои предпочтения в
течение шести месяцев?
Д5. Аналитик по инвестициям собирает данные об акциях и отмечает, выплачивались ли по ним
дивиденды и увеличивались или нет акции в цене за интересующий его период времени.
Собранные данные представлены в следующей таблице:
Выплата дивидендов Цена увеличилась
Цена не увеличилась
Итого
Производилась
34
78
112
Не производилась
85
49
134
Итого
119
127
246
а) Если акция выбрана аналитиком случайно из набора в 246 акций, то чему равна вероятность
того, что она из числа тех акций, которые увеличились в цене,
б) Если акция выбрана случайно, то чему равна вероятность того, что по ней выплачены
дивиденды?
-7-
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
в) Если акция выбрана случайно, то чему равна вероятность того, что она выросла в цене и по ней
выплачены дивиденды?
г) Если акция выбрана случайно, то чему равна вероятность того, что по ней не выплачены
дивиденды и она не выросла в цене?
д) Зная, что акция выросла в цене, найдите вероятность того, что по ней также выплачены
дивиденды.
е) Если по акции не выплачены дивиденды, то оцените вероятность того, что она выросла в цене.
ж) Чему равна вероятность того, что случайно отобранная акция в течение интересующего
аналитика периода ухудшила все показатели?
з) Оцените вероятность того, что случайно выбранная акция либо выросла в цене, либо по ней
были выплачены дивиденды, либо и то и другое вместе.
ОТВЕТЫ
1. б) ABC ; д) AB BC
б) 0,24725; в) 0,974
AC 2. 1/3 3. 1/3. 4. A и B, F и B независимы, A и F зависимы 5. а) 0,02525;
6. 0,49 7. 0,994 8. 0,72
9. а) 1/n б) 4/n 10. 1) 1  q1q2 q3 ;
2) 1  1  p1 p2 p3 1  p4 p5 p6  ; 3) p1 1  q2 q3  p4
4) 1  q1q2 1  q3q4  ; 5)
p5 1  q1q2 1  q3q4  
20 19 18
13. AB = {на одной из костей выпадет 1, на
25  24  23
1  p1  p2 17. P( A)  1  p 1  p ,
14. 0,75 15. 48/95 16.
 1 2
1  p1 p2
q5 1  1  p1 p2 1  p3 p4   11. 2/3 и 1/3 12.
другой – четное число очков}
5
C22
 C31C224
19. 0,664 20. а) 0,49; б) 0,42; в) 0,91 21. 0,6 22. 0,216; 1/6
5
C25
23. p Д1. 5/8 Д2. 228/253=0,901 Д3. n  25 Д4. 0,4 Д5. 0,4837; б) 0,4553; в) 0,1382; г) 0,1992;
д) 0,2857; е) 0,6343; ж) 0,1992; з) 0,8008
P( B)  p1  p2  2 p1 p2 18.
IV. ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА
Аудиторные задачи
1. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20%
телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10% и третьего – 5%. Какова вероятность
приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода,
20% – со второго и 50% – с третьего?
2. В каждой из двух урн находится 5 белых шаров и 10 черных. Из первой урны во вторую наудачу
переложили один шар, а затем из второй урны наугад вынули один шар. Найти вероятность того,
что шар, вынутый из второй урны, окажется белым.
3. Производится n независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с горючим.
Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью p. Если в резервуар попал один снаряд, то
горючее воспламеняется с вероятностью p1 , два снаряда – с полной достоверностью. Найти
вероятность того, что при n выстрелах горючее воспламеняется.
4. На шахматную доску ставят наудачу двух слонов, белого и черного. Какова вероятность того,
что слоны побьют друг друга?
5. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему
четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы крови; человеку со второй или
третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой
группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 33,7% имеют
первую, 37,5% – вторую, 20,9% – третью и 7,9% – четвертую группы крови. Найти вероятность
того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.
6. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении n1 : n2 : n3 ,
причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны p1 , p2 и p3 . Прибор,
приобретенный научно–исследовательским институтом, оказался бракованным. Какова
вероятность того, что данный прибор произведен первым заводом (марка завода на приборе
-8-
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
отсутствует)?
7. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у
больного туберкулезом равна 1   . Вероятность принять здорового человека за больного равна
 . Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна  . а) Найти
условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.
б) Вычислить найденную условную вероятность при следующих числовых значениях:
1    0,9 ,   0,01 ,   0,001.
8. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в
мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны p1 , p2 и p3 . Какова
вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две
пробоины?
Домашние задачи
9. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает  % брака, второй –  %. Для
контроля отобрано n1 деталей из первого цеха и n2 из второго. Эти n1  n2 деталей смешаны в
одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она
бракованная?
10. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен
один шар и переложен во вторую, после чего из второй урны извлечен один шар и переложен в
третью. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
11. Студент Иванов знает только 10 из 25 экзаменационных билетов. В каком случае шансы
Иванова получить знакомый билет выше: когда он подходит тянуть билет первым или вторым по
счету?
12. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый и черный. В урну
опускается один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекается один шар.
Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?
13. В студенческой группе 4 студента подготовлены отлично, 5 студентов - хорошо, 2 удовлетворительно и 1 студент подготовлен плохо. К экзамену предложено 20 вопросов. Отлично
подготовленный студент знает ответы на 18 вопросов, хорошо подготовленный – на 15,
удовлетворительно подготовленный учит половину из предложенных вопросов и плохо
подготовленный знает 5 вопросов. Найти вероятность того, что наудачу вызванный студент
ответит на два вопроса, предложенных экзаменатором.
14. Известно, что 5% мужчин и 0.25% всех женщин дальтоники. Наудачу выбранное лицо дальтоник. Какова вероятность того, что это мужчина? (считать, что мужчин и женщин
одинаковое количество).
15. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых.
Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один
шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
16.
Экспортно-импортная
фирма
собирается
заключить
контракт
на
поставку
сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент
фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения
контракта 45%, в противном случае – 25%. По оценкам экспертов компании вероятность того, что
конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 40%. Чему равна
вероятность заключения контракта?
Дополнительные задачи
Д1. По каналу связи передается одна из последовательностей букв АААА, ВВВВ, СССС с
вероятностями p1 , p2 и p3 . (р1+ р2 +р3 =1). Каждая передаваемая буква принимается правильно с
вероятностью  или с равными вероятностями принимается за две другие буквы. Предполагается,
что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что было передано
АААА, если принято АВСА.
Д2. В урне находятся 3 черных и 2 белых шара. Первый игрок по схеме выбора без возвращения
-9-
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
извлекает 3 шара. Обратно он возвращает черный шар, если среди вынутых шаров больше было
черных. В противном случае возвращается белый шар. Второй игрок после этого извлекает один
шар и по его цвету должен угадать число белых шаров среди трех шаров, вынутых первым
игроком. Найти вероятность того, что у первого игрока было: а) 0 белых; б) 1 белый; в) 2 белых
шара, если второй игрок вытащил белый шар.
Д3. Транснациональная компания обсуждает возможность инвестиций в некоторое государство с
неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех
предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в
которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность
успеха в 65%, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; в 40%, если
политическая ситуация будет нейтральной; в 20%, если политическая ситуация будет
неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что благоприятная, нейтральная и
неблагоприятная политическая ситуация соотносятся как 6:3:1. Чему равна вероятность успеха
инвестиций?
ОТВЕТЫ
1. 0,895
7. а)
2. 1/3 3. 1  npq1q n 1  q n , где q1  1  p1
4. 5/36 5. 0,574
 (1   )
p1 p 3 1  p 2 
; б) 0,9173 8.
 (1   )   (1   )
1  p1  p 2 p3  1  p 2  p1 p3  1  p3  p1 p 2
6.
9.
11. Шансы одинаковы 12. 2/3 13. 0,54 14. 0,95 15. 0,5 16. 0,37 Д1.
n1 p1
n1 p1  n 2 p 2  n3 p 3
 n1   n2
100  n1  n2 
