2t1a1c1r1p1c 2q.2h., 2u1a1l1s1j1n1p1c1a 2t.2t. 2p1a1e1a1y1j 1q1p 1t1f1p1r1j1j 1n1o1p1h1f1s1t1c, 1n1a1t1f1n1a1t1j1y1f1s1l1p1k 1m1p1d1j1l1f 1j 1t1f1p1r1j1j 1a1m1d1p1r1j1t1n1p1c. 2002
реклама
И.А. Лавров, Л.Л. Максимова
ЗАДАЧИ
ПО ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ,
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
Издание пятое
ÌÎÑÊÂÀ ÔÈÇÌÀÒËÈÒ 2002
ÓÄÊ 510.2+510.5+510.6
ÁÁÊ 22.12
Ë13
Ëàâðîâ È.À., Ìàêñèìîâà Ë.Ë. Çàäà÷è ïî òåîðèè ìíîæåñòâ, ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è òåîðèè àëãîðèòìîâ. 5-å èçä., èñïðàâë. Ì.:
ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2002. 256 c. ISBN 5-9221-0026-2.
 êíèãå â ôîðìå çàäà÷ ñèñòåìàòè÷åñêè èçëîæåíû îñíîâû òåîðèè ìíîæåñòâ, ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè è òåîðèè àëãîðèòìîâ. Êíèãà ïðåäíàçíà÷åíà äëÿ àêòèâíîãî èçó÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè è ñìåæíûõ ñ íåé íàóê.
Ñîñòîèò èç òðåõ ÷àñòåé: «Òåîðèÿ ìíîæåñòâ», «Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà» è «Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ». Çàäà÷è ñíàáæåíû óêàçàíèÿìè è îòâåòàìè.
Âñå íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ ñôîðìóëèðîâàíû â êðàòêèõ òåîðåòè÷åñêèõ ââåäåíèÿõ ê êàæäîìó ïàðàãðàôó.
3-å èçäàíèå êíèãè âûøëî â 1995 ã.
Ñáîðíèê ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí êàê ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ óíèâåðñèòåòîâ, ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ, à òàêæå
â òåõíè÷åñêèõ âóçàõ ïðè èçó÷åíèè êèáåðíåòèêè è èíôîðìàòèêè. Äëÿ ìàòåìàòèêîâ àëãåáðàèñòîâ, ëîãèêîâ è êèáåðíåòèêîâ.
ISBN 5-9221-0026-2
© È.À. Ëàâðîâ, Ë.Ë. Ìàêñèìîâà, 2002
© ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2002
ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ*)
Ïðåäèñëîâèå ê ÷åòâåðòîìó èçäàíèþ ........................................................ 4
Ïðåäèñëîâèå ê ïåðâîìó èçäàíèþ ............................................................ 5
×àñòü 1. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ .......................................................................... 7
§ 1. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè ......................................................... 7
§ 2. Îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè ............................................................... 13
§ 3. Ñïåöèàëüíûå áèíàðíûå îòíîøåíèÿ ......................................... 22
§ 4. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà .................................................................... 31
§ 5. Îðäèíàëüíûå ÷èñëà ..................................................................... 35
§ 6. Äåéñòâèÿ íàä êàðäèíàëüíûìè ÷èñëàìè .................................... 44
(155)
(160)
(165)
(170)
(176)
(183)
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà .......................................................... 50
§ 1. Àëãåáðà âûñêàçûâàíèé ................................................................ 50
§ 2. Ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè ........................................................... 57
§ 3. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé ......................................................... 63
§ 4. ßçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ............................................................. 74
§ 5. Âûïîëíèìîñòü ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ ............................. 81
§ 6. Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ .............................................................. 89
§ 7. Àêñèîìàòè÷åñêèå òåîðèè ............................................................. 98
§ 8. Ôèëüòðîâàííûå ïðîèçâåäåíèÿ ................................................. 108
§ 9. Àêñèîìàòèçèðóåìûå êëàññû ...................................................... 116
(187)
(191)
(195)
(199)
(201)
(206)
(209)
(215)
(219)
×àñòü III. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ ................................................................ 124
§ 1. ×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè ............................................. 124
§ 2. Ìàøèíû Òüþðèíãà .................................................................... 136
§ 3. Ðåêóðñèâíûå è ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà ......... 142
§ 4. Íóìåðàöèè Êëèíè è Ïîñòà ..................................................... 148
Îòâåòû, ðåøåíèÿ, óêàçàíèÿ ................................................................. 155
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ................................................................................. 248
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ............................................................................ 250
*)
Öèôðû â ñêîáêàõ óêàçûâàþò ñòðàíèöû îòâåòîâ.
(227)
(234)
(238)
(243)
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ Ê ×ÅÒÂÅÐÒÎÌÓ ÈÇÄÀÍÈÞ
Çà âðåìÿ, ïðîøåäøåå ïîñëå òðåòüåãî èçäàíèÿ ýòîé êíèãè, ñòàëî î÷åâèäíûì, ÷òî îíà äîñòàòî÷íî àêòóàëüíà è ïîëåçíà. Âìåñòå ñ òåì, âî
ìíîãèõ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèÿõ îùóùàåòñÿ êðàéíèé íåäîñòàòîê
ýêçåìïëÿðîâ êíèãè. Çàäà÷íèê øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ, à ìàëûé òèðàæ
ïîñëåäíåãî èçäàíèÿ íå ñìîã óäîâëåòâîðèòü èìåþùóþñÿ ïîòðåáíîñòü.
 ýòèõ óñëîâèÿõ èçäàòåëüñòâî «Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëèòåðàòóðà»
ðåøèëî ïåðåèçäàòü êíèãó. Çà ýòî àâòîðû áëàãîäàðíû èçäàòåëüñòâó.
 äàííîì èçäàíèè ìû âíåñëè íåîáõîäèìûå ïåðåäåëêè çàäà÷, îòâåòîâ, òåðìèíîëîãèè, ðàñøèðèëè ñïèñîê ëèòåðàòóðû, à òàêæå èñïðàâèëè
îïå÷àòêè, âêðàâøèåñÿ â ïðåäûäóùèå èçäàíèÿ. Ìû ïîñòàðàëèñü ó÷åñòü òå
çàìå÷àíèÿ è ïðåäëîæåíèÿ, êîòîðûå áûëè âûñêàçàíû íàøèìè êîëëåãàìè, àêòèâíî èñïîëüçóþùèìè êíèãó â ñâîåé ïðåïîäàâàòåëüñêîé äåÿòåëüíîñòè. Âñåõ èõ ìû èñêðåííå áëàãîäàðèì.
5 ÿíâàðÿ 2001 ã.
È.À. Ëàâðîâ (Ìîñêâà)
Ë.Ë. Ìàêñèìîâà (Íîâîñèáèðñê)
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ Ê ÏÅÐÂÎÌÓ ÈÇÄÀÍÈÞ
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è ñìåæíûå ñ íåé íàóêè
ïðèâëåêàþò âñå áîëüøåå âíèìàíèå. Ýòî âûçâàíî êàê èíòåíñèâíûì ðàçâèòèåì ñàìèõ ýòèõ íàóê, òàê è íàéäåííûìè ãëóáîêèìè ïðèëîæåíèÿìè â
ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè è òåõíèêè.
Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè íåñêîëüêî ëåò íàçàä ñòàë îáÿçàòåëüíûì
äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ óíèâåðñèòåòîâ è ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ ÑÑÑÐ. Íà ïåðâûõ ïîðàõ áîëüøîé îòðÿä ñòóäåíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé
áûë ïðàêòè÷åñêè ëèøåí ó÷åáíûõ ïîñîáèé ïî ýòîé ñïåöèàëüíîñòè.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ýòîò íåäîñòàòîê â íåêîòîðîé ñòåïåíè èñïðàâëåí. Ñåé÷àñ
èìååòñÿ ðÿä ó÷åáíèêîâ è êíèã ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. Çäåñü è íåñêîëüêî
êíèã ñîâåòñêèõ àâòîðîâ, íî, â îñíîâíîì, ýòî ïåðåâîäíàÿ ëèòåðàòóðà. È
âñå æå òå, êòî âåäåò ïðàêòè÷åñêèå çàíÿòèÿ, èñïûòûâàþò çíà÷èòåëüíûå
òðóäíîñòè. È äåëî íå â òîì, ÷òî çàäà÷ íåò. Áîëüøîå êîëè÷åñòâî çàäà÷ ïî
ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå ðàçáðîñàíî ïî ðàçíûì êíèãàì. Òîëüêî â ñàìîå
ïîñëåäíåå âðåìÿ ïîÿâèëàñü êíèãà Ñ.Ã. Ãèíäèêèíà «Àëãåáðà ëîãèêè â çàäà÷àõ», ãäå ñîáðàí çíà÷èòåëüíûé ìàòåðèàë ïî àëãåáðå ëîãèêè.
 íàøåé êíèãå ñäåëàíà ïîïûòêà ñèñòåìàòè÷åñêè èçëîæèòü îñíîâû òåîðèè ìíîæåñòâ, ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè è òåîðèè àëãîðèòìîâ â ôîðìå çàäà÷.
Îò ÷èòàòåëÿ íå ïðåäïîëàãàåòñÿ íèêàêîé ïðåäâàðèòåëüíîé ïîäãîòîâêè. Îí
ìîæåò èñïîëüçîâàòü ýòó êíèãó äëÿ èçó÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, íå
îáðàùàÿñü ê äðóãèì ó÷åáíèêàì è ïîñîáèÿì. Òåì íå ìåíåå, ìû ïðèâîäèì
êðàòêèé ñïèñîê èìåþùåéñÿ íà ðóññêîì ÿçûêå ëèòåðàòóðû. Êàæäîìó ïàðàãðàôó ïðåäïîñëàíî êðàòêîå ââåäåíèå, ñîäåðæàùåå îïðåäåëåíèÿ âñåõ îñíîâíûõ ïîíÿòèé, èñïîëüçóåìûõ â çàäà÷àõ ýòîãî ïàðàãðàôà. Ðàíåå ââåäåííûå
ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ ÷àñòî áåç ññûëîê; â ýòèõ ñëó÷àÿõ
÷èòàòåëü ìîæåò èñïîëüçîâàòü óêàçàòåëü òåðìèíîâ è îáîçíà÷åíèé.
Îñíîâíûå òåîðåìû ñôîðìóëèðîâàíû â âèäå çàäà÷. Äëÿ òîãî ÷òîáû
äîêàçàòåëüñòâà áûëè âîçìîæíî áîëåå ïðîñòûìè, òåõíè÷åñêèå ëåììû
òàêæå âûäåëåíû â âèäå îòäåëüíûõ çàäà÷.
Áîëüøèíñòâî çàäà÷ ñíàáæåíî îòâåòàìè è óêàçàíèÿìè. Èíîãäà ìû äàåì
ïîäðîáíûå îòâåòû ê ïðîñòûì çàäà÷àì äëÿ èëëþñòðàöèè ìåòîäà ðàññóæäåíèÿ, âïåðâûå âñòðåòèâøåãîñÿ.  äàëüíåéøåì óæå îãðàíè÷èâàåìñÿ ëèøü
êðàòêèìè óêàçàíèÿìè. Òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷åíû çâåçäî÷êîé.
Áîëüøèíñòâî çàäà÷ êàæäîé ÷àñòè ìîæåò áûòü ðåøåíî áåç îáðàùåíèÿ ê äðóãèì ÷àñòÿì. Òàì, ãäå íåîáõîäèìî, ìû äåëàåì ñîîòâåòñòâóþùèå ññûëêè â ñàìîé çàäà÷å èëè â óêàçàíèè ê íåé.
6
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ Ê ÏÅÐÂÎÌÓ ÈÇÄÀÍÈÞ
Åñòåñòâåííî, ÷òî â êíèãå íå çàòðîíóòû ìíîãèå íàïðàâëåíèÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Íåêîòîðûå òåìû ëèøü íàìå÷åíû, äëÿ
íèõ ïðèâåäåíû ëèøü ñàìûå ïåðâîíà÷àëüíûå ïîíÿòèÿ è ðåçóëüòàòû. Òàê,
íàïðèìåð, àêñèîìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 7 ÷àñòè II) çàíèìàåò
ìàëî ìåñòà, õîòÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè âñå çàäà÷è èç ÷àñòè 1 ìîãóò áûòü
ðåøåíû â ðàìêàõ òåîðèè ZF.  ÷àñòè III èç ðàçëè÷íûõ óòî÷íåíèé ïîíÿòèÿ
àëãîðèòìà âûáðàíû ëèøü ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè è ìàøèíû Òüþðèíãà.
Ìû ñòàâèëè ñåáå öåëüþ, ãëàâíûì îáðàçîì, ñèñòåìàòèçèðîâàòü óæå
èìåþùèåñÿ çàäà÷è. Ïî ýòîé ïðè÷èíå çäåñü èìååòñÿ ñòàíäàðòíûé íàáîð
çàäà÷ è î÷åíü ìàëî çàäà÷, ñïåöèàëüíî ïðèäóìàííûõ àâòîðàìè. Åñëè çàäà÷è íàì íðàâèëèñü, òî ìû áðàëè èõ èç äðóãèõ êíèã è íå ññûëàëèñü íà ýòî.
 êíèãå óïîòðåáëÿþòñÿ ñëåäóþùèå îáùåïðèíÿòûå îáîçíà÷åíèÿ:
N, , L, D, * ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ, öåëûõ, ðàöèîíàëüíûõ,
äåéñòâèòåëüíûõ, êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâåííî;
⇒ åñëè ..., òî ...;
⇔ ...òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ...;
åñòü ïî îïðåäåëåíèþ;
{õ | ...õ...} ìíîæåñòâî òàêèõ ýëåìåíòîâ õ, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå ...õ...;
{õ1, õ2, ...} ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ õ1, õ2, ...;
⟨õ1, õ2, ..., õn⟩ óïîðÿäî÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ õ1, õ2, ..., õn.
 îñíîâó ýòîé êíèãè ïîëîæåí íàø ñáîðíèê «Çàäà÷è ïî ëîãèêå», âûïóùåííûé â 1970 ã. èçäàòåëüñòâîì Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Ñáîðíèê çíà÷èòåëüíî äîïîëíåí, ñäåëàíà ñóùåñòâåííàÿ ïåðåðàáîòêà, ìû ïîñòàðàëèñü ó÷åñòü ìíîãî÷èñëåííûå çàìå÷àíèÿ, âûñêàçàííûå íàì. Ìû áëàãîäàðíû Ë.Í. Øåâðèíó, À.È. Îìàðîâó, Í.Ã. Õèñàìèåâó,
À.À. Àêàòàåâó, Â.À. Óñïåíñêîìó, Ã.Å. Ìèíöó, Ñ.Þ. Ìàñëîâó, À.Î. Ñëèñåíêî, È.Ä. Çàñëàâñêîìó è äðóãèì çà öåííûå îáñóæäåíèÿ. Îñîáî ìû áëàãîäàðíû Þ.Ë. Åðøîâó, Ì.È. Êàðãàïîëîâó è Ì.À. Òàéöëèíó, à òàêæå äðóãèì ÷ëåíàì êàôåäðû àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè ÍÃÓ çà áîëüøóþ
ïîìîùü ïðè ïîäãîòîâêå ýòîé êíèãè. Ìû ãëóáîêî ïðèçíàòåëüíû Í.Â. Áåëÿêèíó çà áîëüøîé òðóä ïî ðåäàêòèðîâàíèþ íàøåé êíèãè.
z
1 äåêàáðÿ 1973 ã.
ã. Íîâîñèáèðñê
Àêàäåìãîðîäîê
È.À. Ëàâðîâ
Ë.Ë. Ìàêñèìîâà
×àñòü I
l
ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
§ 1. ÎÏÅÐÀÖÈÈ ÍÀÄ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀÌÈ
×åðåç ∈ îáîçíà÷àåòñÿ îòíîøåíèå ïðèíàäëåæíîñòè, ò.å. x ∈ A îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíò x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A. Åñëè x íå ÿâëÿåòñÿ
ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A, òî ýòî çàïèñûâàåòñÿ x ∉ A. Äâà ìíîæåñòâà A
è B ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ. Ìû ïèøåì A = B, åñëè A è B ðàâíû, è A ≠ B â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå. ×åðåç ⊆ îáîçíà÷àåòñÿ îòíîøåíèå âêëþ÷åíèÿ ìíîæåñòâ, ò.å.
A ⊆ B îçíà÷àåò, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B.  ýòîì ñëó÷àå A íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì B, à
B íàäìíîæåñòâîì A. Åñëè A ⊆ B è A ≠ B, òî A íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäìíîæåñòâîì B, è â ýòîì ñëó÷àå ïèøåì A ⊂ B.
Ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå ýëåìåíòîâ, íàçûâàåòñÿ ïóñòûì è
îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ∅. Ñåìåéñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ äàííîãî ìíîæåñòâà A îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç P (A).
Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
A ∪ B = { x ⎮ x ∈ A èëè x ∈ B }.
Îáúåäèíåíèåì ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ Ai (i ∈ I ) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
∪ Ai = { x ⎮ ñóùåñòâóåò i0 ∈ I òàêîå, ÷òî x ∈ Ai }.
0
i∈I
Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
A ∩ B = { x ⎮ x ∈ A è x ∈ B }.
Ïåðåñå÷åíèåì ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ Ai (i ∈ I ), ãäå I ≠ ∅ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
∩ Ai = { x ⎮ x ∈ Ai äëÿ âñåõ i ∈ I }.
i∈I
Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
A \ B = { x ⎮ x ∈ A è x ∉ B }.
Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âñå âñòðå÷àþùèåñÿ â çàäà÷àõ ýòîãî ïàðàãðàôà ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè íåêîòîðîãî óíèâåðñàëü-
8
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
íîãî ìíîæåñòâà U. Ðàçíîñòü U \ A íàçûâàåòñÿ äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà A è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç −A.
Ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A − æ B = (A \ B) ∪ (B \ A).
1. Äîêàçàòü:
(à) A ⊆ A (ðåôëåêñèâíîñòü);
(á) åñëè A ⊆ B è B ⊆ C, òî A ⊆ C (òðàíçèòèâíîñòü);
(â) A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B ;
(ã) A ∩ B ⊆ B ⊆ A ∪ B ;
(ä) A \ B ⊆ A .
2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A åñòü ìíîæåñòâî êîðíåé óðàâíåíèÿ x2 −
− 7x + 6 = 0 è B = {1, 6}, òî A = B.
3. Äîêàçàòü, ÷òî ∅ ≠ {∅}.
4. Äîêàçàòü, ÷òî { {1, 2}, {2, 3} } ≠ {1, 2, 3}.
5. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî A:
(à) ∅ ⊆ A ⊆ U;
(á) åñëè A ⊆ ∅, òî A = ∅; åñëè U ⊆ A, òî A = U;
(â) A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∪ U = U, A ∩ U = A.
6. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ëèøü îäíî ìíîæåñòâî, íå èìåþùåå
ýëåìåíòîâ.
7. Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå ìíîæåñòâà A, B è C, ÷òî
A ∩ B ≠ ∅, A ∩ C = ∅, (A ∩ B) \ C = ∅?
8. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà α(x) = β(x) · γ(x)
åñòü îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ êîðíåé ìíîãî÷ëåíîâ β(x) è γ(x).
9. Äîêàçàòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé
ìíîãî÷ëåíîâ α(x) è β(x) ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà
γ(x) = α2(x) + β2(x).
10. Äîêàçàòü, ÷òî
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A \ B = ∅ ⇔ (−A) ∪ B = U.
11. Äîêàçàòü ñëåäóþùèå òîæäåñòâà:
(à) A ∪ A = A ∩ A = A;
(á) A ∩ B = B ∩ A ;
(â) A ∪ B = B ∪ A ;
(ã) A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C ;
(ä) A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C ;
(å) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ;
(æ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ;
(ç) (A ∩ B) ∪ (C ∩ D) = (A ∪ C ) ∩ (B ∪ C ) ∩ (A ∪ D) ∩ (B ∪ D).
§ 1. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
12. Äîêàçàòü ñëåäóþùèå òîæäåñòâà:
(à) −(A ∩ B) = (−A) ∪ (−B);
(á) −(A ∪ B) = (−A) ∩ (−B);
(â) A \ (B ∪ C ) = (A \ B) ∩ (A \ C );
(ã) A \ (B ∩ C ) = (A \ B) ∪ (A \ C );
(ä) A \ (A \ B) = A ∩ B;
(å) A \ B = A \ (A ∩ B);
(æ) A ∩ (B \ C ) = (A ∩ B) \ (A ∩ C ) = (A ∩ B) \ C;
(ç) (A \ B) \ C = (A \ C ) \ (B \ C );
(è) A ∪ B = A ∪ (B \ A);
(ê) −(−A) = A;
(ë) A ∪ (−A) = U ;
(ì) A ∩ (−A) = ∅;
(í) (A ∩ B) ∪ [A ∩ (-B)] = (A ∪ B) ∩ [A ∪ (−B)] = A;
(î) [(−A) ∪ B] ∩ A = A ∩ B;
(ï) A ∩ (B \ A) = ∅;
(ð) (A ∪ B) \ C = (A \ C ) ∪ (B \ C );
(ñ) A \ (B \ C ) = (A \ B) ∪ (A ∩ C );
(ò) A \ (B ∪ C ) = (A \ B) \ C.
13. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) A ∪ B ⊆ C ⇔ A ⊆ C è B ⊆ C;
(á) A ⊆ B ∩ C ⇔ A ⊆ B è A ⊆ C;
(â) A ∩ B ⊆ C ⇔ A ⊆ (-B) ∪ C;
(ã) A ⊆ B ∪ C ⇔ A ∩ (-B) ⊆ C;
(ä) (A \ B) ∪ B = A ⇔ B ⊆ A;
(å) (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C ) ⇔ C ⊆ A;
(æ) A ⊆ B ⇒ A ∪ C ⊆ B ∪ C;
(ç) A ⊆ B ⇒ A ∩ C ⊆ B ∩ C;
(è) A ⊆ B ⇒ (A \ C ) ⊆ (B \ C );
(ê) A ⊆ B ⇒ (C \ B) ⊆ (C \ A);
(ë) A ⊆ B ⇒ −B ⊆ −A;
(ì) A ∪ B = A ∩ B ⇒ A = B;
(í) A = −B ⇔ A ∩ B = ∅ è A ∪ B = U.
14. Äîêàçàòü òîæäåñòâà:
(à) A − æ B = B − æ A;
(á) A − æ (B −æ C ) = (A −æ B) − æ C;
(â) A ∩ (B −æ C ) = (A ∩ B) − æ (A ∩ C );
(ã) A − æ (A −æ B) = B;
(ä) A ∪ B = (A −æ B) − æ (A ∩ B);
(å) A \ B = A −æ (A ∩ B);
(æ) A −æ ∅ = A;
(ç) A −æ A = ∅;
(è) A −æ U = −A;
(ê) A ∪ B = (A −æ B) ∪ (A ∩ B).
9
10
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
15. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) (A1 ∪ . . . ∪ An) −æ (B1 ∪ . . . ∪ Bn) ⊆ (A1 − æ B1) ∪ . . . ∪ (An − æ Bn);
(á) (A1 ∩ . . . ∩ An) −æ (B1 ∩ . . . ∩ Bn) ⊆ (A1 − æ B1) ∪ . . . ∪ (An − æ Bn).
16. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) A −æ B = ∅ ⇔ A = B;
(á) A ∩ B = ∅ ⇒ A ∪ B= A − æ B;
(â) A −æ B = C ⇔ B −æ C = A ⇔ C −æ A = B.
17. Îïðåäåëèòü îïåðàöèè ∪, ∩, \ ÷åðåç:
(à) − æ, ∩ ;
(á) − æ, ∪ ;
(â) \ , − æ.
18*. Äîêàçàòü, ÷òî íåëüçÿ îïðåäåëèòü:
(à) \÷åðåç ∩ è ∪ ;
(á) ∪÷åðåç ∩ è \ .
19. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâà îáðàçóþò êîëüöî áåç åäèíèöû, ãäå
− æ èãðàåò ðîëü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, à ∩ èãðàåò ðîëü îïåðàöèè óìíîæåíèÿ. ×òî ÿâëÿåòñÿ âû÷èòàíèåì â ýòîì êîëüöå?
20. Íàéòè âñå ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâ ∅, {∅}, {x}, {1, 2}.
21. (à) Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî èç n ýëåìåíòîâ èìååò 2n ïîäìíîæåñòâ.
(á) Ñêîëüêî ïîäìíîæåñòâ èç k ýëåìåíòîâ èìååò ìíîæåñòâî èç n
ýëåìåíòîâ (k ≤ n)?
22. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B);
⎛
⎞
(á) P ⎜⎜ ∩ Ai ⎟⎟⎟ = ∩ P ( Ai );
⎝i ∈I ⎠ i ∈I
(â) P (A ∪ B) = {A1 ∪ B1 ⏐ A1 ∈ P (A) è B1 ∈ P (B)};
{
}
⎛
⎞
(ã) P ⎜⎜ ∪ Ai ⎟⎟⎟ = ∪ B i B i ∈ P ( Ai ) .
⎝i ∈I ⎠
i ∈I
23. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ a, b, c, d
{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} ⇔ a = c è b = d.
24. Êàêèå èç óòâåðæäåíèé âåðíû äëÿ âñåõ A, B è C :
(à) åñëè A ∈ B è B ∈ C, òî A ∈ C ?
(á) åñëè A ⊆ B è B ∈ C, òî A ∈ C ?
(â) åñëè A ∩ B ⊆ −C è A ∪ C ⊆ B, òî A ∩ C = ∅ ?
(ã) åñëè A ≠ B è B ≠ C, òî A ≠ C ?
(ä) åñëè A ⊆ −(B ∪ C ) è B ⊆ −(A ∪ C ), òî B = ∅ ?
§ 1. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
11
25. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ A1, A2, ..., An,
åñëè A1 ⊆ A2 ⊆ . . . ⊆ An ⊆ A1, òî A1 = A2 = ... = An .
26. Äëÿ êàæäîãî ïîëîæèòåëüíîãî öåëîãî ÷èñëà n óêàçàòü ìíîæåñòâî An èç n ýëåìåíòîâ òàêîå, ÷òî åñëè x, y ∈ An, òî x ∈ y èëè y ∈ x
èëè x = y.
27. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
⎧ A ∩ X = B,
⎨
⎩A ∪ X = C,
ãäå A, B è C äàííûå ìíîæåñòâà è B ⊆ A ⊆ C.
28. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
⎧ A \ X = B,
⎨
⎩X \ A = C ,
ãäå A, B è C äàííûå ìíîæåñòâà è B ⊆ A, A ∩ C = ∅.
29. Ïóñòü äàíû ñèñòåìû ìíîæåñòâ {Ai}i∈I è {Bi}i∈I, ãäå I íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. Ðåøèòü ñèñòåìû óðàâíåíèé:
(à) Ai ∩ X = Bi, i ∈ I;
(á) Ai ∪ X = Bi, i ∈ I.
Ïðè êàêèõ Ai è Bi ýòè ñèñòåìû èìåþò ðåøåíèÿ?
30. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
⎧ A \ X = B,
⎨
⎩A ∪ X = C,
ãäå A, B è C äàííûå ìíîæåñòâà è B ⊆ A ⊆ C.
31. Ïîêàçàòü, ÷òî:
(à) A = B ⇔ (A \ B) ∪ (B \ A) = ∅;
(á) ëþáîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà Õ, â ïðàâîé ÷àñòè
êîòîðîãî ñòîèò ∅, ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ (A ∩ X) ∪ [B ∩ (−X)] = ∅,
ãäå À è Â íåêîòîðûå ìíîæåñòâà, â çàïèñè êîòîðûõ íå ñîäåðæèòñÿ
ñèìâîë Õ;
(â) ñèñòåìà óðàâíåíèé
⎧ A ∩ X = ∅,
⎨
⎩ B ∩ (− X ) = ∅
èìååò ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà B ⊆ −A; ïðè ýòîì óñëîâèè ðåøåíèåì ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ëþáîå ìíîæåñòâî Õ òàêîå, ÷òî
B ⊆ X ⊆ −A;
(ã) îïèñàòü ìåòîä ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ îäíèì íåèçâåñòíûì.
12
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
32. Ïîëüçóÿñü ìåòîäîì çàäà÷è 31, ðåøèòü ñëåäóþùèå ñèñòåìû:
⎧A ∪ X = B ∩ X ,
à) ⎨
⎩A ∩ X = C ∪ X ;
⎧ A \ X = X \ B,
á) ⎨
⎩X \ A = C \ X ;
⎧A ∩ X = B \ X ,
â) ⎨
⎩C ∪ X = X \ A.
Ïðè êàêèõ A, B è C ýòè ñèñòåìû èìåþò ðåøåíèå?
33. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå ìíîæåñòâî åñòü:
(à) îáúåäèíåíèå âñåõ ñâîèõ ïîäìíîæåñòâ;
(á) îáúåäèíåíèå âñåõ ñâîèõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ;
(à) îáúåäèíåíèå âñåõ ñâîèõ îäíîýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ.
34. Ïóñòü èìååòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ
X 0 ⊇ X1 ⊇ X2 ⊇ . . . ⊇ X n ⊇ . . .
Äîêàçàòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ëþáîé áåñêîíå÷íîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýòèõ ìíîæåñòâ ñîâïàäàåò ñ ïåðåñå÷åíèåì âñåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
35. Ïóñòü èìååòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ
X 0 ⊆ X1 ⊆ X2 ⊆ . . . ⊆ X n ⊆ . . .
Äîêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå ëþáîé áåñêîíå÷íîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýòèõ ìíîæåñòâ ñîâïàäàåò ñ îáúåäèíåíèåì âñåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
36. Äîêàçàòü ñëåäóþùèå òîæäåñòâà:
(à) ∪ ∪ Akt = ∪ ∪ Akt ;
k ∈K t ∈T
(á)
t ∈T k ∈K
∩ ∩ Akt = ∩ ∩ Akt ;
k ∈K t ∈T
t ∈T k ∈K
(â) − ⎛⎜ ∪ Ak ⎞⎟ = ∩ (− Ak );
⎝ k∈K
⎠ k∈K
(ã) − ⎛⎜ ∩ Ak ⎞⎟ = ∩ (− Ak );
⎝ k ∈K
⎠ k ∈K
(ä) ∪ Ak ∪ ∪ Bk = ∪ ( Ak ∪ Bk );
k ∈K
(å)
(æ)
k ∈K
k ∈K
∪ (B ∩ Ak ) = B ∩ ⎛⎜ ∪ Ak ⎞⎟ ;
⎝ k∈K
⎠
k∈K
∩ (B ∪ Ak ) = B ∪ ⎛⎜ ∩ Ak ⎞⎟ .
⎝ k ∈K
⎠
k ∈K
13
§ 2. Îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè
37. (à) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ K, T, Akt
∪ ∩ Akt ⊆ ∩ ∪ Akt .
k ∈K t ∈T
t ∈T k ∈K
(á) Äîêàçàòü, ÷òî â óòâåðæäåíèè (à) âêëþ÷åíèå íåëüçÿ çàìåíèòü ðàâåíñòâîì.
38. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè At ⊆ B äëÿ âñåõ t ∈ T, òî ∪ At ⊆ B ;
t ∈T
(á) åñëè B ⊆ At äëÿ âñåõ t ∈ T, òî B ⊆ ∩ At ;
t∈T
(â) åñëè At ⊆ Bt äëÿ âñåõ t ∈ T, òî ∪ At ⊆ ∪ Bt è ∩ At ⊆ ∩ Bt .
t ∈T
t ∈T
t ∈T
t ∈T
39. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ∪ At åñòü íàèìåíüøåå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå âñå ìíîæåt ∈T
ñòâà At ;
(á) ∩ At åñòü íàèáîëüøåå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùååñÿ âî âñåõ
t ∈T
ìíîæåñòâàõ At .
⎛
⎞ ⎛
⎞
40. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ⎜ ∩ An ⎟ ∩ ⎜ ∩ Bn ⎟ = ∅ , òî
∈
N
\{0}
∈
N
\{0}
n
n
⎝
⎠ ⎝
⎠
∩
n∈N \{0}
An ⊆
∪
[ An ∩ (Bn −1 \ Bn )],
n∈N \{0}
ãäå
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜ ∪ An ⎟ ∪ ⎜ ∪ Bn ⎟ ⊆ B0 .
⎝ n∈N \{0} ⎠ ⎝ n∈N \{0} ⎠
41. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ñèñòåìû ìíîæåñòâ A0, ..., An, ...
ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ B0, ..., Bn, ...
òàêàÿ, ÷òî ∪ An = ∪ Bn è Bn ⊆ An.
n∈N
n∈N
§ 2. ÎÒÍÎØÅÍÈß È ÔÓÍÊÖÈÈ
Ïðÿìûì (äåêàðòîâûì) ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ A1, . . ., An íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
A1 ½ . . . ½ An = {⟨a1, . . ., an⟩ | a1 ∈ A1, . . ., an ∈ An }.
Åñëè A1 = . . . = An = A, òî ìíîæåñòâî A1 ½ . . . ½ An íàçûâàåòñÿ
ïðÿìîé ñòåïåíüþ ìíîæåñòâà À è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç An.
14
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
Áèíàðíûì îòíîøåíèåì ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâ À è Â íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïîäìíîæåñòâî R ìíîæåñòâà A ½ B. Åñëè A = B, òî
îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ áèíàðíûì îòíîøåíèåì íà À. Âìåñòî ⟨x, y⟩ ∈ R
÷àñòî ïèøóò xRy.
Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ R íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
δR = {x | ñóùåñòâóåò y òàêîå, ÷òî ⟨x, y⟩ ∈ R}.
Îáëàñòüþ çíà÷åíèé áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ R íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
ρR = {x | ñóùåñòâóåò y òàêîå, ÷òî ⟨y, x⟩ ∈ R}.
Äëÿ áèíàðíûõ îòíîøåíèé îïðåäåëåíû îáû÷íûì îáðàçîì òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è ò.ä.
Äîïîëíåíèåì áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ R ìåæäó ýëåìåíòàìè À è Â
ñ÷èòàåòñÿ ìíîæåñòâî
−R = (A ½ B) \ R.
Îáðàòíûì îòíîøåíèåì äëÿ áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ R íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâî
R −1 = {⟨x, y⟩ | ⟨y, x⟩ ∈ R}.
Îáðàçîì ìíîæåñòâà Õ îòíîñèòåëüíî R íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
R(Õ ) = {y | ñóùåñòâóåò x ∈ X òàêîå, ÷òî ⟨x, y⟩ ∈ R},
ïðîîáðàçîì Õ îòíîñèòåëüíî R íàçûâàåòñÿ R −1(Õ ).
Ïðîèçâåäåíèåì îòíîøåíèé R1 ⊆ A ½ B è R2 ⊆ B ½ C íàçûâàåòñÿ
îòíîøåíèå
R1 · R2 = {⟨x, y⟩ | ñóùåñòâóåò z òàêîå, ÷òî ⟨x, z⟩ ∈ R1 è ⟨z, y⟩ ∈ R2}.
Îòíîøåíèå f íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé èç À â Â (èç À íà Â), åñëè
δf = A, ρf ⊆ B (ñîîòâåòñòâåííî ρf = B) è äëÿ âñåõ x, y1, y2 èç ⟨x, y1⟩ ∈ f
è ⟨x, y2⟩ ∈ f ñëåäóåò y1 = y2. Ôóíêöèÿ f èç À â  îáîçíà÷àåòñÿ f : A → B.
Åñëè f ôóíêöèÿ, òî ïèøåì y = f (x) âìåñòî ⟨x, y⟩ ∈ f è íàçûâàåì y
çíà÷åíèåì ôóíêöèè f ïðè çíà÷åíèè àðãóìåíòà x. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà À îïðåäåëÿåì iA: A → A ñëåäóþùèì îáðàçîì:
iA (x) = x.
Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ 11-ôóíêöèåé, åñëè äëÿ ëþáûõ õ1, õ2, y
èç òîãî, ÷òî y = f (x1) è y = f (x2), ñëåäóåò õ1 = õ2. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f : A → B îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó À è Â, åñëè δf = A, ρf = B è f 11-ôóíêöèÿ. Âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå f : A → A íàçûâàåòñÿ ïîäñòàíîâêîé ìíîæåñòâà À.
15
§ 2. Îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè
À
Ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé èç À â  îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç  .
Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ Ai (i ⊆ I) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
{
}
∏ Ai = f | f : I → i∈∪I Ai è f (i ) ∈ Ai äëÿ âñåõ i ∈ I .
i∈I
Íàçîâåì n-ìåñòíûì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâå À ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà An. Ôóíêöèþ f : An → B íàçîâåì n-ìåñòíîé
ôóíêöèåé èç ìíîæåñòâà À â Â è áóäåì ïèñàòü y = f (x1, . . ., xn) âìåñòî
y = f (⟨x1, . . ., xn⟩) è íàçûâàòü y çíà÷åíèåì ôóíêöèè f ïðè çíà÷åíèè
àðãóìåíòîâ x1, . . ., xn.
1. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóþò À, Â è Ñ òàêèå, ÷òî:
(à) À ½ Â ≠ Â ½ À;
(á) À ½ (Â ½ Ñ ) ≠ (À ½ Â ) ½ Ñ.
2. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ:
(à) [a, b] ½ [c, d], ãäå [a, b] è [c, d] îòðåçêè äåéñòâèòåëüíîé
ïðÿìîé D;
(á) [a, b]2;
(â) [a, b]3;
(ã) Dn.
3. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè À, Â, Ñ è D íå ïóñòû, òî:
(à) À ⊆ Â è C ⊆ D ⇔ A ½ C ⊆ B ½ D;
(á) À = Â è C = D ⇔ A ½ C = B ½ D.
4. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) (À ∩ Â ) ½ (Ñ ∩ D) = (A ½ C ) ∩ (B ½ D);
(á) ∩ Ai × ∩ Bi = ∩ ( Ai × Bi ).
i∈I
i∈I
i∈I
5. Äîêàçàòü, ÷òî (A ½ B ) ∪ (C ½ D) ⊆ (À ∪ C ) ½ (B ∪ D). Ïðè êàêèõ
À, Â, Ñ è D ïîëó÷àåòñÿ ðàâåíñòâî?
6. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) (À ∪ Â ) ½ Ñ = (A ½ C ) ∪ (B ½ C );
(á) A ½ (B ∪ C ) = (A ½ B ) ∪ (A ½ C );
(â) (À ∪ Â ) ½ (C ∪ D) = (A ½ C ) ∪ (B ½ C ) ∪ (A ½ D) ∪ (B ½ D);
(ã) (À \ Â ) ½ Ñ = (A ½ C ) \ (B ½ C );
(ä) A ½ (B \ C ) = (A ½ B ) \ (A ½ C );
(å) A ½ B = (A ½ D) ∩ (C ½ B ), ãäå A ⊆ C è B ⊆ D;
(æ) U 2 \ (A ½ B ) = [(U \ A) ½ U ] ∪ [(U ½ (U \ B )];
16
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
(ç)
(è)
∪ Ak × ∪ Bt =
k ∈K
t ∈T
∩ Ak × ∩ Bt =
k ∈K
t ∈T
∪
( Ak × Bt );
∩
( Ak × Bt ).
⟨ k , t ⟩∈K ×T
⟨ k , t ⟩∈K ×T
7. Ïóñòü A, B ≠ ∅ è (A ½ B) ∪ (B ½ A) = (C ½ D). Äîêàçàòü, ÷òî
A = B = C = D.
8. Íàéòè δR, ρR, R −1, R · R, R · R −1, R −1 · R äëÿ ñëåäóþùèõ îòíîøåíèé:
(à) R = {⟨x, y⟩ | x, y ∈ N è x äåëèò y};
(á) R = {⟨x, y⟩ | x, y ∈ N è y äåëèò x};
(â) R = {⟨x, y⟩ | x, y ∈ D è x + y ≤ 0};
(ã) R = {⟨x, y⟩ | x, y ∈ D è 2x ≥ 3y};
⎧
⎡ π π⎤
(ã) R = ⎨⟨ x, y ⟩ | x, y ∈ ⎢ − , ⎥
⎣ 2 2⎦
⎩
⎫
è y ≥ sin x ⎬ .
⎭
9. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) δR = ∅ ⇔ R = ∅ ⇔ ρR = ∅;
(á) δR−1 = ρR, ρR−1 = δR;
(â) δR1 · R2 = R1−1(ρR1 ∩ δR2);
(ã) ρR1 · R2 = R2(ρR1 ∩ δR2).
10. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè B ≠ ∅, òî δA½B = A;
(á) åñëè A ≠ ∅, òî ρA½B = B.
11. Ïóñòü R áèíàðíîå îòíîøåíèå íà À. Äîêàçàòü, ÷òî R = iA
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà R · R1 = R1 · R = R1 äëÿ ëþáîãî îòíîøåíèÿ R1 íà À.
12. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ áèíàðíûõ îòíîøåíèé:
(à) R ∪ R = R ∩ R = R;
(á) (R −1) −1 = R;
(â) (R1 ∪ R2) −1 = R1−1 ∪ R2−1;
(ã) (R1 ∩ R2) −1 = R1−1 ∩ R2−1;
(ä) −R −1 = (−R ) −1;
⎛
⎞
(å) ⎜ ∪ Ri ⎟
⎝ i∈I ⎠
−1
⎛
⎞
(æ) ⎜ ∩ Ri ⎟
⎝ i∈I ⎠
= ∪ Ri−1 ;
i∈I
−1
= ∩ Ri−1 .
i∈I
17
§ 2. Îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè
13. Äëÿ êàêèõ áèíàðíûõ îòíîøåíèé R ñïðàâåäëèâî R
−1
= −R ?
14. Ïóñòü À è  êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç m è n
ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî.
(à) Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò áèíàðíûõ îòíîøåíèé ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâ À è Â ?
(á) Ñêîëüêî èìååòñÿ ôóíêöèé èç À â Â ?
(â) Ñêîëüêî èìååòñÿ 11-ôóíêöèé èç À â Â ?
(ã) Ïðè êàêèõ m è n ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó À è  ?
15. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ áèíàðíûõ îòíîøåíèé:
(à) R1 · (R2 · R3) = (R1 · R2) · R3;
(á) (R1 · R2)−1 = R2−1 · R1−1;
(â) ⎛⎜ ∪ Ri ⎞⎟ ⋅ Q = ∪ (Ri ⋅ Q );
⎝ i∈I ⎠
i∈I
(ã) Q ⋅ ⎛⎜ ∪ Ri ⎞⎟ = ∪ (Q ⋅ Ri ).
⎝ i∈I ⎠ i∈I
16. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) Q ⋅ ⎛⎜ ∩ Ri ⎞⎟ ⊆ ∩ (Q ⋅ Ri );
⎝ i∈I ⎠ i∈I
(á) ⎛⎜ ∩ Ri ⎞⎟ ⋅ Q ⊆ ∩ (Ri ⋅ Q );
⎝ i∈I ⎠
i∈I
(â) â óòâåðæäåíèÿõ (à) è (á) âêëþ÷åíèÿ íåëüçÿ çàìåíèòü ðàâåíñòâàìè.
17. Îáðàçóþò ëè áèíàðíûå îòíîøåíèÿ ãðóïïó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé · è −1?
18. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè R1 ⊆ R2, òî:
(à) Q · R1 ⊆ Q · R2;
(á) R1 · Q ⊆ R2 · Q;
(â) R1−1 ⊆ R2−1.
19. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè B ≠ ∅, òî BA ≠ ∅;
(á) BA ⊆ P (A ½ B).
20. Óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó A n è A l
ïðè l = {1, . . ., n}.
D)
21. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå, îïèñàòü ìíîæåñòâî D(D
ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
, ãäå D
18
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
22. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f åñòü ôóíêöèÿ èç À â Â è g åñòü ôóíêöèÿ
èç Â â Ñ, òî f · g åñòü ôóíêöèÿ èç À â Ñ.
23. Ïóñòü f è g ôóíêöèè. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ:
(à) f −1 ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé;
(á) f · g ÿâëÿåòñÿ 11-ôóíêöèåé?
24. Ïóñòü A, B, A1, B1 òàêèå ìíîæåñòâà, ÷òî À íàõîäèòñÿ âî
âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ À1, à  ñ Â1. Ïîêàçàòü, ÷òî
ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå:
(à) ìåæäó À ½ Â è À1 ½ Â1;
(á) ìåæäó ÀÂ è À1Â1;
(â) ìåæäó À ∪ Â è À1 ∪ Â1, åñëè À ∩ Â = ∅ è À1 ∩ Â1 = ∅.
25. Äîêàçàòü, ÷òî ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè:
(à) À ½ Â è B ½ A;
(á) À ½ (Â ½ Ñ ) è (A ½ B ) ½ C;
(â) (A ½ B )C è AC ½ BC;
(ã) (AB )C è AB ½ C;
(ä) AB ∪ C è AB ½ AC, åñëè B ∩ C = ∅;
(å) ∏ Ai è ∏ Aϕ(i ), ãäå ϕ ïîäñòàíîâêà ìíîæåñòâà I ;
i∈I
i∈I
(æ) ∏ Ai è
i∈I
⎛
⎞
k ∈K ⎝ j∈Tk
⎠
∏ ⎜⎜ ∏ A j ⎟⎟ , ãäå k∈∪K Tk = I è âñå Tk ïîïàðíî íå
ïåðåñåêàþòñÿ;
T
(ç) AI è ∏ A k, ãäå ∪ Tk = I è âñå Tk ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ.
k ∈K
k ∈K
26. Ïóñòü ϕ: A → A ïîäñòàíîâêà ìíîæåñòâà À. Äîêàçàòü, ÷òî
ϕ−1 ïîäñòàíîâêà ìíîæåñòâà À.
27. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ïîäñòàíîâîê ìíîæåñòâà À îáðàçóåò
ãðóïïó.
28. Ïóñòü ϕ: A → B âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ϕ−1 âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó  è À;
(á) ϕ−1 · ϕ = iB ;
(â) ϕ · ϕ−1 = iA .
§ 2. Îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè
19
29. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû îòíîøåíèå R ⊆ A ½ B áûëî
âçàèìíî îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì ìåæäó À è Â, íåîáõîäèìî è
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû R · R −1 = iA è R −1 · R = iB.
30. Äîêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå (ïåðåñå÷åíèå) äâóõ ôóíêöèé f1 è
f2 èç À â Â ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé èç À â Â òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
f1 = f2.
31. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f :
(à) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B);
⎛
⎞
(á) f ⎜ ∪ Ai ⎟ = ∪ f ( Ai ).
⎝ i∈I ⎠ i∈I
32. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f :
(à) f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B);
(á) f ⎛⎜ ∩ Ai ⎞⎟ ⊆ ∩ f ( Ai ),
⎝ i∈I ⎠ i∈I
è ýòè âêëþ÷åíèÿ íåëüçÿ çàìåíèòü ðàâåíñòâàìè.
33. Äîêàçàòü, ÷òî f óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) äëÿ ëþáûõ À è Â
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f åñòü 11-ôóíêöèÿ.
34. Äîêàçàòü, ÷òî f (A) \ f (B) ⊆ f (A \ B) äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f.
35. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå f åñòü 11-ôóíêöèÿ, òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî.
36. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A ⊆ B, òî f (A) ⊆ f (B) äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f.
37. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f
f (A) = ∅ ⇔ A ∩ δf = ∅.
38. Äîêàçàòü ñëåäóþùèå òîæäåñòâà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f :
(à) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B );
(á) f −1 ⎛⎜ ∪ Ai ⎞⎟ = ∪ f −1 ( Ai );
⎝ i∈I ⎠ i∈I
(â) f −1 (A ∩ B ) = f −1 (A) ∩ f −1 (B );
(ã) f −1 ⎛⎜ ∩ Ai ⎞⎟ = ∩ f −1 ( Ai );
⎝ i∈I ⎠ i∈I
(ä) f −1 (A \ B ) = f −1 (A) \ f −1 (B ).
20
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
39. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A ⊆ B, òî f −1 (A) ⊆ f −1 (B ) äëÿ ëþáîé
ôóíêöèè f.
40. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f
f −1 (A) = ∅ ⇔ A ∩ ρf = ∅.
41. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A ⊆ δf è B ⊆ ρf , òî:
(à) A ⊆ f −1 (f (A));
(á) f (f −1 (B )) = B;
(â) f (A) ∩ B = f (A ∩ f −1 (B ));
(ã) f (A) ∩ B = ∅ ⇔ A ∩ f −1 (B ) = ∅;
(ä) f (A) ⊆ B ⇔ A ⊆ f −1 (B ).
42. Ïóñòü f : A → B. Îïðåäåëèì f* : P(A) → P(B ), f *: P(B ) → P(A)
òàê, ÷òî f* (X ) = { f (x) | x ∈ X } è f *(Y ) = { x | f (x) ∈ Y }. Ïðè êàêèõ
óñëîâèÿõ f * · f* = iP(B)? Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ f* · f * = iP(A)?
43.  îáîçíà÷åíèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è äîêàçàòü, ÷òî:
(à) f * (X ∩ Y ) = f * (X ) ∩ f * (Y );
(á) (f · g)* (X ) = f * (g*)(X )).
44. Ïóñòü U íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà À
ìíîæåñòâà U îáîçíà÷èì ÷åðåç χAU ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ (õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ìíîæåñòâà À):
⎧0, åñëè x ∈ A,
χUA = ⎨
⎩1, åñëè x ∈ U \ A.
Îïðåäåëèì ôóíêöèþ f : P(U ) → {0, 1}U ñëåäóþùèì óñëîâèåì:
f (A) = χAU äëÿ ëþáîãî A ∈ P(U ). Äîêàçàòü, ÷òî f åñòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó P(U ) è {0, 1}U.
45. Äîêàçàòü, ÷òî ââåäåííàÿ â ïðåäûäóùåé çàäà÷å ôóíêöèÿ χAU
óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
(à) χUU(x) = 0;
(á) χ∅U(X ) = 1;
(â) χUU\A(x) = 1 − χAU(x);
(ã) χUA ∪ B(x) = χAU(x) · χBU(x);
(ä) χUA ∩ B(x) = χAU(x) + χBU(x) − χAU(x) · χBU(x);
(å) χUA\B(x) = 1 − χBU(x) + χUA ∪ B(x);
21
§ 2. Îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè
(æ) åñëè A = ∪ Ai , òî χUA ( x ) = min χUAi ( x );
i∈I
i∈I
(ç) åñëè A = ∩ Ai , òî χUA ( x ) = max χUAi ( x ).
i∈I
i∈I
46. Äîêàçàòü ñâîéñòâà ïîëíîé äèñòðèáóòèâíîñòè:
(à) ∪ ∩ Aij = ∩ ∪ Aif (i ) ;
f ∈J I i ∈I
i∈I j ∈J
(á) ∩ ∪ Aij = ∪ ∩ Aif (i ) .
f ∈J I i ∈I
i∈I j ∈J
47. Äîêàçàòü, ÷òî A I = ∏ Ai , ãäå Ai = A äëÿ âñåõ i ∈ I.
i∈I
48. Ïóñòü Ai ⊆ Xi. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ∏ ai = ∩ ∏ Aij , ãäå Aii = Ai, Aij = Xj ïðè i ≠ j ;
i∈I j∈J
i∈I
(à) ∏ X i \ ∏ Ai = ∪ ∏ Bij , ãäå Bii = Xi \ Ai, Bij = Xj ïðè i ≠ j.
i∈I
i∈I j ∈J
i∈I
49. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à)
∩ ∏ Akt = ∏ ∩ Akt ;
k ∈K t ∈T
t ∈T k ∈K
(á) åñëè At1 ∩ At2 = ∅ ïðè t1 ≠ t2, òî ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî
⎛ ∪ A ⎞
⎜
t ⎟
⎠
îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó B ⎝ t ∈T
è ∏ B At ;
t ∈T
(â) ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó
⎛
⎞
⎜ ∏ Bt ⎟
⎝ t∈T ⎠
A
è ∏B t.
A
t ∈T
50. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè At ≠ ∅ äëÿ âñåõ t ∈ T, òî ∏ At ≠ ∅ (îäíà
t ∈T
èç ôîðìóëèðîâîê àêñèîìû âûáîðà).
⎛
⎞ ⎛
⎞
51. Äîêàçàòü, ÷òî ìåæäó ∏ At è ⎜ ∏ At1 ⎟ × ⎜ ∏ At2 ⎟ ìîæíî óñ⎜ t ∈T
⎟ ⎜ t ∈T
⎟
t ∈T
⎝1 1
⎠ ⎝2 2
⎠
òàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, åñëè T1 ∪ T2 = T è
T1 ∩ T2 = ∅.
22
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
§ 3. ÑÏÅÖÈÀËÜÍÛÅ ÁÈÍÀÐÍÛÅ ÎÒÍÎØÅÍÈß
 ýòîì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàþòñÿ áèíàðíûå îòíîøåíèÿ, çàäàííûå íà íåïóñòîì ìíîæåñòâå.
Áèíàðíîå îòíîøåíèå R íà ìíîæåñòâå À íàçûâàåòñÿ ðåôëåêñèâíûì, åñëè
⟨x, x⟩ ∈ R äëÿ âñåõ x ∈ A,
èððåôëåêñèâíûì, åñëè
⟨x, x⟩ ∉ R äëÿ âñåõ x ∈ A.
Áèíàðíîå îòíîøåíèå R íà ìíîæåñòâå À íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, åñëè
⟨x, y⟩ ∈ R ⇒ ⟨y, x⟩ ∈ R,
è àíòèñèììåòðè÷íûì, åñëè
⟨x, y⟩ ∈ R è ⟨y, x⟩ ∈ R ⇒ x = y.
Áèíàðíîå îòíîøåíèå R íà ìíîæåñòâå À íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíûì, åñëè
⟨x, y⟩ ∈ R è ⟨y, z⟩ ∈ R ⇒ ⟨x, z⟩ ∈ R.
Ðåôëåêñèâíîå, òðàíçèòèâíîå è ñèììåòðè÷íîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå À íàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòüþ íà À. Êëàññîì ýêâèâàëåíòíîñòè (ñìåæíûì êëàññîì) ýëåìåíòà x ïî ýêâèâàëåíòíîñòè R íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
[x]R = x / R = {y | ⟨x, y⟩ ∈ R }.
Ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà À ïî
ýêâèâàëåíòíîñòè R íàçûâàåòñÿ ôàêòîðìíîæåñòâîì A ïî R è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A / R.
Áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå À íàçûâàåòñÿ ïðåäïîðÿäêîì
íà À, åñëè îíî ðåôëåêñèâíî è òðàíçèòèâíî. Ðåôëåêñèâíîå, òðàíçèòèâíîå è àíòèñèììåòðè÷íîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå À íàçûâàåòñÿ
÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì íà À. ×àñòè÷íûé ïîðÿäîê ÷àñòî îáîçíà÷àåòñÿ
ñèìâîëîì ≤. Ïîðÿäîê ≤−1 íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííûì ê ≤ è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ≥. Áóäåì ïèñàòü x < y, åñëè x ≤ y è x ≠ y. ×àñòè÷íûé
ïîðÿäîê ≤ íà ìíîæåñòâå À íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè ëþáûå äâà
ýëåìåíòà èç À ñðàâíèìû ïî ≤, ò.å. x ≤ y èëè y ≤ x äëÿ ëþáûõ x, y ∈ A.
Ìíîæåñòâî A ñ çàäàííûì íà íåì ÷àñòè÷íûì (ëèíåéíûì) ïîðÿäêîì
≤ íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî (ëèíåéíî) óïîðÿäî÷åííûì. Ïîäìíîæåñòâî Â
ìíîæåñòâà À, ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî îòíîøåíèåì ≤, íàçûâàåòñÿ
öåïüþ â À, åñëè îíî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíî îòíîøåíèåì ≤ ∩  2.
Ýëåìåíò à ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà À íàçûâàåòñÿ
ìàêñèìàëüíûì (ìèíèìàëüíûì), åñëè èç òîãî, ÷òî a ≤ x (x ≤ a), ñëåäóåò a = x. Ýëåìåíò à èç À íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèì (íàèìåíüøèì), åñëè
§ 3. Ñïåöèàëüíûå áèíàðíûå îòíîøåíèÿ
23
x ≤ a (a ≤ x) äëÿ âñåõ x ∈ A. Âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíüþ ïîäìíîæåñòâà Â
÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà À íàçûâàåòñÿ ëþáîé ýëåìåíò à
èç À òàêîé, ÷òî b ≤ a (a ≤ b) äëÿ ëþáîãî b ∈ B. Òî÷íîé âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíüþ ïîäìíîæåñòâà B ⊆ A íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøàÿ âåðõíÿÿ
(íàèáîëüøàÿ íèæíÿÿ) ãðàíü äëÿ Â. Òî÷íàÿ âåðõíÿÿ è òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíè ìíîæåñòâà B ⊆ A îáîçíà÷àþòñÿ ÷åðåç sup  è inf B, ñîîòâåòñòâåííî.
Ëèíåéíûé ïîðÿäîê ≤ íà ìíîæåñòâå À íàçîâåì ïîëíûì, åñëè êàæäîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà À èìååò íàèìåíüøèé ýëåìåíò.
 ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî À íàçûâàåòñÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì.
Ïóñòü À è  ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà è f ôóíêöèÿ èç À â Â. f íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííûì îòîáðàæåíèåì, åñëè èç
x1 ≤ x2 ñëåäóåò f (x1) ≤ f (x2) äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x1, x2 ∈ A. Åñëè f
åñòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó À è Â, f è f −1
ìîíîòîííûå îòîáðàæåíèÿ, òî f íàçûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì ÷àñòè÷íî
óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ À è Â, à ìíîæåñòâà À è  íàçûâàþòñÿ
èçîìîðôíûìè.
×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî Ì íàçûâàåòñÿ ðåøåòêîé èëè
ñòðóêòóðîé, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ x, y ∈ M ñóùåñòâóþò
òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü x ∩ y è òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü x ∪ y. Áóäåì îáîçíà÷àòü (...((x 1 ∩ x 2) ∩ x 3) ∩ ... ∩ x k) ÷åðåç x 1 ∩ x 2 ∩ x 3 ∩ ... ∩ xk è
(...((x1 ∪ x2) ∪ x3) ∪ ... ∪ xk) ÷åðåç x1 ∪ x2 ∪ x3 ∪ ... ∪ xk. Íàèáîëüøèé
ýëåìåíò ðåøåòêè (åñëè îí ñóùåñòâóåò) îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç 1, à íàèìåíüøèé ÷åðåç 0.
Ðåøåòêà Ì íàçûâàåòñÿ äèñòðèáóòèâíîé, åñëè äëÿ ëþáûõ x, y, z ∈ M
âûïîëíåíû òîæäåñòâà
(x ∪ y) ∩ z = (x ∩ z) ∪ (y ∩ z),
(x ∩ y) ∪ z = (x ∪ z) ∩ (y ∪ z).
Äèñòðèáóòèâíàÿ ðåøåòêà Ì íàçûâàåòñÿ áóëåâîé àëãåáðîé, åñëè
äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ M ñóùåñòâóåò äîïîëíåíèå, ò.å. ýëåìåíò
(−x), óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì: äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà y ∈ M
[x ∪ (−x)] ∩ y = y, [x ∩ (−x)] ∪ y = y.
Ñåìåéñòâî ïîäìíîæåñòâ S äàííîãî ìíîæåñòâà À íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé ïîäìíîæåñòâ, åñëè S çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è äîïîëíåíèÿ, ò.å.
X, Y ∈ S ⇒ (X ∪ Y ) ∈ S, (X ∩Y ) ∈ S, (−X ) ∈ S.
Ôèëüòðîì íà áóëåâîé àëãåáðå Ì íàçûâàåòñÿ íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî D ⊆ M, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì:
(1) x, y ∈ D ⇒ (x ∩ y) ∈ D,
(2) x ∈ D, x ≤ y ⇒ y ∈ D,
24
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
(3) x ∈ D ⇒ (−x) ∉ D.
Ôèëüòð D íà áóëåâîé àëãåáðå Ì íàçûâàåòñÿ óëüòðàôèëüòðîì,
åñëè îí óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
(4) x ∈ D èëè (−x) ∈ D äëÿ ëþáîãî x ∈ Ì.
Ôèëüòð D íà áóëåâîé àëãåáðå Ì íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì, åñëè îí
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ: äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Ì
(5) (x ∪ y) ∈ D ⇒ x ∈ D èëè y ∈ D.
Ôèëüòð D íà áóëåâîé àëãåáðå Ì íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíûì, åñëè
îí íå ñîäåðæèòñÿ íè â êàêîì äðóãîì ôèëüòðå íà Ì.
1. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè îòíîøåíèÿ R1 è R2 ðåôëåêñèâíû, òî ðåôëåêñèâíû îòíîøåíèÿ R1 ∪ R2, R1 ∩ R2, R1−1, R1 · R2.
2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè îòíîøåíèÿ R1 è R2 èððåôëåêñèâíû, òî
èððåôëåêñèâíû îòíîøåíèÿ R1 ∪ R2, R1 ∩ R2, R1−1. Ïîêàçàòü, ÷òî
ïðîèçâåäåíèå R1 · R2 èððåôëåêñèâíûõ îòíîøåíèé ìîæåò íå áûòü
èððåôëåêñèâíûì.
3. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè îòíîøåíèÿ R1 è R2 ñèììåòðè÷íû, òî ñèììåòðè÷íû îòíîøåíèÿ R1 ∪ R2, R1 ∩ R2, R1−1, R1 · R2−1.
4. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå R1 · R2 ñèììåòðè÷íûõ îòíîøåíèé
R1 è R2 ñèììåòðè÷íî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà R1 · R2 = R2 · R1.
5. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè îòíîøåíèÿ R1 è R2 àíòèñèììåòðè÷íû, òî àíòèñèììåòðè÷íû òàêæå R1 ∩ R2 è R1−1;
(á) îáúåäèíåíèå R1 ∪ R2 àíòèñèììåòðè÷íûõ îòíîøåíèé R1 è R2
íà À àíòèñèììåòðè÷íî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà R1 · R2−1 ⊆ iA.
6. Ïîñòðîèòü áèíàðíîå îòíîøåíèå:
(à) ðåôëåêñèâíîå, ñèììåòðè÷íîå, íå òðàíçèòèâíîå;
(á) ðåôëåêñèâíîå, àíòèñèììåòðè÷íîå, íå òðàíçèòèâíîå;
(â) ðåôëåêñèâíîå, òðàíçèòèâíîå, íå ñèììåòðè÷íîå;
(ã) àíòèñèììåòðè÷íîå, òðàíçèòèâíîå, íå ðåôëåêñèâíîå.
7. (à) Ïîñòðîèòü áèíàðíîå îòíîøåíèå, ñèììåòðè÷íîå, òðàíçèòèâíîå, íî íå ðåôëåêñèâíîå.
(á) Äîêàçàòü, ÷òî åñëè R åñòü òðàíçèòèâíîå è ñèììåòðè÷íîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå À è δR ∪ ρR = A, òî R åñòü ýêâèâàëåíòíîñòü íà À.
8. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå îòíîøåíèå R, ñèììåòðè÷íîå è àíòèñèììåòðè÷íîå îäíîâðåìåííî, ÿâëÿåòñÿ òðàíçèòèâíûì.
9. Äîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå R íà ìíîæåñòâå À ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî ýêâèâàëåíòíîñòüþ è ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì â òîì è òîëüêî
òîì ñëó÷àå, êîãäà R = iA.
25
§ 3. Ñïåöèàëüíûå áèíàðíûå îòíîøåíèÿ
10. Íà ìíîæåñòâàõ N è N ½ N îïðåäåëèì Rm, Q, S ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
(à) ⟨a, b⟩ ∈ Rm ⇔ (a − b) äåëèòñÿ íà m (m > 0);
(á) ⟨⟨a, b⟩, ⟨c, d⟩⟩ ∈ Q ⇒ a + d = b + c;
(â) ⟨⟨a, b⟩, ⟨c, d⟩⟩ ∈ S ⇒
⇒ [((a · d = b · c) è b ≠ 0 è d ≠ 0) èëè (a = c, b = 0, d = 0)].
Äîêàçàòü, ÷òî Rm, Q è S ÿâëÿþòñÿ îòíîøåíèÿìè ýêâèâàëåíòíîñòè.
11. Ïóñòü À ìíîæåñòâî âñåõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè. ßâëÿþòñÿ ëè
ýêâèâàëåíòíîñòÿìè ñëåäóþùèå îòíîøåíèÿ:
(à) ïàðàëëåëüíîñòü ïðÿìûõ;
(á) ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü ïðÿìûõ?
12. Íà ìíîæåñòâå D äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë îïðåäåëèì îòíîøåíèå R ñëåäóþùèì îáðàçîì:
αR β ⇔ (α − β) ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî.
Äîêàçàòü, ÷òî R åñòü ýêâèâàëåíòíîñòü.
13. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè R ýêâèâàëåíòíîñòü, òî:
(à) x ∈ [x]R;
(á) ⟨x, y⟩ ∈ R ⇔ [x]R = [y]R.
14. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè R åñòü ýêâèâàëåíòíîñòü, òî R−1 åñòü òàêæå
ýêâèâàëåíòíîñòü.
15. Ïóñòü R ⊆ À 2. Äîêàçàòü, ÷òî
R åñòü ýêâèâàëåíòíîñòü ⇔ (R · R−1) ∪ iA = R.
16. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè R1 è R2 ýêâèâàëåíòíîñòè íà À, òî:
(à) R1 · R2 = A 2 ⇔ R1 = A 2;
(à) R1 · R2 = A 2 ⇔ R2 · R1 = A 2.
17. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå
ìåæäó êëàññîì âñåõ ðàçáèåíèé ìíîæåñòâà À íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ
íåïóñòûå ïîäìíîæåñòâà è ñåìåéñòâîì âñåõ îòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíîñòè íà À. (Ñåìåéñòâî {Ai}i∈I íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèåì À, åñëè U Ai = A
i ∈I
è ìíîæåñòâà Ai ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ.)
18. Äîêàçàòü, ÷òî R òîãäà è òîëüêî òîãäà ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì
ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå À, êîãäà ñóùåñòâóåò ñèñòåìà P ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ òàêàÿ, ÷òî
R = U C ×C
C ∈2
è
U C = A.
C ∈2
26
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
19. Ïóñòü f : A → B ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîëîæèì
Q = {⟨x, y⟩ | f (x) = f (y)}.
Äîêàçàòü, ÷òî Q ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòüþ íà À è äëÿ îòîáðàæåíèÿ f ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå
f = ε · f1 ,
ãäå ε åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå À íà À/Q = {[x]Q | x ∈ A}, ò.å.
ε(x) = [x]Q, f1 âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó A/Q è
f (A).
20. Äîêàçàòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ëþáîé ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíîñòåé
íà ìíîæåñòâå À åñòü ýêâèâàëåíòíîñòü íà À.
21. Äîêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå R1 ∪ R2 ýêâèâàëåíòíîñòåé R1 è R2
ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòüþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà R1 ∪ R2 =
= R1 · R2.
22. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå R1 · R2 äâóõ ýêâèâàëåíòíîñòåé R1
è R2 òîãäà è òîëüêî òîãäà ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòüþ, êîãäà
R1 · R2 = R2 · R1.
23. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè R1 è R2 ýêâèâàëåíòíîñòè è R1 · R2 = R2 · R1,
òî R1 + R2 = R1 · R2, ãäå R1 + R2 íàèìåíüøåå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, âêëþ÷àþùåå R1 ∪ R2.
24. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ñåìåéñòâà ýêâèâàëåíòíîñòåé {Ri}i∈I
ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíîñòü Q òàêàÿ, ÷òî U Ri ⊆ Q è äëÿ âñÿêîãî
i ∈I
îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè R, åñëè U Ri ⊆ R , òî Q ⊆ R.
i ∈I
25. Äîêàçàòü, ÷òî
n
pn +1 = ∑ Cni pi
i =0
( p0 = 1),
ãäå pn ÷èñëî ýêâèâàëåíòíîñòåé íà ìíîæåñòâå èç n ýëåìåíòîâ.
26. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ äàííîãî ìíîæåñòâà ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííî îòíîøåíèåì âêëþ÷åíèÿ ⊆.
27. Ïóñòü ≤ è < íà ìíîæåñòâå N = {0, 1, 2, ...} îïðåäåëÿþòñÿ
îáû÷íûì îáðàçîì. Äîêàçàòü, ÷òî < · < ≠ <; ≤ · < = <; ≤ · ≥ = N 2.
28. Äîêàçàòü, ÷òî iA åñòü ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà À.
29. Ïóñòü a ≤ b ⇔ a, b ∈ N è à äåëèò b. Ñ÷èòàåì, ÷òî 0 äåëèò 0.
Äîêàçàòü, ÷òî ≤ ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà N.
§ 3. Ñïåöèàëüíûå áèíàðíûå îòíîøåíèÿ
27
30. (à) Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî
ñîäåðæèò íå áîëåå îäíîãî íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøåãî) ýëåìåíòà.
(á) Äîêàçàòü, ÷òî íàèáîëüøèé (íàèìåíüøèé) ýëåìåíò ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ìàêñèìàëüíûì (ìèíèìàëüíûì) ýëåìåíòîì.
(â) Ïîñòðîèòü ïðèìåð ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà,
èìåþùåãî òî÷íî îäèí ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò, íî íå èìåþùåãî
íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà.
31. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè R ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê, òî R −1 ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê.
32. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè {Ri}i∈I ñèñòåìà ÷àñòè÷íûõ ïîðÿäêîâ íà
ìíîæåñòâå À, òî I Ri ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå À.
i∈I
33. Äîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå R íà ìíîæåñòâå À åñòü ïðåäïîðÿäîê
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà R = (R · R) ∪ iA.
34. Ïóñòü R îòíîøåíèå ïðåäïîðÿäêà íà À. Ïîëîæèì
à ∼ b ⇔ ⟨a, b⟩ ∈ R è ⟨b, a⟩ ∈ R.
Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ∼ åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà A;
(á) åñëè à ∼ a1, b ∼ b1, ⟨a, b⟩ ∈ R, òî ⟨a1, b1⟩ ∈ R;
(â) R1 åñòü îòíîøåíèå ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà íà A/∼, ãäå
⟨[a], [b]⟩ ∈ R1 ⇔ ⟨a, b⟩ ∈ R.
35. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè R ÷àñòè÷íûé (ëèíåéíûé, ïîëíûé)
ïîðÿäîê íà Õ è À ⊆ Õ, òî R ∩ À 2 åñòü ÷àñòè÷íûé (ëèíåéíûé, ïîëíûé) ïîðÿäîê íà À.
36. Ïóñòü ≤ ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà À. Äîêàçàòü, ÷òî < èððåôëåêñèâíî è òðàíçèòèâíî.
37. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè íåêîòîðîå îòíîøåíèå < íà À èððåôëåêñèâíî è òðàíçèòèâíî, òî îòíîøåíèå
õ ≤ ó ⇔ õ < ó èëè õ = ó
åñòü ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà À.
38. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè À è A1 ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà è f : À → À1 ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ, îñóùåñòâëÿþùàÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó A è A1, òî f −1 ìîæåò íå
áûòü ìîíîòîííîé.
Ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà À ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî.
28
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
39. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî À
èçîìîðôíî íåêîòîðîé ñèñòåìå ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà À, óïîðÿäî÷åííîé âêëþ÷åíèåì ⊆.
40. Ïóñòü R1 è R2 ëèíåéíûå ïîðÿäêè íà ìíîæåñòâå À. Êîãäà
R1 · R2 ëèíåéíûé ïîðÿäîê?
41. (à) Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå íåïóñòîå êîíå÷íîå ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî À ñîäåðæèò ìèíèìàëüíûé è ìàêñèìàëüíûé
ýëåìåíòû.
(á) Ïóñòü ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî À êîíå÷íî. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà à ∈ À ñóùåñòâóþò ýëåìåíòû b è c èç
À òàêèå, ÷òî à ≤ b è b åñòü ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò â À, c ≤ a è ñ åñòü
ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò â À.
42. Ïîñòðîèòü ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå:
(à) N 2 ;
(á) N ∪ N 2 ∪ N 3 ∪ ... ∪ N n ∪ ...;
(â) B êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
43. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ìîæíî ëèíåéíî
óïîðÿäî÷èòü.
44. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêèé ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê R íà êîíå÷íîì
ìíîæåñòâå À ìîæåò áûòü ïðîäîëæåí äî ëèíåéíîãî ïîðÿäêà R ⊆ Q
íà ìíîæåñòâå À (ñì. òàêæå çàäà÷ó 69 èç § 5).
45. Ïóñòü À ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, â êîòîðîì
êàæäàÿ öåïü èìååò íå áîëåå ò ýëåìåíòîâ, à ëþáîå ïîäìíîæåñòâî
ïîïàðíî íåñðàâíèìûõ ýëåìåíòîâ ñîñòîèò íå áîëåå ÷åì èç ï ýëåìåíòîâ. Ïîêàçàòü, ÷òî À èìååò íå áîëåå ò · ï ýëåìåíòîâ.
46. Ïóñòü ≤A åñòü ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå À, ≤B ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå Â. Íàçîâåì ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì
÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ À è  ìíîæåñòâî À ½  ñ çàäàííûì íà íåì îòíîøåíèåì ≤:
⟨a1, b1⟩ ≤ ⟨a2, b2⟩ ⇔ a1 ≤A a2 è b1 ≤A b2.
Äîêàçàòü, ÷òî ≤ åñòü ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà À ½ Â.
47. Ïóñòü À ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, à, b ∈ À è
a ≤ b. Íàçîâåì ñåãìåíòîì ìíîæåñòâî [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}. Ïîêàçàòü
÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ñåãìåíòîâ ìíîæåñòâà À, ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ïî âêëþ÷åíèþ, èçîìîðôíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó ïðÿìîãî
ïðîèçâåäåíèÿ À è äâîéñòâåííîãî ê íåìó ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî
ìíîæåñòâà.
§ 3. Ñïåöèàëüíûå áèíàðíûå îòíîøåíèÿ
29
48. Íàçîâåì ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî À ñàìîäâîéñòâåííûì, åñëè îíî èçîìîðôíî äâîéñòâåííîìó ê íåìó ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîìó ìíîæåñòâó. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) èìåþòñÿ â òî÷íîñòè äâà íåèçîìîðôíûõ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûõ äâóõýëåìåíòíûõ ìíîæåñòâà, êàæäîå èç êîòîðûõ ñàìîäâîéñòâåííî;
(á) èìååòñÿ ïÿòü ïîïàðíî íåèçîìîðôíûõ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûõ
ìíîæåñòâ, èìåþùèõ òðè ýëåìåíòà, è òðè èç íèõ ñàìîäâîéñòâåííû.
49*. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî À
óäîâëåòâîðÿåò:
(1) óñëîâèþ ìèíèìàëüíîñòè, åñëè âñÿêîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî Ì ìíîæåñòâà À îáëàäàåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíèì ìèíèìàëüíûì ýëåìåíòîì;
(2) óñëîâèþ îáðûâà óáûâàþùèõ öåïåé, åñëè âñÿêàÿ ñòðîãî óáûâàþùàÿ öåïü â À êîíå÷íà;
(3) óñëîâèþ èíäóêòèâíîñòè, åñëè äëÿ ëþáîãî ñâîéñòâà Ò âûïîëíåíî ñëåäóþùåå:
ïóñòü äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a ∈ A èç ñïðàâåäëèâîñòè ñâîéñòâà Ò
äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ, ñòðîãî ìåíüøèõ à, âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü Ò
äëÿ à, òîãäà ñâîéñòâîì Ò îáëàäàþò âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà À.
Äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü âñåõ ýòèõ óñëîâèé.
50. Äîêàçàòü, ÷òî ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ìèíèìàëüíîñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åãî
öåïè âïîëíå óïîðÿäî÷åíû.
51*. Îïèñàòü âñå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà À, îáëàäàþùèå òàêèì ñâîéñòâîì, ÷òî äëÿ ëþáûõ à ≤ b ñóùåñòâóåò òîëüêî
êîíå÷íîå ÷èñëî ñ òàêèõ, ÷òî à ≤ ñ ≤ b.
52. Íàéòè âñå ìíîæåñòâà Ì òàêèå, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîëíûé ïîðÿäîê R òàêîé, ÷òî R −1 òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ïîðÿäêîì íà Ì.
53. Ïóñòü ϕ: À ½ À → À è äëÿ âñåõ õ, ó, z ∈ A
ϕ(õ, ó) = ϕ(ó, õ),
ϕ(x, ϕ(y, z)) = ϕ(ϕ(x, ó), z),
ϕ(x, x) = x.
Îïðåäåëèì õ ≤ ó ⇔ ϕ(õ, ó) = õ. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ≤ åñòü ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà À;
(á) ϕ(õ, ó) åñòü òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü îòíîñèòåëüíî ïîðÿäêà ≤.
54. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Ð (À), ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ïî âêëþ÷åíèþ, èìååò òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü è
òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü.
55. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ëþáîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî åñòü ðåøåòêà;
30
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
(á) ñåìåéñòâî âñåõ ýêâèâàëåíòíîñòåé íà ìíîæåñòâå À åñòü ðåøåòêà.
56. Äîêàçàòü, ÷òî â ðåøåòêå ëþáîé ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì, à ëþáîé ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì.
57. Äîêàçàòü, ÷òî â ëþáîé êîíå÷íîé ðåøåòêå ñóùåñòâóþò íàèáîëüøèé è íàèìåíüøèé ýëåìåíòû.
58. Ïðèâåñòè ïðèìåðû ðåøåòîê:
(à) áåç íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà, íî ñ íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì;
(á) áåç íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà, íî ñ íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì;
(â) áåç íàèáîëüøåãî è áåç íàèìåíüøåãî ýëåìåíòîâ.
59. Äîêàçàòü, ÷òî â ëþáîé ðåøåòêå âûïîëíåíû òîæäåñòâà:
(l1) x ∪ y = y ∪ x,
(l2) õ ∩ ó = ó ∩ õ,
(l3) x ∪ (y ∪ z) = (x ∪ y) ∪ z,
(l4) x ∩ (y ∩ z) = (õ ∩ ó) ∩ z,
(l5) (õ ∩ y) ∪ y = ó,
(l6) x ∩ (x ∪ y) = ó.
60. Ïóñòü íà ìíîæåñòâå Ì çàäàíû äâóìåñòíûå ôóíêöèè ∪ è ∩,
óäîâëåòâîðÿþùèå òîæäåñòâàì (l1)(l6) èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è.
(à) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ õ, ó ∈ M x ∪ y = ó òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà õ ∩ ó = õ.
(á) Îïðåäåëèì õ ≤ ó ⇔ õ ∩ ó = õ. Äîêàçàòü, ÷òî Ì åñòü ðåøåòêà
îòíîñèòåëüíî ≤, ïðè÷åì òî÷íàÿ íèæíÿÿ è òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíè
ýëåìåíòîâ õ è ó ñîâïàäàþò ñ õ ∩ ó è x ∩ y ñîîòâåòñòâåííî.
61. Äîêàçàòü, ÷òî âî âñÿêîé áóëåâîé àëãåáðå Ì:
(à) ñóùåñòâóåò íàèìåíüøèé ýëåìåíò 0 è íàèáîëüøèé ýëåìåíò 1;
(á) äëÿ âñÿêîãî a ≤ M äîïîëíåíèå (−a) åäèíñòâåííî;
(â) b = −à ⇔ a ∩ b = 0 è a ∪ b = 1;
(ã) −(a ∩ b) = (−a) ∪ (−b);
(ä) −(a ∪ b) = (−a) ∩ (−b);
(e) a ≤ b ⇔ a ∩ (−b) = 0.
62. Äîêàçàòü, ÷òî àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ, óïîðÿäî÷åííàÿ âêëþ÷åíèåì, åñòü áóëåâà àëãåáðà.
63. Äîêàçàòü, ÷òî 1 ∈ D è 0 ∉ D äëÿ ëþáîãî ôèëüòðà D.
64. Ïóñòü Ì áóëåâà àëãåáðà, À ⊆ Ì. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè
à1 ∩ ... ∩ àn ≠ 0 äëÿ ëþáîãî ï > 0 è ëþáûõ ýëåìåíòîâ à1, ..., àn ∈ A,
òî ìíîæåñòâî
D = {õ | õ ∈ Ì, à ∩ ... ∩ àn ≤ õ äëÿ íåêîòîðûõ à1, ..., àn ∈ A}
åñòü ôèëüòð íà Ì.
65. Ïóñòü D ôèëüòð íà áóëåâîé àëãåáðå Ì è (x ∪ y) ∈ D. Äîêàçàòü
÷òî ñóùåñòâóåò ôèëüòð D1 ⊇ D òàêîé, ÷òî x ∈ D1 èëè y ∈ D1.
§ 4. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà
31
66. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ôèëüòðà D ñëåäóþùèå óñëîâèÿ
ýêâèâàëåíòíû:
(à) D åñòü ìàêñèìàëüíûé ôèëüòð;
(á) D åñòü ïðîñòîé ôèëüòð;
(â) D åñòü óëüòðàôèëüòð.
67*. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîé ôèëüòð íà áóëåâîé àëãåáðå Ì ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì ìàêñèìàëüíîì ôèëüòðå íà Ì.
68. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ a, b áóëåâîé àëãåáðû Ì,
åñëè íåâåðíî, ÷òî à ≤ b, òî ñóùåñòâóåò ïðîñòîé ôèëüòð D òàêîé,
÷òî a ∈ D è b ∉ D.
69. Ïóñòü Ì áóëåâà àëãåáðà, P ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ
ôèëüòðîâ íà Ì. Ïîëîæèì äëÿ a ∈ M
h(a) = {D | a ∈ D ∈ P }.
Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî
S = {h(a) | a ∈ M}
åñòü àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà P.
70. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ áóëåâà àëãåáðà èçîìîðôíà íåêîòîðîé
àëãåáðå ïîäìíîæåñòâ ïîäõîäÿùåãî ìíîæåñòâà (òåîðåìà Ñòîóíà).
71. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîé ôèëüòð íà êîíå÷íîé áóëåâîé àëãåáðå
èìååò íàèìåíüøèé ýëåìåíò.
72. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ êîíå÷íàÿ áóëåâà àëãåáðà èçîìîðôíà àëãåáðå âñåõ ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà.
§ 4. ÊÀÐÄÈÍÀËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ
Ìíîæåñòâî À íàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòíûì ìíîæåñòâó  (ñèìâîëè÷åñêè À ∼ Â), åñëè ìåæäó À è  ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå.
Ìîùíîñòüþ ìíîæåñòâà À íàçûâàåòñÿ êëàññ âñåõ ìíîæåñòâ, ýêâèâàëåíòíûõ ìíîæåñòâó À, è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A . Ýêâèâàëåíòíûå
ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ òàêæå ðàâíîìîùíûìè.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç ï ìîùíîñòü ìíîæåñòâà Nn = {0, 1, ..., ï − 1},
ãäå n ≤ N. Êàæäîå ìíîæåñòâî À, ýêâèâàëåíòíîå Nn äëÿ íåêîòîðîãî ï, íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì, à ï ÷èñëîì ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà À.
Ìíîæåñòâî, íå ÿâëÿþùååñÿ êîíå÷íûì, íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íûì.
Êàæäîå ìíîæåñòâî A, ýêâèâàëåíòíîå ìíîæåñòâó N = {0, 1, 2, ...},
íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíûì è åãî ìîùíîñòü îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ℵ0.
Êàæäîå ìíîæåñòâî À, ýêâèâàëåíòíîå ìíîæåñòâó äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë D, íàçûâàåòñÿ êîíòèíóàëüíûì è åãî ìîùíîñòü îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ñ.
!
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
Ìîùíîñòè ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ íàçûâàþòñÿ êàðäèíàëüíûìè
÷èñëàìè. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ íàçûâàþòñÿ êîíå÷íûìè, äëÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ áåñêîíå÷íûìè. Êàðäèíàëüíîå ÷èñëî ñ íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ êîíòèíóóìà.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî A ≤ B , åñëè À ýêâèâàëåíòíî íåêîòîðîìó
ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà Â. Åñëè A ≤ B , à À è Â íå ýêâèâàëåíòíû,
òî ñêàæåì, ÷òî A < B .
1. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) A ∼ À (ðåôëåêñèâíîñòü);
(á) åñëè À ∼ Â, òî  ∼ À (ñèììåòðè÷íîñòü);
(â) åñëè À ∼ Â è Â ∼ Ñ, òî À ∼ Ñ (òðàíçèòèâíîñòü).
2. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) A ∼ Â ⇔ A = B ;
(á) A1 = A 2 , B1 = B 2 è A1 ≤ B1 ⇒ A 2 ≤ B 2 ;
(â) åñëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ èç À íà Â, òî B ≤ A .
3*. Ïóñòü À2 ⊆ À1 ⊆ À è A ∼ A2. Äîêàçàòü, ÷òî A ∼ A1.
4. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A ≤ B è B ≤ A , òî A = B (òåîðåìà ÊàíòîðàÁåðíøòåéíà).
5. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) âñÿêîå ïîäìíîæåñòâî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íî;
(á) îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ êîíå÷íî;
(â) ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ
êîíå÷íî.
6. (à) Äîêàçàòü, ÷òî êîíå÷íîå ìíîæåñòâî íå ýêâèâàëåíòíî íèêàêîìó ñâîåìó ñîáñòâåííîìó ïîäìíîæåñòâó è íèêàêîìó ñîáñòâåííîìó íàäìíîæåñòâó.
(á) Äîêàçàòü, ÷òî äâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâà ýêâèâàëåíòíû òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ñîäåðæàò îäèíàêîâîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ.
(â) Äîêàçàòü, ÷òî êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî ìíîãî.
7. Äîêàçàòü, ÷òî èç âñÿêîãî áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ìîæíî âûäåëèòü ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî.
8. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî òîãäà è òîëüêî òîãäà áåñêîíå÷íî, êîãäà
îíî ýêâèâàëåíòíî íåêîòîðîìó ñîáñòâåííîìó ïîäìíîæåñòâó.
9. Ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå ïîäìíîæåñòâî ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ñ÷åòíî èëè êîíå÷íî.
10. (à) Ïóñòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñ÷åòíà. Äîêàçàòü,
÷òî îáëàñòü çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè êîíå÷íà èëè ñ÷åòíà.
§ 4. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà
!!
(á) Äîêàçàòü, ÷òî íåïóñòîå ìíîæåñòâî À ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì èëè
êîíå÷íûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî åñòü ìíîæåñòâî çíà÷åíèé íåêîòîðîé ôóíêöèè èç N â À.
11. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè èç ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà óäàëèòü êîíå÷íîå
ïîäìíîæåñòâî, òî îñòàâøååñÿ ìíîæåñòâî áóäåò ñ÷åòíûì.
12. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè À è  ñ÷åòíû, òî A ∪ B ñ÷åòíî;
(á) åñëè âñå Ai êîíå÷íû, íåïóñòû è ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ,
òî 7 Ai ñ÷åòíî;
i∈N
(â) åñëè âñå Ai ñ÷åòíû, òî 7 Ai ñ÷åòíî.
i∈N
13. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè A áåñêîíå÷íî è  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî,
òî A ∪ B ∼ A;
(á) åñëè A áåñêîíå÷íî è íåñ÷åòíî,  êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî, òî
À\Â ∼ A.
14. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A1, ..., An (1 ≤ ï) ñ÷åòíû, òî ñ÷åòíî
ìíîæåñòâî A1 ½ ... ½ An.
15. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë ñ÷åòíî;
(á) ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñ÷åòíî;
(â) ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñåãìåíòà [a, b] ñ÷åòíî ïðè
à < b;
(ã) ìíîæåñòâî ïàð (õ, ó), ãäå õ è ó ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, ñ÷åòíî.
16. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòàâëåííûõ èç ýëåìåíòîâ íåêîòîðîãî ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà,
åñòü ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî.
17. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ñ÷åòíî.
18. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé
ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ñ÷åòíî.
19. Äîêàçàòü ñ÷åòíîñòü ìíîæåñòâà àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, ò.å. ÷èñåë, ÿâëÿþùèõñÿ êîðíÿìè ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé ñ
öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè.
20. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ îòêðûòûõ èíòåðâàëîâ íà äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî.
21*. Äîêàçàòü, ÷òî ìîùíîñòü ëþáîãî ìíîæåñòâà ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ áóêâ Ò íà ïëîñêîñòè íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíà.
34
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
22. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A ⊆ D è ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ
âñåõ ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ õ, ó èç À ñïðàâåäëèâî | õ − ó | ≥ δ, òî À
êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî.
23. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ìîíîòîííîé ôóíêöèè íà äåéñòâèòåëüíîé îñè íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî.
24. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) (0, 1) ∼ [0, 1] ∼ (0, 1] − [0, 1);
(á) [à, b] ∼ [ñ, d], ãäå a < b, c < d;
(â) [à, b] ∼ D.
25. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâà òî÷åê êâàäðàòà è îòðåçêà ýêâèâàëåíòíû.
26. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâà òî÷åê äâóõ îêðóæíîñòåé ýêâèâàëåíòíû.
27. Äîêàçàòü, ÷òî Dn ∼ Dm (1 ≤ n, ò).
28. Óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè êâàäðàòà è ïëîñêîñòè.
29*. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî òî÷åê ñåãìåíòà [0, 1] íåñ÷åòíî.
30. Êàêîâà ìîùíîñòü ìíîæåñòâà èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë?
31. Äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå òðàíñöåíäåíòíûõ (íåàëãåáðàè÷åñêèõ)
÷èñåë.
32. Äîêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî ÷èñëà
ìíîæåñòâ ìîùíîñòè ñ èìååò ìîùíîñòü ñ.
33*. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ñ÷åòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü ñ.
34. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ìíîæåñòâî âñåõ ñ÷åòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòàâëåííûõ
èç 0 è 1, èìååò ìîùíîñòü ñ;
(á) P ( N ) = c.
35. Äîêàçàòü, ÷òî:
(a) åñëè A i = ñ äëÿ âñåõ 1 ≤ i ≤ n, òî A1 × ... × An = c;
(á) åñëè A i = ñ äëÿ âñåõ i ∈ I è I = ℵ0, òî ∏ Ai = c.
i ∈I
36. Êàêîâà ìîùíîñòü ìíîæåñòâà:
(à) âñåõ ñ÷åòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë;
(á) âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé;
(â) âñåõ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé íà äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé?
§ 5. Îðäèíàëüíûå ÷èñëà
35
37. Ïóñòü À ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî òî÷åê íà äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé. Ìîæíî ëè âûáðàòü à òàê, ÷òîáû
{õ + a | x ∈ A} ∩ À = ∅?
38*. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà ñåãìåíòå [0, 1], èìååò ìîùíîñòü, áîëüøóþ ñ.
39. Äîêàçàòü, ÷òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà ñåãìåíòå [à, b] ïðè à < b è ðàçðûâíûõ õîòÿ áû â îäíîé
òî÷êå, áîëüøå ñ.
40*. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ Ð(À) ìíîæåñòâà
A èìååò ìîùíîñòü, áîëüøóþ À.
41. Ïóñòü À ñåìåéñòâî ìíîæåñòâ òàêîå, ÷òî äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà À èç À ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî Â èç À, íå ýêâèâàëåíòíîå
íèêàêîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà À. Äîêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå
âñåõ ìíîæåñòâ èç À íå ýêâèâàëåíòíî íèêàêîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà èç À.
42. Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùåãî âñå
ìíîæåñòâà.
43. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
b1, b2, ... ðàñòåò áûñòðåå, ÷åì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü à1, à2, ..., åñëè
a
lim n = 0 . Äîêàçàòü, ÷òî:
n →∞ b
n
(à) äëÿ êàæäîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ðàñòóùàÿ áûñòðåå åå;
(á) åñëè ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé À îáëàäàåò ñâîéñòâîì,
÷òî äëÿ êàæäîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè à1, à2, ... ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç À, ðàñòóùàÿ áûñòðåå, ÷åì à1, à2, ... òî ìíîæåñòâî À
íåñ÷åòíî.
§ 5. ÎÐÄÈÍÀËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ
Ïóñòü À è  ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâî À
íàçûâàåòñÿ ïîäîáíûì  (ñèìâîëè÷åñêè À Â), åñëè À è  èçîìîðôíû êàê ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà.
Ïîðÿäêîâûì òèïîì ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà À íàçûâàåòñÿ êëàññ âñåõ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ, ïîäîáíûõ À,
è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A . Ìîùíîñòüþ ïîðÿäêîâîãî òèïà A íàçûâàåòñÿ A . Áóäåì ñ÷èòàòü 0 ïîðÿäêîâûì òèïîì ∅.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç ï ïîðÿäêîâûé òèï ìíîæåñòâà
Nn = {0, 1, ..., ï − 1},
36
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
ãäå 0 < 1 < ... < n − 1 è n ∈ N. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ω, π, η, λ, ïîðÿäêîâûå òèïû ìíîæåñòâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, öåëûõ ÷èñåë, ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë è äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâåííî ñ èõ åñòåñòâåííûì ïîðÿäêîì.
Åñëè à åñòü ïîðÿäêîâûé òèï ìíîæåñòâà À, òî ÷åðåç à* îáîçíà÷èì ïîðÿäêîâûé òèï ìíîæåñòâà À ñ äâîéñòâåííûì ïîðÿäêîì.
Íàçîâåì íà÷àëüíûì îòðåçêîì, îòñåêàåìûì ýëåìåíòîì a ∈ A îò
ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà À, ìíîæåñòâî
Àa = {õ | x ∈ A, õ < à}.
Ïóñòü α è β ïîðÿäêîâûå òèïû ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ À è B ñ ïîðÿäêàìè ≤A è ≤B ñîîòâåòñòâåííî.
Ñóììîé ïîðÿäêîâûõ òèïîâ α è β íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîâûé òèï ìíîæåñòâà A ∪ B ñ ïîðÿäêîì ≤, îïðåäåëåííûì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
x ≤ ó ⇔ (x ∈ A, y ∈ B ) èëè (õ, ó ∈ À è õ ≤A ó) èëè (õ, y ∈ B è õ ∈B ó).
Ñóììà ïîðÿäêîâûõ òèïîâ α è β îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç α + β.
Ïóñòü äàíî ñåìåéñòâî ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ Ai ñ ïîðÿäêîâûìè òèïàìè αi è ïîðÿäêàìè ≤i
ñîîòâåòñòâåííî, ãäå i ∈ I, à I ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíî îòíîøåíèåì ≤I.
Ñóììîé ïîðÿäêîâûõ òèïîâ αi íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîâûé òèï ìíîæåñòâà 7 Ai ñ ïîðÿäêîì ≤, îïðåäåëåííûì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
i∈I
x ≤ ó ⇔ (õ, y ∈ Ai è õ ≤ i ó äëÿ íåêîòîðîãî i ∈ I )
èëè (x ∈ Ai , y ∈ Ai äëÿ íåêîòîðûõ i1 ≤ I i2).
1
2
Ñóììà ïîðÿäêîâûõ òèïîâ αi îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ∑ αi .
i ∈I
Ïóñòü α è β ïîðÿäêîâûå òèïû ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ À è  ñ ïîðÿäêàìè ≤A è ≤B ñîîòâåòñòâåííî. Ïðîèçâåäåíèåì
ïîðÿäêîâûõ òèïîâ α è β íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîâûé òèï ìíîæåñòâà À ½ Â
ñ ïîðÿäêîì ≤, îïðåäåëåííûì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
⟨õ1, ó1⟩ ≤ ⟨õ2, ó2⟩ ⇔ ⟨y1 <B ó2⟩ èëè (y1 = ó2 è x1 ≤A x2).
Ïðîèçâåäåíèå ïîðÿäêîâûõ òèïîâ α è β îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç α · β.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç αn âûðàæåíèå (... (α · α) · ... α) (ï ðàç).
Ïîðÿäêîâûå òèïû âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ íàçûâàþòñÿ
îðäèíàëüíûìè èëè ïîðÿäêîâûìè ÷èñëàìè. Åñëè α è β ïîðÿäêîâûå
÷èñëà, òî ãîâîðÿò, ÷òî α < β, åñëè ëþáîå ìíîæåñòâî A ïîðÿäêîâîãî
òèïà α èçîìîðôíî íåêîòîðîìó íà÷àëüíîìó îòðåçêó ìíîæåñòâà  ïîðÿäêîâîãî òèïà β; α ≤ β îçíà÷àåò, ÷òî α < β èëè α = β.
§ 5. Îðäèíàëüíûå ÷èñëà
37
Ïîðÿäêîâîå ÷èñëî α íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíûì, åñëè α ≠ 0 è
α = sup {β | β ïîðÿäêîâîå ÷èñëî è β < α}.
Âîçâåäåíèå â ñòåïåíü äëÿ ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
α0 = 1,
αξ+1 = αξ · α,
αβ = sup {αξ | ξ < β} äëÿ ïðåäåëüíîãî ïîðÿäêîâîãî ÷èñëà β.
1. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà ïîäîáíû, òî îíè è ýêâèâàëåíòíû.
2. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ìíîæåñòâî À, ýêâèâàëåíòíîå ëèíåéíî
óïîðÿäî÷åííîìó ìíîæåñòâó Â, ìîæíî ëèíåéíî óïîðÿäî÷èòü òàê,
÷òî À ñòàíåò ïîäîáíûì Â.
3. Ïóñòü À, Â, Ñ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà. Äîêàçàòü,
÷òî:
(à) À À (ðåôëåêñèâíîñòü);
(á) åñëè À Â, òî  À (ñèììåòðè÷íîñòü);
(â) åñëè À Â è Â Ñ, òî À Ñ (òðàíçèòèâíîñòü).
4. Ïóñòü À è  ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà. Äîêàçàòü,
÷òî åñëè A = B , òî A = B , íî îáðàòíîå íåâåðíî.
5. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî èç ï ýëåìåíòîâ ìîæíî ëèíåéíî óïîðÿäî÷èòü ï! ñïîñîáàìè.
6. Äîêàçàòü, ÷òî âñå êîíå÷íûå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà îäèíàêîâîé ìîùíîñòè ïîäîáíû ìåæäó ñîáîé.
7. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ óòâåðæäåíèå ïðåäûäóùåé çàäà÷è íåâåðíî.
8. Äîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà ïîäîáíû òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå
ñîîòâåòñòâèå, ÿâëÿþùååñÿ ìîíîòîííûì îòîáðàæåíèåì.
9. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà
À è ëþáûõ a, b ∈ A:
(à) à ∉ Àa;
(á) åñëè à íàèìåíüøèé ýëåìåíò À, òî Àa = ∅;
(â) Àa ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî;
(ã) åñëè à < b, òî (Ab)a = Àa.
10. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ îòðåçêîâ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà À, óïîðÿäî÷åííîå îòíîøåíèåì âêëþ÷åíèÿ, ïîäîáíî À.
38
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
11. Äîêàçàòü, ÷òî áåñêîíå÷íîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî À èìååò ïîðÿäêîâûé òèï ω òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî
óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
(à) â À èìååòñÿ íàèìåíüøèé ýëåìåíò à0,
(á) äëÿ ëþáîãî a ∈ A ñóùåñòâóåò òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü à ′ â
ìíîæåñòâå {õ | à < õ, x ∈ A} (à ′ íàçûâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèì çà à);
(â) äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà Õ ìíîæåñòâà À èç òîãî, ÷òî à0 ∈ Õ
è Õ ñîäåðæèò âìåñòå ñ êàæäûì ñâîèì ýëåìåíòîì íåïîñðåäñòâåííî
ñëåäóþùèé çà íèì ýëåìåíò, ñëåäóåò, ÷òî Õ = À.
12. Äîêàçàòü, ÷òî áåñêîíå÷íîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî èìååò ïîðÿäêîâûé òèï ω òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åãî
íà÷àëüíûå îòðåçêè êîíå÷íû.
13*. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ñ÷åòíîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî À èìååò ïîðÿäêîâûé òèï η òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà À
óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
(à) â À íåò íàèìåíüøåãî è íàèáîëüøåãî ýëåìåíòîâ;
(á) äëÿ ëþáûõ õ, ó ∈ À òàêèõ, ÷òî õ < ó, ñóùåñòâóåò z ∈ À òàêîé,
÷òî x < z < y (òàêîé ïîðÿäîê íàçûâàåòñÿ ïëîòíûì).
14*. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå ñ÷åòíîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ïîäîáíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà L ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.
15*. Ïóñòü À ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå
íå ìåíåå äâóõ ýëåìåíòîâ, Â = A ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ∪... Ïîëîæèì äëÿ
ëþáûõ õ1, ..., xn, ó1, ..., ym ∈ A (1 ≤ ï, ò)
⟨õ1, ..., xn⟩ ≤ ⟨ó1, ..., ym⟩ ⇔ (n ≤ m è x1 = y1, ..., xn = yn) èëè
(x1 = y1, ..., xi−1 = yi−1, xi < yi äëÿ íåêîòîðûõ i ≤ n è i ≤ m).
Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ≤ åñòü ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà Â;
(á) ëþáîå ñ÷åòíîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ïîäîáíî
íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà Â.
16. Äîêàçàòü, ÷òî ïîðÿäêîâûé òèï ëþáîãî èíòåðâàëà (íå ñåãìåíòà) äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë åñòü λ.
17*. Ïîäìíîæåñòâî  ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà À ñ
ïîðÿäêîì ≤ íàçûâàåòñÿ ïëîòíûì â A, åñëè äëÿ ëþáûõ à1, à2 ∈ A
ñóùåñòâóåò b ∈ B òàêîå, ÷òî à1 ≤ b ≤ à2 èëè à2 ≤ b ≤ à1. Äîêàçàòü, ÷òî
åñëè A ñîäåðæèò ñ÷åòíîå ïëîòíîå â À ïîäìíîæåñòâî, òî À ïîäîáíî
§ 5. Îðäèíàëüíûå ÷èñëà
39
íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë D ñ
åñòåñòâåííûì ïîðÿäêîì.
18. Ïîêàçàòü, ÷òî (α*)* = α äëÿ ëþáîãî ïîðÿäêîâîãî òèïà α.
19. Ïîêàçàòü, ÷òî π* = π, η* = η, λ* = λ, ω* ≠ ω.
20. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) äëÿ ëþáûõ ïîðÿäêîâûõ òèïîâ α è β ñóùåñòâóþò è îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû ïîðÿäêîâûå òèïû α + β è α · β;
(á) äëÿ ëþáîãî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà I è ëþáîãî
ñåìåéñòâà ïîðÿäêîâûõ òèïîâ {αi}i∈I ñóùåñòâóåò è îäíîçíà÷íî îïðå-
äåëåí ïîðÿäêîâûé òèï ∑ αi .
i ∈I
21. Ïðèâåñòè ïðèìåð ïîðÿäêîâûõ òèïîâ α è β òàêèõ, ÷òî
α + β ≠ β + α.
22. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) α + (β + γ) = (α + β) + γ;
(á) α + 0 = 0 + α = α;
(â) 2 + 3 = 5;
(ã) 1 + ω = ω, íî ω + 1 ≠ ω;
(ä) ω* + ω = π;
(å) η + η = η;
(æ) λ + 1 + λ = λ;
(ç) λ + λ ≠ λ;
(è) 1 + λ + 1 åñòü ïîðÿäêîâûé òèï ñåãìåíòà [a, b] ïðè à < b.
23. Ïðèâåñòè ïðèìåð ïîðÿäêîâûõ òèïîâ α è β òàêèõ, ÷òî
α · β ≠ β · α.
24. Äîêàçàòü, ÷òî:
(a) α · (β · γ) = (α · β) · γ;
(á) α · 0 = 0 · α = 0;
(â) α · 1 = 1 · α = α;
(ã) 2 · 2 = 4;
(ä) η2 = η;
(å) ω · η ≠ ω · (η + 1).
25. Ïîñòðîèòü ìíîæåñòâà ïîðÿäêîâûõ òèïîâ ω2, ω3, ω4, ...
26. (à) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîðÿäêîâûõ òèïîâ α, β è γ
α · (β + γ) = α · β + α · γ.
(á) Ïðèâåñòè ïðèìåð ïîðÿäêîâûõ òèïîâ α, β è γ òàêèõ, ÷òî
(α + β) · γ ≠ α · γ + β · γ.
40
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
27. Ïóñòü J è I ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, {Âi}i∈I
ñåìåéñòâî ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà
J òàêîå, ÷òî U Bi = J . Äîêàçàòü, ÷òî åñëè J = ∑ B i , òî äëÿ ëþáîãî
i ∈I
i ∈I
⎛
⎞
ñåìåéñòâà ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë {αj}j∈J èìååì ∑ α j = ∑ ⎜ ∑ α j ⎟ .
⎜
⎟
j ∈J
i ∈I ⎝ j ∈Bi
⎠
28. Äîêàçàòü, ÷òî α ⋅ β = ∑ αb , ãäå αb = α äëÿ âñåõ b ∈ Â è B = β.
29. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) (α + β)* = β* + α*;
(á) (α · β)* = α* · β*;
*
b∈B
⎛
⎞
*
(â) ⎜ ∑ αi ⎟ = ∑ αi , ãäå I ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæå⎝ i∈I ⎠
i∈I *
ñòâî, à I * åñòü ìíîæåñòâî I ñ äâîéñòâåííûì ïîðÿäêîì.
30. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) âñÿêîå êîíå÷íîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî âïîëíå
óïîðÿäî÷åíî;
(á) ìíîæåñòâî N, ãäå 0 < 1 < 2 < ..., âïîëíå óïîðÿäî÷åíî;
(â) ìíîæåñòâî N, ãäå 0 < 2 < 4 < ... < 1 < 3 < 5 < ..., âïîëíå
óïîðÿäî÷åíî;
(ã) ìíîæåñòâî N, ãäå ... < 3 < 2 < 1 < 0, íå ÿâëÿåòñÿ âïîëíå
óïîðÿäî÷åííûì.
31. ßâëÿþòñÿ ëè âïîëíå óïîðÿäî÷åííûìè ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà:
(à) ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë ñ èõ åñòåñòâåííûì ïîðÿäêîì;
(á) ìíîæåñòâî L ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñ îáû÷íûì ïîðÿäêîì ≤;
(â) ìíîæåñòâî D äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ñ îáû÷íûì ïîðÿäêîì ≤;
1
(ã) ìíîæåñòâî ÷èñåë âèäà 1 − , ãäå ï ïîëîæèòåëüíîå öåëîå
n
÷èñëî, ñ îáû÷íûì ïîðÿäêîì ≤ ?
32. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) âñÿêîå íåïóñòîå âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî èìååò íàèìåíüøèé ýëåìåíò;
(á) êàæäîå ïîäìíîæåñòâî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà
âïîëíå óïîðÿäî÷åíî.
33. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè À ∼  è À âïîëíå óïîðÿäî÷åíî, òî  ìîæíî
âïîëíå óïîðÿäî÷èòü òàê, ÷òîáû áûëî À Â.
34. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè À âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, òî
ó êàæäîãî ýëåìåíòà ìíîæåñòâà À, êðîìå íàèáîëüøåãî, èìååòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèé çà íèì ýëåìåíò (ñì. çàäà÷ó 11).
z
§ 5. Îðäèíàëüíûå ÷èñëà
41
35. Ìîæíî ëè âî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå âûäåëèòü
áåñêîíå÷íóþ óáûâàþùóþ öåïü ýëåìåíòîâ õ1 > õ2 > õ3 > ... ?
36. Äîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî âïîëíå óïîðÿäî÷åíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî íå ñîäåðæèò ïîäìíîæåñòâà òèïà ω*.
37. Ïóñòü À âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî. Äîêàçàòü, ÷òî
íå ñóùåñòâóåò òàêîãî ìîíîòîííîãî âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ f : À → À, ÷òîáû äëÿ íåêîòîðîãî ýëåìåíòà a ∈ A áûëî f (à) < à.
38. Äîêàçàòü, ÷òî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî íå ìîæåò
áûòü ïîäîáíûì ñâîåìó îòðåçêó èëè ÷àñòè ñâîåãî îòðåçêà.
39. Äîêàçàòü, ÷òî äâà ðàçëè÷íûõ îòðåçêà âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî
ìíîæåñòâà íå ìîãóò áûòü ïîäîáíûìè.
40. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîãî èçîìîðôèçìà äâóõ
âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ.
41*. Äîêàçàòü, ÷òî èç äâóõ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ îäíî
ïîäîáíî äðóãîìó èëè åãî îòðåçêó.
42. Äîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî êîíå÷íî
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî âïîëíå óïîðÿäî÷åíî îòíîñèòåëüíî
çàäàííîãî è îòíîñèòåëüíî äâîéñòâåííîãî ïîðÿäêîâ.
43. Ïóñòü À âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî,  ⊆ À è äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ A ìíîæåñòâî  óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ: åñëè Àx ⊆ Â,
òî õ ∈ Â. Äîêàçàòü, ÷òî Â = A (ïðèíöèï òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè).
44. Ïóñòü α, β ïðîèçâîëüíûå ïîðÿäêîâûå ÷èñëà. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) α < β èëè β < α èëè α = β;
(á) èç óêàçàííûõ âûøå óñëîâèé âûïîëíÿåòñÿ äëÿ α è β ëèøü îäíî.
45. Ïóñòü Wα = {β | β < α}, ãäå α è β ïîðÿäêîâûå ÷èñëà. Ïîêàçàòü, ÷òî W α = α .
46. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå ìíîæåñòâî ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë âïîëíå
óïîðÿäî÷åíî.
47. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë S :
(à) ñóùåñòâóåò ïîðÿäêîâîå ÷èñëî, áîëüøåå âñåõ ÷èñåë èç S ;
(á) ñðåäè ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë, íå ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó S,
ñóùåñòâóåò íàèìåíüøåå.
48. Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùåãî âñå
ïîðÿäêîâûå ÷èñëà.
49. Äîêàçàòü, ÷òî α + 1 åñòü ïîðÿäêîâîå ÷èñëî, íåïîñðåäñòâåííî
ñëåäóþùåå çà α (ñì. çàäà÷ó 11).
50. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïîðÿäêîâîãî ÷èñëà α èìååò ìåñòî
îäíî è òîëüêî îäíî èç óòâåðæäåíèé:
1) α = 0;
42
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
2) ìíîæåñòâî {β | β ïîðÿäêîâîå ÷èñëî è β < α} èìååò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò;
3) α ïðåäåëüíîå ïîðÿäêîâîå ÷èñëî.
51*. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ïîðÿäêîâîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå
α + ï, ãäå α åñòü ïðåäåëüíîå ïîðÿäêîâîå ÷èñëî èëè 0, ï íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
52. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ñóììà äâóõ ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë åñòü ïîðÿäêîâîå ÷èñëî;
(á) ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë åñòü ïîðÿäêîâîå ÷èñëî;
(â) óïîðÿäî÷åííàÿ ñóììà ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë, ãäå ìíîæåñòâî èíäåêñîâ âïîëíå óïîðÿäî÷åíî, åñòü ïîðÿäêîâîå ÷èñëî.
53. Ïóñòü I è {Ài}i∈I ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíû. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè Ai ≠ ∅
è ∑ Ai åñòü ïîðÿäêîâîå ÷èñëî, òî I è âñå A âïîëíå óïîðÿäî÷åíû.
i ∈I
54. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè A è  âïîëíå óïîðÿäî÷åíû è À ⊆ Â, òî A ≤ B ;
(á) α ≤ α + γ, α ≤ γ + α;
(â) α < β ⇔ γ + α < γ + β;
(ã) α ≤ β ⇒ α + γ ≤ β + γ;
(ä) γ + α = γ + β ⇒ α = β;
(å) α + γ < β + γ ⇒ α < β.
55. Ïðèâåñòè ïðèìåð ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë α, β è γ òàêèõ, ÷òî
α ≠ β è α + γ = β + γ.
56. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) α ≤ β ⇒ α · γ ≤ β · γ;
(á) α < β ⇒ γ · α < γ · β, ecëè γ ≠ 0;
(â) γ · α < γ · β ⇒ α < β;
(ã) γ · α = γ · β ⇒ α = β, åñëè γ ≠ 0;
(ä) α · γ < β · γ ⇒ α < β.
57. Ïóñòü β ≤ α. Ïîðÿäêîâîå ÷èñëî γ íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ α è β è
îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç α − β, åñëè α = β + γ.
Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) α − β ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî;
(á) γ ≤ β < α ⇒ β − γ < α − γ;
(â) γ ≤ β ≤ α ⇒ α − β ≤ α − γ;
(ã) β ≤ α ⇒ γ · (α − β) = γ · α − γ · β.
58. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè α1 + β1 = α2 + β2 è β2 < β1, òî α1 < α2;
(á)* åñëè γ < αβ, òî ñóùåñòâóþò è åäèíñòâåííû òàêèå δ è ε, ÷òî
δ < α, ε < β è γ = α · ε + δ;
§ 5. Îðäèíàëüíûå ÷èñëà
43
(â) åñëè β > 0, òî äëÿ ëþáîãî α ñóùåñòâóþò è åäèíñòâåííû
òàêèå γ è δ, ÷òî δ < β è α = β · γ + δ (òåîðåìà î äåëåíèè ñ îñòàòêîì).
59. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë α0 è α1, åñëè
α0 ≠ 0 è α1 ≠ 0, òî ñóùåñòâóþò íàòóðàëüíîå ÷èñëî ï è ïîðÿäêîâûå
÷èñëà α2, ..., αn, β1, β2, ..., βn òàêèå, ÷òî α1 > α2 > ... > αn > 0 è α0 =
= α1 · β1 + α2, α1 = α2 · β2 + α3, ..., αn−2 = αn−l · βn−l + αn, αn−1 = αn · βn
(àëãîðèòì Åâêëèäà).
60. Ïóñòü ñâîéñòâî P òàêîâî, ÷òî äëÿ ëþáîãî îðäèíàëüíîãî ÷èñëà α èç òîãî, ÷òî âñå îðäèíàëüíûå ÷èñëà β < α îáëàäàþò ñâîéñòâîì
Ð, ñëåäóåò, ÷òî α îáëàäàåò ñâîéñòâîì P. Äîêàçàòü, ÷òî âñå îðäèíàëüíûå ÷èñëà îáëàäàþò ñâîéñòâîì P (ïðèíöèï òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè äëÿ îðäèíàëüíûõ ÷èñåë).
61. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë α è β ñóùåñòâóåò
è åäèíñòâåííî αβ.
62. Ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî ïîðÿäêîâîãî òèïà ωω.
63*. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè α < β è γ > l, òî γα < γβ;
(á) αβ+γ = αβ · αγ;
(â) (αβ)γ = αβ · γ.
64*. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè ωγ = α + β è β ≠ 0, òî β = ωγ;
(á) åñëè α > 1 è β ≥ 1, òî αβ ≥ α · β;
(â) åñëè α > 1 è β ≥ 1, òî ñóùåñòâóþò è îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû
ξ, γ è δ òàêèå, ÷òî
β = αξ · γ + δ è γ < α, δ < αξ;
(ã) åñëè γ > 1 è 1 ≤ α < γδ, òî ñóùåñòâóþò íàòóðàëüíîå ÷èñëî ï è
òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë β1, β2, ..., βn è δ1, δ2, ...,
..., δn, ÷òî
α = γδ1 · β1 + γδ2 · β2 + ... + γδn · βn,
δ > δ1 > δ2 > . . . > δn è 0 ≤ βi < γ äëÿ i = 1, 2, ...
65*. Ìíîæåñòâî 5 íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíûì, åñëè îòíîøåíèå
Õ ≤ Y ⇒ (X = Y èëè X ∈ Y )
âïîëíå óïîðÿäî÷èâàåò 5, ∅ ∈ 5 è åñëè èç Õ ∈ Y, Y ∈ 5 ñëåäóåò
X ∈ 5. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïîðÿäêîâîãî ÷èñëà α ≥ 0 ñóùåñòâóåò
è åäèíñòâåííî òðàíçèòèâíîå ìíîæåñòâî, óïîðÿäî÷åííîå ïî òèïó α.
44
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
66*. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ àêñèîìîé âûáîðà.
(1) Àêñèîìà âûáîðà. Ïóñòü Õa íåïóñòîå ìíîæåñòâî äëÿ ëþáîãî
a ∈ A. Òîãäà ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ âûáîðà f : A → 7 X a òàêàÿ, ÷òî
a∈A
f (a) ∈ Xa äëÿ ëþáîãî a ∈ A.
Äîêàçàòü, ÷òî êàæäîå èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé ýêâèâàëåíòíî
àêñèîìå âûáîðà.
(2) Ëåììà Öîðíà. ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, êàæäîå
èç ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ïîäìíîæåñòâ êîòîðîãî èìååò âåðõíþþ
ãðàíü, ñîäåðæèò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò.
(3) Ïðèíöèï ìàêñèìàëüíîñòè ÊóðàòîâñêîãîÕàóñäîðôà. Êàæäàÿ
öåïü ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîé
ìàêñèìàëüíîé öåïè.
(4) Àêñèîìà Öåðìåëî. Äëÿ ëþáîãî ñåìåéñòâà 5 íåïóñòûõ ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ ñóùåñòâóåò òàêîå ìíîæåñòâî Ñ,
÷òî A ∩ Ñ äëÿ êàæäîãî A ∈ 5 ñîñòîèò ðîâíî èç îäíîé òî÷êè.
(5) Òåîðåìà Öåðìåëî. Êàæäîå ìíîæåñòâî ìîæíî âïîëíå óïîðÿäî÷èòü.
(6) Ëåììà ÒåéõìþëëåðàÒüþêè. Êàæäîå ñåìåéñòâî ìíîæåñòâ,
èìåþùåå êîíå÷íûé õàðàêòåð, îáëàäàåò ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì.
(Ñåìåéñòâî 5 ìíîæåñòâ èìååò êîíå÷íûé õàðàêòåð, åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ: Õ ∈ 5 ⇔ êàæäîå êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Õ ïðèíàäëåæèò 5.)
67. Ïóñòü À ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, â êîòîðîì
êàæäàÿ öåïü èìååò âåðõíþþ ãðàíü, è à ∈ À. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò m ∈ A òàêîé, ÷òî ò ≥ à.
68. Ïóñòü A ìíîæåñòâî ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Â òàêîå, ÷òî
äëÿ êàæäîé öåïè Ñ (ïîðÿäîê ïî âêëþ÷åíèþ) îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ èç Ñ ïðèíàäëåæèò À. Äîêàçàòü, ÷òî òîãäà À èìååò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò.
69*. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà R íà ìíîæåñòâå À ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé ïîðÿäîê L íà ìíîæåñòâå À òàêîé, ÷òî
R ⊆ L.
§ 6. ÄÅÉÑÒÂÈß ÍÀÄ ÊÀÐÄÈÍÀËÜÍÛÌÈ ×ÈÑËÀÌÈ
Êàðäèíàëüíîå ÷èñëî m íàçûâàåòñÿ ñóììîé êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë n1
è n2 è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç n1 + n2 åñëè êàæäîå ìíîæåñòâî ìîùíîñòè
m ýêâèâàëåíòíî îáúåäèíåíèþ äâóõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ
ìîùíîñòåé n1 è n2. Àíàëîãè÷íî, êàðäèíàëüíîå ÷èñëî m íàçûâàåòñÿ
ñóììîé êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë ni (i ∈ I) è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç m = ∑ ni ,
i∈I
45
§ 6. Äåéñòâèÿ íàä êàðäèíàëüíûìè ÷èñëàìè
åñëè êàæäîå ìíîæåñòâî ìîùíîñòè m ýêâèâàëåíòíî 7 Ai , ãäå Ai = ni
i∈I
è âñå Ài ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ.
Êàðäèíàëüíîå ÷èñëî m íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì êàðäèíàëüíûõ
÷èñåë n1 è n2 è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç n1 · n2, åñëè êàæäîå ìíîæåñòâî
ìîùíîñòè m ýêâèâàëåíòíî A ½ B, ãäå À è Â èìåþò ìîùíîñòè n1, n2.
Àíàëîãè÷íî, êàðäèíàëüíîå ÷èñëî m íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë ni (i ∈ I) è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç m = ∏ ni , åñëè
i∈I
êàæäîå ìíîæåñòâî ìîùíîñòè m ýêâèâàëåíòíî ∏ Ai , ãäå A i = ni.
i∈I
Êàðäèíàëüíîå ÷èñëî m íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë
n1 è n2 è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç n1n2, åñëè êàæäîå ìíîæåñòâî ìîùíîñòè
m ýêâèâàëåíòíî ÀB, ãäå À è Â èìåþò ìîùíîñòè n1 è n2.
1. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìîùíîñòåé m è n âûïîëíÿåòñÿ
îäíî è òîëüêî îäíî èç óñëîâèé m = n, m < n èëè n < m (òðèõîòîìèÿ).
2. Äîêàçàòü, ÷òî êàðäèíàëüíûå ÷èñëà ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíû îòíîøåíèåì ≤.
3. Äîêàçàòü, ÷òî ñðåäè êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë íåò íàèáîëüøåãî.
4. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) 3 + 5 = 8;
(á) ï + ℵ0 = ℵ0, ãäå ï êîíå÷íîå;
(â) ℵ0 + ℵ0 = ℵ0;
(ã) ℵ0 + ñ = ñ;
(ä) ñ + ñ = ñ.
5. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ À1, À2 ñóùåñòâóþò ìíîæåñòâà Â1, Â2
òàêèå, ÷òî À1 ∼ Â1, A2 ∼ Â2 è Â1 ∩ B2 = ∅;
(á) ñóììà äâóõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë âñåãäà ñóùåñòâóåò.
6. Äîêàçàòü äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë:
(à) n1 + n2 = n2 + n1;
(á) n1 + (n2 + n3) = (n1 + n2) + n3;
(â) n + 0 = n.
7. Ïóñòü À, Â, Ñ, À1, ..., Àn êîíå÷íûå ìíîæåñòâà. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) A 7 B = A + B − A 1 B ;
(á) A 7 B 7 C = A + B + C − A 1 B − A 1 C − B 1 C + A 1 B 1 C ;
46
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
n
n
⎛ n
⎞
(â) ⎜ 7 Ai ⎟ = ∑ A i + ... + ( −1)k −1 ∑ Ai1 1 ... 1 Aik + ...;
i1 ,...,ik =1
⎝ i =1 ⎠ i =1
i1 <...<ik
n
(ã) Ai − A2 − ... − An = ∑ A i + ... + ( −2)k −1
i =1
n
∑ Ai 1 ... 1 Ai + ...
i ,...,i =1
1
1
k
k
i1 <...<ik
8. (à) Äîêàçàòü, ÷òî n < m ⇒ n + l ≤ m.
(á) Ïðèâåñòè ïðèìåð òàêèõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë n è m, ÷òî
n + l ≤ m, ío m ≤ n.
9. Äîêàçàòü, ÷òî n ≤ m òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò n1
òàêîå, ÷òî n + n1 = m. Ïîêàçàòü, ÷òî òàêîå n1 îïðåäåëÿåòñÿ íå îäíîçíà÷íî.
10. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) 3 · 5 = 15;
(á) ℵ0 · ℵ0 = ℵ0;
(â) ℵ0 · c = c;
(ã) ñ · c = ñ.
11. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè A ∼ B è Ñ ∼ D, òo A ½ C ∼ B ½ D;
(á) ïðîèçâåäåíèå äâóõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë âñåãäà ñóùåñòâóåò.
12. Äîêàçàòü äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë:
(à) n1 · n2 = n2 · n1;
(á) n1 · (n2 · n3) = (n1 · n2) · n3;
(â) n1 · (n2 + n3) = (n1 · n2) + (n1 · n3);
(ã) n · 1 = n;
(ä) n · 0 = 0;
(å)* n · m = n, åñëè m êîíå÷íîå, à n áåñêîíå÷íîå êàðäèíàëüíîå ÷èñëî;
(æ)* n · ℵ0 = n, åñëè n áåñêîíå÷íîå êàðäèíàëüíîå ÷èñëî.
13*. Äîêàçàòü, ÷òî n2 = n, åñëè n áåñêîíå÷íîå êàðäèíàëüíîå
÷èñëî.
14. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè n è m êàðäèíàëüíûå ÷èñëà è îäíî èç
íèõ áåñêîíå÷íî, òî n · m = n + m = màõ (n, m), åñëè n ≠ 0 è m ≠ 0.
15. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) 2ℵ0 = ñ;
(á) ℵ0ℵ0 = c;
(â) cℵ0 = c.
§ 6. Äåéñòâèÿ íàä êàðäèíàëüíûìè ÷èñëàìè
47
16. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ äâóõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë n è m âñåãäà
ñóùåñòâóåò nm.
17. Äîêàçàòü äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë m, n è p:
(à) mn+p = mn · mp;
(á) (m · n)p = mp · np;
(â) (mn)p = mn·p;
(ã) m1 = m;
(ä) 1m = 1.
18. Äîêàçàòü, ÷òî P ( A) = 2 A .
19. Äîêàçàòü äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë:
(à) åñëè m ≤ n è n ≤ p, òî m ≤ p;
(á) åñëè m ≤ n, òî m + p ≤ n + p;
(â) åñëè m ≤ n, òî m · p ≤ n · p;
(ã) åñëè m ≤ n, òî mp ≤ np;
(ä) åñëè m ≤ n, òî pm ≤ pn;
(å) åñëè m, n > 1, òî m + n ≤ m · n;
(æ) m + n = n òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ℵ0 · m ≤ n;
(ç) åñëè n + m = n è n1 ≥ n, òî n1 + m = n1;
(è) n + m = n òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà n + k · m = n (k ∈ N, k > 0);
(ê) n + m =n òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà n + ℵ0 · m = n;
(ë) m < 2m.
20. Äîêàçàòü äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë:
(à) åñëè 2m ≥ ℵ0, òî 2m ≥ 2ℵ0;
(á) åñëè mn = ℵ0, òî m = ℵ0, à n êîíå÷íîå.
21. Äîêàçàòü äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë:
(à) åñëè n ≥ ℵ 0 , òî 2 n = n n ;
(á) åñëè 1 < m ≤ n, ℵ0 ≤ n, òî mn = nn.
22. Äîêàçàòü äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë:
(à) åñëè I = m, ni = n äëÿ âñåõ i ∈ I, òî m ⋅ n = ∑ ni ;
(á) åñëè m + p = n + p è p êîíå÷íî, òî m = n;
(â) åñëè 2 · n1 = 2 · n2, òî n1 = n2.
i∈I
23. Äîêàçàòü, ÷òî
7 Ai ≤ ∑ A i .
i∈I
i∈I
24. (à) Ïóñòü {mi} (i ∈ I) ñåìåéñòâî êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë, ïðè÷åì mi = 0 äëÿ i ∈ J ⊆ I. Äîêàçàòü, ÷òî
48
×ÀÑÒÜ I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
∑ mi = ∑ mi .
i∈I
i∈I \ J
(á) Ïóñòü {mi} (i ∈ I) ñåìåéñòâî êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë, ïðè÷åì
mi = 1 äëÿ i ∈ J ⊆ I. Äîêàçàòü, ÷òî
∏ mi = ∏ mi .
i∈I
i∈I \ J
(â) Äîêàçàòü, ÷òî ∏ m i = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåi∈I
ñòâóåò i0 ∈ I òàêîå, ÷òî mi0 = 0.
25. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ϕ ïîäñòàíîâêà íà ìíîæåñòâå I, òî:
(à)
∑ m i = ∑ m ϕ( i ) ;
i∈I
(á)
i∈I
∏ mi = ∏ m ϕ(i ) .
i∈I
i∈I
26. Ïóñòü {Aλ}λ∈L åñòü ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà J íà íåïóñòûå ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à)
(á)
⎛
⎞
λ∈L ⎝ i∈Aλ
⎠
⎛
⎞
λ∈L ⎝ i∈Aλ
⎠
∑ mi = ∑ ⎜⎜ ∑ mi ⎟⎟ ;
i∈I
∏ mi = ∏ ⎜⎜ ∏ mi ⎟⎟ .
i∈I
27. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) n ⋅ ∑ mi = ∑ (n ⋅ mi );
(á)
i∈I
i∈I
⎛
⎞
i∈I ⎝ j ∈J i
⎠
∏ ⎜⎜ ∑ mij ⎟⎟ = ∑ ∏ mif (i ) ;
f ∈K i∈I
ãäå K = ∏ J i .
i∈I
28. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè mi ≤ ni äëÿ âñåõ i ∈ I, òî:
(à)
∑ m i ≤ ∑ ni ;
i∈I
(á)
i∈I
∏ m i ≤ ∏ ni .
i∈I
i∈I
49
§ 6. Äåéñòâèÿ íàä êàðäèíàëüíûìè ÷èñëàìè
29. Ïóñòü J ⊆ I. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à)
∑ mi ≤ ∑ mi ;
i∈J
i∈I
(á) ∏ mi ≤ ∏ mi , ãäå mi ≠ 0 äëÿ i ∈ I \J.
i∈J
i∈I
30*. Ïóñòü {mi}i∈I è {ni}i∈I äâà ñåìåéñòâà êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë è
ni ≥ 2 äëÿ âñåõ i ∈ I. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè mi ≤ ni äëÿ âñåõ i ∈ I, òî ∑ mi ≤ ∏ ni ;
i∈I
i∈I
(á) åñëè mi < ni äëÿ âñåõ i ∈ I, òî ∑ mi < ∏ ni .
i∈I
31. Ïóñòü 0 < m0 < m1 < ... Äîêàçàòü, ÷òî
i∈I
∑ mn < ∏ mn .
n∈N
n∈N
32. Ïóñòü n ≥ ℵ0, {ni}i∈I ñåìåéñòâî êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë, íå
ïðåâîñõîäÿùèõ n, I ≤ n . Äîêàçàòü, ÷òî ∑ ni ≤ n.
i∈I
33. Ïóñòü α è β êàðäèíàëüíûå ÷èñëà, I = β è αi = α äëÿ êàæäîãî i ∈ I. Äîêàçàòü, ÷òî αβ = ∏ αi .
i∈I
34. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) m
⎛
⎞
⎜ ∑ ni ⎟
⎝ i ∈I ⎠ =
∏ mn ;
i
i∈I
n
⎛
⎞
(á) ⎜ ∏ mi ⎟ = ∏ min .
⎝ i∈I
⎠
i∈I
35. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà m íåëüçÿ
ℵ
ïðåäñòàâèòü m 0 â âèäå
∑ mi , ãäå mi < mi+1.
i∈N
×àñòü II
l
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
§ 1. ÀËÃÅÁÐÀ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ
Àëôàâèòîì íàçûâàåòñÿ ëþáîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Ýëåìåíòû
ýòîãî ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ ñèìâîëàìè äàííîãî àëôàâèòà. Ñëîâîì â àëôàâèòå S íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ êîíå÷íàÿ (âîçìîæíî, ïóñòàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèìâîëîâ èç S. Ïðîèçâåäåíèåì
ñëîâ A è B íàçûâàåòñÿ ñëîâî AB. Ñëîâî B íàçûâàåòñÿ ïîäñëîâîì
ñëîâà A, åñëè A = CBD äëÿ íåêîòîðûõ ñëîâ C è D. Ñëîâî B ìîæåò
âõîäèòü êàê ïîäñëîâî â ñëîâî A íåñêîëüêî ðàç. Ðåçóëüòàòîì çàìåíû äàííîãî âõîæäåíèÿ ïîäñëîâà B â ñëîâî CBD íà ñëîâî E íàçûâàåòñÿ ñëîâî CED.
Ðåçóëüòàòîì ïîäñòàíîâêè A (a \B) â ñëîâî A ñëîâà B âìåñòî
ñèìâîëà a íàçûâàåòñÿ ñëîâî, ïîëó÷åííîå îäíîâðåìåííîé çàìåíîé âñåõ âõîæäåíèé ñèìâîëà a â ñëîâî A íà ñëîâî B. ×åðåç
A(a1\B1, ..., an\Bn)
îáîçíà÷àåòñÿ ðåçóëüòàò îäíîâðåìåííîé ïîäñòàíîâêè â A ôîðìóëû B1 âìåñòî a1, ..., ôîðìóëû Bn âìåñòî an.
Ðàññìîòðèì àëôàâèò S = S1 ∪ S2 ∪ S3, ãäå
S1 = {P0, P1, P2, ...}, S2 = {¬, &, ∨, ⊃}, S3 = {(,)}.
Ñèìâîëû èç S1 íàçûâàþòñÿ ïåðåìåííûìè âûñêàçûâàíèÿìè èëè
ïðîïîçèöèîíàëüíûìè ïåðåìåííûìè. Ñèìâîëû èç S2 íàçûâàþòñÿ ëîãè÷åñêèìè ñâÿçêàìè. Ñâÿçêà ¬ íàçûâàåòñÿ îòðèöàíèåì, & êîíúþíêöèåé, ∨ äèçúþíêöèåé, ⊃ èìïëèêàöèåé. Ñêîáêè èç S3 íàçûâàþòñÿ âñïîìîãàòåëüíûìè ñèìâîëàìè.
Ïîíÿòèå ôîðìóëû àëãåáðû âûñêàçûâàíèé îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
1) ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ åñòü ôîðìóëà;
2) åñëè A è B ôîðìóëû, òî ¬ A, (A & B ), (A ∨ B ), (A ⊃ B )
ôîðìóëû;
3) äðóãèõ ôîðìóë, êðîìå ïîñòðîåííûõ ïî ïï. 1 è 2, íåò.
§ 1. Àëãåáðà âûñêàçûâàíèé
51
Ïîäôîðìóëîé ôîðìóëû A íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïîäñëîâî ñëîâà A,
êîòîðîå ñàìî ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé.
 §§ 13 áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ áóêâû P, Q, ... (âîçìîæíî, ñ
èíäåêñàìè) äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ
ïåðåìåííûõ, à áóêâû A, B, C, ... äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ôîðìóë.
Áóäåì îáîçíà÷àòü ôîðìóëó ((A ⊃ B ) & (B ⊃ A )) ÷åðåç (A ≡ B ).
Áóäåì èíòåðïðåòèðîâàòü ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè êàê ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå íà ìíîæåñòâå {è, ë} (èñòèíà, ëîæü), ñî çíà÷åíèÿìè â
ýòîì æå ìíîæåñòâå ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Îòðèöàíèå: ¬ è = ë, ¬ ë = è.
Êîíúþíêöèÿ: è & è = è, è & ë = ë & è = ë & ë = ë.
Äèçúþíêöèÿ: è ∨ è = è ∨ ë = ë ∨ è = è, ë ∨ ë = ë.
Èìïëèêàöèÿ: è ⊃ è = ë ⊃ è = ë ⊃ ë = è, è ⊃ ë = ë.
Òîãäà êàæäàÿ ôîðìóëà áóäåò èíòåðïðåòèðîâàòüñÿ êàê ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå {è, ë}, ñî çíà÷åíèÿìè â ýòîì æå
ìíîæåñòâå, ïîëó÷åííàÿ èç ¬, &, ∨, ⊃ ïî ïðàâèëàì ïîñòðîåíèÿ
äàííîé ôîðìóëû. Òàêóþ ôóíêöèþ áóäåì òàêæå íàçûâàòü òàáëèöåé èñòèííîñòè äàííîé ôîðìóëû. Çíà÷åíèåì ôîðìóëû A ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ â ìíîæåñòâå {è, ë} íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëå A ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ
ïåðåìåííûõ.
Ôîðìóëû A è B íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè (îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A ∼ B), åñëè ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ çíà÷åíèå A
ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì B. Ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ âûïîëíèìîé (îïðîâåðæèìîé), åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ,
ïðè êîòîðûõ ýòà ôîðìóëà ïðèíèìàåò çíà÷åíèå è (ë). Ôîðìóëà
íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé èëè òàâòîëîãèåé (òîæäåñòâåííî ëîæíîé èëè ïðîòèâîðå÷èåì), åñëè ýòà ôîðìóëà ïðèíèìàåò çíà÷åíèå è (ë) ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ.
Ïóñòü A1, ..., An ôîðìóëû (n ≥ 1). Áóäåì íàçûâàòü êîíúþíêöèåé
ôîðìóë A1, ..., An ôîðìóëó (...(A1 & A2)... & An) è îáîçíà÷àòü åå ÷åðåç (A1 & A2 & ... & An). Áóäåì íàçûâàòü äèçúþíêöèåé ôîðìóë A1, ..., An
ôîðìóëó (...(A1 ∨ A2)... ∨ An) è îáîçíà÷àòü åå ÷åðåç (A1 ∨ A2 ∨ ... ∨ An).
Ôîðìóëà, êîòîðàÿ åñòü ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ èëè
îòðèöàíèå ïåðåìåííîé, íàçûâàåòñÿ ëèòåðàëîì. Ïðîèçâîëüíàÿ
êîíúþíêöèÿ ëèòåðàëîâ íàçûâàåòñÿ êîíúþíêòîì èëè ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèåé; ïðîèçâîëüíàÿ äèçúþíêöèÿ ëèòåðàëîâ íàçûâàåòñÿ äèçúþíêòîì èëè ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèåé.
Äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ä.í.ô.) íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ äèçúþíêöèÿ êîíúþíêòîâ, à êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé
ôîðìîé (ê.í.ô.) ïðîèçâîëüíàÿ êîíúþíêöèÿ äèçúþíêòîâ.
52
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
Ä.í.ô. (ê.í.ô.) A íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííîé è îáîçíà÷àåòñÿ ñ.ä.í.ô.
(ñ.ê.í.ô.), åñëè êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ ôîðìóëû A âõîäèò ñ îòðèöàíèåì èëè áåç îòðèöàíèÿ â êàæäûé êîíúþíêò (äèçúþíêò) òî÷íî
îäèí ðàç.
Ä.í.ô. (ê.í.ô., ñ.ä.í.ô., ñ.ê.í.ô.), ýêâèâàëåíòíàÿ äàííîé ôîðìóëå A, íàçûâàåòñÿ ä.í.ô. (ê.í.ô., ñ.ä.í.ô., ñ.ê.í.ô.) ôîðìóëû A.
1. Îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóëîé:
(à) (P0 & P1) P2 ¬ P3;
(á) (P0 & P1) ⊃ P2;
(â) ((P3 ⊃ P0) &¬ P0);
(ã) (((¬ P0) ⊃ P1) ⊃ ¬ (P2 ∨ P3)).
2. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàññòàâèòü ñêîáêè â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ÷òîáû ïîëó÷èëàñü ôîðìóëà:
(à) P0 ⊃ ¬ P1 ∨ P2 & P0;
(á) P1 ⊃ P2 ⊃ P3 ⊃ ¬ P1 ⊃ ¬ P2?
3. Âûïèñàòü âñå ïîäôîðìóëû ôîðìóëû:
(à) (((P0 ⊃ P1) & (P2 ⊃ P3)) ⊃ (¬ P1 ∨ P3));
(á) ((P0 ⊃ P1) ⊃ ((P0 ⊃¬ P1) ⊃ ¬ P1)).
4. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôîðìóëà C, íå ÿâëÿþùàÿñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â îäíîì èç
ñëåäóþùèõ âèäîâ: ¬ A, (A & B ), (A ∨ B ), (A ⊃ B ) äëÿ íåêîòîðûõ
ôîðìóë A è B.
5. Äîêàçàòü, ÷òî ðåçóëüòàò çàìåíû íåêîòîðîãî âõîæäåíèÿ ôîðìóëû C â ôîðìóëó A âìåñòî ïîäôîðìóëû B ñíîâà åñòü ôîðìóëà.
6. Äîêàçàòü, ÷òî ðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè A (P \B ) ôîðìóëû B
âìåñòî ïðîïîçèöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé P â ôîðìóëó A ñíîâà åñòü
ôîðìóëà.
7. Ïîñòðîèòü òàáëèöû èñòèííîñòè äëÿ ñëåäóþùèõ ôîðìóë:
(à) ((P ⊃ Q) ∨ (P ⊃ (Q & P )));
(á) (¬ (P ⊃ ¬ (Q & P )) ⊃ (P ∨ R ));
(â) ((P & (Q ⊃ P )) ⊃ ¬ P );
(ã) (((P &¬ Q) ⊃ Q) ⊃ (P ⊃ Q));
(ä) ((P ⊃ (Q ⊃ R )) ⊃ ((P ⊃ Q) ⊃ (P ⊃ R )));
(å) ((P & (Q ∨¬ P )) & ((¬ Q ⊃ P ) ∨ Q)).
8. Äîêàçàòü âûïîëíèìîñòü ôîðìóë:
(à) ¬ (P ⊃¬ P );
(á) ((P ⊃ Q) ⊃ (Q ⊃ P ));
(â) ((Q ⊃ (P & R )) &¬ ((P ∨ R) ⊃ Q)).
9. Äîêàçàòü òîæäåñòâåííóþ èñòèííîñòü ôîðìóë:
§ 1. Àëãåáðà âûñêàçûâàíèé
53
(à) ((P ⊃ Q) ∨ (Q ⊃ P ));
(á) ((P ⊃ Q) ∨ (P ⊃ ¬ Q));
(â) (P ⊃ (Q ⊃ (P & Q)));
(ã) ((P ⊃ Q) ⊃ ((Q ⊃ R ) ⊃ (P ⊃ R )));
(ä) ((¬ P ⊃ ¬ Q) ⊃ (Q ⊃ P ));
(å) (P ⊃ (Q ⊃ P ));
(æ) (P ∨ ¬ P );
(ç) ((P ⊃ Q) ⊃ ((P ⊃ (Q ⊃ R )) ⊃ (P ⊃ R )));
(è) ((P & Q) ⊃ P );
(ê) ((P & Q) ⊃ Q);
(ë) (P ⊃ (P ∨ Q));
(ì) (Q ⊃ (P ∨ Q));
(í) ((P ⊃ R ) ⊃ ((Q ⊃ R ) ⊃ ((P ∨ Q) ⊃ R )));
(î) ((P ⊃ Q) ⊃ ((P ⊃ ¬ Q) ⊃ ¬ P ));
(ï) (¬¬ P ⊃ P );
(ð) (P ⊃ ¬¬ P );
(ñ) ((¬ Q ⊃ ¬ P ) ⊃ ((¬ Q ⊃ P ) ⊃ Q));
(ò) ((P ∨ P ) ⊃ P );
(ó) ((Q ⊃ R ) ⊃ ((P ∨ Q) ⊃ (P ∨ R )));
(ô) (((P ⊃ Q) ⊃ P ) ⊃ P );
(õ) (¬ P ⊃ (P ⊃ Q)).
10. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ X, Y, Z, U, V, W ëîæíû
ñëåäóþùèå ôîðìóëû:
(à) (((X ⊃ (Y & Z )) ⊃ (¬ Y ⊃¬ X )) ⊃ ¬ Y );
(á) ((X &Y )∨(X &Z )∨(Y &Z )∨(U &V )∨(U &W )∨(V &W )∨(¬X &¬U ));
(â) (((X ∨ Y ) ∨ Z ) ⊃ ((X ∨ Y ) & (X ∨ Z )));
(ã) (((X ∨ Y ) & ((Y ∨ Z ) & (Z ∨ X ))) ⊃ ((X & Y ) & Z ));
(ä) ((X ∨ Y ) ⊃ ((¬ X & Y ) ∨ (X &¬ Y )))?
11. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôîðìóëà A òîæäåñòâåííî èñòèííà, òî
ôîðìóëà A (P \B ) òîæäåñòâåííî èñòèííà. (Çäåñü P ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ, à B ôîðìóëà.)
12. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôîðìóëû A è (A ⊃ B ) òîæäåñòâåííî èñòèííû, òî ôîðìóëà B òîæäåñòâåííî èñòèííà.
13. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè ôîðìóëû (A ∨ B ) è (¬ A ∨ C ) òîæäåñòâåííî èñòèííû, òî ôîðìóëà (B ∨ C) òîæäåñòâåííî èñòèííà;
(á) åñëè ôîðìóëû (A ∨ B ), (A ⊃ C ), (B ⊃ D) òîæäåñòâåííî èñòèííû, òî ôîðìóëà (C ∨ D) òîæäåñòâåííî èñòèííà;
(â) åñëè ôîðìóëû (¬ A ∨ B ), (¬ C ∨ ¬ B ) òîæäåñòâåííî èñòèííû, òî ôîðìóëà (A ⊃ ¬ B ) òîæäåñòâåííî èñòèííà.
54
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
14. Äîêàçàòü, ÷òî A ∼ B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A ≡ B òîæäåñòâåííî èñòèííà.
15. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) A ∼A;
(á) A ∼B ⇒ B ∼ A;
(â) (A ∼ B è B ∼ C) ⇒ A ∼ C.
16. Äîêàçàòü, ÷òî èç A1 ∼ A2 è B1 ∼ B2 ñëåäóåò:
(à) ¬ A1 ∼ ¬ A2 ;
(á) (A1 & B1) ∼ (A2 & B2);
(â) (A1 ∨ B1) ∼ (A2 ∨ B2);
(ã) (A1 ⊃ B1) ∼ (A2 ⊃ B2).
17. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A ∼ B, òî A (P \C ) ∼ B (P \C ) äëÿ ëþáûõ
ôîðìóë A, B è C è ïåðåìåííîé P.
18. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè B ∼ B1 è A1 åñòü ðåçóëüòàò çàìåíû íåêîòîðîãî âõîæäåíèÿ ïîäôîðìóëû B â ôîðìóëó A íà ôîðìóëó B1, òî A ∼ A1.
19. Äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòè:
(à) (P & P ) ∼ P;
(á) (P & Q ) ∼ (Q & P );
(â) (P & (Q & R )) ∼ ((P & Q) & R );
(ã) (P & (Q ∨ R )) ∼ ((P & Q) ∨ (P & R ));
(ä) (P & (Q ∨ P )) ∼ P;
(å) (P ∨ P ) ∼ P;
(æ) (P ∨ Q) ∼ (Q ∨ P );
(ç) (P ∨ (Q ∨ R )) ∼ ((P ∨ Q) ∨ R );
(è) (P ∨ (Q & R )) ∼ ((P ∨ Q) & (P ∨ R ));
(ê) (P ∨ (Q & P )) ∼ P.
20. Äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòè:
(à) ¬¬ A ∼ A;
(á) (A ⊃ B ) ∼ (¬ A ⊃ B );
(â) ¬ (A & B ) ∼ (¬ A ∨ ¬ B );
(ã) ¬ (A ⊃ B ) ∼ (A &¬ B );
(ä) ¬ (A ∨ B ) ∼ (¬ A &¬ B );
(å) (A & (B ∨ ¬ B )) ∼ A;
(æ) (A ∨ (B &¬ B )) ∼ A;
(ç) (A ⊃ ¬ A ) ∼ ¬ A;
(è) ((A ∨ B ) & (A ∨ C ) & (B ∨ D) & (C ∨ D)) ∼ ((A & D) ∨ (B & C ));
(ê) (A & (A ∨ C ) & (B ∨ C )) ∼ ((A & D) ∨ (B & C ));
(ë) ((A ∨ B ) & (B ∨ C ) & (C ∨ A )) ∼ ((A & B ) ∨ (B & C ) ∨ (C & A ));
(ì) ((A ∨ B ) & (B ∨ C ) & (C ∨ D)) ∼ ((A & C ) ∨ (B & C ) ∨ (B & D));
(í) ((A ∨ B ∨ C ) & (B ∨ C ∨ D ) & (C ∨ D ∨ A )) ∼
∼ ((A & B ) ∨ (A & D) ∨ (B & D) ∨ C );
§ 1. Àëãåáðà âûñêàçûâàíèé
55
(î) ((A ∨ B ) & (A ∨ ¬ B )) ∼ A;
(ï) ((A & B ) ∨ ((A ∨ B ) & (¬ A ∨ ¬ B ))) ∼ (A ∨ B );
(ð) (A ∨ (¬ A & B )) ∼ (A ∨ B ).
21. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) (A ≡ A ) ∼ (B ≡ B );
(á) (A ≡ (B ≡ C )) ∼ ((A ≡ B ) ≡ C );
(â) (A ≡ B ) ∼ (B ≡ A ).
22. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ôîðìóëû ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíàÿ åé ôîðìóëà ñ òåñíûìè îòðèöàíèÿìè, ò.å. ôîðìóëà, â êîòîðîé
íåò ñèìâîëà ⊃ è îòðèöàíèÿ îòíîñÿòñÿ òîëüêî ê ïðîïîçèöèîíàëüíûì ïåðåìåííûì.
23. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ôîðìóëû ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíàÿ åé:
(à) êîíúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà;
(á) äèçúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà.
24. Ïðèâåñòè ê äèçúþíêòèâíîé è êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíûì ôîðìàì:
(à) (((P ⊃ Q) ⊃ (R ⊃ ¬ P )) ⊃ (¬ Q ⊃ ¬ R ));
(á) (((((P ⊃ Q) ⊃ ¬ P ) ⊃ ¬ Q) ⊃ ¬ R ) ⊃ R );
(â) ((P ⊃ (Q ⊃ R )) ⊃ ((P ⊃ ¬ R ) ⊃ (P ⊃ ¬ Q))).
25. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A åñòü òîæäåñòâåííî èñòèííàÿ ê.í.ô., òî
äëÿ ëþáîãî äèçúþíêòà ôîðìóëû A ñóùåñòâóåò ïåðåìåííàÿ P òàêàÿ, ÷òî P è ¬ P âõîäÿò â ýòîò äèçúþíêò.
26. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A åñòü òîæäåñòâåííî ëîæíàÿ ä.í.ô., òî
äëÿ ëþáîãî êîíúþíêòà ôîðìóëû A ñóùåñòâóåò ïåðåìåííàÿ P òàêàÿ, ÷òî P è ¬ P âõîäÿò â ýòîò êîíúþíêò.
27. Ïóñòü A ôîðìóëà ñ òåñíûìè îòðèöàíèÿìè (ñì. çàäà÷ó 22)
è A1 ïîëó÷àåòñÿ èç A çàìåíîé & íà ∨, ∨ íà & è ïåðåìåííûõ Ai íà
¬ Ai. Äîêàçàòü, ÷òî A1 ∼ ¬ A.
28*. Ïóñòü A è B ôîðìóëû ñ òåñíûìè îòðèöàíèÿìè (ñì. çàäà÷ó 22) è A*, B* ôîðìóëû, äâîéñòâåííûå ê A è B ñîîòâåòñòâåííî (A* ïîëó÷àåòñÿ èç A çàìåíîé & íà ∨, ∨ íà &). Äîêàçàòü, ÷òî èç
A ∼ B ñëåäóåò A* ∼ B* (çàêîí äâîéñòâåííîñòè).
29. Ïî äàííîìó íàáîðó çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ ïîñòðîèòü êîíúþíêò, èñòèííûé òîëüêî äëÿ ýòîãî íàáîðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ.
(Íàçîâåì òàêóþ ôîðìóëó êîíúþíêòîì, ñîîòâåòñòâóþùèì äàííîìó
íàáîðó çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ.)
30. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôîðìóëà A ýêâèâàëåíòíà äèçúþíêöèè
êîíúþíêòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ òåì íàáîðàì çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, ïðè êîòîðûõ äàííàÿ ôîðìóëà èñòèííà (ñì. çàäà÷ó 29).
56
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
31. (à) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé âûïîëíèìîé ôîðìóëû ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíàÿ åé ñ.ä.í.ô.
(á) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ òîæäåñòâåííî ëîæíîé ôîðìóëû íå ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíîé åé ñ.ä.í.ô.
32. Ïî äàííîìó íàáîðó çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ ïîñòðîèòü äèçúþíêò, ëîæíûé òîëüêî äëÿ ýòîãî íàáîðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ.
(Íàçîâåì òàêóþ ôîðìóëó äèçúþíêòîì, ñîîòâåòñòâóþùèì äàííîìó
íàáîðó çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ.)
33. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôîðìóëà A ýêâèâàëåíòíà êîíúþíêöèè äèçúþíêòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ òåì íàáîðàì çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, ïðè êîòîðûõ äàííàÿ ôîðìóëà ëîæíà (ñì. çàäà÷ó 32).
34. (à) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé îïðîâåðæèìîé ôîðìóëû ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíàÿ åé ñ.ê.í.ô.
(á) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé ôîðìóëû íå
ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíàÿ åé ñ.ê.í.ô.
35. Ïðèâåñòè ê ñîâåðøåííîé äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå, ò.å. íàéòè ñ.ä.í.ô., ýêâèâàëåíòíóþ äàííîé ôîðìóëå:
(à) ((¬ P ⊃ ¬ Q) ⊃ ((Q & R ) ⊃ (P & R )));
(á) (((P ⊃ Q) ⊃ ¬ P ) ⊃ (P ⊃ (Q & P )));
(â) (¬ ((P & Q) ⊃ ¬ P ) &¬ ((P & Q) ⊃ ¬ Q)).
36. Ïðèâåñòè ê ñîâåðøåííîé êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìå, ò.å. íàéòè ñ.ê.í.ô., ýêâèâàëåíòíóþ äàííîé ôîðìóëå:
(à) ((R ⊃ P ) ⊃ (¬ (Q ∨ R ) ⊃ P ));
(á) (¬ ((P & Q) ⊃ P ) ∨ (P & (Q ∨ R )));
(â) (¬ (P & (Q ∨ R )) ⊃ ((P & Q) ∨ R )).
37. Ïîñòðîèòü ôîðìóëó A òàêóþ, ÷òîáû äàííàÿ ôîðìóëà áûëà
òîæäåñòâåííî èñòèííîé:
(à) (((A & Q) ⊃ ¬ P ) ⊃ ((P ⊃ ¬ Q) ⊃ A ));
(á) (((R ⊃ (¬ Q & P )) ⊃ A ) ⊃ (A & (P ⊃ Q) & R )).
38. Ïîñòðîèòü ôîðìóëó îò òðåõ ïåðåìåííûõ, êîòîðàÿ èñòèííà
â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ðîâíî äâå ïåðåìåííûå ëîæíû.
39. Ïîñòðîèòü ôîðìóëó îò òðåõ ïåðåìåííûõ, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò òàêîå æå çíà÷åíèå, êàê è áîëüøèíñòâî (ìåíüøèíñòâî) ïåðåìåííûõ.
40. Ïîñòðîèòü ôîðìóëó A îò ïåðåìåííûõ P, Q, R òàê, ÷òîáû:
(à) (P & A ) ∼ (P & Q) è (P ∨ A ) ∼ (P ∨ R );
(á) (R ⊃ A ) ∼ (R ⊃ (P & Q )) è (A ⊃ R ) ∼ (¬ (P ∨ Q ) ⊃ R );
(â) (P ⊃ A ) ∼ (Q ⊃ (¬ P ∨ R )) è ((R ⊃ Q) ⊃ P ) ∼ (¬ P ⊃¬ A ).
41. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà îò n ïåðåìåííûõ ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé (òîæäåñòâåííî ëîæíîé) ôîðìóëîé òîãäà è òîëü-
§ 2. Ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè
57
n
êî òîãäà, êîãäà åå ñ.ä.í.ô. (ñ.ê.í.ô.) ñîäåðæèò 2 ïîïàðíî íå ýêâèâàëåíòíûõ êîíúþíêòîâ (äèçúþíêòîâ).
42. Ïóñòü ôîðìóëà A çàïèñàíà â ñ.ê.í.ô. Ñòðîèì ôîðìóëó B ñëåäóþùèì îáðàçîì:
1) âûïèñûâàåì êîíúþíêöèþ äèçúþíêòîâ, íå âõîäÿùèõ â A;
2) ìåíÿåì & íà ∨, ∨ íà &, Pi íà ¬ Pi, ¬ Pi íà Pi.
Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà B ñ.ä.í.ô. ôîðìóëû A.
43. Ïî ñ.ê.í.ô. ôîðìóëû A ïîñòðîèòü:
(à) ñ.ä.í.ô. A*, ãäå A* äâîéñòâåííàÿ ê A (ñì. çàäà÷ó 28);
(á) ñ.ê.í.ô. ôîðìóëû ¬ A;
(â) ñ.ä.í.ô. ôîðìóëû ¬ A.
44. Ïî ñ.ä.í.ô. ôîðìóëû A è ñ.ä.í.ô. ôîðìóëû B ïîñòðîèòü:
(à) ñ.ê.í.ô. è ñ.ä.í.ô. ôîðìóëû (A ∨ B );
(á) ñ.ê.í.ô. è ñ.ä.í.ô. ôîðìóëû (A & B );
(â) ñ.ê.í.ô. è ñ.ä.í.ô. ôîðìóëû (A ⊃ B ).
45*. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà A îò ïåðåìåííûõ P1, ..., Pk ýêâèâàëåíòíà íåêîòîðîé ôîðìóëå, ñîäåðæàùåé ëèøü &, ∨, ⊃ è íå ñîäåðæàùåé ¬, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â åå ñ.ê.í.ô. îòñóòñòâóåò
äèçúþíêò (¬ P1 ∨ ... ∨ ¬ Pk).
46*. Ïóñòü ôîðìóëà A íå ñîäåðæèò äðóãèõ ñâÿçîê, êðîìå ≡. Äîêàçàòü, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ âõîäèò â A ÷åòíîå ÷èñëî ðàç.
47*. Ïóñòü ôîðìóëà A íå ñîäåðæèò äðóãèõ ñâÿçîê, êðîìå ≡ è
¬. Äîêàçàòü, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ è çíàê îòðèöàíèÿ âõîäÿò â A
÷åòíîå ÷èñëî ðàç.
§ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ ÀËÃÅÁÐÛ ËÎÃÈÊÈ
Ôóíêöèåé àëãåáðû ëîãèêè íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ n-ìåñòíàÿ ôóíêöèÿ èç {0, 1} â {0, 1}. Ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè
îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç C.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x 1, ..., x i − 1, x i, x i + 1, ..., x n)
ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ïåðåìåííîé xi, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (a1, ..., ai − 1, ai + 1, ..., an) èç 0 è 1, ÷òî
f (a1, ..., ai − 1, 0, ai + 1, ..., an) ≠ f (a1, ..., ai − 1, 1, ai + 1, ..., an).
Ïåðåìåííûå, îò êîòîðûõ ôóíêöèÿ f (x1, ..., xn) ñóùåñòâåííî
çàâèñèò, íàçûâàþòñÿ ñóùåñòâåííûìè ïåðåìåííûìè äëÿ ôóíêöèè
f (x1, ..., x n), îñòàëüíûå ôèêòèâíûìè. Áóäåì îòîæäåñòâëÿòü
58
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
ôóíêöèè, èç êîòîðûõ äîáàâëåíèåì ôèêòèâíûõ ïåðåìåííûõ ìîæíî ïîëó÷èòü îäíó è òó æå ôóíêöèþ.
Ïóñòü èìååòñÿ íåêîòîðîå ìíîæåñòâî G ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè. Êàæäîé n-ìåñòíîé ôóíêöèè f èç G ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå
ôóíêöèîíàëüíûé ñèìâîë f. Ïóñòü ν0, ν1, ν2, ... ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî
ñèìâîëîâ, íàçûâàåìûõ ïåðåìåííûìè. Îïðåäåëèì ïîíÿòèå òåðìà:
(à) ïåðåìåííàÿ åñòü òåðì;
(á) åñëè f n-ìåñòíàÿ ôóíêöèÿ èç G è T1, ..., Tn òåðìû, òî
f (T1, ..., Tn) òåðì.
(â) äðóãèõ òåðìîâ íåò.
Ñîïîñòàâèì êàæäîé ïåðåìåííîé ν0, ν1, ... åå çíà÷åíèå âî ìíîæåñòâå {0, 1}. Îïðåäåëèì çíà÷åíèå òåðìà T ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ
ïåðåìåííûõ:
(à) åñëè T ïåðåìåííàÿ, òî çíà÷åíèå T ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì ýòîé ïåðåìåííîé;
(á) åñëè T = f (T1, ..., Tn), à çíà÷åíèÿ T1, ..., Tn åñòü ε1, ..., εn
ñîîòâåòñòâåííî, òî çíà÷åíèå T åñòü f (ε1, ..., εn).
Ãîâîðèì, ÷òî n-ìåñòíàÿ ôóíêöèÿ g àëãåáðû ëîãèêè ïðåäñòàâèìà òåðìîì T, åñëè âñå ïåðåìåííûå T ñîäåðæàòñÿ ñðåäè ν1, ...,
νn è äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ ν1, ..., νn çíà÷åíèå òåðìà T
ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì g (ν1, ..., νn). Ãîâîðèì, ÷òî ôóíêöèÿ g åñòü
ñóïåðïîçèöèÿ ôóíêöèé f1, ..., fn, åñëè g ïðåäñòàâèìà òåðìîì, âñå
ôóíêöèîíàëüíûå ñèìâîëû êîòîðîãî ñîäåðæàòñÿ ñðåäè f1, ..., fn.
Ñèñòåìà ôóíêöèé G íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè ëþáàÿ ôóíêöèÿ
àëãåáðû ëîãèêè åñòü íåêîòîðàÿ ñóïåðïîçèöèÿ ôóíêöèé èç G. Ñèñòåìà ôóíêöèé G íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìîé, åñëè íèêàêàÿ ôóíêöèÿ f
ñèñòåìû G íå ïðåäñòàâèìà ñóïåðïîçèöèÿìè ôóíêöèé èç G \{ f }.
Êëàññ ôóíêöèé G íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè âìåñòå ñ ëþáûìè ñâîèìè ôóíêöèÿìè îí ñîäåðæèò è âñå èõ ñóïåðïîçèöèè.
Çàìêíóòûé êëàññ G íàçûâàåòñÿ ïðåäïîëíûì, åñëè G ≠ C è G íå
ñîäåðæèòñÿ íè â êàêîì äðóãîì çàìêíóòîì êëàññå, îòëè÷íîì îò C.
Íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé G íàçûâàåòñÿ áàçèñîì çàìêíóòîãî êëàññà K, åñëè âñÿêàÿ ôóíêöèÿ èç K åñòü ñóïåðïîçèöèÿ ôóíêöèé èç G. Ââåäåì ñïåöèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ îñíîâíûõ ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè:
0 (x) = 0, 1 (x) = 1 äëÿ âñåõ x, i(x) = x;
⎧0 ïðè x = 1,
¬x= ⎨
⎩1 ïðè x = 0;
⎧1 ïðè x = y = 1,
x⋅y=x&y= ⎨
⎩0 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ;
§ 2. Ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè
59
⎧0 ïðè x = y = 0,
x∨y=⎨
⎩1 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ;
⎧0 ïðè x = y,
x+y= ⎨
⎩1 ïðè x ≠ y;
x ⊃ y = ¬ x ∨ y, x ≡ y = ¬ (x + y), x | y = ¬ (x ⋅ y).
×åðåç C1 îáîçíà÷àåòñÿ êëàññ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ f (1, 1, ..., 1) = 1, à ÷åðåç Ñ0 êëàññ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ f (0, 0, ..., 0) = 0. L åñòü êëàññ âñåõ ëèíåéíûõ ôóíêöèé,
ò.å. ôóíêöèé âèäà x1 + ... + xn + ε, ãäå ε ∈ {0, 1}. D åñòü êëàññ ñàìîäâîéñòâåííûõ ôóíêöèé, ò.å. ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
f (x1, ..., xn) = ¬ f (¬ x1, ..., ¬ xn). ×åðåç M îáîçíà÷àåòñÿ êëàññ âñåõ
ìîíîòîííûõ ôóíêöèé, ò.å. ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
x1 ≤ y1, ..., xn ≤ yn ⇒ f (x1, ..., xn) ≤ f (y1, ..., yn).
Ïóñòü T òåðì, ïðåäñòàâëÿþùèé íåêîòîðóþ ôóíêöèþ àëãåáðû ëîãèêè, â çàïèñè êîòîðîãî âñòðå÷àþòñÿ òîëüêî çíàêè &, ∨, è ¬
è ïåðåìåííûå a1, ..., ak. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ε(T, x) ôîðìóëó òåîðèè
ìíîæåñòâ, ïîëó÷åííóþ èç òåðìà T ïîäñòàíîâêàìè âìåñòî ïåðåìåííûõ a1, ..., ak ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèé x ∈ Z1, ..., x ∈ Zk.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Z (T ) âûðàæåíèå, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç òåðìà T çàìåíîé ïåðåìåííûõ ai ñèìâîëàìè Zi, ñèìâîëîâ &, ∨, ¬
ñîîòâåòñòâåííî ñèìâîëàìè ∩, ∪, −. Ïðè èíòåðïðåòàöèè Z (T ) â
òåîðèè ìíîæåñòâ ñèìâîëû Zi áóäóò îáîçíà÷àòü ïîäìíîæåñòâà óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà U.
1. Ïîêàçàòü, ÷òî êàæäîé ôîðìóëå A àëãåáðû âûñêàçûâàíèé
ìîæíî ñîïîñòàâèòü ôóíêöèþ ϕ(A ) àëãåáðû ëîãèêè òàê, ÷òî
A1 ∼ A2 ⇔ ϕ (A1) = ϕ (A2).
2. Ñêîëüêî èìååòñÿ ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè îò n ïåðåìåííûõ?
3. Íàéòè âñå ñóùåñòâåííûå ïåðåìåííûå ñëåäóþùèõ ôóíêöèé:
(à) (y & x) ∨ (¬ y & z);
(á) (x & y) ∨ ¬ x;
(â) (x ⊃ (y ⊃ z)) ⊃ ((x ⊃ y) ⊃ (x ⊃ z)).
4. Âûðàçèòü ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîçèöèé:
(à) & è ⊃ ÷åðåç ∨ è ¬;
(á) ∨ è ⊃ ÷åðåç & è ¬;
(â) & è ∨ ÷åðåç ⊃ è ¬;
(ã) &, ∨, ⊃, ¬ ÷åðåç |;
60
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
(ä) ¬ ÷åðåç ⊃ è 0;
(å) ¬ ÷åðåç + è 1;
(æ) ∨ ÷åðåç ⊃.
5. Äîêàçàòü, ÷òî C1, C0, L, D è M ÿâëÿþòñÿ ðàçëè÷íûìè çàìêíóòûìè êëàññàìè, îòëè÷íûìè îò C.
6. Äîêàçàòü, ÷òî íåëüçÿ âûðàçèòü ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîçèöèé:
(à) ¬ ÷åðåç &, ∨, ⊃ è ≡;
(á) ⊃ ÷åðåç &, ∨;
(â)* & ÷åðåç ∨, ⊃.
7. (à) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ êàæäîé ôóíêöèè f (x, x1, ..., xn) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
f (x, x1, ..., xn) = (x ⋅ f (1, x1, ..., xn)) ∨ (¬ x ⋅ f (0, x1, ..., xn)).
(á) Ïóñòü n ≥ i ≥ 1. Äîêàçàòü, ÷òî êàæäóþ ôóíêöèþ f (x1, ..., xn)
àëãåáðû ëîãèêè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
f(x1, ..., xi, xi+1, ..., xn) = ∨ ( x1ε1 ⋅ K ⋅ xiεi ) ⋅ f (ε1, K, ε i , xi +1, K, xn ),
ε1, K,εi
ãäå εj ∈ {0, 1}, xj0 = ¬ xj, xj1 = xj.
8. Äîêàçàòü ïîëíîòó ñèñòåì ôóíêöèé:
(à) {&, ∨, ¬};
(á) {∨, ¬};
(â) {&, ¬};
(ã) {⊃, ¬}.
9. Äîêàçàòü íåïîëíîòó ñèñòåì ôóíêöèé:
(à) {&, ∨, ⊃};
(á) {¬}.
10. Äîêàçàòü ïîëíîòó ñèñòåì ôóíêöèé:
(à) { | };
(á) {⊥} (çäåñü ⊥ = ¬ (x ∨ y));
(â) {⊃, 0};
(ã) {+, ∨, 1}.
11. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) {+, ⋅, 1} ïîëíàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé;
(á) ëþáàÿ ôóíêöèÿ f (x1, ..., xn) åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèìà ïîëèíîìîì Æåãàëêèíà, ò.å. â âèäå:
ε0 +
ãäå ε0, ε i1Kik ∈ {0, 1}.
∑ ε i Ki x i K x i ,
k ≥1
1≤i1 <K<i k ≤ n
1
k
1
k
§ 2. Ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè
61
12. Ïîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ñèñòåìû ôóíêöèé íåçàâèñèìû:
(à) {¬, ≡};
(á) {¬, +};
(â) {≡, +};
(ã) {≡, ∨}.
13. Ïîêàçàòü ïîëíîòó è íåçàâèñèìîñòü ñëåäóþùèõ ñèñòåì ôóíêöèé:
(à) {⊃, /}, ãäå x/y = ¬ (y ⊃ x);
(á) {0, 1, [., ., .]}, ãäå [x, y, z] = (y & x) ∨ (¬ y & z);
(â) {≡, ∨, 0}.
14. Ïîêàæèòå, ÷òî ≡, + íå ñîñòàâëÿþò ïîëíîé ñèñòåìû ôóíêöèé. Âûÿñíèòå âñå âîçìîæíûå ñïîñîáû ñäåëàòü ýòó ñèñòåìó ïîëíîé ñèñòåìîé íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé äîáàâëåíèåì îäíîé íå áîëåå ÷åì 2-ìåñòíîé ôóíêöèè.
15. Êàêàÿ ñèñòåìà èç îäíîé 2-ìåñòíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé? Íàéòè âñå òàêèå ñèñòåìû.
16. Ïðèâåñòè ïðèìåð ïîëíîé ñèñòåìû ôóíêöèé:
(à) ñîñòîÿùåé èç îäíîé 3-ìåñòíîé ôóíêöèè;
(á) ñîñòîÿùåé èç îäíîé n-ìåñòíîé ôóíêöèè (n ≥ 2).
17. Äîêàçàòü, ÷òî èç âñÿêîé ïîëíîé ñèñòåìû ôóíêöèé ìîæíî
âûäåëèòü êîíå÷íóþ ïîëíóþ ïîäñèñòåìó.
18. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) {&, ⊃} áàçèñ äëÿ C1;
(á) {&, +} áàçèñ äëÿ C0;
(â)* {∨, &, 0, 1} áàçèñ äëÿ M;
(ã) {0, ≡} áàçèñ äëÿ L;
(ä)* {¬, xy + xz + yz} áàçèñ äëÿ D.
19. Äîêàçàòü, ÷òî êëàññû C1, C0 ÿâëÿþòñÿ ïðåäïîëíûìè êëàññàìè.
20. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) èç âñÿêîé íåìîíîòîííîé ôóíêöèè è ôóíêöèé 0 è 1 ìîæíî
ïîëó÷èòü ñóïåðïîçèöèÿìè ôóíêöèþ ¬;
(á) êëàññ M ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëíûì êëàññîì.
21. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) èç âñÿêîé íåñàìîäâîéñòâåííîé ôóíêöèè è ôóíêöèè ¬
ìîæíî ïîëó÷èòü ñóïåðïîçèöèÿìè ôóíêöèé 0 è 1;
(á) êëàññ D ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëíûì êëàññîì.
22. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) èç âñÿêîé íåëèíåéíîé ôóíêöèè è ôóíêöèé 0, 1, ¬ ìîæíî
ïîëó÷èòü ñóïåðïîçèöèÿìè ôóíêöèþ &;
(á) êëàññ L ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëíûì êëàññîì.
62
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
23. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîé çàìêíóòûé êëàññ K ≠ C ñîäåðæèòñÿ â
íåêîòîðîì ïðåäïîëíîì êëàññå.
24. Äîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà ôóíêöèé ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå ñîäåðæèòñÿ íè â îäíîì èç ïðåäïîëíûõ êëàññîâ.
25*. Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïðåäïîëíûõ êëàññîâ, îòëè÷íûõ îò C1, C0, L, D è M (òåîðåìà Ý. Ïîñòà).
26. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêèé áàçèñ C ñîäåðæèò íå áîëåå ÷åòûðåõ
ôóíêöèé.
27. Ïóñòü T è T1 òåðìû, ïðåäñòàâëÿþùèå íåêîòîðûå ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè, ε (T, x) ôîðìóëà òåîðèè ìíîæåñòâ, îïðåäåëåííàÿ â êîíöå ââîäíîé ÷àñòè ïàðàãðàôà. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ε ((T ∨ T1), x) ⇔ (ε (T, x) ∨ ε (T1, x));
(á) ε ((T & T1), x) ⇔ (ε (T, x) & ε (T1, x));
(â) ε (¬T, x) ⇔ ¬ ε (T, x).
28. Äîêàçàòü, ÷òî â òåîðèè ìíîæåñòâ:
(à) Z (¬ T ) = Z (T ), ãäå Z = U \Z;
(á) Z (T ∨ T1) = Z (T ) ∪ Z (T1);
(â) Z (T & T1) = Z (T ) ∩ Z (T1).
29. Äîêàçàòü, ÷òî â òåîðèè ìíîæåñòâ
ε (T, x) ⇔ x ∈ Z (T ).
30. Ïóñòü ôóíêöèÿ f ïðåäñòàâèìà òåðìîì T, à g òåðìîì T1.
Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè f (a1, ..., ak) = g (a1, ..., ak) äëÿ âñåõ a1, ..., ak, òî â
òåîðèè ìíîæåñòâ âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî Z (T ) = Z (T1);
(á) åñëè (f (a1, ..., ak) ⊃ g (a1, ..., ak)) = 1 äëÿ âñåõ a1, ..., ak, òî
â òåîðèè ìíîæåñòâ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå Z (T ) ⊆ Z (T1);
(â) åñëè f (a1, ..., ak) = 1 äëÿ âñåõ a1, ..., ak, òî â òåîðèè ìíîæåñòâ âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî Z (T ) = U ;
(ã) åñëè f (a1, ..., ak) = 0 äëÿ âñåõ a1, ..., ak, òî â òåîðèè ìíîæåñòâ âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî Z (T ) = ∅.
31. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f (a1, ..., ak) ïðåäñòàâèìà òåðìîì T è Z (T ) = U äëÿ âñåõ ïðîèçâîëüíûõ Z 1, ..., Z k ⊆ U, òî
f (a1, ..., ak) = 1 äëÿ âñåõ a1, ..., ak.
32. Íà îñíîâàíèè êàêèõ òîæäåñòâ àëãåáðû ëîãèêè ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå òåîðåìû òåîðèè ìíîæåñòâ:
(à) (X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z );
(á) X ∩ Y = Y ∩ X;
(â) − (X ∩ Y ) = −X ∪ −Y;
(ã) − (−X ) = X ?
§ 3. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé
63
33. Êàêèå òåîðåìû òåîðèè ìíîæåñòâ ìîæíî ïîëó÷èòü èç ñëåäóþùèõ òîæäåñòâ àëãåáðû ëîãèêè:
(à) (a & (¬ a ∨ b)) ⊃ b = 1;
(á) a & (a ∨ b) = a;
(â) a ∨¬ a = 1;
(ã) (a & b) ⊃ (a ∨ b) = 1;
(ä) a & b = b & a;
(å) a = a & (b ∨¬ b);
(æ) ¬(a & b) = ¬ a ∨¬ b;
(ç) (a & b) ∨ a = a;
(è) (a & b) & c = a & (b & c);
(ê) ¬ (a ∨ b) = ¬a &¬ b;
(ë) a ∨ (a & b) = a;
(ì) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c);
(í) a &¬ a = 0?
§ 3. ÈÑ×ÈÑËÅÍÈß ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÉ
Îïðåäåëèì èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé ÈÑ. Ðàññìîòðèì àëôàâèò
S = G1 ∪ G2 ∪ G3 ∪ G4, ãäå G1 = {P1, P2, ...}, G2 = {¬, &, ∨, ⊃},
G3 = {(,), ,}, G4 = { }. Ïîíÿòèå ôîðìóëû îïðåäåëÿåòñÿ êàê â § 1.
Ñåêâåíöèÿìè íàçûâàþòñÿ âûðàæåíèÿ ñëåäóþùèõ òðåõ òèïîâ, ãäå
A1, ..., An, B ëþáûå ôîðìóëû:
A1, ..., An B, ãäå n > 0
(«èç A1, ..., An ñëåäóåò B»),
B
(B äîêàçóåìà),
A1, ..., An (ñèñòåìà A1, ..., An ïðîòèâîðå÷èâà).
Σ ; K ; Σk
Ïðàâèëîì âûâîäà íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå âèäà 1
, ãäå
Σ
Σ1, ..., Σk, Σ ïðîèçâîëüíûå ñåêâåíöèè. Σ íàçûâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì Σ1, ..., Σk ïî äàííîìó ïðàâèëó âûâîäà.
Èñ÷èñëåíèå ÈÑ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñõåìîé àêñèîì è
ïðàâèëàìè âûâîäà (ãäå ñèìâîëû A, B, C îáîçíà÷àþò ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû, Γ1, Γ2, Γ3, Γ êîíå÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ôîðìóë, âîçìîæíî, ïóñòûå).
Ñõåìà àêñèîì: A A.
Ïðàâèëà âûâîäà:
1.
Γ1 A; Γ 2 B
(ââåäåíèå &);
Γ1, Γ 2 ( A & B )
2.
Γ ( A & B)
(óäàëåíèå &);
ΓA
64
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
3.
Γ ( A & B)
(óäàëåíèå &);
ΓB
4.
Γ A
(ââåäåíèå ∨);
Γ ( A ∨ B)
5.
ΓB
(ââåäåíèå ∨);
Γ ( A ∨ B)
6.
Γ1 ( A ∨ B ); Γ 2 , A C ; Γ3 , B C
(óäàëåíèå ∨);
Γ1, Γ 2 , Γ3 , C
Γ, A B
7. Γ ( A ⊃ B ) (ââåäåíèå ⊃);
8.
Γ1 A; Γ 2 ( A ⊃ B )
(óäàëåíèå ⊃);
Γ1, Γ 2 B
Γ, A 9. Γ ¬A (ââåäåíèå ¬);
10.
Γ1 A; Γ 2 ¬A
(ñâåäåíèå ê ïðîòèâîðå÷èþ);
Γ1, Γ 2 11.
Γ, ¬ A Γ A (óäàëåíèå ¬);
Γ
12. Γ A (óòîí÷åíèå);
Γ A
13. Γ, B A (ðàñøèðåíèå);
Γ1, A, B , Γ 2 C
14. Γ B A Γ C (ïåðåñòàíîâêà);
1, , , 2
15.
Γ, A, A C
Γ, A C (ñîêðàùåíèå).
Àêñèîìîé íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå, ïîëó÷àþùååñÿ èç ñõåìû àêñèîì ïîäñòàíîâêîé âìåñòî ñèìâîëà A êîíêðåòíîé ôîðìóëû.
Âûâîä â ÈÑ åñòü êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåêâåíöèé Σ1, ...,
Σk òàêàÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî i (1 ≤ i ≤ k) Σi åñòü ëèáî àêñèîìà, ëèáî
§ 3. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé
65
íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå ïðåäûäóùèõ ñåêâåíöèé ïî ïðàâèëàì 115.
Ñåêâåíöèÿìè Σ íàçûâàåòñÿ âûâîäèìîé (èëè äîêàçóåìîé) â ÈÑ,
åñëè ñóùåñòâóåò âûâîä â ÈÑ, îêàí÷èâàþùèéñÿ ñåêâåíöèåé Σ.
Σ ; K ; Σk
Ïðàâèëî 1
íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì â ÈÑ, åñëè èç âûΣ
âîäèìîñòè â ÈÑ ñåêâåíöèé Σ1, ..., Σk ñëåäóåò âûâîäèìîñòü ñåêâåíöèè Σ.
Îïðåäåëèì èñ÷èñëåíèå ÈÂ. Ñõåìàìè àêñèîì èñ÷èñëåíèÿ È ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
1. (A ⊃ (B ⊃ A ));
2. ((A ⊃ B ) ⊃ ((A ⊃ (B ⊃ C )) ⊃ (A ⊃ C )));
3. ((A & B ) ⊃ A );
4. ((A & B ) ⊃ B );
5. ((A ⊃ B ) ⊃ ((A ⊃ C ) ⊃ (A ⊃ (B & C ))));
6. (A ⊃ (A ∨ B ));
7. (B ⊃ (A ∨ B ));
8. ((A ⊃ C ) ⊃ ((B ⊃ C ) ⊃ ((A ∨ B ) ⊃ C )));
9. ((A ⊃ ¬ B ) ⊃ (B ⊃ ¬ A ));
10. (¬¬ A ⊃ A ).
Èñ÷èñëåíèå È èìååò ñëåäóþùåå ïðàâèëî âûâîäà (modus ponens):
A; ( A ⊃ B )
.
B
Àêñèîìîé (èëè âàðèàíòîì ñõåìû àêñèîì) íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå, ïîëó÷àåìîå èç äàííîé ñõåìû àêñèîì ïîäñòàíîâêîé âìåñòî
ñèìâîëîâ A, B è C êîíêðåòíûõ ôîðìóë. Ôîðìóëà A íàçûâàåòñÿ
íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ôîðìóë B è (A ⊃ B ).
Âûâîäîì â È íàçûâàåòñÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë
A1, ..., Ak òàêàÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî i (1 ≤ i ≤ k) Ai åñòü ëèáî àêñèîìà,
ëèáî íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå ïðåäûäóùèõ ôîðìóë.
Âûâîä èç ìíîæåñòâà ôîðìóë Γ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë A1, ..., Ak òàêàÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî i (1 ≤ i ≤ k) Ai åñòü ëèáî
àêñèîìà, ëèáî îäíà èç ôîðìóë Γ, ëèáî íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå ïðåäûäóùèõ ôîðìóë.
Áóäåì ïèñàòü A (Γ A ), åñëè ñóùåñòâóåò âûâîä (âûâîä èç Γ),
îêàí÷èâàþùèéñÿ ôîðìóëîé A. Ôîðìóëà A â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ âûâîäèìîé â È (âûâîäèìîé èç Γ).
Ìíîæåñòâî ôîðìóë Γ íàçîâåì ïðîòèâîðå÷èâûì, åñëè ñóùåñòâóåò ôîðìóëà A òàêàÿ, ÷òî Γ A è Γ ¬ A, íåïðîòèâîðå÷èâûì
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
66
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
Γ1 A1; K ; Γn An
íàçîâåì äîïóñòèìûì â ÈÂ
ΓB
ïðàâèëîì, åñëè â ÈÂ èç Γ1 A1; ...; Γn An ñëåäóåò Γ B.
Èíòóèöèîíèñòñêèì èñ÷èñëåíèåì âûñêàçûâàíèé ÈÈ íàçûâàåòñÿ
èñ÷èñëåíèå, ñõåìàìè àêñèîì êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñõåìû àêñèîì
19 èñ÷èñëåíèÿ È è ôîðìóëû âèäà (¬ A ⊃ (A ⊃ B )), ïðàâèëîì
âûâîäà modus ponens. Îïðåäåëåíèå âûâîäèìîñòè â ÈÈ àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùåìó îïðåäåëåíèþ äëÿ ÈÂ; ÈA (Γ È A ) îçíà÷àåò, ÷òî A âûâîäèìà â ÈÈ (âûâîäèìà â ÈÈ èç Γ).
Ëîãè÷åñêîé ìàòðèöåé íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà M = ⟨M, D, &, ∨, ⊃, ¬⟩,
ãäå M íåïóñòîå ìíîæåñòâî, D ⊆ M, &, ∨, ⊃ äâóìåñòíûå,
¬ îäíîìåñòíàÿ ôóíêöèÿ íà M. Ôîðìóëà A íàçûâàåòñÿ îáùåçíà÷èìîé â M, åñëè ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ â ìíîæåñòâå
M çíà÷åíèå ôîðìóëû A âõîäèò â D.
Ãîâîðèì, ÷òî ôîðìóëà A çàâèñèò îò ñèñòåìû ôîðìóë Δ, åñëè
ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë B1, ..., Bn, ãäå
Bn = A è äëÿ ëþáîãî i (1 ≤ i ≤ n) Bi åñòü ðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè â
íåêîòîðóþ ôîðìóëó èç Δ èëè Bi åñòü íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå
ïðåäûäóùèõ ôîðìóë ïî modus ponens.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå A íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìîé îò Δ. Ñèñòåìà ôîðìóë Δ íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìîé, åñëè êàæäàÿ ôîðìóëà A èç Δ íåçàâèñèìà îò Δ\{A}.
Ñèñòåìà ñõåì àêñèîì íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìîé, åñëè äëÿ êàæäîé ñõåìû àêñèîì ñóùåñòâóåò åå âàðèàíò, íåçàâèñèìûé îò ìíîæåñòâà âàðèàíòîâ îñòàëüíûõ ñõåì àêñèîì.
Âûðàæåíèå âèäà
1. Ïîñòðîèòü âûâîäû ñåêâåíöèé â ÈÑ:
(à) (A ⊃ A );
(á) (A ⊃ B ), (B ⊃ C ) (A ⊃ C );
(â) (¬¬ A ≡ A );
(ã) (A ⊃ (B ⊃ C )), (A ⊃ B ), A C;
(ä) (A ⊃ B ), ¬ B ¬ A;
(å) A, ¬ B ¬ (A ⊃ B ).
2. Äîêàçàòü ïðàâèëî ïîäñòàíîâêè â ÈÑ: åñëè âûâîäèìà ñåêâåíöèÿ A1, ..., An B, P ïåðåìåííàÿ è C ëþáàÿ ôîðìóëà, òî
âûâîäèìà ñåêâåíöèÿ A1(P \C ), ..., An(P \C ) B (P \C ).
3. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ïðàâèëà ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè â ÈÑ:
(à)
Γ1 A; Γ 2 , A B
(ñå÷åíèå);
Γ1 , Γ 2 B
(á)
Γ, A, B C
(îáúåäèíåíèå ïîñûëîê);
Γ,( A & B ) C
§ 3. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé
(â)
Γ,( A & B ) C
(ðàñùåïëåíèå ïîñûëîê);
Γ, A, B C
(ã)
Γ, A C ; Γ, B C
(ðàçáîð ñëó÷àåâ);
Γ, ( A ∨ B ) C
(ä)
Γ, A B
(êîíòðàïîçèöèÿ);
Γ, ¬B ¬ A
(å)
Γ, ¬B ¬ A
(äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî);
Γ, A B
(æ)
A1, K , An B
(ââåäåíèå & è ⊃);
(( A1 & K & An ) ⊃ B )
(ç)
(( A1 & K & An ) ⊃ B )
(óäàëåíèå & è ¬).
A1, K , An B
4. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðàâèëî
áîé ôîðìóëû A, òî ïðàâèëî
67
Γ1 A
äîïóñòèìî â ÈÑ äëÿ ëþΓ2 A
Γ1 äîïóñòèìî â ÈÑ.
Γ2 5. Âûâåñòè â ÈÑ ñëåäóþùèå ñåêâåíöèè:
(à) (A ⊃ B ), (B ⊃ C ) (A ⊃ C );
(á) (A ⊃ (B ⊃ C )) (B ⊃ (A ⊃ C ));
(â) (A ⊃ (B ⊃ C )) ((A & B ) ⊃ C );
(ã) ((A & B ) ⊃ C ) (A ⊃ (B ⊃ C ));
(ä) (A ⊃ B ) ((B ⊃ C ) ⊃ (A ⊃ C ));
(å) (A ⊃ B ) ((C ⊃ A ) ⊃ (C ⊃ B ));
(æ) (A ⊃ B ) ((C & A ) ⊃ (C & B ));
(ç) (A ⊃ B ) ((A & C ) ⊃ (B & C ));
(è) (A ⊃ B ) ((A ∨ C ) ⊃ (B ∨ C ));
(ê) (A ⊃ B ) ((C ∨ A ) ⊃ (C ∨ B ));
(ë) ¬ A (A ⊃ B );
(ì) A (¬ A ⊃ B );
(í) B (A ⊃ B );
(î) (A ⊃ B ) (¬ B ⊃¬ A );
(ï) (A ⊃¬ B ) (B ⊃¬ A );
(ð) (¬ A ⊃ B ) (¬ B ⊃ A );
(ñ) (¬ A ⊃¬ B ) (B ⊃ A ).
6. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ïðàâèëà äîïóñòèìû â ÈÑ:
68
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
(à)
Γ, A B ; Γ, B A
;
Γ (A ≡ B)
(á)
Γ (A ≡ B)
;
Γ, A B
(â)
Γ (A ≡ B)
.
Γ, B A
7. Âûâåñòè â ÈÑ ñëåäóþùèå ñåêâåíöèè:
(à) (A ⊃ B ), (B ⊃ A ) (A ≡ B );
(á) (A ≡ B ) (A ⊃ B );
(â) (A ≡ B ) (B ⊃ A );
(ã) (A ≡ B ), A B;
(ä) (A ≡ A );
(å) (A ≡ B ), (B ≡ C ) (A ≡ C );
(æ) (A ≡ B ) (B ≡ A );
(ç) (A ≡ B ) (¬ A ≡ ¬ B );
(è) (A ≡ B ) ((A & C ) ≡ (B & C ));
(ê) (A ≡ B ) ((C & A ) ≡ (C & B ));
(ë) (A ≡ B ) ((A ∨ C ) ≡ (B ∨ C ));
(ì) (A ≡ B ) ((C ∨ A ) ≡ (C ∨ B ));
(í) (A ≡ B ) ((A ⊃ C ) ≡ (B ⊃ C ));
(î) (A ≡ B ) ((C ⊃ A ) ≡ (C ⊃ B )).
8. Ïóñòü A ôîðìóëà, B ïîäôîðìóëà ôîðìóëû A, A1
ðåçóëüòàò çàìåíû íåêîòîðîãî âõîæäåíèÿ B â A íà ôîðìóëó B1.
Äîêàçàòü âûâîäèìîñòü â ÈÑ ñåêâåíöèè (B ≡ B1) (A ≡ A1) (òåîðåìà î çàìåíå â ÈÑ).
9. Âûâåñòè â ÈÑ ñëåäóþùèå ñåêâåíöèè:
(à) ((A & B ) ≡ (B & A ));
(á) ((A ∨ B ) ≡ (B ∨ A ));
(â) ((A & (B & C )) ≡ ((A & B ) & C ));
(ã) ((A ∨ (B ∨ C )) ≡ ((A ∨ B ) ∨ C ));
(ä) ((A & (B ∨ C )) ≡ ((A & B ) ∨ (A & C )));
(å) ((A ∨ (B & C )) ≡ ((A ∨ B ) & (A ∨ C )));
(æ) (¬ (A & B ) ≡ (¬ A ∨ ¬ B ));
(ç) (¬ (A ∨ B ) ≡ (¬ A &¬ B ));
(è) ((A ⊃ B ) ≡ (¬ A ∨ B ));
(ê) (¬ A ∨ A );
(ë) ((A ⊃ B ) ∨ (B ⊃ A )).
10. Ïóñòü A ôîðìóëà, à A1 åå ê.í.ô. (ñì. § 1). Äîêàçàòü âûâîäèìîñòü â ÈÑ ñåêâåíöèè (A ≡ A1).
§ 3. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé
69
11. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé òîæäåñòâåííî èñòèííîé ê.í.ô. A
ñåêâåíöèÿ A âûâîäèìà â ÈÑ.
12. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè ñåêâåíöèÿ A1, ..., An B âûâîäèìà â ÈÑ, òî ôîðìóëà
((A1 & ... & An) ⊃ B ) òîæäåñòâåííî èñòèííà;
(á) åñëè ñåêâåíöèÿ B âûâîäèìà â ÈÑ, òî ôîðìóëà B òîæäåñòâåííî èñòèííà;
(â) åñëè ñåêâåíöèÿ A1, ..., An âûâîäèìà â ÈÑ, òî ôîðìóëà
¬ (A1 & ... & An) òîæäåñòâåííî èñòèííà.
13*. Äîêàçàòü, ÷òî ñåêâåíöèÿ A âûâîäèìà â ÈÑ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A òîæäåñòâåííî èñòèííà (òåîðåìà î ïîëíîòå ÈÑ ).
14. Âûâîäèìû ëè â ÈÑ ñëåäóþùèå ñåêâåíöèè:
(à) ((P ∨ Q) ⊃ (P & R ));
(á) (((P ⊃ Q) ⊃ Q) ⊃ P );
(â) (((P ⊃ Q) ⊃ Q) ⊃ Q);
(ã) (¬ (P ∨¬ P ) ⊃ (P ∨¬ P ));
(ä) P ¬ (P ⊃¬ P );
(å) (P ⊃ Q) (Q ⊃ P )?
15*. Äîêàçàòü èíòåðïîëÿöèîííóþ òåîðåìó äëÿ ÈÑ: åñëè äîêàçóåìà ñåêâåíöèÿ A B è íåäîêàçóåìû ñåêâåíöèè A è B, òî ñóùåñòâóåò ôîðìóëà C, âñå ïåðåìåííûå êîòîðîé âõîäÿò êàê â A,
òàê è â B, òàêàÿ, ÷òî äîêàçóåìû ñåêâåíöèè A C è C B (òàêàÿ
ôîðìóëà C íàçûâàåòñÿ èíòåðïîëÿíòîì).
16. Ïîñòðîèòü èíòåðïîëÿíòû (ñì. çàäà÷ó 15) äëÿ ñëåäóþùèõ
ñåêâåíöèé:
(à) ¬ (¬ Q ∨ R ) (P ⊃ Q);
(á) ¬ (P ⊃¬ (Q & S )) ((S ⊃ (P ⊃ R )) ⊃ R ).
17. ßâëÿþòñÿ ëè âûâîäàìè â ÈÂ ñëåäóþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôîðìóë:
(à) (P ⊃ (P ∨Q));
(á) (P ⊃ (P ∨ Q)), ((P ⊃ (P ∨ Q)) ⊃ (P ⊃ (P ⊃ (P ∨ Q)))),
(P ⊃ (P ⊃ (P ∨Q)));
(â) (P ⊃ (Q ⊃ P )), ((P ⊃ (P ∨ Q)) ⊃ Q), Q ?
18. Ïîñòðîèòü âûâîäû ñëåäóþùèõ ôîðìóë â ÈÂ:
(à) (P ⊃ P );
(á) ((P ∨ P ) ⊃ P );
(â) (P ⊃ ¬¬ P ).
19. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A âûâîäèìà â ÈÂ, òî A (P \B ) âûâîäèìà â ÈÂ äëÿ ëþáûõ ïåðåìåííîé P è ôîðìóëû B (ïðàâèëî ïîäñòàíîâêè).
%
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
20. Íàéòè ìèíèìàëüíîå ìíîæåñòâî Γ òàê, ÷òîáû ñëåäóþùàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áûëà âûâîäîì â ÈÂ èç Γ:
(à) (P ⊃ (Q ⊃ R )), P, (Q ⊃ R ) , Q, R;
(á) ((P ⊃ ¬¬ Q) ⊃ (¬ Q ⊃ ¬ P )), (P ⊃ ¬¬Q), (¬ Q ⊃ ¬ P ), ¬ Q, ¬ P.
21. Äîêàçàòü, ÷òî A A â ÈÂ.
22. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ïðàâèëà ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè
â ÈÂ:
Γ A
(à)
;
B, Γ A
(á)
B, B, Γ A
;
B, Γ A
(â)
Γ, A, B , Γ1 C
;
Γ, B , A, Γ1 C
(ã)
Γ A; A, Γ1 B
;
Γ, Γ1 B
(ä)
A1, K , An B
.
A1(P \ C ), K , An (P \ C ) B (P \ C )
23*. Äîêàçàòü òåîðåìó î äåäóêöèè â ÈÂ: åñëè Γ, A B, òî
Γ (A ⊃ B ).
24. Äîêàçàòü äëÿ ÈÂ:
(à) Γ, A, B (A & B ) (ââåäåíèå &);
(á) Γ, A (A ∨ B ) (ââåäåíèå ∨);
(â) Γ, B (A ∨ B ) (ââåäåíèå ∨);
(ã)
Γ, A B ; Γ, A ¬B
(ââåäåíèå ¬);
Γ¬A
(ä) Γ, (A & B ) A (óäàëåíèå &);
(å) Γ, (A & B ) B (óäàëåíèå &);
(æ)
Γ, A C ; Γ, B C
(óäàëåíèå ∨);
Γ, ( A ∨ B ) C
(ç) Γ, ¬¬ A A (óäàëåíèå ¬).
25. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî Γ íåïðîòèâîðå÷èâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ôîðìóëà, íåâûâîäèìàÿ â È èç Γ.
26. Äîêàçàòü, ÷òî â ÈÂ:
(à) (A ≡ A );
(á) (A ≡ B ) (B ≡ A);
§ 3. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé
%
(â) (A ≡ B ), (B ≡ C ) (A ≡ C);
(ã) (A ≡ B ) (¬ A ≡ ¬ B );
(ä) (A ≡ B ) ((A & C ) ≡ (B & C ));
(å) (A ≡ B ) ((C & A ) ≡ (C & B ));
(æ) (A ≡ B ) ((A ∨ C ) ≡ (B ∨ C ));
(ç) (A ≡ B ) ((C ∨ A) ≡ (C ∨ B ));
(è) (A ≡ B ) ((A ⊃ C ) ≡ (B ⊃ C ));
(ê) (A ≡ B ) ((C ⊃ A) ≡ (C ⊃ B )).
27. Ïóñòü A ôîðìóëà, B ïîäôîðìóëà ôîðìóëû A, A1
ðåçóëüòàò çàìåíû íåêîòîðîãî âõîæäåíèÿ B â A íà ôîðìóëó B1.
Äîêàçàòü òåîðåìó î çàìåíå â ÈÂ:
(B ≡ B1) (A ≡ A1).
28. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôîðìóëû âûâîäèìû â ÈÂ:
(à) ((A & (B & C )) ≡ ((A & B) & C ));
(á) ((A ∨ (B ∨ C )) ≡ ((A ∨ B) ∨ C ));
(â) ((A & B ) ≡ (B & A ));
(ã) ((A ∨ B ) ≡ (B ∨ A) );
(ä) ((A & (B ∨ C )) ≡ ((A & B ) ∨ (A & C )));
(å) ((A ∨(B & C )) ≡ ((A ∨B ) & (A ∨C )));
(æ) ((A & A ) ≡ A );
(ç) ((A ∨ A ) ≡ A );
(è) ((A ∨ (A & B )) ≡ A ) ;
(ê) ((A & (A ∨ B )) ≡ A ) ;
(ë) (¬¬ A ≡ A );
(ì) ¬ (A &¬ A );
(í) (A ∨¬ A );
(î) ((A & B ) ≡ ¬ (¬ A ∨ ¬ B ) );
(ï) ((A ∨ B ) ≡ ¬ (¬ A &¬ B ));
(ð) ((A ⊃ B ) ≡ ¬ (A &¬ B ));
(ñ) ((A ⊃ B ) ≡ (¬ A ∨ B ));
(ò) ((A & B ) ≡¬ (A ⊃ ¬ B ) );
(ó) ((A ∨ B ) ≡ (¬ A ⊃ B ));
(ô) (¬ (A & B ) ≡ (¬ A ∨¬ B ) );
(õ) (¬ (A ∨ B ) ≡ (¬ A &¬ B ));
(ö) (¬¬¬ A ≡ ¬ A ).
29. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôîðìóëà A âûâîäèìà â ÈÂ, òî ñåêâåíöèÿ A âûâîäèìà â ÈÑ.
30*. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè ñåêâåíöèÿ A1, ..., An B âûâîäèìà â ÈÑ, òî A1, ...,
An B â ÈÂ;
%
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
(á) åñëè ñåêâåíöèÿ A1, ..., An B âûâîäèìà â ÈÑ, òî A1, ...,
An (B &¬ B ) â ÈÂ;
(â) åñëè ñåêâåíöèÿ B âûâîäèìà â ÈÑ, òî ôîðìóëà B âûâîäèìà â ÈÂ.
31. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) âñå àêñèîìû ÈÂ òîæäåñòâåííî èñòèííû;
(á) âñå âûâîäèìûå â ÈÂ ôîðìóëû òîæäåñòâåííî èñòèííû.
32. Äîêàçàòü òåîðåìó î ïîëíîòå ÈÂ: êàæäàÿ òîæäåñòâåííî èñòèííàÿ ôîðìóëà âûâîäèìà â ÈÂ.
33. Íàéòè òàêèå ôîðìóëû A è B, ÷òî èç âûâîäèìîñòè â ÈÂ
ôîðìóëû A ñëåäóåò âûâîäèìîñòü B, íî íåâåðíî, ÷òî A B.
34. Ïóñòü A ôîðìóëà è P1, ..., Pn âñå åå ïåðåìåííûå. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A íåâûâîäèìà â ÈÂ, òî ñóùåñòâóþò òàêèå ôîðìóëû B1, ..., Bn, ÷òî â ÈÂ âûâîäèìà ôîðìóëà ¬ A (P1\B1, ..., Pn\Bn).
35. Ïóñòü A è B ôîðìóëû. Ïîëîæèì
A ≈ B (A ≡ B ) â ÈÂ; || A || {B | A ≈ B }.
Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ≈ åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå F âñåõ
ôîðìóë;
(á) ôàêòîð ìíîæåñòâî F/ ≈ { || A || A ∈ F } åñòü áóëåâà àëãåáðà,
ãäå || A || ≤ || B || ⇔ (A ⊃ B ) â ÈÂ (ýòà àëãåáðà íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé
Ëèíäåíáàóìà äëÿ ÈÂ);
(â) A âûâîäèìà â ÈÂ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà || A || åñòü íàèáîëüøèé ýëåìåíò 1 àëãåáðû F/ ≈.
36. Ïóñòü * áóëåâà àëãåáðà. Ïîñòàâèì åé â ñîîòâåòñòâèå ëîãè÷åñêóþ ìàòðèöó ⟨*; {1}, &, ∨, ⊃, ¬⟩, ãäå x & y = x ∩ y, x ∨ y = x ∪ y,
x ⊃ y = x ∪ y, ¬ x = x. Äîêàçàòü, ÷òî A âûâîäèìà â ÈÂ òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà A îáùåçíà÷èìà âî âñåõ ëîãè÷åñêèõ ìàòðèöàõ,
ñîîòâåòñòâóþùèõ áóëåâûì àëãåáðàì.
37*. (à) Ïóñòü T óëüòðàôèëüòð íà àëãåáðå Ëèíäåíáàóìà F/ ≈
(ñì. çàäà÷ó 35). Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïåðåìåííîé P ïîëîæèì çíà÷åíèå P ðàâíûì è, åñëè ||P || ∈ T, è ë â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Äîêàçàòü,
÷òî äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A
A ∈ T ⇔ A èñòèííà ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ.
(á) Âûâåñòè èç (à) òåîðåìó î ïîëíîòå èñ÷èñëåíèÿ È (ñì. çàäà÷ó 32).
38. Ïóñòü A ôîðìóëà, Δ ñèñòåìà ôîðìóë, M ëîãè÷åñêàÿ
ìàòðèöà. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè âñå ôîðìóëû èç Δ îáùåçíà÷èìû â M
§ 3. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé
%!
è íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå îáùåçíà÷èìûõ â M ôîðìóë åñòü
îáùåçíà÷èìàÿ â M ôîðìóëà, à ôîðìóëà A íå îáùåçíà÷èìà â M,
òî A íåçàâèñèìà îò Δ .
39. Ïóñòü M = {0, 1, 2}, D = {0}, x & y = max{x, y }, x ∨ y = = min{x, y },
x ⊃ y = max{0, y x }, ¬ x = 2 x. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà
A = ((P ⊃ (Q ⊃ R )) ⊃ ((P ⊃ Q) ⊃(P ⊃ R )))
íå çàâèñèò îò Δ, ãäå Δ = {(P ⊃ (Q ⊃ P )), ((¬ P ⊃ ¬ Q) ⊃ (Q ⊃ P ))},
èñïîëüçóÿ ëîãè÷åñêóþ ìàòðèöó ⟨M; D, &, ∨, ⊃, ¬⟩.
40*. Äîêàçàòü íåçàâèñèìîñòü ñõåì èñ÷èñëåíèÿ ÈÂ.
41. Ïóñòü L èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé ñî ñõåìàìè àêñèîì:
L1. (A ⊃ (B ⊃ A )),
L2. ((A ⊃ B ) ⊃ ((A ⊃ (B ⊃ C )) ⊃ (A ⊃ C ))),
L3. ((¬ A ⊃ ¬ B ) ⊃ (B ⊃ A ) )
A; ( A ⊃ B )
è ïðàâèëîì âûâîäà
.
B
(à) Äîêàçàòü, ÷òî âñå âûâîäèìûå â L ôîðìóëû âûâîäèìû òàêæå â ÈÂ.
(á) Äîêàçàòü òåîðåìó äåäóêöèè äëÿ L.
(â) Ïîëîæèì (A & B ) = ¬ (A ⊃ ¬ B ), (A ∨ B ) = (¬ A ⊃ B ). Äîêàçàòü, ÷òî âñå âûâîäèìûå â ÈÂ ôîðìóëû âûâîäèìû â L.
42. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) âñå âûâîäèìûå â ÈÈÂ ôîðìóëû âûâîäèìû â ÈÂ;
(á) (¬¬ P ⊃ P ), (P ∨ ¬ P ) íåâûâîäèìû â ÈÈÂ.
43. Äëÿ èñ÷èñëåíèÿ ÈÈ äîêàçàòü òåîðåìó î äåäóêöèè: åñëè Γ,
A È B, òî Γ È (A ⊃ B).
44. Ïóñòü ÈÈÑ èñ÷èñëåíèå ñåêâåíöèé, êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ
îò ÈÑ îòñóòñòâèåì ïðàâèëà 11. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè ôîðìóëà A âûâîäèìà â ÈÈÂ, òî ñåêâåíöèÿ A âûâîäèìà â ÈÈÑ;
(á) åñëè ñåêâåíöèÿ A1, ..., An B âûâîäèìà â ÈÈÑ, òî èìååì
A1, ..., An È B;
(â) åñëè ñåêâåíöèÿ A1, ..., An âûâîäèìà â ÈÈÑ, òî èìååì
A1, ..., An È (B &¬ B );
(ã) åñëè ñåêâåíöèÿ B âûâîäèìà â ÈÈÑ, òî ôîðìóëà B âûâîäèìà â ÈÈÂ.
45. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) È (A ⊃ ¬¬ A );
(á) È ¬¬ (¬¬ A ⊃ A );
(â) ¬¬ A, ¬¬ (A ⊃ B ) È ¬¬B .
74
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
46*. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôîðìóëà A âûâîäèìà â ÈÂ, òî ôîðìóëà ¬¬ A âûâîäèìà â ÈÈÂ.
47. Ïóñòü Mn = {0, 1, ..., n}, D = {0}, x & y = max{x, y}, x ∨ y =
⎧0, åñëè x ≥ y,
⎧0, åñëè x = n,
= min{x, y}, x ⊃ y = ⎨
, ¬x= ⎨
y
,
åñëè
x
y
,
<
⎩
⎩n, åñëè x < n.
Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) âñå âûâîäèìûå â ÈÈ ôîðìóëû îáùåçíà÷èìû â
Mn = ⟨M; D, &, ∨, ⊃, ¬ ⟩ (n = 1, 2, ...).
(á) ôîðìóëû
An = ((P1 ≡ P2) ∨ ... ∨ (P1 ≡ Pn + 1) ∨ ... ∨(Pn ≡ Pn + 1))
íåâûâîäèìû â ÈÈÂ (n = 1, 2, ...).
48*. Ïóñòü M = ⟨M; D, &, ∨, ⊃, ¬ ⟩ ëîãè÷åñêàÿ ìàòðèöà òàêàÿ, ÷òî ìíîæåñòâî îáùåçíà÷èìûõ â M ôîðìóë ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ôîðìóë, âûâîäèìûõ â ÈÈÂ. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî M
áåñêîíå÷íî.
§ 4. ßÇÛÊ ËÎÃÈÊÈ ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ
Ïóñòü I, J, K ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà. Ðàññìîòðèì àëôàâèò
S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 ∪ S5 ∪ S6, ãäå
S1 = {ν0, ν1, ν2, ...} ïðåäìåòíûå ïåðåìåííûå,
S2 = {Pin }i ∈ J (ni ∈ N } ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû,
S3 = { fjn }j ∈ J (nj ∈ N } ôóíêöèîíàëüíûå ñèìâîëû,
S4 = {ak}k ∈ K ïðåäìåòíûå êîíñòàíòû,
S5 = {&, ∨, ⊃, ¬, ∀, ∃} ëîãè÷åñêèå ñèìâîëû,
S6 = { , , (,)} âñïîìîãàòåëüíûå ñèìâîëû.
i
j
Pini íàçûâàåòñÿ ni-ìåñòíûì ïðåäèêàòíûì ñèìâîëîì, fj nj íàçûâàåòñÿ nj-ìåñòíûì ôóíêöèîíàëüíûì ñèìâîëîì, ñèìâîë ∀ íàçûâàåòñÿ
êâàíòîðîì îáùíîñòè, à ñèìâîë ∃ êâàíòîðîì ñóùåñòâîâàíèÿ.
Íàçâàíèÿ îñòàëüíûõ ñèìâîëîâ è ñîêðàùåííûå îáîçíà÷åíèÿ ïðèâåäåíû â § 1.
σ = S2 ∪ S3 ∪ S4 íàçîâåì ñèãíàòóðîé. Íà äàëüíåéøåå çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ ñèãíàòóðó σ.
Äàäèì îïðåäåëåíèå òåðìà ñèãíàòóðû σ.
1. Ïðåäìåòíûå ïåðåìåííûå è ïðåäìåòíûå êîíñòàíòû ÿâëÿþòñÿ
òåðìàìè.
§ 4. ßçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ
75
n
2. Åñëè f n-ìåñòíûé ôóíêöèîíàëüíûé ñèìâîë èç σ è t1, ..., tn
òåðìû, òî f n(t1, ..., tn) òåðì.
3. Íèêàêèõ òåðìîâ, êðîìå ïîñòðîåííûõ ïî ïï. 1 è 2, íåò.
Òåðì íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè îí íå ñîäåðæèò ïåðåìåííûõ.
Àòîìíîé ôîðìóëîé ñèãíàòóðû σ íàçîâåì ïðîèçâîëüíîå ñëîâî
P n(t1, ..., tn), ãäå P n n-ìåñòíûé ïðåäèêàòíûé ñèìâîë èç σ, à
t1, ..., tn òåðìû ñèãíàòóðû σ.
Äàäèì îïðåäåëåíèå ôîðìóëû ñèãíàòóðû σ.
1. Àòîìíàÿ ôîðìóëà åñòü ôîðìóëà.
2. Åñëè A è B ôîðìóëû, òî ¬ A, (A ⊃ B ), (A & B) , (A ∨ B )
ôîðìóëû.
3. Åñëè A ôîðìóëà, à x ïðåäìåòíàÿ ïåðåìåííàÿ, òî ∀ x A,
òî ∃ x A ôîðìóëû. ( ýòîì ñëó÷àå ∀ x A è ∃ x A íàçûâàþòñÿ
îáëàñòüþ äåéñòâèÿ êâàíòîðà ∀ x èëè ∃ x ñîîòâåòñòâåííî.)
4. Íèêàêèõ ôîðìóë, êðîìå ïîñòðîåííûõ ïî ïï. 13, íåò.
Âõîæäåíèå ïåðåìåííîé x â ôîðìóëó íàçûâàåòñÿ ñâÿçàííûì, åñëè
îíî íàõîäèòñÿ â îáëàñòè äåéñòâèÿ êâàíòîðà ∀ x èëè ∃ x, è ñâîáîäíûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ïåðåìåííàÿ x íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé ôîðìóëû A, åñëè â A èìååòñÿ ñâîáîäíîå âõîæäåíèå x, è
ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé ôîðìóëû A, åñëè â A èìååòñÿ ñâÿçàííîå âõîæäåíèå x. Òåðì t íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíûì äëÿ ïåðåìåííîé x â ôîðìóëå A,
åñëè íèêàêîå ñâîáîäíîå âõîæäåíèå x â A íå íàõîäèòñÿ â îáëàñòè
äåéñòâèÿ íèêàêîãî êâàíòîðà ∀ y èëè ∃ y, ãäå y ïåðåìåííàÿ, âõîäÿùàÿ â t. Ôîðìóëà A íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé ôîðìóëîé èëè ïðåäëîæåíèåì, åñëè âñÿêîå âõîæäåíèå ïåðåìåííîé â A ÿâëÿåòñÿ ñâÿçàííûì.
Ïîäñëîâî ôîðìóëû A, êîòîðîå ñàìî ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé, íàçûâàåòñÿ ïîäôîðìóëîé ôîðìóëû A.
 äàëüíåéøåì èñïîëüçóåì ñèìâîëû x, y, z, x1, x2, ... äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïðåäìåòíûõ ïåðåìåííûõ (t1, t2, ... äëÿ îáîçíà÷åíèÿ
òåðìîâ, A, B, ... äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ôîðìóë).  ñëó÷àÿõ, êîãäà ðå÷ü
èäåò î ôîðìóëå A è ïåðåìåííûõ x1, ..., xn, èñïîëüçóåòñÿ òàêæå
çàïèñü A (x 1, ..., xn). Åñëè A (x 1, ..., xn) ôîðìóëà, òî ÷åðåç
A (t1, ..., tn) îáîçíà÷àåì ðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè òåðìîâ t1, ..., tn â
A âìåñòî âñåõ ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé ïåðåìåííûõ x1, ..., xn.
Ïóñòü M íåïóñòîå ìíîæåñòâî è R n íåêîòîðîå n-ìåñòíîå
îòíîøåíèå íà M. n-Ìåñòíûì ïðåäèêàòîì íà M, ñîîòâåòñòâóþùèì îòíîøåíèþ R n, íàçûâàåòñÿ n-ìåñòíàÿ ôóíêöèÿ P n èç M â
{è, ë} òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ a1, ..., an ∈ M
P n (a1, ..., an) = è ⇔ ⟨a1, ..., an⟩ ∈ R n.
Àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìîé M = ⟨M; σ⟩ ñèãíàòóðû σ íàçûâàåòñÿ
íåïóñòîå ìíîæåñòâî M, ãäå êàæäîìó n-ìåñòíîìó ïðåäèêàòíîìó
76
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
(ôóíêöèîíàëüíîìó) ñèìâîëó èç σ ñîïîñòàâëåí n-ìåñòíûé ïðåäèêàò (ôóíêöèÿ) íà M, à êàæäîé ïðåäìåòíîé êîíñòàíòå èç σ
ñîïîñòàâëåí íåêîòîðûé ýëåìåíò èç M. Ïðåäèêàòû (ôóíêöèè, ýëåìåíòû), ñîïîñòàâëåííûå ñèìâîëàì èç σ, îáîçíà÷àåì òåìè æå
ñèìâîëàìè.
Àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó M = ⟨M; σ⟩ íàçûâàåò ìîäåëüþ, åñëè σ
íå ñîäåðæèò ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ.
Ìîùíîñòüþ ñèñòåìû M = ⟨M; σ⟩ íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòü M
ìíîæåñòâà M è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç M .
Ïóñòü σ1 ⊆ σ2. Ñèñòåìà M1 = ⟨M; σ1⟩ íàçûâàåòñÿ îáåäíåíèåì ñèñòåìû M2 = ⟨M; σ2⟩, à M2 îáîãàùåíèåì M1, åñëè ñèìâîëû èç σ1
èíòåðïðåòèðóþòñÿ îäèíàêîâî â M1 è M2.
Ïóñòü M1 ⊆ M2. Ñèñòåìà (ìîäåëü) M1 = ⟨M1; σ⟩ íàçûâàåòñÿ ïîäñèñòåìîé (ïîäìîäåëüþ) M2 = ⟨M2; σ⟩, à M2 ðàñøèðåíèåì M1,
åñëè âñå ñèìâîëû èç σ èíòåðïðåòèðóþòñÿ â M1 è M2 îäèíàêîâî
íà ýëåìåíòàõ èç M1. Åñëè M1 ≠ M2, òî ïîäñèñòåìà (ðàñøèðåíèå,
ïîäìîäåëü) íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé.
Ïóñòü t òåðì ñèãíàòóðû s, âñå ïåðåìåííûå êîòîðîãî ñîäåðæàòñÿ ñðåäè x1, ..., xk, M = ⟨M; σ⟩ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Çíà÷åíèå òåðìà t ïðè çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ m1, ..., mk ∈ M îïðåäåëÿåòñÿ ïî èíäóêöèè.
1. Åñëè t åñòü ïåðåìåííàÿ xi, òî çíà÷åíèå t åñòü mi .
2. Åñëè t åñòü f n(t1, ..., tn), à çíà÷åíèÿ t1, ..., tn åñòü a1, ..., an , òî
çíà÷åíèå t åñòü f n (a1, ..., an).
Ïðåäëîæåíèåì ñèãíàòóðû σ, îòíîñÿùèìñÿ ê àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå M = ⟨M; σ⟩, íàçûâàåòñÿ ïðåäëîæåíèå ñèãíàòóðû σM = σ ∪ M.
Èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå ïðåäëîæåíèÿ A, îòíîñÿùåãîñÿ ê M, îïðåäåëèì ïî èíäóêöèè (M A áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî A èñòèííî â M):
(à) M Pini (t1, ..., tni ), ãäå t1, ..., tni òåðìû ñèãíàòóðû σM áåç
ïåðåìåííûõ, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Pini (t1, ..., tni ) èñòèííî â M;
(á) M (A & B ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà M A è M B;
(â) M (A ∨ B ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà M A èëè M B;
(ã) M (A ⊃ B ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà M A èëè M B;
(ä) M ¬ A òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà M A;
(å) M ∀ xA (x) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà M A (m) äëÿ
âñåõ m ∈ M;
(æ) M ∃ xA(x) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà M A (m) äëÿ
íåêîòîðîãî m ∈ M.
Ôîðìóëà A (x1, ..., xk) ñèãíàòóðû σ, âñå ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå êîòîðîé åñòü x1, ..., xk, íàçûâàåòñÿ èñòèííîé â M = ⟨M; σ⟩ ïðè
§ 4. ßçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ
77
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ m1, ..., mk ∈ M ñîîòâåòñòâåííî, åñëè ïðåäëîæåíèå A (m1, ..., mk) èñòèííî â M.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå A ñ÷èòàåòñÿ ëîæíîé â M = ⟨M; σ⟩.
1. Ïóñòü f 1 îäíîìåñòíûé, g 2 äâóìåñòíûé, h 3 òðåõìåñòíûé ôóíêöèîíàëüíûå ñèìâîëû. ßâëÿþòñÿ ëè òåðìàìè ñëîâà:
(à) f 1(g 2(ν0, ν1));
(á) g 2(f 1(ν2, h 3(ν0, ν1, ν2)));
(â) f 1(g 2(ν0), h 3(ν0, ν1, ν2))?
2. Ïóñòü f 1, g 2, h 3 òå æå, ÷òî â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, P 1 îäíîìåñòíûé, Q 3 òðåõìåñòíûé ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû. ßâëÿþòñÿ ëè
ôîðìóëàìè ñëîâà:
(à) Q 3(ν0, f 1(ν1), h 3(ν1, ν2, ν2));
(á) (P 1(ν0) ⊃ ∀ ν1(Q 3(ν0, ν1, ν2) & P 1(g 2(ν0, ν1))));
(â) Q 3(P 1(ν0), f 1(ν1), f 1(ν2));
(ã) f 1(h 3(ν0, ν1, ν2))?
3. Ïîêàçàòü, ÷òî âûðàæåíèå
∃ν0 ∀ν1 ... ∀νν0 (P (ν1) & ... & P (νν0)),
ãäå P îäíîìåñòíûé ïðåäèêàòíûé ñèìâîë, íå ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé.
4. Âûïèñàòü âñå ïîäôîðìóëû ôîðìóëû:
(à) Q 2 (f 1(ν0), g 2(ν0, ν1));
(á) (∃ν0Q 2(ν0, ν1) ⊃ ¬ (P 1 (g 2(ν0, ν1)) &∀ ν2P 1 (ν2))).
5. Îïèñàòü ìíîæåñòâî òåðìîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé ν0 :
(à) è ôóíêöèîíàëüíîãî ñèìâîëà f 1;
(á) è ôóíêöèîíàëüíîãî ñèìâîëà g 2.
6. Êàêèå âõîæäåíèÿ ïåðåìåííûõ ÿâëÿþòñÿ ñâîáîäíûìè, à êàêèå ñâÿçàííûìè â ôîðìóëàõ:
(à) ∀ ν0(P (ν0, ν1) ⊃ ∀ ν1Q (ν1));
(á) (∀ ν0P (ν0, ν1) ⊃ ∀ ν1R (ν0, ν1));
(â) (¬ ∃ ν2Q (ν2, ν2) & R (f (ν1, ν2)))?
7. ßâëÿþòñÿ ëè ñâîáîäíûìè äëÿ x â A òåðì t:
(à) t = f (ν0, ν3), x = ν1, A = ∀ ν0P (ν0, ν1);
(á) t = f (ν1, ν2), x = ν1, A = (P (ν1, ν2) ⊃ ∃ ν2Q (ν2))?
8. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) òåðì, íå ñîäåðæàùèé ïåðåìåííûõ, ñâîáîäåí äëÿ ëþáîé
ïåðåìåííîé â ëþáîé ôîðìóëå;
(á) ïåðåìåííàÿ x ñâîáîäíà äëÿ x â ëþáîé ôîðìóëå;
(â) åñëè A íå ñîäåðæèò ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé x, òî ëþáîé
òåðì ñâîáîäåí äëÿ x â A.
78
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
9. Ïóñòü M = ⟨N ; S 3, P 3⟩, ãäå
S 3(x, y, z) = è ⇔ x + y = z, P 3 (x, y, z) = è ⇔ x ⋅ y = z.
Çàïèñàòü ôîðìóëó ñ îäíîé ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé x, èñòèííóþ â M òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà:
(à) x = 0;
(á) x = 1;
(â) x = 2;
(ã) x ÷åòíî;
(ä) x íå÷åòíî;
(å) x ïðîñòîå ÷èñëî.
10. Çàïèñàòü ôîðìóëó ñ äâóìÿ ñâîáîäíûìè ïåðåìåííûìè x è y,
èñòèííóþ â M èç çàäà÷è 9 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà:
(à) x = y;
(á) x ≤ y;
(â) x < y;
(ã) x äåëèò y;
(ä) x è y ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè ÷èñëàìè-áëèçíåöàìè.
11. Çàïèñàòü ôîðìóëó ñ òðåìÿ ñâîáîäíûìè ïåðåìåííûìè x, y
è z, èñòèííóþ â M èç çàäà÷è 9 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà:
(à) z íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå x è y.
(á) z íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü x è y.
12. Çàïèñàòü ïðåäëîæåíèå, âûðàæàþùåå â ìîäåëè M èç çàäà÷è 9:
(à) êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ;
(á) àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ;
(â) êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ;
(ã) àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ;
(ä) äèñòðèáóòèâíîñòü ñëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ;
(å) áåñêîíå÷íîñòü ìíîæåñòâà ïðîñòûõ ÷èñåë;
(æ) âñÿêîå ÷èñëî åñòü ñóììà ÷åòûðåõ êâàäðàòîâ;
(ç) ñóùåñòâîâàíèå í.î.ê. è í.î.ä. äëÿ ÷èñåë, îòëè÷íûõ îò íóëÿ.
13. Çàïèñàòü ïðåäëîæåíèå, âûðàæàþùåå â ìîäåëè M èç çàäà÷è 9:
(à) íåñóùåñòâîâàíèå åäèíèöû;
(á) ïðîñòûõ ÷èñåë êîíå÷íîå ÷èñëî;
(â) âñÿêîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ;
(ã) äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà ñóùåñòâóåò ñòðîãî ìåíüøåå ÷èñëî;
(ä) ñóùåñòâîâàíèå íàèáîëüøåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.
Èñòèííû ëè ýòè ïðåäëîæåíèÿ â ìîäåëè M?
§ 4. ßçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ
79
14. Çàïèñàòü ïðåäëîæåíèå, âûðàæàþùåå â ìîäåëè M èç çàäà÷è 9:
(à) ïðîñòûõ ÷èñåë-áëèçíåöîâ áåñêîíå÷íî ìíîãî;
(á) âñÿêîå ÷åòíîå ÷èñëî, áîëüøåå 2, åñòü ñóììà äâóõ ïðîñòûõ.
15. Çàïèñàòü ïðåäëîæåíèå, âûðàæàþùåå â ìîäåëè M èç çàäà÷è 9 òî, ÷òî óðàâíåíèå 3x 2 + 2x + 1 = 0 èìååò â òî÷íîñòè äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ.
16. Çàïèñàòü ïðåäëîæåíèå, âûðàæàþùåå â ìîäåëè M èç çàäà÷è 9, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé
íå èìååò ðåøåíèÿ.
⎧3x − y = 0,
⎨
⎩x + y = 1
17. Ïóñòü M ìíîæåñòâî òî÷åê, ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé 3-ìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà ñî ñëåäóþùèìè ïðåäèêàòàìè:
T (x) = è ⇔ x òî÷êà;
Ïð(x) = è ⇔ x ïðÿìàÿ;
Ïë(x) = è ⇔ x ïëîñêîñòü;
Ë(x, y) = è ⇔ x ëåæèò íà y.
Çàïèñàòü ñëåäóþùèå ôîðìóëû:
(à) ÷åðåç êàæäûå äâå òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ; åñëè ýòè
òî÷êè ðàçëè÷íû, òî òàêàÿ ïðÿìàÿ åäèíñòâåííà;
(á) ÷åðåç êàæäûå òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé,
ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïëîñêîñòü;
(â) îïðåäåëåíèå ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ;
(ã) îïðåäåëåíèå ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé.
18.  ìîäåëè èç çàäà÷è 17 çàïèñàòü:
(à) àêñèîìó Åâêëèäà î ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ;
(á) àêñèîìó Ëîáà÷åâñêîãî î ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ.
19. Ïîäîáðàòü ïðåäèêàòû è çàïèñàòü:
(à) àêñèîìû Ãèëüáåðòà äëÿ åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè;
(á) àêñèîìû äëÿ ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî;
(â) àêñèîìû äëÿ ãåîìåòðèè Ðèìàíà.
20. Ðàññìîòðèì ìîäåëè ñ îäíèì 2-ìåñòíûì ïðåäèêàòîì R (x, y).
Çàïèñàòü, ÷òî äàííûé ïðåäèêàò R (x, y):
(à) ðåôëåêñèâåí;
(á) ñèììåòðè÷åí;
80
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
(â) òðàíçèòèâåí;
(ã) ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè.
21. Çàïèñàòü â ñèãíàòóðå τ = ⟨≤, =⟩, ãäå ≤ è = åñòü 2-ìåñòíûå
ïðåäèêàòû, àêñèîìû:
(à) ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà;
(á) ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà.
22. Ïóñòü M ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî è
Q 2(x, y) = è ⇔ x ≤ y.
Çàïèñàòü, ÷òî:
(à) x åñòü íàèìåíüøèé ýëåìåíò;
(á) x åñòü ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò;
(â) x ëåæèò ìåæäó y è z;
(ã) ìíîæåñòâî ïëîòíî óïîðÿäî÷åííî;
(ä) êàæäûé ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì.
23. Ïóñòü M = P (A ), ãäå A íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, è
Q 2(x, y) = è ⇔ x ⊆ y.
Çàïèñàòü, ÷òî:
(à) x åñòü ïåðåñå÷åíèå y è z;
(á) x åñòü îáúåäèíåíèå y è z;
(â) x = ∅;
(ã) x = A;
(ä) x åñòü äîïîëíåíèå y.
24. Ðàññìîòðèì M = ⟨P (A ); =, f 2, g 2⟩, ãäå f 2 (x, y) = x ∩ y,
g (x, y) = x ∪ y, = ïðåäèêàò ðàâåíñòâà ìíîæåñòâ. Çàïèñàòü, ÷òî:
(à) x ⊆ y;
(á) x åñòü îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî.
2
25. Çàïèñàòü â ñèãíàòóðå τ = ⟨≤, =⟩ àêñèîìû:
(à) óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà ñ íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì
ýëåìåíòîì;
(á) äèñêðåòíî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà;
(â) ðåøåòêè;
(ã) äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêè;
(ä) äåäåêèíäîâîé ðåøåòêè;
(å) äèñòðèáóòèâíîé ðåøåòêè ñ îòíîñèòåëüíûìè äîïîëíåíèÿìè;
(æ) áóëåâîé àëãåáðû;
(ç) àòîìíîé áóëåâîé àëãåáðû.
26. Çàïèñàòü â ïîäõîäÿùåé ñèãíàòóðå àêñèîìû:
§ 5. Âûïîëíèìîñòü ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ
81
(à) êâàçèãðóïïû;
(á) ëóïû;
(â) ïîëóãðóïïû;
(ã) êîììóòàòèâíîé ïîëóãðóïïû;
(ä) êîììóòàòèâíîé ïîëóãðóïïû ñ ñîêðàùåíèåì.
27. Çàïèñàòü â ïîäõîäÿùåé ñèãíàòóðå àêñèîìû:
(à) ãðóïïû;
(á) àáåëåâîé ãðóïïû;
(â) óïîðÿäî÷åííîé àáåëåâîé ãðóïïû;
(ã) ïîëíîé ãðóïïû.
28. Çàïèñàòü â ïîäõîäÿùåé ñèãíàòóðå àêñèîìû:
(à) êîëüöà;
(á) àññîöèàòèâíîãî, êîììóòàòèâíîãî êîëüöà;
(â) êîëüöà Ëè;
(ã) îáëàñòè öåëîñòíîñòè;
(ä) òåëà;
(å) ïîëÿ;
(æ) àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîãî ïîëÿ;
(ç) âåùåñòâåííî çàìêíóòîãî ïîëÿ.
29. Ïóòü M = ⟨N ; P 1, g 1, 0⟩, ãäå g 1(x) = x + 1, à P 1 ïðîèçâîëüíûé îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò, 0 íóëü. Çàïèñàòü àêñèîìó èíäóêöèè äëÿ P 1.
30. Ïóñòü M = ⟨M; Q 2, P 1⟩, ãäå M âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå
ìíîæåñòâî, Q 2(x, y) ⇔ x ≤ y, P 1 ïðîèçâîëüíûé îäíîìåñòíûé
ïðåäèêàò. Çàïèñàòü àêñèîìó òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè äëÿ P 1.
§ 5. ÂÛÏÎËÍÈÌÎÑÒÜ ÔÎÐÌÓË ËÎÃÈÊÈ ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ
Ôîðìóëó A ñèãíàòóðû σ íàçîâåì âûïîëíèìîé, åñëè ñóùåñòâóåò
òàêàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà, ÷òî A èñòèííà â M ïðè íåêîòîðûõ
çíà÷åíèÿõ ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ. Ôîðìóëó A ñèãíàòóðû σ íàçîâåì òîæäåñòâåííî èñòèííîé (èëè òàâòîëîãèåé), åñëè A èñòèííà
â ëþáîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå ñèãíàòóðû σ ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôîðìóëà A ñåìàíòè÷åñêè ñëåäóåò èç ìíîæåñòâà ôîðìóë Γ (ñèìâîëè÷åñêè Γ A ),
åñëè äëÿ ëþáîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû M èç èñòèííîñòè â M
âñåõ ôîðìóë èç Γ ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ ñëåäóåò
èñòèííîñòü A â M ïðè òåõ æå çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ. Åñëè A B è
B A, òî ïèøåì A ∼ B.
Ôîðìóëà âèäà Q1 x1 ... Qn xn A, ãäå A áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà, Qi åñòü ∀ èëè ∃, íàçûâàåòñÿ ïðåäâàðåííîé (èëè ïðåíåêñíîé)
82
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
íîðìàëüíîé ôîðìîé. Åñëè âñå Qi åñòü ∀, òî ýòà ôîðìà íàçûâàåòñÿ
∀-ôîðìóëîé (èëè óíèâåðñàëüíîé ôîðìóëîé); åñëè âñå Qi åñòü ∃, òî
ýòà ôîðìà íàçûâàåòñÿ ∃-ôîðìóëîé (èëè ýêçèñòåíöèàëüíîé ôîðìóëîé). Åñëè ñóùåñòâóåò i (0 ≤ i ≤ n) òàêîå, ÷òî Q1, ..., Qi åñòü ∃, à
Qi + 1, ..., Qn åñòü ∀, òî ýòà ôîðìà íàçûâàåòñÿ ñêóëåìîâñêîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (èëè ∃∀-ôîðìóëîé).
Ïóòü P îäíîìåñòíûé ïðåäèêàòíûé ñèìâîë, íå âõîäÿùèé â σ.
Ëþáîé ôîðìóëå A ñèãíàòóðû σ ñîïîñòàâèì ôîðìóëó ρP (A ) (íàçûâàåìóþ ðåëÿòèâèçàöèåé A îòíîñèòåëüíî P ) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ρP (B ) = B äëÿ àòîìàðíîé ôîðìóëû B,
ρP ((B1 ∨ B2)) = (ρP (B1) ∨ ρP (B2)),
ρP ((B1 & B2)) = (ρP (B1) & ρP (B2)),
ρP ((B1 ⊃ B2)) = (ρP (B1) ⊃ ρP (B2)),
ρP (¬ B ) = ¬ ρP (B ),
ρP (∀ x B ) = ∀ x (P(x) ⊃ ρP (B )),
ρP (∃ x B ) = ∃ x (P(x) & ρP (B )).
Ïóñòü σ ñîäåðæèò äâóìåñòíûé ïðåäèêàòíûé ñèìâîë =. Îáîçíà÷èì ÷åðåç KEσ êëàññ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì ñèãíàòóðû σ òàêèõ,
÷òî â ñèñòåìàõ èç êëàññà KEσ ñîîòíîøåíèå x = y èñòèííî â òîì è
òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ýëåìåíòû x è y ñîâïàäàþò. Ñèñòåìû èç
êëàññà KEσ íàçûâàåì íîðìàëüíûìè ñèñòåìàìè.
1. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà A ñèãíàòóðû σ âûïîëíèìà â àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå M = ⟨M; σ⟩ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A âûïîëíèìà â ëþáîì îáîãàùåíèè M′ = ⟨M; σ′⟩.
2. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðåäëîæåíèÿ A ñèãíàòóðû σ, îòíîñÿùåãîñÿ ê àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå M = ⟨M; σ⟩, èìååì M A
èëè M ¬ A.
3. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) A âûïîëíèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ¬ A íå òîæäåñòâåííî èñòèííà;
(á) A òîæäåñòâåííî èñòèííà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ¬ A
íåâûïîëíèìà.
4. Äîêàçàòü, ÷òî áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà èñòèííà òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà îíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïîäñòàíîâêîé èç íåêîòîðîé
òîæäåñòâåííî èñòèííîé ôîðìóëû èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé.
5. (à) Äîêàçàòü, ÷òî åñëè çàìêíóòàÿ ∀-ôîðìóëà èñòèííà â àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå, òî îíà èñòèííà â ëþáîé åå ïîäñèñòåìå.
§ 5. Âûïîëíèìîñòü ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ
83
(á) Äîêàçàòü, ÷òî åñëè çàìêíóòàÿ ∀-ôîðìóëà èñòèííà â àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå, òî îíà èñòèííà â ëþáîì åå ðàñøèðåíèè.
(â) Ïðèâåñòè ïðèìåð ôîðìóëû A è àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû
M òàêèõ, ÷òî M A è A ëîæíà â íåêîòîðîì ðàñøèðåíèè è íåêîòîðîé ïîäñèñòåìå ñèñòåìû M.
6. Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩ åñòü ïîäñèñòåìà ñèñòåìû M 1 = ⟨M1; σ⟩.
Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðåäëîæåíèÿ A ñèãíàòóðû σ, îòíîñÿùåãîñÿ ê àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå M = ⟨M; σ⟩, M A òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà M2 ρP (A), ãäå M2 = ⟨M1; σ, P ⟩ åñòü îáîãàùåíèå M 1, à ρP (A ) ðåëÿòèâèçàöèÿ ôîðìóëû A, ïðè÷åì
äëÿ ëþáîãî a ∈ M1
M2 P (a) ⇔ a ∈ M.
7. Âûïîëíèìû ëè ôîðìóëû:
(à) ∃ x P (x);
(á) ∀ x P (x);
(â) ∃ x ∀ y (Q (x, x) & ¬ Q (x, y));
(ã) ∃ x ∃ y (P (x) & ¬ P (y));
(ä) ∃ x ∀ y (Q (x, y) ⊃ ∀ z R (x, y, z));
(å) (P (x) ⊃ ∀ y (P (y))?
8. ßâëÿþòñÿ ëè òîæäåñòâåííî èñòèííûìè ôîðìóëû:
(à) (∃ x P (x) ⊃ ∀ x P (x));
(á) ¬ (∃ x P (x) ⊃ ∀ x P ( x));
(â) (∃ x ∀ y Q (x, y) ⊃ ∀ y ∃ x Q (x, y));
(ã) (∀ x ∃ y Q (x, y) ⊃ ∃ y ∀ x Q ( x, y))?
9. Ïóñòü A (t) ïîëó÷àåòñÿ èç A (x) çàìåíîé âñåõ ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé ïåðåìåííîé x íà òåðì t. Äîêàçàòü òîæäåñòâåííóþ èñòèííîñòü ñëåäóþùèõ ôîðìóë, åñëè òåðì t ñâîáîäåí äëÿ x â A (x):
(à) ∀ xA (x) ⊃ A (t);
(á) A (t) ⊃ ∃ xA (x).
10. Ïðèâåñòè ïðèìåðû ôîðìóë A(x) è òåðìîâ t òàêèõ, ÷òîáû
ôîðìóëû (à) è (á) ïðåäûäóùåé çàäà÷è íå áûëè òîæäåñòâåííî
èñòèííû.
11*. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà
(∀ x ∃ y P (x, y) & ∀ x ∀ y (P (x, y) ⊃¬ P (y, x)) &
& ∀ x ∀ y ∀ z (P (x, y) ⊃ (P (y, z) ⊃ P (x, z))))
âûïîëíèìà â íåêîòîðîé áåñêîíå÷íîé ìîäåëè è ëîæíà âî âñåõ
êîíå÷íûõ.
84
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
12*. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà
∃ x ∀ y (F (x, y) ⊃ (¬ F (y, x) ⊃ (F (x, x) ≡ F (y, y))))
èñòèííà â ëþáîé ìîäåëè, ñîäåðæàùåé íå áîëåå òðåõ ýëåìåíòîâ.
13*. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôîðìóëû èñòèííû âî âñÿêîé
êîíå÷íîé ìîäåëè, íî íå òîæäåñòâåííî èñòèííû:
(à) ∃ x ∀ y ∃ z ((F (y, z) ⊃ F (x, z)) ⊃ (F (x, x) ⊃ F (y, x)));
(á) (∀ x1 ∀ x2 ∀ x3 (F (x1, x1) & (F (x1, x3) ⊃ (F (x1, x2) ∨ F (x2, x3)))) ⊃
⊃ ∃ y ∀ z F (y, z)).
14. Çàïèñàòü ôîðìóëó ñ îäíîìåñòíûìè ïðåäèêàòàìè, âûïîëíèìóþ ëèøü â ìîäåëÿõ, ñîäåðæàùèõ íå ìåíåå ïÿòè ýëåìåíòîâ.
15. Äîêàçàòü òîæäåñòâåííóþ èñòèííîñòü ñëåäóþùèõ ôîðìóë:
(à) (¬ ∃ x A (x) ⊃ ¬ ∀ x A (x));
(á) (∃ x (A (x) & (B ⊃ C (x))) ⊃ ∀ x (A (x) ⊃ ¬ C (x)) ⊃ ¬ B ), ãäå x
íå ñâîáîäíà â B;
(â) (∀ x (A (x) ⊃ ¬ B (x)) ⊃ ¬ (∃ x A (x) & ∀ x B (x)));
(ã) (∀ x (A (x) ⊃ ¬ B (x)) ⊃ ¬ (∀ x A (x) & ∃ x B (x))).
16. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè B íå ñîäåðæèò ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé x, òî:
(à) ¬ ∀ x A (x) ∼ ∃ x ¬ A (x);
(á) ¬ ∃ x A (x) ∼ ∀ x ¬ A (x);
(â) (∀ x A (x) & B ) ∼ ∀ x (A (x) & B );
(ã) (B & ∀ x A (x)) ∼ ∀ x (B & A (x));
(ä) (∃ x A (x) & B ) ∼ ∃ x (A (x) & B );
(å) (B & ∃ x A (x)) ∼ ∃ x (B & A (x));
(æ) (B ∨ ∀ x A (x)) ∼ ∀ x (B ∨ A (x));
(ç) (∀ x A (x) ∨ B ) ∼ ∀ x (A (x) ∨ B );
(è) (∃ x A (x) ∨ B ) ∼ ∃ x (A (x) ∨ B );
(ê) (B ∨ ∃ x A (x)) ∼ ∃ x (B ∨ A (x));
(ë) (∀ x A (x) ⊃ B ) ∼ ∃ x (A (x) ⊃ B );
(ì) (B ⊃ ∀ x A (x)) ∼ ∀ x (B ⊃ A (x));
(í) (∃ x A (x) ⊃ B ) ∼ ∀ x (A (x) ⊃ B );
(î) (B ⊃ ∃ x A (x)) ∼ ∃ x (B ⊃ A (x));
(ï) (∀ x A (x) & ∀ x C (x)) ∼ ∀ x (A (x) & C (x));
(ð) (∃ x A (x) ∨ ∃ x C (x)) ∼ ∃ x (A (x) ∨ C (x));
(ñ) ∀ x A (x) ∼ ∀ y A (y), ãäå A (x) íå ñîäåðæèò y, A (y) ïîëó÷àåòñÿ çàìåíîé âñåõ ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé x â A (x) íà y;
(ò) ∃ x A (x) ∼ ∃ y A (y), ãäå A (x) íå ñîäåðæèò y, A (y) ïîëó÷àåòñÿ çàìåíîé âñåõ ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé x â A (x) íà y;
(ó) ∀ x B ∼ B;
(ô) ∃ x B ∼ B.
§ 5. Âûïîëíèìîñòü ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ
85
17. Ïóñòü A ôîðìóëà, B ïîäôîðìóëà ôîðìóëû A, A1
ðåçóëüòàò çàìåíû íåêîòîðîãî âõîæäåíèÿ B â A íà ôîðìóëó B1.
Äîêàçàòü, ÷òî åñëè B ∼ B1, òî A ∼ A1 (òåîðåìà î çàìåíå).
18. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ôîðìóëû ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíàÿ åé ïðåíåêñíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà.
19. Ïðèâåñòè ê ïðåíåêñíîé íîðìàëüíîé ôîðìå, ñ÷èòàÿ A è B
áåñêâàíòîðíûìè ôîðìóëàìè:
(à) ¬ ∃ x ∀ y ∃ z ∀ u A;
(á)(∃ x ∀ y A (x, y) & ∃ x ∀ y B (x, y));
(â) (∃ x ∀ y A (x, y) ∨ ∃ x ∀ y B (x, y));
(ã) (∃ x ∀ y A (x, y) ⊃ ∃ x ∀ y B (x, y)).
20. Ïóñòü σ = ⟨ {Pini }i ∈ I, {fj nj }j ∈ J, {ak}k ∈ K ⟩, T ìíîæåñòâî âñåõ
òåðìîâ ñèãíàòóðû σ. Îïðåäåëèòü íà T ïðåäèêàòû è ôóíêöèè òàê,
÷òîáû T ñòàëî àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìîé ñèãíàòóðû σ.
21. (à) Ïóñòü ôîðìóëà ñèãíàòóðû σ èìååò âèä
∀ x1 ... ∀ xn ∃ y1 ... ∃ym B (x1, ..., xn, y1, ..., ym)
äëÿ íåêîòîðîé ôîðìóëû B (âîçìîæíî, ñîäåðæàùåé êâàíòîðû);
ϕ1, ..., ϕm n-ìåñòíûå ôóíêöèîíàëüíûå ñèìâîëû, íå âõîäÿùèå â
σ. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ñèñòåìû M = ⟨M; σ⟩ ñóùåñòâóåò îáîãàùåíèå M1 ñèãíàòóðû σ′ = σ ∪ {ϕ1, ..., ϕm} òàêîå, ÷òî
M1 ∀ x1 ... ∀ xn (∃ y1 ... ∃ym B (x1, ..., xn, y1, ..., ym) ≡
≡ B (x1, ..., xn, ϕ1 (x1, ..., xn), ..., ϕm( x1, ..., xn))).
(á) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðåäëîæåíèÿ A ñèãíàòóðû σ ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ ∀-ôîðìóëà A1 ñèãíàòóðû σ′, ïîëó÷åííîé äîáàâëåíèåì ê σ íîâûõ ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ, îáëàäàþùàÿ
ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîé ñèñòåìû M = ⟨M; σ⟩ ñóùåñòâóåò îáîãàùåíèå M1 ñèãíàòóðû σ′ òàêîå, ÷òî
M1 (A ≡ A′).
(Äîáàâëåííûå ôóíêöèè â M1 íàçûâàþòñÿ ñêóëåìîâñêèìè ôóíêöèÿìè.)
22. Äëÿ ôîðìóëû ∀ x ∃ z ∀ y ∃ u ((y > z ⊃ y > x) & (u < z) & ¬ (u < x))
ïîñòðîèòü ∀-ôîðìóëó, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîé óòâåðæäàåòñÿ â çàäà÷å 21 (á). Äëÿ ñèñòåìû M = ⟨N ; <⟩ íàéòè òðåáóåìîå îáîãàùåíèå.
23. Äëÿ ôîðìóëû ∀ x ∀ y ∃ z ∃ t (P (x, t) & ¬ P ( y, z)) ïîñòðîèòü
∀-ôîðìóëó, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîé óòâåðæäàåòñÿ â çàäà÷å 21 (á).
Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû M = ⟨M; P ⟩, ãäå M = {0, 1}, íàéòè ïîäõîäÿùåå îáîãàùåíèå.
86
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
24. Äëÿ ôîðìóëû
∀ x ∀ y ∃ z ∃ v ∀ t (¬ S (x, y, y) ⊃ (S (z, v, x) & P (v, t, t)))
è ñèñòåìû M = ⟨N ; S 3, P 3⟩ èç çàäà÷è 9 èç § 4 ïîñòðîèòü ñêóëåìîâñêèå ôóíêöèè (ñì. çàäà÷ó 21 (á)).
25. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôîðìóëà ñèãíàòóðû σ âûïîëíèìà, òî
îíà âûïîëíèìà íà íåêîòîðîé àëãåáðå òåðìîâ ñèãíàòóðû σ′ ⊇ σ.
26*. (à) Ïóñòü A (u, x, y) íå ñîäåðæèò ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ,
îòëè÷íûõ îò u, x, è y. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà ∃ u ∀ x ∃ y A (u, x, y)
òîæäåñòâåííî èñòèííà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà òîæäåñòâåííî
èñòèííà ôîðìóëà
∃ u (∀ x (∃ y A (u, x, y) ⊃ P (u, x)) ⊃ ∀ x P (u, x)),
ãäå P äâóìåñòíûé ïðåäèêàòíûé ñèìâîë, íå âõîäÿùèé â A (u, x, y).
(á) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðåäëîæåíèÿ A ìîæíî ïîñòðîèòü
ñêóëåìîâñêóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó A* òàêóþ, ÷òî A òîæäåñòâåííî
èñòèííà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A* òîæäåñòâåííî èñòèííà.
27. Ïóñòü A* ñêóëåìîâñêàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà ïðåäëîæåíèÿ
A. Ïîêàçàòü, ÷òî A ∼ A* â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî. Âñåãäà ëè âåðíî,
÷òî A A*? Àíàëîãè÷íûé âîïðîñ äëÿ A* A.
28. Ïðèâåñòè ê ñêóëåìîâñêîé íîðìàëüíîé ôîðìå:
(à) (∃ x ∀ y Q (x, y) ⊃ ∀ x ∃ y Q (x, y));
(á) ∃ x ∀ y ∃ z ∀ v R (x, y, z, v);
(â) ∀ x ∃ y ∀ v ∃ z R (x, y, z, v).
29. Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩ ïðîèçâîëüíàÿ ìîäåëü è M ⊆ M1. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ðàñøèðåíèå M1 = ⟨M1; σ⟩ ìîäåëè M òàêîå,
÷òî äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A (x 1 , ..., x n) è ëþáûõ ýëåìåíòîâ
a1, ..., an ∈ M
M A (a1, ..., an) ⇔ M1 A (a1, ..., an).
30. Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩ è M = {m1, ..., mn}. Ïóñòü C (x) ôîðìóëà ñî ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé x ñèãíàòóðû σ M = σ ∪ M. Äîêàçàòü, ÷òî
M ∃ x C (x) ⇔ M (C (m1) ∨ ... ∨ C (mn));
M ∀ x C (x) ⇔ (C (m1) & ... & C (mn)).
31. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà M êîíå÷íà, òî
äëÿ ëþáîãî ïðåäëîæåíèÿ A ìîæíî ïîñòðîèòü áåñêâàíòîðíîå ïðåäëîæåíèå A*, îòíîñÿùååñÿ ê M, òàêîå, ÷òî M (A ≡ A*).
§ 5. Âûïîëíèìîñòü ôîðìóë ëîãèêè ïðåäèêàòîâ
87
32. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîíå÷íà, òî äëÿ
ëþáîé ôîðìóëû ìîæíî â êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ïðîâåðèòü, âûïîëíèìà îíà íà ýòîé ñèñòåìå èëè íåò.
33. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà âèäà ∀ x1 ... ∀ xm A (x1, ..., xm), ãäå
A (x1, ..., xm) áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà áåç ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ è êîíñòàíò, òîæäåñòâåííî èñòèííà òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà îíà èñòèííà â ëþáîé ìîäåëè èç m ýëåìåíòîâ.
34. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà âèäà ∃ x1 ... ∃ xm A (x1, ..., xm), ãäå
A (x1, ..., xm) áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà áåç ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ è êîíñòàíò, òîæäåñòâåííî èñòèííà òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà îíà èñòèííà â ëþáîé îäíîýëåìåíòíîé ìîäåëè.
35. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà âèäà
∀ x1 ... ∀ xm ∃ y1 ... ∃ yn A (x1, ..., xm, y1, ..., yn),
ãäå A (x1, ..., xm, y1, ..., yn) áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà áåç ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ è êîíñòàíò, òîæäåñòâåííî èñòèííà òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà èñòèííà â ëþáîé ìîäåëè èç m ýëåìåíòîâ.
36*. Ïóñòü A ôîðìóëà ñèãíàòóðû σ = ⟨P1, ..., Pn⟩, ãäå P1, ..., Pn
îäíîìåñòíûå ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû. Äîêàçàòü, ÷òî A âûïîëíèìà
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A âûïîëíèìà â ìîäåëè, ñîäåðæàùåé
íå áîëåå 2n ýëåìåíòîâ.
37. Âûïîëíèìû ëè ôîðìóëû:
(à) ∀ x ∃ y (P (x) ≡ ¬ P (y));
(á) ∃ x ∀ y ∃ z (P 1 (x) ≡ (P 2 (y) ∨ P 3 (z)));
(â) ∃ y ∀ x (P (x) ≡ ¬ P (y))?
38. Ïóñòü σ = ⟨P 1, ..., P n ⟩, ãäå P 1, ..., P n îäíîìåñòíûå ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðåäëîæåíèÿ A ñèãíàòóðû σ ñóùåñòâóåò ôîðìóëà B, ýêâèâàëåíòíàÿ A, ïîñòðîåííàÿ
ñ ïîìîùüþ &, ∨ è ¬ èç ∃-ñîñòàâëÿþùèõ, ò.å. ôîðìóë âèäà
∃ x (B1 & ... & Bs), ãäå s ≥ 1 è Bi (1 ≤ i ≤ s) èìååò âèä P (x) èëè ¬ P (x)
äëÿ íåêîòîðîãî P èç σ.
39. Äëÿ ∃-ñîñòàâëÿþùåé C (ñì. çàäà÷ó 38) îáîçíà÷èì ÷åðåç
C (B1, ..., Bn) ôîðìóëó, ïîëó÷åííóþ èç C ñòèðàíèåì êâàíòîðà
∃ x è çàìåíîé âñåõ âõîæäåíèé ïîäôîðìóë P 1 (x), ..., P n (x) â C
íà B1, ..., Bn ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà
A = (C1 & ... & Ck & ¬ Ck + 1 & ... & ¬ Ck + m),
ãäå C1, ..., Ck + m ∃-ñîñòàâëÿþùèå, k ≥ 1, m ≥ 0, âûïîëíèìà
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíèìà ôîðìóëà àëãåáðû âûñêàçûâàíèé
88
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
A1 = (C1(B11, ..., B1n) & ¬ Ck + 1 (B11, ..., B1n) & ...
... & ¬ Ck + m (B11, ..., B1n) & ... &Ck (Bk1, ..., Bkn) &
& ¬ Ck + 1 (Bk1, ..., Bkn) & ... & ¬ Ck + m (Bk1, ..., Bkn)).
40*. Óêàçàòü ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ïî ëþáîìó ïðåäëîæåíèþ A ñ îäíîìåñòíûìè ïðåäèêàòàìè ôîðìóëû B èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé
òàêîé, ÷òî âûïîëíèìîñòü ôîðìóëû A ýêâèâàëåíòíà âûïîëíèìîñòè B.
41. Ïîëüçóÿñü ìåòîäîì çàäà÷è 40, óñòàíîâèòü, âûïîëíèìû ëè
ñëåäóþùèå ôîðìóëû:
(à) ¬ ∀ x (P (x) ⊃ ∀ y (P (y) ⊃ ((Q (x) ⊃ ¬ Q (y)) ∨ ∀ z P (z))));
(á) ∀ x ∃ y ¬ (P (y) ⊃ ((P (x) ⊃ Q (x)) ⊃ ((Q (x) ⊃ R (x)) ⊃ R (y))));
(â) ∀ x ∃ z ∀ y (((P (y) & Q (z)) ⊃ (P (x) ∨ R (z))) ⊃ (Q (x) ≡ ¬ Q (y))).
42. Íàïèñàòü ïðåäëîæåíèå ñèãíàòóðû ⟨ = ⟩:
(à) èñòèííîå âî âñåõ íîðìàëüíûõ ìîäåëÿõ, ñîäåðæàùèõ íå áîëåå
n ýëåìåíòîâ (n ≥ 1), è ëîæíîå â îñòàëüíûõ íîðìàëüíûõ ìîäåëÿõ;
(á) èñòèííîå âî âñåõ íîðìàëüíûõ ìîäåëÿõ, ñîäåðæàùèõ íå
ìåíåå n ýëåìåíòîâ (n ≥ 1), è ëîæíîå â îñòàëüíûõ íîðìàëüíûõ
ìîäåëÿõ;
(â) èñòèííîå âî âñåõ íîðìàëüíûõ ìîäåëÿõ, ñîäåðæàùèõ â òî÷íîñòè n ýëåìåíòîâ (n ≥ 1), è ëîæíîå â îñòàëüíûõ íîðìàëüíûõ ìîäåëÿõ.
43. Ïóñòü
E1 ∃ x (x = x),
En ∃ x1 ... ∃ xn ⎛⎜
⎞
& ¬ ( xi = x j ) ⎟
⎝ 1≤ i < j ≤ n
⎠
äëÿ n ≥ 2.
(à) Äîêàçàòü, ÷òî En èñòèííà âî âñÿêîé íîðìàëüíîé ìîäåëè,
ñîäåðæàùåé ïî êðàéíåé ìåðå n ýëåìåíòîâ.
(á) Äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü ñëåäóþùèõ ôîðìóë äëÿ íîðìàëüíûõ ìîäåëåé:
(
)
⎛
⎞
∃ν ⎜ ⎛⎜ & ¬ ( xi = x j ) ⎞⎟ & & ¬ (ν = xi ) ⎟ ,
1≤i ≤ n
⎠
⎝ ⎝ 1≤i < j ≤ n
⎠
⎛⎛
⎞
¬( xi = x j ) ⎞⎟ & En +1 ⎟ .
⎜ ⎜ 1 ≤ i&
j
n
<
≤
⎝
⎠
⎝
⎠
(â) Äîêàçàòü, ÷òî êàæäîå ïðåäëîæåíèå ñèãíàòóðû ⟨ = ⟩ ýêâèâàëåíòíî íà íîðìàëüíûõ ìîäåëÿõ ôîðìóëå, ïîñòðîåííîé èç
E1, ..., En ñ ïîìîùüþ &, ∨ è ¬.
(ã) Íàçîâåì ñïåêòðîì ôîðìóëû A ñîâîêóïíîñòü ìîùíîñòåé
íîðìàëüíûõ ìîäåëåé, íà êîòîðûõ âûïîëíèìà ôîðìóëà A. Ïîêà-
§ 6. Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ
89
çàòü, ÷òî êàæäàÿ âûïîëíèìàÿ ôîðìóëà, ïîñòðîåííàÿ èç E1, ..., En
ñ ïîìîùüþ &, ∨ è ¬, èìååò ñïåêòð, ÿâëÿþùèéñÿ îáúåäèíåíèåì
êîíå÷íîãî ÷èñëà èíòåðâàëîâ âèäà
{m | a ≤ m ≤ b} è {m | m ≥ a} (a ∈ N, b ∈ N ).
(ä) Ïîêàçàòü, ÷òî ïðåäëîæåíèå ñèãíàòóðû ⟨ = ⟩ òîæäåñòâåííî
èñòèííî íà íîðìàëüíûõ ìîäåëÿõ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî
èìååò ñïåêòð {m | m ≥ 1}.
44. Íàéòè áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó ôîðìóë ñèãíàòóðû ⟨ = ⟩, âûïîëíèìóþ ëèøü â áåñêîíå÷íûõ íîðìàëüíûõ ìîäåëÿõ.
45*. Ïðèâåñòè ïðèìåð ôîðìóëû, ëîæíîé íà âñåõ íîðìàëüíûõ
ìîäåëÿõ ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ è òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî
÷åòíîãî ÷èñëà n ñóùåñòâóåò íîðìàëüíàÿ ìîäåëü ìîùíîñòè n, íà
êîòîðîé ýòà ôîðìóëà èñòèííà.
§ 6. ÈÑ×ÈÑËÅÍÈß ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ
Ðàññìîòðèì àëôàâèò S = G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 ∪ G 5 ∪ G 6 , ãäå
G1G6 âçÿòû èç § 4. Ïîíÿòèÿ è îáîçíà÷åíèÿ ñèãíàòóðû, òåðìà,
ôîðìóëû, ñâîáîäíîé è ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé, ïðåäëîæåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ, êàê â § 4.
 ýòîì ïàðàãðàôå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñèãíàòóðà êîíå÷íà èëè
ñ÷åòíà.
Îïðåäåëèì ñåêâåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ÈÏÑ. Àëôàâèò èñ÷èñëåíèÿ
ÈÏÑ åñòü S ∪ { }. Ïîíÿòèÿ ñåêâåíöèè, ïðàâèëà âûâîäà è ò.ï. îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùèì ïîíÿòèÿì äëÿ ÈÑ (ñì. § 3).
Èñ÷èñëåíèå ÈÏÑ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñõåìîé àêñèîì
è ïðàâèëàìè âûâîäà (A, B, C ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû; Γ, Γ1,
Γ2, Γ3 ïðîèçâîëüíûå êîíå÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôîðìóë,
âîçìîæíî, ïóñòûå; t òåðì, ñâîáîäíûé äëÿ x â A (x); A (t) ïîëó÷àåòñÿ èç A (x) çàìåíîé âñåõ ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé x íà t).
Ñõåìà àêñèîì: A A.
Ïðàâèëà âûâîäà:
Γ1 A; Γ2 B
1. Γ , Γ ( A & B ) (ââåäåíèå &);
1
2
2.
Γ ( A & B)
(óäàëåíèå &);
Γ A
3.
Γ ( A & B)
(óäàëåíèå &);
ΓB
90
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
4.
Γ A
(ââåäåíèå ∨);
Γ (A ∨ B)
5.
ΓB
(ââåäåíèå ∨);
Γ ( A ∨ B)
6.
Γ1 ( A ∨ B ); Γ 2 , A C ; Γ3 , B C
(óäàëåíèå ∨);
Γ1, Γ 2 , Γ3 C
Γ, A B
7. Γ ( A ⊃ B ) (ââåäåíèå ⊃);
8.
Γ1 A; Γ 2 ( A ⊃ B )
(óäàëåíèå ⊃);
Γ1, Γ 2 B
Γ, A 9. Γ ¬A (ââåäåíèå ¬);
10.
Γ1 A; Γ 2 ¬A
(ñâåäåíèå ê ïðîòèâîðå÷èþ);
Γ1, Γ 2 11.
Γ, ¬ A (óäàëåíèå ¬);
Γ A
12.
Γ
(óòîí÷åíèå);
Γ A
13.
Γ A
(ðàñøèðåíèå);
Γ, B A
14.
Γ1, A, B, Γ2 C
(ïåðåñòàíîâêà);
Γ1, B, A, Γ2 C
15.
Γ, A, A C
(ñîêðàùåíèå);
Γ, A C
16.
Γ A (x )
, ãäå x íå âõîäèò ñâîáîäíî â Γ (ââåäåíèå ∀).
Γ ∀ x A (x)
17.
Γ ∀ x A (x)
(óäàëåíèå ∀);
Γ A (t )
18.
Γ A (t )
(ââåäåíèå ∃);
Γ ∃ x A (x)
19.
Γ, A ( x ) B
, ãäå x íå âõîäèò ñâîáîäíî â Γ, B (óäàëåíèå ∃).
Γ, ∃ x A ( x ) B
§ 6. Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ
91
Ïîíÿòèÿ âûâîäà â ÈÏÑ è ò.ï. îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùèì ïîíÿòèÿì äëÿ ÈÑ (ñì. § 3).
Îïðåäåëèì èñ÷èñëåíèå ÈÏ. Ñõåìàìè àêñèîì èñ÷èñëåíèÿ ÈÏ ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
1. (A ⊃ (B ⊃ A ));
2. ((A ⊃ B ) ⊃ ((A ⊃ (B ⊃ C )) ⊃ (A ⊃ C )));
3. ((A & B ) ⊃ A );
4. ((A & B ) ⊃ B );
5. ((A ⊃ B ) ⊃ ((A ⊃ C ) ⊃ (A ⊃ (B & C ))));
6. (A ⊃ (A ∨ B ));
7. (B ⊃ (A ∨ B ));
8. ((A ⊃ C ) ⊃ ((B ⊃ C ) ⊃ ((A ∨ B ) ⊃ C )));
9. ((A ⊃ ¬B ) ⊃ (B ⊃ ¬A ));
10. (¬ ¬ A ⊃ A );
11. (∀ x A (x) ⊃ A (t));
12. (A (t) ⊃ ∃ x A (x)).
 ñõåìàõ àêñèîì 110 A, B, C ëþáûå ôîðìóëû; â ñõåìàõ
àêñèîì 11, 12 A (x) ôîðìóëà, t òåðì, ñâîáîäíûé äëÿ x â
A (x), A (t) ôîðìóëà, ïîëó÷åííàÿ èç A (x) çàìåíîé âñåõ ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé x íà t.
Ïðàâèëà âûâîäà ÈÏ:
I.
A; ( A ⊃ B )
;
B
II.
(C ⊃ A ( x ))
;
(C ⊃ ∀ y A ( y ))
III.
( A (x ) ⊃ C )
,
(∃ y A ( y ) ⊃ C )
ïðè÷åì â ïðàâèëàõ II è III x íå âõîäèò ñâîáîäíî â C, à y íå âõîäèò
ñâîáîäíî â A (x) è y ñâîáîäíî äëÿ x â A (x).
Ôîðìóëà B íàçûâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ôîðìóë A
è (A ⊃ B ) ïî ïðàâèëó I; (C ⊃ ∀ y A (y)) è (∃ y A (y) ⊃ C ) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåïîñðåäñòâåííûå ñëåäñòâèÿ ôîðìóë (C ⊃ A (x)) ïî ïðàâèëó II è (A (x) ⊃ C ) ïî ïðàâèëó III ñîîòâåòñòâåííî.
Âûâîäîì â ÈÏ íàçûâàåòñÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë A1, ..., An òàêàÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî i (i ≤ i ≤ n) Ai åñòü ëèáî àêñèîìà, ëèáî íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå îäíîé èëè äâóõ ïðåäûäóùèõ ôîðìóë.
Êâàçèâûâîä èç ìíîæåñòâà ôîðìóë Γ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ôîðìóë A1, ..., An òàêàÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî i (i ≤ i ≤ n) Ai åñòü ëèáî
92
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
àêñèîìà, ëèáî îäíà èç ôîðìóë Γ, ëèáî íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå îäíîé èëè äâóõ ïðåäûäóùèõ ôîðìóë.
Äëÿ êâàçèâûâîäà A1, ..., An èç ìíîæåñòâà Γ è êàæäîãî i (1 ≤ i ≤ n)
îïðåäåëèì ïî èíäóêöèè ìíîæåñòâî ôîðìóë Δ (Ai) ⊆ Γ:
1) åñëè Ai åñòü àêñèîìà, òî Δ (Ai) = ∅;
2) åñëè Ai ∈ Γ, òî Δ (Ai) = {Ai};
3) åñëè Ai åñòü íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå Aj è Ak (j, k < i), òî
Δ(Ai) = Δ(Aj) ∪ Δ (Ak);
4) åñëè A i åñòü íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå A j (j < i), òî
Δ(Ai) = Δ(Aj).
Âûâîäîì èç Γ â ÈÏ íàçûâàåòñÿ êâàçèâûâîä A1, ..., An, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ: åñëè Ai åñòü íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå ôîðìóëû Aj = (C ⊃ A (x)) ïî ïðàâèëó II èëè ôîðìóëû Aj = (A (x) ⊃ C )
ïî ïðàâèëó III, òî x íå âõîäèò ñâîáîäíî â ôîðìóëû èç Δ(Aj).
Ôîðìóëà A íàçûâàåòñÿ âûâîäèìîé â ÈÏ (ñèìâîëè÷åñêè: A ),
åñëè ñóùåñòâóåò âûâîä â ÈÏ, îêàí÷èâàþùèéñÿ ôîðìóëîé A.
Ôîðìóëà A íàçûâàåòñÿ âûâîäèìîé èç Γ â ÈÏ (ñèìâîëè÷åñêè:
Γ A ), åñëè ñóùåñòâóåò âûâîä èç Γ â ÈÏ, îêàí÷èâàþùèéñÿ
ôîðìóëîé A.
Ìíîæåñòâî ôîðìóë Γ íàçîâåì íåïðîòèâîðå÷èâûì, åñëè íå ñóùåñòâóåò ôîðìóëû A òàêîé, ÷òî Γ A è Γ ¬ A.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå Γ íàçîâåì ïðîòèâîðå÷èâûì.
Ìíîæåñòâî ôîðìóë Γ ñèãíàòóðû σ íàçîâåì ïîëíûì, åñëè äëÿ
ëþáîé çàìêíóòîé ôîðìóëû ñèãíàòóðû σ âûïîëíÿåòñÿ Γ A èëè
Γ ¬ A.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå Γ íàçûâàåòñÿ íåïîëíûì.
1. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ñåêâåíöèÿ, âûâîäèìàÿ â ÈÑ, âûâîäèìà â ÈÏÑ.
2. Ïóñòü A1, ..., An, A ôîðìóëû ÈÑ, B ôîðìóëà ÈÏÑ,
A ′1, ..., A ′n, A ′ ôîðìóëû, ïîëó÷åííûå èç A1, ..., An, A â ðåçóëüòàòå ïîäñòàíîâêè B âìåñòî ïðîïîçèöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé P. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñåêâåíöèÿ A1, ..., An A âûâîäèìà â ÈÑ, òî
A ′1, ..., A ′n A ′ âûâîäèìà â ÈÏÑ.
3. Äîêàçàòü, ÷òî ïðàâèëà èç çàäà÷ 3 è 6 èç § 3 äîïóñòèìû â ÈÏÑ.
4. Ïóñòü y íå âõîäèò ñâîáîäíî â A (x), y ñâîáîäíî äëÿ x â A (x),
A (y) ïîëó÷àåòñÿ èç A (x) çàìåíîé âñåõ ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé x íà
y. Ïîñòðîèòü âûâîäû â ÈÏÑ ñåêâåíöèé:
(à) ∃ y A (y) ∃ x A (x);
(á) ∀ y A (x) ∀ y A (y).
5. Ïóñòü y ñâîáîäíî äëÿ x â ôîðìóëàõ A1(x), ..., An(x), B (x). Äîêàçàòü, ÷òî åñëè â ÈÏÑ âûâîäèìà A1(x), ..., An(x) B (x), òî âûâîäèìà A1(y), ..., An(y) B (y).
§ 6. Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ
93
6. Ïóñòü A íå ñîäåðæèò ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé x. Äîêàçàòü âûâîäèìîñòü â ÈÏÑ ñåêâåíöèé:
(à) (∀ x A ≡A );
(á) (∃ x A ≡A );
(â) (∀ x ∀ y B (x, y) ≡ ∀ y ∀ x B (x, y));
(ã) (∃ x ∃ y B (x, y) ≡ ∃ y ∃ x B (x, y));
(ä) (∀ x ∀ y B (x, y) ⊃ ∀ y B (x, x));
(å) (∃ x ∀ B (x, x) ⊃ ∃ x ∃ y B (x, y));
(æ) (∃ x B (x) ≡ ¬ ∀ x ¬ B (x));
(ç) (∀ x B (x) ≡ ¬ ∃ x ¬ B (x));
(è) (¬ ∀ x B (x) ≡ ∃ x ¬ B (x));
(ê) (¬ ∃ x B (x) ≡ ∀ x ¬ B (x));
(ë) ((∀ x B (x) & ∀ x C (x)) ≡ ∀ x (B (x) & C (x)));
(ì) ((∃ x B (x) ∨ ∃ x C (x)) ≡ ∃ x (B (x) ∨ C (x)));
(í) ((A & ∀ x B (x)) ≡ ∀ x (A & B (x)));
(î) ((A ∨ ∃ x B (x)) ≡ ∃ x (A ∨ B (x)));
(ï) ((A & ∃ x B (x)) ≡ ∃ x (A & B (x)));
(ð) ((A ∨ ∀ x B (x)) ≡ ∀ x (A ∨ B (x)));
(ñ) (∃ x (B (x) & C (x)) ⊃ (∃ x (B (x) & ∃ x C (x)));
(ò) ((∀ x B (x) ∨ ∀ x C (x)) ≡ ∀ x (B (x) ∨ C (x)));
(ó) ((A ⊃ ∀ x B (x)) ≡ ∀ x (A ⊃ B (x)));
(ô) ((A ⊃ ∃ x B (x)) ≡ ∃ x (A ⊃ B (x)));
(õ) ((∀ x B (x) ⊃ A ) ≡ ∃ x (B (x) ⊃ A ));
(ö) ((∃ x B (x) ⊃ A ) ≡ ∀ x (B (x) ⊃ A ));
(÷) (∃ x (B (x) ⊃ C (x)) ≡ (∀ x B (x) ⊃ ∃ x C (x))).
7. Äîêàçàòü, ÷òî â ÈÏÑ âûâîäèìû ñåêâåíöèè:
(à) (A ≡ B ) (¬ A ≡ ¬ B );
(á) (A ≡ B ) ((A & C ) ≡ (B & C ));
(â) (A ≡ B ) ((C & A ) ≡ (C & B ));
(ã) (A ≡ B ) ((A ∨ C ) ≡ (B ∨ C ));
(ä) (A ≡ B ) ((C ∨ A ) ≡ (C ∨ B ));
(å) (A ≡ B ) ((A ⊃ C ) ≡ (B ⊃ C ));
(æ) (A ≡ B ) ((C ⊃ A ) ≡ (C ⊃ B ));
(ç) ∀ x (A ≡ B ) (∀ xA ≡ ∀ xB );
(è) ∀ x (A ≡ B ) (∃ xA ≡ ∃ xB ).
8. Ïóñòü A ôîðìóëà, B ïîäôîðìóëà ôîðìóëû A, A1 ðåçóëüòàò çàìåíû íåêîòîðîãî âõîæäåíèÿ B â A íà ôîðìóëó B1,
x1, ..., xn âñå ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå ôîðìóë A è A1. Äîêàçàòü,
÷òî â ÈÏÑ âûâîäèìà ñåêâåíöèÿ ∀ x1, ..., ∀ xn (B ≡ B1) (A ≡ A1)
(òåîðåìà î çàìåíå äëÿ ÈÏÑ).
9. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A ñóùåñòâóåò ïðåíåêñíàÿ
íîðìàëüíàÿ ôîðìà A ′ òàêàÿ, ÷òî (A ≡ A ′) âûâîäèìà â ÈÏÑ.
94
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
10. Íàéòè ïðåíåêñíóþ íîðìàëüíóþ ôîðìó äëÿ ñëåäóþùèõ
ôîðìóë:
(à) (∀ x ∃ y (A (x) ⊃ B (y, z)) ⊃ ∃ x ∀ z (B (x, z) & A (y))), ãäå A è
B áåñêâàíòîðíûå ôîðìóëû;
(á) (∀ x P (x) ⊃ ∀ y (∀ z Q (x, z) ⊃ ∀ u P (u))).
11*. Ïóñòü A ôîðìóëà, ïîñòðîåííàÿ èç àòîìíûõ ôîðìóë è èõ
îòðèöàíèé ñ ïîìîùüþ &, ∨ è êâàíòîðîâ ∀ è ∃ ïî ëþáûì ïåðåìåííûì. Ïóñòü A + ðåçóëüòàò îäíîâðåìåííîé çàìåíû â A & íà ∨,
∨ íà &, ∀ íà ∃, ∃ íà ∀, àòîìíûõ ôîðìóë èõ îòðèöàíèÿìè. Äîêàçàòü, ÷òî â ÈÏÑ âûâîäèìà ñåêâåíöèÿ (A+ ≡ ¬ A ).
12. Ïóñòü A ôîðìóëà, ïîñòðîåííàÿ èç àòîìíûõ ôîðìóë è èõ
îòðèöàíèé ñ ïîìîùüþ &, ∨ è êâàíòîðîâ ∀ è ∃ ïî ëþáûì ïåðåìåííûì. Ïóñòü A ′ ðåçóëüòàò îäíîâðåìåííîé çàìåíû â A & íà ∨,
∨ íà &, ∀ íà ∃, ∃ íà ∀, àòîìíûõ ôîðìóë èõ îòðèöàíèÿìè. Äîêàçàòü, ÷òî â ÈÏÑ:
(à) åñëè âûâîäèìà ñåêâåíöèÿ (A ⊃ B ), òî âûâîäèìà (B ′ ⊃ A ′);
(á) åñëè âûâîäèìà ñåêâåíöèÿ (A ≡ B ), òî âûâîäèìà (A ′ ⊃ B ′).
13. Ïîêàçàòü, ÷òî êâàçèâûâîä â ÈÏ èç ïóñòîãî ìíîæåñòâà ôîðìóë åñòü âûâîä â ÈÏ.
14. ßâëÿþòñÿ ëè âûâîäàìè â ÈÏ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:
(à) (∀ x ∃ y A (x, y) ⊃ ∃ y A (y, y));
(á) (∀ x P(x) ⊃ P(y)), (∀ x P(x) ⊃ ∀ y P(y));
(â) (A (x) ⊃∃ x A (x)), ((A (x) ⊃∃ x A (x)) ⊃ (∀ x A (x) ⊃ (A (x) ⊃∃ x A (x)))),
(∀ x A (x) ⊃ (A (x) ⊃ ∃ x A (x)))?
15. Êàêèì òðåáîâàíèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ôîðìóëà A (x),
÷òîáû ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áûëà âûâîäîì â ÈÏ:
(à) (A (y) ⊃ ∃ x A (x)), (∃ y A (y) ⊃ ∃ x A (x));
(á) (∀ x A (x) ⊃ A (y)), (∀ x A (x) ⊃ ∀ y A (y))?
16. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A1, ..., An, A ôîðìóëû ÈÂ, B ôîðìóëà ÈÏ, P ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ è A1, ..., An A â
ÈÂ, òî A1 (P \B ), ..., An (P \B ) A (P \B ) â ÈÏ.
17. Ïîñòðîèòü âûâîäû ôîðìóë â ÈÏ:
(à) (∀ x ∀ y A (x, y) ⊃ ∀ y ∀ x A (x, y));
(á) (∃ x ∃ y A (x, y) ⊃ ∃ y ∃ x A (x, y));
(â) (∃ x ∀ y A (x, y) ⊃ ∀ y ∃ x A (x, y)).
18. ßâëÿåòñÿ ëè âûâîäîì èç Γ = {(C ⊃ (A (x))} â ÈÏ, ãäå C íå
ñîäåðæèò ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé x, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìóë:
(à) (C ⊃ A (x)), (C ⊃ ∀ x A (x));
(á) ((C ⊃ A (x)) ⊃ (B (y) ⊃ (C ⊃ A (x)))), (C ⊃ A (x)), (B (y) ⊃
⊃ (C ⊃ A (x))), (∃ y B (y) ⊃ (C ⊃ A (x))),
åñëè C è A (x) íå ñîäåðæàò ñâîáîäíûõ âõîæäåíèé y ?
§ 6. Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ
95
19. Ïîñòðîèòü âûâîäû èç Γ = {∀ x (A (x) ⊃ B (x))} â ÈÏ ñëåäóþùèõ ôîðìóë:
(à) (∃ x A (x) ⊃ ∃ x B (x));
(á) (∀ y A (y) ⊃ ∀ z B (z)), ãäå y è z íå âõîäÿò â A (x) è B (x).
20. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ïðàâèëà äîïóñòèìû â ÈÏ:
(à)
ΓA
;
B, Γ A
(á)
B, B, Γ A
;
B, Γ A
(â)
Γ, A, B, Γ1 C
.
Γ, B , A, Γ1 C
21*. Äîêàçàòü òåîðåìó î äåäóêöèè â ÈÏ:
åñëè Γ, A B, òî Γ (A ⊃ B ).
22. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè â ÈÏ Γ A è Γ, A B, òî Γ B.
23. Äîêàçàòü, ÷òî óòâåðæäåíèå çàäà÷è 24 èç § 3 ñïðàâåäëèâî â ÈÏ.
24. Äîêàçàòü ñëåäóþùèå ïðàâèëà:
(à) ∀-óäàëåíèå: ∀ x A (x) A (t), ãäå A (x) è t ïîä÷èíÿþòñÿ òåì
æå òðåáîâàíèÿì, ÷òî è â ñõåìå àêñèîì 11;
(á) ∃-ââåäåíèå: A (t) ∃ x A (x) ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ, ÷òî è â (à);
Γ A (x)
(â) ∀-ââåäåíèå:
, ãäå x íå âõîäèò ñâîáîäíî â ôîðΓ ∀ x A (x)
ìóëû èç Γ;
Γ, A ( x ) B
(ã) ∃-óäàëåíèå:
, ãäå x íå âõîäèò ñâîáîäíî íè â
Γ, ∃ x A ( x ) B
ôîðìóëû èç Γ, íè â ôîðìóëó B.
25. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà A (x) âûâîäèìà â ÈÏ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûâîäèìà ôîðìóëà ∀ x A (x).
26. Ïóñòü z1, ..., zn íå âõîäÿò ñâÿçàííî â A ( z1, ..., zn) è â
B (z1, ..., zn) è ïóñòü A (z1, ..., zn) B (z1, ..., zn) â ÈÏ. Äîêàçàòü,
÷òî ñóùåñòâóåò âûâîä B (z1, ..., zn) èç A (z1, ..., zn) â ÈÏ, â êîòîðûé z1, ..., zn íå âõîäÿò íè ðàçó â ñâÿçàííîì âèäå.
27. Ïóñòü z1, ..., z n íå âõîäÿò ñâÿçàííî â A ( z1, ..., zn) è â
B (z1, ..., zn); x1, ..., xn ïåðåìåííûå, íå âõîäÿùèå ñâÿçàííî â
A (z1, ..., zn) è â B (z1, ..., zn). Äîêàçàòü, ÷òî
A (z1, ..., zn) B (z1, ..., zn) ⇔ A (x1, ..., xn) B (x1, ..., xn).
96
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
28*. Ïóñòü Γ ìíîæåñòâî ôîðìóë ñèãíàòóðû σ, A ôîðìóëà
ñèãíàòóðû σ. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè Γ A â ÈÏ, òî ñóùåñòâóåò âûâîä
A èç Γ â ÈÏ, ñîñòîÿùèé ëèøü èç ôîðìóë ñèãíàòóðû σ.
29. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôîðìóëà A âûâîäèìà â ÈÏ, òî ñåêâåíöèÿ A âûâîäèìà â ÈÏÑ.
30. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè ñåêâåíöèÿ A1, ..., An B âûâîäèìà â ÈÏÑ, òî A1, ...,
..., An B â ÈÏ;
(á) åñëè ñåêâåíöèÿ A1, ..., An âûâîäèìà â ÈÏÑ, òî A1, ...,
..., An (B & ¬ B ) â ÈÏ;
(â) åñëè ñåêâåíöèÿ B âûâîäèìà â ÈÏÑ, òî ôîðìóëà B âûâîäèìà â ÈÏ.
31. Ïóñòü A ôîðìóëà, B ïîäôîðìóëà ôîðìóëû A, A ′
ðåçóëüòàò çàìåíû íåêîòîðîãî âõîæäåíèÿ B â A íà ôîðìóëó B ′. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè (B ≡ B ′), òî (A ≡ A ′) (òåîðåìà î çàìåíå äëÿ ÈÏ ).
32. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè Γ A â ÈÏ, òî Γ A.
33. Äîêàçàòü, ÷òî âñå âûâîäèìûå â ÈÏ ôîðìóëû òîæäåñòâåííî
èñòèííû.
34. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ìíîæåñòâî ôîðìóë Γ âûïîëíèìî, òî
îíî íåïðîòèâîðå÷èâî. (Ìíîæåñòâî Γ âûïîëíèìî, åñëè ñóùåñòâóþò àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà M è çíà÷åíèÿ â M ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ òàêèå, ÷òî âñå ôîðìóëû èç Γ èñòèííû ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ.)
35. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ôîðìóë Γ ïðîòèâîðå÷èâî òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ëþáàÿ ôîðìóëà âûâîäèìà â ÈÏ èç Γ.
36. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ìíîæåñòâà ôîðìóë T0, T1, T2, ... íåïðîòèâîðå÷èâû è Ti ⊆ Ti + 1 (i = 0, 1, 2, ...), òî 7 Ti íåïðîòèâîðåi∈N
÷èâîå ìíîæåñòâî ôîðìóë.
37*. Äîêàçàòü òåîðåìó Ëèíäåíáàóìà: ëþáîå íåïðîòèâîðå÷èâîå
ìíîæåñòâî ôîðìóë T ìîæíî ðàñøèðèòü äî ïîëíîãî íåïðîòèâîðå÷èâîãî ìíîæåñòâà òîé æå ñèãíàòóðû.
38. Ïóñòü ìíîæåñòâî ôîðìóë Γ ñèãíàòóðû σ ïîëíî è íåïðîòèâîðå÷èâî. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïðåäëîæåíèé A, B ñèãíàòóðû σ:
(à) Γ (A & B ) ⇔ Γ A è Γ B;
(á) Γ (A ∨ B ) ⇔ Γ A èëè Γ B;
(â) Γ ¬ A ⇔ íå âåðíî Γ A;
(ä) Γ (A ⊃ B ) ⇔ (íå âåðíî Γ A ) èëè Γ B.
39. Ïóñòü ìíîæåñòâî Γ ôîðìóë ñèãíàòóðû σ ïîëíî è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ: äëÿ ëþáîé ôîðìóëû ñèãíàòóðû σ ñ îäíîé ñâî-
§ 6. Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ
97
áîäíîé ïåðåìåííîé x, åñëè Γ ∃ xA (x), òî Γ A (t) äëÿ íåêîòîðîãî çàìêíóòîãî òåðìà t ñèãíàòóðû σ. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) Γ ∃ x A (x) ⇔ Γ A (t) äëÿ íåêîòîðîãî çàìêíóòîãî òåðìà t
ñèãíàòóðû σ;
(á) Γ ∀ x A (x) ⇔ Γ A (t) äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî òåðìà t ñèãíàòóðû σ.
40. Ïóñòü ìíîæåñòâî Γ ∪ {∃ x A (x)} íåïðîòèâîðå÷èâî. Äîêàçàòü,
÷òî åñëè ïåðåìåííàÿ y íå âõîäèò â Γ è â ∃ x A (x), òî ìíîæåñòâî
Γ ∪ {∃ x A (x), A (y)} íåïðîòèâîðå÷èâî.
41*. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå íåïðîòèâîðå÷èâîå ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé âûïîëíèìî (òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ìîäåëè).
42. Äîêàçàòü òåîðåìó ËåâåíãåéìàÑêóëåìà: ëþáîå âûïîëíèìîå
ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé âûïîëíèìî â íåêîòîðîé ñ÷åòíîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå.
43. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðåäëîæåíèå A íåâûâîäèìî â ÈÏ, òî
¬ A âûïîëíèìî íà íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ.
44. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà A òîæäåñòâåííî èñòèííà òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà A âûâîäèìà â ÈÏ (òåîðåìà øäåëÿ î ïîëíîòå ÈÏ).
45. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðåäëîæåíèå A èñòèííî âî âñåõ ñèñòåìàõ íà íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ, òî A òîæäåñòâåííî èñòèííî.
46. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðåäëîæåíèå A âûïîëíèìî â íåêîòîðîé
ñèñòåìå, òî A âûïîëíèìî íà íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ.
47. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðåäëîæåíèå A èñòèííî íà âñÿêîé
ñèñòåìå, íà êîòîðîé èñòèííû ôîðìóëû ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà Γ,
òî Γ A.
48. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé Γ ñ÷åòíî è
êàæäîå êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî Γ1 ⊆ Γ âûïîëíèìî, òî âñå ìíîæåñòâî Γ âûïîëíèìî (ëîêàëüíàÿ òåîðåìà Ìàëüöåâà).
49. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè îòðèöàíèå ëþáîé êîíúþíêöèè êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðåäëîæåíèé ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà Γ íåäîêàçóåìî â
ÈÏ, òî ìíîæåñòâî Γ âûïîëíèìî.
50. Äîêàçàòü äëÿ ëþáîãî ïðåäëîæåíèÿ A è ëþáîãî ñ÷åòíîãî
ìíîæåñòâà Γ
ΓA⇔ΓA
(òåîðåìà àäåêâàòíîñòè).
51. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè Γ ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé è
Γ A, òî Γ1 A äëÿ íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ïîäìíîæåñòâà Γ1 ⊆ Γ
(òåîðåìà Ìàëüöåâà î êîìïàêòíîñòè).
98
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
52. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû A áûëà âûâîäèìà â ÈÏ, íåäîñòàòî÷íî, ÷òîáû A áûëà èñòèííîé íà âñåõ êîíå÷íûõ ñèñòåìàõ.
53. Ïóñòü A áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà ÈÏ. Äîêàçàòü, ÷òî A
âûâîäèìà â ÈÏ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A âûâîäèìà ëèøü èç
àêñèîì 110 ïî ïðàâèëó I.
54. Âûâîäèìû ëè â ÈÏ ôîðìóëû:
(à) (∃ x A (x) ⊃ ∀ x A (x));
(á) ¬ (∃ x A (x) ⊃ ∀ x A (x));
(â) (∃ x ∀ y A (x, y) ⊃ ∀ y ∃ x A (x, y));
(ã) (∀ x ∃ y A (x, y) ⊃ ∃ y ∀ x A (x, y));
(ä) ((∀ x A (x) ⊃ ∃ x B (x)) ≡ ∃ x (A (x) ⊃ B (x)))?
§ 7. ÀÊÑÈÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÒÅÎÐÈÈ
 ýòîì ïàðàãðàôå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñèãíàòóðà σ íå áîëåå
÷åì ñ÷åòíà. Èñ÷èñëåíèåì ïðåäèêàòîâ ñ ðàâåíñòâîì (ÈÏÐ) íàçûâàåòñÿ èñ÷èñëåíèå, àêñèîìàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ:
1) àêñèîìû ÈÏ ñèãíàòóðû σ ∪ { = };
2) àêñèîìû ðàâåíñòâà
E1. ∀ x (x = x),
E2. ∀ x ∀ y ∀ z (x = y & y = z) ⊃ x = z),
E3. ∀ x ∀y (x = y ⊃ y = x);
3) ôîðìóëû âèäà
EP . ∀ x1 ... ∀ xn ∀ y1 ... ∀ yn
((x1 = y1 & ... & xn = yn) ⊃ (P (x1, ..., xn) ≡ P (y1, ..., yn)));
Ef . ∀ x1 ... ∀ xn ∀ y1 ... ∀ yn
((x1 = y1 & ... & xn = yn) ⊃ (f (x1, ..., xn) = f (y1, ..., yn)))
äëÿ ëþáîãî ïðåäèêàòíîãî ñèìâîëà P èç σ è ëþáîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ñèìâîëà f èç σ.
Ïðàâèëàìè âûâîäà ýòîãî èñ÷èñëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïðàâèëà âûâîäà ÈÏ. Âûâîäèìîñòü, à òàêæå äðóãèå ïîíÿòèÿ, îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùèì ïîíÿòèÿì äëÿ ÈÏ.
Èñïîëüçóåì ñëåäóþùåå ñîêðàùåíèå:
∃ ! x A (x) = ∃ x (A (x) & ∀ y (A (y) ⊃ x = y)),
ãäå A (x) ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëà. Êâàíòîð ∃ ! ÷èòàåòñÿ êàê «ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå x òàêîå, ÷òî...».
Ýëåìåíòàðíîé òåîðèåé ñèãíàòóðû σ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî T
ïðåäëîæåíèé ñèãíàòóðû σ ∪ { = }, ñîäåðæàùåå âñå ïðåäëîæåíèÿ,
âûâîäèìûå èç T â ÈÏÐ. Òåîðåìàìè òåîðèè T íàçûâàþòñÿ âñå ôîð-
§ 7. Àêñèîìàòè÷åñêèå òåîðèè
99
ìóëû ñèãíàòóðû σ ∪ { = }, âûâîäèìûå èç T. Ñèñòåìîé àêñèîì äëÿ
òåîðèè T íàçûâàåòñÿ ëþáîå ìíîæåñòâî ôîðìóë A ⊆ T, èç êîòîðîãî âûâîäèìû â ÈÏÐ âñå ïðåäëîæåíèÿ èç T. Ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ
T íàçûâàåòñÿ íåïðîòèâîðå÷èâîé (ïðîòèâîðå÷èâîé, ïîëíîé, íåïîëíîé),
åñëè ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé T íåïðîòèâîðå÷èâî (ïðîòèâîðå÷èâî, ïîëíî, íåïîëíî). Ñèñòåìà ïðåäëîæåíèé íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìîé, åñëè íè îäíî èç íèõ íå ìîæåò áûòü âûâåäåíî â ÈÏÐ èç
îñòàëüíûõ.
Ìîäåëüþ òåîðèè T íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ íîðìàëüíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà, â êîòîðîé èñòèííû âñå ôîðìóëû èç T.
Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû M1 = ⟨M1; σ⟩ è M2 = ⟨M2; σ⟩ íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ϕ ìåæäó M1 è M2 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ m1, ..., mn ∈ M1 è
P n, f n, a ∈ σ
M1 P (m1, ..., mn) ⇔ M2 P (ϕ (m1), ..., ϕ (mn)),
ϕ (f (m1, ..., mn)) = f (ϕ (m1), ..., ϕ (mn)),
ϕ (a) = a.
Åñëè M èçîìîðôíà íåêîòîðîé ïîäñèñòåìå ñèñòåìû M1, òî
M íàçûâàåòñÿ èçîìîðôíî âëîæèìîé â M1.
Òåîðèåé ðàâåíñòâà E íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé
ñèãíàòóðû ⟨ = ⟩, âûâîäèìûõ â ÈÏÐ.
Ïóñòü σa = ⟨s, +, ⋅, 0⟩, ãäå s ñèìâîë îäíîìåñòíîé, + è ⋅
ñèìâîëû äâóìåñòíûõ ôóíêöèé, 0 ïðåäìåòíàÿ êîíñòàíòà.
×åðåç Q áóäåì îáîçíà÷àòü òåîðèþ, àêñèîìàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ:
Q1 . ∀ x ∀ y (s (x) = s (y) ⊃ x = y);
Q2 . ∀ x ¬ s (x) = 0;
Q3 . ∀ x (¬ x = 0 ⊃ ∃ y (x = s (y)));
Q4 . ∀ x (x + 0 = x);
Q5 . ∀ x ∀ y (x + s (y) = s (x + y));
Q6 . ∀ x (x ⋅ 0 = 0);
Q7 . ∀ x ∀ y (x ⋅ s (y) = x ⋅ y + x).
×åðåç x ≤ y îáîçíà÷àåì ôîðìóëó ∃ z (z + x = y), à ÷åðåç x < y
ôîðìóëó (x ≤ y & ¬ x = y).
×åðåç Ð áóäåì îáîçíà÷àòü òåîðèþ ñèãíàòóðû σa, àêñèîìàìè
êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ Q1Q7 è áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ôîðìóë âèäà
ÐA ⋅ ∀ y ((A (0) & ∀ x (A (x) ⊃ A (s(x)))) ⊃ A (y)),
ãäå A (x) ëþáàÿ ôîðìóëà ñèãíàòóðû σa ñî ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé x. Ôîðìóëà ÐA íàçûâàåòñÿ àêñèîìîé èíäóêöèè äëÿ A.
100
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
Δ0 = 0, Δ1 = s (0), ..., Δn + 1 = s (Δn), ...
×åðåç R áóäåì îáîçíà÷àòü òåîðèþ ñèãíàòóðû σa ñî ñëåäóþùèì
áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì àêñèîì:
R1(np). Δn + Δp = Δn + p (äëÿ ëþáûõ n, p ∈ N );
R2(np). Δn ⋅ Δp = Δn · p (äëÿ ëþáûõ n, p ∈ N );
R3(np). Δn ≠ Δp (äëÿ ëþáûõ n, p ∈ N, n ≠ p);
R4(np). ∀ x (x ≤ Δn ⊃ (x = Δ0 ∨ ... ∨ x = Δn (äëÿ êàæäîãî n ∈ N );
R5(np). ∀ x (x ≤ Δn ∨ Δn ≤ x (äëÿ êàæäîãî n ∈ N ).
Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N ñ s (x) = x + 1, îáû÷íûìè ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì è êîíñòàíòîé 0 íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíîé
ìîäåëüþ àðèôìåòèêè è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç N = ⟨N ; s, +, ⋅, 0⟩.
Ïóñòü ZF òåîðèÿ ñèãíàòóðû ⟨ ∈ ⟩, ãäå ∈ áèíàðíûé ïðåäèêàò, ñ àêñèîìàìè ZF1ZF9.
ZF1. Àêñèîìà îáúåìíîñòè:
∀ x ∀ y (∀ z (z ∈ x ≡ z ∈ y) ≡ x = y).
ZF2. Àêñèîìà ïàðû:
∀ x ∀ y ∃ z ∀ v (v ∈ z ≡ (v = x ∨ v = y)).
ZF3. Àêñèîìà âûäåëåíèÿ:
∀ x ∃ y ∀ z (z ∈ y ≡ (z ∈ x & A)),
ãäå A ôîðìóëà, íå ñîäåðæàùàÿ x è y.
ZF4. Àêñèîìà ìíîæåñòâà ïîäìíîæåñòâ:
∀ x ∃ y ∀ z (z ∈ y ≡ ∀ u (u ∈ z ⊃ u ∈ x)).
ZF5. Àêñèîìà ìíîæåñòâà-ñóììû:
∀ x ∃ y ∀ z (z ∈ y ≡ ∃ v (z ∈ v & v ∈ x)).
ZF6. Àêñèîìà âûáîðà:
∀ x (∀ y ∀ z ((y ∈ x & z ∈ x) ⊃ (∃ v (v ∈ y) & (∃ u (u ∈ z &
& u ∈ y) ⊃ z = y))) ⊃ ∃ u ∀ t (t ∈ x ⊃ ∃ v ∀ w (v = w ≡ (w ∈ u & w ∈ t)))).
ZF7. Àêñèîìà áåñêîíå÷íîñòè:
∃ x (∀ y (¬ ∃ z (z ∈ y) ⊃ y ∈ x) & ∀ w (w ∈ x ⊃
⊃ ∀ u (∀ v (v ∈ u ≡ (v = w ∨ v ∈ w)) ⊃ u ∈ x))).
ZF8. Àêñèîìà ðåãóëÿðíîñòè:
∀ x (∃ y (y ∈ x) ⊃ ∃ y (y ∈ x & ∀ z (z ∈ z ⊃ ¬ z ∈ y))).
§ 7. Àêñèîìàòè÷åñêèå òåîðèè
ZF9. Àêñèîìà çàìåíû:
∀ x (∀ y ∀ z ∀ w ((y ∈ x & A (y, z) & A (y, w)) ⊃ z = w) ⊃
⊃ ∃ r ∀ s (s ∈ r ≡ ∃ t (t ∈ x & A (t, s)))),
ãäå A (t, s) ôîðìóëà ZF.
Èñïîëüçóåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
x ⊆ y ∀ z (z ∈ x ⊃ z ∈ y);
x = 0 ∀ y ¬ y ∈ x;
x = { y } ∀ z (z ∈ x ≡ z = y);
x = { y, z } ∀ u (u ∈ x ≡ (u = y ∨ u = z));
⟨x, y⟩ {{x}, {x, y}};
⟨x1, x2, ..., xn⟩ ⟨x1, ⟨x2, ..., xn⟩⟩ (n > 2);
y = x1 × ... × xn ∀ u (u ∈ y ≡ ∃ z1 ... ∃ zn (z1 ∈ x1 & ...
& zn ∈ xn & u = ⟨z1, ..., zn⟩)) äëÿ n ≥ 2;
y = P (x) ∀ z (z ∈ y ≡z ⊆ x);
Fn(x) (∀ y (y ∈ x ⊃ ∃ u ∃ v (y = ⟨u, v⟩)) &
& ∀ y ∀ u ∀ v ((⟨y, u⟩ ∈ x & ⟨y, v⟩ ∈ x) ⊃ u = v));
y = δ (x) ∀ z (z ∈ y ≡ ∃ u (⟨z, u⟩) ∈ x));
y = ∪ x ∀ z (z ∈ y ≡ ∃ u (u ∈ x & z ∈ u));
y = ∩ x ∀ z (z ∈ y ≡ ∀ u (u ∈ x ⊃ z ∈ u));
z = x ∪ y ∀ u (u ∈ z ≡ (u ∈ x ∨ u ∈ y));
z = x ∩ y ∀ u (u ∈ z ≡ (u ∈ x & u ∈ y));
Ord (x) (∀ y ∀ z ((z ∈ y & y ∈ x) ⊃ z ∈ x) &
& ∀ y ∀ z ((y ∈ x & z ∈ x) ⊃ (z ∈ y ∨ y = z ∨ y ∈ z)));
MA(x, y) (Ord (y) & x ∈ y & A (x) & ∀ z (z ∈ x ⊃ ¬ A (x)));
L(x) (Ord (x) & ¬ x = 0 & ∀ y ¬ x = y ∪ {y});
x = ω (L (x) & ∀ y (y ∈ x ⊃ ¬ L (y)));
N (x) ∃ y (y = ω & x ∈ y);
y = s (x) y = x ∪ {x};
x + y = z ∃ v (Fn (v) & δ (v) = s (y) & ⟨0, x⟩ ∈ v & ⟨y, z⟩ ∈ v &
& ∀ t ∀ u ((t ∈ δ (v) & ¬ t = y & ⟨t, u⟩ ∈ v) ⊃ ⟨s (t), s (u)⟩ ∈ v));
x ⋅ y = z ∃ v (Fn (v) & δ (v) = s (y) & ⟨0, 0⟩ ∈ v & ⟨y, z⟩ ∈
∈ v & ∀ t ∀ u ((⟨t, u⟩ ∈ v & ¬ t = y) ⊃ ⟨s(t), u + x⟩ ∈ v)).
101
102
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
1. Äîêàçàòü, ÷òî â ÈÏÐ ñèãíàòóðû σ âûâîäèìû:
(à) ((x1 = y1 & ... xn = yn) ⊃ t (x1, ..., xn) = t (y1, ..., yn)) äëÿ ëþáîãî
òåðìà t ñèãíàòóðû σ;
(á) ((x1 = y1 & ... xn = yn) ⊃ (A (x1, ..., xn) ≡ A (y1, ..., yn))) äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A ñèãíàòóðû σ.
2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè Γ ìíîæåñòâî àêñèîì òåîðèè T ñèãíàòóðû σ, M àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñèãíàòóðû σ, â êîòîðîé èñòèííû âñå ôîðìóëû èç Γ, òî â M èñòèííû âñå òåîðåìû òåîðèè T.
3. Ïóñòü ïðåäëîæåíèå A èñòèííî â ëþáîé ñèñòåìå, â êîòîðîé
èñòèííû âñå àêñèîìû òåîðèè T. Äîêàçàòü, ÷òî A ïðèíàäëåæèò T.
4*. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè âñå àêñèîìû òåîðèè T èñòèííû â íåêîòîðîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå, òî ñóùåñòâóåò ìîäåëü òåîðèè T.
5. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ íåïðîòèâîðå÷èâàÿ òåîðèÿ èìååò ìîäåëü.
6. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðåäëîæåíèå A èñòèííî âî âñåõ ìîäåëÿõ
òåîðèè T, òî A åñòü òåîðåìà òåîðèè T (òåîðåìà î ïîëíîòå ÈÏÐ ).
7*. Ïóñòü ïðåäëîæåíèå ∀ x1 ... ∀ xn ∃ ! y A (x1, ..., xn, y) åñòü òåîðåìà òåîðèè T ñèãíàòóðû σ. Ïóñòü òåîðèÿ T1 ñèãíàòóðû σ′ = σ ∪ { f n },
ãäå f n ∉ σ, èìååò â êà÷åñòâå àêñèîì âñå àêñèîìû òåîðèè T è
∀ x1 ... ∀ xn A (x1, ..., xn, f n (x1, ..., xn)).
(à) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ôîðìóëû B ñèãíàòóðû σ′ ñóùåñòâóåò ôîðìóëà B* ñèãíàòóðû σ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì:
1) åñëè f n íå âõîäèò â B, òî B* = B;
2) (B* ≡ B) åñòü òåîðåìà òåîðèè T1.
(á) Äîêàçàòü, ÷òî åñëè B íå ñîäåðæèò f n è ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé
òåîðèè T1, òî B ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé T.
8*. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ T èìååò áåñêîíå÷íóþ ìîäåëü, òî T èìååò è ñ÷åòíóþ ìîäåëü.
9. Äîêàçàòü, ÷òî òåîðèÿ T èìååò ìîäåëü òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà êàæäîå êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî T1 ⊆ T âûïîëíèìî.
10*. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè òåîðèÿ T äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà
n èìååò ìîäåëü ìîùíîñòè, áîëüøåé n, òî ýòà òåîðèÿ èìååò áåñêîíå÷íóþ ìîäåëü.
11. Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïðåäëîæåíèÿ, èñòèííîãî âî
âñåõ êîíå÷íûõ ìîäåëÿõ è ëîæíîãî â ëþáîé áåñêîíå÷íîé ìîäåëè.
12. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðåäëîæåíèå A èñòèííî âî âñåõ áåñêîíå÷íûõ ãðóïïàõ, òî A èñòèííî âî âñåõ êîíå÷íûõ ãðóïïàõ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ïîðÿäêà.
13. Äîêàçàòü, ÷òî òåîðèÿ ðàâåíñòâà E íåïîëíà.
§ 7. Àêñèîìàòè÷åñêèå òåîðèè
103
14. Äîêàçàòü, ÷òî ïðåäëîæåíèå A ñèãíàòóðû ⟨ = ⟩ èñòèííî âî
âñåõ íîðìàëüíûõ ñèñòåìàõ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A åñòü òåîðåìà òåîðèè E.
15*. Ïîñòðîèòü àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïî ëþáîìó ïðåäëîæåíèþ ñèãíàòóðû ⟨ = ⟩ óçíàâàòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ýòî ïðåäëîæåíèå òåîðåìîé òåîðèè E.
16. ßâëÿþòñÿ ëè ñëåäóþùèå ïðåäëîæåíèÿ òåîðåìàìè òåîðèè E:
(à) ∀ x ∃ y ∀ z (¬ z = x ∨ ¬ y = z);
(á) ∀ x ∃ y ∀ z ∃ v (v = z & ¬ (z = x & ¬ x = y & v = y))?
17. Ïóñòü ñèãíàòóðà σ ñîäåðæèò îäèí äâóìåñòíûé ïðåäèêàò P,
T åñòü ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé, âûâîäèìûõ èç Γ = {A1, A2}, ãäå
A1 = ∀ x ∀ y (P (x, y) ⊃ ¬ P (y, x)),
A2 = ∀ x ∀ y ∀ z (P (x, y) ⊃ (P (y, z) ⊃ P (x, z))).
ßâëÿåòñÿ ëè T ïîëíîé òåîðèåé?
18. Äîêàçàòü, ÷òî Q íåïðîòèâîðå÷èâàÿ òåîðèÿ.
19*. ßâëÿåòñÿ ëè ñèñòåìà ïðåäëîæåíèé {Q1, ..., Q7} íåçàâèñèìîé?
20*. Äîêàçàòü, ÷òî â òåîðèè Q íåâûâîäèìû ôîðìóëû:
(à) ¬ x = s (x);
(á) 0 + x = x;
(â) s (x + y) = s (x) y;
(ã) x + y = y + x;
(ä) (x + y) + z = x + (y + z);
(å) x ≤ x;
(æ) 0 ⋅ x = 0;
(ç) s (x) ⋅ y = x ⋅ y + y;
(è) x ⋅ y = y ⋅ x;
(ê) (x ⋅ y) ⋅ z = x (y ⋅ z);
(ë) x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z;
(ì) (x + y) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z.
21. Äîêàçàòü âûâîäèìîñòü â Q ôîðìóë:
(à) (x + y = 0 ⊃ (x = 0 & y = 0));
(á) (x ⋅ y = 0 ⊃ (x = 0 ∨ y = 0)).
22. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ìîäåëü òåîðèè Q áåñêîíå÷íà.
23. Îïðåäåëèòü êîíñòàíòó 0 è ôóíêöèè s, + è ⋅ òàê, ÷òîáû
ìîäåëüþ òåîðèè Q ñòàëî ìíîæåñòâî:
(à) N = {0, 1, 2, ...};
(á) N ∪ {a} = {0, 1, 2, ...; a} (a ∉ N );
(â) N ∪ {a, b} = {0, 1, 2, ...; a, b} (a, b ∉ N );
104
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
(ã) N ∪ N ′ = {0, 1, 2, ...; a0, a1, a2, ...} (ai ∉ N
ai ≠ aj ïðè i ≠ j ).
äëÿ âñåõ i è
24. Ìîæíî ëè îïðåäåëèòü êîíñòàíòó 0 è ôóíêöèè s, + è ⋅ òàê,
÷òîáû ìîäåëüþ òåîðèè Q ñòàëî:
(à) ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ ÷èñåë;
(á) ìíîæåñòâî âñåõ íåîòðèöàòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë;
(â) ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë?
25. Äîêàçàòü, ÷òî òåîðèÿ Ð íåïðîòèâîðå÷èâà.
26. Äîêàçàòü çàâèñèìîñòü àêñèîì òåîðèè Ð.
27. Äîêàçàòü, ÷òî âñå ôîðìóëû èç çàäà÷è 20 ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè òåîðèè Ð.
28*. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò íåñòàíäàðòíàÿ (ò.å. íåèçîìîðôíàÿ ñèñòåìå N) ìîäåëü òåîðèè Ð.
29. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôîðìóëû ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè Ð:
(à) (x + y = y + z ⊃ x = y);
(á) (¬ z = 0 ⊃ (x ⋅ z = y ⋅ z ⊃ x = y)).
30. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôîðìóëû ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè Ð:
(à) 0 ≤ x;
(á) ((x ≤ y & y ≤ z) ⊃ x ≤ z);
(â) ((x ≤ y & y ≤ x) ⊃ x = y);
(ã) (x ≤ y ∨ y ≤ x);
(ä) ¬ x < x;
(å) x < s (x);
(æ) 0 < s (x);
(ç) (x < y ∨ ¬ y < x);
(è) (x < y ∨ y < x ∨ x = y);
(ê) (x < y ≡ s (x) ≤ y);
(ë) x ≤ x + y;
(ì) (x < y ≡ x + z < y + z);
(í) (¬ y = 0 ⊃ x ≤ x ⋅ y);
(î) (¬ x = 0 ⊃ (y < z ≡ x ⋅ y < x ⋅ z)).
31*. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A (x) ñ îäíîé ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé x ñëåäóþùèå ôîðìóëû ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè Ð:
(à) (∀ x (∀ z (z < x ⊃ A (z)) ⊃ A (x)) ⊃ ∀ x A (x)) (âîçâðàòíàÿ èíäóêöèÿ);
(á) (∃ x A (x) ⊃ ∃ y (A (y) & ∀ z (z < y ⊃ ¬ A (z)))) (ïðèíöèï íàèìåíüøåãî ÷èñëà);
(â) (∀ x (A (x) ⊃ ∃ y (y < x & A (y))) ⊃ ∀ x ¬ A (x)) (ìåòîä áåñêîíå÷íîãî ñïóñêà).
§ 7. Àêñèîìàòè÷åñêèå òåîðèè
105
32. Ââåäåì ñëåäóþùèå ñîêðàùåíèÿ:
x = rest (y, z) ((x < z & ∃ u (y = u ⋅ z + x)) ∨ (z = 0 & x = y));
⎡x⎤
z = ⎢ ⎥ (∃ u (u < y & x = z ⋅ y + u) ∨ (y = 0 & x = z)).
y
⎣ ⎦
Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôîðìóëû ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè Ð:
(à) ∀ x ∀ y ∃ ! z (z = rest (y, x));
⎛
⎡x ⎤⎞
(á) ∀ x ∀ y ∃ ! ⎜ z = ⎢ ⎥ ⎟ .
⎣ y ⎦⎠
⎝
33. Çàïèñàòü ôîðìóëó Ïð (x) òàêóþ, ÷òî Ïð (Δn) ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé òåîðèè P òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà n ïðîñòîå ÷èñëî.
34*. Ââåäåì ñëåäóþùèå ñîêðàùåíèÿ:
x / y ∃ z (y = x ⋅ z);
z = d (x, y) (z / x & z / y & ∀ u ((u / x & u /y) ⊃ u / z));
z = dn(x1, ..., xn) ∃ u (z = d (x1, u) & u = dn − 1(x2, ..., xn)) n > 2;
u = β (x, y, z) u = rest (x, 1 + y ⋅ (z + 1)).
Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôîðìóëû ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè Ð:
(à) ∀ x1, ..., ∀ xn ∃ ! y (y = dn (x1, ..., xn));
(á) ∀ x ∀ y ∀ z ∃ ! u (u = β (x, y, z));
(â) ∀ x ∀ y ∀ z ∀ u ((z = d (x, y) & u = rest (x, y)) ⊃ z = d (y, u));
(ã) ∀ x ∀ y ((¬ x = 0 & ¬ y = 0 & d (x, y) = s(0)) ⊃
⊃ ∃ z ∃ u ∃ v ∃ w (x ⋅ z = y ⋅ u + s(0) & y ⋅ v = x ⋅ w + s(0)));
(ä) ∀ x1, ..., ∀ xn ∀ y1, ..., ∀ yn ((dn(x1, ..., xn) = Δ1 & y1 < x1 & ...
& yn < xn) ⊃ ∃ z (rest (z, x1) = y1 & ... & rest (z, xn) = yn));
(å) ∀ x ∀ y ∀ z ∀ u ∃ x1 ∃ y1 (∀ v (v ≤ z ⊃ β (x, y, v) =
= β (x1, y1, v1)) & β (x1, y1, s(z)) = u).
35*. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ òåîðåìà òåîðèè R ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé
òåîðèè Q.
36. Áóäåò ëè íåçàâèñèìîé ñèñòåìà ôîðìóë
{R1(np) | n, p ∈ N } ∪ {R2(np) | n, p ∈ N } ∪
∪ {R3(np) | n, p ∈ N , n ≠ p} ∪ {R4(n) | n ∈ N } ∪ {R5(n) | n ∈ N } ?
37. Äîêàçàòü, ÷òî ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü àðèôìåòèêè èçîìîðôíî
âëîæèìà â ëþáóþ ìîäåëü òåîðèè Q.
106
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
38. Äîêàçàòü â ZF:
(à) ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïóñòîãî ìíîæåñòâà 0:
∃ ! x (x = 0);
(á) ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïàðû:
∀ x ∀ y ∃ ! z (z = {x, y});
(â) ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü {x}:
∀ x ∃ y ! y (y = {x});
(ã) àêñèîìó óïîðÿäî÷åííîé ïàðû:
(⟨x, y⟩ = ⟨z, u⟩ ⊃ (x = z & y = u));
(ä) àêñèîìó óïîðÿäî÷åííîé n-êè:
(⟨x1, ..., xn⟩ = ⟨y1, ..., yn⟩ ⊃ (x1 = y1 & ... & xn = yn));
(å) ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ìíîæåñòâà ïîäìíîæåñòâ:
∀ x ∃ ! y (y = P (x));
(æ) ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ:
∀ x ∀ y ∃ ! z (z = x × y);
(ç) ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ:
∀ x1, ..., ∀ xn ∃ ! y (y = x1 × ... × xn);
(è) ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ
ôóíêöèè:
∀ x (Fn (x) ⊃ ∃ ! y (y = δ (x)));
(ê) ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ∪ x:
∀ x ∃ ! y (y = ∪ x);
(ë) ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü x ∪ y:
∀ x ∀ y ∃ ! z (z = x ∪ y);
(ì) ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü x ∩ y:
∀ x ∀ y ∃ ! z (z = x ∩ y);
(í) ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ∩ x äëÿ x ≠ 0:
∀ x (¬ x = 0 ⊃ ∃ ! y (y = ∩ x)).
39. Äîêàçàòü â ZF ñëåäóþùèå òåîðåìû:
(à) ¬ x ∈ x;
(á) ¬ (x ∈ y & y ∈ x);
(â) ¬ (x ∈ y & y ∈ z & z ∈ x).
§ 7. Àêñèîìàòè÷åñêèå òåîðèè
107
40. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ îá îðäèíàëüíûõ
÷èñëàõ ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè ZF:
(à) (Ord (z) ⊃ (y ∈ z ⊃ (x ∈ y ⊃ x ∈ z)));
(á) ((Ord (x) & y ∈ x) ⊃ Ord (y));
(â) (Ord (x) ⊃ W (x)), ãäå W (x) åñòü ôîðìóëà, îçíà÷àþùàÿ,
÷òî ∈ åñòü ïîëíûé èððåôëåêñèâíûé ïîðÿäîê íà x;
(ã) ((Ord (x) & y = x ∪ {x}) ⊃ Ord (y));
(ä) ((Ord (x) & ∀ y (∀ z ( z ∈ y ⊃ A ( z )) ⊃ A (y))) ⊃ A (x)), ãäå
A (x) ôîðìóëà ñ îäíîé ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé x (òðàíñôèíèòíàÿ èíäóêöèÿ);
(å) ((Ord (x) & Ord (y)) ⊃ (x ∈ y ∨ y ∈ x ∨ x = y));
(æ) ((Ord (x) & ¬ x = 0) ⊃ 0 ∈ x);
(ç) ((Ord (x) & Ord (y) & x ∈ y) ⊃ ∀ u ∀ v ((MA (u, x) &
& MA (v, y)) ⊃ u = v)).
41. Äîêàçàòü â ZF ñëåäóþùèå òåîðåìû:
(à) (∀ y (y ∈ x ⊃ Ord (y)) ⊃ Ord (∪ x));
(á) ((¬ x = 0 & ∀ y (y ∈ x ⊃ Ord (y))) ⊃ Ord (∩ x));
(â) ∃ x L (x);
(ã) ∃ ! x (x = ω);
(ä) (Ord (ω) & 0 ∈ ω & ∀ x (x ∈ ω ⊃ x ∪ {x} ∈ ω)).
42. Äîêàçàòü â ZF ñëåäóþùèå òåîðåìû:
(à) (N (x) ⊃ Ord (x));
(á) ((N (x) & y ∈ x) ⊃ N (y));
(â) ∀ x (N (x) ⊃ ∃ ! y (N (y) & y = s (x)));
(ã) ((N (x) & N (y) & s (x) = s (y)) ⊃ x = y);
(ä) ¬ s (x) = 0;
(å) ((N (x) & ¬ x = 0) ⊃ ∃ y (N (y) & x = s (y))).
43. Äîêàçàòü â ZF ïðèíöèï èíäóêöèè äëÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: äëÿ
ëþáîé ôîðìóëû A (x) ñ îäíîé ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé x
((A (0) & ∀ x ((N (x) & A (x)) ⊃ A (s (x)))) ⊃ ∀ y (N (y) ⊃ A (y))).
44. Äîêàçàòü â ZF ñëåäóþùèå òåîðåìû:
(à) ∀ x ∀y ((N (x) & N (y)) ⊃ ∃ ! z (N (z) & x + y = z));
(á) ∀ x (N (x) ⊃ x + 0 = x);
(â) ∀ x ∀y ((N (x) & N (y)) ⊃ x + s (y) = s (x + y));
(ã) ∀ x ∀y ((N (x) & N (y)) ⊃ ∃ ! z (N (z) & x ⋅ y = z));
(ä) ∀ x (N (x) ⊃ x ⋅ 0 = 0);
(å) ∀ x ∀y ((N (x) & N (y)) ⊃ x ⋅ s (y) = x ⋅ y + x)).
45*. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A åñòü òåîðåìà òåîðèè Ð, òî ôîðìóëà
ρN(A), ïîëó÷åííàÿ èç A ðåëÿòèâèçàöèåé êâàíòîðîâ îòíîñèòåëüíî
N, åñòü òåîðåìà òåîðèè ZF.
108
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
§ 8. ÔÈËÜÒÐÎÂÀÍÍÛÅ ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈß
Ôèëüòðîì íàä ìíîæåñòâîì I íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíûé ôèëüòð
íà áóëåâîé àëãåáðå P (I ), ò.å. íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî D ìíîæåñòâà P (I ), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì:
(à) åñëè X, Y ∈ D, òî (X ∩Y ) ∈ D;
(á) åñëè X ∈ D, X ⊆ Y ⊆ I, òî Y ∈ D;
(â) ∅ ∉ D.
Ôèëüòð D, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ
(ã) äëÿ âñåõ X ⊆ I èìååò ìåñòî X ∈ D èëè (I \X ) ∈ D, íàçûâàåòñÿ óëüòðàôèëüòðîì íàä I.
Ôèëüòð D íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì, åñëè îí ñîäåðæèò íàèìåíüøèé
ýëåìåíò.
Ôèëüòð D íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíî ïîëíûì, åñëè äëÿ ëþáîé ñ÷åòíîé
ñèñòåìû ýëåìåíòîâ D åå ïåðåñå÷åíèå ïðèíàäëåæèò D.
Ïóñòü I = m ≥ ℵ0 . Ôèëüòðîì Ôðåøå íàä I íàçûâàåòñÿ ëþáîé
ôèëüòð íàä I, ñîäåðæàùèé Φ = {X | X ⊆ I è I \ X < m}.
Ïóñòü M1 = ⟨M1; σ⟩ è M2 = ⟨M2; σ⟩ àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû.
Îòîáðàæåíèå ϕ: M1 → M2 íàçûâàåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì èç M1 â M2,
åñëè äëÿ ëþáûõ b1, ..., bn ∈ M1:
(à) M1 P n (b1, ..., bn) ⇒ M2 P n (ϕ (b1), ..., ϕ (bn)) äëÿ ëþáîãî ïðåäèêàòíîãî ñèìâîëà P n ∈ σ;
(á) ϕ (F n (b1, ..., bn)) = F n (ϕ (b1), ..., ϕ (bn)) äëÿ ëþáîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ñèìâîëà F n ∈ σ;
(â) ϕ (a) = a äëÿ ëþáîé ïðåäìåòíîé êîíñòàíòû a ∈ σ.
Ãîìîìîðôèçì ϕ: M1 → M2 íàçîâåì ñèëüíûì, åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
(ã) åñëè M2 P n (ϕ (b1), ..., ϕ (bn)), òî ñóùåñòâóþò b′1, ..., b′n ∈ M1
òàêèå, ÷òî ϕ (b1) = ϕ (b′1), ..., ϕ (bn) = ϕ (b′n) è M1 P n (b′1, ..., b′n).
Âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ϕ ìåæäó M1 è M2 íàçîâåì
èçîìîðôèçìîì ìåæäó M1 è M2, åñëè ϕ è ϕ−1 åñòü ãîìîìîðôèçìû.
Åñëè M1 èçîìîðôíî M2, òî ïèøåì M1 M2.
Ïóñòü {Mi}i ∈ I ñåìåéñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì ñèãíàòóðû σ,
Mi îñíîâíûå ìíîæåñòâà Mi.
Ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ñèñòåì M1 (i ∈ I ) íàçîâåì àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó ∏ Mi =
i ∈I
∏ M i ; σ , ãäå:
i ∈I
(à) äëÿ êàæäîãî ïðåäèêàòíîãî ñèìâîëà P n ∈ σ
§ 8. Ôèëüòðîâàííûå ïðîèçâåäåíèÿ
109
∏ Mi P n (f1, ..., fn) (i) ⇔ Mi P n (f1 (i), ..., fn (i))
i ∈I
äëÿ êàæäîãî i ∈ I;
(á) äëÿ êàæäîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ñèìâîëà F n ∈ σ
F n (f1, ..., fn) (i) = F n (f1 (i), ..., fn (i));
(â) äëÿ êàæäîé ïðåäìåòíîé êîíñòàíòû a ∈ σ
a (i) = a.
Ïóñòü D ôèëüòð íàä I. Îïðåäåëèì íà ∏ M i îòíîøåíèå
i ∈I
f ∼ D g ⇔ {i | f (i) = g (i)} ∈ D
è ïóñòü
f /D = {g | f ∼ D g},
⎪⎧
⎪⎫
∏ M i / D = ⎨⎪ f / D | f ∈ ∏ M i ⎬⎪ .
⎩
i ∈I
⎭
i ∈I
n
Ïîëàãàåì äëÿ ïðåäèêàòíîãî ñèìâîëà P èç σ
P n (f1 /D, ..., fn /D) = è ⇔ {i | M1 P n (f1 (i), ..., fn (i))} ∈ D,
äëÿ n-ìåñòíîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ñèìâîëà F n èç σ
F n (f1 /D, ..., fn /D) = F n (f1, ..., fn) /D
è äëÿ ïðåäìåòíîé êîíñòàíòû a èç σ
a = a /D.
Ñèñòåìà M = ∏ Mi / D =
i ∈I
∏ M i / D; σ
ñ òàê îïðåäåëåííû-
i ∈I
ìè ïðåäèêàòàìè è ôóíêöèÿìè íàçûâàåòñÿ ôèëüòðîâàííûì (èëè
ïðèâåäåííûì) ïðîèçâåäåíèåì ñèñòåì Mi ïî ôèëüòðó D.
Åñëè D óëüòðàôèëüòð, òî ∏ M i /D íàçûâàåòñÿ óëüòðàïðîèçi ∈I
âåäåíèåì; åñëè âñå Mi ñîâïàäàþò è ðàâíû M, òî ∏ M i /D íài ∈I
çûâàåòñÿ óëüòðàñòåïåíüþ M è îáîçíà÷àåòñÿ MI /D.
Íàçîâåì ôîðìóëó A (x1, ..., xn) ñèãíàòóðû σ óñëîâíî ôèëüòðóþùåéñÿ ïî ôèëüòðó D íàä I, åñëè äëÿ ëþáûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì
Mi (i ∈ I ) ñèãíàòóðû σ è ëþáûõ f1, ..., fn ∈ ∏ M i èç òîãî, ÷òî
i ∈I
110
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
{i | Mi A (f1 (i), ..., fn (i))} ∈ D,
ñëåäóåò, ÷òî
∏ Mi /D A (f1 /D, ..., fn /D).
i ∈I
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôîðìóëà A (x1, ..., xn) ñèãíàòóðû σ ôèëüòðóåòñÿ ïî ôèëüòðó D íàä I, åñëè äëÿ ëþáûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì Mi (i ∈ I ) ñèãíàòóðû σ è ëþáûõ f1, ..., fn ∈ ∏ M i
i ∈I
{i | Mi A (f1 (i), ..., fn (i))} ∈ D ⇔ ∏ M i /D A (f1 /D, ..., fn /D).
i ∈I
1. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè D ôèëüòð íàä I, òî I ∈ D.
2. Ïóñòü X ⊆ I. Äîêàçàòü, ÷òî {Y | Y ⊆ I è X ⊆ Y } åñòü ôèëüòð íàä I.
3. Ïóñòü D ôèëüòð íàä I è J ∈ D. Ïîêàçàòü, ÷òî D1 = {X ∩ J | X ∈ D}
åñòü ôèëüòð íàä J, à òàêæå, ÷òî åñëè D íåãëàâíûé ôèëüòð, òî
D1 òàêæå íåãëàâíûé ôèëüòð.
4. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè êàêîå-íèáóäü êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïðèíàäëåæèò ôèëüòðó, òî ýòîò ôèëüòð ãëàâíûé.
5. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêèé íåãëàâíûé óëüòðàôèëüòð ñîäåðæèò âñå
ìíîæåñòâà, èìåþùèå êîíå÷íûå äîïîëíåíèÿ.
6. Äîêàçàòü, ÷òî ôèëüòð D íàä I åñòü óëüòðàôèëüòð òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà D ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì ìíîæåñòâîì â
ìíîæåñòâå âñåõ ôèëüòðîâ íàä I, óïîðÿäî÷åííîì ïî âêëþ÷åíèþ.
7. Äîêàçàòü, ÷òî âî ìíîæåñòâå Φ âñåõ ôèëüòðîâ íàä I, óïîðÿäî÷åííîì ïî âêëþ÷åíèþ, {I } åñòü íàèìåíüøèé ýëåìåíò. Ïîêàçàòü
òàêæå, ÷òî åñëè I ≥ 2, òî â Φ íåò íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà.
8. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû íàä I ñóùåñòâîâàë ôèëüòð,
ñîäåðæàùèé ìíîæåñòâî S ⊆ P (I ), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ èç S áûëî
íåïóñòî.
9. Ïóñòü I áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ìîùíîñòè α è
Φ = {X | X ⊆ I è X < α}.
Äîêàçàòü, ÷òî Φ åñòü ôèëüòð íàä I.
10. Äîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà Ψ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà I ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì ôèëüòðå Ôðåøå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
êàæäîå ïåðåñå÷åíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ ñèñòåìû Ψ èìååò
ìîùíîñòü, ðàâíóþ ìîùíîñòè ìíîæåñòâà I.
§ 8. Ôèëüòðîâàííûå ïðîèçâåäåíèÿ
111
11. Ïîêàçàòü, ÷òî êàæäûé íåãëàâíûé óëüòðàôèëüòð íàä ñ÷åòíûì ìíîæåñòâîì áóäåò ôèëüòðîì Ôðåøå.
12. Ïóñòü F ôèëüòð íàä I, A ⊆ I è FA = {X ∩ A | X ∈ F }. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû FA áûëî ôèëüòðîì íàä A, íåîáõîäèìî è
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî X ∈ F áûëî X ∩ A ≠ ∅.
13. Ïóñòü F óëüòðàôèëüòð íàä I, A ⊆ I è FA = {X ∩ A | X ∈ F }.
Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû FA áûëî óëüòðàôèëüòðîì íàä A,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû A ïðèíàäëåæàëî F.
14*. Ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêèé ôèëüòð ìîæíî ðàñøèðèòü äî óëüòðàôèëüòðà.
15. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêèé ôèëüòð ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì âñåõ
ñîäåðæàùèõ åãî óëüòðàôèëüòðîâ.
16. Ïóñòü F è G ôèëüòðû íàä I. Äîêàçàòü, ÷òî
F ∩G = {X ∪Y | X ∈ F è Y ∈ G }.
17. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè îáúåäèíåíèå êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Ai}i ≤ n ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà I ïðèíàäëåæèò óëüòðàôèëüòðó F, òî ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç ìíîæåñòâ Ai ïðèíàäëåæèò F.
18. Ïóñòü F óëüòðàôèëüòð, à G1, ..., Gn ôèëüòðû íàä I. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè F ⊇ G1 ∩ ... ∩ Gn, òî ñóùåñòâóåò òàêîå i (1 ≤ i ≤ n),
÷òî F ⊇ Gi.
19. Ïóñòü ìíîæåñòâî J áåñêîíå÷íî. Ïîñòðîèòü óëüòðàôèëüòð F
è ñåìåéñòâî óëüòðàôèëüòðîâ {Gj}j ∈ J òàêèå, ÷òî F ⊇ I G j , íî F íå
ñîäåðæèò Gj íè äëÿ êàêîãî j.
20. Äîêàçàòü, ÷òî
áîëåå îäíîé òî÷êè.
j ∈J
I X, ãäå F óëüòðàôèëüòð, ñîäåðæèò íå
X ∈F
21. Ïóñòü D ôèëüòð íàä I è ∼ íåêîòîðîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà I. Ïóñòü D ∼ = {B | ∃ A (A ∈ D & B = {[x]∼ | x ∈ A})}. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) D ∼ ôèëüòð íàä I / ∼;
(á) åñëè D óëüòðàôèëüòð, òî D ∼ óëüòðàôèëüòð;
(â) åñëè D óëüòðàôèëüòð è [x]∼ ∉ D äëÿ ëþáîãî x, òî D ∼
íåãëàâíûé óëüòðàôèëüòð.
22. Äîêàçàòü, ÷òî ôèëüòð D íàä I ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíî ïîëíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íå ñóùåñòâóåò óáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X0 ⊃ X1 ⊃ X2 ⊃ ... ýëåìåíòîâ Xi ∈ D òàêîé, ÷òî
I X i = ∅.
i ∈N
112
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
23. Äîêàçàòü, ÷òî ∼D åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ∏ M i .
i ∈I
24. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f1 ∼D g1, ..., fn ∼D gn òî:
(à) P n (f1 /D, ..., fn /D) = P n (g1 /D, ..., gn /D);
(á) F n (f1, ..., fn) ∼D F n (g1, ..., gn).
25. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî I
∏ Mi ∏ Mi /D ,
i∈I
i∈I
ãäå D = {I }.
26. Äîêàçàòü, ÷òî êàíîíè÷åñêîå îòîáðàæåíèå ϕ: ∏ Mi → ∏ Mi /D ,
i ∈I
i ∈I
ãäå ϕ (f) = f /D, ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì ∏ Mi íà ∏ Mi /D. Ïîi ∈I
i ∈I
êàçàòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýòîò ãîìîìîðôèçì íå ÿâëÿåòñÿ ñèëüíûì ãîìîìîðôèçìîì.
27. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðåäëîæåíèå, íå ñîäåðæàùåå ¬ è ⊃,
èñòèííî íà ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè
∏ Mi , òî îíî èñòèííî íà
i ∈I
ôèëüòðîâàííîì ïðîèçâåäåíèè ∏ M i /D ïî ëþáîìó ôèëüòðó D.
i ∈I
28. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè D, D1 ôèëüòðû íàä I è D ⊆ D1, òî
îòîáðàæåíèå ϕ, îïðåäåëåííîå óñëîâèåì ϕ (f /D) = f /D1, ÿâëÿåòñÿ
ãîìîìîðôèçìîì ∏ Mi /D íà ∏ M i /D1.
i ∈I
i ∈I
29. Ïóñòü J ∈ D, D ôèëüòð íàä I. Ïîêàçàòü, ÷òî
∏ Mi /D ∏ M j /D j ,
i∈I
j∈J
ãäå DJ ôèëüòð, îáðàçîâàííûé ïåðåñå÷åíèÿìè J ñ ìíîæåñòâàìè
ôèëüòðà D.  ÷àñòíîñòè, åñëè D ãëàâíûé ôèëüòð, ñîñòîÿùèé èç
ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà J, òî
∏ Mi /D ∏ M j .
i∈I
j ∈J
30. Ïóñòü I êîíå÷íî è D ôèëüòð íàä I. Äîêàçàòü, ÷òî ∏ Mi /D
i ∈I
èçîìîðôíî ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ íåêîòîðûõ ñèñòåì Mi .
§ 8. Ôèëüòðîâàííûå ïðîèçâåäåíèÿ
113
31. Ïóñòü {Ik | k ∈ K } ðàçáèåíèå I è ïóñòü íàä Ik çàäàíû ôèëüòðû
Dk, à íàä K ôèëüòð D*. Ïîêàçàòü, ÷òî
D = {X ⊆ I | {k | k ∈ K è X ∩ Ik ∈ Dk} ∈ D*}
åñòü ôèëüòð íàä I è äëÿ ëþáûõ Mi (i ∈ I)
⎛
⎞
k ∈K ⎝ i∈I k
⎠
∏ Mi /D ∏ ⎜⎜ ∏ Mi /Dk ⎟⎟ /D *
i∈I
(àññîöèàòèâíûé çàêîí äëÿ ôèëüòðîâàííûõ ïðîèçâåäåíèé).
32. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïåðåñå÷åíèå J âñåõ ìíîæåñòâ ôèëüòðà D
íàä I íåïóñòî è íå ïðèíàäëåæèò D, òî
⎛
⎞
⎝ k ∈J ′
⎠
∏ Mi /D ∏ M j ⋅ ⎜⎜ ∏ Mk /DJ ′ ⎟⎟ ,
i∈I
j ∈J
ãäå J ′ = I \J è DJ′ ôèëüòð íàä J ′, îáðàçîâàííûé ïåðåñå÷åíèÿìè
J ′ ñî âñåìè ìíîæåñòâàìè ôèëüòðà D.
33. Ïóñòü ϕi : Mi → Ni ãîìîìîðôèçìû, ϕ ( f /D) = (ϕ′ ( f )) /D,
ãäå (ϕ′ ( f ))(j) = ϕ j ( f (j)) äëÿ f ∈ ∏ Mi , j ∈ J. Äîêàçàòü, ÷òî òîãäà
i∈I
ϕ åñòü ãîìîìîðôèçì ∏ Mi /D â ∏ Ni /D. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè
i ∈I
i ∈I
ϕ i ñèëüíûå ãîìîìîðôèçìû (èçîìîðôèçìû), òî òàêèì æå ÿâëÿåòñÿ è ϕ.
34. Ïóñòü ϕ åñòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó I è
J, D ôèëüòð íàä I, D1 = {ϕ (X ) | X ∈ D}. Äîêàçàòü, ÷òî
∏ Mi / D ∏ Mϕ ( j ) / D1 .
−1
i∈I
j∈J
35. Ïóñòü {Ci | i ∈ I } ñåìåéñòâî ìíîæåñòâ, íà I çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ∼ òàêîå, ÷òî i ∼ j ⇒ Ci = Cj. Äîêàçàòü, ÷òî
äëÿ ëþáîãî óëüòðàôèëüòðà D íàä I ñóùåñòâóåò èçîìîðôíîå âëîæåíèå
∏ Cα /D ∼ â ∏ Ci /D, ãäå D ∼ ñòðîèòñÿ, êàê â çàäà÷å 21, à
α∈I / ∼
i ∈I
Cα = Ci äëÿ α ∈ I /∼ è i ∈ α.
36. Ïóñòü {Ik}k ∈ K ñåìåéñòâî âñåõ êîíå÷íûõ íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ I, {Mi}i ∈ I ñåìåéñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì ñèãíàòóðû σ.
114
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ôèëüòð D íàä K òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî
ôèëüòðà D1 ⊇ D íàä K ñóùåñòâóåò èçîìîðôíîå âëîæåíèå ∏ M i â
i ∈I
⎛
⎞
k ∈K ⎝ i∈I k
⎠
∏ ⎜⎜ ∏ Mi ⎟⎟ / D1.
37. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A è B óñëîâíî ôèëüòðóþòñÿ ïî ôèëüòðó D
íàä I, òî (A & B ), ∃ x B, ∀ x A òàêæå óñëîâíî ôèëüòðóþòñÿ ïî D.
38. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A è B ôèëüòðóþòñÿ ïî ôèëüòðó D íàä I,
òî (A & B), ∃ x A òàêæå ôèëüòðóþòñÿ ïî D.
39. Äîêàçàòü, ÷òî àòîìíûå ôîðìóëû ôèëüòðóþòñÿ ïî ëþáîìó
ôèëüòðó.
40. Ïóñòü A ôèëüòðóåòñÿ ïî óëüòðàôèëüòðó D. Äîêàçàòü, ÷òî ¬ A
ôèëüòðóåòñÿ ïî D.
41. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôîðìóëà ôèëüòðóåòñÿ ïî ëþáîìó óëüòðàôèëüòðó (òåîðåìà Ëîñÿ).
42. Ïóñòü A ôèëüòðóåòñÿ ïî ôèëüòðó D íàä I, à B óñëîâíî
ôèëüòðóåòñÿ ïî D. Äîêàçàòü, ÷òî (A ⊃ B ) è ¬ A óñëîâíî ôèëüòðóþòñÿ ïî D.
43. Íàçîâåì ôîðìóëó õîðíîâñêîé, åñëè îíà ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóë âèäà ¬ A, (A ⊃ B ), B, ãäå A êîíúþíêöèÿ àòîìíûõ ôîðìóë,
à B àòîìíàÿ ôîðìóëà, ïðè ïîìîùè îïåðàöèé êîíúþíêöèè è
íàâåøèâàíèÿ êâàíòîðîâ. Äîêàçàòü, ÷òî õîðíîâñêèå ôîðìóëû óñëîâíî ôèëüòðóþòñÿ ïî ëþáîìó ôèëüòðó.
44. Äîêàçàòü, ÷òî óëüòðàïðîèçâåäåíèå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ
ìíîæåñòâ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åíî.
45. Äîêàçàòü, ÷òî ôèëüòðîâàííîå ïðîèçâåäåíèå ïðåäóïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ ïðåäóïîðÿäî÷åíî.
46. Äîêàçàòü, ÷òî ôèëüòðîâàííîå ïðîèçâåäåíèå ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åíî.
47. Äîêàçàòü, ÷òî ôèëüòðîâàííîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïï åñòü ãðóïïà.
48. Ïóñòü êîíå÷íàÿ ñèñòåìà M ñîäåðæèò n ýëåìåíòîâ. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ óëüòðàñòåïåíü M ñîäåðæèò òàêæå n ýëåìåíòîâ.
49. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ìîùíîñòè âñåõ ñîìíîæèòåëåé íå ïðåâîñõîäÿò íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, òî ìîùíîñòü óëüòðàïðîèçâåäåíèÿ íå ïðåâîñõîäèò n.
50. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ôèëüòðîâàííîå ïðîèçâåäåíèå áåñêîíå÷íûõ ñèñòåì áåñêîíå÷íî.
§ 8. Ôèëüòðîâàííûå ïðîèçâåäåíèÿ
115
51. Ïóñòü äëÿ êàæäîãî n â ñåìåéñòâå {Mi}i ∈ I èìååòñÿ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ñèñòåì ìîùíîñòè n. Äîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå
óëüòðàïðîèçâåäåíèå ∏ M i /D ïî íåãëàâíîìó óëüòðàôèëüòðó D
áåñêîíå÷íî.
i ∈I
52. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè äëÿ ëþáîãî i ∈ I èìååì Mi ≤ Ni , òî äëÿ
ëþáîãî ôèëüòðà D íàä I
∏ Mi /D ≤ ∏ Ni /D .
i∈I
i∈I
53*. Ïóñòü âñå ñîìíîæèòåëè Mi (i ∈ N ) êîíå÷íû, D óëüòðàôèëüòð íàä N è {i | Mi = n} ∉ D äëÿ êàæäîãî n ∈N . Äîêàçàòü, ÷òî
∏ Mi èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.
i∈N
54. Ïóñòü âñå ñîìíîæèòåëè Mi (i ∈ N ) êîíå÷íû èëè ñ÷åòíû,
D íåãëàâíûé óëüòðàôèëüòð íàä ìíîæåñòâîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N è èìååì {i | Mi = n} ∉ D äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n. Äîêàçàòü, ÷òî ìîùíîñòü
∏ Mi /D ðàâíà êîíòèíóóìó.
i∈N
55*. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè D íå ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíî ïîëíûì óëüòðàôèëüòðîì íàä I è äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n èìååì {i | Mi = n} ∉ D,
òî ∏ Mi /D èìååò ìîùíîñòü íå ìåíüøå êîíòèíóóìà.
i ∈I
56. Ïóñòü âñå Mi (i ∈ I ) ñ÷åòíû è D ñ÷åòíî ïîëíûé óëüòðàôèëüòð íàä I. Äîêàçàòü, ÷òî ∏ Mi /D = ℵ0.
i∈I
57. Ïóñòü ⟨A i; ≤ ⟩ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà
(i ∈ N ), ïðè÷åì Ai ñîäåðæèò i ìèíèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ. Êàêîâà
ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ìèíèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ â óëüòðàïðîèçâåäåíèè
∏ Ai /D, åñëè D íåãëàâíûé óëüòðàôèëüòð íàä N ?
i ∈N
58*. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà I ñóùåñòâóåò òàêîé ôèëüòð D íàä I, ÷òî äëÿ êàæäîãî ôèëüòðà D1 íàä
I, ñîäåðæàùåãî D, è êàæäîé áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû M
M I /D1 ≥ 2I .
116
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
59. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû M è ëþáîé äàííîé ìîùíîñòè m ñóùåñòâóåò óëüòðàñòåïåíü
ñèñòåìû M, ìîùíîñòü êîòîðîé áîëüøå m.
60*. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè D íå ñ÷åòíî ïîëíûé óëüòðàôèëüòð
íàä I è àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà M áåñêîíå÷íà, òî åñòåñòâåííîå âëîæåíèå ϕ: M → MI /D, ò.å. ϕ(a) = f /D ãäå f (i ) = a äëÿ âñåõ
i ∈ I, íå áóäåò âçàèìíî îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì ìåæäó M
è MI /D.
§ 9. ÀÊÑÈÎÌÀÒÈÇÈÐÓÅÌÛÅ ÊËÀÑÑÛ
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Kσ êëàññ âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì ñèãíàòóðû σ. Êëàññ K àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì ñèãíàòóðû σ íàçîâåì àêñèîìàòèçèðóåìûì, åñëè ñóùåñòâóåò ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ T (K)
ñèãíàòóðû σ òàêàÿ, ÷òî K åñòü ñåìåéñòâî âñåõ ìîäåëåé òåîðèè
T (K). Ñèñòåìà àêñèîì Σ äëÿ òåîðèè T (K) íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé
àêñèîì äëÿ K.
Êëàññ K íàçûâàåòñÿ êîíå÷íî àêñèîìàòèçèðóåìûì, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ñèñòåìà àêñèîì äëÿ K. Êëàññ K íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíî àêñèîìàòèçèðóåìûì, åñëè ñóùåñòâóåò ñèñòåìà àêñèîì
äëÿ K, ñîñòîÿùàÿ èç ∀-ôîðìóë. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû èç êëàññà K áóäåì íàçûâàòü K-ñèñòåìàìè. K-ïîäñèñòåìîé (K-ðàñøèðåíèåì) äàííîé ñèñòåìû M áóäåì íàçûâàòü ñèñòåìó èç êëàññà K,
ÿâëÿþùóþñÿ ïîäñèñòåìîé (ðàñøèðåíèåì) M. Êëàññ K íàçîâåì
àáñòðàêòíûì, åñëè âìåñòå ñ êàæäîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìîé K
ñîäåðæèò âñå åé èçîìîðôíûå àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû. Ñèñòåìû
M = ⟨M; σ⟩ è M′ = ⟨M ′; σ⟩ íàçîâåì ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíûìè,
åñëè äëÿ ëþáîãî ïðåäëîæåíèÿ A ñèãíàòóðû σ
M A ⇔ M′ A.
Îòîáðàæåíèå ϕ: M → M ′ íàçîâåì ýëåìåíòàðíûì, åñëè äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A (x1, ..., xn) è ëþáûõ m1, ..., mn ∈ M
M A (m1, ..., mn) ⇔ M′ A (ϕ (m1), ..., ϕ (mn)).
Ñèñòåìà M′ íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíî âëîæèìîé â M, åñëè ñóùåñòâóåò ýëåìåíòàðíîå îòîáðàæåíèå M′ â M.
M íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ïîäñèñòåìîé M′, à M′ ýëåìåíòàðíûì ðàñøèðåíèåì M (ñèìâîëè÷åñêè M ≺ M′), åñëè:
(à) M ïîäñèñòåìà M′;
(á) òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå M â M′ ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíûì.
§ 9. Àêñèîìàòèçèðóåìûå êëàññû
117
Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩ åñòü ïîäñèñòåìà ñèñòåìû M′. Ãîâîðèì, ÷òî
M åñòü ïîäñèñòåìà, ïîðîæäåííàÿ ìíîæåñòâîì A ⊆ M, åñëè M åñòü
íàèìåíüøàÿ ïîäñèñòåìà ñèñòåìû M′, ñîäåðæàùàÿ ìíîæåñòâî A.
Ïîäìîäåëüþ àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû M = ⟨M; σ⟩ íàçûâàåòñÿ
ëþáàÿ ïîäìîäåëü ìîäåëè M′ = ⟨M; σ′⟩, ãäå σ′ ïîëó÷àåòñÿ èç σ çà-
ìåíîé âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ f n íà ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû Pfn + 1 è
M′ Pfn + 1 (m1, ..., mn, mn + 1) ⇔ M f (m1, ..., mn) = mn + 1.
Äèàãðàììîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû M = ⟨M; σ⟩ íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâî D (M), ñîñòàâëåííîå èç âñåõ èñòèííûõ â M àòîìíûõ
ïðåäëîæåíèé, îòíîñÿùèõñÿ ê ñèñòåìå M, è èõ îòðèöàíèé:
D (M ) =
= {P n (m1, ..., mn) | P n ∈ σ, m1, ..., mn ∈ M, M P n (m1, ..., mn)} ∪
∪ {¬ P n (m1, ..., mn) | P n ∈ σ, m1, ..., mn ∈ M, M ¬ P n (m1, ..., mn)}.
Ïîëíîé äèàãðàììîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû M = ⟨M; σ⟩ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî FD (M) âñåõ èñòèííûõ â M ïðåäëîæåíèé ñèãíàòóðû σ, îòíîñÿùèõñÿ ê ñèñòåìå M.
1. Äîêàçàòü, ÷òî êëàññ Kσ àêñèîìàòèçèðóåì.
2. Äîêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå àêñèîìàòèçèðóåìûõ êëàññîâ ÿâëÿþòñÿ àêñèîìàòèçèðóåìûìè.
3. Ïóñòü K àêñèîìàòèçèðóåìûé êëàññ, M ∈ K è M′ èçîìîðôíà
M. Ïîêàçàòü, ÷òî M′ ∈ K.
4. Ïóñòü K àêñèîìàòèçèðóåìûé êëàññ, {i | i ∈ I, Mi ∈ K } ∈ D,
ãäå D óëüòðàôèëüòð íàä I. Äîêàçàòü, ÷òî ∏ M i /D ∈ K.
i ∈I
5. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè êëàññ K àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì àêñèîìàòèçèðóåì, òî êëàññ K ′ âñåõ áåñêîíå÷íûõ ñèñòåì èç K òàêæå àêñèîìàòèçèðóåì.
6. Ïóñòü K àêñèîìàòèçèðóåìûé êëàññ, ñîäåðæàùèé êîíå÷íûå ñèñòåìû ñî ñêîëü óãîäíî áîëüøèì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ. Ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó èç êëàññà K. Äîêàçàòü, ÷òî K ñîäåðæèò áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó ìîùíîñòè êîíòèíóóìà.
7. Äîêàçàòü, ÷òî íå ÿâëÿþòñÿ àêñèîìàòèçèðóåìûìè:
(à) êëàññ êîíå÷íûõ ãðóïï;
(á) êëàññ êîíå÷íûõ àáåëåâûõ ãðóïï;
(â) êëàññ öèêëè÷åñêèõ ãðóïï.
&
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
8. Äîêàçàòü, ÷òî êëàññ ïîëåé êîíå÷íîé õàðàêòåðèñòèêè íåàêñèîìàòèçèðóåì.
9. Ïóñòü M0 = ⟨M0; ≤ ⟩, M1 = ⟨M1; ≤ ⟩, ... ñåìåéñòâî âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ òàêîå, ÷òî M k + 1 ≥ k + 1. Äîêàçàòü, ÷òî óëüòðàïðîèçâåäåíèå ∏ Mi /D âïîëíå óïîðÿäî÷åííî îòíîñèòåëüíî ≤ òîãi ∈N
äà è òîëüêî òîãäà, êîãäà D ãëàâíûé óëüòðàôèëüòð. Âûâåñòè îòñþäà, ÷òî êëàññ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ íåàêñèîìàòèçèðóåì.
10*. Äîêàçàòü, ÷òî êëàññ K àêñèîìàòèçèðóåì òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà îí çàìêíóò îòíîñèòåëüíî óëüòðàïðîèçâåäåíèé è ýëåìåíòàðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè.
11*. Äîêàçàòü, ÷òî ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ T èìååò ìîäåëü òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíèìî êàæäîå êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî T0 ⊆ T (ëîêàëüíàÿ òåîðåìà Ìàëüöåâà).
12. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ íåïðîòèâîðå÷èâàÿ òåîðèÿ èìååò ìîäåëü (òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ìîäåëè).
13. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû êëàññ K áûë êîíå÷íî àêñèîìàòèçèðóåì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû K è åãî äîïîëíåíèå Kσ \ K áûëè àêñèîìàòèçèðóåìû.
14. Ïóñòü K êîíå÷íî àêñèîìàòèçèðóåìûé êëàññ è ∏ M i /D ∈ K,
i ∈I
ãäå D óëüòðàôèëüòð íàä I. Äîêàçàòü, ÷òî {i | Mi ∈ K} ∈ D.
15. Ïóñòü K àêñèîìàòèçèðóåìûé êëàññ, ñîäåðæàùèé êîíå÷íûå ñèñòåìû ñî ñêîëü óãîäíî áîëüøèì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ. Äîêàçàòü, ÷òî êëàññ áåñêîíå÷íûõ ñèñòåì èç K íå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íî
àêñèîìàòèçèðóåìûì.
16. Äîêàçàòü, ÷òî íå ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íî àêñèîìàòèçèðóåìûìè
êëàññû:
(à) áåñêîíå÷íûõ ãðóïï;
(á) áåñêîíå÷íûõ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ;
(â) áåñêîíå÷íûõ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ.
17. Äîêàçàòü, ÷òî êëàññ ïîëåé õàðàêòåðèñòèêè 0 íå ÿâëÿåòñÿ
êîíå÷íî àêñèîìàòèçèðóåìûì.
18. Ïóñòü òåîðèÿ T èìååò áåñêîíå÷íóþ ìîäåëü. Äîêàçàòü, ÷òî
äëÿ ëþáîãî áåñêîíå÷íîãî êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà m ñóùåñòâóåò ìîäåëü äëÿ T, ìîùíîñòü êîòîðîé áîëüøå, ÷åì m (òåîðåìà Ìàëüöåâà
î ðàñøèðåíèè).
19. Ïóñòü äëÿ ëþáîãî n ∈ N òåîðèÿ T èìååò ìîäåëü ìîùíîñòè, áîëüøåé n. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî áåñêîíå÷íîãî êàðäè-
§ 9. Àêñèîìàòèçèðóåìûå êëàññû
'
íàëüíîãî ÷èñëà m ñóùåñòâóåò ìîäåëü äëÿ T, ìîùíîñòü êîòîðîé
áîëüøå, ÷åì m.
20*. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè êàæäîå êîíå÷íîå îáåäíåíèå êîíå÷íîé
ïîäìîäåëè ìîäåëè M èçîìîðôíî âëîæèìî â íåêîòîðóþ ìîäåëü
èç êëàññà K, òî M èçîìîðôíî âëîæèìà â ïîäõîäÿùåå óëüòðàïðîèçâåäåíèå ìîäåëåé èç K.
21. Ïóñòü D ( M ) åñòü äèàãðàììà ñèñòåìû M = ⟨M; σ⟩ è
M′ = ⟨M ′; σ ∪ M ⟩ ìîäåëü äëÿ D (M). Äîêàçàòü, ÷òî M èçîìîðôíî âëîæèìà â ⟨M; σ⟩.
22. Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩ êîíå÷íàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîíå÷íîé ñèãíàòóðû. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ∃-ïðåäëîæåíèå A
ñèãíàòóðû σ òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîé ñèñòåìû M = ⟨M; σ⟩ A èñòèííî
â M òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà M′ èçîìîðôíî âëîæèìà â M.
23. Ïóñòü σ êîíå÷íàÿ ñèãíàòóðà, Mi = ⟨Mi; σ⟩ (i ∈ I ) ñèñòåìà êîíå÷íûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì ñèãíàòóðû σ è ñóùåñòâóåò
n òàêîå, ÷òî M i ≤ n. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî óëüòðàôèëüòðà D
íàä I ñóùåñòâóåò i0 ∈ I òàêîå, ÷òî ∏ Mi /D ; Mi0.
i∈I
24. Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà, A íåïóñòîå
ïîäìíîæåñòâî M è Mi = ⟨Mi; σ⟩ (i ∈ I ) ñåìåéñòâî âñåõ ïîäñèñ-
òåì â M òàêèõ, ÷òî Mi ⊇ A. Äîêàçàòü, ÷òî M = ⟨ I M i ; σ⟩ åñòü
ïîäñèñòåìà â M, ïîðîæäåííàÿ ìíîæåñòâîì A.
i ∈I
25. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè M1 = ⟨M1; σ⟩ åñòü ïîäñèñòåìà ñèñòåìû
M, ïîðîæäåííàÿ ìíîæåñòâîì A, òî M1 åñòü ìíîæåñòâî âñåõ çíà÷åíèé òåðìîâ ñèãíàòóðû σ, êîãäà ïåðåìåííûå ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå A.
26. Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩, A íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî M. Äîêàçàòü,
÷òî ïîäñèñòåìà M′, ïîðîæäåííàÿ ìíîæåñòâîì A, èìååò ìîù-
{
}
íîñòü íå áîëåå ÷åì max A, σ, ℵ0 .
27. Äîêàçàòü, ÷òî êàæäûé àêñèîìàòèçèðóåìûé êëàññ ñîñòîèò
èç îáåäíåíèé àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì íåêîòîðîãî óíèâåðñàëüíî
àêñèîìàòèçèðóåìîãî êëàññà.
28. Äîêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ ñèñòåìà èç àêñèîìàòèçèðóåìîãî êëàññà K êîíå÷íîé ñèãíàòóðû ñîäåðæèò êîíå÷íóþ èëè ñ÷åòíóþ
K-ïîäñèñòåìó.
29. Ïóñòü K àêñèîìàòèçèðóåìûé êëàññ, ñèãíàòóðà σ êîòîðîãî èìååò ìîùíîñòü p, è ïóñòü M = ⟨M; σ⟩ íåêîòîðàÿ K-ñèñòåìà.
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
Äîêàçàòü, ÷òî êàæäîå ïîäìíîæåñòâî A ⊆ M, èìåþùåå ìîùíîñòü
m, ñîäåðæèòñÿ âíóòðè ïîäõîäÿùåé K-ïîäñèñòåìû ñèñòåìû M
ìîùíîñòè íå âûøå p + m + ℵ0 (òåîðåìà ËåâåíãåéìàÑêóëåìà).
30. Äîêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ áåñêîíå÷íàÿ ñèñòåìà M = ⟨M; σ⟩ àêñèîìàòèçèðóåìîãî êëàññà K äîïóñêàåò K-ðàñøèðåíèå ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé ìîùíîñòè, áîëüøåé M + σ .
31*. Ïîñòðîèòü ïðèìåð àêñèîìàòèçèðóåìîãî êëàññà K òàêîãî,
÷òî êëàññ K ñîäåðæèò êîíå÷íûå ìîäåëè ñî ñêîëü óãîäíî áîëüøèì
÷èñëîì ýëåìåíòîâ, à âñå áåñêîíå÷íûå ìîäåëè èç K èìåþò ìîùíîñòü íå ìåíüøå ìîùíîñòè êîíòèíóóìà.
32*. Ïîñòðîèòü ïðèìåð àêñèîìàòèçèðóåìîãî êëàññà K òàêîãî,
÷òî â K ñóùåñòâóåò ñ÷åòíàÿ ìîäåëü, à âñå îòëè÷íûå îò íåå ìîäåëè
êëàññà K, ÿâëÿþùèåñÿ ðàñøèðåíèÿìè ýòîé ìîäåëè, èìåþò ìîùíîñòü, íå ìåíüøóþ ìîùíîñòè êîíòèíóóìà.
33*. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè àêñèîìàòèçèðóåìûé êëàññ K ñîäåðæèò ñèñòåìó ìîùíîñòè m ≥ ℵ0, òî äëÿ ëþáîãî n ≥ 2m ñóùåñòâóåò
K-ñèñòåìà ìîùíîñòè n.
34. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñïðàâåäëèâà îáîáùåííàÿ ãèïîòåçà êîíòèíóóìà: äëÿ ëþáûõ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë m, n èç m ≤ n ≤ 2m ñëåäóåò, ÷òî m = n èëè n = 2m. Äîêàçàòü, ÷òî òîãäà äëÿ ëþáîãî àêñèîìàòèçèðóåìîãî êëàññà K ñïðàâåäëèâî â òî÷íîñòè îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
(à) ìîùíîñòè êîíå÷íûõ ñèñòåì èç K îãðàíè÷åíû íåêîòîðûì
íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, è K ñîñòîèò ëèøü èç êîíå÷íûõ ñèñòåì;
(á) ìîùíîñòè êîíå÷íûõ ñèñòåì èç K îãðàíè÷åíû íåêîòîðûì
íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, è ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå êàðäèíàëüíîå
÷èñëî m òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî áåñêîíå÷íîãî êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà n êëàññ K ñîäåðæèò ìîäåëü ìîùíîñòè n òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà n ≥ m;
(â) ìîùíîñòè êîíå÷íûõ ñèñòåì èç K íå îãðàíè÷åíû, è ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå êàðäèíàëüíîå ÷èñëî m ≤ 2ℵ0 òàêîå, ÷òî K ñîäåðæèò ñèñòåìó áåñêîíå÷íîé ìîùíîñòè n òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà n ≥ m.
Ïðèâåñòè ïðèìåðû êëàññîâ äëÿ êàæäîãî èç ñëó÷àåâ (à), (á), (â).
35. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ϕ: M → M ′ ýëåìåíòàðíîå îòîáðàæåíèå, òî ϕ îäíî-îäíîçíà÷íî è äëÿ êàæäîé ôîðìóëû A (x1, ..., xn) è
ëþáûõ m1, ..., mn ∈ M èìååì
M A (m1, ..., mn) ⇔ M′ A (ϕ (m1), ..., ϕ (mn)).
§ 9. Àêñèîìàòèçèðóåìûå êëàññû
36. Ïóñòü N = ⟨N ; ≤⟩, M = ⟨M; ≤⟩, ãäå N ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, M ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë.
Ïîêàçàòü, ÷òî N è M ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû, íî N íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíûì ðàñøèðåíèåì M.
37. Ïóñòü M ìíîæåñòâî ÷åòíûõ ÷èñåä, M = ⟨M; ≤ ⟩, N = ⟨N ; ≤ ⟩,
ãäå ≤ îáû÷íûé ïîðÿäîê. ßâëÿåòñÿ ëè M ýëåìåíòàðíîé ïîäìîäåëüþ N ?
38. Ïóñòü R = ⟨ D ; +, ⋅ ⟩ ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë,
C = ⟨B; +, ⋅ ⟩ ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. ßâëÿåòñÿ ëè C ýëåìåíòàðíûì ðàñøèðåíèåì R?
39. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî óëüòðàôèëüòðà D íàä I êàíîíè÷åñêîå îòîáðàæåíèå ϕ: M → M I /D, îïðåäåëåííîå óñëîâèåì
ϕ (b) = f /D, ãäå f (i) = b äëÿ âñåõ i ∈ I, ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíûì âëîæåíèåì M â MI /D. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè M êîíå÷íàÿ ñèñòåìà,
òî ϕ åñòü èçîìîðôèçì M íà MI /D.
40. Ïóñòü Mn = ⟨Mn; ≤⟩ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà
(n ∈ N ); Mn ñîäåðæèò 2n + 1 ýëåìåíò.
(à) Ïîñòðîèòü èçîìîðôèçì ìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë ⟨Z; ≤ ⟩ â
∏ Mi /D, åñëè D íåãëàâíûé óëüòðàôèëüòð íà N .
i ∈N
(á) Áóäåò ëè ýòîò èçîìîðôèçì ýëåìåíòàðíûì îòîáðàæåíèåì?
41. Ïóñòü FD (M) åñòü ïîëíàÿ äèàãðàììà ñèñòåìû M = ⟨M; σ⟩
è M′ = ⟨M ′; σ ∪ M ⟩ ìîäåëü äëÿ FD (M). Äîêàçàòü, ÷òî M ýëåìåíòàðíî âëîæèìà â ⟨M′; σ⟩.
42. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû M = ⟨M; σ⟩
è ëþáîãî êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà m ñóùåñòâóåò ýëåìåíòàðíîå ðàñøèðåíèå ñèñòåìû M ìîùíîñòè, áîëüøåé m.
43. Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩ åñòü ïîäñèñòåìà ñèñòåìû M′ = ⟨M ′; σ⟩. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû M áûëà ýëåìåíòàðíîé ïîäñèñòåìîé M′,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A (x1, ..., xn, y)
ñèãíàòóðû σ è ëþáûõ m1, ..., mn ∈ M èç M′ ∃ y A (m1, ..., mn, y)
ñëåäîâàëî ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî m ∈ M, ÷òî M A (m1, ..., mn, m).
44. Äîêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ áåñêîíå÷íàÿ ñèñòåìà êîíå÷íîé èëè
ñ÷åòíîé ñèãíàòóðû σ ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíûì ðàñøèðåíèåì ñ÷åòíîé ñèñòåìû ñèãíàòóðû σ.
45. Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩ áåñêîíå÷íàÿ ñèñòåìà, X ⊆ M è m
{
}
òàêàÿ ìîùíîñòü, ÷òî max σ, X , ℵ0 ≤ m ≤ M . Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ýëåìåíòàðíàÿ ïîäñèñòåìà M′ = ⟨M ′; σ⟩ ìîùíîñòè m òàêàÿ,
÷òî X ⊆ M ′.
×ÀÑÒÜ II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
{ }
46. Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩ áåñêîíå÷íàÿ ñèñòåìà è m ≥ max M , σ . Äîêàçàòü, ÷òî M îáëàäàåò ýëåìåíòàðíûì ðàñøèðåíèåì ìîùíîñòè m.
47*. Ïóñòü M1, ..., Mn , ... ìíîæåñòâî ñèñòåì òàêèõ, ÷òî Mi + 1
åñòü ýëåìåíòàðíîå ðàñøèðåíèå Mi äëÿ ëþáîãî i. Äîêàçàòü, ÷òî
U M i åñòü ýëåìåíòàðíîå ðàñøèðåíèå êàæäîãî Mi .
i
48*. Äîêàçàòü, ÷òî êëàññ K àêñèìàòèçèðóåì òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà K ÿâëÿåòñÿ àáñòðàêòíûì, çàìêíóòûì îòíîñèòåëüíî
óëüòðàïðîèçâåäåíèé è çàìêíóòûì îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ýëåìåíòàðíûõ ïîäñèñòåì.
49*. Äîêàçàòü, ÷òî êëàññ K ñèñòåì ñèãíàòóðû σ óíèâåðñàëüíî
àêñèîìàòèçèðóåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîé ñèñòåìû
M ñèãíàòóðû σ èç òîãî, ÷òî êàæäîå êîíå÷íîå îáåäíåíèå êàæäîé
êîíå÷íîé ïîäìîäåëè ñèñòåìû M èçîìîðôíî âëîæèìî â íåêîòîðóþ K-ñèñòåìó, ñëåäóåò, ÷òî M ïðèíàäëåæèò K.
50. Ïîêàçàòü, ÷òî êëàññ K òîãäà è òîëüêî òîãäà óíèâåðñàëüíî
àêñèìàòèçèðóåì, êîãäà K ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì îòíîñèòåëüíî
óëüòðàïðîèçâåäåíèé, àáñòðàêòíûì è íàñëåäñòâåííûì (çàìêíóòûì
îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ïîäñèñòåì).
51. Ïóñòü êëàññ K àêñèîìàòèçèðóåì, à SK êëàññ ñèñòåì,
èçîìîðôíûõ ïîäñèñòåìàì K-ñèñòåì. Äîêàçàòü, ÷òî êëàññ SK óíèâåðñàëüíî àêñèîìàòèçèðóåì.
52*. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû M è M1 áûëè ýëåìåíòàðíî
ýêâèâàëåíòíû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë
òàêîé óëüòðàôèëüòð D íàä ïîäõîäÿùèì ìíîæåñòâîì I, äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò ýëåìåíòàðíîå îòîáðàæåíèå M â M1I /D.
53. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè M è M1 ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû è
M êîíå÷íà, òî M1 êîíå÷íà è èçîìîðôíà M.
54. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû íåïðîòèâîðå÷èâàÿ òåîðèÿ T
áûëà ïîëíîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå åå ìîäåëè
áûëè ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû.
55. Ïîêàçàòü, ÷òî êëàññ ìîäåëåé êàòåãîðè÷íîé òåîðèè ñîñòîèò
(ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà) èç îäíîé êîíå÷íîé ñèñòåìû. (Òåîðèÿ íàçûâàåòñÿ êàòåãîðè÷íîé, åñëè âñå åå ìîäåëè èçîìîðôíû.)
56. Ïóñòü T ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ, íå èìåþùàÿ êîíå÷íûõ
ìîäåëåé, êîòîðàÿ m-êàòåãîðè÷íà â íåêîòîðîé áåñêîíå÷íîé ìîùíîñòè m. Äîêàçàòü, ÷òî T ïîëíàÿ òåîðèÿ. (Òåîðèÿ íàçûâàåòñÿ
m-êàòåãîðè÷íîé, åñëè âñå åå ìîäåëè ìîùíîñòè m èçîìîðôíû.)
§ 9. Àêñèîìàòèçèðóåìûå êëàññû
!
57. Äîêàçàòü, ÷òî òåîðèÿ ïëîòíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ
(ñì. çàäà÷ó 13 èç § 5 ÷àñòè I) áåç íàèìåíüøåãî è íàèáîëüøåãî
ýëåìåíòà ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé.
58. Ïóñòü Γ ïîëíîå ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé ñèãíàòóðû σ,
Γ0 ⊇ Γ, Γ1 ⊇ Γ äâà íåïðîòèâîðå÷èâûõ ìíîæåñòâà ïðåäëîæåíèé
òàêèõ, ÷òî âñå ïðåäìåòíûå êîíñòàíòû èç Γ0 è âñå ôóíêöèîíàëüíûå è ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû èç Γ1 âõîäÿò â σ. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî Γ0 ∪ Γ1 íåïðîòèâîðå÷èâî.
59. Ïóñòü Γ ïîëíîå ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé ñèãíàòóðû
σ, A ïðåäëîæåíèå, âñå ïðåäìåòíûå êîíñòàíòû êîòîðîãî âõîäÿò â σ, Γ ∪ {A } íåïðîòèâîðå÷èâî. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè Γ âûïîëíèìî â ñèñòåìå M = ⟨M; σ⟩, òî ìíîæåñòâî {A} ∪ FD ( M ) íåïðîòèâîðå÷èâî.
60. Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩ åñòü îáåäíåíèå ñèñòåìû M1 = ⟨M1; σ⟩,
M2 = ⟨M2; σ⟩ ýëåìåíòàðíîå ðàñøèðåíèå M. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ýëåìåíòàðíîå ðàñøèðåíèå M3 = ⟨M3; σ1⟩ ñèñòåìû M1 òàêîå, ÷òî ⟨M3; σ⟩ åñòü ýëåìåíòàðíîå ðàñøèðåíèå M2.
61*. Ïóñòü Γ ïîëíîå ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé ñèãíàòóðû σ,
A ïðåäëîæåíèå ñèãíàòóðû σ1 ⊇ σ, B ïðåäëîæåíèå ñèãíàòóðû
σ2 ⊇ σ è σ1 ∩ σ2 = σ, ïðè÷åì âñå ïðåäìåòíûå êîíñòàíòû A è âñå
ïðåäìåòíûå êîíñòàíòû B âõîäÿò â σ. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè Γ ∪ {A } è
Γ ∪ {B } íåïðîòèâîðå÷èâû, òî Γ ∪ {A, B } íåïðîòèâîðå÷èâî.
62. Ïóñòü Γ ïîëíîå ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé ñèãíàòóðû σ,
A ïðåäëîæåíèå ñèãíàòóðû σ1 ⊇ σ, B ïðåäëîæåíèå ñèãíàòóðû
σ2 ⊇ σ è σ1 ∩ σ2 = σ. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè Γ ∪ {A } è Γ ∪ {B } íåïðîòèâîðå÷èâû, òî Γ ∪ {A, B } íåïðîòèâîðå÷èâî.
63*. Ïóñòü A ïðåäëîæåíèå ñèãíàòóðû σ1, B ïðåäëîæåíèå
ñèãíàòóðû σ2 è (A ⊃ B ) â ÈÏ, à ¬ A è B íåâûâîäèìû â ÈÏ.
Äîêàçàòü, ÷òî σ = σ1 ∩ σ2 íåïóñòî è ñóùåñòâóåò ïðåäëîæåíèå C
ñèãíàòóðû σ òàêîå, ÷òî (A ⊃ C ) è (C ⊃ B ) â ÈÏ (èíòåðïîëÿöèîííàÿ òåîðåìà äëÿ ÈÏ).
×àñòü III
l
ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
§ 1. ×ÀÑÒÈ×ÍÎ ÐÅÊÓÐÑÈÂÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ
Áóäåì èçó÷àòü ÷àñòè÷íûå ÷èñëîâûå ôóíêöèè f n (x 1 , ..., x n )
(n = 1, 2, ...), ò.å. ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå íà íåêîòîðîì ïîäìíîæåñòâå M ⊆ N n ñ íàòóðàëüíûìè çíà÷åíèÿìè. Äëÿ ëþáûõ
a 1, ..., a n ∈ N è ëþáûõ ôóíêöèé f k è g s ïèøåì f (a i1, ..., a i k) =
= g (aj1, ..., ajs), åñëè çíà÷åíèå f (ai1, ..., aik) è g (aj1, ..., ajs) íå îïðåäåëåíû èëè ýòè çíà÷åíèÿ îïðåäåëåíû è ñîâïàäàþò.
n-ìåñòíàÿ ôóíêöèÿ f n (x1, ..., xn) íàçûâàåòñÿ âñþäó îïðåäåëåííîé, åñëè δf n = N n.
Ñëåäóþùèå âñþäó îïðåäåëåííûå ôóíêöèè íàçîâåì ïðîñòåéøèìè:
s1 (x) = x + 1,
o1 (x) = 0,
Imn (x1, ..., xn) = xm (ïðè 1 ≤ m ≤ n).
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ
h n (x1, ..., xn) = g m (f1n (x1, ..., xn), ..., fmn (x1, ..., xn))
ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ñóïåðïîçèöèè èç ôóíêöèé g m,
f1n, ..., fmn. Ñêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ
h n (x1, ..., xn) = g m (t1, ..., tm)
ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ïîäñòàíîâêè èç ôóíêöèé g,
f1, ..., fm, åñëè ti = fj (xj1, ..., xjs), ãäå xjl åñòü îäíà èç ïåðåìåííûõ x1, ..., xn
èëè ti åñòü îäíà èç ïåðåìåííûõ x1, ..., xn .
Ñêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ f n + 1 (x1, ..., xn, y) ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèé g n (x1, ..., xn) è h n + 2 (x1, ..., xn, y, z) ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè, åñëè îíà ìîæåò áûòü çàäàíà ñõåìîé ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè:
§ 1. ×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè
125
⎧⎪ f n +1( x1, ..., x n , 0) = g n ( x1, ..., x n ),
⎨ n +1
n+2
n +1
( x1, ..., x n , y )).
⎪⎩ f ( x1, ..., x n , y + 1) = h ( x1, ..., xn , y, f
Äëÿ n = 0 ñõåìà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè èìååò ñëåäóþùèé âèä:
⎧ f (0) = a,
⎨
⎩ f ( y + 1) = g ( y, f ( y )),
ãäå a ïîñòîÿííàÿ îäíîìåñòíàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ ÷èñëó a.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f n (x1, ..., xn) ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèè g n + 1 (x 1 , ..., x n , y) ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ìèíèìèçàöèè
(μ-îïåðàòîðà), è îáîçíà÷àòü
f n (x1, ..., xn) = μ y [g n + 1 (x1, ..., xn, y) = 0],
åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå: f n (x1, ..., xn) îïðåäåëåíî è ðàâíî y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà g (x1, ..., xn, 0), ..., g (x1, ..., xn, y − 1) îïðåäåëåíû è íå ðàâíû 0, à g (x1, ..., xn, y) = 0.
Ôóíêöèÿ f n (x 1, ..., x n) íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé
(ïðô), åñëè îíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ïðîñòåéøèõ ôóíêöèé
ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðèìåíåíèé îïåðàòîðîâ ñóïåðïîçèöèè è ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè.
Ôóíêöèÿ f n (x1, ..., xn) íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé (÷ðô)
èëè ÷àñòè÷íî âû÷èñëèìîé, åñëè îíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ïðîñòåéøèõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðèìåíåíèé îïåðàòîðîâ ñóïåðïîçèöèè, ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè è ìèíèìèçàöèè.
Ôóíêöèÿ f n (x1, ..., xn) íàçûâàåòñÿ îáùåðåêóðñèâíîé (îðô) èëè
âû÷èñëèìîé, åñëè îíà ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà è âñþäó îïðåäåëåíà.
Ãîâîðèì, ÷òî ôóíêöèÿ f n (x1, ..., xn) ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèé
n+1
g
(x 1 , ..., x n , y) è h n (x 1 , ..., x n ) ñ ïîìîùüþ îãðàíè÷åííîãî
μ-îïåðàòîðà, åñëè μ y [g n + 1 (x1, ..., xn, y) = 0] îïðåäåëåíî äëÿ âñåõ
x1, ..., xn è íå áîëüøå, ÷åì h (x1, ..., xn), è
f n (x1, ..., xn) = μ y [g n + 1 (x1, ..., xn, y) = 0].
Ãîâîðèì, ÷òî ôóíêöèÿ f n + 1 ïîëó÷àåòñÿ èç g n, h n + s + 1, t11, ..., ts1
âîçâðàòíîé ðåêóðñèåé, åñëè îíà ìîæåò áûòü çàäàíà ñõåìîé:
⎧ f n +1( x1, ..., x n , 0) = g n ( x1, ..., x n ),
⎪⎪ n +1
( x1, ..., x n , y + 1) = h n + s +1( x1, ..., xn , y, f ( x1, ..., x n , t1( y + 1)), ...
⎨f
⎪
..., f ( x1, ..., xn , t s ( y + 1))),
⎪⎩
ãäå t1 (y + 1) ≤ y, ..., ts (y + 1) ≤ y.
126
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
Èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèå
f n (x1, ..., xn) = μ y [g (x1, ..., xn, y) = h (x1, ..., xn, y)],
åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå: f n (x1, ..., xn) îïðåäåëåíî è ðàâíî y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà g (x1, ..., xn, i) è h (x1, ..., xn, i) îïðåäåëåíû äëÿ i = 0, 1, ..., y, íî g (x1, ..., xn, i) ≠ h (x1, ..., xn, i) ïðè i < y è
g (x1, ..., xn, y) = h (x1, ..., xn, y).
Ïîäîáíûì îáðàçîì èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ:
μ y [g (x1, ..., xn, y) ≠ h (x1, ..., xn, y)],
μ y [g (x1, ..., xn, y) ≤ h (x1, ..., xn, y)],
μ y [g (x1, ..., xn, y) < h (x1, ..., xn, y)], è ò.ä.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèè g (x)
ñ ïîìîùüþ èòåðàöèè, è îáîçíà÷àòü f (x) = i g (x), åñëè
⎧ f (0) = 0,
⎨
⎩ f ( x + 1) = g ( f ( x )).
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèè g (x)
ñ ïîìîùüþ îáðàùåíèÿ, è îáîçíà÷àòü f (x) = g−1 (x), åñëè
f (x) = μ y [g (y) = x].
Ïóñòü G íåêîòîðîå ñåìåéñòâî n-ìåñòíûõ ÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé. Ôóíêöèþ F n + 1 íàçîâåì óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèåé äëÿ G, åñëè
G = {F (0, x1, ..., xn), F (1, x1, ..., xn), ...}.
1. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ âñþäó îïðåäåëåíà.
2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f n (x1, ..., xn) ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà, òî ñëåäóþùèå ôóíêöèè ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû:
(à) f1 (x1, x2, ..., xn) = f (x2, x1, ..., xn) (ïåðåñòàíîâêà àðãóìåíòîâ);
(á) f2 (x1, x2, ..., xn) = f (x2, ..., xn, x1) (öèêëè÷åñêàÿ ïåðåñòàíîâêà àðãóìåíòîâ);
(â) f3 (x1, ..., xn, xn + 1) = f (x1, ..., xn) (ââåäåíèå ôèêòèâíîãî àðãóìåíòà);
(ã) f4(x1, ..., xn − 1) = f (x1, x1, ..., xn − 1) (îòîæäåñòâëåíèå àðãóìåíòîâ).
3. Êàêèå ôóíêöèè ïîëó÷àþòñÿ èç ïðîñòåéøèõ ñ ïîìîùüþ ëèøü
ñóïåðïîçèöèé?
§ 1. ×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè
1
127
è Imn ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîçèöèé è ñõåì
4. Äîêàçàòü, ÷òî èç o
ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè íåëüçÿ ïîëó÷èòü ôóíêöèè x + 1 è 2x.
5. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôóíêöèè ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû:
(à) f (x) = x + n;
(á) f (x) = n;
(â) f (x, y) = x + y;
(ã) f (x, y) = x ⋅ y;
(ä) f (x, y) = x y(çäåñü 00 = 1);
(å) f (x, y) = x ! (çäåñü 0 ! = 1).
6. Êàêàÿ ôóíêöèÿ ïîëó÷àåòñÿ èç g è h ñ ïîìîùüþ ñõåìû ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè:
(à) g (x) = x, h (x, y, z) = zx;
z
(á) g (x) = x, h (x, y, z) = x ?
7. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôóíêöèè ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû:
⎧0,
(à) sg (x) = ⎨
⎩1,
åñëè x = 0,
åñëè x > 0;
⎧0,
(á) sg ( x ) = ⎨
⎩1,
åñëè x > 0,
åñëè x = 0;
⎧0,
(â) x − æ 1 = ⎨
⎩ x − 1,
åñëè x = 0,
åñëè x > 0;
⎧0,
(ã) x − æ y = ⎨
⎩ x − y,
(ä) | x − y |;
(å) max (x, y);
(æ) min (x, y).
åñëè x ≤ y,
åñëè x > y;
8. Äîêàçàòü ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
(à) x − æ y = s (x) −æ s (y);
(á) x + (y − æ x) = y + (x − æ y);
(â) x − æ (y + z) = (x − æ y) −æ z;
(ã) (x − æ y) −æ z = (x − æ z) −æ y.
9. Ïóñòü g n + 1, αm, βm ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôóíêöèè ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû:
x n +1
(à) f n + 1 (x1, ..., xn, xn + 1) = ∑ g ( x1, ..., x n , i ) ;
i =0
&
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
⎧ z
⎪ ∑ g ( x1, ..., xn , i ),
(á) f n + 2 (x1, ..., xn, y, z) = ⎨i = y
⎪
⎩ 0,
åñëè y ≤ z,
åñëè y > z;
(â) f n + m (x1, ..., xn, y1, ..., ym) =
⎧ β( y1, ..., ym )
⎪
∑ g ( x1, ..., xn, i),
= ⎨i =α( y1, ..., ym )
⎪
⎩ 0,
åñëè α( y1, ..., ym) ≤ β( y1, ..., ym),
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ;
x n +1
(ã) f n + 1 (x1, ..., xn, xn + 1) = ∏ g ( x1, ..., x n , i ) ;
i =0
⎧ z
⎪∏ g ( x1, ..., xn , i ),
(ä) f n + 2 (x1, ..., xn, y, z) = ⎨ i = y
⎪
⎩ 0,
åñëè y ≤ z,
åñëè y > z;
(å) f n + m (x1, ..., xn, y1, ..., ym) =
⎧ β( y1, ..., ym )
g ( x1, ..., xn , i),
⎪
= ⎨i =α( y∏
1 , ..., ym )
⎪
⎩ 0,
åñëè α( y1, ..., ym) ≤ β( y1, ..., ym),
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
10. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f ïîëó÷àåòñÿ èç ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé g è h ñ ïîìîùüþ îãðàíè÷åííîãî μ-îïåðàòîðà, òî f
ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà.
11. Ïóñòü ôóíêöèè f0n, f1n, ..., fsn îáëàäàþò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ çíà÷åíèé x1, ..., xn îäíà è òîëüêî
îäíà èç ýòèõ ôóíêöèé ðàâíà 0. Ñêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ gn êóñî÷íî
çàäàíà, åñëè
⎧h0n ( x1, ..., xn ), åñëè f 0n ( x1, ..., xn ) = 0,
⎪
g n ( x1, ..., xn ) = ⎨............................................................
⎪ n
n
⎩hs ( x1, ..., xn ), åñëè f s ( x1, ..., x n ) = 0.
Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèè h0n, ..., hsn, f0n, ... fsn ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû, òî g n ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà.
§ 1. ×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè
'
12. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôóíêöèè ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû:
⎛
⎞
⎡x⎤
⎡x⎤
(à) ⎢ ⎥ ÷àñòíîå îò äåëåíèÿ x íà y ⎜ çäåñü ⎢ ⎥ = x ⎟ ;
⎣0⎦
⎣y⎦
⎝
⎠
(á) rest (x, y) îñòàòîê îò äåëåíèÿ x íà y (çäåñü rest (x, 0) = x);
(â) τ (x) ÷èñëî äåëèòåëåé ÷èñëà x, ãäå τ (0) = 0;
(ã) σ (x) ñóììà äåëèòåëåé ÷èñëà x, ãäå σ (0) = 0;
(ä) lh (x) ÷èñëî ïðîñòûõ äåëèòåëåé ÷èñëà x, ãäå lh (0) = 0;
(å) π (x) ÷èñëî ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ x;
(æ) k (x, y) íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë x è y, ãäå
k (x, 0) = k (0, y) = 0;
(ç) d (x, y) íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë x è y, ãäå
d (0, 0) = 0;
(è) p (x) x-å ïðîñòîå ÷èñëî (p (0) = 2, p (1) = 3, p (2) = 5, ...);
(ê) long (x) íîìåð íàèáîëüøåãî ïðîñòîãî äåëèòåëÿ ÷èñëà x;
(ë) ex (x, y) ïîêàçàòåëü ñòåïåíè x-ãî ïðîñòîãî ÷èñëà p (x) â
êàíîíè÷åñêîì ðàçëîæåíèè íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ÷èñëà y, ãäå
ex (x, 0) = 0;
(ì) ⎡ x ⎤ ;
⎣
⎦
y
(í) ⎡ x ⎤ , ãäå ⎡ 0 x ⎤ = x ;
⎣
⎦
⎣
⎦
(î) ⎡ x
⎣
2⎤ ;
⎦
(ï) [e ⋅ x]
(ð) [e x ];
(ñ) Cxy (çäåñü Cxy = 1 ïðè y ≤ x).
13. (à) Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ
c( x , y ) =
( x + y )2 + 3 x + y
2
(êàíòîðîâñêàÿ íóìåðóþùàÿ ôóíêöèÿ) îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó N 2 è N (íóìåðóåò ïàðû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë).
(á) Ïóñòü l (x) è r (x) òàêîâû, ÷òî
c (l (x), r (x)) = x.
Äîêàçàòü, ÷òî l (x) è r (x) ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû è l (c (x, y)) = x,
r (c (x, y)) = y.
14. Äëÿ êàæäîãî n ≥ 1 îïðåäåëèì ôóíêöèè
c 1 (x1) = x1,
!
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
c
n+1
(x1, x2, x3, ..., xn + 1) = c n (c (x1, x2), x3, ..., xn + 1)
(ñì. çàäà÷ó 13).
Ïóñòü cni (1 ≤ i ≤ n) òàêîâû, ÷òî c n (cn1 (x), ..., cnn (x)) = x.
(à) Äîêàçàòü òîæäåñòâà
cni (c n (x1, ..., xn)) = xi äëÿ 1 ≤ i ≤ n.
(á) Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèè c n è cni ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû.
(â) Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèè c n (x1, ..., xn) îñóùåñòâëÿþò âçàèìíî îäíîçíà÷íûå ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó N n è N (íóìåðóþò êîðòåæè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë äëèíû n).
15. Êàê èç îäíîìåñòíûõ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé è ôóíêöèé c n(x1, ..., xn) ïîëó÷èòü âñå ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè?
16*. Íàçîâåì îäíîìåñòíóþ ôóíêöèþ f (x) ôóíêöèåé áîëüøîãî
ðàçìàõà, åñëè îíà êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ïðèíèìàåò â êà÷åñòâå ñâîåãî çíà÷åíèÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç.
(à) Ïóñòü ïàðà ôóíêöèé ⟨f1 (x), f2 (x)⟩ îòîáðàæàåò N íà N 2. Äîêàçàòü, ÷òî f1 (x) è f2 (x) ôóíêöèè áîëüøîãî ðàçìàõà.
(á) Ïóñòü f1 (x) ïðîèçâîëüíàÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ
ôóíêöèÿ áîëüøîãî ðàçìàõà. Ïîñòðîèòü ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíóþ
ôóíêöèþ f2 (x) òàê, ÷òîáû ôóíêöèè f1 (x) è f2 (x) îñóùåñòâëÿëè
âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó N è N 2.
17*. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ øäåëÿ
β (x, y, z) = rest (x, 1 + y (z + 1)).
Äîêàçàòü, ÷òî, êàêîâà áû íè áûëà êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a1, ..., an, ñèñòåìà óðàâíåíèé
⎧β( x , y, 0) = α0 ,
⎪
⎨.......................
⎪β( x , y, n) = α ,
n
⎩
èìååò ïî ìåíüøåé ìåðå îäíî ðåøåíèå x, y.
18*. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèè g, h, t1, ..., ts ïðèìèòèâíî
ðåêóðñèâíû è f ïîëó÷àåòñÿ èç íèõ âîçâðàòíîé ðåêóðñèåé, òî ôóíêöèÿ f ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà.
19. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ, ïåðå÷èñëÿþùàÿ ïî ïîðÿäêó ÷èñëà
Ôèáîíà÷÷è:
⎧ f (0) = 0, f (1) = 1,
⎨
⎩ f (n + 2) = f (n) + f (n + 1),
ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà.
§ 1. ×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè
!
20. Ïóñòü ôóíêöèè f è g îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
⎧ f (0) = a, g (0) = b,
⎪
⎨ f ( x + 1) = h1( x, f ( x ), g ( x )),
⎪ g ( x + 1) = h ( x, f ( x ), g ( x )).
2
⎩
Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèè h1 è h2 ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû,
òî ôóíêöèè f è g ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû.
21. Ïóñòü f1n + 1, ..., fkn + 1 îïðåäåëåíû ñ ïîìîùüþ ñîâìåñòíîé
ðåêóðñèè:
⎧ fi n +1( x1, ..., x n , 0) = g in ( x1, ..., x n ),
⎪⎪ n +1
⎨ fi ( x1, ..., x n , y + 1) =
⎪
= hin + k +1( x1, ..., xn , y, f1( x1, ..., xn , y ), ..., f k ( x1, ..., xn , y ))
⎪⎩
äëÿ âñåõ 1 ≤ i ≤ k.
Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèè g1, ..., gk , h1, ..., hk ïðèìèòèâíî
ðåêóðñèâíû, òî ôóíêöèè f1, ..., fk ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû.
22. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ
îáùåðåêóðñèâíà.
23. (à) Äîêàçàòü, ÷òî ñóïåðïîçèöèÿ îáùåðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé åñòü îáùåðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ.
(á) Äîêàçàòü, ÷òî, ïðèìåíÿÿ îïåðàòîð ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè ê îáùåðåêóðñèâíûì ôóíêöèÿì, ìû ïîëó÷èì îáùåðåêóðñèâíóþ ôóíêöèþ.
(â) Ïðèâåñòè ïðèìåð îáùåðåêóðñèâíîé ôóíêöèè, èç êîòîðîé
ñ ïîìîùüþ μ-îïåðàòîðà ïîëó÷àåòñÿ ôóíêöèÿ, íå ÿâëÿþùàÿñÿ
îáùåðåêóðñèâíîé.
24. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f (x1, ..., xn) ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà, òî ñëåäóþùèå ôóíêöèè ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíû:
(à) f1 (x1, x2, ..., xn) = f (x2, x1, ..., xn) (ïåðåñòàíîâêà àðãóìåíòîâ);
(á) f2 (x1, x2, ..., xn) = f (x2, ..., xn, x1) (öèêëè÷åñêàÿ ïåðåñòàíîâêà àðãóìåíòîâ);
(â) f3 (x1, ..., xn, xn + 1) = f (x1, ..., xn) (ââåäåíèå ôèêòèâíîãî àðãóìåíòà);
(ã) f4 (x1, ..., xn − 1) = f (x1, x1, ..., xn − 1) (îòîæäåñòâëåíèå àðãóìåíòîâ).
25. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ñóùåñòâóåò â òî÷íîñòè ℵ0 ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé;
!
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
(á) ñóùåñòâóåò ÷àñòè÷íàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, íå ÿâëÿþùàÿñÿ
÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé;
(â) ñóùåñòâóåò âñþäó îïðåäåëåííàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, íå
ÿâëÿþùàÿñÿ îáùåðåêóðñèâíîé.
26. Äîêàçàòü, ÷òî ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíû ñëåäóþùèå ôóíêöèè:
(à) íèãäå íå îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ ω, ò.å. ôóíêöèÿ ω ñ ïóñòîé
îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ;
⎧ x − y, åñëè x ≥ y,
(á) f (x, y) = ⎨
⎩íå îïðåäåëåíà â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ;
⎧x
⎪ , åñëè y äåëèò x,
(â) f (x, y) = ⎨ y
⎪íå îïðåäåëåíà â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ;
⎩
⎧⎪z, åñëè zy = x,
(ã) f (x, y) = ⎨
⎪⎩ íå îïðåäåëåíà â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ;
(ä) ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê.
27. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèè g n + 1, h n + 1 è t n + 1 ÷àñòè÷íî
ðåêóðñèâíû, òî ñëåäóþùèå ôóíêöèè ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíû:
(à) μ y [g (x1, ..., xn, y) = h (x1, ..., xn, y)];
(á) μ y [g (x1, ..., xn, y) ≠ h (x1, ..., xn, y)];
(â) μ y [g (x1, ..., xn, y) ≤ h (x1, ..., xn, y)];
(ã) μ y [g (x1, ..., xn, y) < h (x1, ..., xn, y)];
(ä) μ y [g (x1, ..., xn, y) = 0 è h (x1, ..., xn, y) = 0];
(å) μ y [g (x1, ..., xn, y) = 0 èëè h (x1, ..., xn, y) ≤ t (x1, ..., xn, y)].
28. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f n + 1, âîçíèêàþùàÿ èç ÷àñòè÷íûõ
ôóíêöèé g n è h n + 2 ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè, ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîé ðåêóðñèè
âèäà:
⎧F ( x, 0) = x,
⎨
⎩F ( x, y + 1) = G (F ( x, y ))
è ñóïåðïîçèöèé èç ôóíêöèé g n, h n + 2, o, s, Imn è c, l, r èç çàäà÷è 13.