10. 0,4
2 p1
2 p1  (1   )( p2  p3 )
Д2. а) 2/11; б) 6/11; в) 3/11 Д3. 0,53
V. СХЕМА НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ
Аудиторные задачи
1. Для изделия вероятность выхода из строя в течение месяца равна 0,25. Продано 5 изделий,
функционирующих независимо друг от друга. Найти вероятность событий: А = (ровно одно
изделие выйдет из строя), В = (ровно 2 изделия выйдут из строя), С = (хотя бы одно изделие
выйдет из строя), D = (не менее трех изделий выйдут из строя).
2. Студент выполняют тестовую работу, состоящую из трех задач. Для получения положительной
отметки достаточно решить две. Для каждой задачи предлагается 5 вариантов ответа, из которых
только один правильный. Студент плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой
задачи наудачу. Какова вероятность, что он получит положительную оценку?
3. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет
признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые
товаровед признает годными к продаже.
4. Известно, что хотя бы одному покупателю из двух требуется одежда 56 размера с вероятностью
0,91. Найти вероятность того, что из четырех покупателей двум потребуется одежда 56-го размера.
5. Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделий в пути 0,002. Найти
вероятность того, что в пути будет повреждено: а) 3 изделия; б) не более трех изделий; в) более
трех изделий. Как изменятся приближенные вычисления при вероятности повреждения изделий
0,02?
6. Всхожесть семян растения равна 0,9. Какова вероятность того, что из 100 посеянных семян
взойдет не менее 85? 92 семян?
7. В страховой компании застраховано 10 000 автомобилей. Вероятность поломки любого
автомобиля в результате аварии равна 0,006. Каждый владелец застрахованного автомобиля
платит в год 12 руб. страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от
кампании 1000 руб. Найти вероятности событий: А = (по истечении года работы страховая
кампания потерпит убыток), B m = (страховая кампания получит прибыль не менее m руб.,
m = 40 000, 60 000, 80 000 руб.).
8. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа. Около каждого из входов имеется
свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобы в среднем в 99
- 10 -
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
случаях из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли?
Рассмотреть
случаи: а) зрители приходят парами; б) зрители приходят поодиночке.
Предположить, что входы зрители выбирают с равными вероятностями.
Домашние задачи
9. Шестигранный кубик подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того, что тройка появится: а) 2
раза; б) не менее 2, но не более 4 раз; в) хотя бы один раз?
10. В ячейку памяти ЭВМ записывается 4-разрядное двоичное число. Значения 0 и 1 в каждом
разряде появляются с равной вероятностью. Найти вероятности событий: A = {количество нулей в
числе равно двум}, B = {количество нулей в числе больше двух}, С = {количество нулей в числе
не более одного}.
11. На контроль поступила партия изделий из цеха. Известно, что 5% всех деталей не
удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95
обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь?
12. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает
пять счетов. Если 3% счетов содержат ошибки, чему равна вероятность того, что аудитор найдет
а) только один счет с ошибкой; б) хотя бы один счет с ошибкой.
13. Вероятность рождения мальчика 0,512. Вычислить вероятность событий: А = (среди 100
новорожденных будет 51 мальчик), В = (среди 100 новорожденных будет больше мальчиков, чем
девочек), С = (разница между количеством мальчиком и девочек из 100 новорожденных не
превысит 10).
14. Игральный шестигранный кубик подбрасывается 500 раз. Какова вероятность того, что
отклонение относительной частоты появления шестерки от вероятности ее появления в одном
опыте по абсолютной величине не превзойдет 0,1?
15. Проведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном
подбрасывании трех монет. Найти вероятность того, что хотя бы в одном испытании появятся три
герба.
16. Для данного стрелка вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9.
Произведено 100 выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что попаданий будет не менее
80. но не более 95. Как изменятся приближенные вычисления при вероятности попадания 0,04?
Дополнительные задачи
Д1. Пара игральных костей бросается 7 раз. Какова вероятность событий: А = (сумма очков,
равная 7, выпадет дважды), В = (сумма очков, равная 7, выпадет по крайней мере один раз).
Д2. Имеется (8,9)-код с проверкой четности. Вычислить вероятность того, что в случае ошибки
этот код ее не обнаружит, если вероятность ошибки при передаче каждого бита равна 0,01?
Вычислить вероятность ошибочной передачи без использования кода. Сделать аналогичные
расчеты для случая, когда вероятность ошибки в 10 раз меньше.
Д3. Станция передает цифровой текст. В силу помех каждая цифра независимо от других может
быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятности событий: А = (в принятом
тексте, содержащем 1100 цифр, будет меньше 20 ошибок), В = (будет сделано ровно 7 ошибок)
Д4. В урне содержатся белые и черные шары в отношении 3:2. Производятся последовательные
опыты по извлечению одного шара с возвращением, причем каждый раз фиксируется цвет
вынутого шара. Каково минимальное число извлечений, при котором с вероятностью, не меньшей
0,9948, можно ожидать, что отклонение относительной частоты появления белого шара от
вероятности его появления в одном опыте не превысит величины  = 0,05?
Д5. Для контроля отобрано 39 деталей. Наивероятнейшее число годных деталей среди
отобранных равно 25. Определить вероятность появления годной детали.
ОТВЕТЫ
Примечание. Приближенные вычисления проведены с помощью статистических функций
EXCEL
- 11 -
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
1. P(A) = 0,3955, P(B) = 0,2637, P(C) = 0,7627, P(D) = 0,1035 2. 0,104 3. 14 или 15 4. 0.2646
5. а) 0,271; б) 0,857; в) 0. 143 6. 0,952 и 0,106 7. 0,0000; 0,995; 0,5; 0,005 8. а) 558; б) 541
9. а) 0,161; б) 0,196; в) 0,598 10. а) 0,375; б) 0,313; в) 0,312 11. n ≥ 59 13. P(A) = 0,0797,
20
P(B) = 0,5160, P(C) = 0,0,6689 14.  1 15. 1   7 / 8
16. а) 0,952; б) 0 Д1. P(A) = 0,234,
P(B) = 0,721 Д2. 0,917 и 0,0773; 0,991 и 0,00797 Д3. 0,3788 Д4. 753 Д5. от 0,625 до 0,65
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
- 12 -
VI. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
Аудиторные задачи
1. Являются ли последовательности
2 e / k !, k  0,1, 2,  и 1/ k  k  1 , k  1, 2, 
k
2
распределениями некоторых дискретных случайных величин?
2. Закон распределения случайной величины X задан таблицей
X
1
2
3
4
p
1/16
1/4
1/2
3/16
Вычислить M[X], D[X], P(X > 2), начальный момент 2-го порядка, записать центральный момент
3-го порядка, медиану. Построить график функции распределения. Найти законы распределения
случайных величин: Y = 4X – 1, Z = │X – 2│.
3. Производятся независимые последовательные испытания 5 приборов на надежность.
Надежность каждого из приборов равна p. Каждый следующий прибор испытывается только в том
случае, когда предыдущий прибор оказался надежным. Описать закон распределения X – числа
испытанных в данном эксперименте приборов. Найти среднее значение числа испытанных
приборов.
4. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом без возвращения
извлекается 3 шара. Описать закон распределения X – числа белых шаров в выборке.
5. Шесть раз бросается правильная монета. Случайная величина X – модуль разности числа
появлений герба и числа появлений цифры в данном эксперименте. Описать закон распределения
случайной величины Х. Вычислить моду случайной величины X, F(4).
6. Имеется 200 семей, в каждой из которых 4 ребенка. Случайные величины X – число семей из
200, имеющих одного мальчика и трех девочек, Y – число семей, имеющих двух мальчиков и двух
девочек. Считая, что вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы, найти M[X] и M[Y].
7. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти вероятности
событий: А = (за 2 секунды на АТС не поступит ни одного вызова), В = (за две секунды на АТС
поступит менее двух вызовов), С = (за одну секунду на АТС поступит ровно 3 вызова), D = (за три
секунды на АТС поступит не менее трех вызовов).
Примечание. Использовать пуассоновское распределение.
8. Игральную кость бросают до первого появления шестерки. Пусть  – число бросаний. а) Найти
распределение случайной величины  ; б) вычислить среднее значение и дисперсию случайной
величины  ; в) какова вероятность того, что будет сделано не более трех бросаний?
k 1
3
5e z
1 5
1
P


3

; Me z 
8. P   k    
;



 
z
6e
6 6
k 1  6 
9. СВ Х задана с помощью таблицы
X x1 -1 0
1
2
k 1
5
6
Р А 0.3 2А 0.1 3А
Найти А, x1 , F(1), если математическое ожидание СВ Х равно 0,1.
10. За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью 1/ 4 , выжить с
вероятностью 1/ 4 и разделиться на две с вероятностью 1/ 2 . В следующий такой же промежуток
времени с каждой амебой независимо от ее «происхождения» происходит то же самое. Сколько
амеб и с какими вероятностями может существовать к концу второго промежутка времени?
Домашние задачи
12. Один автомеханик в течение смены ремонтирует 2, 3, 4 или 5 автомобилей соответственно с
вероятностями 0,1, 0,2, 0,4 и 0,3. Найти для X – числа ремонтируемых в течение суток
автомехаником автомобилей: а) M[X], б) D[X], в) вероятность того, что в течение смены
автомеханик отремонтирует не менее 4-х автомобилей, г) F(x), д) x0,5 , е) моду.
13. Производится один опыт, в результате которого событие А может появиться с вероятностью p
и не появиться с вероятностью q = 1 – p. Пусть X – индикаторная случайная величина – принимает
- 13 -
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
значение 1, если событие А произошло, и значение 0, если событие А не произошло. Описать закон
распределения случайной величины X. Найти M[X], D[X], P(X > 2), начальный момент 3-го
порядка, центральный момент 3-го порядка. Построить график функции распределения.
Определить значение p, при котором дисперсия максимальна. Найти закон распределения
Y  ln  X  1 .
14. Два банка независимо друг от друга могут разориться в течение года. Вероятность разорения
для первого банка равна p1 , для второго p 2 . Случайная величина X – число разорившихся в
течение года банков из указанных двух. Описать закон распределения случайной величины X.
Найти M[X], P(X < 2), F(2).
15. Функция распределения случайной величины X дискретного типа имеет следующий вид:
x  2,
 0, если
0,3 если 2  x  3,