(á) Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x), ïîëó÷àþùàÿñÿ èç a è h (x, y)
ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè, ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ èòåðàöèè è ñóïåðïîçèöèé èç ôóíêöèé a, h, o,
s, Imn è c, l, r èç çàäà÷è 13.
§ 1. ×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè
!!
n
29. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f , ïîëó÷àþùàÿñÿ èç ÷àñòè÷íîé
ôóíêöèè g n + 1 ñ ïîìîùüþ μ-îïåðàòîðà, ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç
ôóíêöèé g, Imn è c, l, r èç çàäà÷è 13 ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîçèöèé è
μ-îïåðàòîðà ñïåöèàëüíîãî âèäà.
F (x) = μy [G (x, y) = 0].
30*. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f n + 1, ïîëó÷àþùàÿñÿ ñ ïîìîùüþ
îïåðàòîðà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè èç âñþäó îïðåäåëåííûõ ôóíêöèé g n è h n + 2, ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ýòèõ ôóíêöèé è ôóíêöèé
+, − æ, s, o, Imn è c, l, r, β èç çàäà÷ 13, 17 ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîçèöèé
è μ-îïåðàòîðà ñïåöèàëüíîãî âèäà èç çàäà÷è 29.
31. (à) Ïóñòü 2 = a0, a1a2, ... ðàçëîæåíèå ÷èñëà 2 â áåñêîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ äðîáü. Äîêàçàòü îáùåðåêóðñèâíîñòü ôóíêöèè an.
(á) Ïóñòü e = a0, a1a2, ... ðàçëîæåíèå ÷èñëà e â áåñêîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ äðîáü. Äîêàçàòü îáùåðåêóðñèâíîñòü ôóíêöèè an.
(â) Ïóñòü π = a0, a1a2, ... ðàçëîæåíèå ÷èñëà π â áåñêîíå÷íóþ
äåñÿòè÷íóþ äðîáü. Äîêàçàòü îáùåðåêóðñèâíîñòü ôóíêöèè an.
32*. Ïóñòü α = a0, a1a2, ... ðàçëîæåíèå äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà α
â áåñêîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ äðîáü. ×èñëî α íàçîâåì îáùåðåêóðñèâíûì (êîíñòðóêòèâíûì), åñëè an îáùåðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ îò
n. Äîêàçàòü, ÷òî àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëà îáùåðåêóðñèâíû.
33. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) i (ax + b ) = b ⋅
ax − 1
ïðè a > 1;
a −1
⎛
⎡ x ⎤⎞
(á) i ⎜1 + ⎢ ⎥ ⎟ = sg x ;
⎣ 2 ⎦⎠
⎝
⎛
⎡ x + 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎞
(â) i ⎜ x + 1 + ⎢
⎥ − ⎢ ⎥ ⎟ = 2x − æ 1;
⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦⎠
⎝
(ã) i ( sg x + 2x) = 2x − 1 − æ sg x ;
(ä) i ( x + 1 +
(
4 x + 1) = x 2 + x ;
)
(å) i x + 1 + 2 ⎡ x ⎤ = x 2 .
⎣
⎦
34*. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôóíêöèè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû
2
èç ôóíêöèé s (x) = x + 1 è q (x) = x − æ ⎡ x ⎤ ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé
⎣
⎦
ïîäñòàíîâêè, èòåðàöèè è ñëîæåíèÿ äâóõ ôóíêöèé:
134
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
n
(à) Im (x1, ..., xn);
(á) o (x);
(â) sg (x);
(ã) sg ( x );
(ä) ax + by + c;
(å) x 2;
⎡x ⎤
(æ) ⎢ ⎥;
⎣2⎦
(ç) ⎡ x ⎤ ;
⎣
⎦
(è) x ⋅ y;
(ê) x − æ y;
(ë) c(x, y);
(ì) l (x);
(í) r (x).
35*. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ
2
ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ôóíêöèé s (x) = x + 1 è q (x) = x − æ ⎡ x ⎤ ñ
⎣
⎦
ïîìîùüþ îïåðàöèé ïîäñòàíîâêè, èòåðàöèè è ñëîæåíèÿ äâóõ ôóíêöèé (òåîðåìà Ð. Ðîáèíñîíà).
36. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) I11 ( f (x)) = f (I11(x)) = f ( f −1 ( f (x))) = f (x);
(á) f −1 ( f (f −1 (x))) = f −1 (x).
37. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè f −1 (x) îïðåäåëåíà â êàêîé-íèáóäü òî÷êå a, òî
f ( f −1 (a)) = a;
(á) åñëè f −1 (x) âñþäó îïðåäåëåíà, òî
f ( f −1 (x)) = I11 (x);
(â) ñóùåñòâóåò f (x) òàêàÿ, ÷òî f −1 (x) âñþäó îïðåäåëåíà, íî
f −1 ( f (x)) ≠ I11 (x).
38. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) (x + 1)−1 = x − 1;
(á) (o (x))−1 = 0 − x;
x
−1
(â) (2 x ) = ;
2
(ã)
(x ) =
2
−1
x;
§ 1. ×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè
⎛⎡x ⎤⎞
(ä) ⎜ ⎢ ⎥ ⎟
⎝⎣n⎦⎠
(å)
135
−1
= nx ;
(⎡⎣ x ⎤⎦ ) = x ;
n
−1
n
2
2
⎡ x + 1⎤
⎡
⎤
(æ) q −1 (x) = x + ⎢
⎥ , ãäå q (x) = x − æ ⎣ x ⎦ ;
2
⎣
⎦
(ç) q −1 (2x) = x 2 + 2x;
(è) q −1 (2x + 1) = x 2 + 4x + 2;
(ê) q −1 (2x + 2y) = (x + y)2 + 2x + 2y.
39*. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôóíêöèè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû
2
èç ôóíêöèé s (x) = x + 1 è q (x) = x − æ ⎡ x ⎤ ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé
⎣
⎦
ïîäñòàíîâêè, îáðàùåíèÿ è ñëîæåíèÿ äâóõ ôóíêöèé:
(à) Imn (x1, ..., xn);
(á) o (x);
(â) sg (x);
(ã) sg ( x );
(ä) ax + by + c;
(å) x 2;
⎡x ⎤
(æ) ⎢ ⎥;
⎣2⎦
(ç) ⎡ x ⎤ ;
⎣
⎦
(è) x ⋅ y;
(ê) x − æ y;
(ë) c (x, y);
(ì) l (x);
(í) r (x).
40. Ïóñòü f (x) = μy [h (x, y) = 0]. Äîêàçàòü, ÷òî f (x) ìîæåò áûòü
2
ïîëó÷åíà èç h, s (x) = x + 1 è q (x) = x − æ ⎡ x ⎤ ñ ïîìîùüþ îïåðà⎣
⎦
öèé ïîäñòàíîâêè, îáðàùåíèÿ è ñëîæåíèÿ äâóõ ôóíêöèé.
41*. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ ìî2
æåò áûòü ïîëó÷åíà èç s (x) = x + 1, q (x) = x − æ ⎡ x ⎤ ñ ïîìîùüþ
⎣
⎦
îïåðàöèé ïîäñòàíîâêè, îáðàùåíèÿ è ñëîæåíèÿ äâóõ ôóíêöèé
(òåîðåìà Þ. Ðîáèíñîí).
42*. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ôóíêöèè Àêêåðìàíà:
B (0, y) = 2 + y;
136
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
B (x + 1, 0) = sg x;
B (x + 1, y + 1) = B (x, B (x + 1, y));
A (x) = B (x, x).
Íàçîâåì âñþäó îïðåäåëåííóþ ôóíêöèþ f (x1, ..., xn) B-ìàæîðèðóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî m òàêîå, ÷òî
f (x1, ..., xn) < B (m, max(x1, ..., xn) + 3).
Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) B (x, y) è A (x) îáùåðåêóðñèâíû;
(á) B (n + 2, x + 1) ≥ 2x + 1;
(â) B (n + 1, x + 2) ≥ B (n + 1, x + 1);
(ã) B (n + 2, x + 3) ≥ B (n + 1, x + 4);
(ä) ïðîñòåéøèå ôóíêöèè B-ìàæîðèðóåìû;
(å) ôóíêöèÿ, ïîëó÷åííàÿ ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîçèöèè èç
B-ìàæîðèðóåìûõ ôóíêöèé, B-ìàæîðèðóåìà;
(æ) ôóíêöèÿ, ïîëó÷åííàÿ ñ ïîìîùüþ ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè èç B-ìàæîðèðóåìûõ ôóíêöèé, B-ìàæîðèðóåìà;
(ç) ôóíêöèÿ A íå ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé.
43. Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè, óíèâåðñàëüíîé äëÿ ñåìåéñòâà âñåõ n-ìåñòíûõ ïðèìèòèâíî
ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé.
44. Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè, óíèâåðñàëüíîé äëÿ ñåìåéñòâà âñåõ n-ìåñòíûõ îáùåðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé.
§ 2. ÌÀØÈÍÛ ÒÜÞÐÈÍÃÀ
Ìàøèíà Òüþðèíãà T ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ:
(à) âíåøíèì àëôàâèòîì A = {a0, a1, ..., an} (ãäå a0 = 0, a1 = 1);
(á) àëôàâèòîì âíóòðåííèõ ñîñòîÿíèé Q = {q0, q1, ..., qm};
(â) ïðîãðàììîé, ò.å. ñîâîêóïíîñòüþ âûðàæåíèé T (i, j)
(i = 1, ..., m; j = 0, ..., n), êàæäîå èç êîòîðûõ èìååò îäèí èç ñëåäóþùèõ âèäîâ: q ia j → qka l, qiaj → qk al R, qia j → qk al L, ãäå 0 ≤ k ≤ m,
0 ≤ l ≤ n. Âûðàæåíèÿ T (i, j) íàçûâàþòñÿ êîìàíäàìè.
Ìàøèííûì ñëîâîì èëè êîíôèãóðàöèåé íàçûâàåòñÿ ñëîâî âèäà
AqkalB, ãäå 0 ≤ k ≤ m, 0 ≤ l ≤ n, A è B ñëîâà (âîçìîæíî, ïóñòûå)
â àëôàâèòå A. Ïèøåì aix äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñëîâà ai ai ... ai (x ðàç).
Ïóñòü äàíû ìàøèíà T è ìàøèííîå ñëîâî M = Aqi aj B, ãäå
0 ≤ i ≤ m. Îáîçíà÷èì ÷åðåç MT′ ñëîâî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç M ïî
ïðàâèëàì:
§ 2. Ìàøèíû Òüþðèíãà
137
(1) äëÿ i = 0 ïîëîæèì MT′ = M;
(2) äëÿ i > 0
(à) åñëè T (i, j) èìååò âèä qi aj → qk al, òî MT′ = Aqk al B;
(á) åñëè T (i, j) èìååò âèä qi aj → qk al R, òî:
(Á1) åñëè B íå ïóñòî, òî MT′ = A al qk B,
(Á2) åñëè B ïóñòî, òî MT′ = A al qk a0;
(â) åñëè T (i, j) èìååò âèä qi aj → qk al L, òî:
(Â1) åñëè A = A1 as äëÿ íåêîòîðûõ A1 è as, òî MT′ = A1qk as al B,
(Â2) åñëè B ïóñòî, òî MT′ = qk a0 al B.
Ïîëîæèì MT(0) = M, MT(n + 1) = (MT(n))′. Ãîâîðèì, ÷òî ìàøèíà T
ïåðåðàáàòûâàåò ìàøèííîå ñëîâî M â ñëîâî M1, åñëè MT(n) = M1
äëÿ íåêîòîðîãî n. Ïèøåì M ⇒T M1, åñëè ìàøèíà T ïåðåðàáàòûâàåò M â M1 è ïðè ýòîì íå èñïîëüçóåòñÿ ïóíêò (Â2) îïðåäåëåíèÿ. Ïèøåì M |⇒T M1, åñëè ìàøèíà T ïåðåðàáàòûâàåò ñëîâî
M â ñëîâî M1 è ïðè ýòîì íå èñïîëüçóþòñÿ ïóíêòû (Á1) è (Â2)
îïðåäåëåíèÿ.
Ãîâîðèì, ÷òî ìàøèíà T âû÷èñëÿåò n-ìåñòíóþ ÷àñòè÷íóþ ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ f, ãäå δf ⊆ N n, ρf ⊆ N , åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
(à) åñëè ⟨x1, ..., xn⟩ ∈ δf , òî ìàøèíà T îñòàíàâëèâàåòñÿ, ò.å. ïåðåðàáàòûâàåò ñëîâî q101x10 ... 1xn0 â íåêîòîðîå ñëîâî Aq0B è ïðè
ýòîì ñëîâî Aq0B ñîäåðæèò f (x1, ..., xn) âõîæäåíèé ñèìâîëà 1;
(á) åñëè ⟨x1, ..., xn⟩ ∉ δf , òî ìàøèíà, íà÷èíàÿ ðàáîòó ñî ñëîâà
M = q101x10 ... 1xn0, ðàáîòàåò áåñêîíå÷íî, ò.å. q0 íå âõîäèò â MT(n)
íè äëÿ êàêîãî n.
Ãîâîðèì, ÷òî ìàøèíà T ïðàâèëüíî âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f n, åñëè
âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
(à) åñëè ⟨x1, ..., xn⟩ ∈ δf, òî
q101x10 ... 1xn0 ⇒T q101f (x1, ..., xn)00 ... 0;
(á) åñëè ⟨x1, ..., xn⟩ ∉ δf, òî ìàøèíà, íà÷èíàÿ ðàáîòó ñî ñëîâà
q101x10 ... 1xn0, ðàáîòàåò áåñêîíå÷íî.
Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ âû÷èñëèìîé (ïðàâèëüíî âû÷èñëèìîé) ïî
Òüþðèíãó, åñëè ñóùåñòâóåò ìàøèíà, êîòîðàÿ âû÷èñëÿåò (ïðàâèëüíî
âû÷èñëÿåò) ôóíêöèþ f.
Ïóñòü T1, T2, T3 òðè ìàøèíû Òüþðèíãà ñ îäíèì è òåì æå
âíåøíèì àëôàâèòîì A = {a0, a1, ..., an}, ñ àëôàâèòàìè âíóòðåííèõ
ñîñòîÿíèé
Q1 = {q0, q1, ..., qr}, Q2 = {q0, q1, ..., qs}, Q3 = {q0, q1, ..., qt}
è ïðîãðàììàìè Ï1, Ï2, Ï3 ñîîòâåòñòâåííî. Êîìïîçèöèåé T1 ⋅ T2
ìàøèí T1 è T2 íàçûâàåòñÿ ìàøèíà T, ïðîãðàììà êîòîðîé åñòü
138
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
q
qs
îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ S qqr0+1Ï1 è Sqq1......
Ï2, ãäå S qi j Ï îçíà÷àåò
r +1 qr + s
ìíîæåñòâî êîìàíä, ïîëó÷åííûõ èç Ï çàìåíîé âñåõ qj íà qi.
⎛
Ðàçâåòâëåíèåì ìàøèíû T1 íà (T2, T3) ïî (qi, qj) ⎜ñèìâîëè÷åñêè
⎝
⎧⎪qi = T2 ⎞
T1 ⎨
⎟ , ãäå qi, qj ∈ Q1, íàçûâàåòñÿ ìàøèíà T, ïðîãðàììà êî⎪⎩q j = T3 ⎠⎟
òîðîé ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: èç Ï1 èñêëþ÷àþòñÿ êîìàíäû T1 (i, k) è T1 (j, k) äëÿ k = 0, 1, ..., n; ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî íàçûâàåì Ï1′; òîãäà
qt
.
Ï = Ï1′ U S qqi1qqr2+...1 ...qsqr + s −1 Ï 2 U S qq1j qqr2+...s ...
qr + s + t − 2 Ï 3
Ïóñòü A = as0 ... ask ñëîâî â àëôàâèòå {a0, a1, a2, ...}. Ïîëîæèì
k
s
kl ( A) = ∏ pt k −t ,
t =0
k
kr ( A) = ∏ ptst .
t =0
Åñëè M = A qi aj B ìàøèííîå ñëîâî, òî ïîëàãàåì
ν (M) = 2êl (A) ⋅ 3i ⋅ 5j ⋅ 7kr (B).
Íîìåðîì êîìàíäû T (i, j) íàçîâåì ÷èñëî
k
l
s
μ(T (i, j )) = pcp(0i ,⋅ pj 1) ⋅ p2 ,
ãäå s = 0, åñëè T (i, j) åñòü qi aj → qk al, s = 1, åñëè T (i, j) åñòü qi aj →
→ qk al L, s = 2, åñëè T (i, j) åñòü qi aj → qk al R.
Íîìåðîì λ (T) ìàøèíû Òüþðèíãà T íàçîâåì ïðîèçâåäåíèå âñåõ
íîìåðîâ êîìàíä T (i, j) ìàøèíû T.
1. Êàêóþ ôóíêöèþ f (x) âû÷èñëÿåò ìàøèíà T ñî ñëåäóþùåé
ïðîãðàììîé êîìàíä:
q10 → q20R, q11 → q01,
q20 → q01, q21 → q21R ?
2. Ïóñòü ìàøèíà T èìååò ñëåäóþùóþ ïðîãðàììó:
q10 → q00.
Êàêèå ôóíêöèè f1 (x), f2(x1, x2), ..., fn (x1, ..., xn), ... âû÷èñëÿåò ýòà
ìàøèíà?
3. Ïîñòðîèòü ìàøèíó Òüþðèíãà, êîòîðàÿ ïðàâèëüíî âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ f (x) = x + 1.
§ 2. Ìàøèíû Òüþðèíãà
139
4. Ïîñòðîèòü ìàøèíó Òüþðèíãà, êîòîðàÿ ïðàâèëüíî âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ o (x) = 0.
5. Ïîñòðîèòü ñëåäóþùèå ìàøèíû Òüþðèíãà:
À. Ïåðåíîñ íóëÿ: q1001x0 |⇒À q001x00.
Á+. Ïðàâûé ñäâèã: q1001x0 |⇒Á+ 01xq00.
Á−. Ëåâûé ñäâèã: 01xq10 |⇒Á− q001x0.
Â. Òðàíñïîçèöèÿ: 01xq101y0 |⇒Â 01yq001x0.
Ã. Óäâîåíèå: q101x0 ⇒Ã q001x01x0.
Ön. Öèêëè÷åñêèé ñäâèã: q101x101x2 ... 01xn0 |⇒Ön q001x2 ... 01xn01x10.
Ên. Êîïèðîâàíèå: q101x1 ... 01xn0 ⇒Ên q001x1 ... 01xn01x1 ... 01xn0.
6. Ïîñòðîèòü ìàøèíó Òüþðèíãà, êîòîðàÿ ïðàâèëüíî âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ Imn (x1, ..., xn) (ãäå 1 ≤ m ≤ n).
7. (à) Ïóñòü ôóíêöèè f (x) è g (x) ïðàâèëüíî âû÷èñëèìû ïî
Òüþðèíãó. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ h (x) = f (g (x)) ïðàâèëüíî âû÷èñëèìà ïî Òüþðèíãó.
(á) Ïóñòü ôóíêöèè f (x1, ..., xn) è g1(x1, ..., xm), ..., gn (x1, ..., xm)
ïðàâèëüíî âû÷èñëèìû ïî Òüþðèíãó. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ
h (x1, ..., xn) = f (g1 (x1, ..., xm), ..., gn(x1, ..., xm)) ïðàâèëüíî âû÷èñëèìà ïî Òüþðèíãó.
8. Ïîñòðîèòü ìàøèíó Òüþðèíãà äëÿ ïðàâèëüíîãî âû÷èñëåíèÿ
ôóíêöèé:
(à) x + y;
(á) x − æ 1;
(â) sg (x);
(ã) sg ( x );
(ä) x − æ y;
(å) x − y;
x
(æ)
;
2
⎡x⎤
(ç) ⎢ ⎥ .
⎣2⎦
9. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè ôóíêöèÿ f n + 1 ïîëó÷àåòñÿ èç ïðàâèëüíî âû÷èñëèìûõ
ïî Òüþðèíãó ôóíêöèé g n è h n + 2 ñ ïîìîùüþ ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè, òî f n + 1 ïðàâèëüíî âû÷èñëèìà ïî Òüþðèíãó;
(á) åñëè ôóíêöèÿ f n ïîëó÷àåòñÿ èç ïðàâèëüíî âû÷èñëèìîé ïî
Òüþðèíãó ôóíêöèè g n + 1 ñ ïîìîùüþ μ-îïåðàòîðà, òî f n ïðàâèëüíî âû÷èñëèìà ïî Òüþðèíãó.
140
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
10. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ ïðàâèëüíî âû÷èñëèìà ïî Òüþðèíãó.
11. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóþò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè α, β, γ òàêèå, ÷òî:
(à) α (x, y) = λ (T1 ⋅ T2), åñëè λ (T1) = x è λ (T2) = y;
(á) β (x) = λ (T) äëÿ íåêîòîðîé ìàøèíû T, ïåðåðàáàòûâàþùåé ñëîâî q10 â ñëîâî q101x0;
⎛ ⎧qi = T2 ⎞
(â) γ (x, y, z) = λ⎜T1 ⎨
⎟⎟, åñëè λ (T1) = x, λ (T2) = y, λ (T3) = z.
⎜
⎝ ⎩q j = T3 ⎠
12. Ïîñòðîèòü ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè γn (x1, ..., xn)
òàêèå, ÷òî
ν (q101x1 ... 01xn0) = γn (x1, ..., xn).
13. Ïîñòðîèòü ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíóþ ôóíêöèþ ρ (s, k, l, u, ν)
óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ: åñëè u = kl (A), ν = kr (B), 0 ≤ s ≤ 2, òî
ρ (s, k, l, u, ν) = ν ((Aqi ajB)T′ ), ãäå T (i, j) åñòü qiaj → qkal ïðè s = 0,
qiaj → qkalL ïðè s = 1, qiaj → qkalR ïðè s = 2.
14. Ïîñòðîèòü ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíóþ ôóíêöèþ σ (t, i, j, u, ν),
óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ: åñëè u = kl (A), ν = kr (B), t = λ (T), qi
âõîäèò â àëôàâèò âíóòðåííèõ ñîñòîÿíèé, à aj âî âíåøíèé àëôàâèò ìàøèíû T, òî σ (t, i, j, u, ν) = ν ((Aqi ajB)T′ ).
15. Ïîñòðîèòü ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíóþ ôóíêöèþ τ (t, x),
óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ: åñëè t = λ (T ), x = ν (M ), ãäå
M = Aq i a j B ìàøèííîå ñëîâî â àëôàâèòå ìàøèíû T, òî
τ (t, x) = ν (MT′).
16. Ïîñòðîèòü ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíóþ ôóíêöèþ w (t, x, y),
óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ: åñëè t = λ (T ), x = ν (M ), ãäå M ìàøèííîå ñëîâî â àëôàâèòå ìàøèíû T, òî w (t, x, y) = ν (MT(y)).
17. Ïîñòðîèòü ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíóþ ôóíêöèþ ε (x), óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ: åñëè x = ν (M), òî ε (x) åñòü ÷èñëî âõîæäåíèé ñèìâîëà a1 â ñëîâî M.
18. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ìàøèíà T âû÷èñëÿåò f (x1, ..., xn) è
t0 = λ (T), òî:
(à) ⟨x1, ..., xn⟩ ∈ δf ⇔ ex (1, w (t0, γn (x1, ..., xn), y)) = 0 äëÿ íåêîòîðîãî y;
(á) f (x 1, ..., xn) = ε (w (t0 , γn (x 1, ..., xn), h n + 1 (t0, x 1, ..., xn))), ãäå
h n + 1 (t0, x1, ..., xn) = μy [ex(1, w (t0, γn (x1, ..., xn), y)) = 0], à ôóíêöèè
γ, w è ε âçÿòû èç çàäà÷ 12, 16 è 17.
§ 2. Ìàøèíû Òüþðèíãà
141
19. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ âû÷èñëèìàÿ ïî Òüþðèíãó ôóíêöèÿ
÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà.
20. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ âû÷èñëèìà ïî Òüþðèíãó òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ìàøèíà Òüþðèíãà ñ âíåøíèì
àëôàâèòîì {0, 1}, âû÷èñëÿþùàÿ ýòó ôóíêöèþ.
21. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò äâóìåñòíàÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ U (t, x), óíèâåðñàëüíàÿ äëÿ ñåìåéñòâà âñåõ îäíîìåñòíûõ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé.
22. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò (n + 1)-ìåñòíàÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ U n + 1 (t, x1, ..., xn), óíèâåðñàëüíàÿ äëÿ ñåìåéñòâà
âñåõ n-ìåñòíûõ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé.
23*. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôóíêöèè íå ÿâëÿþòñÿ ÷àñòè÷íî
ðåêóðñèâíûìè:
⎧1, åñëè x åñòü íîìåð ìàøèíû T è
⎪ ìàøèíà T îñòàíàâëèâàåòñÿ, íà÷èíàÿ
⎪
(à) h (x, y) = ⎨
y
⎪ ðàáîòó ñ ìàøèííîãî ñëîâà q1 01 0,
⎪0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå;
⎩
(á)g (x) = h (x, x);
⎧1, åñëè x åñòü íîìåð ìàøèíû T
⎪ è ìàøèíà T îñòàíàâëèâàåòñÿ,
⎪
(â) h0 (x) = ⎨
⎪ íà÷èíàÿ ðàáîòó ñ ìàøèííîãî ñëîâà q1 0,
⎪⎩0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
24. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ S (z, x, y, w) òàêàÿ, ÷òî
⎧1, åñëè z = λ(T ) è ìàøèíà T ïåðåðàáàòûâàåò ñëîâî
⎪
x
y
S (z, x, y, w) = ⎨ q1 01 0 â ñëîâî q0 01 0...0 íå áîëåå ÷åì çà w øàãîâ,
⎪0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
⎩
25. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóþò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè p, T1, T2, ... òàêèå, ÷òî:
(à) U (m, x) = p (μy [T1 (m, x, y) = 0]);
(á) U n + 1 (m, x1, ..., xn) = p (μy [Tn (m, x1, ..., xn, y) = 0]).
142
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
§ 3. ÐÅÊÓÐÑÈÂÍÛÅ
È ÐÅÊÓÐÑÈÂÍÎ ÏÅÐÅ×ÈÑËÈÌÛÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
 äàëüíåéøåì ïîä ìíîæåñòâîì ìû áóäåì ïîíèìàòü ëèøü ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N, ìíîæåñòâàìè n-îê (êîðòåæåé äëèíû n) áóäåì íàçûâàòü ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà N n (n ≥ 1).
Ïóñòü P n-ìåñòíûé ïðåäèêàò íà ìíîæåñòâå N . Ôóíêöèÿ
θP (x1, ..., xn) íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëÿþùåé (èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêîé) ôóíêöèåé äëÿ ïðåäèêàòà P, åñëè ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ
⎧0, åñëè P ( x1, ..., xn ) = è,
θP ( x1, ..., xn ) = ⎨
⎩1, åñëè P ( x1, ..., xn ) = ë.
Ïðåäèêàò P íàçûâàåòñÿ ðåêóðñèâíûì èëè âû÷èñëèìûì (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûì), åñëè åãî ïðåäñòàâëÿþùàÿ ôóíêöèÿ îáùåðåêóðñèâíà (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà).
Ìíîæåñòâî n-îê M íàçûâàåòñÿ ðåêóðñèâíûì èëè âû÷èñëèìûì
(ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûì), åñëè ïðåäèêàò P (x 1, ..., x n) = è ⇔
⇔ ⟨x1, ..., xn⟩ ∈ M ÿâëÿåòñÿ ðåêóðñèâíûì (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûì) ïðåäèêàòîì.
Ìíîæåñòâî n-îê M íàçûâàåòñÿ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûì èëè
âû÷èñëèìî ïåðå÷èñëèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò (n + 1)-ìåñòíûé ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûé ïðåäèêàò RM (x1, ..., xn, y), óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ
⟨x1, ..., xn⟩ ∈ M ⇔ ∃ y RM (x1, ..., xn, y).
Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà n-îê M îïðåäåëèì õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ χM (x1, ..., xn) è ÷àñòè÷íóþ õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ χM*(x1, ..., xn) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
⎪⎧0, åñëè x1, ..., xn ∈ M ,
χM ( x1, ..., xn ) = ⎨
⎪⎩1, åñëè x1, ..., xn ∉ M ;
⎧⎪0, åñëè x1, ..., xn ∈ M ,
χ*M ( x1, ..., xn ) = ⎨
⎪⎩íå îïðåäåëåíî, åñëè x1, ..., xn ∉ M .
Åñëè f n-ìåñòíàÿ ÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ, òî ìíîæåñòâî
Γf = {⟨x1, ..., xn, f (x1, ..., xn)⟩ | ⟨x1, ..., xn⟩ ∈ δf }
íàçûâàåòñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè f. Ôóíêöèÿ f (x1, ..., xn) íàçûâàåòñÿ
äîîïðåäåëåíèåì ôóíêöèè g (x1, ..., xn), åñëè Γg ⊆ Γf è δf = N .
§ 3. Ðåêóðñèâíûå è ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà
143
1. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû:
(à) x = y;
(á) x + y = z;
(â) x ⋅ y = z;
(ã) x äåëèò y;
(ä) x ÷åòíî;
(å) x è y âçàèìíî ïðîñòû;
(æ) ∃ n(x = 12 + 22 + ... + n2);
(ç) ∃ n (x = 1 + 2 + ... n).
2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè P (x1, ..., xn) è Q (x1, ..., xn) ðåêóðñèâíûå (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå) ïðåäèêàòû, òî ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû òàêæå ðåêóðñèâíû (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû):
(à) (P (x1, ..., xn) & Q (x1, ..., xn));
(á) (P (x1, ..., xn) ∨ Q (x1, ..., xn));
(â) ¬ P (x1, ..., xn);
(ã) (P (x1, ..., xn) ⊃ Q (x1, ..., xn));
(ä) P (x1, x1, x3, ..., xn);
(å) P (f (x1, ..., xm), x m + 1, ..., xm + n −1), åñëè f (x1, ..., xm) îðô
(ïðô).
3. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðåäèêàò R (x1, ..., xn, y) ðåêóðñèâåí (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâåí), òî ïðåäèêàòû ∃ y (y ≤ z & R (x1, ..., xn, y)) è
∀ y (y ≤ z ⊃ R (x1, ..., xn, y)) òàêæå ðåêóðñèâíû (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû).
4. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðåäèêàò R (x1, ..., xn, y, z) ïðèìèòèâíî
ðåêóðñèâåí, òî M = {⟨x1, ..., xn⟩ | ∃ y ∃ z R (x1, ..., xn, y, z)} ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî.
5. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî, íå ÿâëÿþùååñÿ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûì.
6. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíî.
7. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî n-îê ðåêóðñèâíî (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíî) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ
ôóíêöèÿ îáùåðåêóðñèâíà (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà).
8. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f îáùåðåêóðñèâíàÿ (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ) ôóíêöèÿ è a ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî, òî ìíîæåñòâî
ðåøåíèé óðàâíåíèÿ f (x1, ..., xn) = a ðåêóðñèâíî (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíî).
9. Ïóñòü ôóíêöèÿ f ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà, íî íå îáùåðåêóðñèâíà. Äîêàçàòü, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f −1 ïðèìèòèâíî
ðåêóðñèâíà.
144
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
10. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ìíîæåñòâà A è B ðåêóðñèâíû (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû), òî ìíîæåñòâà A ∩ B, A ∪ B, N \A òàêæå ðåêóðñèâíû (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû).
11. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ìíîæåñòâà A è B ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìû, òî ìíîæåñòâà A ∩ B è A ∪ B ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìû.
12. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîå ìíîæåñòâî
ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî.
13. Ïóñòü ìíîæåñòâà A è B îòëè÷àþòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) åñëè A ðåêóðñèâíî, òî B ðåêóðñèâíî;
(á) åñëè A ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî, òî B ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî.
14. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ìíîæåñòâî A è åãî äîïîëíåíèå N \A
ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìû, òî A ðåêóðñèâíî (òåîðåìà Ïîñòà).
15. Ïóñòü M ⊆ N n. Ïîëîæèì
c n (M ) = {c n (x1, ..., xn) | ⟨x1, ..., xn⟩ ∈ M },
ãäå c n îïðåäåëåíà â çàäà÷å 14 èç § 1. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) M ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
c n (M ) ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíî;
(á) M ðåêóðñèâíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà c n (M ) ðåêóðñèâíî;
(â) M ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
c n (M ) ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî.
16. Ïóñòü M ⊆ N íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Äîêàçàòü, ÷òî M ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ α (x) òàêàÿ, ÷òî M = {α (x) | x ∈ N }.
17. Ïóñòü M íåïóñòîå ìíîæåñòâî n-îê. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî M ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþò îäíîìåñòíûå ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè
α1, ..., αn òàêèå, ÷òî
M = {⟨α1(x), ..., αn(x)⟩ | x ∈ N }.
18. Ïóñòü îáùåðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ f (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ: f (x) ≥ x äëÿ âñåõ x ∈ N . Äîêàçàòü, ÷òî îáëàñòü çíà÷åíèé ρf
ôóíêöèè f ðåêóðñèâíà.
19. Äîêàçàòü, ÷òî áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî A ðåêóðñèâíî òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà A åñòü ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñòðîãî âîçðàñòàþùåé îáùåðåêóðñèâíîé ôóíêöèè.
§ 3. Ðåêóðñèâíûå è ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà
145
20. Äîêàçàòü, ÷òî íåïóñòîå ìíîæåñòâî A ðåêóðñèâíî òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà A åñòü ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ìîíîòîííî (íå
îáÿçàòåëüíî ñòðîãî) âîçðàñòàþùåé îáùåðåêóðñèâíîé ôóíêöèè.
21. Äîêàçàòü, ÷òî êàæäîå áåñêîíå÷íîå ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå ðåêóðñèâíîå ïîäìíîæåñòâî.
22. Äîêàçàòü, ÷òî êàæäîå áåñêîíå÷íîå ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî ïðåäñòàâèìî â âèäå A = ρf äëÿ íåêîòîðîé îáùåðåêóðñèâíîé 1−1-ôóíêöèè f.
23. Äîêàçàòü, ÷òî ãðàôèê îáùåðåêóðñèâíîé ôóíêöèè ðåêóðñèâåí.
24. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ãðàôèê Γf ôóíêöèè f ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèì, òî ôóíêöèÿ f ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà.
25. Äîêàçàòü, ÷òî ïîëíûé ïðîîáðàç ðåêóðñèâíîãî ìíîæåñòâà
îòíîñèòåëüíî îáùåðåêóðñèâíîé ôóíêöèè ðåêóðñèâåí.
26. Ïóñòü A ðåêóðñèâíîå ìíîæåñòâî, f îáùåðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ ñ ρf = N , f (A) ∩ f (N \A) = ∅. Äîêàçàòü, ÷òî f (A)
ðåêóðñèâíî.
27. Ïóñòü A, B ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà, à C
ðåêóðñèâíîå ìíîæåñòâî òàêèå, ÷òî A ∩ B = ∅, A ⊆ C ⊆ A ∪ B. Äîêàçàòü, ÷òî A ðåêóðñèâíî.
28. Ïóñòü f, g îáùåðåêóðñèâíûå ôóíêöèè, ïðè÷åì g
1−1-ôóíêöèÿ. Ïóñòü òàêæå èìååì f (x) ≥ g (x) äëÿ âñåõ x. Äîêàçàòü,
÷òî åñëè ρg ðåêóðñèâíî, òî ρf ðåêóðñèâíî.
29. Ïóñòü A, B ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóþò ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà A1 ⊆ A,
B1 ⊆ B òàêèå, ÷òî A1 ∩ B1 = ∅, A1 ∪ B1 = A ∪ B.
30*. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) ôóíêöèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîçèöèè èç
ôóíêöèé ñ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûì ãðàôèêîì, èìååò ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûé ãðàôèê;
(á) ôóíêöèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ ñ ïîìîùüþ ñõåìû ïðèìèòèâíîé
ðåêóðñèè èç ôóíêöèé ñ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûì ãðàôèêîì,
èìååò ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûé ãðàôèê;
(â) ôóíêöèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ ñ ïîìîùüþ μ-îïåðàòîðà èç ôóíêöèè ñ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûì ãðàôèêîì, èìååò ðåêóðñèâíî
ïåðå÷èñëèìûé ãðàôèê;
(ã) ãðàôèê ëþáîé ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèì.
146
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
31. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå ãðàôèê ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèì (òåîðåìà î
ãðàôèêå).
32. Äîêàçàòü, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé
ôóíêöèè åñòü ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî.
33. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé
ôóíêöèè ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî.
34. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ðåêóðñèâíîå ìíîæåñòâî ðåêóðñèâíî
ïåðå÷èñëèìî.
35. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî n-îê ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ÷àñòè÷íàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà.
36. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) îáðàç ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîãî ìíîæåñòâà îòíîñèòåëüíî ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèì;
(á) ïîëíûé ïðîîáðàç ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîãî ìíîæåñòâà
îòíîñèòåëüíî ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèì.
37. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî A ðåøåíèé óðàâíåíèÿ
f (x1, ..., xn) = a
ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî, åñëè f ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ n-ìåñòíàÿ ôóíêöèÿ.
38. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f n + 1 ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ,
òî ìíîæåñòâî M = {⟨ x1, ..., xn⟩ | ∃ y f (x1, ..., xn, y) = 0} ðåêóðñèâíî
ïåðå÷èñëèìî.
39. Ïóñòü M1, ..., Mk ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèåñÿ ðåêóðñèâíî
ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà n-îê, f1, ..., fn ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå
ôóíêöèè. Äîêàçàòü, ÷òî g (x1, ..., xn), îïðåäåëåííàÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
⎧ f1( x1, ..., xn ), åñëè x1, ..., xn ∈ M1,
⎪
⎪.........................................................
g ( x1, ..., xn ) = ⎨
⎪ f k ( x1, ..., xn ), åñëè x1, ..., xn ∈ M k ,
⎪íå îïðåäåëåíà â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ,
⎩
÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà.
40*. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ
f (x1, ..., xn) ïðåäñòàâèìà â íîðìàëüíîé ôîðìå Êëèíè, ò.å. â âèäå
§ 3. Ðåêóðñèâíûå è ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà
147
f (x1, ..., xn) = l (μt [g (x1, ..., xn, t) = 0]),
ãäå g (x1, ..., xn, t) ïîäõîäÿùàÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ, à l ôóíêöèÿ èç çàäà÷è 13 èç § 1 (ñð. ñ çàäà÷åé 25 èç § 2).
41. Äîêàçàòü, ÷òî ÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ f (x1, ..., xn) ïðåäñòàâèìà
â âèäå
f (x1, ..., xn) = μt [g (x1, ..., xn, t) = 0]
äëÿ ïîäõîäÿùåé ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè g (x1, ..., xn, t)
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãðàôèê ôóíêöèè f (x1, ..., xn) ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâåí.
42*. Ïóñòü F (x, y) îïðåäåëåíà ñ ïîìîùüþ ðåêóðñèè ïî äâóì
ïåðåìåííûì:
⎧F (0, y ) = ϕ( y ),
⎪
⎨F ( x + 1, 0) = ψ( x , F ( x , α( x )), F ( x , F ( x , γ( x )))),
⎪F ( x + 1, y + 1) = τ ( x , y, F ( x , F ( x + 1, y ))).
⎩
Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèè ϕ, ψ, α, γ, τ îáùåðåêóðñèâíû, òî
ôóíêöèÿ F îáùåðåêóðñèâíà.
43*. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî
H = {x | ∃ y T1 (x, x, y) = 0},
ãäå T1 ôóíêöèÿ èç çàäà÷è 25 èç § 2, ÿâëÿåòñÿ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûì, íî íå ðåêóðñèâíûì.
44. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè f n åñòü ðåêóðñèâíîå ìíîæåñòâî, òî f n èìååò ðåêóðñèâíîå äîîïðåäåëåíèå.
45. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè V (n, x) åñòü ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ, óíèâåðñàëüíàÿ äëÿ êëàññà âñåõ îäíîìåñòíûõ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé, òî ìíîæåñòâî M = {x | V (x, x) = 0} ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî, íî íå ðåêóðñèâíî.
46. Íàéòè ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíóþ ôóíêöèþ f (x), íå èìåþùóþ
îáùåðåêóðñèâíîãî äîîïðåäåëåíèÿ.
47. Íàéòè ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíóþ ôóíêöèþ f (x), íå ïðåäñòàâèìóþ â âèäå
f (x) = μy [g (x, y) = 0]
íè äëÿ êàêîé îáùåðåêóðñèâíîé ôóíêöèè g.
148
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
48. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè V (n, x) åñòü ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ, óíèâåðñàëüíàÿ äëÿ êëàññà âñåõ îäíîìåñòíûõ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé, òî ìíîæåñòâî
G = {n | V (n, x) îáùåðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ}
íå ÿâëÿåòñÿ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûì.
§ 4. ÍÓÌÅÐÀÖÈÈ ÊËÈÍÈ È ÏÎÑÒÀ
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
[x, y] = c (l (x), c (r (x), y)),
[x]21 = c (l (x), l (r (x))),
[x]22 = r (r (x)),
[x1, x2, x3, ..., xn] = [[x1, x2], x3, ..., xn] (äëÿ n > 2),
[x]n1 = [[x]21]n − 1,1, ..., [x]n, n − 1 = [[x]21]n − 1, n − 1,
[x]nn = [x]22 (äëÿ n > 2),
K 2 (x0, x1) = U (l (x0), c (r (x0), x1)),
K n + 1 (x0, x1, ..., xn) = K n ([x0, x1], x2, ..., xn) (äëÿ n > 2),
ãäå ôóíêöèè c, l, r îïðåäåëåíû â çàäà÷å 13 èç § 1, à U (x, y) â
çàäà÷å 21 èç § 2.
Ôóíêöèþ K 2 íàçûâàåì êëèíèåâñêîé íóìåðóþùåé ôóíêöèåé, è
åñëè f (x) = K 2(m, x) äëÿ âñåõ x è íåêîòîðîãî m, òî íàçûâàåì ÷èñëî m êëèíèåâñêèì íîìåðîì ôóíêöèè f è îáîçíà÷àåì f = êm = êm. Îòîáðàæåíèå ê: N → ×1, ãäå ×1 ñåìåéñòâî âñåõ îäíîìåñòíûõ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé, íàçûâàåòñÿ êëèíèåâñêîé íóìåðàöèåé ñåìåéñòâà ×1. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ êëèíèåâñêàÿ
íóìåðàöèÿ n-ìåñòíûõ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé.
Åñëè ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî A åñòü ñîâîêóïíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè K (n, x) äëÿ íåêîòîðîãî n, òî ÷èñëî n
íàçîâåì ïîñòîâñêèì íîìåðîì ìíîæåñòâà A è îáîçíà÷èì A = πn = πn.
Îòîáðàæåíèå π: N → P, ãäå P ñåìåéñòâî âñåõ ðåêóðñèâíî
ïåðå÷èñëèìûõ ìíîæåñòâ, íàçûâàåòñÿ ïîñòîâñêîé íóìåðàöèåé ñåìåéñòâà P .
Ïóñòü A, B ⊆ N . Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f m-ñâîäèò A ê
B, åñëè
x ∈ A ⇔ f (x) ∈ B.
A íàçûâàåòñÿ m-ñâîäèìûì ê B (ñèìâîëè÷åñêè A ≤m B), åñëè ñóùåñòâóåò îáùåðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ f, êîòîðàÿ m-ñâîäèò A ê B.
Ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ m-óíèâåðñàëüíûì, åñëè ê íåìó m-ñâîäèòñÿ ëþáîå ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî.
§ 4. Íóìåðàöèè Êëèíè è Ïîñòà
149
Ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ êðåàòèâíûì èëè òâîð÷åñêèì, åñëè ñóùåñòâóåò îáùåðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ fA òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî x
fA(x) ∈ (A ∩ πx) ∪ (−A ∩ −πx).
1. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) [x, y] îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó N 2 è N ;
(á) [x1, ..., xn] îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå
ìåæäó N n è N ;
(â) [[x]21, [x]22] = x, [[x, y]]21 = x, [[x, y]]22 = y;
(ã) [[x]n1, ..., [x]nn] = x, [[x1, ..., xn]]ni = xi;
(ä) [x1, ..., xm, xm + 1, ..., xn] = [[x1, ..., xm], xm + 1, ..., xn];
(å) c (x0, c(x1, x2)) = [c (x0, x1), x2].
2. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) K n + m + 1(x0, x1, ..., xn, xn + 1, ..., xn + m) =
= K m + 1([x0, x1, ..., xn], xn + 1, ..., xn + m);
n
(á) K (c (x0, x1), x2, ..., xn) = U n + 1(x0, x1, x2, ..., xn).
3. Äîêàçàòü, ÷òî:
(à) K n + 1(x0, x1, ..., xn) ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé äëÿ âñåõ n-ìåñòíûõ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé;
(á) äëÿ ëþáîé ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè f n + m ñóùåñòâóåò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ g n òàêàÿ, ÷òî
f (x1, ..., xn, y1, ..., ym) = K m + 1(g (x1, ..., xn), y1, ..., ym).
4. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ f èìååò
áåñêîíå÷íî ìíîãî êëèíèåâñêèõ íîìåðîâ.
5. Ïîñòðîèòü ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè, äàþùèå ïî
êëèíèåâñêèì íîìåðàì èñõîäíûõ îäíîìåñòíûõ ôóíêöèé êëèíèåâñêèå íîìåðà ôóíêöèé, ïîëó÷àþùèõñÿ èç èñõîäíûõ:
(à) ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîçèöèè;
(á) ñ ïîìîùüþ îáðàùåíèÿ;
(â) ñ ïîìîùüþ èòåðàöèè;
(ã) ñ ïîìîùüþ âçÿòèÿ ñóììû äâóõ ôóíêöèé.
6. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî P, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì:
(à) åñëè x ∈ P, òî êx åñòü ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ;
(á) äëÿ ëþáîé ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûé ôóíêöèè f ñóùåñòâóåò x ∈ P òàêîå, ÷òî f = êx.
150
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
7. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò îáùåðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ, óíèâåðñàëüíàÿ äëÿ ñåìåéñòâà âñåõ îäíîìåñòíûõ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé.
8. Ïîñòðîèòü ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè, äàþùèå ïî
êëèíèåâñêèì íîìåðàì èñõîäíûõ ôóíêöèé êëèíèåâñêèå íîìåðà
ôóíêöèé, ïîëó÷àþùèõñÿ èç èñõîäíûõ:
(à) ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîçèöèè;
(á) ñ ïîìîùüþ ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè;
(â) ñ ïîìîùüþ μ-îïåðàòîðà.
9. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè
f (x1, ..., xn) ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ
g (x1, ..., xn), ÷òî äëÿ ëþáîãî x
⎧êf ( x1, ..., xn ), åñëè f ( x1, ..., xn ) îïðåäåëåíî,
êg ( x1, ..., xn ) = ⎨
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
⎩ω
10*. (à) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ êàæäîé ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè f (x1, ..., x n, y) ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ
ôóíêöèÿ g (x1, ..., xn), ÷òî
⎧êf ( x1, ..., xn , g ( x1, ..., xn )), åñëè
⎪
êg ( x1, ..., xn ) = ⎨
f ( x1, ..., xn , g ( x1, ..., xn )) îïðåäåëåíî,
⎪ω
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
⎩
(á) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ êàæäîé ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè
f (x) ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî a, ÷òî
⎧êf (a ), åñëè f (a) îïðåäåëåíî,
êa = ⎨
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
⎩ω
(òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå).
11. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè
f (x, y) ñóùåñòâóåò ÷èñëî n òàêîå, ÷òî f (n, y) = ên (y) äëÿ âñåõ y.
12. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî n òàêîå, ÷òî:
(à) ên (0) = n;
(á) ên (n) = n.
13. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ f òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî x, åñëè êx åñòü îáùåðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ, òî
êêx ( f ( x )) = ê f ( x ) .
14*. Ïîñòðîèòü ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè êa òàêèå, ÷òî:
§ 4. Íóìåðàöèè Êëèíè è Ïîñòà
151
(à) êa = χ{a};
(á) êa = χ*{a};
(â) êa = χ*N − {a}.
15*. Ïóñòü F ñåìåéñòâî âñåõ îäíîìåñòíûõ ÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé. Îòîáðàæåíèå F: F → F íàçîâåì ýôôåêòèâíûì îïåðàòîðîì,
åñëè ôóíêöèÿ g (n, x) = (F (ên)) (x) ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà. Äîêàçàòü,
÷òî äëÿ ëþáîãî ýôôåêòèâíîãî îïåðàòîðà F ñóùåñòâóåò ÷àñòè÷íî
ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ f òàêàÿ, ÷òî f = F (f).
16. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé
α, γ, δ ñóùåñòâóåò ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ f, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì:
(à) åñëè α (x) = 0, òî f (x) = 0;
(á) åñëè α (x) > 0, òî f (x) = γ (f (δ (x))).
17*. Ïóñòü A íåêîòîðîå íåïóñòîå ñåìåéñòâî îäíîìåñòíûõ
÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé, îòëè÷íîå îò ñåìåéñòâà âñåõ òàêèõ ôóíêöèé. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî
ê−1(A ) = {x | êx ∈ A }
íå ÿâëÿåòñÿ ðåêóðñèâíûì (òåîðåìà Ðàéñà).
18. Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà íå ðåêóðñèâíû:
(à) A1 = {x | êx êîíñòàíòà};
(á) A2 = {x | êx(a) = b}, ãäå a, b ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà;
(â) A3 = {c (x, y) | y ∈ δêx};
(ã) A4 = {c (x, y) | y ∈ ρêx};
(ä) A5 = {c (x, y) | êx = êy}.
19. Äîêàçàòü ðåêóðñèâíóþ ïåðå÷èñëèìîñòü ìíîæåñòâ âñåõ êëèíèåâñêèõ íîìåðîâ ñëåäóþùèõ ñåìåéñòâ îäíîìåñòíûõ ÷àñòè÷íî
ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé:
(à) ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ â òî÷êå 0;
(á) ôóíêöèé f òàêèõ, ÷òî f (a) = b äëÿ äàííûõ ÷èñåë a è b;
(â) ôóíêöèé ñ íåïóñòîé îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ.
20. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî
èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ïîñòîâñêèõ íîìåðîâ.
21. Ïóñòü A íåêîòîðîå íåïóñòîå ñåìåéñòâî ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûõ ìíîæåñòâ, îòëè÷íîå îò ñåìåéñòâà âñåõ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûõ ìíîæåñòâ. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî
π−1(A ) = {x | πx ∈ A }
íå ÿâëÿåòñÿ ðåêóðñèâíûì (òåîðåìà Ðàéñà).
#
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
22. Äîêàçàòü, ÷òî íå ðåêóðñèâíû ìíîæåñòâà:
(à) {x | πx ≠ ∅};
(á) {x | πx = N };
(â) {x | a ∈ πx}, ãäå a ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî;
(ã) {x | πx êîíå÷íî};
(ä) {c (x, y) | πx = πy}.
23. Äîêàçàòü, ÷òî ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìû ìíîæåñòâà âñåõ
ïîñòîâñêèõ íîìåðîâ ñëåäóþùèõ ñåìåéñòâ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûõ ìíîæåñòâ:
(à) ñîäåðæàùèõ äàííîå ÷èñëî a;
(á) íåïóñòûõ.
24. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè
f n ñóùåñòâóåò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ g n òàêàÿ, ÷òî
⎧ π f ( x1 , ..., xn ) , åñëè f ( x1, ..., x n ) îïðåäåëåíî,
π g ( x1, ..., xn ) = ⎨
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
⎩∅
25. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîãî ìíîæåñòâà P ⊆ N n + 1 (n > 0) ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ α (x1, ..., xn), ÷òî
⟨x0, x1, ..., xn⟩ ∈ P ⇔ x0 ∈ πα(x1, ..., xn).
26. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóþò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè f, g, h, u, v, w òàêèå, ÷òî:
(à) πx ∩ πy = πf (x, y);
(á) πx ∪ πy = πg (x, y);
(â) {x } = πh (x);
(ã) {c (s, t) | s ∈ πx, t ∈ πy} = πu (x, y);
(ä) êy(πx) = πν (x, y);
(å) êy−1(πx) = πw (x, y).
27. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóþò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè f è g òàêèå, ÷òî:
(à) δêx = ρê f (x);
(á) ρêx = δê g (x).
28. (à) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè
f n + 1 ñóùåñòâóåò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ g n òàêàÿ, ÷òî
⎧ π f ( x1, ..., xn , g ( x1, ..., xn )) ,
⎪
π g ( x1, ..., xn ) = ⎨
åñëè f ( x1, ..., xn , g ( x1, ..., x n )) îïðåäåëåíî,
⎪∅
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
⎩
§ 4. Íóìåðàöèè Êëèíè è Ïîñòà
#!
(á) Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè
f ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî a, ÷òî
⎧⎪π f (a ) , åñëè f (a) îïðåäåëåíî,
πa = ⎨
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
⎪⎩∅
(òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå).
29. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîãî ìíîæåñòâà M ⊆ N n + 2 ñóùåñòâóåò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ
g n òàêàÿ, ÷òî
⟨x0, x1, ..., xn, g (x1, ..., xn)⟩ ∈ M ⇔ x0 ∈ πg (x1, ..., xn).
30. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî n òàêîå, ÷òî:
(à) πn = {n };
(á) πn = {n 2};
(â) πn = N \{n }.
31. Äîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå ≤m ðåôëåêñèâíî è òðàíçèòèâíî.
32. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå ðåêóðñèâíîå ìíîæåñòâî m-ñâîäèìî ê
ëþáîìó íåïóñòîìó ìíîæåñòâó ñ íåïóñòûì äîïîëíåíèåì.
33. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A m-ñâîäèìî ê ðåêóðñèâíîìó (ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîìó) ìíîæåñòâó, òî A ðåêóðñèâíî (ðåêóðñèâíî
ïåðå÷èñëèìî).
34. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî
K1 = {c (x, y) | x ∈ πy}
ÿâëÿåòñÿ m-óíèâåðñàëüíûì.
35. Äîêàçàòü, ÷òî êàæäîå m-óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî íå ðåêóðñèâíî.
36. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî
K = {x | x ∈ πx}
ÿâëÿåòñÿ êðåàòèâíûì.
37. Äîêàçàòü, ÷òî êàæäîå êðåàòèâíîå ìíîæåñòâî íå ðåêóðñèâíî.
38. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A êðåàòèâíîå ìíîæåñòâî, A ≤m B è B
ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî, òî B êðåàòèâíî.
39*. Äîêàçàòü, ÷òî êàæäîå êðåàòèâíîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ
m-óíèâåðñàëüíûì.
40. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî m-óíèâåðñàëüíî òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà îíî êðåàòèâíî.
#"
×ÀÑÒÜ III. ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
41*. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî
K2 = {x | πx ≠ ∅}
ÿâëÿåòñÿ êðåàòèâíûì.
42. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ σ (x) òàêàÿ, ÷òî ìàøèíà Òüþðèíãà ñ íîìåðîì σ (x) âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ êx.
43. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî H èç çàäà÷è 43 èç § 3 ÿâëÿåòñÿ
êðåàòèâíûì.
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
×àñòü I. ÒÅÎÐÈß ÌÍÎÆÅÑÒÂ
§ 1. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè
3. Ìíîæåñòâî {∅} èìååò îäèí ýëåìåíò ∅, à ìíîæåñòâî ∅ íå
èìååò ýëåìåíòîâ.
7. Íåò. Ïóñòü x ∈ A ∩ B; òîãäà x ∉ C. Òàêèì îáðàçîì, x ∈ (A ∩ B ) \C.
11. Äîêàæåì, íàïðèìåð, (å).
Ïóñòü x ∈ A ∩ (B ∪ C ). Òîãäà x ∈ A è x ∈ B ∪ C. Åñëè x ∈ B, òî
x ∈ A ∩ B, à çíà÷èò, x ∈ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ). Åñëè x ∈ C, òî èìååì
x ∈ A ∩ C, à çíà÷èò, x ∈ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ). Èòàê, A ∩ (B ∪ C ) ⊆
⊆ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ).
Ïóñòü x ∈ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ). Åñëè x ∈ A ∩ B, òî x ∈ A è x ∈ B. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x ∈ A è x ∈ B ∪ C, ò.å. x ∈ A ∩ (B ∪ C ). Åñëè
x ∈ A ∩ C, òî x ∈ A è x ∈ C. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x ∈ A è x ∈ B ∪ C,
ò.å. x ∈ A ∩ (B ∪ C ). Èòàê, (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) ⊆ A ∩ (B ∪ C ).
12. Äîêàæåì, íàïðèìåð, (à).
Ïóñòü x ∈ −(A ∩ B ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî x ∈ U è x ∉ A ∩ B. Îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî x ∉ A èëè x ∉ B. Åñëè x ∉ A, òî x ∈ −A, à çíà÷èò,
x ∈ (−A ) ∪ (−B ). Åñëè x ∉ B, òî x ∈ −B, à çíà÷èò, x ∈ (−A ) ∪ (−B ).
Èòàê, −(A ∩ B ) ⊆ (−A ) ∪ (−B ).
Ïóñòü x ∈ (−A ) ∪ (−B ). Åñëè x ∈ −A, òî x ∈ U è x ∉ A, à çíà÷èò,
x ∉ A ∩ B. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x ∈ −(A ∩ B ). Åñëè x ∈ −B, òî x ∈ U è
x ∉ B, à çíà÷èò, x ∉ A ∩ B. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x ∈ −(A ∩ B ). Èòàê,
(−A ) ∪ (−B ) ⊆ −(A ∩ B ).
13. (â) Ïóñòü A ∩ B ⊆ C è x ∈ A. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ: x ∈ B
èëè x ∈ −B. Åñëè x ∈ B, òî x ∈ A ∩ B ⊆ C, ò.å. x ∈ (−B ) ∪ C. Åñëè
x ∈ −B, òî x ∈ (−B ) ∪ C.
Ïóñòü A ⊆ (−B ) ∪ C è x ∈ A ∩ B. Òîãäà x ∈ A è x ∈ B. Çíà÷èò,
x ∈ C.
(ä) Ïóñòü (A\B ) ∪ B = A è x ∈ B. Òîãäà ÿñíî, ÷òî x ∈ A.
156
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
Ïóñòü B ⊆ A. Òîãäà (A\B ) ∪ B = (A ∩ (−B )) ∪ B = (A ∪ B ) ∩
∩ ((−B ) ∪ B ) = A.
(å) Ïóñòü (A ∩ B ) ∪ C = A ∩ (B ∪ C ). Òîãäà C ⊆ A ∩ (B ∪ C ), à çíà÷èò, C ⊆ A.
Ïóñòü C ⊆ A. Òîãäà (A ∩ B ) ∪ C = (A ∪ C ) ∩ (B ∪ C ) = A ∩ (B ∪ C ).
14. Äîêàæåì, íàïðèìåð, (â).
Ïóñòü x ∈ A ∩ (B − æ C ). Òîãäà x ∈ A è x ∈ B − æ C. Îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî åñëè x ∈ B, òî x ∉ C, çíà÷èò, x ∈ A ∩ B, íî x ∉ A ∩ C. Åñëè
x ∈ C, òî x ∉ B. Çíà÷èò, x ∈ A ∩ C, íî x ∉ A ∩ B. Òàêèì îáðàçîì,
x ∈ (A ∩ B ) −æ (A ∩ C ). Èòàê, A ∩ (B − æ C ) ⊆ (A ∩ B ) −æ (A ∩ C ).
Ïóñòü x ∈ (A ∩ B ) −æ (A ∩ C ). Åñëè x ∈ A ∩ B è x ∉ A ∩C, òî x ∈ A,
x ∈ B, x ∉ C. Çíà÷èò, x ∈ A ∩ (B − æ C ). Åñëè x ∈ A ∩ C è x ∉ A ∩ B, òî
x ∈ A, x ∈ C, x ∉ B. Çíà÷èò, x ∈ A ∩ (B − æ C ). Èòàê, (A ∩ B ) − (A ∩ C ) ⊆
⊆ A ∩ (B − æ C ).
15. Äîêàæåì, íàïðèìåð, (à).
Ïóñòü x ∈ (A 1 ∪ ... ∪ A n ) − æ (B 1 ∪ ... ∪ B n ). Åñëè ñóùåñòâóåò i
(1 ≤ i ≤ n) òàêîå, ÷òî x ∈ Ai, òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ j = 1, ..., n èìååì
x ∉ Bj. Òîãäà x ∈ Ai − æ Bi, à çíà÷èò x ∈ (A1 − æ B1) ∪ ... ∪ (An − æ Bn). Åñëè
ñóùåñòâóåò i (1 ≤ i ≤ n) òàêîå, ÷òî x ∈ Bi, òî äëÿ âñåõ j = 1, ..., n
èìååì x ∉ Aj. Òîãäà x ∈ Ai − æ Bi, à çíà÷èò x ∈ (A1 − æ B1) ∪ ... ∪ (An −æ Bn).
16. (â) Ïóñòü A − æ B = C. Òîãäà B − æ C = B − æ (A − æ B ) = B − æ (B − æ A ) = A
(ñì. çàäà÷ó 14 (à), (ã)).
17. (à) A ∪ B = A − æ B − æ (A ∩ B ), A \B = A − æ (A ∩ B );
(á) A ∩ B = (A ∪ B ) −æ A − æ B, A \B = (A ∪ B ) −æ B;
(â) A ∩ B = A \(A \B ), A ∪ B = (A − æ B ) −æ [A \ (A \B )].
18. (à) Èç A è B ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé ∩ è ∪ ìîãóò ïîëó÷èòüñÿ
ëèøü ìíîæåñòâà A, B, A ∪ B è A ∩ B, êîòîðûå âñå îòëè÷àþòñÿ îò
A \B, íàïðèìåð, ïðè A = B ≠ ∅.
(á) Ïóñòü ìíîæåñòâî C ïîëó÷àåòñÿ èç A è B ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé ∩ è \. ×èñëî ïðèìåíåíèé îïåðàöèé ∩ è \ äëÿ ïîëó÷åíèÿ C èç
A è B íàçîâåì âûñîòîé ìíîæåñòâà C. Èíäóêöèåé ïî âûñîòå ìíîæåñòâà C äîêàæåì, ÷òî C ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì èëè A, èëè B.
Åñëè âûñîòà C ðàâíà 0, òî C = A èëè C = B è óòâåðæäåíèå
äîêàçàíî.
Ïóñòü C èìååò âûñîòó n + 1, à äëÿ âñåõ ìíîæåñòâ ìåíüøåé
âûñîòû óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Òîãäà C = D ∩ E èëè C = D \E äëÿ
íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ D è E, âûñîòà êîòîðûõ ìåíüøå n + 1. Â îáîèõ
ñëó÷àÿõ C ⊆ D, à ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ D ïîäìíîæåñòâî A èëè B. Òàêîâî æå è C. Èòàê, èç A è B ñ ïîìîùüþ îïåðà-
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 1)
157
öèé ∩ è \ ìîãóò ïîëó÷èòüñÿ ëèøü ïîäìíîæåñòâà A èëè B. Íî A ∪ B
íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì A èëè B.
19. Íåîáõîäèìûå ñâîéñòâà îïåðàöèé − æ è ∩ íàõîäÿòñÿ â çàäà÷àõ
11 (á), (ã), 14 (à), (á), (â), (æ), (ç) è 16 (â). Âû÷èòàíèåì â ðàññìàòðèâàåìîì êîëüöå ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèÿ − ,æ ÷òî ñëåäóåò èç çàäà÷è 16 (â).
21. (à) Ïóñòü A = {a1, ..., an} è B ⊆ A. Äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà ai
èìåþòñÿ äâå âîçìîæíîñòè: ai ∈ B èëè ai ∉ B. Âñåõ ïîäìíîæåñòâ A
èìååòñÿ 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 = 2n. (á) Cnk.
22. (à) Ïóñòü C ∈ P (A ∩ B ), ò.å. C ⊆ A ∩ B. Òîãäà C ⊆ A è C ⊆B, à
çíà÷èò, C ∈ P (A ) è C ∈ P (B ). Èòàê, P (A ∩ B ) ⊆ P (A ) ∩ P (B ).
Ïóñòü C ∈ P (A ) ∩ P (B ). Òîãäà C ∈ P (A ) è C ∈ P (B ), ò.å. C ⊆ A
è C ⊆ B, à çíà÷èò, C ⊆ A ∩ B. Òàêèì îáðàçîì, C ∈ P (A ∩ B ). Èòàê,
P (A ) ∩ P (B ) ⊆ P (A ∩ B ).
(â) Ïóñòü C ∈ P (A ∪ B ). Òîãäà C ⊆ A ∪ B. Ïîëîæèì A1 = C ∩ A è
B1 = C ∩ B. Òîãäà C = A1 ∪ B1 è A1 ⊆ A, B1 ⊆ B.
Åñëè A 1 ∈ P (A ) è B 1 ∈ P (B ), òî A 1 ⊆ A è B 1 ⊆ B. Òîãäà
A1 ∪ B1 ⊆ A ∪ B, ò.å. A1 ∪ B1 ⊆ P (A ∪ B ).
23. Åñëè {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}, òî âòîðîå ìíîæåñòâî äîëæíî
ñîäåðæàòü ýëåìåíò {a}, ò.å. {a} = {c} èëè {a} = {c, d}.  îáîèõ ñëó÷àÿõ
a = c. Òåïåðü îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî èç {a, b} = {a, d} ñëåäóåò b = d.
Åñëè a = b, òî a = d è, çíà÷èò, b = d. Åñëè a ≠ b, òî a ≠ d, çíà÷èò,
b = d. Îáðàòíîå î÷åâèäíî.
24. (à) Íåâåðíî. Íàïðèìåð, A = ∅, B = {∅}, C = {{∅}}.
(á) Íåâåðíî. Òîò æå ïðèìåð, ÷òî è â (à).
(â) Âåðíî. Äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü x ∈ A ∩ C; òîãäà, òàê
êàê A ∪ C ⊆ B, òî x ∈ B. Íî x ∈ A ∩ B, à çíà÷èò, x ∈ −C. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî x ∈ C.
(ã) Íåâåðíî. Íàïðèìåð, âîçüìåì A = C ≠ B.
(ä) Íåâåðíî. Íàïðèìåð âîçüìåì òðè ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ íåïóñòûõ ìíîæåñòâà.
26. Ïóñòü, íàïðèìåð, Ai = {∅}, An + 1 = An ∪ {An}.
27. X = (C \A ) ∪ B. Â ñàìîì äåëå, B ⊆ X ⊆ (−A ) ∪ B (èç ïåðâîãî
óðàâíåíèÿ ïî çàäà÷àì 13 (á), (â)) è C ∩ (−A ) ⊆ X ⊆ C (èç âòîðîãî
óðàâíåíèÿ ïî çàäà÷àì 13 (à), (ã)). Îòñþäà
B ∪ (C ∩ (−A )) ⊆ X ⊆ ((−A ) ∪ B ) ∩ C = ((−A ) ∩ C ) ∪ (B ∩ C ) =
= ((−A ) ∩ C ) ∪ B.
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî X = (C \A ) ∪ B óäîâëåòâîðÿåò äàííîé ñèñòåìå.
158
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
28. X = (A \B ) ∪ C.
29. (à) Ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
Bi ⊆ Ai è Bi ⊆ (−Aj) ∪ Bj äëÿ âñåõ i, j ∈ I. Ïðè ýòîì óñëîâèè ðåøåíèåì ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ëþáîå X òàêîå, ÷òî
⊆ 1 (( − Ai ) ∪ Bi) (ñì. çàäà÷ó 13 (à), (á), (â)).
7 Bi ∩ (−Ai) ⊆ X ⊆
i ∈I
i ∈I
(á) Ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Ai ⊆ Bi
è Bi ∩ (−Ai) ⊆ Bj äëÿ âñåõ i, j ∈ I. Ïðè ýòîì óñëîâèè ðåøåíèåì ñèñ-
òåìû ÿâëÿåòñÿ ëþáîå X òàêîå, ÷òî 7 Bi ∩ (−Ai) ⊆ X ⊆ 1 B i (ñì. çàäà÷ó 13 (à), (á), (ã)).
i ∈I
i ∈I
30. X = C \B.
31. (á) Èñïîëüçîâàòü òîæäåñòâà çàäà÷ 11 è 12.
(ã) Èñïîëüçóÿ (à), çàìåíèòü êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèåì, â ïðàâîé ÷àñòè êîòîðîãî ñòîèò ∅. Ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó
A1 = ∅, ..., An = ∅ çàìåíèòü îäíèì óðàâíåíèåì A1 ∪ ... ∪ An = ∅.
Èñïîëüçóÿ (á), ïðèâåñòè ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ê âèäó
(A ∩ X ) ∪ (B ∩ (−X )) = ∅. Çàìåíèòü ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ñèñòåìîé
⎧ A 1 X = ∅,
⎨
⎩B 1 (− X ) = ∅.
Èñïîëüçóÿ (â), çàïèñàòü óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ è
íàéòè ðåøåíèå.
32. (à) X = A ïðè óñëîâèè C ⊆ A ⊆ B.
(á) X = A ïðè óñëîâèè C ⊆ A ⊆ B.
(â) B ∪ C ⊆ X ⊆ −A ïðè óñëîâèè B ∪ C ⊆ −A.
34. Ïóñòü I áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà N ,
A = 1 X i è B = 1 X i.
i ∈I
i∈N
Åñëè x ∈ A, òî x ∈ Xi äëÿ âñåõ i ∈ N .  ÷àñòíîñòè, x ∈ Xi äëÿ âñåõ
i ∈ I, ò.å. x ∈ B. Èòàê, A ⊆ B.
Åñëè x ∈ B, òî x ∈ Xi äëÿ âñåõ i ∈ I. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå
j ∈ N . Òàê êàê ìíîæåñòâî I áåñêîíå÷íî, òî íàéäåòñÿ i ∈ I òàêîå,
÷òî j < i. Òîãäà x ∈ Xi ⊆ Xj. Òàêèì îáðàçîì, x ∈ Xj äëÿ âñåõ j ∈ N .
Èòàê, B ⊆ A.
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 1)
159
35. Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äàííîìó â ðåøåíèè çàäà÷è 34.
⎛
⎞
36. (â) Ïóñòü x ∈ − ⎜ 7 Ak ⎟ . Òîãäà x ∈ U è x ∉ 7 Ak , ò.å. x ∉ Ak
k ∈K
⎝ k ∈K
⎠
äëÿ âñåõ k ∈ K. Çíà÷èò, x ∈ −Ak äëÿ âñåõ k ∈ K, ò.å. x ∈ 1 ( − A k ).
k∈K
⎛
⎞
Èòàê, − ⎜ 7 Ak ⎟ ⊆ 1 (− Ak ).
⎝ k ∈K
⎠ k ∈K
Ïóñòü x ∈ 1 ( − Ak ). Òîãäà x ∈ −Ak äëÿ âñåõ k ∈ K. Çíà÷èò, x ∈ U è
k ∈K
⎛
⎞
x ∉ Ak äëÿ âñåõ k ∈ K. Èìååì x ∉ 7 Ak è, çíà÷èò, x ∈ − ⎜ 7 Ak ⎟ .
k ∈K
⎝ k ∈K
⎠
⎛
Èòàê,
⎞
1 (− Ak ) ⊆ − ⎜ 7 Ak ⎟.
⎝ k ∈K
⎠
(å) Ïóñòü x ∈ 7 (B 1 Ak ). Òîãäà ñóùåñòâóåò k ∈ K òàêîå, ÷òî
k ∈K
k ∈K
x ∈ B ∩ A k , ò.å. x ∈ B è x ∈ A k . Èìååì x ∈
x ∈ B ∩ 7 Ak . Èòàê, 7 (B 1 Ak ) ⊆ B ∩ 7 Ak .
k ∈K
k ∈K
7 Ak , è, çíà÷èò,
k ∈K
k ∈K
Ïóñòü x ∈ B ∩ 7 Ak . Òîãäà x ∈ B è x ∈ 7 Ak , ò.å. ñóùåñòâóåò k ∈ K
k ∈K
k ∈K
òàêîå, ÷òî x ∈ Ak. Èìååì x ∈ B ∩ Ak, à, çíà÷èò, x ∈ 7 (B 1 Ak ) . Èòàê,
k ∈K
B ∩ 7 Ak ⊆ 7 (B 1 Ak ) .
k ∈K
k ∈K
37. (à) Åñëè x ∈ 7 1 Akt , òî ñóùåñòâóåò k0 ∈ K òàêîå, ÷òî x ∈ 1 Ak0t.
k ∈K t ∈T
t ∈T
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî x ∈ Ak0t äëÿ ëþáîãî t ∈ T. Çíà÷èò, x ∈ 7 Akt äëÿ
k ∈K
ëþáîãî t ∈ T. Èòàê, x ∈ 1 7 Akt .
t ∈T k ∈K
(á) Ïóñòü, íàïðèìåð, A kt = ∅, åñëè k ≠ t, è A kk = N . Òîãäà
7 1 Akt = ∅, íî 1 7 Akt = N.
k ∈N t ∈N
t ∈N k ∈N
39. (à) ßñíî, ÷òî Ai ⊆ 7 At äëÿ âñåõ i ∈ T. Òåïåðü ïóñòü ìíîæåñòâî B
t ∈T
òàêîâî, ÷òî Ai ⊆ B äëÿ âñåõ i ∈ T. Òîãäà 7 At ⊆ B (ñì. çàäà÷ó 38 (à)).
t ∈T
160
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
(á) ßñíî, ÷òî 1 At ⊆ Ai äëÿ âñåõ i ∈ T. Òåïåðü ïóñòü ìíîæåñòâî
t ∈T
B òàêîâî, ÷òî B ⊆ Ai äëÿ âñåõ i ∈ T. Òîãäà B ⊆ 1 At (ñì. çàäà÷ó 38 (á)).
40. Ïóñòü x ∈
1
n∈N \{0}
t ∈T
A n. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå k, ÷òî x ∉ Bk.
Ïóñòü k0 íàèìåíüøåå òàêîå k. ßñíî, ÷òî k0 > 0, òàê êàê x ∈ B0.
Òîãäà x ∈ Bk0 − 1\Bk0.
41. Ïîëîæèì B0 = A0, Bn + 1 = An + 1\(A0 ∪ ... ∪ An).
§ 2. Îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè
5. Ïóñòü x ∈ (A × B ) ∪ (C × D ). Òîãäà x = ⟨y, z⟩ è y ∈ A, z ∈ B èëè
y ∈ C, z ∈ D. Îòñþäà y ∈ A ∪ C, z ∈ B ∪ D è x = ⟨y, z⟩ ∈ (A ∪ C ) ×
× (B ∪ D). Èòàê, (A × B ) ∪ (C × D) ⊆ (A ∪ C ) × (B ∪ D). Óñëîâèå «(C ⊆ A
è D ⊆ B ) èëè (A ⊆ C è B ⊆ D)» ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü ðàâåíñòâî.
6. Äîêàæåì, íàïðèìåð, (à).
Ïóñòü x ∈ (A ∪ B ) × C. Òîãäà x = ⟨y, z⟩, ãäå y ∈ A ∪ B, z ∈ C. Îòñþäà y ∈ A èëè y ∈ B. Çíà÷èò, ⟨y, z⟩ ∈ A × C èëè ⟨y, z⟩ ∈ B × C. Èòàê,
(A ∪ B ) × C ⊆ (A × C ) ∪ (B × C ).
Ïóñòü x ∈ (A × C ) ∪ (B × C ). Òîãäà x ∈ A × C èëè x ∈ B × C. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî x = ⟨y, z⟩ è â ïåðâîì ñëó÷àå y ∈ A, z ∈ C, à âî âòîðîì ñëó÷àå y ∈ B, z ∈ C. Çíà÷èò, y ∈ A ∪ B, à x = ⟨y, z⟩ ∈ (A ∪ B ) × C.
Èòàê, (A × C ) ∪ (B × C ) ⊆ (A ∪ B ) × C.
7. Ïóñòü a ∈ A, b ∈ B. Òîãäà ⟨a, b⟩ ∈ A × B, à çíà÷èò, ⟨a, b⟩ ∈ C × D,
ò.å. a ∈ C, b ∈ D. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ⟨b, a⟩ ∈ B × A, à çíà÷èò
⟨b, a⟩ ∈ C × D, ò.å. b ∈ C, a ∈ D. Òîãäà ⟨a, a⟩ ∈ C × D, à çíà÷èò, a ∈ B.
Àíàëîãè÷íî, ⟨b, b⟩ ∈ C × D, à çíà÷èò, b ∈ A. Èòàê, A = B. Òîãäà èìååì
A × B = C × D, è ïî çàäà÷å 3 (á) A = C, B = D.
8. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî 0 äåëèò 0.
(à) δR = ρR = N , òàê êàê ⟨x, x⟩ ∈ R. R −1 = {⟨x, y⟩ | x, y ∈ N è y äåëèò x}.
R ⋅ R = R; R ⋅ R −1 = N 2, òàê êàê ⟨x, y⟩ ∈ R ⋅ R −1 ⇔ ñóùåñòâóåò z
òàêîå, ÷òî x äåëèò z è y äåëèò z. Íî òàêîå z ëåãêî íàõîäèòñÿ ïî
ëþáûì x è y. Íàäî âçÿòü, íàïðèìåð, z = x ⋅ y. R −1 ⋅ R = N 2, òàê êàê
⟨x, y⟩ ∈ R −1 ⋅ R ⇔ ñóùåñòâóåò z òàêîå, ÷òî z äåëèò x è z äåëèò y.
Íàäî âçÿòü z = 1 äëÿ ëþáûõ x, y.
(á) Äåëàåòñÿ àíàëîãè÷íî (à).
(â) δR = ρR = D, R −1 = R, R ⋅ R = R ⋅ R −1 = R −1 ⋅ R = D2.
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 2)
161
(ã) δR = ρR = D, R = {⟨x, y⟩ | x, y ∈ D è 2y ≥ 3x}, R ⋅ R = {⟨x, y⟩ | x, y ∈ D
è 4x ≥ 9y}, R ⋅ R −1 = R −1 ⋅ R = D2.
−1
⎡ π π⎤
(ä) δR = ⎢ − , ⎥ ,
⎣ 2 2⎦
π⎤
⎡
ρR = ⎢ −1, ⎥ ,
2⎦
⎣
⎧
⎫
⎡ π π⎤
R −1 = ⎨⟨ x, y ⟩ | x, y ∈ ⎢ − , ⎥ è x ≥ sin y ⎬ ,
2
2
⎣
⎦
⎩
⎭
R ⋅ R = {⟨x, y⟩ | sin sin x ≤ y},
2
⎡ π π⎤
R ⋅ R −1 = ⎢ − , ⎥ ,
⎣ 2 2⎦
⎧
π ⎤⎫
⎡
R −1 ⋅ R = ⎨⟨ x, y ⟩ | x, y ∈ ⎢ −1, ⎥ ⎬ .
2 ⎦⎭
⎣
⎩
9. (â) x ∈ δR1 ⋅ R2 ⇔ ñóùåñòâóåò y òàêîå, ÷òî ⟨x, y⟩ ∈ R1 ⋅ R2 ⇔ ñóùåñòâóþò y è z òàêèå, ÷òî ⟨x, z⟩ ∈ R1 è ⟨z, y⟩ ∈ R2 ⇔ ñóùåñòâóåò z
òàêîå, ÷òî ⟨x, z⟩ ∈ R1 è z ∈ δR2 ⇔ ñóùåñòâóåò z òàêîå, ÷òî ⟨z, x⟩ ∈ R1−1,
z ∈ ρR1 è z ∈ δR2 ⇔ x ∈ R1−1(ρR1 ∩ δR2).
(ã) x ∈ ρR1 ⋅ R2 ⇔ ñóùåñòâóåò y òàêîå, ÷òî ⟨y, x⟩ ∈ R1 ⋅ R2 ⇔ ñóùåñòâóþò y è z òàêèå, ÷òî ⟨y, z⟩ ∈ R1 è ⟨z, x⟩ ∈ R2 ⇔ ñóùåñòâóåò z
òàêîå, ÷òî z ∈ ρR1 è ⟨z, x⟩ ∈ R2 ⇔ ñóùåñòâóåò z òàêîå, ÷òî z ∈ ρR1,
z ∈ δR2 è ⟨z, x⟩ ∈ R2 ⇔ x ∈ R2(ρR1 ∩ δR2).
11. Åñëè R = i A, òî äëÿ ëþáîãî îòíîøåíèÿ R 1 íà A èìååì ⟨x, y⟩ ∈ R ⋅ R1 ⇔ ñóùåñòâóåò z òàêîå, ÷òî ⟨x, z⟩ ∈ R è ⟨z, y⟩ ∈ R1,
íî ⟨x, z⟩ ∈ R òîëüêî ïðè x = z. Òàêèì îáðàçîì, R ⋅ R1 = R1. Àíàëîãè÷íî, R 1 ⋅ R = R1 . Îáðàòíî, ïîëîæèì R 1 = i A. Òîãäà, òàê êàê
R ⋅ R1 = R1, òî R = iA.
12. (â) ⟨x, y⟩ ∈ (R1 ∪ R2)−1 ⇔ ⟨y, x⟩ ∈ R1 ∪ R2 ⇔ ⟨y, x⟩ ∈ R1 èëè
⟨y, x⟩ ∈ R2 ⇔ ⟨x, y⟩ ∈ R1−1 èëè ⟨x, y⟩ ∈ R2−1 ⇔ ⟨x, y⟩ ∈ R1−1 ∪ R2−1.
(ä) Ïóñòü R áèíàðíîå îòíîøåíèå ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâ A è B. Òîãäà
⟨x, y⟩ ∈ −R −1 ⇔ ⟨x, y⟩ ∈ (B × A )\R −1 ⇔ x ∈ B, y ∈ A è ⟨x, y⟩ ∉ R −1 ⇔
⇔ x ∈ B, y ∈ A è ⟨y, x⟩ ∉ R ⇔ ⟨y, x⟩ ∈ (A × B)\R ⇔ ⟨y, x⟩ ∈ −R ⇔
⇔ ⟨x, y⟩ ∈ (−R )−1.
13. Åñëè A ≠ ∅ è B ≠ ∅, òî òàêèõ îòíîøåíèé R íå ñóùåñòâóåò.
Ïóñòü x ∈ A ∩ B. Òîãäà ⟨x, x⟩ ∈ R ⇔ ⟨x, x⟩ ∈ R −1 ⇔ ⟨x, x⟩ ∈ −R. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.
Ïóñòü A ∩ B = ∅. Òàê êàê R −1 ⊆ B × A, à −R ⊆ A × B, òî R −1 =
= −R = ∅. Îòñþäà R = ∅ è R = A × B. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.
14. (à) 2n ⋅ m.
162
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
m
(á) n .
(â) Åñëè n ≥ m, òî ýòî ÷èñëî ðàâíî Anm ÷èñëó ðàçìåùåíèé èç
n ýëåìåíòîâ ïî m; åñëè n < m, òî òàêèõ ôóíêöèé íå ñóùåñòâóåò.
(ã) Ïðè m = n.
15. (à) ⟨x, y⟩ ∈ R1 ⋅ (R2 ⋅ R3 ) ⇔ ñóùåñòâóåò z òàêîå, ÷òî ⟨x, z⟩ ∈ R1
è ⟨z, y⟩ ∈ R2 ⋅ R3 ⇔ ñóùåñòâóþò z, u òàêèå, ÷òî ⟨x, z⟩ ∈ R1, ⟨z, u⟩ ∈ R2
è ⟨u, y⟩ ∈ R3 ⇔ ñóùåñòâóåò u òàêîå, ÷òî ⟨x, u⟩ ∈ R1 ⋅ R2 è ⟨u, y⟩ ∈ R3 ⇔
⇔ ⟨x, y⟩ ∈ (R1 ⋅ R2 ) ⋅ R3.
(á) ⟨x, y⟩ ∈ (R1 ⋅ R2 )−1 ⇔ ⟨y, x⟩ ∈ R1 ⋅ R2 ⇔ ñóùåñòâóåò z òàêîå,
÷òî ⟨y, z⟩ ∈ R1 è ⟨z, x⟩ ∈ R2 ⇔ ñóùåñòâóþò z òàêîå, ÷òî ⟨x, z⟩ ∈ R2−1
è ⟨z, y⟩ ∈ R1−1 ⇔ ⟨x, y⟩ ∈ R2−1 ⋅ R1−1.
⎛
⎞
(â) ⟨x, y⟩ ∈ ⎜ 7 R i ⎟ ⋅ Q ⇔ ñóùåñòâóåò z òàêîå, ÷òî ⟨x, z⟩ ∈ 7 R i
i ∈I
⎝ i∈I
⎠
è ⟨ z , y⟩ ∈ Q ⇔ ñóùåñòâóþò z è i ∈ I òàêèå, ÷òî ⟨x, z ⟩ ∈ R i è
⟨z, y⟩ ∈ Q ⇔ ñóùåñòâóåò i ∈ I òàêîå, ÷òî ⟨x, y⟩ ∈ Ri ⋅ Q ⇔ 7 (R i ⋅ Q ).
i ∈I
(ã) Äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî (â).
⎛
⎞
16. (à) ⟨x, y⟩ ∈ Q ⋅ ⎜ 1 R i ⎟ ⇔ ñóùåñòâóåò z òàêîå, ÷òî ⟨x, z⟩ ∈ Q
⎝ i ∈I
⎠
è ⟨z, y⟩ ∈ 1 R i ⇔ ñóùåñòâóþò z òàêîå, ÷òî ⟨x, z⟩ ∈ Q è ⟨z, y⟩ ∈ Ri
i ∈I
äëÿ âñåõ i ∈ I ⇔ ⟨x, y⟩ ∈ Q ⋅ Ri äëÿ âñåõ i ∈ I ⇔ ⟨x, y⟩ ∈ 1 (Q ⋅ R i ).
i ∈I
(á) Äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî (à).
(â) Íàïðèìåð, äëÿ (à): R1 = {⟨1, 1⟩}, R2 = {⟨0, 1⟩}, Q = {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩}.
17. Íåò.
19. (à) Ïóñòü b ∈ B. Òîãäà B A ñîäåðæèò ôóíêöèþ f : A → B, îïðåäåëåííóþ òàê: f (x) = b äëÿ âñåõ x ∈ A.
20. Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ⟨a1, ..., an⟩ ýëåìåíòó èç An ôóíêöèþ f : I → A, îïðåäåëåííóþ òàê: f (i) = ai.
23. (à) f åñòü 1−1-ôóíêöèÿ.
(á) f ∩ (δf × (ρf ∩ δf)) è g ∩ ((ρf ∩ δg) × ρg) ÿâëÿþòñÿ 1−1-ôóíêöèÿìè.
24. Ïóñòü ôóíêöèè f1: A → A1 è f2: B → B1 îñóùåñòâëÿþò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó A è A1 è ìåæäó B è B1 ñîîòâåòñòâåííî.
(à) Ôóíêöèÿ F : A × B → A1 × B1, îïðåäåëåííàÿ òàê: F (⟨a, b⟩) =
= ⟨f1 (a), f2 (b)⟩, îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå
ìåæäó A × B è A1 × B1.
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 2)
B
163
−1
(á) Ïóñòü h ∈ A ; F (h) = f2 ⋅ h ⋅ f1 îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó AB è A1B1.
27. Ñì. çàäà÷è 26 è 28.
29. Åñëè R âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó A è B,
òî ðåçóëüòàò ñëåäóåò èç çàäà÷è 28.
Îáðàòíî, δR = A, òàê êàê R ⋅ R −1 = iA; ρR = B, òàê êàê R −1 ⋅ R = iB.
Åñëè ⟨x, y⟩ ∈ R è ⟨x, z⟩ ∈ R, òî ⟨y, z⟩ ∈ R −1 ⋅ R, à çíà÷èò, y = z. Åñëè
⟨y, x⟩ ∈ R è ⟨z, x⟩ ∈ R, òî ⟨y, z⟩ ∈ R ⋅ R −1, à çíà÷èò, y = z.
32. Óñëîâèÿ, êîãäà âêëþ÷åíèÿ çàìåíÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè, ïðèâåäåíû â çàäà÷å 33.
33. Ïóñòü f íå ÿâëÿåòñÿ 1−1-ôóíêöèåé. Òîãäà ñóùåñòâóþò a, b ∈ δf
òàêèå, ÷òî a ≠ b è f (a) = f (b). Ïîëîæèì A = {a}, B = {b}. Îáðàòíîå
î÷åâèäíî.
34. Åñëè x ∈ f (A )\ f (B ), òî ñóùåñòâóåò y ∈ A òàêîå, ÷òî f (y) = x
è y ∉ B. Òàêèì îáðàçîì, x ∈ f (A \B ).
35. Åñëè x ∈ f (A \B ), òî ñóùåñòâóåò y ∈ A è y ∈ −B òàêîå, ÷òî
f (y) = x. Òàêèì îáðàçîì, x ∈ f (A ). ßñíî, ÷òî x ∉ f (B ), òàê êàê f
åñòü 1−1-ôóíêöèÿ.
38. Äîêàæåì, íàïðèìåð, (à).
Ïóñòü x ∈ f −1 (A ∪ B ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî f (x) ∈ A ∪ B. Åñëè
x ∈ A, òî x ∈ f −1 (A ). Åñëè f (x) ∈ B, òî x ∈ f −1 ( B ). Èòàê,
f −1 (A ∪ B ) ⊆ f −1 (A ) ∪ f −1 (B ).
Ïóñòü x ∈ f −1 (A ) ∪ f −1 (B ). Åñëè x ∈ f −1 (A ), òî f (x) ∈ A ⊆ A ∪ B,
ò.å. x ∈ f −1 (A ∪ B ). Åñëè x ∈ f −1 (B ), òî f (x) ∈ B ⊆ A ∪ B. Èòàê,
f −1 (A ) ∪ f −1 (B ) ⊆ f −1 (A ∪ B ).
42.  ïåðâîì ñëó÷àå äîëæíî áûòü ρf = B. Âî âòîðîì ñëó÷àå f äîëæíà
áûòü 1−1-ôóíêöèåé.
46. (à) Ïóñòü x ∈ 7 1 A i j . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò i0 ∈ I
i ∈I j ∈J
òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ j ∈ J èìååì x ∈ Ai0 j. Ïóñòü f ôóíêöèÿ èç JI.
Òîãäà x ∈ Ai0 f (i0) è x ∈ 7 A i f (i ). Ïîýòîìó x ∈
i ∈I
1 7 A i f (i ) .
f ∈J I i∈I
Îáðàòíî, ïóñòü x ∉ 7 1 A i j . Òîãäà äëÿ ëþáîãî i ∈ I ñóùåñòâóåò
i ∈I j ∈J
ji ∈ J òàêîå, ÷òî x ∉ Ai ji. Ïîëîæèì f0(i) = ji. Òîãäà èìååì x ∉ 7 A i f0 (i ).
Ïîýòîìó x ∉ 1 7 Ai f (i ).
f ∈J I i ∈I
i ∈I
164
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
(á) Ìîæíî èñïîëüçîâàòü (à) èç çàäà÷è 36 (â), (ã) èç § 1.
47. Ïî îïðåäåëåíèþ.
48. (á) Ïóñòü f ∈ 7 ∏ B i j . Òîãäà ñóùåñòâóåò i0 ∈ I òàêîå, ÷òî
i ∈I j ∈I
f ∈ ∏ Bi0 j . Îòñþäà f ( j) ∈ Bi0 j äëÿ ëþáîãî j ∈ I. Ïîýòîìó f ∈ ∏ X j ,
j ∈I
j ∈I
íî f (i0) ∉ Ai0. Çíà÷èò, f ∉ ∏ Ai .
i ∈I
Îáðàòíî, ïóñòü f ∈ ∏ X i \ ∏ Ai . Òîãäà f (i) ∈ Xi äëÿ âñåõ i è ñói ∈I
i ∈I
ùåñòâóåò i0 ⊆ I òàêîå, ÷òî f (i0) ∉ Ai0 . Òîãäà f (i0) ∈ Bi0i0 è f ( j) ∈ Bi0 j
ïðè j ≠ i0. Ïîýòîìó f ∈ ∏ Bi0 j è f ∈ 7 ∏ B i j .
j ∈I
i ∈I j ∈I
⎛
⎞
⎜⎜ 7 A t ⎟⎟
t ∈T
⎝
⎠ →
49. (á) Îòîáðàæåíèå ϕ: B
∏B
At
îñóùåñòâëÿåò òðåáóå-
t ∈T
ìîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå:
(ϕ( f ))(t ) = f 1 ( At × B ) äëÿ
⎛
⎞
⎜⎜ 7 A t ⎟⎟
t ∈T
⎝
⎠
f ∈B
è t ∈T .
A
⎛
⎞
(â) îòîáðàæåíèå ϕ: ⎜ ∏ B t ⎟ → ∏ BtA îñóùåñòâëÿåò òðåáóåt ∈T
⎝ t ∈T
⎠
ìîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå:
⎛
⎞
(ϕ( f ))(t ) = f 1 ( A × B t ) äëÿ f ∈ ⎜ ∏ B t ⎟
⎝ t ∈T
⎠
A
è t ∈T .
50. Ïóñòü at ∈ At. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ f : T → 7 At ñëåäóþùèì
t ∈T
îáðàçîì: f (t) = at.
⎛
⎞ ⎛
⎞
51. Îòîáðàæåíèå ϕ: ∏ A t → ⎜ ∏ A t1 ⎟ × ⎜ ∏ A t 2 ⎟ îñóùåñòâëÿåò
⎜ t ∈T
⎟ ⎜ t ∈T
⎟
t ∈T
⎝1 1
⎠ ⎝2 2
⎠
òðåáóåìîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå:
⎛
⎛
⎞
⎛
⎞⎞
ϕ( f ) = ⎜ f 1 ⎜T1 × 7 A t1 ⎟ , f 1 ⎜T2 × 7 A t2 ⎟ ⎟ .
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎜
t1∈T1
t 2 ∈T2
⎝
⎠
⎝
⎠⎠
⎝
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 3)
165
§ 3. Ñïåöèàëüíûå áèíàðíûå îòíîøåíèÿ
1. R ðåôëåêñèâíîå îòíîøåíèå íà A ⇔ iA ⊆ R.
2. R èððåôëåêñèâíîå îòíîøåíèå íà A ⇔ R ∩ iA = ∅. Íàïðèìåð, ïóñòü R1 = {⟨x, y⟩ | x, y ∈ N , x < y}, R2 = R1−1. Òîãäà R1 ⋅ R2 ðåôëåêñèâíî.
3. R ñèììåòðè÷íî ⇔ R = R −1.
4. R1 ⋅ R2 ñèììåòðè÷íî ⇒ R1 ⋅ R2 = (R1 ⋅ R2)−1 = R2−1 ⋅ R1−1 = R2 ⋅ R1,
R1 ⋅ R2 = R2 ⋅ R1 ⇒ (R1 ⋅ R2)−1 = (R2 ⋅ R1)−1 = R1−1 ⋅ R2−1 = R1 ⋅ R2.
5. (à) R àíòèñèììåòðè÷íî ⇔ R ∩ R −1 ⊆ iA.
(á) (R 1 ∪ R 2 ) ∩ (R 1 ∪ R 2 ) −1 = (R 1 ∪ R 2 ) ∩ (R 1−1 ∪ R 2−1); R 1−1 ∩ R 2 =
= (R1 ∩ R2−1)−1.
6. (à) Íàïðèìåð, {⟨x, y⟩ | x, y ∈ D, | x − y | ≤ 1};
(á) {⟨x, y⟩ | x, y ∈ , x ≤ y ≤ x2};
(â) {⟨x, y⟩ | x, y ∈ D, x ≤ y};
(ã) {⟨x, y⟩ | x, y ∈ D, x = y = 0}.
z
7. (à) Íàïðèìåð, {⟨x, y⟩ | x, y ∈ D, x, y > 0};
(á) x ∈ A ⇒ ⟨x, y⟩ ∈ R èëè ⟨y, x⟩ ∈ R äëÿ íåêîòîðîãî y ⇒ ⟨x, y⟩ ∈ R
è ⟨y, x⟩ ∈ R ⇒ ⟨x, x⟩ ∈ R.
8. R ⊆ iA.
9. Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 8.
11. (à) Äà. (á) Íåò.
14. R −1 = R.
15. R ýêâèâàëåíòíîñòü ⇒ R −1 = R, R ⋅ R ⊆ R, iA ⊆ R. Îáðàòíî,
R ⋅ R −1 ñèììåòðè÷íî äëÿ ëþáîãî R. Ïîýòîìó R ñèììåòðè÷íî è
R ⋅ R = R ⋅ R−1 ⊆ R.
16. (à) R1 = R1 ⋅ R1.
(á) A2 = (A2)−1 = (R1 ⋅ R2)−1 = R2−1 ⋅ R1−1 = R2 ⋅ R1.
17. Ðàçáèåíèþ {Ai}i ∈ I ñîïîñòàâëÿåì ýêâèâàëåíòíîñòü:
R = {⟨x, y⟩ | ñóùåñòâóåò i ∈ I òàêîå, ÷òî x, y ∈ Ai}.
18. Åñëè R ýêâèâàëåíòíîñòü, òî P = A /R (ñì. çàäà÷ó 13).
19. Ïîëàãàåì f1 ([x]Q) = f (x). Î÷åâèäíî,
[x]Q = [y]Q ⇔ f (x) = f (y).
Ïîýòîìó f1 åñòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó A /Q è
f (A ), à (ε ⋅ f1)(x) = f1(ε(x)) = f1([x]Q) = f (x).
166
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
21. R1 ∪ R2 ýêâèâàëåíòíîñòü ⇒ R1 ⋅ R2 ⊆ (R1 ∪ R2) ⋅ (R1 ∪ R2) ⊆
⊆ R1 ∪ R2, R1 ∪ R2 = (R1 ⋅ iA) ∪ (iA ⋅ R2) ⊆ R1 ⋅ R2.