F ( x)  
0,5 если 3  x  4,
 1, если
x  4.
Вычислить P  X  3,5 и P X  2,5 . Описать закон распределение случайной величины X ,
найти M X  , DX  и  X . Вычислить M  2 X 2  1 , математическое ожидание
и
дисперсию
случайной величины Y = – 4Х + 3.
16. Случайная величина задана
X -3 -1 1
3
Р 0.1 0.3 0.4 0.2
Найти функцию распределения СВ X, M[X], D[X], P(X > 0), моду, x0,5 , распределение СВ Y  X ,
Р(Y < М[Y]).
17. Кубик подбрасывается 5 раз. За выпадение грани с цифрой 6 начисляется 10 у.е. Найти среднее
значение и дисперсию X – начисленных у.е.
18. В партии из 8 деталей 3 бракованные. Наудачу для проверки достают 2 детали. Составить
таблицу распределения случайной величины X – числа бракованных деталей в выборке. Найти:
M[X], D[X], F(x), P(X > 1). Вычислить математическое ожидание и дисперсию Y = 5 – 2X.
19. В коробке 10 теннисных мячей, из которых 2 окрашенных. Наудачу достают 3 мяча. Составить
таблицу распределения случайной величины X – числа окрашенных мячей среди выбранных.
Найти: M[X], D[X],  X , F(x), P(1  X < 3), M(X3 + 2X – 1 ).
20. Монету подбрасывают 8 раз. Найти среднее значение и дисперсию числа выпавших орлов.
21. Вероятность опоздать на поезд для любого пассажира равна 0,01. Найти среднее число
опоздавших на поезд среди 500 человек, купивших билеты.
22. Экзаменатор задает студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число
правильных ответов достигнет четырех, либо студент ответит неправильно, экзаменатор
прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на каждый вопрос равна 2/3.
Составить закон распределения X – числа заданных студенту вопросов.
23. Из колоды в 36 карт наугад извлекают сразу 4 карты. Пусть Х – число картинок (туз, король,
дама, валет) среди извлеченных карт. По какому закону распределена случайная величина Х?
24. На экзамен предложено 5 билетов. Студент выучил билеты только с нечетными номерами.
Преподаватель разрешил студенту тянуть билеты до тех пор, пока тот не возьмет выученный
билет. Составить закон распределения X – числа использованных студентом попыток.
25. По статистическим данным в среднем 25% граждан открывают счета в банках, расположенных
в районах их проживания. Наудачу отобраны 4 человека. Найти среднее значение и дисперсию
числа граждан, открывающих счета в банках, расположенных в районах их проживания.
26. Производится ряд попыток включить двигатель. Любая попытка заканчивается успехом с
вероятностью p . Каждая попытка занимает время t . Составить закон распределения Х – общего
времени, потраченного на включение двигателя.
Дополнительные задачи
- 14 -
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
Д1.
Величина X принимает только целые неотрицательные значения с вероятностями
kn
. Вычислить A и k , если известно, что M [ X ]  a . Найти моду величины X .
pn  А
n!
Д2. Игрок ставит 1$ на одно число. Бросаются 3 кубика. Если число не выпадает, то он теряет
свой 1$. Если число выпадает на одном кубике, то он получает свой 1$ + 1$, если на двух, то 1$ +
2$, если на трех, то 1$ + 3$. Найти математическое ожидание выигрыша.
Д3. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого
равна 0,7, для второго 0,6. За каждое попадание им засчитывается 5 очков. Составить таблицу
распределения случайной величины X – числа выбитых стрелками очков. Найти: M[X], D[X],
P(5< X <15), распределение Y = –2X – 2, D[Y], записать выражение для вычисления M(eX +X3+4).
Д4. Случайная величина Х имеет три значения x1 , x2  3 и x3 . Вероятности того, что Х примет
значения x2 и x3 равны соответственно 0,4 и 0,1. Найти закон распределения случайной величины
Х, зная, что M  X   2,6 , x1  x3 , а начальный момент второго порядка равен 7,2.
Д5. Большое число N = km людей в период эпидемии подвергается исследованию крови.
Вероятность положительного анализа у каждого человека p, отрицательного анализа – q = 1 – p.
Это исследование может быть организовано двумя способами. Для простоты m – целое число.
Способ 1. Кровь каждого человека исследуется отдельно. В этом случае потребуется N анализов.
Способ 2 (групповая процедура проверки). Кровь k людей смешивается, и анализируется
полученная смесь. Если результат анализа отрицателен, то этого одного анализа достаточно для k
человек. Если же он положителен, то кровь каждого приходится исследовать затем отдельно, и в
целом на k человек потребуется k+1 анализ. Предполагается, что вероятность положительного
результата одна и та же для всех людей и что результаты анализов независимы в теоретиковероятностном смысле.
а) Чему равна вероятность того, что анализ смешанной крови k людей положителен?
б) Чему равно математическое ожидание числа анализов ξ, необходимых при втором методе
исследования?
в) При каком k достигает минимум математическое ожидание числа необходимых анализов? (на
практике второй метод давал экономию в числе анализов до 80%)
Определение. Количеством информации I ( A | B) , которое заключено в событии (сообщении) В
относительно А, называется число (обычно логарифм по основанию 2)
P( A | B)
I ( A | B)  log
 log P( A | B)  log P( A).
P( A)
Определение. Число I ( A | A)  I ( A)   log P( A) называется количеством информации,
заключающейся в сообщении А.
Д6. Какое из соотношений может нести в себе больше информации X  5 или X  5, если X –
некоторая случайная величина?
Определение. Математическое ожидание информации, которая может быть получена в результате
эксперимента, называется энтропией эксперимента:
N
H  G    p j log p j .
j 1
Примечание. Энтропия эксперимента является мерой его неопределенности.
Д7. Имеются 2 урны, содержащие по 20 шаров – 10 белых, 5 черных и 5 красных в первой и 8
белых, 8 черных и 4 красных во второй. Из каждой урны вытаскивают по одному шару. Исход
какого из опытов следует считать более неопределенным?
1
1 1
1 1
1
H  G1    log  log  log  1,5 бита,
2
2 4
4 4
4
2
2 2
2 1
1
H  G2    log  log  log  1,52 бита.
5
5 5
5 5
5
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
- 15 -
Д8 (оценка качества прогноза). Из многолетних наблюдений известно, что для определенного
пункта вероятность того, что 15 июня будет идти дождь, равна 0.4. Для этого же пункта
вероятность того, что 15 ноября будет идти дождь, равна 0.65, снег – 0.15, не будет осадков – 0.2.
Если интересуемся лишь вопросом о наличии и о характере осадков, то в какой из двух
перечисленных дней погоду следует считать более неопределенной?
Вычисления.
15 июня.
Исходы
дождь Отсутствие осадков
вероятность
0,4
0,6
15 ноября.
Исходы
дождь снег Отсутствие осадков
вероятность 0,65 0,15
0,2
H  G1   0, 4log 0, 4  0,6log 0,6  0,97 бита,
H  G2   0,65log 0,65  0,15log 0,15  0, 2log 0, 2  1, 28 бита.
Д9. Пусть эксперимент имеет два исхода А и В с вероятностями p и q  1  p. Его энтропия
H  G    p log p  1  p  log 1  p  .
При каком p эксперимент имеет наибольшую неопределенность?
ОТВЕТЫ
1. да и да 2. 45/16; 167/256; 11/16; 137/16;
3 1
3 1
3 1
3 3
 3  1  45 /16     2  45 /16     3  45 /16     4  45 /16   ; x0,5  3
16
4
2
16
Y
3
7
11
15
Z
0
1
2
1/16
1/4
1/2
3/16
1/4 9/16 3/16
pY
pZ
3.
X
1
1 p
pX
4. P  X  j  
5.
2
X
3
4
5
1  p  p 1  p  p 2 1  p  p3
C4j C63 j
, j  0,1, 2,3
C103
0
2
4
12
30
20
64
64
64
6
2
64
p4
4
M  X   1  p   jp j 1  5 p 4
j 1
30
,
64
pX
F(4) = 0,5
4
6. M[X] = 50; M[Y] = 75 7. P  A  e4 ; P  B   5e4 ; P  C   e2 ; P  A   1  25e 6 9. А = 0,1; x1 = –3;
3
F(1) = 0,6 10. 0, 1, 2, 3 или 4 с вероятностями 11/32, 4/32, 9/32, 4/32 или соответственно 4/32
12. а) 3,9; б) 0,89; в) 0,7; д) 4; е) 4 13. M[X] = p; D[X] = pq, P(X > 2) = 0; m2 = p;  3  q3  p  q  ;
Moda=
p  0,5 ; P Y  0   q и P Y  ln 2   p
14.
X
0
1
pX
15.
16.
2
1  p1 1  p2  p 1  p   1  p  p
1
X
pX
2
0,3
3
4
0,2 0,5
Y
pY
1
0,7
3
0,3
2
1
p1 p2
M[X] = p1  p2 , P(X < 2)= 1  p1 p2 ,
F(2) = 1  p1 p2
2
P  X  3,5  0,5 ; P  X  2,5  0,3 ; M  X   3, 2; D  X   0, 76 ;
 X  1,8 ; M  2 X 2  1  21; M Y   9,8; D Y   51, 2 ;
M  X   0, 4; D  X   3, 24 ; P  X  0   0,6 ; moda  1; x0,5  1 ;
Р(Y < М[Y]) = 0,7
- 16 -
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
17. M  X   50 / 6; D  X   250 / 36
18.
19.
X
0
1
pX
10/28 15/28
X
0
M  X   0,75; D  X   0, 4 ; P  X  0   18 / 28 ;
2
M [Y ]  3,5; D Y   1, 6
3/28
1
M  X   0,6; D  X   0,37 ;  X  0,611 ; P  X  0   1/15 ;
2
7/15 7/15 1/15
pX
20. 4 и 2 21. 5
22.
X
1
2
3
p X 1/3
2/9
4/27
P(1  X < 3) = 8/15, M(X3 + 2X – 1 ) = 1,2.
4
8/27
23. По гипергеометрическому H  36,16, 4 
24.
X
pX
1
0,6
2
0,3
3
0,1
25. 1 и 0,75 26. P  X  kt   p 1  p 
k 1
, k  1, 2,
k
Д1. A  e ; k  a; moda – целое решение неравенства k  1  x  k Д2. –17/216
Д3. X
0
5
10
Y –2 –12 –22
pX
0,12
0,46 0,42
pY 0,12 0,46 0,42
M  X   6,5; D  X   11,3 ; P  5  X  15  0,46 ;
D Y   45, 2; M e X  X 3  4  e0  03  4  0,12  e5  53  4  0, 46  e10  103  4  0, 42
M 1
  1  qk ;
k
k