Îáðàòíî, ïóñòü R 1 ∪ R 2 = R 1 ⋅ R 2 . Òîãäà R 2 ⋅ R 1 = R 2 −1 ⋅ R 1−1 =
= (R1 ⋅ R 2 ) −1 = (R1 ∪ R2 ) −1 = R 1 ∪ R 2, (R 1 ∪ R 2) ⋅ (R1 ∪ R2 ) = (R 1 ⋅ R1) ∪
∪ (R2 ⋅ R1) ∪ (R1 ⋅ R2) ∪ (R2 ⋅ R2) ⊆ R1 ∪ R2, ò.å. R1 ∪ R2 òðàíçèòèâíî.
Ñèììåòðè÷íîñòü è ðåôëåêñèâíîñòü R1 ∪ R2 î÷åâèäíû.
22. R1 ∪ R2 ýêâèâàëåíòíîñòü ⇒ R1 ⋅ R2 = (R1 ⋅ R2)−1 = R2−1 ⋅ R1−1 =
= R2 ∪ R1. Ïóñòü R1 ⋅ R2 = R2 ⋅ R1. Òîãäà (R1 ⋅ R2)−1 = (R2 ⋅ R1)−1 = R1−1 ⋅ R2−1 =
= R1 ⋅ R2, ò.å. R1 ⋅ R2 ñèììåòðè÷íî; (R1 ⋅ R2) ⋅ (R1 ⋅ R2) = R1 ⋅ (R2 ⋅ R1) ⋅ R2 =
= R1 ⋅ (R1 ⋅ R2) ⋅ R2 = (R1 ⋅ R1) ⋅ (R2 ⋅ R2) ⊆ R1 ⋅ R2, ò.å. R1 ⋅ R2 òðàíçèòèâíî; ðåôëåêñèâíîñòü î÷åâèäíà.
23. R1 ⋅ R2 åñòü ýêâèâàëåíòíîñòü (ñì. çàäà÷ó 22). Î÷åâèäíî,
R1 ∪ R2 ⊆ R1 ⋅ R2. Ïóñòü òåïåðü R1 ⋅ R2 ⊆ Q äëÿ íåêîòîðîãî îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè Q. Òîãäà R 1 ⋅ R 2 ⊆ (R 1 ∪ R 2 ) ⋅ (R 1 ∪ R 2 ) ⊆
⊆ Q ⋅ Q ⊆ Q.
24. Q åñòü îáúåäèíåíèå âñåâîçìîæíûõ ïðîèçâåäåíèé âèäà
Ri1 ⋅ Ri2 ⋅ ... ⋅ Rik
(k ≥ 1, i1, ..., ik ∈ I ).
25. Ïóñòü A ñîñòîèò èç n + 1 ýëåìåíòîâ, a ∈ A è ìíîæåñòâî
B ⊆ A \{a} ñîäåðæèò i ýëåìåíòîâ. ×èñëî ýêâèâàëåíòíîñòåé R íà A
òàêèõ, ÷òî [a]R = B ∪ {a}, ðàâíî pn − 1.
30. (à), (á) ñëåäóþò èç àíòèñèììåòðè÷íîñòè ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà.
(â) R = {⟨x, y⟩ | x, y ∈ D, x = y = 0 èëè x ≠ 0, y ≠ 0, x < y} åñòü ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà D.
33. R ïðåäïîðÿäîê ⇒ R = R ⋅ iA ⊆ R ⋅ R.
38. Íàïðèìåð, A åñòü N ñ ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì èç çàäà÷è 29,
A1 åñòü N ñ îáû÷íûì ïîðÿäêîì ≤ , f (x) = x. Äëÿ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ ñì. çàäà÷ó 8 èç § 5.
39. h (x) = {y | y ≤ x} äëÿ x ∈ A åñòü òðåáóåìûé èçîìîðôèçì.
40. Òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà R1 = R2. Åñëè R1 ≠ R2, òî ñóùåñòâóåò ïàðà ⟨x, y⟩ òàêàÿ, ÷òî ⟨x, y⟩ ∈ R1, ⟨x, y⟩ ∉ R2 èëè ⟨x, y⟩ ∉ R1,
⟨x, y⟩ ∈ R2.  ïåðâîì ñëó÷àå ⟨x, y⟩ ∈ R1 ⊆ R1 ⋅ R2, ⟨y, x⟩ ∈ R2 ⊆ R1 ⋅ R2,
x ≠ y. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ âòîðîé ñëó÷àé. Åñëè æå R1 = R2,
òî R1 ⋅ R2 = R1 (ñì. çàäà÷ó 33).
41. (á)  ïðîòèâíîì ñëó÷àå A ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî {a, a1, a2, ...} òàêîå, ÷òî a > a1 > a2 > ... èëè a < a1 < a2 < ...
42. (à) Íàïðèìåð, ⟨m, n⟩ ≤ ⟨m1, n1⟩ ⇔ m < m1 èëè (m = m1 è n ≤ n1).
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 3)
167
(á) ⟨m1, ..., mk⟩ ≤ ⟨n1, ..., nl⟩ ⇔ (ñóùåñòâóåò i (1 ≤ i ≤ min (k, l))
òàêîå, ÷òî m1 = n1, ..., mi − 1 = ni − 1, mi < ni) èëè (k ≤ l è m1 = n1, ..., mk = nk).
(â) a + bi ≤ a1 + b1i ⇔ a < a1 èëè a = a1, b ≤ b1.
44. Ïóñòü R1 ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå B1 âñåõ ìèíèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A (ñì. çàäà÷è 41,
43), R2 ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå B2 âñåõ ìèíèìàëüíûõ
ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A \B1 è ò.ä. Äëÿ x, y ∈ A ïîëàãàåì
x ≤ y ⇔ (x ∈ Bi, y ∈ Bj, i < j) èëè ñóùåñòâóåò i òàêîå,
÷òî x, y ∈ Bi è ⟨x, y⟩ ∈ Ri.
45. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî m. Ïðè m = 1 âñå ýëåìåíòû A ïîïàðíî íåñðàâíèìû è ÷èñëî ýëåìåíòîâ â A íå ïðåâîñõîäèò n.
Ïóñòü m > 1, B ìíîæåñòâî ìèíèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ èç A. Åñëè
C ïðîèçâîëüíàÿ öåïü â ìíîæåñòâå A \B, òî C èìååò íàèìåíüøèé ýëåìåíò a (ñì. çàäà÷ó 41 (à)) è ñóùåñòâóåò a0 ∈ B òàêîé, ÷òî a0 ≤ a (ñì. çàäà÷ó 41 (á)). Ïîýòîìó C ∪ {a0} åñòü öåïü â A,
a0 ∉ C è, ñëåäîâàòåëüíî, C ñîäåðæèò íå áîëåå m − 1 ýëåìåíòîâ.
Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè (A \B ) ñîäåðæèò íå áîëåå (m − 1) ⋅ n
ýëåìåíòîâ, à ìíîæåñòâî A = (A \B ) ∪ B íå áîëåå (m − 1) n + n = mn
ýëåìåíòîâ.
47. h([a, b]) = ⟨b, a⟩ åñòü òðåáóåìûé èçîìîðôèçì.
48. (à) Âñå äâóõýëåìåíòíûå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà èçîìîðôíû ìåæäó ñîáîé è ñàìîäâîéñòâåííû. Ìíîæåñòâà èç
äâóõ íåñðàâíèìûõ ýëåìåíòîâ òàêæå ñàìîäâîéñòâåííû è èçîìîðôíû ìåæäó ñîáîé.
(á) Ëþáîå òðåõýëåìåíòíîå ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî óäîâëåòâîðÿåò â òî÷íîñòè îäíîìó èç ñëåäóþùèõ ïÿòè óñëîâèé:
(1) èìåþòñÿ íàèáîëüøèé è íàèìåíüøèé ýëåìåíòû, ò.å. ïîðÿäîê ëèíåéíûé;
(2) íåò íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà, åñòü íàèìåíüøèé;
(3) íåò íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà, åñòü íàèáîëüøèé;
(4) äâà ýëåìåíòà ñðàâíèìû, òðåòèé íåñðàâíèì ñ îñòàëüíûìè;
(5) âñå òðè ýëåìåíòà ïîïàðíî íåñðàâíèìû.
×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå òðåõýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà èçîìîðôíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó è
òîìó æå èç óñëîâèé (1)(5). ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà
ñàìîäâîéñòâåííû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè óäîâëåòâîðÿþò
îäíîìó èç óñëîâèé (1), (4), (5).
168
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
49. (1) ⇒ (2). Áåñêîíå÷íàÿ ñòðîãî óáûâàþùàÿ öåïü x1 > x2 >
> ... > xn > ... íå ñîäåðæèò ìèíèìàëüíîãî ýëåìåíòà.
(2) ⇒ (3). Ïóñòü ñóùåñòâóåò ñâîéñòâî T ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A
òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a ∈ A èç ñïðàâåäëèâîñòè T äëÿ
âñåõ ýëåìåíòîâ, ñòðîãî ìåíüøèõ a, âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü T
äëÿ a, è ýëåìåíò b ∈ A íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì T. Òîãäà ñóùåñòâóåò
b1 ∈ A, b1 < b, òàêîé, ÷òî b1 íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì T, è ò.ä. Ïîëó÷àåì áåñêîíå÷íóþ öåïü b > b1 > ... > bn > ...
(3) ⇒ (1). Ïóñòü M ⊆ A è T åñòü ñâîéñòâî: a ∉ M èëè ñóùåñòâóåò
ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò m â ìíîæåñòâå M. Äîïóñòèì, ÷òî a ∈ A è
âñå ýëåìåíòû, ñòðîãî ìåíüøèå a, îáëàäàþò ñâîéñòâîì T. Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: (à) ñóùåñòâóåò ýëåìåíò b ∈ M òàêîé, ÷òî b < a,
(á) íå ñóùåñòâóåò òàêîãî b.  ñëó÷àå (à), òàê êàê b îáëàäàåò ñâîéñòâîì T, ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà M.  ñëó÷àå (á) a ∉ M èëè a ∈ M è a åñòü ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà M. Ïîýòîìó a îáëàäàåò ñâîéñòâîì T. Èç óñëîâèÿ (3) ñëåäóåò,
÷òî âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A îáëàäàþò ñâîéñòâîì T. Ïóñòü òåïåðü M ≠ ∅, a ∈ M. Òîãäà M èìååò ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò.
50. Åñëè âñå öåïè ìíîæåñòâà âïîëíå óïîðÿäî÷åíû, òî îíî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ îáðûâà óáûâàþùèõ öåïåé, è, ñëåäîâàòåëüíî,
óñëîâèþ ìèíèìàëüíîñòè (ñì. çàäà÷ó 49). Îáðàòíîå î÷åâèäíî.
51. Åñëè A îáëàäàåò óêàçàííûì ñâîéñòâîì, òî äëÿ ëþáîãî íåìèíèìàëüíîãî ýëåìåíòà a ∈ A ñóùåñòâóåò òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü
u (a) ìíîæåñòâà {x | x ∈ A, x < a} è äëÿ ëþáîãî íåìàêñèìàëüíîãî
a ∈ A ñóùåñòâóåò òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü v (a) ìíîæåñòâà {x | x ∈ A,
x > a}. Åñëè a < b, òî
b = v (v ... (v (a)) ...) (n ðàç), a = u (u ... (u (b)) ...) (n ðàç)
äëÿ íåêîòîðîãî n. Âîçìîæíû ÷åòûðå ñëó÷àÿ.
(à) A èìååò íàèìåíüøèé è íàèáîëüøèé ýëåìåíòû. Òîãäà A
êîíå÷íî.
(á) A èìååò íàèìåíüøèé ýëåìåíò a0 è íå èìååò íàèáîëüøåãî.
Òîãäà ëþáîé ýëåìåíò a ∈ A ïðåäñòàâèì â âèäå v (v ... (v (a0)) ...);
(n ðàç) äëÿ íåêîòîðîãî n è A èçîìîðôíî ìíîæåñòâó íàòóðàëüíûõ
÷èñåë ñ èõ îáû÷íûì ïîðÿäêîì.
(â) A èìååò íàèáîëüøèé ýëåìåíò a0 è íå èìååò íàèìåíüøåãî.
Òîãäà A èçîìîðôíî ìíîæåñòâó îòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë.
(ã) A íå èìååò íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî ýëåìåíòîâ. Òîãäà A
èçîìîðôíî ìíîæåñòâó âñåõ öåëûõ ÷èñåë.
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 3)
169
52. Âñå êîíå÷íûå ìíîæåñòâà è òîëüêî îíè (ñì. çàäà÷ó 32 è çàäà÷ó 42 èç § 5).
53. (à) Ïðîâåðèì òðàíçèòèâíîñòü ≤ :
ϕ(x, y) = x, ϕ(y, z) = y ⇒
⇒ ϕ(x, z) = ϕ(ϕ(x, y), z) = ϕ(x, ϕ(y, z)) = ϕ(x, y) = x.
Ðåôëåêñèâíîñòü è àíòèñèììåòðè÷íîñòü î÷åâèäíû.
(á) ϕ(ϕ(x, y), x) = ϕ(x, ϕ(x, y)) = ϕ(ϕ(x, x), y) = ϕ(x, y). Àíàëîãè÷íî,
ϕ(ϕ(x, y), y) = ϕ(x, y); ϕ(z, x) = z; ϕ(z, y) = z ⇒
⇒ ϕ(z, ϕ(x, y)) = ϕ(ϕ(z, x), y) = ϕ(z, y) = z.
55. (á) Ñì. çàäà÷è 20 è 24.
56. Ïóñòü a, b ìàêñèìàëüíûå ýëåìåíòû ðåøåòêè M. Òîãäà
a ∪ b ∈ M, a ∪ b ≥ a, a ∪ b ≥ b. Îòñþäà a ∪ b = a = b.
57. Åñëè M = {a1, ..., ak}, òî a1 ∪ ... ∪ ak åñòü íàèáîëüøèé ýëåìåíò â M.
58. (à) Ñåìåéñòâî êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ íàòóðàëüíîãî ðÿäà.
(á) Ñåìåéñòâî ïîäìíîæåñòâ íàòóðàëüíîãî ðÿäà ñ êîíå÷íûìè
äîïîëíåíèÿìè.
(â) Ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë.
60. (à) x ∪ y = y ⇒ x ∩ = x ∩ (x ∪ y) = x; îáðàòíîå àíàëîãè÷íî.
(á) x ≤ x, òàê êàê x ∪ x = x ∪ (x ∩ (x ∪ y)) = x;
x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = x ∪ y = (x ∩ y) ∪ y = y;
x ≤ y, y ≤ z ⇒ x = x ∩ y = x ∩ (y ∩ z) =(x ∩ y) ∩ z = x ∩ z;
z ≤ x, z ≤ y ⇒ z = z ∩ y = (z ∩ x) ∩ y = z ∩ (x ∩ y);
x ≤ z, y ≤ z ⇒ z = z ∪ y = (z ∪ x) ∪ y = z ∪ (x ∪ y).
61. Èñïîëüçîâàòü, êðîìå îïðåäåëåíèÿ, òîæäåñòâà èç çàäà÷è 59.
(à) 0 = x ∩ (−x), 1 = x ∪ (−x) äëÿ ëþáîãî x ∈ M.
(á) Ïóñòü b1, b2 äîïîëíåíèÿ ýëåìåíòà a ∈ M. Èìååì
b2 = (a ∩ b1) ∪ b2 = (a ∪ b2) ∩ (b1 ∪ b2) = b1 ∪ b2.
Àíàëîãè÷íî b1 = b1 ∪ b2 = b2.
(ã) a ∩ b ∩ [(−a) ∪ (−b)] = [a ∩ b ∩ (−a)] ∪ [a ∩ b ∩ (−b)] = 0;
(a ∩ b) ∪ [(−a) ∪ (−b)] = [a ∪ (−a) ∪ (−b)] ∩ [b ∪ (−a) ∪ (−b)] = 1.
(å) a ≤ b ⇒ b = a ∪ b ⇒ −b = −(a ∪ b) = (−a) ∩ (−b) ⇒
⇒ a ∩ (−b) = a ∩ (−a) ∩ (−b) = 0;
a ∩ (−b) = 0 ⇒ b = b ∪ [a ∩ (−b)] = (b ∪ a) ∩ [b ∪ (−b)] = b ∪ a ⇒ a ≤ b.
65. Ïóñòü A1 = D ∪ {x}, A2 = D ∪ {y}. Òîãäà x ∩ u ≠ 0 äëÿ ëþáîãî
u ∈ D èëè y ∩ v ≠ 0 äëÿ ëþáîãî v ∈ D; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå äëÿ
170
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
íåêîòîðûõ u, v ∈ D èìååì (x ∪ y) ∩ (u ∩ v) = 0 è 0 ∈ D. Ïîýòîìó A1
èëè A2 ìîæíî ðàñøèðèòü äî ôèëüòðà (ñì. çàäà÷ó 64).
66. (à) ⇒ (á) ñëåäóåò èç çàäà÷è 65.
67. Ïóñòü D äàííûé ôèëüòð. Òîãäà ñåìåéñòâî S = {D1 | D1 åñòü
ôèëüòð íà M, D1 ⊇ D} óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû Öîðíà (ñì.
çàäà÷è 66 è 68 èç § 5) è ïîýòîìó èìååò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò.
68. Èìååì a ∩ (−b) ≠ 0 (ñì. çàäà÷ó 61 (å)). Èç çàäà÷ 64 è 67 âûòåêàåò òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
69. h (a) ∩ h (b) = h (a ∩ b), h (a) ∪ h (b) = h(a ∪ b), −h (a) = h (−a).
Ïîýòîìó S çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ∩, ∪ è −.
70. Îòîáðàæåíèå h, îïðåäåëåííîå â çàäà÷å 69, ìîíîòîííî è
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ h (x) ≤ h (y) ⇒ x ≤ y âñëåäñòâèå óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è 68. Ïîýòîìó h åñòü èçîìîðôèçì ìåæäó M è h (M ).
71. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 57.
72. Îòîáðàæåíèå h, îïðåäåëåííîå â çàäà÷å 69, åñòü èçîìîðôèçì ìåæäó áóëåâîé àëãåáðîé M è h (M ). Ïîêàæåì, ÷òî
h (M ) = P (P ). Ìíîæåñòâî P êîíå÷íî. Ïóñòü A = {D1, ..., Dk} ⊆ P,
a1, ..., ak íàèìåíüøèå ýëåìåíòû ôèëüòðîâ D1, ..., Dk ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà A = h (a1 ∪ ... ∪ ak): åñëè D ∈ h (a1 ∪ ... ∪ ak), òî ai ∈ D äëÿ
íåêîòîðîãî i è D = Di â ñèëó ìàêñèìàëüíîñòè Di, ïîýòîìó D ∈ A;
îáðàòíîå âêëþ÷åíèå î÷åâèäíî.
§ 4. Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà
2. (â) Ïóñòü f ôóíêöèÿ èç A íà B. Òîãäà ëþáàÿ ôóíêöèÿ g:
B → A òàêàÿ, ÷òî g (b) ∈ f −1 ({b}) äëÿ b ∈ B, åñòü 1−1-ôóíêöèÿ.
3. Ïóñòü f îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó
A è A2. Ïîëîæèì B0 = A, B1 = A1, Bn + 2 = f (Bn) (n = 0, 1, ...). Òîãäà
B0 ⊇ B1 ⊇ B2 ⊇ ...,
A = 7 (B i \Bi +1 ) 7 7 B i =
i ∈N
i ∈N
= 7 (B 2i \B2i +1 ) 7 7 (B 2i +1 \B 2i + 2 ) 7 1 B i ;
i∈N
i∈N
i∈N
A=
7
i∈N \{0}
(B i \Bi +1 ) 7 1 B i =
i∈N
= 7 (B 2i + 2 \B2i +3 ) 7 7 (B 2i +1 \B 2i + 2 ) 7 1 B i .
i∈N
i∈N
i∈N
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 4)
171
Èìååì f (B2i \B2i + 1) = B2i + 2 \B2i + 3, ò.å. (B2i \B2i + 1) ∼ (B2i + 2 \B2i + 3).
Òàê êàê âñå ìíîæåñòâà Bi \Bi + 1 (i = 0, 1, ...) è 1 Bi ïîïàðíî íå
i∈N
ïåðåñåêàþòñÿ, òî A ∼ A1 (ñì. çàäà÷ó 24 (â) èç § 2).
4. Èìååì f (A ) ⊆ B, g (B ) ⊆ A, ãäå f : A → B è g : B →A ÿâëÿþòñÿ 1−1-ôóíêöèÿìè. Òîãäà f (g (B )) ⊆ f (A ) ⊆ B è f (A ) ∼ B (ñì. çàäà÷ó 3).
6. (à) Ïóñòü f (A ) ⊂ A, ãäå f åñòü 1−1-ôóíêöèÿ, a ∈ A \f (a). Ïîëîæèì a0 = a, ai + 1 = f (ai) ïðè i ≥ 0. Òîãäà ai + 1 ∈ f (... (f (A )) ...) (i ðàç),
íî ai + 1 ∉ f (f (... (f (A )) ...)) (i + 1 ðàç), ïîýòîìó ai ≠ aj ïðè i ≠ j. Çíà÷èò, A ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî {a0, a1, ...}.
7. Ïóñòü A áåñêîíå÷íî, a0 ∈ A. Òîãäà A \{a0} òàêæå áåñêîíå÷íî
(ñì. çàäà÷ó 5 (á)) è ñóùåñòâóåò a1 ∈ A \{a0}. Äàëåå, A \{a0, a1} áåñêîíå÷íî è ñóùåñòâóåò a2 ∈ A \{a0, a1} è ò.ä. Ïîëîæèì f (0) = a0,
f (1) = a1, f (2) = a2, ... Òîãäà f îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå
ñîîòâåòñòâèå ìåæäó N è A1 = {a0, a1, a2, ...} ⊆ A.
8. Ïóñòü A áåñêîíå÷íî, B = {b0, b1, ...} ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî
A. Òîãäà A = B ∪ (A \B) ∼ (B \{b0}) ∪ (A \B) = A \{b0}.
9. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü óòâåðæäåíèå äëÿ N . Ïóñòü I ⊆ N è I
áåñêîíå÷íî. Ïîñòðîèì f : N → I. Âîçüìåì â êà÷åñòâå f (0) íàèìåíüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà I, â êà÷åñòâå f (n + 1) íàèìåíüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà I \{ f (0), ..., f (n)}. Òîãäà f îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî
îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó N è I.
10. (à) Ñëåäóåò èç çàäà÷ 2 (â) è 9.
(á) Åñëè A = {a0, a1, ..., an} (n ≥ 0), òî ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ f îòîáðàæàåò N íà A:
f (i) = ai äëÿ 0 ≤ i ≤ n, f (i) = a0 äëÿ i > n.
11. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 5 (á) è 9.
12. (à) Ïóñòü A = f (N ), B = g (N ) äëÿ 1−1-ôóíêöèé f: N → A è
g: N → B. Ïîëîæèì h (2k) = f (k), h (2k + 1) = g (k) ïðè k = 0, 1, ... Òîãäà
h îòîáðàæàåò N íà A ∪ B. Òàê êàê A ∪ B áåñêîíå÷íî, òî A ∪ B ñ÷åòíî (ñì. çàäà÷ó 10 (á)).
(á) Ïóñòü A i = {a i1, ..., a in i} (i = 0, 1, 2, ...). Ïîëàãàåì f (a ij) =
= n0 + ... + ni − 1 + j − 1 äëÿ i ∈ N , j ≤ ni. Òîãäà f åñòü 1−1-ôóíêöèÿ èç
7 Ai íà N.
i∈N
(â) Ïóñòü A 0 = {a 00 , a 01 , a 02 , ...}, A 1 = { a 10 , a 11 , a 12 , . . . } ,
A 2 = {a 20 , a 21 , a 22 , ...}. Ïîëîæèì B 0 = {a 00 }, B 1 = {a 01 , a 10 }, ...,
172
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
Bn = {a0n, a1(n − 1), ..., an0}. Òîãäà
U Ai = U B i íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî
i∈N
i∈N
(ñì. çàäà÷ó (á)). Òîãäà U A i ≥ A 0 = ℵ0 .
i∈N
13. (à) Ïóñòü A1 ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî A. Òîãäà A1 ∪ B ∼ A1
(ñì. çàäà÷è 11 è 12 (à)). Ïîýòîìó A ∪ B = (A \A 1) ∪ (A 1 ∪ B) ∼
∼ (A \A1) ∪ A1 = A.
(á) Ñëåäóåò èç (à), òàê êàê A = (A \B ) ∪ B è (A \B ) áåñêîíå÷íî.
14. Ïóñòü A 1 = {a 0 , a 1 , ...}, A 2 = {b 0 , b 1 , ...}. Òîãäà A 1 × A 2 =
=
U ( Ai × {bi }) , A1 × {bi} ∼ A1. Ïîýòîìó A1 × A2 ñ÷åòíî (ñì. çàäà÷ó
i∈N
12 (â)).
15. (à) Ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ f åñòü 1−1-ôóíêöèÿ èç
z íà N :
f (0) = 0, f (k) = 2k, f (−k) = 2k − 1 (k = 1, 2, ...).
(á) Ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ f îòîáðàæàåò
f (⟨ x , y ⟩ ) =
Ïîýòîìó Q ≤
x
y
z íà Q:
2
ïðè y ≠ 0, f (⟨ x , y ⟩) = 0 .
z (ñì. çàäà÷ó 2 (â)). Îòñþäà N ≤ Q ≤ z ≤ N (ñì.
2
2
çàäà÷è 15 (à) è 14) è Q ≤ N (ñì. çàäà÷ó 4).
(â) Ïóñòü a1, b1 ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà òàêèå, ÷òî a < a1 < b1 < b,
a + f (n)
, f (n + 1) = 1
åñòü 1−1-ôóíêöèÿ èç N â [a, b].
2
2
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, [a, b] ∩ Q ⊂ Q.
(ã) Ñëåäóåò èç (á) è çàäà÷è 14.
f (0) =
a 1 + b1
16. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 12 (â) è 14, òàê êàê ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé åñòü îáúåäèíåíèå ïî n ∈ N ìíîæåñòâ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ôèêñèðîâàííîé äëèíû n.
17. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 16.
18. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 16, òàê êàê ìíîãî÷ëåí a1xn1 + a2xn2 + ...
... +ak xnk + ak + 1 ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê êîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà {x, +} ∪ N .
19. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 18, òàê êàê ìíîæåñòâî êîðíåé ëþáîãî
ìíîãî÷ëåíà êîíå÷íî.
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 4)
173
20.  èíòåðâàëå (a, b) ìîæíî íàéòè ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî c
(a < c < b). Ïîýòîìó äàííîå ìíîæåñòâî èíòåðâàëîâ ýêâèâàëåíòíî
ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà Q.
21. Ïîä áóêâîé Ò ïîíèìàåì ïàðó âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ
îòðåçêîâ òàêóþ, ÷òî îäèí èç íèõ ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíó äðóãîãî.  òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêîâ ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ðàäèóñîâ ìåíüøå ïîëîâèíû êàæäîãî îòðåçêà. Áóêâà Ò äåëèò êðóã íà
÷àñòè.  êàæäîé èç ýòèõ ÷àñòåé ñóùåñòâóåò òî÷êà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîîðäèíàòàìè. Ðàçëè÷íûì áóêâàì Ò ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå òðîéêè òî÷åê.
22. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 20. Ëþáîé òî÷êå x ∈ A ñîïîñòàâëÿåì èí-
δ
δ⎞
⎛
òåðâàë ⎜ x − , x + ⎟ .
2
2
⎝
⎠
23. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 20. Êàæäîé òî÷êå ðàçðûâà a ñîïîñòàâëÿåò
èíòåðâàë
( lim f (x ), lim f (x )) .
x →a − 0
x →a + 0
24. (à) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 13 (à).
(á) Äëÿ x ∈ [0, 1] ïîëàãàåì f (x) = a + (b − a)x. Òîãäà f îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó [0, 1] è [a, b].
(â) f (x) = tg x îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå
⎛ π π⎞
⎛ π π⎞
ìåæäó ⎜ − , ⎟ è D, [a, b] ∼ ⎜ − , ⎟ (ñì. (à) è (á)).
⎝ 2 2⎠
⎝ 2 2⎠
25. Âîçüìåì, íàïðèìåð, [0, 1] è [0, 1]2. Ïàðå äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë ⟨0, a0a1 ...; 0, b0b1 ...⟩, ãäå íè îäíî èç ýòèõ ÷èñåë íå èìååò 9 â
ïåðèîäå, ñîïîñòàâëÿåì ÷èñëî 0, a0b0a1b1 ... Äàëåå èñïîëüçóåì çàäà÷ó 4.
26. Ðàññìîòðèì äâå îêðóæíîñòè, íàïðèìåð, ñ öåíòðàìè â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñàìè r è R. Òî÷êå ⟨r cos ϕ, r sin ϕ⟩ ñîïîñòàâëÿåì òî÷êó ⟨R cos ϕ, R sin ϕ⟩.
27. D2 ∼ [a, b]2 ∼ [a, b] ∼ D (ñì. çàäà÷è 24 (à) èç § 2, 24 (â) è 25).
28. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 24 (â).
29. Ïóñòü f åñòü 1−1-ôóíêöèÿ èç N íà îòðåçîê [0, 1]. Ïóñòü f (n) = 0,
an0an1 ... ank ... Ñòðîèì äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî β ñëåäóþùèì îáðàçîì: β = 0, b0b1b2 ..., ãäå
⎧⎪1, åñëè a ii ≠ 1,
βi = ⎨
⎪⎩ 2, åñëè a ii = 1.
174
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
ßñíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî n èìååì f (n) ≠ β. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.
30. c, òàê êàê D = Q ∪ (D \Q) è Q ñ÷åòíî (ñì. çàäà÷è 15 (á) è
13 (á)).
31. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 19 è 13 (á).
32. [0, 1] ⊆ U [i , i + 1] ⊂ U [i , i + 1] ⊂ D .
i∈N
i∈N
33. Êàæäîìó x ∈ D ìîæíî ñîïîñòàâèòü ñ÷åòíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ñõîäÿùóþñÿ ê x; à òàê êàê Q ∼ N , òî
è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïîýòîìó D íå ïðåâîñõîäèò ìîùíîñòè ìíîæåñòâà S âñåõ òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Îáðàòíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a0, a1, a2, ... ñîïîñòàâëÿåì äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî
0, 0.......01
1
424
3 0.......01
1
424
3 0.......01...
1
424
3
a0 +1 ðàç
a1 +1 ðàç
a2 +1 ðàç
N
34. (à) Ñëåäóåò èç çàäà÷ 33 è 4, òàê êàê ìíîæåñòâî N ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ýêâèâàëåíòíî ïîäìíîæåñòâó
N
ìíîæåñòâà {0, 1} : ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
a0, a1, a2, ... ñîïîñòàâëÿåì
0, ......., 0 , 1, 0, ......., 0 , 1, ...
14243
14243
a0 ðàç
a1 ðàç
(á) Ñëåäóåò èç (à) è çàäà÷è 44 èç § 2.
35. (à) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 25.
(á) A i ∼ N
N I
N
äëÿ ëþáîãî i ∈ I (ñì. çàäà÷ó 33). Ïîýòîìó
∏ A i ∼ (N ) ∼ N
i∈I
÷ó 14).
N×I
∼N
N
N
(ñì. çàäà÷è 25 (ã) è 47 èç § 2 è çàäàN N
36. (à) c, òàê êàê D ∼ (N ) (ñì.äàëåå óêàçàíèå ê çàäà÷å 35 (á)).
(á) c, òàê êàê íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñ÷åòíûì ìíîæåñòâîì {⟨x, f (x)⟩ | x ∈ Q} (êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñ÷åòíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè).
(â) c, òàê êàê ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ
ñâîèìè çíà÷åíèÿìè íà ñ÷åòíîì ìíîæåñòâå òî÷åê: â òî÷êàõ ðàçðûâà (ñì. çàäà÷ó 23) è â ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ.
37. Ìîæíî. Ìíîæåñòâî B = {x − y | x, y ∈ A} ñ÷åòíî. Ëþáîå a ∈ D \B
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è.
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 5)
175
åñòü 1−1-ôóíêöèÿ èç [0, 1] íà
38. Äîïóñòèì, ϕ: [0, 1] → D
D[0, 1]. Ïîëîæèì f (x) = (ϕ(x))(x) + 1 äëÿ x ∈ [0, 1]. Òîãäà f ∈ D[0, 1] è
[0, 1]
f = ϕ (x 0 ) äëÿ íåêîòîðîãî x 0 ∈ [0, 1]. Îòñþäà (ϕ(x 0 ))(x 0 ) =
= f (x0) = (ϕ(x0))(x0) + 1. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.
40. Ïóñòü ϕ åñòü 1−1-ôóíêöèÿ èç A íà P (A). Ïîëîæèì B = {x | x ∈ A
è x ∉ ϕ(x)}. Òîãäà B = ϕ(x 0 ) äëÿ íåêîòîðîãî x 0 ∈ A. Èìååì
x0 ∈ B ⇒ x0 ∉ ϕ(x0) = B, x0 ∉ B ⇒ x0 ∉ ϕ(x0) ⇒ x0 ∈ B, ò.å. ïðîòèâîðå÷èå. Ïîýòîìó òàêîé ôóíêöèè ϕ íå ñóùåñòâóåò.
41. Ïóñòü U A ∼ C ⊆ A0 ∈ A äëÿ íåêîòîðûõ C è A0. Òîãäà ñóùåA∈A
ñòâóåò B ∈ A òàêîå, ÷òî B íå ýêâèâàëåíòíî íèêàêîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà A0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, B ⊆ U A . Ïîëó÷èëè ïðîòèA∈A
âîðå÷èå.
42. Ïóñòü A åñòü ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå âñå ìíîæåñòâà. Òîãäà
P (A) ⊆ A. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, P ( A ) > A (ñì. çàäà÷ó 40). Ïîëó÷èëè
ïðîòèâîðå÷èå.
43. (à) Ïîëîæèì, íàïðèìåð, bn = (an + 1) ⋅ 2n.
(á) Ïðåäïîëîæèì, ϕ åñòü 1−1-ôóíêöèÿ èç N íà A. Ïîëîæèì
bn = [(ϕ(0))n + ... + (ϕ(n))n + 1] ⋅ 2n.
Òîãäà äëÿ ëþáîãî i èìååì
n≥i⇒
Ïîýòîìó lim
n →∞
(ϕ(i ))n
(ϕ(i ))n
1
≤
≤ n .
bn
((ϕ(i ))n + 1) ⋅ 2n
2
(ϕ(i ))n
= 0 äëÿ ëþáîãî i ∈ N, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ.
bn
§ 5. Îðäèíàëüíûå ÷èñëà
4. Ïóñòü A = N , B =
z ñ îáû÷íûìè ïîðÿäêàìè. Òîãäà A = B , íî
A ≠ B.
5. Â ìíîæåñòâå èç n ýëåìåíòîâ ìîæíî âûáðàòü íàèìåíüøèé
ýëåìåíò n ñïîñîáàìè, ïîýòîìó ÷èñëî On ëèíåéíûõ ïîðÿäêîâ íà n
ýëåìåíòàõ ðàâíî n ⋅ On − 1.
6. Ïóñòü A = {a1 , ..., a n}, ãäå a 1 < ... < a n, B = {a 1, ..., a n}, ãäå
b1 < ... < bn. Ïîëîæèì f (ai) = bi. Òîãäà f èçîìîðôèçì ìåæäó A è B.
176
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
7. Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 4.
8. Ïóñòü f ìîíîòîííàÿ 1−1-ôóíêöèÿ èç A íà B. Òîãäà f −1
òàêæå ìîíîòîííîå îòîáðàæåíèå, òàê êàê èç (x, y ∈ A, íî íåâåðíî, ÷òî x ≠ y) ñëåäóåò, ÷òî y < x è f (y) < f (x), ò.å. íåâåðíî
f (x) ≤ f (y).
11. Ïóñòü A óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (à), (á), (â). Ïîëîæèì
f (0) = a0, f (n + 1) = (f (n))′, ãäå n = 0, 1, 2, ... Òîãäà ρf = A âñëåäñòâèå óñëîâèÿ (â). Åñëè n, m ∈ N è n < m, òî f (n) < (f (n))′ ≤ f (m)
âñëåäñòâèå óñëîâèÿ (á), ïîýòîìó f ìîíîòîííàÿ 1−1-ôóíêöèÿ
èç N íà A.
12. Ïóñòü A áåñêîíå÷íî è Aa êîíå÷íî äëÿ ëþáîãî a ∈ A. Ïîëîæèì f (a) = A . Òîãäà f åñòü èçîìîðôèçì A íà N .
13. Ïóñòü A = {a0, a1, a2, ...} óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (à) è (á),
Q = {q0, q1, q2, ...}. Ïîñòðîèì f: A → Q è g: Q → A. Ïîëîæèì f (a0) = q0,
g (q0) = a0. Ïóñòü f (a0), ..., f (an) è g (q0), ..., g (qn) óæå ïîñòðîåíû.
Åñëè a n + 1 = g (q i ) äëÿ íåêîòîðîãî i (0 ≤ i ≤ n), òî ïîëîæèì
f (an + 1) = qi. Åñëè an + 1 ∉ {g (q0), ..., g (qn)}, òî âîçüìåì â êà÷åñòâå
f (an + 1) ïåðâîå qi ∉ {f (a0), ..., f (an), q0, ..., qn}, ðàñïîëîæåííîå îòíîñèòåëüíî f (a0), ..., f (an), q0, ..., qn òàêæå, êàê an + 1 ðàñïîëîæåíî îòíîñèòåëüíî a0, ..., an, g (q0), ..., g (qn). Äàëåå, åñëè qn + 1 = f (ai)
äëÿ íåêîòîðîãî i (0 ≤ i ≤ n + 1), òî ïîëàãàåì g (qn + 1) = a i. Åñëè
qn + 1 ∉ {f (a0), ..., f (an + 1)}, òî âîçüìåì â êà÷åñòâå g (qn + 1) ïåðâîå
aj ∉ {a0 , ..., a n + 1, g (q0), ..., g (qn)}, ðàñïîëîæåííîå îòíîñèòåëüíî
ìíîæåñòâà {a0, ..., an + 1, g (q0), ..., g (qn)} òàê æå, êàê qn + 1 ðàñïîëîæåíî îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà {f (a0), ..., f (an + 1), q0, ..., qn}. Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî f åñòü èçîìîðôèçì A íà Q.
14. Ïóñòü A = {a0, a1, ...} ñ÷åòíîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå
ìíîæåñòâî. Ïîñòðîèì èçîìîðôèçì f èç A â Q. Ïîëàãàåì f (a0) = 0.
Äàëåå, ïóñòü f (a0), ..., f (an) ïîñòðîåíû. Åñëè ai0 < ai1 < ... < aik − 1 <
< an + 1 < aik + 1 < ... <ain (ãäå ij ≤ n, 1 ≤ k ≤ n −1), òî âûáèðàåì qn + 1 ∈ Q
òàêîå, ÷òî f (aik − 1) < qn + 1 < f (aik + 1). Åñëè an + 1 ìåíüøå âñåõ a1, ..., an,
òî âûáèðàåì qn + 1 ∈ Q òàêîå, ÷òî qn + 1 < f (a0), ..., qn +1 < f (an), à åñëè
an + 1 áîëüøå âñåõ a 1, ..., a n, òî âûáèðàåì qn + 1 ∈ Q òàêîå, ÷òî
qn + 1 > f (a0), ..., qn +1 > f (an). Ïîëàãàåì f (an + 1) = qn + 1.
15. (á) Ïóñòü a, b ∈ A, a < b. Âîçüìåì ìíîæåñòâî C ⊆ B âñåõ
òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ⟨x1, ..., xn, xn + 1, xn + 2, xn + 3⟩, (n ≥ 0) ÷òî
xi ∈ {a, b} äëÿ i = 1, ..., n, xn + 1 = xn + 3 = b, xn + 2 = a è íå ñóùåñòâóåò
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 5)
177
i ≤ n òàêîãî, ÷òî xi = xi + 2 = b, xi + 1 = a. Òîãäà C èìååò ïîðÿäêîâûé
òèï η (ñì. çàäà÷ó 13); óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç çàäà÷è 14.
16. Ñì. óêàçàíèÿ ê çàäà÷å 24 èç § 4.
17. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà A íå ñîäåðæèò íàèáîëüøåãî è
íàèìåíüøåãî ýëåìåíòîâ. Îñòàëüíûå ñëó÷àè ðàññìàòðèâàþòñÿ ïîäîáíûì îáðàçîì. Ïóñòü B ñ÷åòíîå ïëîòíîå â A ïîäìíîæåñòâî.
Ââèäó çàäà÷è 13 ñóùåñòâóåò èçîìîðôèçì h èç B íà Q. Âîçüìåì
a ∈ A. Ñóùåñòâóþò a1, a2 ∈ A òàêèå, ÷òî a1 < a < a2. Òîãäà ñóùåñòâóþò b0, b ∈ B òàêèå, ÷òî a1 < b0 < a < b < a2. Äàëåå ñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü b0, b1, b2, ... ýëåìåíòîâ èç B òàêóþ, ÷òî a1 < b0 < b1 < b2 < ... <
... < a < b . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü h (b0), h (b1), h (b2), ... ìîíîòîííà
è îãðàíè÷åíà ÷èñëîì h (b), ïîýòîìó îíà èìååò ïðåäåëîì äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî α. Ïîëîæèì f (a) = α. Òîãäà f åñòü èçîìîðôèçì
èç A â D.
20. (à) Ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè A è B ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå íåïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà, òî îòíîøåíèå ≤ , äàííîå â
îïðåäåëåíèè ñóììû ïîðÿäêîâûõ òèïîâ, ëèíåéíî óïîðÿäî÷èâàåò A ∪ B è A1 = A , B 1 = B , A1 ∩ B1 = ∅ ⇒ A1 + B1 = A + B . Àíàëîãè÷íî äëÿ A ⋅ B .
21. Ñì., íàïðèìåð, çàäà÷ó 22 (ã).
22. (ã) Ìíîæåñòâî, óïîðÿäî÷åííîå ïî òèïó ω + 1, èìååò íàèáîëüøèé ýëåìåíò â îòëè÷èå îò ìíîæåñòâà ïîðÿäêîâîãî òèïà ω.
(å) Ïóñòü A = {x | x ∈ Q è x <
2 }, B = {x | x ∈ Q è x >
2 }. Òîãäà
A = B = η è A + B = η.
(æ) Ïóñòü A = {x | x ∈ D è x < 0}, B = 0, C = {x | x ∈ D è x > 0}.
Òîãäà A = C = λ è A + B + C = η.
(ç) Ïóñòü A + B = λ. Òîãäà A A1 ⊆ D, B B1 ⊆ D, A1 ∪ B1 = D,
A1 ∩ B1 = ∅ è a < b äëÿ a ∈ A è b ∈ B. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò â A1 òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü a1 èëè â B1 òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü b1. Òîãäà
A1 = λ + 1 èëè B1 = 1 + λ ≠ λ.
23. Íàïðèìåð, α = 2, β = ω.
24. (ä) Ìíîæåñòâî ïîðÿäêîâîãî òèïà η2 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì çàäà÷è 13 (å).  ìíîæåñòâå A ïîðÿäêîâîãî òèïà ωη ïîðÿäêîâûé
òèï ìíîæåñòâà ýëåìåíòîâ, íå ÿâëÿþùèõñÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèìè çà êàêèìè-ëèáî ýëåìåíòàìè èç A, ðàâåí η. Äëÿ ìíîæåñòâà B ïîðÿäêîâîãî òèïà ω(η + 1) ïîðÿäêîâûé òèï àíàëîãè÷íîãî
ìíîæåñòâà ðàâåí η + 1.
178
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
26. (á) Íàïðèìåð, α = ω*, β = ω, γ = 2.
28. Ïóñòü A = α, B = β, {Ab | b ∈ B } ñåìåéñòâî ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ, óïîðÿäî÷åííûõ ïî òèïó α, ϕb èçîìîðôèçìû A íà Ab. Òîãäà ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ f åñòü èçîìîðôèçì
èç A × B íà
U Ab : f (⟨a, b⟩) = ϕb(a).
b∈B
31. (à) Íåò.
(á) Íåò.
(â) Íåò.
(ã) Äà.
34. Ïóñòü a ∈ A íå ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì A. Òîãäà
ìíîæåñòâî {x | x ∈ A, x > a} èìååò íàèìåíüøèé ýëåìåíò.
35. Íåëüçÿ, òàê êàê ýòà öåïü íå ñîäåðæèò íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà.
36. Ëþáîå íå âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ñîäåðæèò áåñêîíå÷íî óáûâàþùóþ öåïü.
37.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì f ( f (a)) < f (a), f ( f ( f (a))) < f ( f (a))
è ò.ä.
38. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 37.
39. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 9 (ã) è 38.
40. Ïóñòü f1 è f2 äâà èçîìîðôèçìà èç A íà B, f1 (a) < f2 (a) = b
äëÿ íåêîòîðîãî a ∈ A. Òîãäà f2−1 ⋅ f 1 åñòü èçîìîðôèçì B â B è
(f2−1 ⋅ f1)(b) < b. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå (ñì. çàäà÷ó 37).
41. Ïóñòü A è B âïîëíå óïîðÿäî÷åíû, S = {a | a ∈ A, Aa Ab äëÿ
íåêîòîðîãî b ∈ B }. Òîãäà S = A èëè S = Aa0 äëÿ íåêîòîðîãî a0 ∈ A,
S B èëè S Bb0 äëÿ íåêîòîðîãî b0 ∈ B. Åñëè S = A, S B èëè S = A,
S Bb0 èëè S = Aa0, S B, òî óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ñëó÷àé S = Aa0,
S = Bb0 íåâîçìîæåí, òàê êàê òîãäà Aa0 Bb0 è a0 ∈ S = Aa0.
42. Ïóñòü A áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå
îòíîñèòåëüíî çàäàííîãî è äâîéñòâåííîãî ïîðÿäêîâ, a0 ∈ A. Òîãäà
B0 = {x | x < a0} èëè B1 = {x | x > a0} áåñêîíå÷íî. Ïóñòü B0 áåñêîíå÷íî.
Òîãäà B0 èìååò íàèáîëüøèé ýëåìåíò b1, äàëåå B0 \{b1} èìååò íàèáîëüøèé ýëåìåíò b2 è ò.ä. Ïîëó÷àåì b0 > b1 > b2 > ..., ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïîëíîé óïîðÿäî÷åííîñòè B îòíîñèòåëüíî ≤. Àíàëîãè÷íî
ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà B1 áåñêîíå÷íî.
43. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî B ≠ Ax. Òîãäà A \B íåïóñòî è èìååò íàèìåíüøèé ýëåìåíò x. Ïîëó÷àåì Ax ⊆ B è x ∉ B. Ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 5)
179
44. (à) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 41.
(á) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 38.
45. f (β) = Wβ äëÿ β < α åñòü èçîìîðôèçì èç Wα íà ìíîæåñòâî
{Wβ | β < α}, óïîðÿäî÷åííîå îòíîøåíèåì âêëþ÷åíèÿ. Ñì. äàëåå çàäà÷ó 10.
46. Ïóñòü M ìíîæåñòâî ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë, M1 íåïóñòîå
ïîäìíîæåñòâî M, a ∈ M1. Òîãäà Wα âïîëíå óïîðÿäî÷åíî (ñì. çàäà÷ó 45). Åñëè M1 ∩ Wα = ∅, òî α åñòü íàèìåíüøèé ýëåìåíò â M1.
Åñëè M1 ∩ Wα ≠ ∅, òî M1 ∩ Wα ⊆ Wα èìååò íàèìåíüøèé ýëåìåíò
β, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì â M1.
47. (à) Ïóñòü A = U W α . Òîãäà A âïîëíå óïîðÿäî÷åíî (ñì. çàα∈S
äà÷ó 46). Òîãäà β = A åñòü èñêîìîå ïîðÿäêîâîå ÷èñëî (ñì. çàäà÷è
45, 38).
(á) Ñóùåñòâóåò b ∉ S (èç (à)). Òîãäà Wβ \S âïîëíå óïîðÿäî÷åííî è ñîäåðæèò íàèìåíüøèé ýëåìåíò γ, êîòîðûé è áóäåò
èñêîìûì.
48. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 47 (à).
49. Èìååì α + 1 > α. Ïóñòü α < β. Òîãäà Wα ⊂ Wβ (ñì. çàäà÷ó 45),
W α ∪ {α} åñòü íà÷àëüíûé îòðåçîê W β èëè W α ∪ {α} = W β ,
W α U {α} = α + 1 ≤ Wβ = β.
50. Ïóñòü α ≠ 0 è α íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì, ò.å. α ≠ sup{β | β < α}.
Òîãäà ñóùåñòâóåò γ òàêîå, ÷òî β ≤ γ äëÿ âñåõ β < α, è íåâåðíî, ÷òî
α ≤ γ. Ïîýòîìó γ < α è γ åñòü íàèáîëüøåå â {β | β < α}.
51. Ïóñòü β ïîðÿäêîâîå ÷èñëî. Ìíîæåñòâî {α | α ≤ β, Wβ \Wα
êîíå÷íî} èìååì íàèìåíüøèé ýëåìåíò γ. Òîãäà γ = 0 èëè γ åñòü
ïðåäåëüíîå ïîðÿäêîâîå ÷èñëî, β = γ + n, ãäå n = Wβ \ W γ .
53. Ai ⊆ U A i , ïîýòîìó Ai âïîëíå óïîðÿäî÷åíî. I B ⊆ U A i , ãäå
i ∈I
B = {αi | αi åñòü íàèìåíüøèé ýëåìåíò â Ai}.
i ∈I
54. Ïóñòü α = A , β = B , γ = C , A ∩ C = B ∩ C = ∅.
(à) Åñëè B < A , òî B ïîäîáíî íà÷àëüíîìó îòðåçêó ìíîæåñòâà
A ⊆ B, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò çàäà÷å 38.
(á) Ñëåäóåò èç (à).
(â) Åñëè A Ba äëÿ íåêîòîðîãî a ∈ B, òî C ∪ A C ∪ Ba. Îáðàòíî, ïóñòü γ + α < γ + β è α ≥ β. Òîãäà ïî óæå äîêàçàííîìó γ + α ≥ γ + β.
Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Ïîýòîìó α < β.
180
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
(ã) Ñëåäóåò èç (à).
(ä) Ñëåäóåò èç (â).
(å) Ñëåäóåò èç (ã).
55. Íàïðèìåð, α = 0, β = 1, γ = ω.
56. Ïóñòü α = A , β = B , γ = C .
(à) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 54 (à).
(á) Ïóñòü A = Ba äëÿ íåêîòîðîãî a ∈ B. Òîãäà C × A = (C × B)⟨c, a⟩,
ãäå c íàèìåíüøèé ýëåìåíò C.
(â), (ã) Ñëåäóþò èç (á).
(ä) Ñëåäóåò èç (à).
57. (à) Ïóñòü α = A , β = B . Åñëè α = β, òî α − β = 0. Åñëè β < α, òî
B Aa äëÿ a ∈ A; β + A \ A a = A a 7 ( A \ A a ) = A = α , α − β = A \ A a ,
β + γ1 = β + γ2 ⇒ γ1 = γ2 (ñì. çàäà÷ó 54 (ä)).
(á) α − γ ≤ β − γ ⇒ α = γ + (a − γ) ≤ γ + (β − γ) = β (ñì. çàäà÷ó 54 (â)).
(â) α − γ < α − β ⇒ α = γ + (α − γ) < β + (α − β) = α (ñì. çàäà÷ó
54 (â), (ã)).
(ã) γ α = γ (β + (α − β)) = γβ + γ (α − β) (ñì. çàäà÷ó 26 (à)), ïîýòîìó γ (α − β) = γα − γβ.
58. (à) α2 < α1 ⇒ β1 = (α1 + β1) − α1 ≤ (α2 + β2) − α2 = β2 (ñì. çàäà÷ó
57 (â)).
(á) Ïóñòü α = A , β = B . Òîãäà γ = ( A × B)⟨a, b⟩ äëÿ íåêîòîðûõ a ∈ A,
b ∈ B. Ïîëàãàåì δ = A a , ε = B b . Èìååì γ = αε + δ, òàê êàê (A × B )⟨a, b⟩ =
= (A × Bb) ∪ (Aa × {b}). Ïóñòü γ = αε1 + δ1 = αε2 + δ2, δ1, δ2 < α. Åñëè
ε1 < ε2, òî αε1 < αε2 (ñì. çàäà÷ó 56 (á)). Åñëè δ2 < δ1, òî òîæå αε1 < αε2
ïî (à). Òîãäà αε1 + δ1 < αε1 + α = α (ε1 + 1) ≤ αε2 ≤ αε2 + δ2 (ñì. çàäà÷è
54 (á), (â), 26 (à), 49, 56 (à), (â)). Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Ïîýòîìó ε è δ îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî.
(â) α = 1 ⋅ α < β ⋅ (α + 1) (ñì. çàäà÷ó 56 (â)). Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò
èç (á).
59. Èç çàäà÷è 58 ñëåäóåò, ÷òî α0 = α1β1 + α2 äëÿ íåêîòîðûõ α2 < α1
è β1. Äàëåå α1 = α2β2 + α3, α3 < α2 è ò.ä. Ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü α1 > α2 > α3 > ... Ïîýòîìó αn + 1 = 0 äëÿ íåêîòîðîãî n ≥ 1 (ñì.
çàäà÷ó 46).
60. Ïóñòü γ íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì P. Òîãäà ñóùåñòâóåò íàèìåíüøåå îðäèíàëüíîå ÷èñëî α ≤ γ, íå îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì P.
Âñå îðäèíàëüíûå ÷èñëà β < α îáëàäàþò ñâîéñòâîì P. Ïîëó÷èëè
ïðîòèâîðå÷èå.
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 5)
181
61. Ïóñòü α ïîðÿäêîâîå ÷èñëî. Âîçüìåì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî P : β åñòü òàêîå îðäèíàëüíîå ÷èñëî, ÷òî αβ ñóùåñòâóåò è
îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî. Ýòî ñâîéñòâî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
çàäà÷è 60.
62. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òàêèõ, ÷òî ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îòëè÷íî îò 0, óïîðÿäî÷åííîå òàê:
a0, ..., an, ... <f b0, ..., bn, ... ⇔ ñóùåñòâóåò n ≥ 0 òàêîå, ÷òî an < bn
è ak = bk ïðè k > n.
63. Äîêàçàòåëüñòâà èñïîëüçóþò ïðèíöèï òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè (ñì. çàäà÷ó 60).
(à) γ > 1 è α ôèêñèðîâàíû. P (β) åñòü ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: åñëè
β > α, òî γβ > γα.
(á) α è β ôèêñèðîâàíû. P (γ) åñòü ñâîéñòâî αβ + γ = αβ ⋅ αγ.
(â) α è β ôèêñèðîâàíû. P (γ) åñòü ñâîéñòâî (αβ) γ = αβ ⋅ γ.
64. (à) Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà γ = δ + 1 è α ≠ 0. Èìååì β = ωγ −
− α è α < ωγ. Ïðåäñòàâèì α â âèäå α = ωδ ⋅ ε + τ, ãäå τ < ωδ (ñì. çàäà÷ó
58 (â)). Òîãäà ε < ω è ωδ + 1 = ωδ(ω − (ε + 1)) = ωγ − ωδ(ε + 1) ≤ β. Ñëó÷àé, êîãäà γ ïðåäåëüíîå, ñëåäóåò èç óæå äîêàçàííîãî.
(á) Òðàíñôèíèòíàÿ èíäóêöèÿ ïî β.
(â) Ïóñòü ε íàèìåíüøåå òàêîå τ, ÷òî β < ατ. Òîãäà ε > 0 è íå
ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì, ò.å. ε = ξ + 1. Äàëåå ïðèìåíÿåì çàäà÷ó 58 (â).
(ã) Ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿåì (â). Ïðîöåññ îáðûâàåòñÿ, òàê
êàê âñÿêîå ìíîæåñòâî ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë âïîëíå óïîðÿäî÷åííî.
65. Ïîëàãàåì A0 = ∅, Aa + 1 = Aa ∪ {Aa}, Aβ = 7 A γ äëÿ ïðåäåëüγ<β
íîãî β.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òðàíçèòèâíîñòè Aa, òîãî, ÷òî A a = α, è
åäèíñòâåííîñòè Aa, èñïîëüçóåòñÿ ïðèíöèï òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè (ñì. çàäà÷ó 60).
66. (2) ⇒ (1). Ïóñòü
S = {ϕ | ϕ: A1 → 7 X a , ãäå A 1 ⊆ A , ϕ(a ) ∈ X a } .
a∈A 1
Òîãäà S íåïóñòî è ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åíî ïî âêëþ÷åíèþ. S óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû Öîðíà. Ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò â S
åñòü èñêîìàÿ ôóíêöèÿ âûáîðà.
182
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
(1) ⇒ (4). Ïóñòü A = {Ai | i ∈ I }, Ai ∩ Aj = ∅ äëÿ i ≠ j, f : I → 7 Ai
i ∈I
åñòü ôóíêöèÿ âûáîðà. Òîãäà C = { f (i) | i ∈ I } òðåáóåìîå ìíîæåñòâî.
(4) ⇒ (1). Âîçüìåì A = {{Xa} × Xa | a ∈ A }. Òîãäà
({Xa} × Xa) ∩ ({Xb} × Xb) = ∅ äëÿ a ≠ b.
Ïóñòü C òàêîâî, ÷òî ({Xa} × Xa) ∩ C ñîñòîèò ðîâíî èç îäíîé òî÷êè
ca. Òîãäà ca = ⟨Xa, da⟩ äëÿ íåêîòîðîãî da ∈ Xa, f = {ca | a ∈ A } åñòü òðåáóåìàÿ ôóíêöèÿ âûáîðà.
(1) ⇒ (5). Ïóñòü M ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, f ôóíêöèÿ
âûáîðà íà P (M ) \{∅}. Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî S òàêèõ A ⊆ M, A ≠ ∅,
÷òî A ìîæåò áûòü âïîëíå óïîðÿäî÷åííî òàê, ÷òî α ∈ f (M \Aa) äëÿ
ëþáîãî a ∈ A. Òîãäà S íåïóñòî, òàê êàê { f (M )} ∈ S. Ïóñòü A è B
ìíîæåñòâà èç S ñ óêàçàííûìè ïîëíûìè ïîðÿäêàìè. Òîãäà A = B
èëè îäíî èç íèõ ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì äðóãîãî. Ïîýòîìó îáúåäèíåíèå L âñåõ ìíîæåñòâ èç S ñàìî ïðèíàäëåæèò S. Åñëè L ≠ M, òî
L ∪ {ϕ (M \L)} ∈ S. Îòñþäà L = M.
(5) ⇒ (3). Ïóñòü L åñòü öåïü â ìíîæåñòâå M, ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîì îòíîøåíèåì ≤ . Åñëè L = M, òî L ìàêñèìàëüíà. Åñëè L ≠ M,
òî âïîëíå óïîðÿäî÷èì ìíîæåñòâî A = M \L îòíîøåíèåì ≤1. Ëþáîìó a ∈ A ñîïîñòàâèì òåïåðü íåêîòîðîå ìíîæåñòâî La ⊇ L. Åñëè âñåì
b <1 a óæå ñîïîñòàâëåíû Lb, òî ïîëàãàåì La = 7 Lb 7 {a}, åñëè a
b <1 a
ñðàâíèì ïî ≤ ñî âñåìè ýëåìåíòàìè èç 7 Lb, è La = 7 Lb â ïðîb <1 a
b <1 a
òèâíîì ñëó÷àå. 7 La åñòü ìàêñèìàëüíàÿ öåïü, ñîäåðæàùàÿ L.
a∈A
(3) ⇒ (2). Ïóñòü M óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû Öîðíà, a ∈ M.
Òîãäà {a} ñîäåðæèòñÿ â ìàêñèìàëüíîé öåïè L. Âåðõíÿÿ ãðàíü c
öåïè L ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì â M.
(2) ⇒ (6). Ïóñòü A ñåìåéñòâî ìíîæåñòâ, èìåþùåå êîíå÷íûé
õàðàêòåð. Îòíîøåíèå ⊆ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì. Âûáåðåì â
A íåêîòîðîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ïîäñåìåéñòâî B = {Ai}i ∈ I. Ðàñ-
ñìîòðèì A = 7 Ai . Ïóñòü C êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî A. Òîãäà C
i ∈I
ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì Ai äëÿ íåêîòîðîãî i ∈ I, ïîýòîìó C ∈ A.
Çíà÷èò, A ∈ A. Ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ ñåìåéñòâà B.
Ïî ëåììå Öîðíà B ñîäåðæèò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò.
(6) ⇒ (2). Ïóñòü A óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû Öîðíà. Ñåìåéñòâî A âñåõ öåïåé ìíîæåñòâà A èìååò êîíå÷íûé õàðàêòåð è,
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 6)
183
ñëåäîâàòåëüíî, â A ñóùåñòâóåò ìàêñèìàëüíàÿ öåïü. Âåðõíÿÿ ãðàíü
ýòîé öåïè áóäåò ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì â A.
67. Ïðèìåíèòü ëåììó Öîðíà (çàäà÷à 66 (2)) ê ìíîæåñòâó
B = {x | x ≥ a}.
68. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 66 (2).
69. Ïóñòü S åñòü ñåìåéñòâî ÷àñòè÷íûõ ïîðÿäêîâ Q íà A òàêèõ,
÷òî Q ⊇ R. Òîãäà S íåïóñòî, ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åíî âêëþ÷åíèåì è
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû Öîðíà (çàäà÷à 66 (2)). Ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò L â S åñòü òðåáóåìûé ëèíåéíûé ïîðÿäîê.
§ 6. Äåéñòâèÿ íàä êàðäèíàëüíûìè ÷èñëàìè
1. Ïóñòü m = A , n = B . Ìíîæåñòâà A è B ìîæíî âïîëíå óïîðÿäî÷èòü (ñì. çàäà÷ó 66 (5) èç § 5). Íî òîãäà îäíî èç ýòèõ ìíîæåñòâ
ïîäîáíî äðóãîìó èëè åãî îòðåçêó (ñì. çàäà÷ó 41 èç § 5), ò.å. m ≤ n
èëè n ≤ m. Èñïîëüçîâàòü òàêæå çàäà÷ó 4 èç § 4.
2. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 1.
3. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 40 èç § 4.
4. (á), (â), (ã) Ñëåäóþò èç çàäà÷è 13 (à) èç § 4.
(ä) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 32 èç § 4.
5. (à) B1 = A1 × {0}, B2 = A2 × {1}.
7. (â), (ã) Äîêàçûâàþòñÿ èíäóêöèåé ïî n.
8. (á) Íàïðèìåð, n = m = ℵ0, òàê êàê ℵ0 + 1 = ℵ0.
9. Ïóñòü A = n, B = m è A ⊆ B. Òîãäà ïîëîæèì n1 = B \ A . Íàïðèìåð, ℵ0 + 1 = ℵ0 + 2.
10. (á) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 14 èç § 4.
(â) ßñíî, ÷òî N × D = 7 ({i } × D) è {i} × D ∼ D. Ðåçóëüòàò ñëåi∈N
äóåò èç çàäà÷è 32 èç § 4.
(ã) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 34 (à) èç § 4.
12. (å), (æ) Ïóñòü A = n. A ìîæíî âïîëíå óïîðÿäî÷èòü (ñì.
çàäà÷ó 66 (5) èç § 5). Ïóñòü A = α. Òîãäà α = ω ⋅ β + γ äëÿ íåêîòîðûõ ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë γ < ω è β (ñì. çàäà÷ó 58 (â) èç § 5). Îòñþäà èìååì n = ℵ0 ⋅ n1 + n2, ãäå n1, n2 ìîùíîñòè ìíîæåñòâ ïîðÿäêîâûõ òèïîâ β è γ ñîîòâåòñòâåííî, n = ℵ0 ⋅ n1 , òàê êàê n2
êîíå÷íî. Èìååì ℵ0 ⋅ n = ℵ0 ⋅ ℵ0 ⋅ n1 = ℵ0 ⋅ n1 = n (ñì. çàäà÷ó 10 (á)),
n ≤ m ⋅ n ≤ ℵ0 ⋅ n = n.
184
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
13. Ïóñòü A = n. Ïîëîæèì åñòü M = {ϕ | ϕ åñòü 1−1-ôóíêöèÿ èç
B × B íà B äëÿ íåêîòîðîãî áåñêîíå÷íîãî B ⊆ A }. M íåïóñòî (ñì.
çàäà÷è 8 èç § 4 è 10 (á)), ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åíî âêëþ÷åíèåì è
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû Öîðíà (ñì. çàäà÷ó 66 (2) èç § 5).
Ïîýòîìó M èìååò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò ϕ0: B0 × B0 → B0. Åñëè
B 0 = n, òî n2 = n. Ïóñòü m = B 0 < n. Òîãäà A \ B 0 > m (ñì. çàäà÷ó 12 (å)),
ò.å. A \B0 ⊆ B1 äëÿ íåêîòîðîãî B1 ìîùíîñòè m. Èìååì
(B0 ∪ B1) × (B0 ∪ B1) = (B0 × B0) ∪ (B1 × B0) ∪ (B0 × B1) ∪ (B1 × B1),
B = (B1 × B0 ) 7 (B0 × B1 ) 7 (B1 × B1 ) = m2 + m2 + m2 = m + m + m = m ,
òàê êàê m2 = B0 × B 0 = B 0 = m. Ñóùåñòâóåò 1−1-ôóíêöèÿ f èç B íà B1.
Ïîëîæèì ψ (⟨a, b⟩) = ϕ0(⟨a, b⟩), åñëè a, b ∈ B0, è ψ (⟨a, b⟩) = f (⟨a, b⟩),
åñëè ⟨a, b⟩ ∈ B. Èìååì ψ ∈ M è ψ ⊃ ϕ0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìàêñèìàëüíîñòè ϕ0.
14. Ïóñòü 2 ≤ m ≤ n è n áåñêîíå÷íî. Òîãäà n ≤ n + m ≤ n + n =
= n ⋅ 2 ≤ n ⋅ m ≤ n ⋅ n = n.
15. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 34 (à) èç § 4.
(á) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 33 èç § 4.
(â) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 36 (à) èç § 4.
17. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 25 (à) èç § 2.
18. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 44 (à) èç § 2.
19. Ïóñòü A = m, B = n è C = p, ïóñòü A, B è C ïîïàðíî íå
ïåðåñåêàþòñÿ.
(à) Åñëè f îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå
ìåæäó A è B1 ⊆ B, à g ìåæäó B è C1 ⊆ C, òî f ⋅ g îñóùåñòâëÿåò
òðåáóåìîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó A è C2 ⊆ C.
(å) m ≤ n ≤ m + n ⇒ n + n = 2 ⋅ n ≤ m ⋅ n.
(æ) Åñëè n êîíå÷íî, òî îáà ðàâåíñòâà âûïîëíÿþòñÿ òîëüêî
ïðè m = 0. Ïóñòü n áåñêîíå÷íîå. Åñëè m + n = n, òî ℵ0 ⋅ m + ℵ0 ⋅ n =
= ℵ0. Îòñþäà ℵ0 ⋅ m + n = n (ñì. çàäà÷ó 14). Èòàê, ℵ0 ⋅ m ≤ n. Åñëè
ℵ0 ⋅ m ≤ n, òî m ≤ ℵ0 ⋅ m ≤ n . Çíà÷èò, m ≤ n. Èòàê, m + n = n (îïÿòü
ñì. çàäà÷ó 14).
(ç) Åñëè n ≤ n1, òî ñóùåñòâóåò p òàêîå, ÷òî n + p = n1 (ñì. çàäà÷ó
9). Òîãäà n1 + m = n + p + m = p + n = n1.
(è) Åñëè m áåñêîíå÷íîå, òî äîêàçûâàòü íå÷åãî, òàê êàê k ⋅ m = m
(ñì. çàäà÷ó 14). Åñëè m êîíå÷íîå, à n áåñêîíå÷íîå, òî n ≥ k ⋅ m è
×àñòü I. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ (§ 6)
185
n + k ⋅ m = n + m = n (îïÿòü ñì. çàäà÷ó 14). Åñëè m êîíå÷íîå è n êîíå÷íîå, òî îáà ðàâåíñòâà âûïîëíÿþòñÿ òîëüêî ïðè m = 0.
(ê) Àíàëîãè÷íî (è).
(ë) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 18 è çàäà÷è 40 èç § 4.
20. (à) Åñëè 2m ≥ ℵ0, òî m ≥ ℵ0, è ðåçóëüòàò ñëåäóåò èç çàäà÷è
19 (ä).
(á) Åñëè mn = ℵ0, òî 2 ≤ m ≤ ℵ0. Òîãäà 2n ≤ mn = ℵ0. Çíà÷èò, n
êîíå÷íîå, òàê êàê 2ℵ0 = c. Åñëè m êîíå÷íîå, òî mn êîíå÷íîå. Çíà÷èò, m = ℵ0.
21. (à) Äîêàæåì, ÷òî nn ≤ 2n. Ïóñòü A = n. Ïî îïðåäåëåíèþ
f ⊆ A × A äëÿ ëþáîé f ∈ AA. Èòàê, nn≤ 2n ⋅ n = 2n (ñì. çàäà÷ó 13).
(á) Ñëåäóåò èç (à).
22. (à) Ïóñòü Ai ∼ A äëÿ âñåõ i ∈ I, ãäå A = n, I = m, à Ai äëÿ
âñåõ i ∈ I ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ai ýëåìåíò
èç Ai, ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíòó a èç A. Ïàðå ⟨i, a⟩, ãäå i ∈ I è
a ∈ A, ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ýëåìåíò ai èç Ai. Òàêèì îáðàçîì
I × A ∼ 7 Ai .
i ∈I
(á) Åñëè m è n êîíå÷íûå, òî, î÷åâèäíî, m = n. Åñëè m è n
áåñêîíå÷íûå, òî m = m + p = n + p = n (ñì. çàäà÷ó 14). Äðóãèå ñëó÷àè
íåâîçìîæíû.
(â) Àíàëîãè÷íî (á).
25. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 25 (å) èç § 2.
26. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 25 (æ) èç § 2.
27. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 46 èç § 2.
28. Ïóñòü {Ai}i ∈ I, {Bi}i ∈ I ñèñòåìû ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ òàêèõ, ÷òî A = mi, B = ni. Ïóñòü {ϕi}i ∈ I ñèñòåìà
ôóíêöèé òàêèõ, ÷òî ϕi îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó Ai è Ci ⊆ Bi.
(à) Îïðåäåëèì F : 7 A i → 7 B i òàê: F (a) = ϕi(a), åñëè a ∈ Ai.
i ∈I
i ∈I
i ∈I
i ∈I
(á) Îïðåäåëèì F : ∏ A i → ∏ B i òàê: (F (f ))(j ) = ϕj(f (j )), åñëè
f ∈ ∏ Ai .
i ∈I
29. (á) Ïóñòü A i = mi è J ⊆ I. Äîîïðåäåëèì ôóíêöèþ f : J → 7 Ai
äî ôóíêöèè g : I → 7 Ai òàê:
i ∈I
i ∈I
186
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
⎧ f (i ), åñëè i ∈ J ,
g (i ) = ⎨
åñëè i ∈ I \ J ,
⎩ai ,
ãäå ai ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç Ai.
30. Ïóñòü {Ai}i ∈ I, {Bi}i ∈ I ñèñòåìû ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ òàêèõ, ÷òî A i = mi, B i = ni. Ïóñòü {fi}i ∈ I ñèñòåìà
ôóíêöèé òàêèõ, ÷òî fi îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó Ai è Ci ⊆ Bi.
(à) Ïóñòü bi, ci ∈ Bi, bi ≠ ci äëÿ âñåõ i ∈ I, I ≥ 3. Ñëåäóþùàÿ ôóí-
êöèÿ ϕ åñòü 1−1-ôóíêöèÿ èç U Ai â ∏ B i :
i ∈I
i ∈I
⎧ fi (ai ), åñëè i = j ,
⎪
(ϕ(ai ))( j ) = ⎨c j ,
åñëè i ≠ j , f i (ai ) ≠ ci ,
⎪b ,
åñëè i ≠ j, f i (ai ) = ci ,
⎩ j
ãäå ai ∈ Ai, j ∈ I.
Ñëó÷àé I ≤ 2 ïðîâåðÿåòñÿ ëåãêî.
(á) ∑ mi ≤ ∏ ni âñëåäñòâèå (à). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∑ mi = ∏ ni .
i ∈I
i ∈I
i ∈I
i ∈I
Òîãäà ∏ B i = U C i , ãäå C i = mi, Ci ∩ Cj = ∅ ïðè i ≠ j. Ðàññìîòðèì
i∈I
i∈I
Mi = {g (i) | g ∈ Ci}. Mi ⊆ Bi, M i ≤ Ci = mi, ïîýòîìó Bi \Mi ≠ ∅. Ïóñòü
h ∈ ∏ (B i \ M i ). Òîãäà h (i) ∉ Mi, h ∉ Ci äëÿ âñåõ i ∈ I. Ïîëó÷èëè ïðîi ∈I
òèâîðå÷èå.
31. Èìååì
∑ mi < ∏ mi +1 ≤ m0 ⋅ ∏ mi +1 (ñì. çàäà÷ó 30 (á)).
i∈N
i∈N
32. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 32 (à).
i∈N
33. Ïî îïðåäåëåíèþ.
34. Ñì. çàäà÷ó 49 (á) èç § 2.
35. Ïóñòü mℵ0 = ∑ mi, ãäå mi < mi + 1. Òîãäà äëÿ âñåõ i ∈ N èìååì
i∈N
ℵ0
mi ≤ m . Çíà÷èò, ∏ mi ≤ (mℵ0 )ℵ0 = mℵ0 = ∑ mi (ñì. çàäà÷è 28 (á),
i∈N
i∈N
17 (â), 10 (á)). Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ðåçóëüòàòó çàäà÷è 31.
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 1)
187
×àñòü II. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ
§ 1. Àëãåáðà âûñêàçûâàíèé
1. Ôîðìóëîé ÿâëÿåòñÿ ëèøü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (â).
2. (à) 9 ñïîñîáîâ;
(á) 19 ñïîñîáîâ.
4. Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê, âõîäÿùèõ â C.
5. Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ ôîðìóëû A.
6. Àíàëîãè÷íî çàäà÷å 5.
8. (à) P = è;
(á) P = Q = è;
(â) P = R = è, Q = ë.
9. Äåëàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïî òàáëèöàì èñòèííîñòè.
10. (à) Íàïðèìåð, X = Y = Z = è;
(á) íàïðèìåð, X = Y = Z = V = W = ë è U = è;
(â) íàïðèìåð, X = Y = ë è Z = è;
(ã) íàïðèìåð, X = Y = è è Z = ë;
(ä) òîëüêî ïðè X = Y = è.
13. Äîêàæåì, íàïðèìåð, (à). Åñëè ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ
ïåðåìåííûõ çíà÷åíèå ôîðìóëû (B ∨ C ) åñòü ë, òî ïðè ýòèõ æå
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ çíà÷åíèÿ B è C òàêæå ðàâíû ë. Òîãäà ïðè
ýòèõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ îäíà èç ôîðìóë (A ∨ B ) èëè (¬ A ∨ C )
äîëæíà èìåòü çíà÷åíèå ë.
14. Ïóñòü A ∼ B. Ïðèäàäèì ïåðåìåííûì íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ.
Åñëè çíà÷åíèå A ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ áóäåò è, òî çíà÷åíèå B òàêæå
è. Îòñþäà çíà÷åíèå (A ≡ B ) åñòü è. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ
ñëó÷àé, êîãäà çíà÷åíèå A åñòü ë.
Îáðàòíî. Ïóñòü (A ≡ B ) òîæäåñòâåííî èñòèííà. Òîãäà ôîðìóëû
(A ⊃ B ) è (B ⊃ A ) òîæäåñòâåííî èñòèííû. Åñëè çíà÷åíèå A ïðè
íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ åñòü è, òî çíà÷åíèå B íå ìîæåò
áûòü ë, èíà÷å çíà÷åíèå (A ⊃ B ) áûëî áû ë. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà çíà÷åíèå A åñòü ë.
17. Ïóñòü A (P \C ) çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ P0, ..., Pk. Ïðèäàäèì
ýòèì ïåðåìåííûì íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ. Òîãäà çíà÷åíèå A (P \C )
áóäåò ðàâíî çíà÷åíèþ A, åñëè ïåðåìåííàÿ P ïðèíèìàåò çíà÷åíèå, ðàâíîå çíà÷åíèþ C, à îñòàëüíûå ïåðåìåííûå A èìåþò çíà÷åíèÿ, ñîâïàäàþùèå ñ çàäàííûìè.
188
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
18. Ïðè âû÷èñëåíèè çíà÷åíèé A è A1 ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü
çíà÷åíèÿ B è B1, êîòîðûå ñîâïàäàþò, òàê êàê B ∼ B1.
1921. Äîêàçûâàþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïî òàáëèöàì èñòèííîñòè.
22. Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ ôîðìóëû A, èñïîëüçóÿ çàäà÷è 20 (à), (á), (â), (ä) è 18.
23. Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ ôîðìóëû A, èñïîëüçóÿ çàäà÷è 22, 19 (ã), (è).
24. Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 23.
25. Ïóñòü ó íåêîòîðîãî äèçúþíêòà B ïåðåìåííûå Pi1, ..., Pik âõîäÿò â B áåç îòðèöàíèÿ, à Pj1, ..., Pjm ñ îòðèöàíèåì. Åñëè ìíîæåñòâà {Pi1, ..., P ik} è {Pj1, ..., P jm} íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî, ïðèäàâàÿ
Pi1, ..., Pik çíà÷åíèå ë, à Pj1, ..., Pjm çíà÷åíèå è, ïîëó÷èì, ÷òî B èìååò çíà÷åíèå ë.
26. Àíàëîãè÷íî çàäà÷å 25.
27. Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ ôîðìóëû A.
28. Èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 27, äîêàçàòü, ÷òî
A (P0, ..., Pn) ∼ ¬ A* (¬ P0, ..., ¬ Pn).
29. Ïóñòü çíà÷åíèå ïåðåìåííûõ P1, ..., Pm åñòü è, à çíà÷åíèå
ïåðåìåííûõ Q1, ..., Qn åñòü ë. Òðåáóåìîé ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèåé ÿâëÿåòñÿ (P1 & ... & Pm & ¬ Q1 & ... & ¬ Qn).
30. Ñðàçó ñëåäóåò èç çàäà÷è 29.
31. (à) Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííàÿ â çàäà÷å 30 äèçúþíêöèÿ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé åñòü ñ.ä.í.ô. ôîðìóëû A.
32. Ïóñòü çíà÷åíèå ïåðåìåííûõ P1, ..., Pm åñòü è, à çíà÷åíèå
ïåðåìåííûõ Q1, ..., Qn åñòü ë. Òðåáóåìîé ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèåé ÿâëÿåòñÿ (¬ P1 ∨ ... ∨ ¬ Pm ∨ Q1 ∨ ... ∨ Qn).
33. Ñðàçó ñëåäóåò èç çàäà÷è 32.
34. (à) Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííàÿ â çàäà÷å 33 êîíúþíêöèÿ ýëåìåíòàðíûõ äèçúþíêöèé åñòü ñ.ê.í.ô. ôîðìóëû A.
(á) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 25.
35. (à) ((P & Q & R ) ∨ (P & Q & ¬ R ) ∨ (P & ¬ Q & R ) ∨
∨ (P & ¬ Q & ¬ R ) ∨ (¬ P & Q & R ) ∨ (¬ P & Q & ¬ R ) ∨
∨ (¬ P & ¬ Q & R ) ∨ (¬ P & ¬ Q & ¬ R ));
(á) ((¬ P & Q) ∨ (¬ P & ¬ Q) ∨ (P & Q));
(â) (P & Q).
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 1)
189
36. (à) (P ∨ Q ∨ R );
(á) ((P ∨ Q ∨ R ) & (P ∨ ¬ Q ∨ R ) &
& (P ∨ Q ∨ ¬ R ) & (P ∨ ¬ Q ∨ ¬ R ) & (¬ P ∨ Q ∨ R ));
(â) ((P ∨ Q ∨ ¬ R ) & (P ∨ ¬ Q ∨ ¬ R ) & (P ∨ Q ∨ R )).
37. (à) Íàïðèìåð, A = (¬ P ∨ ¬ Q);
(á) ((P & Q &R ) ∨ (¬ P & Q & R ) ∨ (¬ P & ¬ Q & R )).
38. ((¬ P & ¬ Q & R ) ∨ (P & ¬ Q & ¬ R ) ∨ (¬ P & Q & ¬ R )).
39. ((P & Q & R ) ∨ (P & Q & ¬ R ) ∨ (P & ¬ Q & R ) ∨ (¬ P & Q &R ));
((P & ¬ Q & ¬ R ) ∨ (¬ P & Q & ¬ R ) ∨ (¬ P & ¬ Q & R ) ∨ (P & Q &R )).
40. (à) A = ((P & Q & R ) ∨ (P & Q & ¬ R ) ∨ (¬ P & Q & R ) ∨
∨ (¬ P & ¬ Q &R ));
(á) A = ((P & Q & R ) ∨ (¬ P & ¬ Q & ¬ R ));
(â) A = ((P ∨ Q ∨ ¬ R ) & (¬ P ∨ ¬ Q ∨ R )).
41. Ïîïàðíî íå ýêâèâàëåíòíûõ êîíúþíêòîâ îò n ïåðåìåííûõ
èìååòñÿ 2n. Åñëè êàêîé-òî èç ýòèõ êîíúþíêòîâ íå âõîäèò â ñ.ä.í.ô.
ôîðìóëû A, òî A èìååò çíà÷åíèå ë ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì íàáîðå
çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ äëÿ äàííîãî êîíúþíêòà.
42. Ëåãêî ñëåäóåò èç çàäà÷ 31 (à) è 34 (à).
43. (à) Ìåíÿåì â ñ.ê.í.ô. ôîðìóëû A & íà ∨, ∨ íà &.
(á) Èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 42, ñòðîèì ñ.ä.í.ô. ôîðìóëû A è äàëåå â
íåé ìåíÿåì & íà ∨, ∨ íà &, Pi íà ¬ Pi, ¬ Pi íà Pi.
(â) Ìåíÿåì â ñ.ê.í.ô. ôîðìóëû A & íà ∨, ∨ íà &, Pi íà ¬ Pi,
¬ Pi íà Pi.
44. Çàìåòèì âíà÷àëå, ÷òî
(A1 ∨ ... ∨ As) ∼ ((A1 ∨ ... ∨ As) & &(P ∨ ¬ P )) ∼
∼ ((A1 & P ) ∨ (A1 & ¬ P ) ∨ ... ∨ (As & P ) ∨ (As & ¬ P ));
àíàëîãè÷íî,
(A1 & ... & As) ∼ ((A1 & ... & As) ∨ (P & ¬ P )) ∼
∼ ((A1 ∨ P ) & (A1 ∨ ¬ P ) & ... & (As ∨ P ) & (As ∨ ¬ P )).
Èñïîëüçóÿ ýòî, ìû âñåãäà ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ó ëþáûõ ôîðìóë A è B çàäàííûå íîðìàëüíûå ôîðìû ñîäåðæàò îäíè è òå æå
ïåðåìåííûå.
(à) Ñ.ä.í.ô. ôîðìóëû (A ∨ B ) ïîëó÷àåòñÿ, åñëè âîçüìåì äèçúþíêöèþ âñåõ êîíúþíêòîâ ñ.ä.í.ô. äëÿ A è ñ.ä.í.ô. äëÿ B; ñ.ê.í.ô.
ôîðìóëû (A ∨ B ) ïîëó÷àåòñÿ èñïîëüçîâàíèåì çàäà÷è 42.
(á) Èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 42, ñòðîèì ñ.ê.í.ô. äëÿ A è ñ.ê.í.ô. äëÿ B.
Òîãäà ñ.ê.í.ô. äëÿ (A & B ) ïîëó÷àåòñÿ, åñëè âîçüìåì êîíúþíêöèþ
190
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
âñåõ äèçúþíêòîâ ñ.ê.í.ô. äëÿ A è ñ.ê.í.ô äëÿ B. Òåïåðü ñ.ä.í.ô. äëÿ
(A & B ) ïîëó÷àåòñÿ, êàê â çàäà÷å 42.
(â) Èñïîëüçîâàòü (A ⊃ B ) ∼ (¬ A ∨ B ), çàäà÷è 42, 43 (á), (â),
44 (à).
45. Ïóñòü â ñ.ê.í.ô. ôîðìóëû A îòñóòñòâóåò ÷ëåí (¬ P1 ∨ ... ∨ ¬ Pk).
Âîçüìåì ëþáîé äèçúþíêò (Pi1 ∨ ... ∨ Pis ∨ ¬ Pj1 ∨ ... ∨ ¬ Pjt ). Îí ýêâèâàëåíòåí ôîðìóëå ((Pj1 & ... & Pjt ) ⊃ (Pi1 ∨ ... ∨ Pis )), åñëè t ≥ 1, è
ôîðìóëå (Pi1 ∨ ... ∨ Pis), åñëè t = 0.
Îáðàòíî. Äîêàæåì, ÷òî åñëè â ñ.ê.í.ô. äëÿ A èìååòñÿ ÷ëåí
(¬ P1 ∨ ... ∨ ¬ Pk), òî A íå ýêâèâàëåíòíà íèêàêîé ôîðìóëå, ñîäåðæàùåé ëèøü ñâÿçêè &, ∨, ⊃. ßñíî, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà âñå P1, ... Pk
èìåþò çíà÷åíèå è, çíà÷åíèå A åñòü ë. Íî èç ïåðåìåííûõ P1, ... Pk ñ
ïîìîùüþ ñâÿçîê &, ∨, ⊃ ìîæíî ïîñòðîèòü ëèøü ôîðìóëû, çíà÷åíèå êîòîðûõ åñòü è, êîãäà âñå ïåðåìåííûå P1, ... Pk ïðèíèìàþò
çíà÷åíèå è.
46. Èñïîëüçóÿ ýêâèâàëåíòíîñòè èç çàäà÷ 21 (á), (â), ôîðìóëó A
ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó (P1 ≡ ... ≡ P1 ≡ ... ≡ Pn ≡ ... ≡ Pn). Åñëè, íàïðèìåð, ïåðåìåííàÿ P1 âõîäèò â äàííîå âûðàæåíèå íå÷åòíîå ÷èñëî
ðàç, òî ïðèäàäèì P1 çíà÷åíèå ë, à îñòàëüíûì ïåðåìåííûì çíà÷åíèå è; òîãäà ëåãêî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî çíà÷åíèå A áóäåò ë. Åñëè æå
âñå ïåðåìåííûå âõîäÿò â äàííîå âûðàæåíèå ÷åòíîå ÷èñëî ðàç,
òî, èñïîëüçóÿ ýêâèâàëåíòíîñòü èç çàäà÷è 21 (à), ïðèâåäåì ôîðìóëó A ê âèäó (P1 ≡ ... ≡ P1) (2k ðàç). À ýòà ôîðìóëà òîæäåñòâåííî
èñòèííàÿ.
47. Íåïîñðåäñòâåííî ïî òàáëèöàì èñòèííîñòè äîêàçûâàåòñÿ
ýêâèâàëåíòíîñòü (A ≡ ¬ B ) ∼ ¬ (A ≡ b). Èñïîëüçóÿ ýòó ýêâèâàëåíòíîñòü è çàäà÷è 21 (á), (â), ïðèâåäåì ôîðìóëó A ê îäíîìó èç
âèäîâ:
(Pi1 ≡ ... ≡ Pik ), åñëè â A èìååòñÿ ÷åòíîå ÷èñëî âõîæäåíèé ¬;
¬ (Pi1 ≡ ... ≡ Pik ), åñëè â A èìååòñÿ íå÷åòíîå ÷èñëî âõîæäåíèé ¬.
 ïåðâîì ñëó÷àå ðåçóëüòàò âûòåêàåò èç çàäà÷è 46. Âî âòîðîì
ñëó÷àå ôîðìóëà A íå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé, òàê êàê,
ïðèäàâàÿ âñåì ïåðåìåííûì çíà÷åíèå è, ïîëó÷èì, ÷òî A èìååò
çíà÷åíèå ë.
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 2)
191
§ 2. Ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè
1. Ïîëîæèì ϕ(P i ) = v i , ϕ(¬ A ) = ¬ ϕ( A ), ϕ((A & B )) =
= ϕ(A ) & ϕ(B ), ϕ((A ∨ B )) = ϕ(A ) ∨ ϕ(B ), ϕ((A ⊃ B )) = ϕ(A ) ⊃ ϕ(B ).
Çíà÷åíèþ è ñîîòâåòñòâóåò 1, à çíà÷åíèþ ë ñîîòâåòñòâóåò 0.
n
2. 22 .
3. (à) Âñå ïåðåìåííûå ñóùåñòâåííû.
(á) x.
(â) Íåò ñóùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ.
4. (à) x & y = ¬ (¬ x ∨ ¬ y), x ⊃ y = ¬ x ∨ y.
(á) x ∨ y = ¬ (¬ x & ¬ y), x ⊃ y = ¬ (x & ¬ y).
(â) x & y = ¬ (x ⊃ ¬ y), x ∨ y = ¬ x ⊃ y.
(ã) ¬ x = x | x, x & y = (x | y) | (x | y), x ∨ y = (x | x) | (y | y),
x ⊃ y = x | (y | y).
(ä) ¬ x = x ⊃ 0.
(å) ¬ x = x + 1.
(æ) x ∨ y = (x ⊃ y) ⊃ y.
6. (à) Ôóíêöèè, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ &, ∨,
⊃, ≡, ïðèíàäëåæàò C1, à ôóíêöèÿ ¬ íå ïðèíàäëåæèò C1.
(á) Ôóíêöèè, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ & è ∨,
ïðèíàäëåæàò C0, à ôóíêöèÿ ⊃ íå ïðèíàäëåæèò C0.
(â) Ôóíêöèè, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ∨ è ⊃,
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ: ñóùåñòâóåò i òàêîå, ÷òî f (x1, ..., xi, ...,
..., xn) ≥ xi, à ôóíêöèÿ x & y íå óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óñëîâèþ.
7. (à) Ïðîâåðèòü ðàâåíñòâî ïðè x = 1 è ïðè x = 0.
(á) Çàìåòèì, ÷òî x1ε1 ⋅ ... ⋅ x1εi = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
x1 = ε1, ..., xi = εi .
8. (à) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 7.
(á), (â), (ã) Ñëåäóþò èç çàäà÷è 4 (à), (á), (â).
9. (à) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 6 (à).
(á) Èç ïåðåìåííûõ x1, x2, ... ñ ïîìîùüþ ¬ ìîæíî ïîëó÷èòü ëèøü
ôóíêöèè, çàâèñÿùèå ñóùåñòâåííî íå áîëåå ÷åì îò îäíîé ïåðåìåííîé.
10. (à) Ñëåäóåò èç çàäà÷ 4 (ã) è 8.
(á) ¬ x = x ⊥ x, x ∨ y = ¬ (x ⊥ y) = (x ⊥ y) ⊥ (x ⊥ y) è äàëåå êàê â
çàäà÷å 8 (á).
(â) ¬ x = x ⊃ 0 è äàëåå êàê â çàäà÷å 8 (ã).
(ã) ¬ x = x + 1 è äàëåå êàê â çàäà÷å 8 (á).
192
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
11. (à) ¬ x = x + 1 è äàëåå êàê â çàäà÷å 8 (â), èñïîëüçóÿ, ÷òî +
è ⋅ êîììóòàòèâíû, àññîöèàòèâíû, äèñòðèáóòèâíû è x + x = 0,
x + 0 = x, x ⋅ x = x.
(á) ×èñëî
ðàçëè÷íûõ «ìíîãî÷ëåíîâ» îò ïåðåìåííûõ x1, ..., xn
n
ðàâíî 22 , ò.å. ñòîëüêî æå, ñêîëüêî è ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè îò
n ïåðåìåííûõ.
12. (à) Êëàññ ôóíêöèé, ïîëó÷åííûé èç ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ ≡, ñîäåðæèòñÿ â C1. Äëÿ ¬ ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 9 (á).
(á) Êëàññ ôóíêöèé, ïîëó÷åííûé èç ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ
+, ñîäåðæèòñÿ â C0. Äëÿ ¬ ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 9 (á).
(â) Ðàçäåëÿþùèå êëàññû C1 è C0.
(ã) Ðàçäåëÿþùèå êëàññû L è C0.
13. (à) 0 = x /x è äàëåå êàê â çàäà÷å 10 (â). Ðàçäåëÿþùèå êëàññû
C1 è C0.
(á) x ∨ z = [x, x, z], ¬ y = [0, y, 1] è äàëåå êàê â çàäà÷å 8 (á). Ðàçäåëÿþùèå êëàññû L, C0 è C1.
(â) ¬ x = x ≡ 0 è äàëåå êàê â çàäà÷å 8 (á). Ðàçäåëÿþùèå êëàññû
C1, L è C0.
14. Ôóíêöèè, ïîëó÷åííûå èç ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ ≡ è +,
ñîäåðæàòñÿ â L. Ìîæíî äîáàâèòü ëèøü & èëè ∨.
15. Ëèøü { | } è {/} (ñì. çàäà÷ó 10 (à), (á)). Êàæäàÿ èç îñòàëüíûõ äâóìåñòíûõ ôóíêöèé ïîïàäàåò â îäèí èç êëàññîâ C1, C0,
L, M è D.
16. (à) è (á) ¬ (x1 ∨ ... ∨ xn) äëÿ ëþáîãî n ≥ 2.
17. Îñòàâèòü ëèøü òå ôóíêöèè, èç êîòîðûõ ìîæíî âûðàçèòü
ñóïåðïîçèöèÿìè ôóíêöèþ |.
18. (à) x ∨ y = (x ⊃ y) ⊃ y. Ñì. äàëåå îòâåò ê çàäà÷å 45 èç § 1 è
çàäà÷ó 6 (á), (â).
(á) Ìíîãî÷ëåí èç çàäà÷è 11 (á) ïðåäñòàâëÿåò ôóíêöèþ èç C0
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ñâîáîäíûé ÷ëåí ðàâåí 0. Ðàçäåëÿþùèåñÿ êëàññû äëÿ & è + åñòü C1 è L.
(â) Ïóñòü f (x1, x2, ..., xn) ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà (ñì.
çàäà÷ó 7)
f (x1, x2, ..., xn) = x1 ⋅ h (x2, ..., xn) ∨ ¬ x1 ⋅ g (x2, ..., xn),
h (x2, ..., xn) = f (1, x2, ..., xn), g (x2, ..., xn) = f (0, x2, ..., xn)
ìîíîòîííûå ôóíêöèè è h (x2, ..., xn) ≥ g (x2, ..., xn) äëÿ ëþáûõ
x2, ..., xn. Òîãäà h (x2, ..., xn) = h (x2, ..., xn) ∨ g (x2, ..., xn). Èìååì
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 2)
193
f (x1, x2, ..., xn) = x1 ⋅ (h (x2, ..., xn) ∨ g (x2, ..., xn)) ∨ ¬ x1 ⋅ g (x2, ..., xn) =
= x1 ⋅ h (x2, ..., xn) ∨ g (x2, ..., xn).
Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ìû ïðèäåì ê âûðàæåíèþ ôóíêöèè f
÷åðåç ∨, &, 0, 1. Íåçàâèñèìîñòü ñèñòåìû ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ.
(ã) Èìååì ¬ x = (x ≡ 0), x + y = ¬ (x ≡ y). Êàæäàÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ ñóïåðïîçèöèÿìè èç ¬ è +. Ðàçäåëÿþùèå
êëàññû C0 è C1.
(ä) Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî âñÿêàÿ ñàìîäâîéñòâåííàÿ ôóíêöèÿ f (x1, ..., xn) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç íåêîòîðîé ìîíîòîííîé
ñàìîäâîéñòâåííîé ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ¬. Ïîëîæèì:
F (x1, ..., xn, y1, ..., yn) = f (x1, ..., xn), åñëè ¬ x1 = y1, ..., ¬ xn = yn;
F (x1, ..., xn, y1, ..., yn) = 0, åñëè ¬ x1 ≥ y1, ..., ¬ xn ≥ yn è ñóùåñòâóåò i òàêîå, ÷òî ¬ xi > yi;
F (x1, ..., xn, y1, ..., yn) = 1, åñëè ¬ x1 ≤ y1, ..., ¬ xn ≤ yn è ñóùåñòâóåò i òàêîå, ÷òî ¬ xi < yi;
F (x1, ..., xn, y1, ..., yn) = x1 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
ßñíî, ÷òî f (x1, ..., xn) = F (x1, ..., xn, ¬ x1, ..., ¬ xn). Ðàçáîðîì ñëó÷àåâ ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé è ñàìîäâîéñòâåííîé.
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî âñÿêàÿ ìîíîòîííàÿ ñàìîäâîéñòâåííàÿ
ôóíêöèÿ åñòü ñóïåðïîçèöèÿ ôóíêöèè h (x, y, z) = xy + xz + yz. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî ÷èñëó ïåðåìåííûõ n, îò
êîòîðûõ ôóíêöèÿ f çàâèñèò ñóùåñòâåííî.
Åñëè n = 1, òî èìååòñÿ åäèíñòâåííàÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ f (x) = x.
Èìååì h (x, x, x) = x.
Åñëè n = 2, òî òàêèõ ôóíêöèé íå ñóùåñòâóåò.
Åñëè n = 3, òî èìååòñÿ åäèíñòâåííàÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ h (x, y, z).
Ïóñòü óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ôóíêöèé, ñóùåñòâåííî
çàâèñÿùèõ íå áîëåå, ÷åì îò n − 1 ïåðåìåííûõ, è f ñóùåñòâåííî
çàâèñèò îò n ïåðåìåííûõ (n ≥ 4). Òîãäà f (x1, x2, x 3, x 4, ..., xn) =
= h (f (x1, x1, x3, x4, ..., xn), f (x1, x2, x2, x4, ..., xn), f (x3, x2, x3, x4, ..., xn)).