1
1
x
2 x
x
2 x
2
x


h  x    2  q ln q   2 1  x q ln q ; g   x   2 xq ln q  x q ln q  xq ln q 2  x ln q  ;



x
x 
 g  x


  g0  x 
2
. Рассмотрим 2 случая
g0  x   2  x ln q; g0  x   0  x  
ln q
2
1) 
 1  q  e2 . В этом случае g0  x   0 для любых x  1, тогда g   x   0 , а h  x   0 при
ln q
x  1. Поэтому и h  x   h 1  2  q . Групповая процедура в этом случае неэффективна.
Д4. x1  2; p1  0,5; x3  4 Д5. а) 1  q k ; б) k 1  q k   1 ; в) верны выкладки h  k  
2
 1  q  e2 .
ln q
Рассмотрим:
g 1  1  q ln q   q  ;
2) 
  0     1  0   1;   q   1  ln q
inf   q     e1   1  e1  0  1  g 1  0.
;   q   0  q  e1;
0 q 1
В этом случае

2 
интервал
1,  ln q 


знак g0  x 
+
знак g   x 
-
 2

,

 ln q 
+
Учитывая, что 1  g 1  0 , g     1, q  e2 , заключаем, что должно быть
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
- 17 2
 2 
 2  2
4e2
min g  x   g  

1


e
ln
q

1

 0.



ln q
1 x 
 ln q 
 ln q 
2
Отсюда должно быть q  e4e  e0,541  0,582. В этом случае функция h  x  сначала убывает, а
затем возрастает и убывает. Минимум, который меньше 1, возможен только в точке локального
минимума.
Ниже воспроизведены графики функции h  x  при q  0,6;0,65;0,7;0,8;0,9;0,95
1.4
1.2
1.0
0.8
20
30
40
Д6. X  5 Д7. Исход 2-го опыта Д8. 15 ноября Д9. при p  0,5
VII. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ НЕПРЕРЫВНОГО ТИПА И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Аудиторные задачи
1. Случайная величина X имеет график плотности, изображенный на
рисунке (распределение Симпсона). Написать выражение плотности
и функции распределения этой случайной величины; найти ее
математическое ожидание и дисперсию.
2. Случайная величина X задана плотностью
-5
-1
0
1
5
0, х  1,

f X  x   Cx 2 ,  1  x  2,
0, x  2.

Найти: а) коэффициент С, б) функцию распределения СВ Х, в)
г) M[X], D[X], д) медиану распределения, е) моду распределения.
3. Функция распределения X задана в виде:
 0, åñëè

F ( x)  Cx 2 , åñëè
 1,
åñëè

P( X < 1,5 ), P( 0  X  4 ),
x  0,
0  x  2,
x  2.
Вычислить P X  1 , медиану, M X  , DX  , M  2 X 2  1 .
4. Шкала рычажных весов, установленных в лаборатории, имеет цену деления 1 г. При измерении
массы химических компонентов смеси отсчет делается с точностью до целого деления с
округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность, что абсолютная ошибка определения
массы X : а) не превысит величины среднеквадратичного отклонения возможных ошибок
определения массы; б) будет заключена между значениями  X и 2 X ?
5. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной станции является случайной величиной X ,
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
- 18 -
распределенной по показательному закону со средним временем ожидания, равным t0 . Найти
вероятности следующих событий: A  0,5t0  X  1,5t0 , B  X  2t0.
6. Известно, что при стрельбе по плоской мишени в неизменных условиях случайная величина X
– расстояние от точки попадания до центра мишени – подчиняется закону Рэлея с плотностью
распределения вероятностей
 2 x  x22