Åñëè x 1 = x 2 , òî â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ïîëó÷èòñÿ
f (x1, x1, x3, x4, ..., xn). (Èñïîëüçóåòñÿ ôàêò, ÷òî åñëè a ≤ b ≤ c, òî
h (a, b, c) = b.) Åñëè x1 = x3, òî â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ïîëó÷èòñÿ f (x1, x2, x1, x4, ..., xn). Åñëè x2 = x3, òî â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà
ïîëó÷èòñÿ f (x1, x2, x2, x4, ..., xn).
19. Ïóñòü f (x1, ..., xn) ∉ C1. Òîãäà f (1, ..., 1) = 0 è ⊃ ∈ C1, à {0, ⊃}
áàçèñ C (ñì. çàäà÷ó 10 (â)).
Ïóñòü f (x1, ..., xn) ∉ C0. Òîãäà f (0, ..., 0) = 1 è +, ∨ ∈ C1, à {+, ∨, 1}
áàçèñ C (ñì. çàäà÷ó 10 (ã)).
194
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
20. (à) Ïóñòü f íåìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ è a1 ≤ b1, ..., an ≤ bn,
íî 1 = f (a1, ..., a n) > f (b1, ..., bn) = 0. Òîãäà ¬ x = f (x ε1, ..., x εn), ãäå
x εi = x, åñëè ai < bi, è x εi = ai, åñëè ai = bi.
(á) Äîáàâèì ê M ëþáóþ íåìîíîòîííóþ ôóíêöèþ f (x1, ..., xn).
Òàê êàê 0, 1 ∈ M, òî ìîæåì èç f ïîëó÷èòü ¬ (ñì. (à)). Çàìåòèì, ÷òî
&, ∨ ∈ M; äàëåå ñì. çàäà÷ó 8 (à).
21. (à) Ïóñòü f íåñàìîäâîéñòâåííàÿ ôóíêöèÿ è a1, ..., an òàêîâû, ÷òî f (a1, ..., an) = f (¬ a1, ..., ¬ an). Ïóñòü ϕ(x) = f (x ε1, ..., x εn),
ãäå x εi = x, åñëè ai = 0, è x εi = ¬ x, åñëè ai = 1. Òîãäà ϕ(x) ÿâëÿåòñÿ
êîíñòàíòîé 0 èëè 1, òàê êàê ϕ(0) = f (a1, ..., an) = f (¬ a1, ..., ¬ an) =
= ϕ(1); ¬ ϕ(x) ÿâëÿåòñÿ äðóãîé êîíñòàíòîé.
(á) Äîáàâèì ê D ëþáóþ íå ñàìîäâîéñòâåííóþ ôóíêöèþ
f (x1, ..., xn). Òàê êàê ¬ ∈ D, òî ìîæåì èç f ïîëó÷èòü 0 è 1 (ñì. (à)).
Ô ó í ê ö è ÿ h (x, y, z ) ÿâëÿåòñÿ ñàìîäâîéñòâåííîé. Òîãäà
h (x, y, 1) = x ∨ y; äàëåå ñì. çàäà÷ó 8 (á).
22. (à) Ïóñòü f (x1, ..., xn) íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Èñïîëüçóÿ
çàäà÷ó 11 (á), ôóíêöèþ f ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
x1x2ϕ1 (x3, ..., xn) + x1ϕ2 (x3, ..., xn) + x2ϕ3 (x3, ..., xn) + ϕ4 (x3, ..., xn),
çäåñü ϕ1 (x3, ..., xn) íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé 0. Âûáåðåì a3, ..., an
òàê, ÷òîáû ϕ1 (a3, ..., an) = 1. Òîãäà g (x1, x2) = f (x1, x2, a3, ..., an) =
= x1x2 + ax1 + bx2 + c äëÿ íåêîòîðûõ a, b, c. Òîãäà g (x1 + b, x2 + a) +
+ c + ab = x1 & x2.
(á) Äîáàâëÿÿ ê L ëþáóþ íåëèíåéíóþ ôóíêöèþ, ïî (à) ïîëó÷èì &. Äàëåå çàäà÷à 8 (â), òàê êàê ¬ ∈ L.
23. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî S çàìêíóòûõ êëàññîâ, ñîäåðæàùèõ
K è îòëè÷íûõ îò C. Òîãäà S óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû Öîðíà
(ñì. çàäà÷ó 66 (2) èç § 5 ÷àñòè ), òàê êàê âñå êëàññû èç S íå ñîäåðæàò ôóíêöèþ |. Ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò â S è áóäåò èñêîìûì ïðåäïîëíûì êëàññîì.
24. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 23.
25. Ïóñòü A ïðåäïîëíûé êëàññ, îòëè÷íûé îò C1, C0, L, D è
M. Òîãäà â A íàéäóòñÿ ôóíêöèè f1 ∉ C1, f2 ∉ C0, f3 ∉ L, f4 ∉ D, f5 ∉ M.
Ôóíêöèè g (x) = f 1 (x, ..., x) è h (x) = f2 (x, ..., x) ÿâëÿþòñÿ ëèáî
ôóíêöèÿìè 0 è 1, ëèáî îäíà èç íèõ åñòü ¬.  ïåðâîì ñëó÷àå, âñëåäñòâèå çàäà÷è 20 (à), èç f5 ïîëó÷àåì ¬. Âî âòîðîì ñëó÷àå, âñëåäñòâèå çàäà÷è 21 (à), èç f4 ïîëó÷àåì 0 è 1. Èòàê, 0, 1, ¬ ∈ A. Òåïåðü, âñëåäñòâèå çàäà÷è 22 (à), èç f3 ïîëó÷àåì &. Èòàê, ¬, & ∈ A è
A = C (ñì. çàäà÷ó 8 (â)).
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 3)
195
26. Âîñïîëüçóåìñÿ óêàçàíèåì ê çàäà÷å 25. Èç ëþáîãî áàçèñà äëÿ
C ìîæíî îñòàâèòü íå áîëåå ïÿòè ôóíêöèé: f1 ∉ C1, f2 ∉ C0, f3 ∉ L,
f4 ∉ D, f5 ∉ M. Åñëè f1 (x, ..., x) = 0, òî f1 ∉ D è ìîæíî âûáðîñèòü f4.
Åñëè f 2 (x, ..., x) = 1, òî f 2 ∉ D è ìîæíî âûáðîñèòü f 4 . Åñëè
f1 (x, ..., x) = f2 (x, ..., x) = ¬ x, òî ìîæíî âûáðîñèòü f2.
29. Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ T, èñïîëüçóÿ çàäà÷è 27 è 28.
3031. Ñëåäóþò èç çàäà÷è 29.
3233. Ñì. çàäà÷ó 30.
§ 3. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé
1. (à) A A, (A ⊃ A ) (àêñèîìà, ïðàâèëî 7).
(á) Σ1: A A (àêñèîìà),
Σ2: (A ⊃ B ) (A ⊃ B ) (àêñèîìà),
Σ3: A, (A ⊃ B ) B (ïðàâèëî 8, Σ1, Σ2),
Σ4: (B ⊃ C ) (B ⊃ C ) (àêñèîìà),
Σ5: A, (A ⊃ B ), (B ⊃ C ) C (ïðàâèëî 8, Σ3, Σ4),
Σ6: (A ⊃ B ), A, (B ⊃ C ) C (ïðàâèëî 14, Σ5),
Σ7: (A ⊃ B ), (B ⊃ C ), A C (ïðàâèëî 14, Σ6).
(â) Èç àêñèîì ¬ A ¬ A è ¬ ¬ A ¬ ¬ A, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëà
14, 10, 11, 7, ïîëó÷èòü (¬ ¬ A ⊃ A ). Èç àêñèîì ¬ A ¬ A è
¬ ¬ A ¬ ¬ A, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëà 10, 9, 7, ïîëó÷èòü (A ⊃ ¬ ¬ A ).
Ïðèìåíèòü ïðàâèëî 1.
(ã) Èç àêñèîì A A, (A ⊃ B ) (A ⊃ B ), (A ⊃ (B ⊃ C )) (A ⊃ (B ⊃ C )) ñ ïîìîùüþ ïðàâèë 8, 14, 15.
(ä) Èç àêñèîì A A, (A ⊃ B ) (A ⊃ B ), ¬ B ¬ B ñ ïîìîùüþ
ïðàâèë 9, 10, 14.
(å) Ñì. óêàçàíèå ê (ä).
2. Çàìåíèòü â ñåêâåíöèÿõ âûâîäà äëÿ A1, ..., An B êàæäóþ ôîðìóëó D íà D (P \C ). Äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî äëèíå âûâîäà, ÷òî
ïðè ýòîì ïîëó÷èòñÿ òðåáóåìûé âûâîä.
3. (à) Èñïîëüçîâàòü ïðàâèëà 7 è 8.
(á) Èñïîëüçîâàòü àêñèîìó (A & B ) (A & B ) è ïðàâèëà 2, 3,
14, 15 è (à).
(â) Èñïîëüçîâàòü àêñèîìû A A, B B, è ïðàâèëà 1, 14 è (à).
(ã) Èñïîëüçîâàòü àêñèîìó (A ∨ B ) (A ∨ B ) è ïðàâèëà 6, 15.
(ä) Èñïîëüçîâàòü àêñèîìó ¬ B ¬ B è ïðàâèëà 9, 10, 14.
(å) Èñïîëüçîâàòü àêñèîìó B B è ïðàâèëà 10, 11, 14.
(æ) Èñïîëüçîâàòü (á) è ïðàâèëî 7.
196
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
(ç) Èñïîëüçîâàòü (â) è ïðàâèëî 8.
4. Ïî ïðàâèëó 12 è âûâîäèìîñòè Γ1 ñëåäóåò âûâîäèìîñòü
Γ1 ¬ (A ⊃ A ). Äàëåå èñïîëüçóåì âûâîäèìîñòü (A ⊃ A ) è ïðàâèëî 10.
5. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 3.
6. (à) Èñïîëüçîâàòü ïðàâèëà 1 è 7.
(á) Èñïîëüçîâàòü àêñèîìû A A, B B è ïðàâèëà 2, 3 è 8.
7. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷è 3 è 5.
8. Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ A èç B, èñïîëüçóÿ
çàäà÷ó 6.
9. (ä), (å) Èñïîëüçîâàòü ïðàâèëà 1−5 è çàäà÷è 3 è 5.
(æ), (ç) Èñïîëüçîâàòü ïðàâèëà 1−5 è çàäà÷è 1 (à), 3 è 5.
(è) Σ1: (A ⊃ B ), A B (ïðàâèëî 8),
Σ2: (A ⊃ B ), A (¬ A ∨ B ) (ïðàâèëî 5),
Σ3: (A ⊃ B ), ¬ (¬ A ∨ B ) ¬ A (çàäà÷à 3 (ä)),
Σ4: (A ⊃ B ), ¬ (¬ A ∨ B ) (¬ A ∨ B ) (ïðàâèëî 8),
Σ5: (A ⊃ B ), ¬ (¬ A ∨ B ) ¬ (¬ A ∨ B ) (ïðàâèëî 13),
Σ6: (A ⊃ B ), ¬ (¬ A ∨ B ) (ïðàâèëî 10),
Σ7: (A ⊃ B ) (¬ A ∨ B ) (ïðàâèëî 11).
(ê) Èñïîëüçîâàòü (è) è çàäà÷è 1 (à), 3 (à).
(ë) Σ1: ¬ A, B, A B (ïðàâèëî 13),
Σ2: ¬ A, B (A ⊃ B ) (ïðàâèëî 7),
Σ 3 : ¬ (A ⊃ B ), B A (ïðàâèëî 14 è çàäà÷è 1 (â), 3 (à),
(ä) è 5 (à)),
Σ4: (¬ (A ⊃ B ) ⊃ (B ⊃ A )) (ïðàâèëî 7, äâàæäû),
Σ5: ((A ⊃ B ) ∨ (B ⊃ A )) (ïî (è) è 1 (â)).
10. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 23 èç § 1 è çàäà÷ó 8.
11. Ñì. çàäà÷ó 25 èç § 1 è çàäà÷ó 9 (ê).
12. Èíäóêöèåé ïî äëèíå âûâîäà.
13. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 911.
14. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 12. Äëÿ (ä) è (å) âîñïîëüçîâàòüñÿ òàêæå çàäà÷åé 3 (æ), (ç).
15. Ïðèâåñòè A ê ñ.ä.í.ô. (A1 ∨ ... ∨ As), à B ê ñ.ê.í.ô. (B1 & ... & Bt).
Òîãäà äëÿ ëþáîé ïàðû Ai è Bj ñåêâåíöèÿ Ai Bj äîêàçóåìà â ÈÑ è
ïîýòîìó Ai è Bj èìåþò îáùèé ëèòåðàë Cij. Ïîëàãàåì C = ∨ & Ci j .
i
16. (à) B;
(á) (D & A ).
j
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 3)
197
17. (à) Äà.
(á) Äà.
(â) Íåò.
18. (à) A1 = (P ⊃ (P ⊃ P )),
A2 = ((P ⊃ (P ⊃ P )) ⊃ ((P ⊃ ((P ⊃ P ) ⊃ P )) ⊃ (P ⊃ P ))),
A3 = ((P ⊃ ((P ⊃ P ) ⊃ P )) ⊃ (P ⊃ P )),
A4 = (P ⊃ ((P ⊃ P ) ⊃ P )),
A5 = (P ⊃ P ).
(á) A 1, A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , ((P ⊃ P ) ⊃ ((P ⊃ P ) ⊃ ((P ∨ P ) ⊃ P ))),
((P ⊃ P ) ⊃ ((P ∨ P ) ⊃ P )), ((P ∨ P ) ⊃ P ); A1−A5 âçÿòû èç (à).
(â) Ïîëó÷àåòñÿ èç (à) è àêñèîìû 9.
19. Ïóñòü A1, ..., Ak åñòü âûâîä A â ÈÂ. Äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî k,
÷òî A1 (P \B ), ..., Ak (P \B ) åñòü âûâîä â ÈÂ.
20. (à) {(P ⊃ (Q ⊃ R )), P, Q}.
(á) {(P ⊃ ¬ ¬ Q), ¬ Q}.
21. Âûâîä ñîñòîèò èç îäíîé ôîðìóëû A.
22. (ã) Åñëè A1, ..., Ak åñòü âûâîä A èç Γ1, B1, ..., Bn åñòü âûâîä B
èç A, Γ2, òî A1, ..., Ak, B1, ..., Bn åñòü âûâîä èç Γ1, Γ2.
(ä) Àíàëîãè÷íî çàäà÷å 19.
23. Ïóñòü B1, ..., Bn åñòü âûâîä B èç Γ, A. Äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî
n, èñïîëüçóÿ àêñèîìû 1, 2 è çàäà÷ó 18 (à), ÷òî ôîðìóëû
(A ⊃ B1), ..., (A ⊃ Bn) âûâîäèìû èç Γ.
24. (à) Ïóñòü T = (A ⊃ (B ⊃ A )). Èìååì A (T ⊃ A ) è B (T ⊃ B ).
Òîãäà A, B (T ⊃ (A & B )) ïî àêñèîìå 5. Îòñþäà A, B, T (A & B )
è A, B (A & B ).
(á), (â), (ä), (å), (ç) Ñëåäóþò íåïîñðåäñòâåííî èç àêñèîì.
(æ) Èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 23.
Γ, A ¬ B
(ã) Èñïîëüçîâàòü ïðàâèëî
, êîòîðîå ñëåäóåò èç àêΓ, B ¬ A
ñèîì è çàäà÷è 23.
25. Ïóñòü Γ A, Γ ¬ A; B ëþáàÿ ôîðìóëà. Òîãäà Γ, ¬ B A;
Γ, ¬ B ¬ A; Γ ¬ ¬ B; ¬ ¬ B B; Γ B. Îáðàòíîå î÷åâèäíî.
26. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷è 23, 24.
27. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 26.
28. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷è 2224.
29. Èíäóêöèåé ïî äëèíå âûâîäà A â ÈÂ.
30. Äîêàçàòü îäíîâðåìåííî òðè óòâåðæäåíèÿ (à), (á), (â) èíäóêöèåé ïî äëèíå âûâîäà ñåêâåíöèè â ÈÑ.
198
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
32. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 13 è 30 (â).
33. Íàïðèìåð, A = P, B = Q, ãäå P è Q ðàçëè÷íûå ïåðåìåííûå.
34. Èñïîëüçóåì çàäà÷ó 32. Ïóñòü, íàïðèìåð, A ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ë ïðè çíà÷åíèè ë äëÿ ïåðåìåííûõ P1, ..., Pk è çíà÷åíèè è
äëÿ ïåðåìåííûõ P k + 1, ..., Pn. Ïîëîæèì B1 = ... = Bk = (P & ¬ P ),
Bk + 1 = ... = Bn = (P ∨ ¬ P ). Òîãäà (A (P1 \B1, ..., Pn \Bn) òîæäåñòâåííî ëîæíà è ¬ (A (P1 \B1, ..., Pn \Bn) âûâîäèìà.
35. (à) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 26.
(á) || A || ∩ || B || = || A & B ||, || A || ∪ || B || = || A ∨ B ||, −|| A || = ||¬ A ||.
(â) A ⇒ (B ⊃ A ) ⇒ || B || ≤ || A || äëÿ ëþáîé ôîðìóëû B. Îáðàòíî, ïóñòü || A || = 1. Âîçüìåì B òàêóþ, ÷òî B. Òîãäà || B || ≤ || A || ⇒
⇒ (B ⊃ A ) ⇒ A.
37. (à) Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ â ïîñòðîåíèè ôîðìóëû A,
èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 66 èç § 3 ÷àñòè I.
(á) Ïóñòü íåâåðíî A. Òîãäà ||A || ≠ 1 â F /≈ (ñì. çàäà÷ó 35 (â)).
Ñóùåñòâóåò óëüòðàôèëüòð T íà F /≈ òàêîé, ÷òî ||A || ∉ T (ñì. çàäà÷ó
68 èç § 3 ÷àñòè I). Ïðèäàäèì ïåðåìåííûì çíà÷åíèÿ, êàê â (à).
Òîãäà A ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ë.
39. A ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 ïðè P = Q = 1, R = 2.
40. Ñëåäóþùèå ëîãè÷åñêèå ìàòðèöû äîêàçûâàþò (ñì. çàäà÷ó 38)
íåçàâèñèìîñòü àêñèîì:
1) M = {0, 1, 2}; D = {2}; x & y = min (x, y); x ∨ y = max (x, y);
⎧2, åñëè x ≤ y,
x⊃y= ⎨
¬ x = 2 − x.
⎩ y, åñëè x > y;
2) Ìàòðèöà èç çàäà÷è 39.
3) M = {0, 1}; D = {1}; x & y = y; ∨, ⊃, ¬ îïðåäåëÿþòñÿ, êàê â § 2.
4) M = {0, 1}; D = {1}; x & y = x; ∨, ⊃, ¬ îïðåäåëÿþòñÿ, êàê â § 2.
5) M = {0, 1}; D = {1}; x & y = 0; ∨, ⊃, ¬ îïðåäåëÿþòñÿ, êàê â § 2.
6) M = {0, 1}; D = {1}; x ∨ y = y; &, ⊃, ¬ îïðåäåëÿþòñÿ, êàê â § 2.
7) M = {0, 1}; D = {1}; x ∨ y = x; &, ⊃, ¬ îïðåäåëÿþòñÿ, êàê â § 2.
8) M = {0, 1}; D = {1}; x ∨ y = 1; &, ⊃, ¬ îïðåäåëÿþòñÿ, êàê â § 2.
9) M = {0, 1}; D = {1}; ¬ x = 0; ∨, &, ⊃ îïðåäåëÿþòñÿ, êàê â § 2.
10) M = {0, 1, 2}; D = {2}; x & y = min (x, y); x ∨ y max (x, y);
⎧2, åñëè x ≤ y,
⎧0, åñëè x > 0,
x⊃y= ⎨
¬x= ⎨
.
⎩ y, åñëè x > y;
⎩2, åñëè x = 0.
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 4)
199
41. (à) Äîñòàòî÷íî âûâåñòè â È àêñèîìó L3.
(á) Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 23.
(â) Äîêàçàòü, ÷òî âñå àêñèîìû ÈÂ âûâîäèìû â L.
42. (à) Äîñòàòî÷íî âûâåñòè â È ôîðìóëó (¬ A ⊃ (A ⊃ B )).
(á) Èñïîëüçîâàòü ìàòðèöó èç óêàçàíèÿ 10) ê çàäà÷å 40.
43. Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 23.
44. (à) Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 29.
(á), (â), (ã) Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 30.
45. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 44.
46. Èíäóêöèåé ïî äëèíå âûâîäà ôîðìóëû A â ÈÂ, èñïîëüçóÿ
çàäà÷ó 45.
47. (á) Ôîðìóëà An íå îáùåçíà÷èìà â Mn.
48. Ïóñòü M ñîäåðæèò n ýëåìåíòîâ äëÿ íåêîòîðîãî n ∈ N . Ðàññìîòðèì ôîðìóëó An èç çàäà÷è 47 è ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ â ìíîæåñòâå M. Òîãäà äëÿ íåêîòîðîé ïàðû i, j (i ≠ j)
çíà÷åíèÿ Pi è Pj ñîâïàäàþò, è ôîðìóëà An ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0,
òàê êàê È ((B ∨ (P ≡ P )) ∨ C ) äëÿ ëþáûõ ôîðìóë B è C. Ïîýòîìó
An îáùåçíà÷èìà â M, íî íåâûâîäèìà â ÈÈ (ñì. çàäà÷ó 47).
§ 4. ßçûê ëîãèêè ïðåäèêàòîâ
1. (à), (á) Äà.
(â) Íåò.
2. (à), (á) Äà.
(â), (ã) Íåò.
3. νν0 íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòíîé ïåðåìåííîé.
5. (à) {ν0, f 1(ν0), f 1(f 1(ν0)), ...};
(á) (ν0, g 2(ν0, ν0), g 2(ν0, g 2(ν0, ν0)), g 2(g 2(ν0, ν0), ν0),
g 2(g 2(ν0, ν0), g 2(ν0, ν0)), ...}.
9. (à) O (x) ∀ y S (x, y, y);
(á) Å(x) ∀ y P (x, y, y);
(â) Ä(x) ∃ z(Å(z) & S (z, z, x)) ∃ z(∀ y P (z, y, y) &
& S (z, z, x)) (Å(z) èç (á));
(ã) ×(x) ∃ y S (y, y, x);
(ä) Í(x) ¬ × (x) ¬ ∃ y S (y, y, x) (×(x) èç (ã));
(å) Ï(x) (¬ Å(x) & ∀ y ∀ z (P (y, z, x) ⊃ (Å(y) ∨ Å(z )))) (Å(z)
èç (á)).
10. (à) x = y ∀ z ∀ u (S (x, z, u) ⊃ S (y, z, u));
200
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
(á) x ≤ y ∃ z S (x, z, y);
(â) x < y (x ≤ y & ¬ x = y) ( ≤, = èç (à) è (á));
(ã) Ä(x, y) ∃ z P (x, z, y).
12. (à) ∀ x ∀ y ∀ z (S (x, y, z) ⊃ S (y, x, z));
(á) ∀ x ∀ y ∀ z ∀ u ∀ v ∀ w ((S (x, y, u) & S (u, z, v) & S (y, z, w)) ⊃
⊃ S (x, w, v));
(å) ∀ x ∃ y (Ï(y) & x ≤ y) (Ï èç 9 (å), ≤ èç 10 (á)).
13. Âñå ïðåäëîæåíèÿ ëîæíû â ñèñòåìå M.
20. (à) P ∀ x R (x, x);
(á) Ñ ∀ x ∀ y (R (x, y) ⊃ R (y, x));
(â) Ò ∀ x ∀ y ∀ z ((R (x, y) & R (y, z)) ⊃ R (x, z));
(ã) (Ð & Ñ & Ò) (Ð, Ñ, Ò èç (à), (á), (â)).
21. (à) ×1 ∀ x (x ≤ x); ×2 ∀ x ∀ y ((x ≤ y & y ≤ x) ⊃ x = y);
×3 ∀ x ∀ y ∀ z ((x ≤ y & y ≤ z) ⊃ x ≤ z);
(á) ×1, ×2, ×3 èç (à), ∀ x ∀ y (x ≤ y ∨ y ≤ x).
22. Ïóñòü x = y (Q (x, y) & Q (y, x)).
(à) ∀ y Q (x, y);
(á) ∀ y (Q (y, x) ⊃ y = x).
23. (à) x = y ∩ z (Q (x, y) & Q (x, z) & ∀ u ((Q (u, y) & Q (u, z)) ⊃
⊃ Q (u, x )));
(á) x = y ∪ z (Q (y, x) & Q (z, x) & ∀ u ((Q (y, u) & Q (z, u)) ⊃
⊃ Q (x, u)));
(â) x = ∅ ∀ y Q (x, y);
(ã) x = A ∀ y Q (y, x);
(ä) x = −y ∃ z ∃ u (z = x ∩ y & z = ∅ & u = x ∪ y & u = A ) (∩, ∪,
∅, A èç ïðåäûäóùèõ ïóíêòîâ).
24. (à) x ⊆ y f (x, y) = x.
(á) Ïóñòü x = ∅ ∀ y (x ⊆ y) (⊆ èç (à)). Òîãäà «x îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî» (∀ y ((y ⊆ x) ⊃ (y = x ∨ y = ∅)) & ¬ x = ∅).
29. ((P 1 (0) & ∀ x (P 1 (x) ⊃ P 1 (g 1 (x)))) ⊃ ∀ x P 1 (x)).
30. Ïóñòü x < y (Q (x, y) & ¬ Q (y, x)). Òîãäà
(∀ y (∀ x (x < y ⊃ P (x)) ⊃ P (y)) ⊃ ∀ y P (y)).
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 5)
201
§ 5. Âûïîëíèìîñòü ôîðìóë
ëîãèêè ïðåäèêàòîâ
2. Ñì. (ä) îïðåäåëåíèÿ èñòèííîñòíîãî çíà÷åíèÿ â § 4.
4. Ïóñòü A áåñêâàíòîðíàÿ ôîðìóëà è A1, ..., Ak ðàçëè÷íûå
àòîìíûå ôîðìóëû, ÿâëÿþùèåñÿ ïîäôîðìóëàìè A. Òðåáóåìàÿ ôîðìóëà ïîëó÷àåòñÿ çàìåíîé âñåõ âõîæäåíèé A1, ..., Ak â A íà ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå P1, ..., Pk ñîîòâåòñòâåííî.
5. (â) Íàïðèìåð, A ∀ x ∃ y P (x, y); M = ⟨N ; P ⟩, ãäå P (x, y) = è ⇔
⇔ x < y.
6. Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ ôîðìóëû A.
7. (à) Âûïîëíèìà â ⟨N ; P ⟩, ãäå P (x) = è ⇔ x ÷åòíîå ÷èñëî.
(á) Âûïîëíèìà â ⟨N ; P ⟩, ãäå P (x) òîæäåñòâåííî èñòèííûé
ïðåäèêàò.
(â) Íåâûïîëíèìà. Ïóñòü M ìîäåëü, â êîòîðîé ýòà ôîðìóëà èñòèííà. Òîãäà ñóùåñòâóåò ýëåìåíò a èç M òàêîé, ÷òî
M ∀ y (Q (a, a) & ¬ Q (a, y)). Îòñþäà èìååì M (Q (a, a) &
& ¬ Q (a, a)). Ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.
(ã) Âûïîëíèìà â ìîäåëè èç (à).
(ä) Âûïîëíèìà â ⟨ N ; Q, R ⟩, ãäå Q (x, y) = è ⇔ x ≥ y;
R (x, y, z) = è ⇔ x + y ≤ z.
(å) Âûïîëíèìà â ⟨N ; P ⟩, ãäå P (x) òîæäåñòâåííî ëîæåí.
8. (à) Íåò. Ôîðìóëà ëîæíà â ⟨N ; P ⟩, ãäå P (x) = è ⇔ x ÷åòíîå
÷èñëî.
(á) Íåò. Ôîðìóëà ëîæíà â ⟨N ; P ⟩, ãäå P (x) = è äëÿ âñåõ x.
(â) Äà.
(ã) Íåò. Ôîðìóëà ëîæíà â ⟨N ; Q⟩, ãäå Q (x, y) = è ⇔ x ≤ y.
10. (à) A (x ) ∃ y P (x, y), t = y.
(á) A (x) ∀ y P (x, y), t = y.
11. Ôîðìóëà âûïîëíèìà â ⟨N ; P ⟩, ãäå P (x, y) = è ⇔ x < y. Ïóñòü
ôîðìóëà âûïîëíèìà â M = ⟨M; P ⟩. Çàìåòèì, ÷òî P (m, m) = ë äëÿ
âñåõ m ∈ M. Ïóñòü a0 ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç M. Ñðåäè ýëåìåíòîâ x òàêèõ, ÷òî P (a0, x) = è, âûáåðåì ïðîèçâîëüíûé è îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç a1. Ñðåäè ýëåìåíòîâ x òàêèõ, ÷òî P (a1, x) = è,
âûáåðåì ïðîèçâîëüíûé è îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç a2. Ïðîäîëæàÿ ýòîò
ïðîöåññ, ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ a0, a1, a2, ... Äîêàæåì, ÷òî âñå ýòè ýëåìåíòû ðàçëè÷íû. Åñëè i < j, òî P (ai, ai + 1) = è,
P (ai + 1, ai + 2) = è, ..., P (aj − 1, aj) = è, à çíà÷èò, P (ai, aj) = è. Òàêèì
îáðàçîì, ai ≠ aj.
202
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
12. Äîêàæåì, ÷òî åñëè äàííàÿ ôîðìóëà ëîæíà â êàêîé-òî ìîäåëè M = ⟨M; F ⟩, òî M ≥ 4 . Ëîæíîñòü ýòîé ôîðìóëû â ìîäåëè
îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ M íàéäåòñÿ ϕ(x) ∈ M òàêîå, ÷òî
F (x, ϕ(x)) = è, F (ϕ(x), x) = ë, F (x, x) ≠ F (ϕ(x), ϕ(x)). Îòñþäà x ≠ ϕ(x)
äëÿ ëþáîãî x ∈ M. Èìååì x ≠ ϕϕ(x) äëÿ ëþáîãî x ∈ M, òàê êàê â
ïðîòèâíîì ñëó÷àå áûëî áû F (ϕ(x), ϕϕ(x)) = è, F (ϕ(x), x) = ë. Òàê
êàê F (x, x) ≠ F (ϕ(x), ϕ(x)), F (ϕ(x), ϕ(x)) ≠ F (ϕϕ(x), ϕϕ(x)),
F (ϕϕ(x), ϕϕ(x)) ≠ F (ϕϕϕ(x), ϕϕϕ(x)), òî F (x, x) ≠ F (ϕϕϕ(x), ϕϕϕ(x)),
ò.å. x ≠ ϕϕϕ(x). Èòàê, äëÿ ëþáîãî x ∈ M ýëåìåíòû ϕ(x), ϕϕ(x) è
ϕϕϕ(x) îòëè÷íû îò x.
13. (à) Äîêàæåì, ÷òî åñëè äàííàÿ ôîðìóëà ëîæíà â êàêîé-òî
ìîäåëè M = ⟨M; F ⟩, òî M áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Ëîæíîñòü
ýòîé ôîðìóëû îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ M ñóùåñòâóåò
ϕ(x) ∈ M òàêîå, ÷òî F (x, x) = è, F (ϕ(x), x) = ë è äëÿ âñÿêîãî z ∈ M
èìååì (F (ϕ(x), z ) ⊃ F (x, z )) = è. Ñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{ϕi(x)}, ãäå ϕ0(x) = x, ϕi + 1(x) = ϕ(ϕi(x)). Ïóñòü i < j. Òîãäà èìååì
F (ϕ i(x), ϕ j − 1(x)) = è, íî F (ϕ j(x), ϕ j − 1(x)) = ë, ò.å. ϕi(x) ≠ ϕj(x). Òàêèì îáðàçîì, äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîèò èç ðàçëè÷íûõ
ýëåìåíòîâ. Äàííàÿ ôîðìóëà íå âûïîëíÿåòñÿ â M = ⟨N ; F ⟩, ãäå
F (x, y) = è ⇔ x ≤ y.
14. ⎛⎜ ∃ x P1 ( x ) & ∃ x P2 ( x ) & ∃ x P3 ( x ) & ∃ x P4 ( x ) & ∃ x P5 ( x ) &
⎝
⎛ 5
⎞⎞
&∀x ⎜ &(Pi ( x ) ⊃ & ¬Pj ( x )) ⎟ ⎟⎟ .
1
=
≠
i
j
i
⎝
⎠⎠
15. (à) Ïóñòü â ñèñòåìå M = ⟨M; σ⟩ äàííàÿ ôîðìóëà ëîæíà.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ýòîé ñèñòåìå ¬ ∃ x A (x) = è, ¬ ∀ x A (x) = ë,
ò.å. ∃ x A (x) = ë è ∀ x A (x) = è. Òàê êàê M ≠ ∅, òî òàêîãî áûòü íå
ìîæåò.
(á) Åñëè áû äàííàÿ ôîðìóëà áûëà ëîæíîé â ñèñòåìå M = ⟨M; σ⟩,
òî â ýòîé ñèñòåìå ∃ x (A (x) & (B ⊃ C (x))) = è, ∀ x (A (x) ⊃ ¬ C (x)) = è,
¬ B = ë. Ïóñòü m ∈ M òàêîâî, ÷òî A (m) = è, (B ⊃ C (m)) = è. Òîãäà
(A (m) ⊃ ¬ C (m)) = è, à çíà÷èò, C (m) = ë. Èìååì B = ë, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ¬ B = ë.
(â) Ïóñòü â ñèñòåìå M = ⟨M; σ⟩ äàííàÿ ôîðìóëà ëîæíà. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî â ýòîé ñèñòåìå ∀ x (A (x) ⊃ ¬ B (x)) = è, ∃ x A (x) = è,
∀ x B (x) = è. Ñóùåñòâóåò m ∈ M òàêîå, ÷òî A (m) = è. Èìååì
(A (m) ⊃ ¬ B (m)) = è, ò.å. B (m) = ë, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ∀ x B (x) = è.
(ã) Åñëè áû äàííàÿ ôîðìóëà áûëà ëîæíîé â ñèñòåìå M = ⟨M; σ⟩,
òî â ýòîé ñèñòåìå ∀ x (A (x) ⊃ ¬ B (x)) = è, ∀ x A (x) = è, ∃ x B (x) = è.
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 5)
203
Ñóùåñòâóåò m ∈ M òàêîå, ÷òî B (m) = è. Èìååì (A (m) ⊃ ¬ B (m)) = è,
ò.å. A (m) = ë, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ∀ x A (x) = è.
18. Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ ôîðìóëû, èñïîëüçóÿ çàäà÷è 16 è 17; ãäå íåîáõîäèìî ïåðåèìåíîâûâàòü ñâÿçàííûå
ïåðåìåííûå ïî çàäà÷å 16 (ñ), (ò).
19. (à) ∀ x ∃ y ∀ z ∃ u ¬ A;
(á) ∃ x ∃ z ∀ y (A (x, y) & B (z, y));
(â) ∃ x ∀ y ∀ z (A (x, y) ∨ B (x, z));
(ã) ∀ x ∃ y ∃ z ∀ t (A (x, y) ⊃ B (z, t)).
20. Ïîëîæèì çíà÷åíèå ôóíêöèè fjmj íà òåðìàõ t1, ..., tmj ðàâíûì
òåðìó fjmj(t1, ..., tmj ). Ïðåäèêàòû îïðåäåëÿåì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì.
21. (à) Ïóñòü a1, ..., an ∈ M. Åñëè M ∃ y1 ... ∃ ym B (a1, ..., an,
y 1 , ..., y m ), òî áåðåì â êà÷åñòâå ϕ i (a 1 , ..., a n ) òàêèå b i , ÷òî
M B (a1, ..., an, b1, ..., bm).
Åñëè M ∃ y 1 ... ∃ y m B (a 1 , ..., a n , y 1 ... y m ), òî â êà÷åñòâå
ϕi(a1, ..., an) ìîæíî âçÿòü ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû.
(á) Ñëåäóåò èç (à).
22. ∀ x ∀ y (((y > ϕ1(x)) ⊃ (y > x)) & (ϕ2(x, y) < ϕ1(x)) & ¬ (ϕ2(x, y) < x)).
Íàïðèìåð, ϕ1(x) = x + 1, ϕ2(x, y) = x.
23. ∀ x ∀ y (P (x, ϕ 2 (x, y)) & ¬ P (y, ϕ 1 (x, y))). Ïîëîæèì,
ϕ1(x, y) = 1 ⇔ P (x, 0) = è; ϕ2(x, y) = 1 ⇔ P (x, 1) = è.
⎧ x − 1, åñëè x > 0,
24. z = ϕ1(x, y) = ⎨
v = ϕ2(x, y) = 1.
åñëè x = 0,
⎩0,
25. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 21.
26. (à) Ïóñòü â íåêîòîðîé ñèñòåìå M = ⟨M; σ; P ⟩ ôîðìóëà
∃ u ∀ x ∃ y A (u, x, y) èñòèííà, à ôîðìóëà ∃ u (∀ x (∃ y A (u, x, y) ⊃
⊃ P (u, x)) ⊃ ∀ x P (u, x)) ëîæíà. Òîãäà ñóùåñòâóåò a ∈ M òàêîå,
÷òî M ∀ x ∃ y A (a, x, y), M ∀ x (∃ y A (a, x, y) ⊃ P (a, x)) è
M ∀ x P (a, x). Ïóñòü x0 ∈ M òàêîâî, ÷òî P (a, x0) = ë. Òîãäà
M ∃ y A (a, x0, y) è M ∀ x ∃ y A (a, x, y). Ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.
Îáðàòíî, äëÿ ëþáîé ñèñòåìû M = ⟨M; σ⟩ ñòðîèì ñèñòåìó
M1 = ⟨M; σ; P⟩, ãäå M1 ∀ u ∀ x (P (u, x) ≡ ∃ y A (u, x, y)). Òîãäà
M1 (∀ x (∃ y A (a, x, y) ⊃ P (a, x)) ⊃ ∀ x P (a, x)) äëÿ íåêîòîðîãî a ∈ M.
Ïîýòîìó M1 ∀ x P (a, x) è, çíà÷èò, M ∃ u ∀ x ∃ y A (u, x, y).
(á) Çàìåòèì, ÷òî A ∼ ∃ v A è ∃ u (∀ x (∃ y A (u, x, y) ⊃ P (u, x)) ⊃
⊃ ∀ x P (u, x)) ∼ ∃ u ∃ z ∃ y ∀ x ((A (u, z , y) ⊃ P (u, z )) ⊃ P (u, x)).
204
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
Ïðèâîäÿ A ê ïðåíåêñíîé íîðìàëüíîé ôîðìå (ñì. çàäà÷ó 18) è
èñïîëüçóÿ íåñêîëüêî ðàç (à) è âûøåïðèâåäåííóþ ýêâèâàëåíòíîñòü, ïîëó÷èì èñêîìóþ A*.
27. Èìååì A A* (ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 26 (à)).
Ïóñòü A = ∃ u ∀ x ∃ y Q (u, x, y). Òîãäà â N , ãäå Q (u, x, y) = è ⇔
⇔ y < x, P (u, x) òîæäåñòâåííî èñòèíåí, A* èñòèííà, A ëîæíà.
⎧ x, åñëè x ∈ M ,
29. Ïóñòü b ∈ M è ϕ(x) = ⎨
⎩b, åñëè x ∈ M 1 \ M .
Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ A äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ c1, ..., cn ∈ M1 èìååì M1 A (c1, ..., cn) ⇔ M A (ϕ (c1), ..., ϕ(cn)).
31. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 30.
32. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 31.
33. Åñëè ∀ x1 ... ∀ xm A (x1, ..., x m) ëîæíà â êàêîé-òî ìîäåëè
M = ⟨M; σ⟩, òî ñóùåñòâóþò a1, ..., am ∈ M òàêèå, ÷òî A (a1, ..., am) = ë.
Òîãäà äàííàÿ ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ ëîæíîé è â ïîäìîäåëè
M1 = ⟨M1; σ⟩, ãäå M1 = {a1, ..., am}. Åñëè íåêîòîðûå èç a1, ..., am ñîâïàäàþò, òî èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 29.
34. Åñëè ∃ x1 ... ∃ xm A (x 1, ..., x m) ëîæíà â êàêîé-òî ìîäåëè
M = ⟨M; σ⟩, òî îíà ÿâëÿåòñÿ ëîæíîé è â ïîäìîäåëè Ma = ⟨{a}; σ⟩,
ãäå a ∈ M (ñì. çàäà÷ó 5 (á)).
35. Åñëè ∀ x1 ... ∀ xm ∃ y1 ... ∃ yn A (x1, ..., xm, y1, ..., yn) ëîæíà â
M = ⟨M; σ⟩, òî ñóùåñòâóþò a1, ..., am ∈ M òàêèå, ÷òî M ∃ y1 ...
... ∃ yn A (a1, ..., am, y1, ..., yn). Òîãäà ýòà ôîðìóëà ëîæíà â ïîäìîäåëè
M1 = ⟨M1; σ⟩, ãäå M1 = {a1, ..., am}. Äàëåå ïðèìåíÿåì, åñëè íóæíî,
çàäà÷ó 29.
36. Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩. Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà M: x ∼ y ⇔ ((P1 (x) ≡ P1 (y)) & ... & (Pn (x) ≡ Pn (y))) = è. Ïóñòü
M1 = M /∼. ßñíî, ÷òî M 1 ≤ 2n. Ïîëîæèì Pi ([x]) = Pi (x). Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ A (x1, ..., xk) äîêàçàòü, ÷òî äëÿ
ëþáûõ a1, ..., a k ∈ M èìååì M1 = ⟨M1; σ⟩ A ([a 1], ..., [a k]) ⇔
⇔ M A (a1, ..., ak).
37. (à) Âûïîëíèìà íà ìîäåëè M = ⟨M; P ⟩, ãäå M = {a, b} è
P (a) = è, P (b) = ë.
(á) Âûïîëíèìà íà ìîäåëè M = ⟨M; P1, P2, P3⟩, ãäå M = {a} è
P1 (a) = P2 (a) = P3 (a) = è.
(â) Íåâûïîëíèìà.
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 5)
205
38. Åñëè ïîäôîðìóëà C ôîðìóëû A èìååò âèä Q y C1 (x1, ..., xk, y),
ãäå Q åñòü ∃ (∀), òî ïðèâåñòè C 1 (x 1, ..., x k, y) ê âèäó ∨ ⎜⎛ & Ci j ⎞
i ⎝ j
⎠
⎛
⎛
⎞⎞
⎜ñîîòâåòñòâåííî & ⎜ ∨ Ci j ⎟ ⎟ , ãäå êàæäîå Cij íà÷èíàåòñÿ ñ êâàíòîðà
i
j
⎝
⎠⎠
⎝
èëè èìååò âèä P (z) èëè ¬ P (z) äëÿ íåêîòîðîãî P èç σ è ïåðåìåííîé z. Äàëåå èñïîëüçîâàòü ýêâèâàëåíòíîñòè èç çàäà÷è 16. Ïîâòîðÿÿ ïðîöåññ, ïîëó÷èì òðåáóåìóþ ôîðìóëó.
39. Ïóñòü A âûïîëíèìà â M = ⟨M; σ⟩. Êàæäîìó Ci (1 ≤ i ≤ k) ñîïîñòàâëÿåì ýëåìåíò ai ∈ M òàêîé, ÷òî M Ci1(ai), ãäå Ci = (∃ x) Ci1(x).
Ïîëàãàåì çíà÷åíèå Bij ðàâíûì çíà÷åíèþ Pj(ai). Òîãäà A1 èñòèííà.
Îáðàòíî. Ïóñòü A1 = è ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé Bij.
Âîçüìåì M = {a1, ..., ak} è ïîëîæèì çíà÷åíèå Pj (ai) ðàâíûì çíà÷åíèþ Bij. Òîãäà M = ⟨M; σ⟩ A.
40. Ñíà÷àëà èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 38. Çàòåì ïðèâåñòè ïîëó÷åííóþ ôîðìóëó B ê ä.í.ô. B1, â êîòîðîé âìåñòî ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ ïîäñòàâëåíû ∃-ñîñòàâëÿþùèå. Äàëåå ïðèìåíèòü çàäà÷ó 39. Ïðè íåîáõîäèìîñòè âîñïîëüçîâàòüñÿ ýêâèâàëåíòíîñòüþ
C ∼ ((∃ x P (x) & C ) ∨ (∃ x ¬ P (x) & C )).
41. (à) Âûïîëíèìà. Íàïðèìåð, M = {a, b}, P (a) = Q (a) = Q (b) = è,
P (b) = ë.
(á), (â) Íåâûïîëíèìà.
42. (à) ∀ x1 ∀ x2 ... ∀ xn ∀ xn + 1 (x1 = x2 ∨ ... ∨ x1 = xn ∨ x1 = xn + 1 ∨ ...
... ∨ xn = xn + 1).
(á) Ñì. çàäà÷ó 43.
(â) ∃ x1 ∃ x2 ... ∃ xn (¬ x1 = x2 & ... & ¬ x1 = xn & ... &¬ xn − 1 = xn & ∀ y
(y = x1 ∨ y = x2 ∨ ... ∨ y = xn)).
43. (â) Èñïîëüçîâàòü óêàçàíèå ê çàäà÷å 38 è (á).
(ã) Ïðèâåñòè A ê ä.í.ô. è èñïîëüçîâàòü (à).
44. Íàïðèìåð, {E1, E2, E3, ...} (ñì. çàäà÷ó 43 (à)).
45. Çàïèñàòü ôîðìóëó c = è îäíèì äâóìåñòíûì ïðåäèêàòîì P,
îçíà÷àþùóþ, ÷òî ïðåäèêàò P èððåôëåêñèâåí, ñèììåòðè÷åí è
ÿâëÿåòñÿ âñþäó îïðåäåëåííîé 1−1-ôóíêöèåé.
206
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
§ 6. Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ
1. Âûâîä ñåêâåíöèè â ÈÑ ÿâëÿåòñÿ âûâîäîì â ÈÏÑ.
2. Òðåáóåìûé âûâîä ïîëó÷àåòñÿ èç âûâîäà â ÈÑ çàìåíîé âñåõ
ôîðìóë Ñ íà Ñ (P \B ).
3. Àíàëîãè÷íî çàäà÷àì 3 è 6 èç § 3.
4. (à) Èç àêñèîìû A (y) A (y) ñ ïîìîùüþ ïðàâèë 18 è 19.
(á) Èç àêñèîìû ∀ x A (x) ∀ x A (x) ñ ïîìîùüþ ïðàâèë 16 è 17.
5. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 3 è ïðàâèëà 16 è 17.
8. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 7.
9. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 6 è 8. Ñì. òàêæå óêàçàíèå ê çàäà÷å 18 èç § 5.
11. Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ, èñïîëüçóÿ çàäà÷è
1, 9 èç § 3 è çàäà÷è 6 è 8.
12. Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 28 èç § 1.
14. (à) Íåò.
(á) Äà.
(â) Äà.
15. (à), (á) y ñâîáîäíî äëÿ x â A (x) è y íå âõîäèò ñâîáîäíî â
A (x).
17. (à) Èç àêñèîìû 11 ïî ïðàâèëó II.
(á) Èç àêñèîìû 12 ïî ïðàâèëó III.
(â) Äîêàçàòü ñíà÷àëà (∀ y A (x, y) ⊃ ∃ x A (x, y)).
18. (à) Íåò.
(á) Äà.
21. Ïóñòü B1, ..., Bk âûâîä B èç Γ, A è Δ(Bi) ñîîòâåòñòâóþùèå ýòîìó âûâîäó ìíîæåñòâà ôîðìóë. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî
äëèíå âûâîäà, ÷òî êàæäàÿ èç ôîðìóë (A ⊃ Bi) (1 ≤ i ≤ k) èìååò
âûâîä èç Γ, ïðè÷åì â ýòîì âûâîäå Δ1(A ⊃ B1) ⊆ Δ(Bi) ∩ Γ. Ðàññìîòðèì ëèøü ñëó÷àé, êîãäà Bi åñòü íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå
Bj = (C ⊃ A1 (x)) ïî ïðàâèëó 2. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè èìååì Γ (A ⊃ (C ⊃ A1 (x))) è Δ1((A ⊃ (C ⊃ A1 (x)))) ⊆ ((C ⊃ A1 (x))) ∩ Γ
è x íå âõîäèò ñâîáîäíî â C è ôîðìóëû èç Δ((C ⊃ A1)). Âîçìîæíû
äâà ñëó÷àÿ.
1. A ∉ Δ((C ⊃ A1 (x))). Òîãäà Γ (C ⊃ ∀ y A1 (y)) è Γ (A ⊃ (C ⊃
⊃ ∀ y A 1 (y))) ïî àêñèîìå 1. Èìååì Δ1((A ⊃ (C ⊃ ∀ y A1 (y)))) ⊆
⊆ Δ((C ⊃ ∀ y A1 (y))) ∩ Γ.
2. A ∈ Δ((C ⊃ A1 (x))). Òîãäà x íå âõîäèò ñâîáîäíî â A è â
Δ1((A ⊃ (C ⊃ A1 (x)))). Òîãäà Γ (A ⊃ (C ⊃ A1 (x))), Γ ((A & C ) ⊃
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 6)
207
⊃ A1 (x)), Γ ((A & C) ⊃ ∀ y A1 (y)), Γ (A ⊃ (C ⊃ ∀ y A1 (y))). Ñëåäîâàòåëüíî, Δ1((A ⊃ (C ⊃ ∀ y A1 (y)))) = Δ1(A ⊃ (C ⊃ A1 (x))).
24. (â) Ïóñòü T àêñèîìà áåç ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ. Òîãäà
Γ (T ⊃ A (x)), Γ (T ⊃ ∀ x A (x)), Γ ∀ x A (x).
26. Â ôîðìóëàõ âûâîäà B èç A çàìåíèòü âñå ñâÿçàííûå âõîæäåíèÿ ïåðåìåííûõ z1, ..., zn íà ïåðåìåííûå x1, ..., xn, íå âõîäÿùèå
íè â îäíó èç ðàññìàòðèâàåìûõ ôîðìóë. Äîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷èòñÿ
âûâîä B èç A.
27. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 26.
28. Åñëè â âûâîäå A èç Γ èñïîëüçîâàëèñü êîíñòàíòû èëè ôóíêöèîíàëüíûå ñèìâîëû, íå âõîäÿùèå â σ, òî çàìåíÿåì âåçäå â
âûâîäå êîíñòàíòû íà ïåðåìåííûå, íå âõîäÿùèå â ýòîò âûâîä, à
f (x1, ..., xn) íà x1. Äîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ôîðìóë áóäåò âûâîäîì A èç Γ.  ïîëó÷åííîì âûâîäå âñå àòîìíûå
ïîäôîðìóëû ñ ïðåäèêàòàìè âíå σ çàìåíÿåì íà R = ∀ y Q (y, ..., y),
ãäå Q ïðåäèêàòíûé ñèìâîë èç σ, à y ïåðåìåííàÿ, íå âñòðå÷àþùàÿñÿ â âûâîäå. Äîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷èòñÿ òðåáóåìûé âûâîä.
29. Äîêàçàòü àêñèîìû è ïðàâèëà âûâîäà ÈÏ â ÈÏÑ.
30. Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 30 èç § 3.
31. Ñì. çàäà÷è 8, 29 è 30.
32. Èíäóêöèåé ïî äëèíå âûâîäà A èç Γ.
34. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 32.
35. Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 25 èç § 3.
37. Ïåðåíóìåðóåì âñå ïðåäëîæåíèÿ ñèãíàòóðû σ: A0, A1, A2, ...
Ïîëîæèì
T0 = T,
⎧⎪Ti 7 { A i }, åñëè Ti 7 { A i } íåïðîòèâîðå÷èâî,
Ti +1 = ⎨
⎪⎩Ti 7 {¬ A i } â ïðîòèâíîì ñëó÷àå,
T = 7 Ti .
i∈N
Äîêàçàòü, ÷òî âñå Ti íåïðîòèâîðå÷èâû, T ïîëíî è íåïðîòèâîðå÷èâî.
39. (á) Ïóñòü Γ ∀ A (x). Òîãäà Γ ¬ ∀ x A (x), Γ ∃ x ¬ A (x),
Γ ¬ A (t) è Γ A (t) äëÿ íåêîòîðîãî t.
208
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
41. Ïóñòü A0, A1, ... âñå ïðåäëîæåíèÿ ñèãíàòóðû σ′ = σ ∪
∪ {c0, c1, ...}, ãäå ci âñå ïðåäìåòíûå êîíñòàíòû, íå âõîäÿùèå â
σ. Ïîëîæèì
T0 = T,
⎧Ti 7 {¬ A i },
⎪
⎪Ti 7 {∃ x B ( x ), B (c j )},
⎪
Ti +1 = ⎨
⎪
⎪
⎪Ti 7 { A i }
⎩
åñëè Ti 7 { A i } ïðîòèâîðå÷èâî,
åñëè Ti 7 { A i } íåïðîòèâîðå÷èâî, A i
èìååò âèä ∃ x B ( x ) è c j ïåðâàÿ
êîíñòàíòà, íå âõîäÿùàÿ â Ti è A i ,
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
T = 7 Ti .
i ∈N
Äîêàçàòü, ÷òî âñå Ti íåïðîòèâîðå÷èâû, T íåïðîòèâîðå÷èâî è
ïîëíî â ñèãíàòóðå σ′ (ñì çàäà÷è 40, 36). Îïðåäåëèì M = ⟨M; σ⟩.
Ïóñòü M ìíîæåñòâî òåðìîâ ñèãíàòóðû σ′ áåç ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ. Îïðåäåëèì íà M ôóíêöèè è ïðåäèêàòû èç σ:
çíà÷åíèå f (t1, ..., tn) åñòü òåðì f (t1, ..., tn);
M P (t1, ..., tn) ⇔ T P (t1, ..., tn).
Äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ ôîðìóëû
A (x1, ..., xn), ÷òî äëÿ ëþáûõ t1, ..., tn ∈ M èìååì M A (t1, ..., tn) ⇔
⇔ T A (t1, ..., tn). Òîãäà M åñòü èñêîìàÿ ñèñòåìà.
42. Ïîñòðîåííàÿ â óêàçàíèè ê çàäà÷å 41 ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíîé. Ñì. òàêæå çàäà÷ó 34.
43. {¬ A } íåïðîòèâîðå÷èâî; ñì. äàëåå çàäà÷è 41 è 42.
44. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 25, 33, 43.
45. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 43.
46. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 42.
47. Ìíîæåñòâî Γ ∪ {¬ A } íåâûïîëíèìî è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîòèâîðå÷èâî.
48. Åñëè Γ íåâûïîëíèìî, òî Γ ïðîòèâîðå÷èâî (ñì. çàäà÷ó 41).
Òàê êàê âñÿêèé âûâîä ñîäåðæèò òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ôîðìóë,
òî ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî Γ1 ⊆ Γ, ÿâëÿþùååñÿ ïðîòèâîðå÷èâûì è, çíà÷èò, íåâûïîëíèìûì.
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 7)
209
49. Åñëè Γ íåâûïîëíèìî, òî ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ïðîòèâîðå÷èâîå ïîäìíîæåñòâî Γ0 ⊆ Γ (ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 47). Êîíúþíêöèÿ ôîðìóë èç Γ0 ñîñòàâëÿåò ïðîòèâîðå÷èâîå ìíîæåñòâî.
50. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 32 è 48.
51. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 50 è òîãî, ÷òî âñÿêèé âûâîä êîíå÷åí.
52. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 13 èç § 5 è çàäà÷è 33.
53. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 4 èç § 5 è çàäà÷è 44.
54. Èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 44.
(à), (á), (ã) Íåò.
(â), (ä) Äà.
§ 7. Àêñèîìàòè÷åñêèå òåîðèè
1. Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ t è A.
2. Ñì. çàäà÷ó 50 èç § 6.
3. Ñì. çàäà÷ó 50 èç § 6.
4. Ïóñòü â M = ⟨M; σ⟩ èñòèííû âñå àêñèîìû T. Ïîëîæèì
x ∼ y ⇔ M x = y.
Äîêàçàòü, ÷òî ∼ ýêâèâàëåíòíîñòü íà M, à M1 = ⟨M /∼; σ⟩, ãäå
a k = [a k ] , f ([x 1 ] , . . . , [ x n ] ) = [f (x 1 , ..., x n )], P ([x 1 ] , . . . , [x m ] ) =
= P (x1, ..., xm), äëÿ ak, f, P ∈ σ, åñòü òðåáóåìàÿ ìîäåëü.
5. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 41 èç § 6 è çàäà÷è 4.
6. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 50 èç § 6 è çàäà÷è 4.
7. Ïóñòü C àòîìíàÿ ôîðìóëà. Èùåì â C ïåðâîå âõîæäåíèå
òåðìà f (t1, ..., tn), ãäå t1, ..., tn íå ñîäåðæàò f. Ïóñòü C ′ åñòü ðåçóëüòàò çàìåíû ýòîãî âõîæäåíèÿ â C íà ïåðåìåííóþ z, íå âõîäÿùóþ
â C. Ïîëîæèì C + = ∃ z (A (t1, ..., tn, z) & C ′). Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïîëó÷èì ôîðìóëó C* äëÿ C, íå ñîäåðæàùóþ f. Åñëè C íå
ñîäåðæèò f, òî C* = C.
Äàëåå îáîçíà÷àåì ÷åðåç B* äëÿ ëþáîé ôîðìóëû B ðåçóëüòàò
çàìåíû êàæäîé àòîìíîé ïîäôîðìóëû C íà C*. Óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è ñëåäóþò èç çàäà÷è 21 èç § 5 è çàäà÷è 6.
8. Ìíîæåñòâî T1 = T ∪ {E1, E2, ...}, ãäå E1, E2 âçÿòû èç çàäà÷è 43
èç § 5, âûïîëíèìî è, ñëåäîâàòåëüíî, íåïðîòèâîðå÷èâî. Ââèäó
çàäà÷è 42 èç § 6 ìíîæåñòâî T1 âûïîëíèìî â ñ÷åòíîé ñèñòåìå M.
Ïîñòóïàÿ òàê æå, êàê â óêàçàíèè ê çàäà÷å 4, ïîëó÷èì íîðìàëüíóþ
210
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
ìîäåëü M1 äëÿ T1. Òîãäà M1 áåñêîíå÷íà, òàê êàê E1, E2, ... èñòèííû â M1.
9. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 5 è òîãî, ÷òî ìíîæåñòâî ôîðìóë ÿâëÿþòñÿ
ïðîòèâîðå÷èâûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîòèâîðå÷èâî íåêîòîðîå êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî.
10. Ìíîæåñòâî T1 = T ∪ {E1, E2, ...} (ñì. çàäà÷ó 41 èç § 5) âûïîëíèìî, òàê êàê âûïîëíèìî êàæäîå åãî êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî (ñì. çàäà÷ó 9). Ëþáàÿ ìîäåëü äëÿ T1 áåñêîíå÷íà.
11. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 10.
12. Ïóñòü G ìíîæåñòâî àêñèîì òåîðèè ãðóïï. Ìíîæåñòâî
G ∪ {E1, E2, ...} ∪ {¬ A} (ñì. çàäà÷ó 43 èç § 5) íåâûïîëíèìî. Òîãäà íåâûïîëíèìî íåêîòîðîå êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî G ∪ {E1, ..., En} ∪ {¬ A}
(ñì. çàäà÷ó 9). Îòñþäà A èñòèííà íà ãðóïïàõ c íå ìåíåå ÷åì n
ýëåìåíòàìè.
13. Ïðåäëîæåíèÿ E2 è ¬ E2 (ñì. çàäà÷ó 43 èç § 5) íå ÿâëÿþòñÿ
òåîðåìàìè òåîðèè Å (ñì. çàäà÷ó 2).
14. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 2 è 6.
15. Ñì. çàäà÷ó 43 èç § 5.
16. (à) Íåò.
(á) Äà.
17. Ïðåäëîæåíèå ∀ x ∃ y P (x, y) ëîæíî â ìîäåëè M = ⟨M; P ⟩
òåîðèè T, ãäå M = {a}, P (a, a) = ë; ïðåäëîæåíèå ¬ ∀ x ∃ y P (x, y)
ëîæíî â ìîäåëè M1 = ⟨N ; P ⟩ òåîðèè T, ãäå P (x, y) = è ⇔ x < y.
Ïîýòîìó îáà ýòè ïðåäëîæåíèÿ íåâûâîäèìû â T è, ñëåäîâàòåëüíî, T íåïîëíàâ.
18. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü àðèôìåòèêè N ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ òåîðèè Q.
19. Äëÿ êàæäîé èç àêñèîì Q i ïðèâåäåì ïðèìåð ñèñòåìû
^
M = ⟨ M ; ^s, +^, ^⋅ , 0⟩ òàêîé, ÷òî íà ýòîé ñèñòåìå èñòèííû âñå àêñèî-
ìû Q1−Q7, êðîìå Qi; ýòî áóäåò äîêàçûâàòü íåçàâèñèìîñòü ñèñòåìû
àêñèîì {Q1, ..., Q7}.
^
^
^
Äëÿ Q1: M = {0, 1}, 0 = 0, s (x) = 1 äëÿ âñåõ x, x + y = max (x, y),
^
x ⋅ y = min (x, y).
^
^
^
^
Äëÿ Q2: M = {0}, 0 = 0, s (0) = 0, 0 + 0 = 0 ⋅ 0 = 0.
Äëÿ Q3: M ìíîæåñòâî îðäèíàëüíûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ ω ⋅ 2;
^
^
^
=
0 0, s (α) = α + 1, + è ⋅ îáû÷íûå ñëîæåíèå è óìíîæåíèå
îðäèíàëüíûõ ÷èñåë.
^
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 7)
^
211
Äëÿ Q4: M = N , 0 = 0, s (x) = x + 1, x + y = y, x ⋅ y = 0, åñëè
^
y = 0, x ⋅ y = x, åñëè y ≠ 0.
^
^
^
^
Äëÿ Q5: M = N , 0 = 0, ^s (x) = x + 1, x + y = x, x ^⋅ y = 0.
^
^
^
Äëÿ Q6: M = N , 0 = 0, s (x) = x + 1, x + y = x + y, x ^⋅ y = x ⋅ y + 1.
^
^
^
^
Äëÿ Q7: M = N , 0 = 0, s (x) = x + 1, x + y = x + y, x ⋅ y = y.
^
20. (à) Ïóñòü
^
M = N ∪ {a}; 0 = 0,
⎧ x + 1, åñëè x ∈ N ,
s(x ) = ⎨
åñëè x = a,
⎩a,
^
⎧ x + y, åñëè x, y ∈ N ,
^
x+ y=⎨
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ,
⎩a
åñëè x, y ∈ N ,
åñëè x = 0 èëè y = 0,
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
⎧ x ⋅ y,
⎪
x ⋅ y = ⎨0,
⎪a
⎩
^
^ ^ ^ ^
Òîãäà M = ⟨ M ; s , +, ⋅ , 0⟩ ìîäåëü äëÿ Q, íî ôîðìóëà ¬ x = s (x)
ëîæíà ïðè x = a.
(á)−(ì) Ïóñòü
^
M = N ∪ {a, b}; 0 = 0,
⎧ x + 1, åñëè x ∈ N ,
⎪
s ( x ) = ⎨b,
åñëè x = a,
⎪a,
åñëè x = b,
⎩
^
^
x + y = x + y, åñëè x, y ∈ N; x + y = b, åñëè y = a èëè (x = a è y íå÷åò^
íî) èëè (x = b è y ÷åòíî); x + y = a, åñëè y = b èëè (x = a è y ÷åòíî)
^
èëè (x = b è y íå÷åòíî).
^
^
^
x ⋅ y = x ⋅ y, åñëè x, y ∈ N ; x ⋅ y = 0, åñëè y = 0; x ⋅ y = b, åñëè
^
(x = a è y ≠ 0) èëè (x íå÷åòíî è y = b); x ⋅ y = a, åñëè (x ∈ N è y = a)
èëè (x ÷åòíî è y = b) èëè (x = b è y ≠ 0).
^ ^ ^ ^
Òîãäà M = ⟨ M ; s , +, ⋅ , 0⟩ ìîäåëü äëÿ Q, íî âñå ôîðìóëû
(á)−(ì) ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ x, y, z ëîæíû íà M.
212
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
21. (à) Åñëè y = s (z), òî 0 = x + y = x + s (z) = s (x + z), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò Q2. Åñëè y = 0, òî x + 0 = 0 è x + 0 = x (ïî Q4). Ïî Å2 è Å3
èìååì x = 0.
(á) Åñëè y = s (z), òî 0 = x ⋅ y = x ⋅ s (z) = x z + x è ââèäó (à) x z = 0
è x = 0.
22. Ðàññìîòðèì ìîäåëü M = ⟨M; s, +, ⋅, 0⟩ äëÿ Q. Äîêàæåì, ÷òî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 0, s (0), s (s (0)), ... ñîñòîèò èç ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ. Åñëè s i (0) = s i + k (0), òî, ïðèìåíÿÿ i ðàç Q1, ïîëó÷èì, ÷òî
0 = s k (0), à ýòî ïî Q2 ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ ëèøü ïðè k = 0.
23. (à) Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 18.
(á) Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 20 (à).
(â) Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 20 (á).
(ã) Ñ÷èòàÿ a0 = ℵ0, ai + 1 = 2ai, ïîëîæèòü s (ai) = ai ïðè ëþáîì i,
s (x) = x + 1 äëÿ x ∈ N . Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå îïðåäåëèòü, êàê äëÿ
êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë.
24. (à) Ïóñòü r îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå
^
^
^
ìåæäó N è . Ïîëîæèì 0 = r (0), s (x) = rsr −1 (x), x + y = r (r −1 (x) +
^
−1
−1
−1
+ r (y)), x ⋅ y = r (r (x) ⋅ r (y)), ãäå 0, s, +, ⋅ îïðåäåëÿþòñÿ,
êàê â ñòàíäàðòíîé ìîäåëè.
(á), (â) Àíàëîãè÷íî (à).
z
25. Ìîäåëüþ òåîðèè P ñëóæèò ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü àðèôìåòèêè.
26. Ñ ïîìîùüþ àêñèîìû PA äëÿ A (x) (¬ x = 0 ⊃ ∃ y (x = s (y)))
ëåãêî äîêàçàòü Q3.
27. Äîêàæåì, íàïðèìåð, (à). Ïóñòü A (x) ¬ (x = s (x)). Òîãäà A (0)
âûâîäèìà ïî Q2, ∀ x (A (x) ⊃ A (s (x))) ïî Q1. Ïî PA èìååì ∀ x A (x).
28. Ïóñòü σ1 = ⟨s, +, ⋅, 0, c⟩ è T òåîðèÿ, àêñèîìàìè êîòîðîé
ÿâëÿþòñÿ âñå àêñèîìû òåîðèè P è ôîðìóëû ¬ c = Δ0, ¬ c = Δ1, ...
Òîãäà T âûïîëíèìà ââèäó çàäà÷è 9. Ïóñòü M = ⟨M; s, +, ⋅, 0, c⟩
ìîäåëü äëÿ T. Äîïóñòèì, ÷òî M è N èçîìîðôíû è ϕ èçîìîðôèçì M íà N. Òîãäà ϕ(0) = 0, ϕ(s (0)) = s (ϕ(0)) = s (0), ... Èìååì
ϕ(c) = k äëÿ íåêîòîðîãî k ∈ N , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè ϕ.
31. (à) Ïðèìåíèòü àêñèîìó èíäóêöèè PB äëÿ
B (x) ∀ z (z < x ⊃ A (z)).
(á) Èñïîëüçîâàòü (à) äëÿ ôîðìóëû ¬ A (x).
(â) Ñëåäóåò èç (á).
33. (à) (¬ x = Δ1 & ∀ y ∀ z (x = y ⋅ z ⊃ (y = Δ1 ∨ z = Δ1))).
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 7)
213
(á) Îáû÷íîå àðèôìåòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî.
⎡x⎤
34. (â) Ïóñòü p = d (y, u). Òîãäà z /x, z /y, à òàê êàê x = y ⋅ ⎢ ⎥ + u,
⎣y⎦
òî z /u. Èìååì z /p. Îáðàòíî, p /y, p /u, çíà÷èò, è p /x è p /z. Èìååì p = z.
(ã) Äîêàçàòü âíà÷àëå èíäóêöèåé ïî x óòâåðæäåíèå äëÿ x > y > 0.
⎡ x1 ... xn ⎤
(ä) Ïóñòü ui = ⎢
⎥ . Òàê êàê d (ui, xi) = Δi, òî ñóùåñòâóþò
⎣ xi ⎦
zi, vi òàêèå, ÷òî ui zi = xi vi + 1 (ñì. (ã)). Èñêîìîå z ðàâíî u1 z1 y1 +
+ ... + un zn yn.
(å) Ïóñòü ki = β(x, y, i) äëÿ 0 ≤ i ≤ z, j = max (z, u, k0, ..., kz). Ïîëîæèì y1 = j ! Äëÿ ÷èñåë ui = 1 + (i + 1) y1 è uk = 1 + (i + 1) y1 ïðè i ≠ k
è 0 ≤ i, k ≤ z + 1 èìååì d (ui, uk) = 1. Ïî (ä) ñóùåñòâóåò x1 òàêîå,
÷òî rest (x1, ui) = ki äëÿ 0 ≤ i ≤ z è rest (x1, uz +1) = u.
35. Äîêàæåì, íàïðèìåð, ÷òî R4(n) è R5(n) âûâîäèìû â Q äëÿ
êàæäîãî n ∈ N .
R4(0) = ∀ x (x ≤ 0 ⊃ x = 0). Ïóñòü x ≤ 0 è ¬ x = 0. Òîãäà íàéäóòñÿ z è y
òàêèå, ÷òî z + x = 0 è x = s (y). Èìååì 0 = z + x = z + s (y) = s (z + y),
÷òî ïðîòèâîðå÷èò Q2. Ïóñòü R4(n) óæå äîêàçàíî è x ≤ Δn + 1. Òîãäà
íàéäåòñÿ z òàêîå, ÷òî z + x = Δn + 1. Åñëè x = 0, òî x = Δ0. Åñëè ¬ x = 0,
òî x = s (y) äëÿ íåêîòîðîãî y. Èìååì s (Δn) = Δn + 1 = z + x = z + s (y) =
= s (z + y). Òàêèì îáðàçîì, ïî Q1 èìååì z + y = Δn. Òîãäà ïî R4(n)
èìååì (y = Δ0 ∨ ... ∨ y = Δn).  ýòîì ñëó÷àå (x = Δ0 ∨ ... ∨ x = Δn + 1). Èòàê,
R4(n + 1) äîêàçàíî.
Ïî Q4 èìååì 0 ≤ x è, çíà÷èò R5(0). Ïóñòü R5(n) óæå äîêàçàíî. Åñëè
x = 0, òî x ≤ Δn + 1. Åñëè ¬ x = 0, òî íàéäåòñÿ y òàêîå, ÷òî x = s (y).
Åñëè y ≤ Δn, òî z + y = Δn äëÿ íåêîòîðîãî z, à çíà÷èò, z + s (y) =
= z + x = Δn + 1, ò.å. x ≤ Δn + 1. Åñëè Δn ≤ y, òî z + Δn = y äëÿ íåêîòîðîãî
z, à çíà÷èò, z + Δn + 1 = s (y) = x, ò.å. Δn + 1 ≤ x. Èòàê, R5(n + 1) äîêàçàíî.
36. Íåò. Íàïðèìåð, èç R1(00), R1(11), R3(02), ñëåäóåò R3(01).
37. Ïóñòü M = ⟨M; s, +, ⋅, 0⟩ åñòü ìîäåëü äëÿ R. Ïîëîæèì
M1 = {Δi | i ∈ N }. Ðàññìîòðèì ïîäñèñòåìó M1 = ⟨M1; s, +, ⋅, 0⟩. Èçîìîðôèçìîì ìåæäó N è M1 ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèå ϕ: N → M1, ãäå
ϕ(i ) = Δi .
38. (à) Èç ZF3, ãäå A ¬ z = z. Åäèíñòâåííîñòü 0 ñëåäóåò èç ZF1.
(á) Èç ZF2 è ZF1.
(â) Èç (á): {x} = {x, x}.
(ã) Èç ZF1 è ZF2. Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 23 èç § 1 ÷àñòè I.
214
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
(ä) Ñëåäóåò èç (ã).
(å) Èç ZF4 è ZF1.
(æ) Èç ZF1 è ZF3 äëÿ A ∃ z1 ∃ z2 (z1 ∈ x1 & z2 ∈ x2 & z = ⟨z1, z2⟩),
âçÿâ P (P (x1 ∪ x2)) âìåñòî x.
(ç) Ñëåäóåò èç (æ).
(è) Ñëåäóåò èç (ã) è ZF9 äëÿ A (t, s) ∃ z (⟨s, z⟩ ∈ t).
(ê) Èç ZF5 è ZF1.
(ë) Âçÿòü â (ã) ïàðó {x, y} â êà÷åñòâå x.
(ì) Èç ZF3 ïðè A x ∈ y.
(í) Èç ZF3, âçÿâ ∪ x âìåñòî x è A (t) ∀ u (u ∈ t ⊃ z ∈ u) ïðè t = x.
39. (à) Èç ZF8, âçÿâ {x} âìåñòî x.
(á) Èç ZF8, âçÿâ {x, y} âìåñòî x.
(â) Èç ZF8, âçÿâ {x, y, z} âìåñòî x.
40. (à) Èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 39 (á), (â).
(á) Ñëåäóåò èç (à).
(â) Ñëåäóåò èç (à), çàäà÷è 39 (à) è ZF8.
(ä) Ïî ZF3 ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî {z | z ∈ x & ¬ A (z)}. Äàëåå
èñïîëüçîâàòü (â).
(å) Ïóñòü A (x, y) (x ∈ y ∨ y ∈ x ∨ x = y). Èç ¬ ∀ x ∀ y A (x, y)
ìîæíî âûâåñòè ïî (ä) ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ x0 è y0, ÷òî ¬ A (x0, y0),
∀ t ∀ u (t ∈ x0 ⊃ A (t, t)) è ∀ t (t ∈ y0 ⊃ A (x0, t)). Òîãäà x0 ⊆ y0 è y0 ⊆ x0.
Ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.
41. (â) Ïóñòü x óäîâëåòâîðÿåò ZF7 è z = {y | y ∈ x & Ord (y}. Òîãäà
L (∪ z).
(ã) Ñëåäóåò èç (â) è çàäà÷è 40 (ä), (ç).
42. (â) Ñëåäóåò èç çàäà÷ 38 (â), (ë) è 41 (ä).
(å) Ïóñòü (N (x) & ¬ x = 0) è ¬ ∃ y (N (y) & x = s (y)). Ïîýòîìó
L (x) ââèäó (á). Òîãäà ¬ x ∈ ω. Ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.
43. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 40 (ä).
44. (à), (ã) Èñïîëüçîâàòü ïðèíöèï èíäóêöèè ïî x (ñì. çàäà÷ó
43) äëÿ ôîðìóë
∀ y (N (y) ⊃ ∃ ! z (N (z) & x + y = z)),
∀ y (N (y) ⊃ ∃ ! z (N (z) & x ⋅ y = z)).
45. Ïóñòü A1, ..., An âûâîä A â òåîðèè P. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ai∀
ôîðìóëó ∀ x1 ... ∀ xmAi, ãäå x1, ..., xm âñå ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå
Ai. Äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî i, ÷òî ρN (Ai∀) åñòü òåîðåìà ZF, èñïîëüçóÿ çàäà÷è 42, 43, 44.
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 8)
215
§ 8. Ôèëüòðîâàííûå ïðîèçâåäåíèÿ
4. Åñëè ôèëüòð D íåãëàâíûé, òî äëÿ ëþáîãî X ∈ D ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íàÿ ñòðîãî óáûâàþùàÿ öåïî÷êà X ⊃ X1 ⊃ X2 ⊃ ...
ìíîæåñòâ èç D.
5. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 4.
6. Ñì. çàäà÷ó 66 èç § 3 ÷àñòè I.
7. Ïóñòü a, b ∈ I, a ≠ b, D1 = {X | a ∈ X ⊆ I }, D2 = {X | b ∈ X ⊆ I }.
Òîãäà íå ñóùåñòâóåò ôèëüòðà D, ñîäåðæàùåãî D1 è D2, òàê êàê
{a} ∩ {b} = ∅.
8. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 64 èç § 3 ÷àñòè.
10. Ïóñòü Ψ ñîäåðæèòñÿ â ôèëüòðå Ôðåøå Φ, X1, ..., Xk ∈ Ψ. Òîãäà X1 ∩ ... ∩ Xk ∈ Φ. Åñëè X 1 1 ... 1 X k < I , òî I \(X1 ∩ ... ∩ Xk) ∈ Φ.
Ïðîòèâîðå÷èå.
Îáðàòíî. Ïóñòü X 1 1 ... 1 X k = I , I \Y < I . Òîãäà
X 1 1 ... 1 X k 1 Y = ( X 1 1 ... 1 X k )\( X 1 1 ... 1 X k 1 (I \Y )) = I .
Ïîýòîìó Ψ ∪ Φ, ãäå Φ ôèëüòð èç çàäà÷è 9, ñîäåðæèòñÿ â
íåêîòîðîì ôèëüòðå Ôðåøå.
11. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 5.
13. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 11.
14. Ñì. çàäà÷ó 67 èç § 3 ÷àñòè I.
15. Ïóñòü D ôèëüòð íàä I, X ⊆ I, X ∉ D. Òîãäà Y ∩ (I \X ) ≠ ∅
äëÿ ëþáîãî Y ∈ D. Ïîýòîìó D ∪ {I \X } ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì
óëüòðàôèëüòðå Φ (ñì. çàäà÷è 12 è 14).
18. Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü X 1 ∈ G 1\F, ..., X n ∈ G n \F. Òîãäà
X1 ∪ ... ∪ Xn ∈ (G1 ∩ ... ∩ Gn)\F (ñì. çàäà÷ó 17).
19. Íàïðèìåð, Gj = {X | j ∈ X ⊆ J }, F óëüòðàôèëüòð Ôðåøå
íàä J.
20. Ïóñòü A = 1 X , a, b ∈ A, a ≠ b. Òîãäà {a} ∉ F, I \{a} ∉ F. Ïðîòèâîðå÷èå.
X ∈F
22. Ïóñòü Y i ∈ D äëÿ i = 0, 1, 2, ... Ïîëîæèì X i = (Y 0 ∩ ...
... ∩ Yi) \ 1 Y j .
j ∈N
216
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
23. Äîêàæåì òðàíçèòèâíîñòü ∼. Ïóñòü f1 ∼ f2, f2 ∼ f3. Òîãäà
I1 = {i | f1 (i) = f2 (i) ∈ D, I2 = {i | f2 (i) = f3 (i)} ∈ D,
I1 ∩ I2 ⊆ I3 = {i | f1 (i) = f3 (i)} ∈ D è f1 ∼ f3.
25. Òðåáóåìûé èçîìîðôèçì åñòü ϕ(f ) = {f }, ãäå f ∈ ∏ Mi .
i ∈I
26. Ïóñòü I = {0, 1}, D {{0}, I }, Mi = ⟨Mi; P1⟩, ãäå M0 P (m) äëÿ
ëþáîãî m ∈ M0, M1 P (m) äëÿ ëþáîãî m ∈ M1. Òîãäà ãîìîìîð-
ôèçì ∏ Mi íà ∏ Mi /D íå ÿâëÿåòñÿ ñèëüíûì.
i ∈I
i ∈I
27. Äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî äëèíå ôîðìóëû A ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ïóñòü A (x1, ..., xn) åñòü ôîðìóëà áåç ¬ è ⊃, âñå ñâîáîäíûå ïåðå-
ìåííûå êîòîðîé åñòü x1, ..., xn. Òîãäà, åñëè ∏ Mi A ( f1, ..., fn), òî
i ∈I
∏ Mi /D A ( f1/D, ..., fn /D).
i ∈I
28. Ïðîâåðèòü, èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ f, g,
f1, ..., fn ∈ ∏ Mi .
i ∈I
1) f /D = g /D ⇒ ϕ( f /D) = ϕ(g /D);
2) ϕ(F n ( f1 /D, ..., fn /D)) = F n (ϕ(f1 /D), ..., ϕ( fn /D));
3) P n ( f1 /D, ..., fn /D) = è ⇒ P n (ϕ(f1 /D), ..., ϕ( fn /D)) = è.
29. Èçîìîðôèçì ϕ: ∏ Mi /D → ∏ M j /DJ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåi ∈I
j ∈J
äóþùèì îáðàçîì: ϕ(f /D) = f ′/DJ, ãäå f ′ ∈ ∏ M j , f ′(j) = f (j) äëÿ
j ∈J
âñåõ j ∈ J. Ñì. äàëåå çàäà÷ó 25.
30. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 29, òàê êàê êàæäûé ôèëüòð íàä êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì.
⎛
⎞
31. Èçîìîðôèçì ϕ: ∏ Mi /D → ∏ ⎜ ∏ Mi /Dk ⎟ D * îïðåäå⎜
⎟
i∈I
k ∈K ⎝ i∈I k
⎠
⎛
⎞
ëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ϕ( f /D) = f */D*, ãäå f * ∈ ∏ ⎜ ∏ Mi /Dk ⎟ ,
⎜
⎟
k ∈K ⎝ i ∈I k
⎠
f *(k) = f ′/Dk, f ′ ∈ ∏ Mi , f ′ (i) = f (i).
i ∈I k
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 8)
217
⎛
⎞
32. Èçîìîðôèçì ϕ: ∏ Mi /D → ∏ M j ⋅ ⎜ ∏ Mβ /DJ ′ ⎟ îïðåäå⎜ β∈J ′
⎟
i ∈I
j ∈J
⎝
⎠
ëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ϕ( f /D) = ⟨f1, f2/DJ ′⟩, ãäå f1 ∈ ∏ M j ,
j ∈J
f1(j) = f (j), äëÿ j ∈ J, f2 ∈ ∏ Mβ , f2 (β) = f (β) äëÿ β ∈ J ′.
β∈J ′
35. Ïóñòü ψ :
∏ Cα → ∏ Ci îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðà-
α∈I ∼
i ∈I
çîì: ψ ( f )(i) = f ([i]) äëÿ f ∈ ∏ C α. Òîãäà ϕ (f /D ∼) = ψ ( f )/D åñòü
α∈I ∼
òðåáóåìûé èçîìîðôèçì.
36. Äëÿ i ∈ I ïîëîæèì L i = {k | i ∈ I k}. Òîãäà äëÿ ëþáûõ
i 1 , ..., i s ∈ I èìååì L i 1 ∩ ... ∩ L i s ≠ ∅. Ïîëîæèì D = {X | L i 1 ∩ ...
... ∩ Lis ⊆ X ⊆ K äëÿ íåêîòîðûõ i1, ..., is}. Èçîìîðôíîå âëîæåíèå
⎛
⎞
ϕ: ∏ Mi → ∏ ⎜ ∏ Mi ⎟ D1 îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
⎜
⎟
i∈I
k∈K ⎝ i∈I k
⎠
j(f ) = f ′/D1, (f ′ (k))(i) = f (i) äëÿ i ∈ Ik.
37. Ïóñòü A (x) óñëîâíî ôèëüòðóåòñÿ ïî D è I1 = {i | Mi ∃ x A (x)} ∈
∈ D. Òîãäà äëÿ ëþáîãî i ∈ I 1 ñóùåñòâóåò a i ∈ M i òàêîå, ÷òî
Mi A (ai). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ f ∈ ∏ Mi òàêóþ,
i ∈I
÷òî f (i) = ai äëÿ i ∈ I1. Ïîëó÷àåì I1 ⊆ {i | Mi A (f (i))} = I2 è I2 ∈ D,
ò.å. ∏ Mi /D A (f /D). Îòñþäà ∏ Mi /D ∃ x A (x).
i ∈I
i ∈I
38. Ïóñòü ∏ Mi /D ∃ x A (x). Òîãäà ∏ Mi /D A ( f /D) äëÿ íåêîi ∈I
i ∈I
òîðîãî f ∈ ∏ Mi . Îòñþäà {i | Mi A ( f (i))} ∈ D è {i | Mi ∃ x A (x)} ∈ D.
i ∈I
41. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 38, 39, 40.
42. Äîïóñòèì {i | Mi (A ⊃ B )} ∈ D, ∏ Mi /D (A ⊃ B ). Òîãäà
i ∈I
{i | Mi A} ∪ {i | Mi B } ∈ D, I1 = {i | Mi A} ∈ D, I2 = {i | Mi B } ∉ D.
Îòñþäà ((I \I1) ∪ I2) ∩ I1 = I2 ∩ I1 ∈ D è I2 ∈ D. Ïðîòèâîðå÷èå.
43. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 37−39, 42.
44. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 41 è çàäà÷è 21 (á) èç § 4.
45. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 43 è çàäà÷è 20 (à), (â) èç § 4.
218
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
46. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 43 è çàäà÷è 21 (à) èç § 4.
47. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 43.
48. Ñì. çàäà÷ó 42 (â) èç § 5 è çàäà÷ó 41.
49. Ñì. çàäà÷ó 42 (à) èç § 5 è çàäà÷ó 41.
50. Ñì. çàäà÷ó 44 èç § 5 è çàäà÷ó 43.
51. Äëÿ ëþáîãî n èìååì {i | Mi En} ∈ , ãäå En ôîðìóëà èç
çàäà÷è 43 èç § 5 (ñì. çàäà÷ó 5). Ñì. äàëåå çàäà÷ó 41.
53. Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩ = ∏ Mi /D. Ïîñòðîèì 1−1-ôóíêöèþ
i∈N
N
ϕ: 2 → M. Êàæäîìó n ∈ N ñîïîñòàâëÿåì ÷èñëî kn òàêîå, ÷òî
N
2kn ≤ M n ≤ 2kn +1 . Ïóñòü Bk = 2 k, ãäå N k = {0, ..., k − 1}. Ñóùåñòâóåò
N
N
1−1-ôóíêöèÿ ϕn: Bkn → Mn. Îïðåäåëèì ψ: 2 → ∏ Mn. Åñëè γ ∈ 2
i ∈N
è γk ñîñòîèò èç ïåðâûõ k ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè γ, òî
(ψ (γ))(n) = ϕn (γkn ). Òîãäà ϕ (γ) = ψ (γ)/D åñòü òðåáóåìàÿ 1−1-ôóíêöèÿ.
54. Èç êàæäîãî Mi âûäåëèì ïîäìíîæåñòâî Ni, ìîùíîñòü êîòîðîãî åñòü min(i, M i ). Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç çàäà÷ 49 è 50.
55. Ïóñòü I = X0 ⊃ X1 ⊃ ...; Xn ∈ D,
1 X k = ∅ (ñì. çàäà÷ó 22);
k ∈N
In = {i | M i < n} ∉ D, Yn = Xn \In. Òîãäà i ∈ Yn ⇒ M i ≥ n. Ïîëîæèì i ∼ j ⇔
⇔ ∃ n (i, j ∈ Yn \Yn + 1). Ïóñòü äëÿ α ∈ I /∼ èìååì Cα = {0, 1, ..., n − 1}, åñëè
α = Yn\Yn + 1. Òîãäà ∏ Mi /D ≥ ∏ C α /D ~ = 2ℵ0. (Ñì. çàäà÷è 35, 52, 54.)
i ∈I
α∈I ∼
56. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî N åñòü îñíîâíîå ìíîæåñòâî êàæäîãî
Mi. Ïóñòü f ∈ ∏ Mi /D. Ïîëîæèì In = {i | f (i) = n}. Òîãäà I = 7 I n .
n∈N
i ∈I
Åñëè I n ∉ D äëÿ ëþáîãî n, òî
⎛
7
i∈N \{ n }
I i ∈ D äëÿ ëþáîãî n è
⎞
I i ⎟ = ∅ ∈ D; ïðîòèâîðå÷èå. Ïîýòîìó In ∈ D äëÿ íåêîòî⎟
n∈N ⎝ i∈N \{n }
⎠
ðîãî n ∈ N . Ñëåäîâàòåëüíî f ∼D fn, ãäå fn (i) = n äëÿ âñåõ i ∈ I.
1 ⎜⎜ 7
57. c. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 53, òàê êàê ai åñòü ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò â Mi, òî f /D, ãäå f (i) = ai åñòü ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò â
∏ Mi /D.
i ∈I
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 9)
219
58. Ïóñòü {Ik}k ∈ K ñåìåéñòâî âñåõ êîíå÷íûõ íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà I. Òîãäà K ∼ I. Ïîýòîìó (ñì. çàäà÷ó 33)
2I ≤ M I ≤ ∏ M I k D2 = ∏ M D1 = M I D1 ,
k ∈K
i ∈I
ãäå D2 åñòü ïðîîáðàç D1 îòíîñèòåëüíî èçîìîðôèçìà ìåæäó K è I.
59. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 58.
60. Ïóñòü X1 ⊃ X2 ⊃ ... ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ èç D òàêàÿ, ÷òî 1 X n = ∅ (ñì. çàäà÷ó 22). Êàæäîìó n ∈ N ñîïîñòàâëÿåì
n∈N
ýëåìåíò bn èç M òàê, ÷òî bn ≠ bm ïðè n ≠ m. Îïðåäåëèì f ∈ ∏ Mi
i ∈I
ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè äëÿ i ∈ I ÷èñëî ni åñòü íàèìåíüøåå òàêîå n, ÷òî i ∉ Xn, òî ïîëàãàåì f (i) = bni . Äîïóñòèì, ÷òî f /D = ϕ(a)
äëÿ íåêîòîðîãî a èç M. Òîãäà X = {i | f (i) = a} ∈ D. Äëÿ i ∈ X èìååì
f (i) = bj äëÿ íåêîòîðîãî j ∈ N . Ïåðåñå÷åíèå X ∩ Xj + 1 íåïóñòî, òàê
êàê ïðèíàäëåæèò D. Âîçüìåì i ∈ X ∩ Xj + 1. Òîãäà f (i) = bni ≠ bj, òàê
êàê ni ≥ j + 1. Ïðîòèâîðå÷èå.
§ 9. Àêñèîìàòèçèðóåìûå êëàññû
2. Ïóñòü Σ1 ñèñòåìà àêñèîì äëÿ êëàññà K1, Σ2 äëÿ êëàññà K2.
Òîãäà Σ1 ∪ Σ2 åñòü ñèñòåìà àêñèîì äëÿ K1 ∩ K2; ñèñòåìîé àêñèîì
äëÿ K1 ∪ K2 ÿâëÿåòñÿ Σ = {(A1 ∨ A2) | A1 ∈ Σ1, A2 ∈ Σ2}.
3. Ïóñòü ϕ èçîìîðôèçì èç M íà M′. Äîêàçàòü (èíäóêöèåé ïî
äëèíå ôîðìóëû), ÷òî äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A (x1, ..., xn) è ëþáûõ
m1, ..., mn èç M âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå
M A (m1, ..., mn) ⇔ M′ A (ϕ(m1), ..., ϕ(mn)).
4. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 41 èç § 8.
5. Åñëè Σ åñòü ñèñòåìà àêñèîì äëÿ K, òî Σ ∪ {E1, E2, E3, ...} (ñì.
çàäà÷ó 43 èç § 5) åñòü ñèñòåìà àêñèîì äëÿ K′.
6. Ïóñòü äëÿ i ∈ N , Mi åñòü ñèñòåìà èç K ñ ÷èñëîì ýëåìåíòîâ íå
ìåíåå i, D íåãëàâíûé óëüòðàôèëüòð íàä N . Òîãäà ∏ Mi /D óäîâi ∈I
ëåòâîðÿåò âñåì òðåáîâàíèÿì çàäà÷è (ñì. çàäà÷ó 53 èç § 8).
7. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 6.
220
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
8. Ïóñòü K êëàññ ïîëåé êîíå÷íîé õàðàêòåðèñòèêè. Äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p ñóùåñòâóåò ïîëå Mp õàðàêòåðèñòèêè p; ýòî
ïîëå îïðåäåëÿåòñÿ àêñèîìàìè
Rp ∀ x (px = 0),
Φp ∃ x (¬ x = 0 & ¬ 2x = 0 & ... & ¬ (p − 1)x = 0
è àêñèîìàìè ïîëÿ.
Ïóñòü P ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, D íåãëàâíûé óëüòðàôèëüòð íàä P. Òîãäà â M = ∏ M p /D èñòèííû âñå ôîðìóëû Φp,
ïîýòîìó M ∉ K.
p∈P
9. Ïóñòü Mk ⊇ Bk = {−k, ..., −1}, ãäå −k < ...< −1 <0, D íåãëàâíûé óëüòðàôèëüòð íàä N . Ïîëîæèì fk (i) = −(i + 1) äëÿ i ≤ (k − 1),
fk (i) = −k äëÿ i ≥ k. Òîãäà f0 /D > f1 /D > ... è ∏ Mi /D íå ÿâëÿåòñÿ
i ∈I
âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì. Åñëè D ãëàâíûé óëüòðàôèëüòð, òî
∏ Mi /D Mi äëÿ íåêîòîðîãî i0 ∈ N (ñì. çàäà÷ó 29 èç § 8). Íåàêi ∈I
0
ñèîìàòèçèðóåìîñòü èç çàäà÷è 4.
10. Ïóñòü K çàìêíóò îòíîñèòåëüíî óëüòðàïðîèçâåäåíèé è ýëåìåíòàðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè, T ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé, èñòèííûõ íà âñåõ ñèñòåìàõ èç K. Ïóñòü T âûïîëíèìî â M ,
Γ = {Ai | i ∈ I } ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé, èñòèííûõ â M. Òàê êàê
¬ Ai ∉ T, òî äëÿ ëþáîãî i ∈ I ñóùåñòâóåò ñèñòåìà Mi ∈ K òàêàÿ,
÷òî Mi Ai. Ïîëîæèì Ij = {i | Mi Aj}. Ñóùåñòâóåò óëüòðàôèëüòð D
íàä I, ñîäåðæàùèé âñå Ij (j ∈ J ) (ñì. çàäà÷è 8 è 14 èç § 8). Òîãäà
∏ Mi /D ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíî M è M ∈ K.
i ∈I
11. Ïóñòü I ñåìåéñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà T, Φi êîíúþíêöèÿ âñåõ ôîðìóë èç i ∈ I, Mi ñèñòåìà, â
êîòîðîé èñòèííà Φi . Ïîëîæèì I k = {i | i ∈ I, M i Φ k}. Òîãäà
Ik1 ∩ ... ∩ Ikn ≠ ∅ è ñóùåñòâóåò óëüòðàôèëüòð D íàä I, ñîäåðæàùèé
âñå Ik (k ∈ I ) (ñì. çàäà÷è 8 è 14 èç § 8). Èìååì ∏ Mi /D Φk äëÿ
ëþáîãî k ∈ I (ñì. çàäà÷ó 41 èç § 8).
i ∈I
12. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 5 èç § 7 (äëÿ ñ÷åòíîé ñèãíàòóðû) è çàäà÷è 11.
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 9)
221
13. Åñëè {Φ1, ..., Φk} åñòü ñèñòåìà àêñèîì äëÿ K, òî {¬ (Φ1 & ... & Φk)}
åñòü ñèñòåìà àêñèîì äëÿ Kσ \K. Îáðàòíî, ïóñòü Σ1 = {Φα | α ∈ A} åñòü
ñèñòåìà àêñèîì äëÿ K, Σ2 = {Ψβ | β ∈ B } ñèñòåìà àêñèîì äëÿ Kσ \K.
Òîãäà Σ = Σ1 ∪ Σ2 ïðîòèâîðå÷èâî è, ñëåäîâàòåëüíî, (ñì. çàäà÷ó 13),
ïðîòèâîðå÷èâî êîíå÷íîå ìíîæåñòâî {Φα1, ..., Φαk, Ψβ1, ..., Ψβl}. Ïîýòîìó {Φα1, ..., Φαk} åñòü ñèñòåìà àêñèîì äëÿ K.
14. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 41 èç § 8.
15. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 6 è 13.
16. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 15.
17. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 8 è 13.
18. Ïóñòü A > m, Γ = T ∪ {¬ cα = cβ | α, β ∈ A, α ≠ β}, ãäå cα ïðåäìåòíûå êîíñòàíòû, íå âõîäÿùèå â T. Òîãäà ëþáîå êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî Γ0 ⊆ Γ âûïîëíèìî è, ñëåäîâàòåëüíî, Γ èìååò ìîäåëü
(ñì. çàäà÷ó 11). Ëþáàÿ ìîäåëü äëÿ Γ åñòü ìîäåëü äëÿ T è èìååò
ìîùíîñòü áîëüøå, ÷åì m.
19. Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 18.
20. Ïóñòü ϕij åñòü èçîìîðôíîå âëîæåíèå Mij = ⟨Mi; σj⟩ â ìîäåëü
Nij ∈ K, ãäå Mi åñòü êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî M, à σj êîíå÷íîå
ïîäìíîæåñòâî σ. Ïóñòü I ñåìåéñòâî âñåõ ìîäåëåé N ij ,
I kl = { M ij | M k ⊆ M i è σ l ⊆ σ j }. Êàæäîå êîíå÷íîå ïåðåñå÷åíèå
Ik1l1 ∩ ... ∩ Iksls íåïóñòî. Ïóñòü D óëüòðàôèëüòð íàä I, ñîäåðæàùèé âñå Ikl, N = ∏ N i j /D. Ïóñòü f0 ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç
∏ Ni j . Òîãäà ñëåäóþùåå îòîáðàæåíèå ϕ åñòü èçîìîðôíîå âëîæå-
íèå M â N:
åñëè m ∈ M i ,
⎧ϕij (m),
ϕ(m) = f m /D , ãäå f m (⟨i , j ⟩) = ⎨
⎩ f 0 (⟨i, j ⟩), åñëè m ∉ M i .
22. Ïóñòü M1 = {m1, ..., mk}, B (m1, ..., mk), êîíúþíêöèÿ âñåõ
ôîðìóë èç D (M). Òîãäà A = ∃ x1 ... ∃ xk B (x1, ..., xk) åñòü èñêîìàÿ
ôîðìóëà.