f ( x)   2 e
 0

при
x  0,
при
x  0,
где   0 – параметр, характеризующий распределение. Проверить условие нормировки и
вычислить характеристики M X  и DX  .
7. В некоторых странах действует закон о налогообложении, распространяемый на тех частных
предпринимателей, годовой доход которых превосходит некоторый установленный законом
уровень x0 . Считая, что годовой доход наудачу выбранного лица, облагаемого налогом, является
случайной величиной X , распределенной по закону Парето с параметрами   4, x0  1000, найти
вероятности следующих событий:
A  x0,5  X  M X , B   X  M X    X .
Квантилью какого порядка для данного распределения является математическое ожидание M X  ?
8. Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и
дисперсией 1. Какое из двух событий   0.7 или   0.7 имеет большую вероятность?
9. Предположим, что в течение года цены на акции некоторой компании подчинялись
нормальному закону распределения со средним значением 48 у.е. и дисперсией 36 у.е. 2. Чему
равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию
была: а) выше 40 у.е. за акцию, б) ниже 60 у.е. за акцию, в) отклонялась от средней цены не более
чем на 3 у.е. г) Написать выражение для плотности распределения этой случайной величины и
нарисовать график плотности распределения.
10. При производстве напитков аппарат разливает определенное число унций напитка в
стандартную емкость. Число разлитых унций подчиняется нормальному распределению с
математическим ожиданием, зависящим от настройки аппарата. Количество унций напитка,
разлитых отдельным аппаратом, имеет стандартное отклонение 0,4 унции. Сколько унций напитка
должен в среднем разливать аппарат, чтобы не более 5% емкостей объемом в 8 унций каждая
оказались переполненными?
11. Средний срок службы коробки передач 50 месяцев со стандартным отклонением 6 месяцев.
Срок службы коробки подчиняется нормальному закону. На сколько месяцев производитель
может дать гарантию для этого агрегата, чтобы доля бесплатных ремонтов коробок не превышала
2% проданных автомобилей?
12. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого
размера от номинала не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от
номинала подчиняются закону N  0;25 . Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с
вероятностью не менее 0.95 среди них оказалась хотя бы одна бракованная деталь?
Домашние задачи
13. Продолжительность работы X
задаваемое плотностью
(в годах) телевизора без ремонта имеет распределение,
 1
, если 1  x  10

f ( x)   x  ln10
 0, в противном случае.
Найти: а) M[X], б) D[X], в) вероятность того, что телевизор проработает без ремонта от пяти до
восьми лет.
- 19 -
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
14. Считая, что годовой доход наудачу выбранного лица, облагаемого налогом, является
случайной величиной X (млн. руб), задаваемой плотностью
 3
если 1  x,
 ,
f ( x)   x 4
0, в противном случае.

Найти: а) M[X], б) D[X], в) вероятность события А = {2  X  5}.
15. Время ожидания X (в минутах) пассажиром автобуса описывается законом распределения,
задаваемым плотностью распределения
 (30  x) x
, если 0  x  30,

f  x    4500
 0, в противном случае.
Найти: а) M[X], б) D[X], в) вероятность того, что пассажир будет ждать автобус не более 5
минут.
16. Каждый день цена акции поднимается или опускается на несколько пунктов. Случайная
величина Х – изменение курса акций за определенный день задана
,
x  2
 0

f Х ( x)  C ( x  2) ,  2  x  1
 0
,
x 1

Найти: а) коэффициент С; б) M[X]; в) D[X]; г) функцию распределения СВ Х; д) вероятность того,
что изменение курса акций за определенный день будет меньше М[Х]; e) медиану распределения,
ж) квантиль уровня 0,81.
17. Автобусы идут с интервалом в 5 минут. Считая, что случайная величина X – время ожидания
автобуса на остановке – распределена равномерно в указанном интервале, найти среднее время
ожидания, функцию распределения случайной величины X и вычислить вероятность того, что
время ожидания превысит 3 минуты.
18. Время безотказной работы радиоаппаратуры является случайной величиной X ,
распределенной по показательному закону с параметром  . Вычислить математическое ожидание
и дисперсию, вероятность того, что радиоаппаратура не выйдет из строя в течение времени
t  M X  . Квантилем какого порядка для данного распределения является значение M X  ?
19. Скорость X молекул идеального газа, находящегося в равновесии при определенной
температуре, является случайной величиной, подчиняющейся закону распределения Максвелла с
плотностью распределения вероятностей
0
при x  0,


f ( x)   2 3 / 2 2   x 2 / 2
 x e
при x  0,

 
где параметр распределения   0 определяется температурой и массой молекул. Выразить
среднее значение и наиболее вероятное значение скорости молекул, а также дисперсию
распределения через физический параметр  .
20. Случайная величина X подчиняется закону распределения Парето с параметрами  и x0 ,
если ее функция распределения вероятностей имеет вид
0,
при x  x0 ,



F ( x)    x0 
при x  x0 .
1   x 
  
Выяснить при каких значениях параметра  для данного распределения существуют M X  и
D X  , вычислить их.
21. В нормально распределенной совокупности 15% значений меньше 12 и 40% значений больше
16,2. Найти среднее и среднеквадратическое отклонение данного распределения.
22. Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак – нормально распределенная случайная
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
- 20 -
величина со средним содержанием 11,2% и среднеквадратичным отклонением 0,6%. Найти
вероятность того, что пакет с сухим кормом для собак удовлетворяет стандарту, если для этого
необходимо, чтобы процент протеина в нем отклонялся от среднего значения не более чем на 1%.
23. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы.
Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со среднеквадратичным
отклонением 560 штук. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439 штук. Найти
среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
24. Вес тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, нормально распределенная
случайная величина с дисперсией 0,04 кг2. Агрономы знают, что 65% фруктов весят меньше, чем
500 граммов. Найти процент фруктов, вес которых превышает 700 граммов.
Дополнительные задачи
Д1. Некоторая категория людей имеет средний вес m кг и среднеквадратическое отклонение веса
3 кг. Для случаев m =60 и m =10 определить вероятность того, что вес случайно взятого человека
отличается от m не более чем на 5 кг, если вес имеет нормальное распределение.
Д2. Случайная величина X распределена по закону гамма   ,  с плотностью
f ( x) 
x 1  x /
при x  0 . Найти M X  , DX  .
e
  ( )
Д3. Случайная величина X распределена по закону Стьюдента
плотностью
с m степенями свободы с
 m 1

2  ( m 1)/2

2   x 

f ( x) 
.
1  
m
(m / 2) m 
Найти M X  , DX  .
ОТВЕТЫ
1  x  ,  1  x  0, F x  1  1  x  , 0  x  1; M X  1
1. f  x   1  x , x  1; F  x  
 
 
2
2
2
2
6
2. а) 1/3, б) F  x    x  1 / 9, x   1, 2 , в) P( X < 1,5 ) = 35/72, P( 0  X  4 ) =8/9, г) M[X] = 5/12,
3
D[X] = 403/720, д) 3 3,5 , е) моды нет.
3. C  1,
4. X
5. X
P  X  1  3 / 4, x0,5  2, M  X   4 / 3, D  X   2 / 9, M 2 X 2  1  4
1
1
1
R  0,5;0,5 , M  X   0,  X 
, P X   X  
, P  X  X  2 X   1 
2 3
3
3
0,5
1,5
2
E 1/ t0  , M  X   t0 , P  A  e  e , P  B   e
k 
 1
2 
6. mk   k  
28. mk 

2


  1 
  1 
 , p  1 

  
  
N  0;1 , P    0,7   2  0,7   1, P    0,7   2 1    0,7  
7. P  A  0,5  
8. 
2k /21  k /2  k  3 

 , Mo  X  

 2 
2

1
  x  48 

exp 
9. а) 0,909, б) 0,977, в) 0,383 г) f  x  
 10. 7,34 11. 37
72 
6 2



12.
Если
a
–
номинальный
размер
детали,
n
–
искомое
N  a;25 , P  X  a  10   2  2   1, 1  2  2   1  0,95
13. M  X   3.90865; D  X   6.22003; P  5  X  8  0.20412
X
n
число
деталей,
то
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
- 21 14. M  X   1.5; D  X   0.75; P  2  X  5  0.117
15. M  X   15; D  X   45; P  0  X  5  0.0740741


16. С = 2/9; M  X   0; D  X   0.5; F  x    x  2  / 9 ; P X  M  X   4 / 9 ;
2
x p  9 p  2; x0,5  4,5  2
2
x
R  0;5 , P  X  3  , M  X   2.5, F  x  
5
5
1
1
18. X E    , M  X   , D  X   2 , P  X  M  X   e 1 , p  1  e 1
17. X

19. mk 
1 k /2
2

 k 3

 , k  0,1, 2,
 2 

 x0k
 x0
 x02


k
,
M
X



1
,
D
X

20. mk 




  2 
 
 
2
 k
 1


1


2



k /2

 a  12 
0,85      ,



21. Если X N  a; 2  , то верна система уравнений 
0,6    16, 2  a  .



 

22. 0,9044 23. M  X   13158 24. 8,3% Д1. X N  m;9  , P  X  m  5  2  5 / 3  1
Д2. M  X    , D  X    2
Д3. M  X   0, D  X  
m
 m  2
m2
VII. НАХОЖДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОТ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
Аудиторные задачи
1. Функция распределения X определяется выражением
если
x  0,
 0,
 2
F ( x)   x / 4, если 0  x  2,
 1,
если
x  2.

Найти законы распределения случайных величин Y  X 3  1, Z  ln  X  2  , U  X  1 .
2. Известна функция распределения случайной величины X непрерывного типа F (x) . Найти
функции распределения случайных величин Y  9 X 2  4, Z  X  1 , V  e2 X , выразив их через
функцию распределения F (x) . Найти плотность распределения вероятностей случайной величины


U  X  1 , если X подчиняется закону N 1; 2 .
3. Стержень длины l разламывается в наудачу выбранной точке. Вероятность того, что точка
разлома попадет на какую–либо часть стержня, пропорционально длине этой части. Найти
функцию распределения S – площади прямоугольника, стороны которого равны получившимся
кускам стержня.
Домашние задачи
4. Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром  . Найти
плотность распределения вероятностей следующих случайных величин:
Y  X , Z  X 2 , U  1  eX .
5. Случайная величина X подчиняется закону Коши с плотностью
- 22 -
f ( x) 

1
 1  x2
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
 , x  R.
Найти плотность распределения вероятностей следующих случайных величин
1
1
Y1  3 X  2 , Y2 
, Y3  arctgX , Y4  4 X 2 .
3X  2

6. Случайная величина X задана плотностью
0, õ  1,

f X  x    x 2 / 3,  1  x  2,
0, x  2.

Найти законы распределения случайных величин Y  2 X  1, Z  e X  1, U  X 2 .
Дополнительные задачи
Д1. Доказать, что две непрерывные случайные величины X и Y , связанные между собой
линейной зависимостью Y  aX  b , подчиняются закону распределения одного и того же вида.
Указать закон распределения случайной величины Y   X  m /  ; определить M Y  и  Y , если X


подчиняется закону N m,  2 .
ОТВЕТЫ
e  e  2
1
, y   1;7 ; f Z  z  
, z   ln 2;ln 4 ; U
1. fY  y  
2
6 3 y 1
z
z
R 0;1
 4 y 

4 y 
2. FY  y   F 
 F 

 , y  4 ; FZ  z   F  z  1  F   z  1 , z  0 ;
 3 

3 



2
2
 4s
u
 ln v 
F
s

1

,
0

s

;
3.
FV  v   1  F  
F
u

2


1,
,
u
v


0
0




S
U
 

4
 
 2 
2
1
e  z
, y1  R ;
4. fY  y   2 ye  y , y  0 ; f Z  z  
, z  0 ; U R 0;1 5. fY1 ( y1 ) 
  y1  2 2 
2 z
3 1  
  3  


1
1
fY2 ( y2 ) 
, y2  0 ; Y3 R 0;1 ; fY4 ( y4 ) 
,y 0
2
y4  4
  1



2
4 y4 1  

3 y22 1  

4

  3 y2 3  


ln 2  z  1 1
y  1

f
z

, e  1  z  e2  1 ; f  u   u при u  0;1 ,
, 5  y  4 ; Z  
6. fY  y  
3  z  1
6
3
2
U
fU  u  
u
при 1  u  4, fU  u   0 при u   0; 4 7. fY  y     y  , M Y  =0,  Y = 1
6
VIII. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ
Аудиторные задачи
1. Закон распределения случайного вектора  X , Y  дискретного типа определяется следующей
таблицей:
Y
X
-1
0
1
1
0,15
0,3
0,35
2
0,05 0,05
0,1
а) Найти безусловные законы распределения отдельных компонент X и Y .
б) Установить, зависимы или нет компоненты X и Y ?
- 23 -
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
в) Вычислить вероятности P X  2, Y  0 и P X  Y  .
г) Найти M X , M Y  .
д) Вычислить ковариационную матрицу случайного вектора.
е) Описать условный закон распределения случайной величины Y при условии X  1 и найти
условное математическое ожидание M Y | X  1 .
2. Случайная величина X принимает значения 0, 1 и 2 с вероятностями соответственно 0,2, 0,7 и
0,1, а не зависящая от нее случайная величина Y – значения -1, 0, 1 соответственно с
вероятностями 0,3, 0,5 и 0,2. Описать закон распределения случайного вектора  X , Y  и вычислить
функцию распределения в точках (2;–0,5) и (3; 4).
3. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу извлекают 2 шара без возвращения.
Случайные величины: X – число белых шаров в выборке, Y – число черных шаров в выборке.
Описать закон распределения случайного вектора  X , Y  и вычислить коэффициент корреляции
r ( X ,Y ) .
4. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 3%, а вследствие дефекта В – 4,5%.
Годная продукция составляет 95%. Определить какой процент всей продукции обладает
дефектами обоих типов. Найти коэффициент корреляции дефектов А и В.
5. Случайные величины X и Y независимы и распределены каждая по показательному закону с
параметрами соответственно 1 и 2 . Найти P{ X  11 , Y  21} .
6. Случайная точка (X,Y) характеризуется центром рассеивания (–1,1) и ковариационной
 3 2 
 . Найти дисперсию случайной величины Z = 2X – 4Y + 3, а также ковариацию

2
4


случайных величин Z и U  3 X  Y  6 .
матрицей 
7. Случайная величина X распределена по закону N(–1; 4), а независимая от неё случайная
величина Y распределена по закону R(–1; 3). Вычислить M[Z], D[Z] и K  X , Z  для Z  X  3Y  2
Домашние задачи
8. Закон распределения системы случайных величин ( X , Y) дискретного типа определяется
следующей таблицей:
yj
1
3
xi
0
0,1
0,35
1
0,2
0
2
0,2
0,15
а) Найти безусловные законы распределения отдельных компонент X ,Y.
б) Установить, зависимы или нет компоненты X и Y ?
в) Вычислить вероятности P( X = 1, Y = 3) и P(4X > Y + 2).
г) Найти M[ X ], M[Y].
д) Вычислить коэффициент линейной корреляции между X и Y.
е) Найти условный закон распределения случайной величины X при условии Y = 3, условное
математическое ожидание M[ X |Y = 3].
9. По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом
выстреле равна p1 , при втором p2 . Случайные величины: X – число попаданий при первом
выстреле, Y – число попаданий при втором выстреле. Описать закон распределения случайного
вектора  X , Y  .
10. Число X выбирается случайным образом из множества целых чисел 1, 2,3 . Затем из того же
множества выбирается наудачу число Y , большее первого или равное ему. Описать закон
распределения случайного вектора  X , Y  и определить, зависимы или независимы случайные
компоненты X и Y . Найти коэффициент корреляции r ( X , Y ) .
11. Случайные величины X и Y независимы и имеют
следующие характеристики:
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
- 24 -
M  X   1, M Y   2,  X  1, Y  2 . Вычислить математические ожидания случайных величин
U  X 2  2Y 2  XY  4 X  Y  4, V   X  Y  1 .
2
12. Случайные величины X и Y независимы и имеют одинаковое распределение с математическим
ожиданием m и дисперсией  2 . Найти коэффициент
корреляции случайных величин
U   X   Y и V   X   Y . Показать, что случайные величины Z  X  Y и W  X  Y
некоррелированы .
13. Случайный вектор (X,Y) дискретного типа распределён по закону, определяемому таблицей
yi
-1
0
1
2
xi
-1
0,05
0,3
0,15
0,05
1
0,1
0,05
0,25
0,05
Описать законы распределения случайных величин U = Y  X и V  Y 2  X 2 .
Дополнительные задачи
Д1. Вычислить функцию распределения случайной величины Z = XY, если случайный вектор (X,Y)
распределён по закону, определяемому таблицей:
yi
-1
0
1
xi
0
0,1
0,2
0,1
1
0,2
0,3
0,1
ОТВЕТЫ
1. а) X
1
2
Y –1
0
1
pY 0,2 0,35 0,45
pX
0,8
0,2
б) зависимы в) P X  2, Y  0 = 0,05; P X  Y  = 0,55 г) M  X   0,8, M Y   0, 25 .
д)  0,16
Y
–1
0
1
3
0  е)
M Y | X  1 


15
35
45
8
0,5875 
pY | X 1
 0
80
80
80
2.
Y
X
-1
0
1
0
0,06
0,1
0,04
1
0,21 0,35 0,14
2
0,03 0,05 0,02
FX ,Y  2; 0,5  0, 27; FX ,Y  3; 4   1
3. r ( X , Y )  1
Y
X
0
1
2
0
0
0
2/15
1
0
8/15
0
2
5/15
0
0
2
4. 2,5%; r ( X , Y )  0,66877 5. e 6. DZ  108; K  Z ,U   62
7. M[Z] = –3; D[Z] = 16; K  X , Z   4
8. а)
Y
1
3
X
pY
pX
0,5
0,5
0 1
2
0,45 0,2 0,35
б) зависимы в) P  X  1, Y  3  0 ; P(4X > Y + 2) = 0,55; г) M  X   0,9, M Y   2,05 ;
д)
K ( X , Y )  0.345, r ( X , Y )  0.42163 ; е)
X
0
2
M  X | Y  3  0,6
Задачи по разделу «Теория вероятностей» - 2019
- 25 ; pX |Y 3 0,7
0,3
9.
Y
X
0
1
1  p1  p2
1  p1 1  p2 
p1 1  p2 
0
1
p1 p2
10.
Y
X
1
2
3
1
1/9
1/9
1/9
2
0
1/6
1/6
3
0
0
1/3
случайные компоненты X и Y зависимы; r ( X , Y )  0,594
2  2
11. M U   14; M V   9 12. r U ,V   2
  2
13.
U
pU
–2 –1
0,1 0,05
0
0,3
1
0,35
2
0,15
3
0,05
V
pV
–1
0
3
0,35 0,55 0,1
Д1. FZ  z   0 при z  1, FZ  z   0, 2 при 1  z  0, FZ  z   0,9 при 0  z  1,
FZ  z   1 при z  1
IX. ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ
Аудиторные задачи
1. В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город,
выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных. Какой наименьшей
вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раз в 100
дней (поезд ходит раз в сутки)?
2. Найти вероятность того, что суммарный доход 400 лоточников превзойдет 42 условных единиц,
если доход каждого описывается показательным распределением с интенсивностью 10.
3. Урожайность куста картофеля равна 0 кг с вероятностью 0,1; 1 кг с вероятностью 0,2; 1,5 кг с
вероятностью 0,2; 2 кг с вероятностью 0,3; 2,5 кг с вероятностью 0,2. На участке посажено 900
кустов. В каких пределах с вероятностью 0,95 будет находиться урожай?
4. Время (в часах), которое каждый из 72 рабочих затратит на копку участка описывается
распределением с плотностью f  x   2 x , если 0  x  1 ; иначе плотность равна нулю. Найти
вероятность того, что суммарные временные затраты составят от 47 до 49 часов.
Домашние задачи
5. В очереди в банкомат на получение денег стоит 100 человек; размер выплат в рублях каждому
из них случаен и имеет распределение R 50;62 . Выплаты отдельным получателям независимы.
Сколько денег должно быть в банкомате, чтобы с вероятностью 0,95 их хватило на выплату всем
100 получателям.
Дополнительные задачи
Нет
ОТВЕТЫ
1. 537 2. 1   1 3. 1440  43, 2 4. 2  0,5  1 5. 5657 руб.