23. M = ∏ Mi /D èìååò k ýëåìåíòîâ, ãäå k ≤ n. Ïîýòîìó ôîðìóëà
i ∈I
C = ∃ x1 ... ∃ xk (B (x1, ..., xk) & ∀ y (y = x1 ∨ ... ∨ y = xn)),
ãäå B (m1, ..., mk) êîíúþíêöèÿ âñåõ ôîðìóë èç D (M), èñòèííà
â M, è, ñëåäîâàòåëüíî, {i | Mi C } ∈ D. Èìååì M Mi0 äëÿ ëþáîãî i0 òàêîãî, ÷òî Mi0 C.
222
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
25. Åñëè M1 åñòü ìíîæåñòâî âñåõ çíà÷åíèé òåðìîâ ñèãíàòóðû σ
ïðè çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ èç ìíîæåñòâà A, òî ⟨M1; σ⟩ åñòü ïîäñèñòåìà M è ñîäåðæèòñÿ â ëþáîé ïîäñèñòåìå, ñîäåðæàùåé A.
26. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 25.
27. Ïóñòü Σ ñèñòåìà àêñèîì äëÿ êëàññà K ñèãíàòóðû σ. Ñòðîèì ïî íåé ñèñòåìó Σ′ ∀-ôîðìóë ñèãíàòóðû σ′ ⊇ σ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì çàäà÷è 21 èç § 5. Êëàññ K ñîñòîèò èç îáåäíåíèé
ñèñòåì êëàññà K ′ âñåõ ìîäåëåé äëÿ Σ′.
28. Ïóñòü K ñîñòîèò èç îáåäíåíèé óíèâåðñàëüíî àêñèîìàòèçèðóåìîãî êëàññà K ′ ñèãíàòóðû σ′ (ñì. çàäà÷ó 27), M = ⟨M; σ⟩ ∈ K,
M åñòü îáåäíåíèå M′ èç K ′. Ïóñòü A êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî
M, M 1′ ïîäñèñòåìà M ′, ïîðîæäåííàÿ ìíîæåñòâîì A. Òîãäà
M1′ ∈ K ′, M1 = ⟨M1; σ⟩ êîíå÷íàÿ èëè ñ÷åòíàÿ K-ïîäñèñòåìà M.
29. Àíàëîãè÷íî çàäà÷å 28.
30. Ïóñòü Σ ñèñòåìà àêñèîì äëÿ K, m > M + σ, M1 = ⟨M1; σ′⟩
ìîäåëü äëÿ Σ ∪ D (M) ìîùíîñòè áîëüøåé, ÷åì m (ñì. çàäà÷ó 18).
Ïóñòü M ⊆ A ⊂ M1, A = m. Äàëåå ïðèìåíÿåì çàäà÷ó 29.
N
31. Ïóñòü σ = {Pγ | γ ∈ 2 }, Σ ñèñòåìà âñåõ ôîðìóë âèäà ∃ x Pγ(x)
N
äëÿ âñåõ γ ∈ 2 è ôîðìóë âèäà (∃ x 1 ... ∃ x n (¬ x 1 = x 2 & ¬ x 1 =
= x 3 & . . . ¬ x n − 1 = x n ) ⊃ ∀ x (¬ P α ( x) ∨ ¬ P γ (x))) äëÿ n = 2 m ,
⟨γ(0), ..., γ(m − 1)⟩ ≠ ⟨α(0), ..., α(m − 1)⟩, m = 1, 2, ... Êëàññ K âñåõ ìîäåëåé äëÿ Σ ñîäåðæèò êîíå÷íûå ìîäåëè ìîùíîñòåé 2 m
(m = 0, 1, 2, ...); âñå áåñêîíå÷íûå ìîäåëè èç K èìåþò ìîùíîñòü ≥ c.
N
N
32. Ïóñòü σ = {f γ | γ ∈ 2 } ∪ {a [γ]m | γ ∈ 2 }, ãäå [γ] m = ⟨γ(0), ...,
..., γ(m − 1)⟩, Σ ñèñòåìà âñåõ ôîðìóë âèäà
¬ a[γ]m = a[δ]n äëÿ [γ]m ≠ [δ]n,
N
fδ (a[γ]m) = a[δ]n äëÿ δ, γ ∈ 2 ,
N1
∀ x (fδ (x) = fγ (x) ⊃ ∨ x = ai), ãäå I = 2
i ∈I
Nm
∪ ... ∪ 2
,
N k = {0, 1, ..., k − 1}, [δ]m ≠ [γ]m.
Òîãäà ⟨M; σ⟩, ãäå M =
7 2 N , a[γ] = [γ]m , fδ ([γ]m) = [δ]m, åñòü
m
m∈ N
m
ñ÷åòíàÿ ìîäåëü äëÿ Σ, âñå ñîáñòâåííûå ðàñøèðåíèÿ êîòîðîé èìåþò
ìîùíîñòü íå ìåíüøå, ÷åì c.
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 9)
223
33. Ïóñòü K åñòü êëàññ âñåõ îáåäíåíèé óíèâåðñàëüíî àêñèîìàòèçèðóåìîãî êëàññà K ′ ñèãíàòóðû σ′ (ñì. çàäà÷ó 27), M = ⟨M; σ⟩ ∈ K,
= m. Âîçüìåì M ′ = ⟨M; σ′⟩ ∈ K ′. Ïóñòü f n, g n ∈ σ′, ïîëàãàåì
M
n
n
n
n
f ∼ g f (m1, ..., mn) = g (m1, ..., mn) äëÿ ëþáûõ m1, ..., mn ∈ M. Èç
êàæäîãî êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè âûáåðåì ïî îäíîìó ôóíêöèîíàëüíîìó ñèìâîëó, σ″ ïîëó÷àåòñÿ èç σ′ îïóñêàíèåì îñòàëüíûõ
ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ. Òîãäà σ″ ñîäåðæèò íå áîëåå, ÷åì 2m
ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ. Ïóñòü K ″ êëàññ, ñèñòåìà àêñèîì
êîòîðîãî ïîëó÷àåòñÿ èç ñèñòåìû àêñèîì äëÿ K ′ çàìåíîé ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ èç σ′ íà ýêâèâàëåíòíûå èì èç σ″, M1 ñèñòåìà èç K ″ ìîùíîñòè n1 > n (ñì. çàäà÷ó 18), M2 ïîäñèñòåìà
M1, ïîðîæäåííàÿ ìíîæåñòâîì ìîùíîñòè n. Òîãäà M2 = n (ñì. çàäà÷ó 25), M2 ∈ K ″ è M2 ìîæåò áûòü îáîãàùåíà äî ñèñòåìû M3 ∈ K ′.
Òîãäà îáåäíåíèå ñèñòåìû M3 äî ñèãíàòóðû σ âõîäèò â K.
34. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 6 è 33.
Ïðèìåðû:
(à) Σ = {E5};
(á) Σ = {(En ⊃ En + 1), (En + 1 ⊃ En + 2), ...};
(â) Kσ.
35. M ¬ m1 = m2 ⇒ M′ ¬ ϕ(m1) = ϕ(m2); M A (m1, ..., mn) ⇒
⇒ M ¬ A (m1, ..., mn) ⇒ M′ ¬ A (ϕ(m1), ..., ϕ(m2)).
36. Îòîáðàæåíèå ϕ: N → M, ãäå ϕ(n) = n + 1, åñòü èçîìîðôèçì
N íà M, ïîýòîìó N è M ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû. Âîçüìåì
A (x) = ∀ y (x ≤ y). Òîãäà M A (1), N A (1).
37. Íåò. Íàïðèìåð, ôîðìóëà ∃ x (x ≤ 2 & ¬ x = 0 & ¬ x = 2) èñòèííà â N, íî ëîæíà â M.
38. Íåò. Íàïðèìåð, ôîðìóëà ∀ x ∃ y (y ⋅ y = x) èñòèííà â C, íî
ëîæíà â D.
39. M A (b 1 , ..., b m ) ⇒ {i | M A (b 1 , ..., b m )} = I ∈ D ⇒
⇒ ∏ Mi /D A (f1 /D, ..., fm /D), ãäå fj(i) = bj (j = 1, ..., m). Åñëè M
i ∈I
êîíå÷íà, òî MI D = M .
40. (à) Íàïðèìåð, ïîëîæèì äëÿ n ∈ N , i ∈ N
⎧i, åñëè i ≤ n,
ψ(n)(i ) = ⎨
⎩n, åñëè i > n;
224
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
⎧−i , åñëè i ≤ n,
ψ(−n)(i ) = ⎨
⎩−n, åñëè i > n.
Òîãäà ϕ(n) = ψ(n)/D åñòü èçîìîðôíîå âëîæåíèå
z â ∏ M /D.
i∈N
i
(á) Íåò. Ôîðìóëà ∃ x ∀ y (x ≤ y) èñòèííà â ∏ Mi /D, íî ëîæi∈N
íà â .
z
42. Èç çàäà÷è 18 ñëåäóåò, ÷òî òåîðèÿ T = FD (M) èìååò ìîäåëü
M1 òàêóþ, ÷òî M1 ≥ m. Òîãäà M ýëåìåíòàðíî âëîæèìà â M1 (ñì.
çàäà÷ó 41).
43. Äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ ôîðìóëû
B (x1, ..., xk), ÷òî äëÿ ëþáûõ m1, ..., mk ∈ M.
M B (m1, ..., mk) ⇒ M1 B (m1, ..., mk).
44. Ïóñòü M = ⟨M; σ⟩ áåñêîíå÷íà, A ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî
M. Ïîëîæèì A0 = A. Äàëåå, åñëè An óæå îïðåäåëåíî, òî äëÿ ëþáîé
ôîðìóëû A (x 1 , ..., x k , y) è ëþáûõ a 1 , ..., a k ∈ A n òàêèõ, ÷òî
M ∃ y A (a1, ..., ak, y), âûáèðàåì a = h (A, a1, ..., ak) ∈ M òàêîé, ÷òî
M A (a1, ..., ak, a). Òîãäà An + 1 åñòü îáúåäèíåíèå An è ìíîæåñòâà
âñåõ h (A, a1, ..., ak), à M1 = ⟨ 7 A n ; σ⟩ åñòü ñ÷åòíàÿ ýëåìåíòàðíàÿ
n∈N
ïîäìîäåëü M (ñì. çàäà÷ó 43).
45. Àíàëîãè÷íî çàäà÷å 44.
46. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 42 è 45.
47. Äîêàçûâàåòñÿ èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ â ïîñòðîåíèè
ôîðìóëû A. Ðàññìîòðèì ëèøü ñëó÷àé A = ∀ x B (x). Ïóñòü
Mi ∀ x B (x), íî M ∀ x B (x). Òîãäà M ∃ x ¬ B (x) è
M ¬ B (a) äëÿ íåêîòîðîãî a ∈ M. Èìååì a ∈ Mj äëÿ íåêîòîðîãî
j ≥ i. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè äëÿ ôîðìóëû B èìååì
M j B (a), îòñþäà Mj ∃ x ¬ B (x) è Mi ∃ x ¬ B (x), òàê êàê
Mi ≺ Mj. Ïðîòèâîðå÷èå.
48. Ïóñòü Σ åñòü ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé, èñòèííûõ â K, M
ìîäåëü äëÿ Σ. Ïóñòü Δ êîíå÷íàÿ ñîâîêóïíîñòü ïðåäëîæåíèé èç
FD (M), AΔ(c1, ..., cn) êîíúþíêöèÿ ôîðìóë èç Δ, c1, ..., cn âñå
ïðåäìåòíûå êîíñòàíòû, íå âõîäÿùèå â σ. Òîãäà èìååì
M ∃ x1 ... ∃ xn AΔ (x1, ..., xn) è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ñèñòåìà MΔ ∈ K òàêàÿ, ÷òî MΔ ∃ x1 ... ∃ xn AΔ (x1, ..., xn); ñóùåñòâóþò
×àñòü II. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà (§ 9)
225
ýëåìåíòû d1 , ..., dn èç MΔ òàêèå, ÷òî M
èç M ïîëîæèì d Δ(c) = diΔ, åñëè c = ci; d Δ(c) ðàâíî ïðîèçâîëüíîìó
ýëåìåíòó èç MΔ, åñëè c ∉ {c1, ..., cn}. Ïóñòü I åñòü ìíîæåñòâî âñåõ
êîíå÷íûõ ñîâîêóïíîñòåé Δ ⊆ FD (M), D ôèëüòð íàä I, ñîäåðæàΔ
Δ
Δ
Δ
Δ AΔ (d1 , ..., dn ). Äëÿ c
ùèé âñå ìíîæåñòâà IΔ = {Δ′ | MΔ′ AΔ (d1Δ, ..., dnΔ)}, M1 = ∏ M Δ/D.
Δ∈I
Äëÿ c èç M ïîëàãàåì ϕ(c) = fc /D, ãäå fc(Δ) = d Δ(c); ϕ(c) åñòü ýëåìåíòàðíîå âëîæåíèå M â M1. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç
çàäà÷ 3 è 4.
49. Ïóñòü êëàññ K óíèâåðñàëüíî àêñèîìàòèçèðóåì, M ñèñòåìà ñèãíàòóðû σ è êàæäîå êîíå÷íîå îáåäíåíèå êîíå÷íîé ïîäìîäåëè M èçîìîðôíî âëîæèìî â ïîäõîäÿùóþ K-ñèñòåìó. Òîãäà
(ñì. çàäà÷è 4 è 20) M èçîìîðôíî âëîæèìà â K-ñèñòåìó è M ∈ K.
Îáðàòíî. Ïóñòü Σ ñåìåéñòâî âñåõ ∀-ôîðìóë, èñòèííûõ íà
âñåõ ñèñòåìàõ èç K, è ñèñòåìà M åñòü ìîäåëü äëÿ Σ. Ïîêàæåì, ÷òî
åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ çàäà÷è, òî M ∈ K. Ïóñòü M1 åñòü êîíå÷íîå îáåäåíåíèå êîíå÷íîé ïîäìîäåëè M, A åñòü ∃-ôîðìóëà äëÿ
M1 èç çàäà÷è 22. Òîãäà M1 âëîæèìà â íåêîòîðóþ K-ñèñòåìó, òàê
êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå Σ ¬ A (¬ A ýêâèâàëåíòíî ∀-ôîðìóëå) è
M ¬ A. Ïîýòîìó M ∈ K.
50. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 20, 48 è 49.
51. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 50.
52. Èñïîëüçîâàòü óêàçàíèå ê çàäà÷å 48. Âçÿòü êëàññ âñåõ ñèñòåì, ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíûõ M1, â êà÷åñòâå K, è M1 â êà÷åñòâå MΔ.
53. Åñëè M ñîäåðæèò n ýëåìåíòîâ, òî M1 òîæå. Èç çàäà÷ 52 è
39 ñëåäóåò M1 M.
55. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 18 è 53.
56. Ïóñòü T íåïîëíà. Òîãäà äëÿ íåêîòîðîãî ïðåäëîæåíèÿ A íå
âûïîëíÿåòñÿ íè T A, íè T ¬ A. Ïîýòîìó ñóùåñòâóþò ñ÷åòíûå
ìîäåëè M1 è M2 òåîðèè T òàêèå, ÷òî M1 A, M2 ¬ A. Òîãäà
ñóùåñòâóþò ìîäåëè M3 è M4 òàêèå, ÷òî M3 = M 4 = m, M1 ≺ M3,
M2 ≺ M4 (ñì. çàäà÷ó 46). Ïîýòîìó M3 è M4 íåèçîìîðôíû.
57. Òåîðèÿ ℵ0-êàòåãîðè÷íà (ñì. çàäà÷ó 13 èç § 5 ÷àñòè I) è ïîýòîìó ïîëíà (ñì. çàäà÷ó 56).
58. Ïóñòü Γ0 ∪ Γ1 ïðîòèâîðå÷èâî. Òîãäà ïðîòèâîðå÷èâî íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî Γ0 ∪ {B1, ..., Bk}, ãäå Bj ∈ Γ1, k > 0. Ïîýòîìó
226
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
Γ0 ¬ (B1 & ... & Bk) è Γ0 ∀ x1 ... ∀ xs ¬ B (x1, ..., xs),
ãäå B (c 1, ..., c s ) = (B 1 & ... & B k ), c 1, ..., c s âñå êîíñòàíòû èç
B1, ..., Bk, íå âõîäÿùèå â σ. Òàê êàê Γ ïîëíî è Γ0 íåïðîòèâîðå÷èâî, èìååì Γ ∀ x 1 ... ∀ x s ¬ B (x 1 , ..., x s ), ïîýòîìó Γ 1 ∀ x 1 ...
... ∀ xs ¬ B (x1, ..., xs) è Γ1 ¬ B (c1, ..., cs). Ïðîòèâîðå÷èå.
59. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 58.
60. Ïóñòü Γ = FD (M1) ∪ FD (M2). Ëþáàÿ ñèñòåìà, â êîòîðîé
èñòèííû âñå ôîðìóëû èç Γ, óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì çàäà÷è.
Íåïðîòèâîðå÷èâîñòü Γ äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî íåïðîòèâîðå÷èâîñòè Γ0 ∪ Γ1 èç çàäà÷è 58.
61. Ïóñòü Γ ∪ {A } âûïîëíèìî â M1 = ⟨M1; σ1⟩, M1* = ⟨M1; σ⟩. Òîãäà
FD (M1*) ∪ {B } íåïðîòèâîðå÷èâî (ñì. çàäà÷ó 59) è âûïîëíèìî â
M2 = ⟨M2; σ2⟩. Èìååì M1* ≺ M2* = ⟨M2; σ⟩. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò
ñèñòåìà M3 = ⟨M3; σ1⟩ òàêàÿ, ÷òî M1 ≺ M3, M2* ≺ M3* = ⟨M3; σ⟩.
Ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü M 1, M 2 , M 3 , ... òàêóþ, ÷òî
M1 ≺ M3 ≺ ... ≺ M2 ≺ M4 ≺ ...; M1* ≺ M2* ≺ M3* ≺ ... Ïîëîæèì
M=
7 M i , M = ⟨M; σ1 ∪ σ2⟩, ãäå Mi* = ⟨M; σ⟩, M2k + 1 ≺ ⟨M; σ1⟩,
i∈N
M2k ≺ ⟨M; σ2⟩ (ñì. çàäà÷ó 47). Òîãäà Γ ∪ {A, B } âûïîëíèìà â M.
62. Ïóñòü a1, ..., ak âñå êîíñòàíòû, âõîäÿùèå â A è íå âõîäÿùèå â σ, b1, ..., bn âñå êîíñòàíòû, âõîäÿùèå â B è íå âõîäÿùèå
â σ. Òîãäà ôîðìóëû A 1 = ∃ x 1 ... ∃ x k A (x 1 , ..., x k ), B 1 = ∃ y 1 ...
... ∃ yk A (y1, ..., yk) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì çàäà÷è 61 è Γ ∪ {A1, B1}
íåïðîòèâîðå÷èâî. Òîãäà Γ ∪ {A, B } íåïðîòèâîðå÷èâî.
63. Ïóñòü T ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé C ñèãíàòóðû σ òàêèõ,
÷òî (A ⊃ B ).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî T ∪ {¬ B } íåïðîòèâîðå÷èâî. Òîãäà T ∪ {¬ B }
âûïîëíèìî â íåêîòîðîé ñèñòåìå M. Äàëåå, Γ ∪ {A } íåïðîòèâîðå÷èâî, ãäå Γ åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ïðåäëîæåíèé ñèãíàòóðû σ, èñòèííûõ â M. Èíà÷å áûëî áû A ¬ (C1 & ... & Ck) äëÿ íåêîòîðûõ
C1, ..., Ck ∈ Γ, ¬ (C1 & ... & Ck) ∈ T ⊆ Γ è (C1 & ... & Ck) ∈ Γ. Èç çàäà÷è 62 ñëåäóåò, ÷òî Γ ∪ {A, ¬ B } íåïðîòèâîðå÷èâî è íåâåðíî
(A ⊃ B ). Ïîýòîìó T ∪ { ¬ B } ïðîòèâîðå÷èâî, à çíà÷èò,
((C1 & ... & Ck) ⊃ B ) äëÿ íåêîòîðûõ C1, ..., Ck ∈ T; (C1 & ... & Ck)
åñòü èñêîìàÿ ôîðìóëà. Åñëè σ ïóñòî, A è ¬ B âûïîëíèìû, òî ìîæíî
ïîñòðîèòü ñ÷åòíóþ ìîäåëü, â êîòîðîé âûïîëíèìà (A & ¬ B ), ò.å.
íå âûïîëíÿåòñÿ (A ⊃ B ).
×àñòü III. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ (§ 1)
227
×àñòü III.ÒÅÎÐÈß ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
§ 1. ×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè
2. Ôóíêöèè f1, f2, f3 è f4 ïîëó÷àþòñÿ ñóïåðïîçèöèÿìè èç f è Imn:
(à) f1 (x1, x2, x3, ..., xn) =
= f (I2n(x1, ..., xn), I1n(x1, ..., xn), I3n(x1, ..., xn), ..., Inn(x1, ..., xn)).
(á) f2 (x1, x2, ..., xn) = f (I2n(x1, ..., xn), ..., Inn(x1, ..., xn), I1n(x1, ..., xn)).
(â) f3 (x1, ..., xn + 1) = f (I1n + 1(x1, ..., xn + 1), ..., Inn + 1(x1, ..., xn + 1)).
(ã) f4 (x1, ..., xn − 1) =
= f (I1n − 1(x1, ..., xn − 1), I1n − 1(x1, ..., xn − 1), ..., I nn−−11 (x1, ..., xn − 1)).
4. Ïóñòü f (x1, ..., xn) ïîëó÷åíà èç o è Imn ñ ïîìîùüþ ñóïåðïîçèöèé è ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè. Òîãäà f (0, ..., 0) = 0 è
x1 ≤ 1, ..., xn ≤ 1 ⇒ f (x1, ..., xn) ≤ 1.
5. (à) f (x) = s (s (... s (x) ...)) (n ðàç).
(á) f (x) = s (s (... s (o (x)) ...)) (n ðàç).
(â) f (x, y) ïîëó÷àåòñÿ ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèåé èç g (x) = I11(x)
è h (x, y, z) = s (I33 (x, y, z)).
(ã) f (x, y) ïîëó÷àåòñÿ ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèåé èç g (x) = o (x)
è h (x, y, z) = I13 (x, y, z) + I33 (x, y, z).
(ä) f (x, 0) = 1, f (x, y + 1) = x ⋅ f (x, y).
(å) f (0) = 1, f (x + 1) = s (x) ⋅ f (x).
y
6. (à) x x ;
(á) x
x
.
..
..
x
⎫
⎬ y ðàç
⎭
.
7. (à) sg (0) = 0, sg (x + 1) = s (o (x)).
(á) sg (0) = 1, sg (x + 1) = o (x).
(â) 0 −æ 1 = 0, (x + 1) −æ 1 = x.
(ã) x − æ 0 = x, x − æ (y + 1) = (x − æ y) −æ 1.
(ä) | x − y | = (x − æ y) + (y − æ x).
(å) max (x, y) = x ⋅ sg (x − æ y) + y ⋅ sg (x − æ y).
(æ) min (x, y) = x ⋅ sg (y − æ x) + y ⋅ sg (y − æ x).
9. Äîêàæåì, íàïðèìåð, (à):
f n + 1 (x1, ..., xn, 0) = g (x1, ..., xn, 0),
f n + 1 (x1, ..., xn, y + 1) = g (x1, ..., xn, y + 1) + f (x1, ..., xn, y).
228
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
10. f (x1, ..., xn) =
h( x1 , ..., xn )
∑
i =
⎛ i
⎞
IC ⎜ ∏ g ( x1, ..., xn , j ) ⎟ .
⎜ j =
⎟
⎝
⎠
11. g (x1, ..., xn) =
= h (x1, ..., xn) ⋅ IC f (x1, ..., xn) + ... + hs (x1, ..., xn) ⋅ IC fs (x1, ..., xn).
x
⎡x ⎤
12. (à) ⎢ ⎥ = ∑ IC (iy − æ x).
⎣ y ⎦ i =1
⎡x⎤
(á) reIt (x, y) = x − æ y ⎢ ⎥ .
⎣y⎦
x
(â) τ(x) = ∑ IC (reIt( x , i )) .
i =1
x
(ã) σ(x) = ∑ i ⋅ IC (reIt( x, i )) .
i =1
(ä) x ïðîñòîå ÷èñëî ⇔ τ(x) = 2 (ñì. (â)). Òîãäà
x
(
)
lh (x) = ∑ IC τ(i ) − 2 + reIt ( x, i ) .
i =1
x
(å) π(x) = ∑ IC ( τ(i ) − 2 ) (ñì. (â)).
i =1
(æ) k (x, y) = μz [z ⋅ IC (x ⋅ y) + IC (x ⋅ y) ( IC z + reIt (z, x) +
+ reIt (z, y)) = ] ≤ x ⋅ y.
⎡ xy ⎤
(ç) d (x, y) = ⎢
⎥ + x ⋅ IC y + y ⋅ IC x (ñì. (æ)).
⎣ k ( x, y ) ⎦
x
(è) p(x) = μy ÈÎ π( y ) - ( x + 1) = ˘˚ ≤ 22 (ñì. (å)).
⎡ x
⎤
(ê) lonC(x) = μy ⎢ ∑ IC (reIt( x, p(i ))) = ⎥ ≤ x.
⎢⎣i = y +1
⎥⎦
(ë) ex (x, y) = μz[( IC reIt (y, p(x)z + 1)) ⋅ IC y = ] ≤ x (ñì. (è)).
(ì) ⎡ x ⎤ = μz [ IC ((z + 1)2 −æ x) = ] ≤ x.
⎣
⎦
y
(í) ⎡⎢ x ⎤⎥ = μz [ IC ((z + 1) y −æ x) ⋅ IC y = ] + IC y ⋅ x ≤ x.
⎣
⎦
×àñòü III. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ (§ 1)
229
(î) ⎡ x 2 ⎤ = μz [ IC ((z + 1)2 −æ 2x2) = ] ≤ 2x.
⎣
⎦
(ï) Èñïîëüçîâàòü ðàçëîæåíèå ÷èñëà e â ðÿä.
(ð) Èñïîëüçîâàòü ðàçëîæåíèå ÷èñëà ex â ðÿä.
⎡
⎤
x!
(ñ) C xy = ⎢
⎥ ⋅ IC (x −æ y) + IC (x −æ y).
⎣⎢ y ! ⋅ x − y ! ⎦⎥
⎡ ⎛ ⎡ (z + 1)(z + 2) ⎤
⎤
⎞
13. l (x) + r (x) = μz ⎢IC ⎜ ⎢
− x ⎟ = ⎥ = z ( x ) ≤ 2 x ;
⎥
2
⎦
⎠
⎣⎢ ⎝ ⎣
⎦⎥
⎡ z ( x ) ⋅ (z ( x ) + 1) ⎤
l (x) = x −æ ⎢ ⎥;
2
⎣
⎦
r (x) = z (x) −æ l (x).
14. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 13.
15. f n (x1, ..., xn) = F (cn (x1, ..., xn)), ãäå F (x) = f (cn1 (x), ..., cnn (x)).
16. (à) Ïóñòü n ∈ N . Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ⟨n, ⟩,
⟨n, 1⟩, ... Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x, x1, ... òàêàÿ, ÷òî
f1 (x) = f1 (x1) = ... = n, f2 (x) = , f2 (x1) = 1, ...; ïîýòîìó x, x1, ... ðàçëè÷íû.
x
(á) f2 (x) = ∑ IC f1 ( x ) − f1 (i ) −æ 1.
i =
17. Ñì. çàäà÷ó 34 (å) èç § 7 ÷àñòè II.
18. Ââåñòè âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ
y
F (x1, ..., xn, y) = ∏ pif ( x1, ..., xn , i ) .
i =
Äîêàçàòü, ÷òî F ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà. Òîãäà
f (x1, ..., xn, y) = ex (y, F (x1, ..., xn, y)).
19. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 18.
20. Ââåñòè âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ
F (x) = 2f (x) ⋅ 3g (x).
Äîêàçàòü, ÷òî F ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà. Òîãäà
230
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
f (x) = ex (, F (x)),
g (x) = ex (1, F (x)).
21. Àíàëîãè÷íî çàäà÷å 20.
22. Ñì. çàäà÷ó 1.
23. (â) Íàïðèìåð, g (x, y) = x + 1.
24. Ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 2.
26. (à) ω (x) = μy [s (x) + y = ].
(á) f (x, y) = μz [| x − (z + y) | = ].
(â) f (x, y) = μz [| x − z ⋅ y | = ].
(ã) f (x, y) = μz [| x − z y | = ].
(ä) Ïóñòü f n-ìåñòíàÿ ôóíêöèÿ, δ f = {⟨a 11 , ..., a 1n ⟩, ...
..., ⟨ak1, ..., akn⟩}, f (a11, ..., a1n) = b1, ..., f (ak1, ..., akn) = bk; òîãäà
f (x1, ..., xn) = b1 ⋅ IC (|x1 − a11| + ... + |xn − a1n|) + ...
... + bk ⋅ IC (|x1 − ak1| + ... + |xn − akn|) + μz [z + (|x1 − a11| + ...
... + |xn − a1n|) + ... + |x1 − ak1| + ... + |xn − akn|) = ].
27. Èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
(à) a = b ⇔ |a − b| = .
(á) a ≠ b ⇔ IC |a − b| = .
(â) a ≤ b ⇔ a − æ b = .
(ã) a < b ⇔ IC (b − æ a) = .
(ä) a = è b = ⇔ a + b = .
(å) a = ⇔ èëè b = ⇔ a ⋅ b.
28. (à) Ââåäåì ôóíêöèþ
θ (t, y) = cn + 2(cn1(t), ..., cnn(t), y, f (cn1(t), ..., cnn(t), y)).
Òîãäà θ (t, y) = α (G (t), y), ãäå
G (t) = cn + 2(cn1(t), ..., cnn(t), , g (cn1(t), ..., cnn(t))),
α(t, ) = t, α(t, y + 1) = G (α(t, y)),
G (z) = cn + 2(cn + 2, 1(z), ..., cn + 2, n(z), cn + 2, n + 1(z) + 1,
h (cn + 2, 1(z), ..., cn + 2, n + 2(z))).
Èìååì f (x1, ..., xn, y) = cn + 2, n + 2 (θ(cn (x1, ..., xn), y)).
(á) Àíàëîãè÷íî (à).
×àñòü III. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ (§ 1)
231
29. Ïîëàãàåì
G (x, y) = g (cn1(x), ..., cnn(x), y),
F (x) = μy [G (x, y) = ].
Òîãäà f (x1, ..., xn) = F (c n (x1, ..., xn)).
30. Ââèäó çàäà÷è 28 äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà
⎧⎪ f 2 ( x, ) = x,
⎨ 2
2
⎪⎩ f ( x, y + 1) = G ( f ( x, y )).
Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ âûðàçèòü òðåáóåìûì îáðàçîì (èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 29) ôóíêöèè u = U (x, y) è v = V (x, y), ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé
⎧ f ( x , ) = β(u, v, ),
⎪
⎨.............................
⎪ f ( x , y ) = β(u, v, y ).
⎩
31. Èñïîëüçîâàòü ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ÷èñåë
2 , e, π.
32. Çàïèñàòü ñ ïîìîùüþ îáùåðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé ìåòîä
âû÷èñëåíèÿ ñ íàïåðåä çàäàííîé òî÷íîñòüþ êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà ñ
öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè.
34. (à) Imn(x1, ..., xn) = is (xm).
(á) o (x) = ii (s (x)).
(â) is ().
(ã) q (2 + 2IC x).
(ä) ax = I12(x, y) + ... + I12(x, y) (a ðàç),
by = I22(x, y) + ... + I22(x, y) (b ðàç),
c = s () + ... + s () (c ðàç).
(å) Èìååì x + 2 ⎡ x ⎤ = i( x + 1 + 2 ICq ( x + ")) , òîãäà
⎣
⎦
x 2 = i( x + 2 ⎡ x ⎤ + 1).
⎣
⎦
(æ) Ïóñòü α(x, y) = q ((x + y)2 + 5x + 3y + "), òîãäà
⎡x⎤
x 2 + ⎢ ⎥ = i( x + 2 ⎡ x ⎤ + 1 + i(IC α ( x, q ( x )))) ,
⎣
⎦
⎣2⎦
232
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
⎛ 2 ⎡x⎤ 2⎞
⎡x⎤
⎢2⎥ = α⎜x + ⎢2 ⎥, x ⎟.
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎝
⎠
⎡2 ⎡ x ⎤ ⎤
⎦⎥ .
(ç) Èìååì 2 ⎡ x ⎤ = α( x + 2 ⎡ x ⎤ , x ) , òîãäà ⎡ x ⎤ = ⎢ ⎣
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦ ⎢ 2 ⎥
⎢⎣
⎥⎦
α(α(( x + y )2, x 2 ), y 2 )
.
2
(ê) Èìååì x − æ y = α(x, y) sg α(α(x, y) + y, x).
(è) Èìååì x ⋅ y =
⎡ ( x + y )2 + 3 x + y ⎤
(ë) Èìååì c (x, y) = ⎢
⎥.
2
⎢⎣
⎥⎦
(ì) Èìååì l (x) = x − æ
⎡⎡
⎤ ⎡⎡
⎤
⎤
⎤
1 ⎢ ⎣ 8x + 1 ⎦ + 1 ⎥ ⎢ ⎣ 8x + 1 ⎦ − 1 ⎥
⋅
⋅
.
⎥ ⎢
⎥
2 ⎢
2
2
⎣⎢
⎦⎥ ⎣⎢
⎦⎥
⎡ ⎡ 8x + 1 ⎤ + 1 ⎤
⎣
⎦
⎥ − (l (x) + 1).
(í) Èìååì r (x) = ⎢
⎢
⎥ æ
2
⎢⎣
⎥⎦
35. Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ äàííîé ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè, èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 34. Ðàññìîòðèì
ëèøü ñëó÷àé ïîëó÷åíèÿ ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè. Ââèäó çàäà÷è 28 äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà
⎧F ( x, 0) = x,
⎨
⎩F ( x, y + 1) = G (F ( x, y )),
ãäå G óæå ïîëó÷åíà òðåáóåìûì â çàäà÷å ñïîñîáîì. Ïîëîæèì
(
)
θ (x, y) = q ⎡ x + 1 ⎤ ⋅ sgq ( x + 1) + G ( y ) ⋅ sgq ( x + 1) .
⎣
⎦
Òîãäà äëÿ ôóíêöèè t (x) = θ (x, x) èìååì
⎧t (0) = 0,
⎨
⎩t ( x + 1) = θ( x, t ( x )),
×àñòü III. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ (§ 1)
233
t (x) = F (q ([ x ]), q (x)), à òàêæå t (((y + x)2 + x)2 + y) = F (x, y). Íî
ôóíêöèÿ t (x) ââèäó çàäà÷è 28 (á) ïîëó÷àåòñÿ èòåðàöèåé è ñóïåðïîçèöèÿìè ôóíêöèé, óæå ïîëó÷åííûõ òðåáóåìûì â çàäà÷å ñïîñîáîì.
39. (à) Imn(x1, ..., xn) = qq−1(xm).
(á) o (x) = q (q−1(x + x) + 1).
(â) Àíàëîãè÷íî çàäà÷å 34 (ä).
(ã) Ïóñòü α(x, y) = q ((x + y)2 + 5x + 3y + 4); òîãäà
x2 = α (q−1(2x), 2x).
(ä) sg (x) = q (x2 + 1).
(å) sg (x) = α (1, sg x).
⎡x⎤
(æ) Èìååì ⎢ ⎥ = q (2q + sg (q(q−1 + ss (0))))−1(x).
⎣2⎦
(ç) Àíàëîãè÷íî çàäà÷å 34 (è).
(è) Àíàëîãè÷íî çàäà÷å 34 (ê).
⎡ q( x − q( x )) − 1 ⎤
(ê) Èìååì ⎡ x ⎤ = ⎢
⎥ + sg x .
⎣
⎦ ⎣
2
⎦
(ë), (ì), (í) Àíàëîãè÷íî çàäà÷å 34 (ë), (ì) è (í).
40. Èìååì f (x) = r ((|(l (x) + 1) sg h (l (x), r (x)) − 1|) − 1)−1. Äàëåå
ïðèìåíèòü çàäà÷ó 39.
41. Èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ ïîñòðîåíèÿ äàííîé ÷àñòè÷íî
ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè, èñïîëüçóÿ çàäà÷è 30, 39, 40, à òàêæå
ôîðìóëû äëÿ rest (x, y) è β(x, y, z) èç çàäà÷ 12 è 17. Ê ôîðìóëå
⎡x ⎤
⎢ y ⎥ = μz[sg y ⋅ sg((z + 1) y − x ) = 0] + x sg y
⎣ ⎦
ïðèìåíèòü çàäà÷ó 40.
42. (à) Ïóñòü ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
åñëè n = 3 t, òî α(n) = c3 (0, t, 2 + t);
åñëè n = 3 t + 1, òî α(n) = c3 (t + 1, 0, sg t);
åñëè n = 3 t + 2, à c 31(α(r (t))) + 1 = c 31(α(l (t))) è c 32(α(r (t))) =
= c33(α(l (t))), òî α(n) = c3(c31(α(l (t))), c32(α(l (t))) + 1, c33(α(r (t)))),
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ α(n) = c3(0, 0, 2).
(Çäåñü l, r îïðåäåëåíû â çàäà÷å 13, à c 3, c 31, c 32, c 33 â
çàäà÷å 14.)
234
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
Ôóíêöèÿ α ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà. Èìååì
B (x, y) = c33(α (μn[c31(α(n)) = x è c32(α(n)) = y])).
Òàêèì îáðàçîì, B è A îáùåðåêóðñèâíû.
(á), (â), (ã) Èíäóêöèåé ïî n, x.
(ä) Èìååì o (x) < B (0, x), s (x) < B (0, x), I mn (x 1 , ..., x n ) <
< B (0, max (x1, ..., xn)).
(å), (æ) Ïðîâåðÿåì íåïîñðåäñòâåííî, èñïîëüçóÿ (á), (â) è (ã).
(ç) Èç (ä), (å) è (æ) ñëåäóåò, ÷òî âñÿêàÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ B-ìàæîðèðóåìîé.
43. Ïóñòü F (t, x1, ..., xn) óíèâåðñàëüíàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ñåìåéñòâà n-ìåñòíûõ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé, ÿâëÿþùàÿñÿ
ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé. Òîãäà f (x1, ..., xn) = 1 + F (x1, x1, ..., xn) =
= F (t 0, x 1, ..., x n) äëÿ íåêîòîðîãî t 0. Îòñþäà 1 + F (t 0, t 0, ..., t 0) =
= F (t0, t0, ..., t0). Ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.
44. Çàìåòèì, ÷òî óíèâåðñàëüíàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü âñþäó
îïðåäåëåííîé. Äàëåå, ñì. óêàçàíèå ê çàäà÷å 43.
§ 2. Ìàøèíû Òüþðèíãà
1. f (x) = x + 1.
2. fn (x1, ..., xn) = x1 + ... + xn .
3. Íàïðèìåð,
q10 → q20R,
q11 → q01,
q20 → q31L,
q21 → q21R,
q30 → q00,
q31 → q31L.
4. Íàïðèìåð,
q10 → q20R
q20 → q30L,
q21 → q21R,
q30 → q00,
q31 → q30L.
5. Ñíà÷àëà ïåðåâîäèì ñëîâî 01xq101y0 â ñëîâî 01xqα1y00, ðàâíîå 01x − iqα1y01i0 ïðè i = 0. Çàòåì ñëîâî 01x − iqα1y01i0 ïåðåâîäèì â
01x − (i + 1)qα1y01i + 10, åñëè x − i > 0, è â 01yq001x0, åñëè x − i = 0.
Ã. q101x00 = q101x − i01i01i ïðè i = 0. Ñëîâî q101x − i01i01i ïåðåâîäèì
â q101x − (i + 1)01i + 101i + 1, åñëè x − i > 0, è â q001x01x, åñëè x − i = 0.
×àñòü III. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ (§ 2)
+
n−1
Ön.(Á ⋅ Â)
− n−1
⋅ (Á )
235
.
Ên.Ê1 = Ã,
Ên + 1 = (Á+)n ⋅ Ã ⋅ (Á−)n ⋅ (Ön + 2)n ⋅ (Á+)2 ⋅ Ên ⋅ (Á−)2 ⋅ Ö2n + 2 ⋅ Ön + 1.
6. (Ön)m − 1 ⋅ (Á+)n − 1 ⋅ (O ⋅ Á−)n − 1, ãäå O ìàøèíà, ïîñòðîåííàÿ
â çàäà÷å 4.
7. (à) Ïóñòü F è G ìàøèíû, ïðàâèëüíî âû÷èñëÿþùèå f è g
ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà H = G ⋅ F ïðàâèëüíî âû÷èñëÿåò h.
(á) H = [Êm ⋅ (Á+)m ⋅ G1 ⋅ (Á−)m ⋅ (Öm + 1)m ⋅ Á+] ⋅ ...
... ⋅ [Êm ⋅ (Á+)m Gn − 1 ⋅ (Á−)m ⋅ (Öm + 1)m ⋅ Á+] ⋅ Gn ⋅ (Á−)n − 1 ⋅ F.
8. (à) Íàïðèìåð,
q10 → q20R,
q20 → q31R,
q21 → q21R,
q30 → q40L,
q31 → q31R,
q41 → q50L,
q50 → q00,
(á)
q51 → q51L.
q10 → q20R,
q20 → q00L,
q21 → q31R,
q30 → q40L,
q31 → q31R,
q41 → q50L,
q50 → q00,
(â)
q51 → q51L.
q10 → q20R
q20 → q00L,
q21 → q31R,
q30 → q40L,
q31 → q30R,
q40 → q40L,
q41 → q00L.
9. (à) Ïóñòü ìàøèíû G è H âû÷èñëÿþò g è h ñîîòâåòñòâåííî.
Èñïîëüçóÿ G, H è ìàøèíû èç çàäà÷è 5, ïîñòðîèòü ìàøèíû T1,
T2, T3, T4, T5 òàêèå, ÷òî
q101x1 ... 01xn01y0 ⇒T1 01x1 ... 01xn001yqα01x1 ... 01xn0 ⇒T2
⇒T2 01x1 ... 01xn001yqβ01g (x1, ..., xn, 0)0 ...;
236
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
01x1 ... 01xn01i01y − iqβ01z0 ⇒T3
⎧⎪01x1...01xn 01i 01y −i qγ 01z0, åñëè y − i > 0,
⇒T3 ⎨ x1
x
i
y −i
z
⎪⎩01 ...01 n 01 01 qδ 01 0, åñëè y − i = 0,
z
01x1 ... 01xn01i01y − iqγ01 0 ⇒T4
⇒T4 01x1 ... 01xn01i + 101y − (i + 1)qγ01h (x1, ..., xn, y, z)0;
z
z
01x1 ... 01xn01y00qδ01 0 ⇒T5 q001 .
⎧qγ = T4 ,
Òîãäà ìàøèíà T1 ⋅ T2 ⋅ T3 ⋅ ⎨
âû÷èñëÿåò f (x1, ..., xn).
⎩qδ = T5
(á) Ïóñòü ìàøèíà G âû÷èñëÿåò g (x1, ..., xn, y). Èñïîëüçóÿ G è
ìàøèíû èç çàäà÷è 5, ïîñòðîèòü ìàøèíû T1, T2, T3, òàêèå, ÷òî
q101x1 ... 01xn0 ⇒T1 01x1 ... 01xn01qα0;
01x1 ... 01xn01iqα0 ⇒T2 01x1 ... 01xn01iqβ01g (x1, ..., xn, i)0;.
x
x
i +1
⎪⎧01 1...01 n 01 qα 0, åñëè y ≠ 0,
⎨
01 ... 01 01 qβ01 0 ⇒T3
.
i
åñëè y = 0.
⎪⎩q0 01 0,
x1
xn
i
y
Òîãäà ìàøèíà T1 ⋅ T2 ⋅ T3 âû÷èñëÿåò f (x1, ..., xn).
10. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 3, 4, 6, 7, 9.
12. γ n ( x 1 , ..., x n ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 7
x 1 −1
x1 + x 2
x 1 +... + x n + ( n + 2)
i =0
i = x 1 +1
i = x 1 +... + x n − 1 + ( n −1)
∏ pi ⋅ ∏ pi ⋅ ...
∏
pi
.
13. Ïîëàãàåì
ρ (0, k, l, u, ν) = 2u ⋅ 3k ⋅ 5l ⋅ 7ν,
v
u
∏ ptex (t +1, u ) k ex(0, u) p0l ⋅∏ psex+1( s , ν )
ρ (1, k, l, u, ν) = 2t =0
,
⋅3 ⋅5
⋅ 7 s =0
v
u
ρ (2, k, l, u, ν) = 2
p0l ⋅∏ ptex+1(t , u )
t =0
k
ex(0, u )
⋅3 ⋅5
∏ psex ( s +1, ν )
⋅ 7 s =0
,
ρ (s, k, l, u, ν) = ρ (0, k, l, u, ν) sg s +
+ ρ (1, k, l, u, ν) sg |s − 1| + ρ (2, k, l, u, ν) sg |s − 2|.
×àñòü III. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ (§ 2)
14. Ïîëàãàåì
237
σ (t, 0, j, u, ν) = 2u ⋅ 30 ⋅ 5j ⋅ 7ν,
σ (t, i, j, u, ν) = ρ (ex (2, ex (c (i, j), t)),
ex (0, ex (c (i, j), t)), ex (1, ex (c (i, j), t)), u, ν) ïðè i > 0,
ãäå ρ ôóíêöèÿ èç çàäà÷è 13.
15. Ïîëàãàåì
τ (t, x) = σ (t, ex (1, x), ex (2, x), ex (0, x), ex (3, x)),
ãäå σ ôóíêöèÿ èç çàäà÷è 14.
16. Ïîëàãàåì
w (t, x, 0) = x, w (t, x, y + 1) = τ (t, w (t, x, y)),
ãäå τ ôóíêöèÿ èç çàäà÷è 15.
x
17. ε (x) = ∑ sg ex(i, ex(0, x )) − 1 + sg ex(2, x ) − 1 +
i =0
x
+ ∑ sg ex(i, ex(3, x )) − 1 .
i =0
18. Ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ âû÷èñëèìîñòè è çàäà÷ 12, 16, 17.
19. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 18 (á).
20. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 10 è 19, òàê êàê âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäèëèñü
íà ìàøèíàõ ñ àëôàâèòîì {0, 1}.
21. Ïîëàãàåì U (t, x) = ε (w (t, γ1(x), h2(t, x))) (ñì. çàäà÷ó 18). Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç çàäà÷ 10 è 17.
22. Ïîëàãàåì U n + 1(t, x1, ..., xn) = U (t, cn (x1, ..., xn)), ãäå U îïðåäåëåíà â çàäà÷å 21, à cn â çàäà÷å 14 èç § 1.
23. (à) Åñëè h (x, y) ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà, òî òàêîâà æå è
f (x) = μy [h (x, x) + y = 0].
Ïóñòü ìàøèíà T ïðàâèëüíî âû÷èñëÿåò f (x) è λ(T) = a. Òîãäà
f (a) = 0 ⇔ h (a, a) = 0 ⇔ f (a) íå îïðåäåëåíî. Ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.
(â) Èìååì h0 (α(β(x), x)) = g (x), ãäå α è β îïðåäåëåíû â çàäà÷å 11.
24. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 12 è 16.
25. (à) Ïîëàãàåì p (x) = l (x), T1(m, x, y) = S (m, x, l (y), r (y)), ãäå
ôóíêöèÿ S èç çàäà÷è 24.
(á) Àíàëîãè÷íî (à).
238
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
§ 3. Ðåêóðñèâíûå
è ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà
z
z
i =0
i =0
3. ∏ θR ( x1, ..., xn , i ) è sg ∑ θR ( x1, ..., xn , i ) ÿâëÿþòñÿ òðåáóåìûìè ïðåäñòàâëÿþùèìè ôóíêöèÿìè.
4. ⟨x1, ..., xn⟩ ∈ M ⇔ ∃ t R (x1, ..., xn, l (t), r (t)).
5. Äîêàçàòü, ÷òî ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûõ ìíîæåñòâ ñ÷åòíîå
÷èñëî.
9. δf −1 êîíå÷íîå ìíîæåñòâî.
11. x ∈ A ∪ B ⇔ ∃ y (RA (x, y) ∨ RB (x, y));
x ∈ A ∩ B ⇔ ∃ y ∃ z (RA (x, y) & RB (x, z)).
(
)
14. χA(x) = θRA x, μz ⎡ θRA ( x, z) ⋅ θRN \ A ( x, z) = 0 ⎤ .
⎣
⎦
16. Ïóñòü a ∈ M è x ∈ M ⇔ ∃ y R (x, y). Òîãäà
α(x) = l (x) ⋅ sg θR(l (x), r (x)) + a ⋅ θR(l (x), r (x)).
17. Àíàëîãè÷íî çàäà÷å 16.
x
18. χρ f ( x ) = sg∏ x − f (i ) .
i =0
19. Ïóñòü A ðåêóðñèâíî è áåñêîíå÷íî. Òîãäà A = ρf, ãäå
f (0) = μx [χA(x) = 0], f (t + 1) = μx [χA(x) = 0 è x > f (t)].
Îáðàòíîå ñëåäóåò èç çàäà÷è 18.
20. Ïóñòü A ðåêóðñèâíî. Òîãäà A = ρf, ãäå f (0) = μx [χA(x) = 0],
f (x + 1) = f (x) ⋅ χA(x + 1) + (x + 1) ⋅ sg χA(x + 1). Îáðàòíî, ïóñòü A = ρf,
ãäå f ìîíîòîííàÿ îáùåðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà, åñëè A
áåñêîíå÷íî, òî
ϕ( x )
χ A ( x ) = sg ∏ x − f (i )
i =0
ãäå ϕ(x) = μz [x < f (z)]. Åñëè A êîíå÷íî, òî îíî ðåêóðñèâíî ïî çàäà÷å 6.
21. Ïóñòü A = ρf, ãäå f ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ.
Ïîëîæèì g (0) = f (0), g (x + 1) = f (μy [f (y) > g (x)]. Òîãäà B = ρg åñòü
èñêîìîå ðåêóðñèâíîå ïîäìíîæåñòâî A.
×àñòü III. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ (§ 3)
239
22. Ïóñòü A = ρf, ãäå f ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ.
Ïîëîæèì
⎛ ⎡x
⎤⎞
f (0) = g (0), f (x + 1) = g ⎜ μy ⎢ ∑ sg g ( y ) − f (i ) = 0 ⎥ ⎟ .
⎜
⎟
⎦⎠
⎝ ⎣i =0
Òîãäà f åñòü èñêîìàÿ ôóíêöèÿ.
23. χΓf(x, y) = sg | f (x) − y |.
24. Ïóñòü Γf = {⟨α1(x), ..., αn(x), αn + 1(x)⟩ | x ∈ N }, ãäå α1, ..., αn + 1
ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè (ñì. çàäà÷ó 17). Òîãäà
f (x1, ..., xn) = αn + 1(μx [|x1 − α1(x)| + ... + |xn − αn(x)| = 0]).
25. Ïóñòü ìíîæåñòâî A ðåêóðñèâíî, f îáùåðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ, B = f −1 (A). Òîãäà χB (x) = χA( f (x)).
26. χf (A)(x) = χA(μt [| x − f (t) = 0]).
27. Ïóñòü A = {x | ∃ y (f (x, y) = 0)}, B = {x | ∃ y (g (x, y) = 0}, ãäå f è
g ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. Òîãäà
χA(x) = sg(χC(x) + f (x, μy [ f (x, y) ⋅ g (x, y) sg χC(x) = 0])).
28. y ∈ ρ f ⇔ y = f ( 0 ) ∨ . . . ∨ y = f (t), t = μ z [{0, 1 , . . . , y} ∩
∩ ρg ⊆ {g (0), ..., g (z)}], ò.å.
z
⎡ y ⎛
⎤
⎞
t = μz ⎢ ∑ ⎜ sg χρ g (u ) ⋅ ∏ u − g (i ) ⎟ = 0 ⎥ .
⎜
⎟
i =0
⎠
⎣⎢u =0 ⎝
⎦⎥
29. Ïóñòü A = ρf , B = ρg äëÿ íåêîòîðûõ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé f è g. Âû÷èñëÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî çíà÷åíèÿ ôóíêöèé
f è g (ïåðå÷èñëÿÿ A è B), ñòðîèì ôóíêöèè u è v, ïåðå÷èñëÿþùèå
A1 è B1. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñóùåñòâóþò ÷èñëà a∈ A, b ∈ B è
a ≠ b. Ïîëàãàåì
⎧ f (0), åñëè f (0) ≠ b,
u (0) = ⎨
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
⎩a
⎧ g (0), åñëè g (0) ≠ u(0), g (0) ≠ a,
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
⎩
v (0) = ⎨b
⎧ f ( x + 1), åñëè f ( x + 1) ∉ {v(0), ..., v( x )},
u (x + 1) = ⎨
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
⎩a
240
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
⎧ g ( x + 1), åñëè g ( x + 1) ∉ {u(0), ..., u( x + 1),⎫
⎬
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
⎩b
⎭
v (x + 1) = ⎨
Ïðèìèòèâíóþ ðåêóðñèâíîñòü u è v ìîæíî äîêàçàòü, èñïîëüçóÿ çàäà÷è 18 è 20 èç § 1.
30. (à) Ðàññìîòðèì äëÿ ïðîñòîòû ñëó÷àé f (x) = g (h (x)), ãäå Γg
è Γh ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìû. Òîãäà ⟨x, y⟩ ∈ Γg ⇔ ∃ u RΓg (x, y, u),
⟨x, y⟩ ∈ Γh ⇔ ∃ v RΓh (x, y, v). Èìååì
⟨x, y⟩ ∈ Γf ⇔ ∃ z ∃ u ∃ v (RΓg (x, z, u) & RΓh (x, z, v)).
(á) Äîêàæåì äëÿ ñëó÷àÿ ñïåöèàëüíîé ðåêóðñèè èç çàäà÷è 28 (à)
èç § 1. Ïóñòü
⎧ f ( x, 0) = x,
⎨
⎩ f ( x, y + 1) = G ( f ( x, y ))
è ΓG = {⟨g (t), h (t)⟩ | t ∈ N }, ãäå g è h ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå
ôóíêöèè (ñì. çàäà÷ó 17). Ïîëîæèì:
åñëè n = 2t, òî α(n) = c3(t, 0, t);
åñëè n = 2t + 1 è c33(α(l (t))) = g (r (t)), òî
α(n) = c3(c31(α(l (t))), c32(α(l (t))) + 1, h (r (t))),
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ α(n) = c3(0, 0, 0).
Ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ α(n) ïåðå÷èñëÿåò ìíîæåñòâî c3(Γf).
(â) Äîêàæåì äëÿ ñëó÷àÿ f (x) = μy [g (x, y) = 0], ãäå Γg ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèì, ò.å. Γg = {⟨α1(t), α2(t), α3(t)⟩ | t ∈ N } äëÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé α1, α2, α3 (ñì. çàäà÷ó 17). Ïî îïðåäåëåíèþ μ-îïåðàòîðà ⟨x, y⟩ ∈ Γf ðàâíîñèëüíî óòâåðæäåíèþ î ñóùåñòâîâàíèè òàêèõ t0, ..., ty − 1, ty, ÷òî
y − 1
⎛
⎞
t
x
t
i
y
α
−
+
α
−
+
(
)
(
)
sg
⎜
2 i
∑⎜ 1 i
∏ α3 (ti ) + α3 (ty ) ⎟⎟ = 0 .
i =0 ⎝
i =0
⎠
y
Ïîäñòàâëÿÿ β (u, v, i) âìåñòî ti, ïîëó÷èì ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûé ïðåäèêàò P (u, v, x, y) òàêîé, ÷òî ⟨x, y⟩ ∈ Γf ⇔ ∃ u ∃ v P (u, v, x, y).
(Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà ôóíêöèè β ñì. â çàäà÷å 34 èç § 7 ÷àñòè II.)
(ã) Ñëåäóåò èç (à), (á) è (â).
31. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 24 è 30.
×àñòü III. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ (§ 3)
241
32. Ïóñòü f ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà. Òîãäà
⟨x1, ..., xn⟩ ∈ δf ⇔ ∃ y (⟨x1, ..., xn, y⟩ ∈ Γf) ⇔
⇔ ∃ y ∃ z P (x1, ..., xn, y, z)
äëÿ íåêîòîðîãî ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîãî ïðåäèêàòà P (ñì. çàäà÷ó 31). Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç çàäà÷è 18 (à) èç § 2.
33. Γf = {⟨α1(t), ..., αn + 1(t)⟩ | t ∈ N } äëÿ ïîäõîäÿùèõ ïðèìèòèâíî
ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé α1, ..., αn + 1 (ñì. çàäà÷è 31 è 17). Ôóíêöèÿ
g (t) = αn + 1(t) ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà è ρf = ρg .
34. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 20 è 33.
35. Ïóñòü ⟨x1, ..., xn⟩ ∈ M ⇔ ∃ y P (x1, ..., xn, y) äëÿ ïðèìèòèâíî
ðåêóðñèâíîãî ïðåäèêàòà P. Òîãäà
χM*(x1, ..., xn) = o (μy [θP(x1, ..., xn, y) = 0]).
Îáðàòíîå ñëåäóåò èç çàäà÷è 32.
36. (à) Ïóñòü ìíîæåñòâî A ⊆ N n ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî è f n
÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà. Òîãäà f (A) = {g (t) | t ∈ N }, ãäå g (t) =
= f (α1(t), ..., αn(t)) äëÿ îáùåðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé α1, ..., αn òàêèõ,
÷òî A = {⟨α1(t), ..., αn(t)⟩ | t ∈ N } (ñì. çàäà÷ó 17).
(á) Ïóñòü A ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî, f ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ, B = f −1 (A). Òîãäà
χB*(x1, ..., xn) = χA*(f (x1, ..., xn))
è B ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî (ñì. çàäà÷ó 35).
37. χA*(x1, ..., xn) = χ*Γf(x1, ..., xn, a) (ñì. çàäà÷ó 35).
38. f (x1, ..., xn, y) = 0 ⇔ ∃ z P (x1, ..., xn, y, z) äëÿ ïîäõîäÿùåãî
ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîãî ïðåäèêàòà P (ñì. çàäà÷è 37 è 4).
39. Ãðàôèê ôóíêöèè g åñòü îáúåäèíåíèå ãðàôèêîâ ÷àñòè÷íî
ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé
f1 (x1, ..., xn) + χ*M1 (x1, ..., xn),
................................................
fk (x1, ..., xn) + χ*Mk (x1, ..., xn).
40. Ãðàôèê Γf ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèì. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò
ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ G (x1, ..., xn, y, z) òàêàÿ, ÷òî
f (x1, ..., xn) = y ⇔ ∃ z (G (x1, ..., xn, y, z) = 0).
242
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
Èìååì
f (x1, ..., xn) = l (μt [G (x1, ..., xn, l (t), r (t)) = 0]).
41. Åñëè χΓf ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíà, òî âçÿòü â êà÷åñòâå g ôóíêöèþ χΓf. Îáðàòíî,
χΓf(x1, ..., xn) =
⎡
⎛ y − 1
⎞⎤
= sg ⎢((sg y + g ( x1, ..., xn , 0) ) ⋅ ⎜ sg ∏ ( g ( x1, ..., xn , i ) + g ( x1, ..., xn , y ) ) ⎟ ⎥ .
⎜
⎟⎥
⎢⎣
⎝ i =0
⎠⎦
42. Äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî çàäà÷å 42 (à) èç § 1.
43. Ïóñòü χ*N \H(x) = U (m, x) äëÿ íåêîòîðîãî m (ñì. çàäà÷ó 21 èç
§ 2). Èìååì
m ∈ H ⇔ χ*N \H(x) = U (m, x) íå îïðåäåëåíî ⇔
⇔ ∀ y (T1 (m, m, y) ≠ 0) ⇔ m ∉ H.
44. Ïîëîæèì
⎧ f ( x1, ..., xn ), åñëè ⟨ x1, ..., xn ⟩ ∈ δ f ,
g ( x1, ..., xn ) = ⎨
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå;
⎩0
g åñòü îáùåðåêóðñèâíîå äîîïðåäåëåíèå f (ñì. çàäà÷ó 37).
45. Ïóñòü M ðåêóðñèâíîå ìíîæåñòâî. Òîãäà χN \M(x) = V (m, x)
äëÿ íåêîòîðîãî m. Èìååì
m ∈ M ⇔ χN \M (m) = 1 ⇔ V (m, m) = 1 ⇔ m ∉ M.
46. Íàïðèìåð, sg U (x, x).
47. Íàïðèìåð, f (x) = x ⋅ sg (U (x, x) + 1). Ïóñòü
f (x) = μy [g (x, y) = 0].
Òîãäà U (x, x) îïðåäåëåíî ⇔ g (x, x) = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî H èç çàäà÷è 43 ðåêóðñèâíî. Ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ.
48. Ïóñòü G ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî è g (x)
ðåêóðñèâíàÿ 1−1-ôóíêöèÿ, ïåðå÷èñëÿþùàÿ G (ñì. çàäà÷ó 22).
Ïóñòü h (x) = V (g (x), x) + 1. Òîãäà h (x) = V (g (m), x) äëÿ íåêîòîðîãî m. Òîãäà h (m) = V (g (m), m) + 1 = V (g (m), m). Ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ.
×àñòü III. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ (§ 4)
243
§ 4. Íóìåðàöèè Êëèíè è Ïîñòà
2. (à) Ñëåäóåò èç 1 (ä).
(á) Èíäóêöèåé ïî n.
3. (à) f (x 1 , ..., x n ) = f (x 1 , ..., x n ) + 0 ⋅ y = U (a, y, x 1 , ..., x n ) =
= K n + 1(c (a, y), x1, ..., xn).
(á) Ñëåäóåò èç (à) è çàäà÷è 2 (à).
4. Èìååì f (x) = f (x) + 0 ⋅ y = K 3 (a, y, x) = K 2 ([a, y], x). Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëà [a, y] ïðè y = 0, 1, ... ÿâëÿþòñÿ êëèíèåâñêèìè íîìåðàìè f (x).
5. (à) Èìååì K (u, K (v, x)) = K ([m, u, v], x) äëÿ íåêîòîðîãî m,
òîãäà f (u, v) = [m, u, v] èñêîìàÿ ôóíêöèÿ.
(á) Èìååì μy [K 3 (u, x, y) = 0] = K 3 (a, u, x) = K ([a, u], x) äëÿ
íåêîòîðîãî a.
(â) Ïóñòü
⎧F (u, 0) = 0,
⎨
⎩F (u, x + 1) = K (u, F (u, x )).
Òîãäà F (u, x) = K ([b, u], x) äëÿ íåêîòîðîãî b.
(ã) K (u, x) + K (v, x) = K ([n, u, v], x) äëÿ íåêîòîðîãî n.
6. Ïóñòü s = êc, q = êd. Ïîëîæèì f (0) = c, f (1) = d è
⎧[m, f (l (t )), f (r (t ))], åñëè x = 3t , t ≠ 0,
⎪
f ( x ) = ⎨[b, f (t )],
åñëè x = 3t + 1, t ≠ 0,
⎪[n, f (l (t )), f (r (t ))], åñëè x = 3t + 2,
⎩
ãäå m, b, n âçÿòû èç óêàçàíèÿ ê çàäà÷å 5. Òîãäà f åñòü ïðèìèòèâíî
ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ, ïåðå÷èñëÿþùàÿ ìíîæåñòâî P (ñì. çàäà÷ó
35 èç § 1).
7. F (x, y) = K (f (x), y), ãäå f (x) ôóíêöèÿ, ïîñòðîåííàÿ â çàäà÷å 6, åñòü èñêîìàÿ ôóíêöèÿ.
8. Àíàëîãè÷íî çàäà÷å 5.
9. K (f (x1, ..., xn), y) = K n + 2(e, x1, ..., xn, y) äëÿ íåêîòîðîãî e. Òîãäà g (x1, ..., xn) = [e, x1, ..., xn] èñêîìàÿ ôóíêöèÿ.
10. (à) Èìååì
K (f (x1, ..., xn, [y, y, x1, ..., xn]), t) = K (a, y, x1, ..., xn, t) =
= K ([a, y, x1, ..., xn], t).
244
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
Ïîëîæèì y = a, g (x1, ..., xn) = [a, a, x1, ..., xn].
(á) Ñëåäóåò èç (à).
11. f (x, y) = K ([a, x] , y) äëÿ ïîäõîäÿùåãî a . Ïîýòîìó
f (n, y) = K([a, n], y) = K(n, y) äëÿ íåêîòîðîãî n (ñì. çàäà÷ó 10).
12. Èìååì I12(x, y) = K([a, x], y) äëÿ íåêîòîðîãî a. Ïî çàäà÷å 8
ñóùåñòâóåò n òàêîå, ÷òî ê [a, n] = ên. Òîãäà ên(0) = ên(n) = n.
13. Èìååì
⎧êK ( x, y ), åñëè K ( x, y ) îïðåäåëåíî,
êg ( x, y ) = ⎨
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
⎩ω
äëÿ ïîäõîäÿùåé ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè g (ñì. çàäà÷ó 9). Äàëåå êg (x, f (x)) = êf (x) äëÿ ïîäõîäÿùåé ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè f (ñì. çàäà÷ó 10).
14. (à) Ïîëîæèì
⎧0 ïðè y = x,
F ( x, y ) = ⎨
⎩1 ïðè y ≠ x.
Òîãäà F (x, y) = K (g (x), y) äëÿ íåêîòîðîé ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè g, g = ên äëÿ ïîäõîäÿùåãî n. Ïîýòîìó êg ( f (n)) = êf (n),
ãäå f ôóíêöèÿ, ïîñòðîåííàÿ â çàäà÷å 13. Îòñþäà
êf (n) (y) = êg ( f (n))(y) = F ( f (n), y) = χ{ f (n)}(y).
Ïîëàãàåì a = f (n).
(á) Ïðèìåíèòü ðàññóæäåíèÿ ïóíêòà (à) ê ôóíêöèè
⎧0 ïðè y = x,
g ( x, y ) = ⎨
⎩íå îïðåäåëåíî ïðè y ≠ x.
(â) Ïðèìåíèòü ðàññóæäåíèÿ ïóíêòà (à) ê ôóíêöèè
⎧0 ïðè y ≠ x,
g ( x, y ) = ⎨
⎩íå îïðåäåëåíî ïðè y = x.
15. Ïî çàäà÷å 11 ñóùåñòâóåò ÷èñëî e òàêîå, ÷òî êe (x) = g (e, x).
Ïîëàãàåì f = êe. Òîãäà (F (êe))(x) = g (e, x) = êe(x).
16. Îïðåäåëèì îïåðàòîð F :
×àñòü III. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ (§ 4)
245
åñëè α( x ) = 0,
⎧0,
⎪
(F (ϕ))( x ) = ⎨ γ(ϕ(δ( x ))),
åñëè α( x ) > 0,
⎪ íå îïðåäåëåíî, åñëè α( x ) íå îïðåäåëåíî.
⎩
Ôóíêöèÿ g (n, x) = (F (ên))(x) ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà (ñì. çàäà÷ó
39 èç § 3). Ââèäó çàäà÷è 15, ñóùåñòâóåò òðåáóåìàÿ ôóíêöèÿ f.
17. Ïóñòü a ∈ ê−1(A), b ∉ ê−1(A). Åñëè ê−1(A) ðåêóðñèâíîå ìíîæåñòâî, òî ôóíêöèÿ
−1
⎪⎧b, åñëè x ∈ ê ( A ),
f (x) = ⎨
−1
⎪⎩a, åñëè x ∉ ê ( A ),
ÿâëÿåòñÿ îáùåðåêóðñèâíîé. Ââèäó çàäà÷è 10 (á) ñóùåñòâóåò ÷èñëî n òàêîå, ÷òî êf (n) = ên. Èìååì
f (n) ∈ ê−1(A) ⇔ n ∈ ê−1(A) ⇔ f (n) = b ⇔ f (n) ∉ ê−1(A).
Ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.
18. (à) è (á) ñëåäóþò èç çàäà÷è 17.
(â) Ìíîæåñòâî B = {x | 0 ∈ δêx } íåðåêóðñèâíî ââèäó çàäà÷è 17.
Èìååì x ∈ B ⇔ c (x, 0) ∈ A3. Ïîýòîìó A3 íåðåêóðñèâíî.
(ã), (ä) Àíàëîãè÷íî (â).
19. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 38 èç § 3.
20. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 16 èç § 3 è çàäà÷è 4, òàê êàê ïóñòîå
ìíîæåñòâî åñòü ρω.
21. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 17.
22. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 21.
23. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 38 èç § 3.
24. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 9.
25. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà n = 1. Åñëè P = ∅, òî â êà÷åñòâå
α(x1) áåðåì êàêîé-ëèáî íîìåð ïóñòîãî ìíîæåñòâà. Åñëè P ≠ ∅,
òî, ââèäó çàäà÷è 17 èç § 3, ñóùåñòâóþò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå
ôóíêöèè α1 è α2 òàêèå, ÷òî
P = {⟨α1,(t), α2(t)⟩ | t ∈ N }.
Òîãäà ôóíêöèÿ
246
ÎÒÂÅÒÛ, ÐÅØÅÍÈß, ÓÊÀÇÀÍÈß
⎧α1(t ), åñëè α2 (t ) = y,
g ( y, t ) = ⎨
⎩íå îïðåäåëåíà â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ
÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà è g (y, t) = êα(y)(t). Ôóíêöèÿ α èñêîìàÿ.
26. (à) t ∈ πx ∩ πy ⇔ ∃ z1 ∃ z2 (| K (x, z1) − t | + | K (x, z2) − t | = 0). Äàëåå
ïðèìåíÿåì çàäà÷ó 38 èç § 3 è çàäà÷ó 25.
27. (à) t ∈ δêx ⇔ ∃ z (K (x, t) = z). Äàëåå ïðèìåíÿåì çàäà÷ó 38 èç
§ 3 è çàäà÷ó 25.
(á) Ïóñòü
⎧0, åñëè y = π x ,
h( x, y ) = ⎨
⎩íå îïðåäåëåíî â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ
Òîãäà h (x, y) = êg (x)(y) äëÿ íåêîòîðîé ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé ôóíêöèè g (ñì. çàäà÷ó 3 (á)).
28. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 10.
29. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 25 è 28.
30. (à) Ñëåäóåò èç çàäà÷ 26 (â) è 28.
(â) Ñëåäóåò èç çàäà÷è 29 äëÿ M = {⟨y, x⟩ | y ≠ x}.
34. Ðåêóðñèâíàÿ ïåðå÷èñëèìîñòü K1 ñëåäóåò èç çàäà÷è 38 èç § 3.
Ïóñòü A = πa. Òîãäà
x ∈ A ⇔ c (x, a) ∈ K1.
35. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 33 è ñóùåñòâîâàíèÿ ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîãî, íî íåðåêóðñèâíîãî ìíîæåñòâà (íàïðèìåð, ñì. çàäà÷ó
43 èç § 3).
36. Ïîëàãàåì fA (x) = x.
37. Åñëè A êðåàòèâíîå è ðåêóðñèâíîå ìíîæåñòâî, òî −A = πa
äëÿ íåêîòîðîãî a, íî (A ∩ πa) ∪ (−A ∩ −πa) = ∅, çíà÷èò, ýòî ìíîæåñòâî íå ñîäåðæèò f (a).
38. Ïóñòü g = êa m-ñâîäèò A ê B. Ñòðîèì fB ñëåäóþùèõ îáðàçîì.
Ââèäó çàäà÷è 26 (å) èìååì g −1 (πx ) = πw (x, a). Ïîëàãàåì f B(x) =
= g fA w (x, a).
39. Ïóñòü A êðåàòèâíî, à B ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìî. Ïðèìåíÿåì çàäà÷ó 25 ê ìíîæåñòâó P = N × B. Èìååì
⎧ N , åñëè x ∈ B,
πα( x ) = ⎨
⎩∅ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
×àñòü III. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ (§ 4)
247
Òîãäà ôóíêöèÿ fA α(x) m-ñâîäèò B ê A.
40. Ñëåäóåò èç çàäà÷ 38 è 39.
41. Ââèäó çàäà÷è 38, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî K ≤m K2, ãäå K
ìíîæåñòâî èç çàäà÷è 36. Ïóñòü
⎧{a}, åñëè x ∈ π x ,
πα( x ) = ⎨
⎩∅ â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî α (x) îáùåðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ (ñì.
çàäà÷ó 25). Ôóíêöèÿ α(x) m-ñâîäèò K ê K2.
42. Ïóñòü ìàøèíà Òüþðèíãà T1 ïðàâèëüíî âû÷èñëÿåò ôóíêöèþ K (x, y), à ìàøèíà T2 (x) ïåðåðàáàòûâàåò ñëîâî q101 y0 â
q101x01y0. Ñóùåñòâóåò ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ ôóíêöèÿ τ(x)
òàêàÿ, ÷òî λT2 (x) = τ(x). Òîãäà T2 (x) ⋅ T1 âû÷èñëÿåò êx. Äàëåå ñì.
çàäà÷ó 11 èç § 2.
43. Ïîëàãàåì fH (x) = σg (x), ãäå g ôóíêöèÿ èç çàäà÷è 27 (á), à
σ ôóíêöèÿ èç çàäà÷è 42.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Àëåêñàíäðîâ Ï.Ñ. Ââåäåíèå â îáùóþ òåîðèþ ìíîæåñòâ è ôóíêöèé.
Ì.: Ãîñòåõèçäàò. 1948.
2. Àëåêñàíäðîâ Ï.Ñ. Ââåäåíèå â òåîðèþ ìíîæåñòâ è îáùóþ òîïîëîãèþ. Ì.: Íàóêà, 1977.
3. Áèðêãîô Ã. Òåîðèÿ ñòðóêòóð. Ì.: ÈË, 1952.
4. Áóëîñ Äæ., Äæåôôðè Ð. Âû÷èñëèìîñòü è ëîãèêà. Ì.: Ìèð, 1994.
5. Áóðáàêè Í. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Ì.: Ìèð, 1965.
6. Ãàâðèëîâ Ã.Ï., Ñàïîæåíêî À.À. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå. Ì.: Íàóêà, 1977.
7. Ãèëüáåðò Ä. Îñíîâàíèÿ ãåîìåòðèè. Ì.; Ë.: ÎÃÈÇ, 1948.
8. Ãèëüáåðò Ä., Àêêåðìàí Â. Îñíîâû òåîðåòè÷åñêîé ëîãèêè. Ì.: ÈË, 1947.
9. Ãèëüáåðò Ä., Áåðíàéñ Ï. Îñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè. Ëîãè÷åñêèå èñ÷èñëåíèÿ è ôîðìàëèçàöèÿ àðèôìåòèêè. Ì.: Íàóêà, 1979.
10. Ãèëüáåðò Ä., Áåðíàéñ Ï. Îñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè. Òåîðèÿ äîêàçàòåëüñòâ. Ì.: Íàóêà, 1982.
11. Ãèíäèêèí Ñ.Ã. Àëãåáðà ëîãèêè â çàäà÷àõ. Ì.: Íàóêà, 1972.
12. Ãëàäêèé À.Â. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Ì.: ÎÃÒÓ, 1998.
13. Ãóäñòåéí Ð.Ë. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Ì.: ÈË, 1961.
14. Äðàãàëèí À.Ã. Ìàòåìàòè÷åñêèé èíòóèöèîíèçì. Ââåäåíèå â òåîðèþ
äîêàçàòåëüñòâ. Ì.: Íàóêà, 1979.
15. Åðøîâ Þ.Ë. Ïðîáëåìû ðàçðåøèìîñòè è êîíñòðóêòèâíûå ìîäåëè. Ì.: Íàóêà, 1980.
16. Åðøîâ Þ.Ë. Òåîðèÿ íóìåðàöèé. Ì.: Íàóêà, 1977.
17. Åðøîâ Þ.Ë. Îïðåäåëèìîñòü è âû÷èñëèìîñòü. Íîâîñèáèðñê:
Íàó÷íàÿ êíèãà, 1996.
18. Åðøîâ Þ.Ë., Ïàëþòèí Å.À. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. 2-å èçä.
Ì.: Íàóêà, 1987.
19. Åôèìîâ Í.Â. Âûñøàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Ìèð, 1971.
20. Éåõ Ò. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ è ìåòîä ôîðñèíãà. Ì.: Ìèð, 1973
21. Êåéñëåð Ã., ×åí ×.×. Òåîðèÿ ìîäåëåé. Ì.: Ìèð, 1977.
22. Êëèíè Ñ.Ê. Ââåäåíèå â ìåòàìàòåìàòèêó, Ì.: ÈË, 1957.
23. Êëèíè Ñ.Ê. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Ì.: Ìèð, 1973.
24. Êëèíè Ñ.Ê., Âåñëè Ð. Îñíîâàíèÿ èíòóèöèîíèñòñêîé ìàòåìàòèêè.
Ì.: Íàóêà, 1978.
25. Êîâàëüñêè Ð. Ëîãèêà â ðåøåíèè ïðîáëåì. Ì.: Íàóêà, 1990.
26. Êîýí Ï.Äæ. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ è êîíòèíóóì-ãèïîòåçà.Ì.: Ìèð, 1969.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
ÏÐÅÄÌÅÒÍÛÉ
ÓÊÀÇÀÒÅËÜ
249
27. Êóðàòîâñêèé Ê., Ìîñòîâñêèé À. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Ì.: Ìèð, 1970.
28. Ëàâðîâ È.À. Ëîãèêà è àëãîðèòìû. Íîâîñèáèðñê: Èçä. Íîâîñèáèðñê. ãîñ. óí-òà, 1970.
29. Ëèíäîí Ð. Çàìåòêè ïî ëîãèêå. Ì.: Ìèð, 1968.
30. Ìàëüöåâ À.È. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû. Ì.: Íàóêà, 1970.
31. Ìàëüöåâ À.È. Àëãîðèòìû è ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. 2å èçä. Ì.:
Íàóêà, 1986.
32. Ìàíèí Þ.È. Äîêàçóåìîå è íåäîêàçóåìîå. Ì.: Ñîâåòñêîå ðàäèî, 1979.
33. Ìàðêîâ À.Ë., Íàãîðíûé Í.Ì. Òåîðèÿ àëãîðèôìîâ. Ì.: Íàóêà, 1984.
34. Ìåíäåëüñîí Ý. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. 3-å èçä. Ì.:
Íàóêà, 1984.
35. Íîâèêîâ Ï.Ñ. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîòêè. Ì.: Íàóêà, 1973.
36. Íîâèêîâ Ï.Ñ. Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé. Ì.: Íàóêà, 1986.
37. Ïåòåð Ð. Ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. Ì.: ÈË, 1954.
38. Ðàñåâà Å., Ñèêîðñêèé Ð. Ìàòåìàòèêà ìåòàìàòåìàòèêè. Ì.: Íàóêà, 1972.
39. Ðîáèíñîí À. Ââåäåíèå â òåîðèþ ìîäåëåé è ìåòàìàòåìàòèêó àëãåáðû. Ì.: Íàóêà, 1967.
40. Ðîäæåðñ X. Òåîðèÿ ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé è ýôôåêòèâíàÿ âû÷èñëèìîñòü. Ì.: Ìèð, 1972.
41. Ñàêñ Äæ. Òåîðèÿ íàñûùåííûõ ìîäåëåé. Ì.: Ìèð, 1976.
42. Ñìàëüÿí Ð. Òåîðèÿ ôîðìàëüíûõ ñèñòåì. Ì.: Íàóêà, 1981.
43. Ñïðàâî÷íàÿ êíèãà ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. Ò. IIV. Ì.: Íàóêà, 1982, 1983.
44. Ñîàð Ð.È. Âû÷èñëèìî ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà è ñòåïåíè. Êàçàíü: Êàçàíñêîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáùåñòâî, 2000.
45. Ñòîëë Ð. Ìíîæåñòâà, ëîãèêà, àêñèîìàòè÷åñêèå òåîðèè. Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1968.
46. Òàéöëèí Ì.À. Òåîðèÿ ìîäåëåé. Íîâîñèáèðñê: Èçä. Íîâîñèáèðñêîãî ãîñ. óí-òà, 1970.
47. Òàêåóòè Ã. Òåîðèÿ äîêàçàòåëüñòâ. Ì.: Ìèð, 1978.
48. Òàðñêèé À. Ââåäåíèå â ëîãèêó è ìåòîäîëîãèþ äåäóêòèâíûõ íàóê.
Ì.: ÈË, 1948.
49. Óñïåíñêèé Â.Ë. Ëåêöèè î âû÷èñëèìûõ ôóíêöèÿõ. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1960.
50. Ôåéñ Ð. Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà. Ì.: Íàóêà, 1974.
51. Ôðåíêåëü À., Áàð-Õèëëåë È. Îñíîâàíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. Ì.: Ìèð,
1966.
52. Õàóñäîðô Ô. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Ì.: ÎÍÒÈ, 1937.
53. ×åð÷ À. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Ì.: ÈË, 1960.
54. Øåíôèëä Äæ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Ì.: Íàóêà, 1975.
55. Øåíôèëä Äæ. Ñòåïåíè íåðàçðåøèìîñòè. Ì.: Íàóêà, 1977.
56. ßáëîíñêèé Ñ.Â., Ãàâðèëîâ Ã.Ï., Êóäðÿâöåâ Â.Á. Ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè è êëàññû Ïîñòà. Ì.: Íàóêà, 1966.
ÏÐÅÄÌÅÒÍÛÉ ÓÊÀÇÀÒÅËÜ
Àêñèîìà 64, 65
– áåñêîíå÷íîñòè 100
– âûáîðà 21, 44, 100
– âûäåëåíèÿ 100
– çàìåíû 100
– èíäóêöèè 99
– ìíîæåñòâà ïîäìíîæåñòâ 100
– ìíîæåñòâà ñóììû 100
– îáúåìíîñòè 100
– ïàðû 100
– ðàâåíñòâà 98
– ðåãóëÿðíîñòè 100
– òåîðèè P 99
– – E 98
– – Q 99
–– R 100
– óïîðÿäî÷åííîé ïàðû 106
– n-êè 106
– Öåðìåëî 44
Àëãåáðà áóëåâà 23
– âûñêàçûâàíèé 50
– Ëèíäåíáàóìà 72
– ïîäìíîæåñòâ 23
Àëãîðèòì Åâêëèäà 43
Àëôàâèò 50
– âíåøíèé äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà 136
– âíóòðåííèõ ñîñòîÿíèé äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà 136
– èñ÷èñëåíèÿ 63, 89
Àññîöèàòèâíûé çàêîí 113
Áàçèñ çàìêíóòîãî êëàññà 58
Áåñêîíå÷íàÿ ðàáîòà ìàøèíû Òüþðèíãà 137
Âàðèàíò ñõåìû àêñèîì 65
Ââåäåíèå ôèêòèâíîãî àðãóìåíòà 126, 132
Âëîæèìîñòü èçîìîðôíàÿ 99
– ýëåìåíòàðíàÿ 116
Âõîæäåíèå ïîäñëîâà â ñëîâî 50
– ïåðåìåííîé ñâîáîäíîå 75
– – ñâÿçàííîå 75
Âûâîä 64, 65, 91
– èç ìíîæåñòâà ôîðìóë 65, 91
Âûñêàçûâàíèå ïåðåìåííîå 50
Âû÷èñëåíèå íà ìàøèíå Òüþðèíãà 137
– – ïðàâèëüíîå 137
Ãèïîòåçà êîíòèíóóìà îáîáùåííàÿ 120
Ãîìîìîðôèçì 108
– ñèëüíûé 108
Ãðàíü 23
– âåðõíÿÿ 23
– íèæíÿÿ 23
– òî÷íàÿ âåðõíÿÿ 23
– – íèæíÿÿ 23
Ãðàôèê ôóíêöèè 142
Äèàãðàììà 116
– ïîëíàÿ 116
Äèçúþíêò 51, 56
Äèçúþíêöèÿ 50, 51
– ýëåìåíòàðíàÿ 51
Äèñòðèáóòèâíîñòü ïîëíàÿ 21
Ä.í.ô. 51, 52
Äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî 67
Äîîïðåäåëåíèå ôóíêöèè 142
Äîïîëíåíèå áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ 14
– ìíîæåñòâà 7
– ýëåìåíòà â áóëåâîé àëãåáðå 23
Çàêîí äâîéñòâåííîñòè 55
Çíà÷åíèå èñòèííîñòíîå 76
– òåðìà 58, 76
ÏÐÅÄÌÅÒÍÛÉ ÓÊÀÇÀÒÅËÜ
– ôîðìóëû 51
– ôóíêöèè 14, 15
Èçîìîðôèçì àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì 99, 108
– ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ 23
Èìïëèêàöèÿ 50
Èíäóêöèÿ âîçâðàòíàÿ 104
– òðàíñôèíèòíàÿ41, 43, 107
Èíòåðïîëÿíò 69
Èñòèíà 51
Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé 63
– – ÈÂ 65
– – ÈÂÂ 65
– – ÈÈÑ 73
– – èíòóèöèîíèñòñêîå 66
– – ÈÑ 63
– – L 73
– ïðåäèêàòîâ 89
– – ÈÏ 91
– – ÈÏÐ 98
– – ÈÏÑ 89
– – ñ ðàâåíñòâîì 98
Èòåðàöèÿ 126
Êâàçèâûâîä 91
Êâàíòîð îáùíîñòè 74
– ñóùåñòâîâàíèÿ 74
– – åäèíñòâåííîãî ÷èñëà 98
Êëàññ àáñòðàêòíûé 116
– àêñèîìàòèçèðóåìûé 116
– àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì äàííîé
ñèãíàòóðû 82, 116
– çàìêíóòûé 58
– êîíå÷íî àêñèîìàòèçèðóåìûé 116
– íàñëåäñòâåííûé 122
– ïðåäïîëíûé 58
– ñìåæíûé 22
– óíèâåðñàëüíî àêñèîìàòèçèðóåìûé 116
– ýêâèâàëåíòíîñòè 22
– Ñ 57
– Ñ0 59
– Ñ1 59
– D 59
– Kσ 116
– KEσ 82
– L 59
– M 59
Ê.í.ô. 51, 52
251
Êîìàíäà 136
Êîìïîçèöèÿ ìàøèí Òüþðèíãà 137
Êîíå÷íûé õàðàêòåð ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ 44
Êîíñòàíòà ïðåäìåòíàÿ 74
Êîíòèíóóì 32
Êîíòðàïîçèöèÿ 67
Êîíôèãóðàöèÿ 136
Êîíúþíêò 51, 55
Êîíúþíêöèÿ 50, 51
– ýëåìåíòàðíàÿ 51
Êîðòåæ äëèíû n 142
Ëåììà Òåéõìþëëåðà–Òüþêè 44
– Öîðíà 44
Ëèòåðàë 51
Ëîæü 51
Ìàòðèöà ëîãè÷åñêàÿ 66
Ìàøèíà Òüþðèíãà 136
Ìåòîä áåñêîíå÷íîãî ñïóñêà 104
Ìíîæåñòâà èçîìîðôíûå 23
– ïîäîáíûå 35
– ðàâíîìîùíûå 31
– ðàâíûå 7
– ýêâèâàëåíòíûå 31
Ìíîæåñòâî 7, 142
– áåñêîíå÷íîå 31
– âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå 23
– âû÷èñëèìîå 142
– âû÷èñëèìî ïåðå÷èñëèìîå 142
– ôóíêöèé èç A â B 15
– êîíå÷íîå 31
– êîíòèíóàëüíîå 31
– êðåàòèâíîå 148
– ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå 22
– ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîå 142
– ïóñòîå 7
– ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìîå 142
– ðåêóðñèâíîå 142
– ñàìîäâîéñòâåííîå 29
– ñ÷åòíîå 31
– òâîð÷åñêîå 148
– òðàíçèòèâíîå 43
– óíèâåðñàëüíîå 7
– ôîðìóë âûïîëíèìîå 96
– – íåïîëíîå 92
– – íåïðîòèâîðå÷èâîå 65, 92
– – ïîëíîå 92
– – ïðîòèâîðå÷èâîå 65, 92
– ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå 22
252
ÏÐÅÄÌÅÒÍÛÉ ÓÊÀÇÀÒÅËÜ
–– N 6
–– 6
–– L 6
–– D 6
–– * 6
– m-ñâîäèìîå 148
– m-óíèâåðñàëüíîå 148
– n-îê 142
Ìîäåëü 76
– àðèôìåòèêè ñòàíäàðòíàÿ 100
– – íåñòàíäàðòíàÿ 104
– òåîðèè 99
Ìîùíîñòü 31
– àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû 76
– êîíòèíóóìà 32
– ïîðÿäêîâîãî òèïà 35
– n 31
– ℵ0 31
– c 31
z
Íàäìíîæåñòâî 7
Íîìåð êëèíèåâñêèé 148
– êîìàíäû 138
– ìàøèíû Òüþðèíãà 138
– ïîñòîâñêèé 148
Íóìåðàöèÿ êëèíèåâñêàÿ 148
– ïîñòîâñêàÿ 148
Îáåäíåíèå 76
Îáëàñòü äåéñòâèÿ êâàíòîðà 75
– çíà÷åíèé 14
– îïðåäåëåíèÿ 14
Îáîãàùåíèå 76
Îáðàç ìíîæåñòâà 14
Îáðàùåíèå 126
Îáúåäèíåíèå 7
– ïîñûëîê 66
Îïåðàòîð ìèíèìèçàöèè 125
– – îãðàíè÷åííûé 125
– ïîäñòàíîâêè 124
– ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè 124
– ñóïåðïîçèöèè 124
– ýôôåêòèâíûé 151
Îðô 125
Îñòàíîâêà ìàøèíû Òüþðèíãà 137
Îòíîøåíèå àíòèñèììåòðè÷íîå 22
– áèíàðíîå 14
– âêëþ÷åíèÿ 7
– èððåôëåêñèâíîå 22
– íà ìíîæåñòâå 14
– îáðàòíîå 14
– ïðèíàäëåæíîñòè 7
– ðåôëåêñèâíîå 22
– ñèììåòðè÷íîå 22
– òðàíçèòèâíîå 22
– n-ìåñòíîå 15
Îòîáðàæåíèå åñòåñòâåííîå 26
– ìîíîòîííîå 23
– ýëåìåíòàðíîå 116
Îòîæäåñòâëåíèå àðãóìåíòîâ 127,
132
Îòðåçîê íà÷àëüíûé 36
Îòðèöàíèå 50
– òåñíîå 55
Ïåðåìåííàÿ ïðåäìåòíàÿ 74
– ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ 50
– ñâîáîäíàÿ 75
– ñâÿçàííàÿ 75
– ñóùåñòâåííàÿ 57
– ôèêòèâíàÿ 57
Ïåðåðàáàòûâàíèå ìàøèííîãî ñëîâà 137
Ïåðåñå÷åíèå 7
Ïåðåñòàíîâêà 64, 90
– àðãóìåíòîâ 126, 131
– öèêëè÷åñêàÿ 126, 132
Ïîäìíîæåñòâî 7
– ïëîòíîå 38
– ñîáñòâåííîå 7
Ïîäìîäåëü 76, 117
Ïîäîáèå ìíîæåñòâ 35
Ïîäñèñòåìà 76
– ïîðîæäåííàÿ ìíîæåñòâîì 117
– ñîáñòâåííîå 76
– ýëåìåíòàðíàÿ 116
Ïîäñëîâî 50
Ïîäñòàíîâêà 14
– â ñëîâî 50
Ïîäôîðìóëà 51, 75
Ïîëèíîì Æåãàëêèíà 60
Ïîðÿäêîâûé òèï 35
– – äâîéñòâåííûé 36
– – n 35
– – ω 36
– – π 36
– – η 36
– – λ 36
Ïîðÿäîê äâîéñòâåííûé 22
– ëèíåéíûé 22
– ïëîòíûé 38
– ïîëíûé 23
ÏÐÅÄÌÅÒÍÛÉ ÓÊÀÇÀÒÅËÜ
– ÷àñòè÷íûé 22
Ïðàâèëî âûâîäà 63
– – ââåäåíèÿ ëîãè÷åñêîãî ñèìâîëà
63, 64, 67, 70, 89, 90, 95
– – óäàëåíèÿ ëîãè÷åñêîãî ñèìâîëà
63, 64, 67, 70, 89, 90, 95
– – äîïóñòèìîå â ÈÂ 66
– – – ÈÑ 65
– – ÈÂ 65
– – ÈÏ91
– – ÈÏÑ 89
– – ÈÑ 63
– – modus ponens 65
– ïîäñòàíîâêè 66, 69
Ïðåäèêàò 75
– âû÷èñëèìûé 142
– ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûé 142
– ðåêóðñèâíûé 142
Ïðåäëîæåíèå 75
– îòíîñÿùååñÿ ê àëãåáðàè÷åñêîé
ñèñòåìå 76
Ïðåäïîðÿäîê 22
Ïðèíöèï èíäóêöèè 107
– ìàêñèìàëüíîñòè ÊóðàòîâñêîãîÕàóñäîðôà 44
– íàèìåíüøåãî ÷èñëà 104
– òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè 41, 43
Ïðîãðàììà ìàøèíû Òüþðèíãà 136
Ïðîèçâåäåíèå äåêàðòîâî 13
– êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë 44
– îòíîøåíèé 14
– ïîðÿäêîâûõ òèïîâ 36
– ïðèâåäåííîå 109
– ïðÿìîå 13, 108
– ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ 15
– ñëîâ 50
– ôèëüòðîâàííîå 109
– ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ 28
Ïðîîáðàç ìíîæåñòâà 14
Ïðîòèâîðå÷èå 51
Ïðô 125
Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ 7
Ðàçáèåíèå 25
Ðàçáîð ñëó÷àåâ 66
Ðàçâåòâëåíèå ìàøèí Òüþðèíãà 138
Ðàçíîñòü ìíîæåñòâ 7
– ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë 42
Ðàñøèðåíèå 64, 76, 90
253
– ìîäåëè 76
– ñèñòåìû 76
– ýëåìåíòàðíîå 116
Ðàñùåïëåíèå ïîñûëîê 66
Ðåçóëüòàò çàìåíû 50
– ïîäñòàíîâêè 50, 75
Ðåêóðñèÿ âîçâðàòíàÿ 125
– ïî äâóì ïåðåìåííûì 147
– ïðèìèòèâíàÿ 125
– ñîâìåñòíàÿ 131
Ðåëÿòèâèçàöèÿ 82
Ðåôëåêñèâíîñòü 8, 32.37
Ðåøåòêà 23
– äèñòðèáóòèâíàÿ 23
Ñâåäåíèå ê ïðîòèâîðå÷èþ 64, 90
Ñâîäèìîñòü 148
Ñâÿçêà ëîãè÷åñêàÿ 50
Ñ.ä.í.ô. 52
Ñåãìåíò 28
Ñåêâåíöèÿ 63
– âûâîäèìàÿ 65
– äîêàçóåìàÿ 65
Ñåìåéñòâî ïîäìíîæåñòâ 7
– ×1 148
– – P 148
Ñå÷åíèå 66
Ñèãíàòóðà 74
Ñèìâîë 6
–⇒6
–⇔6
Ñèìâîëû àëôàâèòà 50
– âñïîìîãàòåëüíûå 50, 74
– ëîãè÷åñêèå 74
– ïðåäèêàòíûå 74
– ôóíêöèîíàëüíûå 74
Ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü 8
Ñèììåòðè÷íîñòü 32, 37
Ñèñòåìà àêñèîì êëàññà 116
– – íåçàâèñèìàÿ 66
– – ýëåìåíòàðíîé òåîðèè 99
– àëãåáðàè÷åñêàÿ 76
– – íîðìàëüíàÿ 82
– ïðåäëîæåíèé íåçàâèñèìàÿ 99
– ñõåì àêñèîì íåçàâèñèìàÿ 66
– ôîðìóë íåçàâèñèìàÿ 66
– – ïðîòèâîðå÷èâàÿ 63
– ôóíêöèé íåçàâèñèìàÿ 58
– – ïîëíàÿ 58
– ýëåìåíòàðíî âëîæèìàÿ 116
254
ÏÐÅÄÌÅÒÍÛÉ ÓÊÀÇÀÒÅËÜ
Ñèñòåìû ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíûå 116
Ñ.ê.í.ô. 52
Ñêîáêè 50
Ñêóëåìîâñêàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà 82
Ñëåäñòâèå íåïîñðåäñòâåííîå 63,
65, 91
Ñëîâî 50
– ìàøèííîå 136
Ñîêðàùåíèå 64, 90
Ñîîòâåòñòâèå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå 14
Ñïåêòð ôîðìóëû 88
Ñòåïåíü êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà 45
– ìíîæåñòâà 13
– ïîðÿäêîâîãî ÷èñëà 37
Ñòðóêòóðà 23
Ñóììà êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë 44
– ïîðÿäêîâûõ òèïîâ 36
Ñóïåðïîçèöèÿ 58, 124
Ñõåìà àêñèîì äëÿ ÈÂ 65
– – – ÈÏ 91
– – – ÈÏÐ 98
– – – ÈÏÑ 89
– – – ÈÑ 63
– ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè 124
Òàáëèöà èñòèííîñòè 51
Òàâòîëîãèÿ 51, 81
Òåîðåìà àäåêâàòíîñòè 97
– øäåëÿ î ïîëíîòå 97
– èíòåðïîëÿöèîííàÿ 69, 123
– Êàíòîðà–Áåðíøòåéíà 32
– ˸âåíãåéìà–Ñêóëåìà 97, 120
– Ëèíäåíáàóìà 96
– Ëîñÿ 114
– Ìàëüöåâà ëîêàëüíàÿ 97, 118
– – î êîìïàêòíîñòè 97
– – – ðàñøèðåíèè 118
– î ãðàôèêå 143
– – äåäóêöèè 70, 73, 95
– – äåëåíèè ñ îñòàòêîì 42
– – çàìåíå 68, 71, 85, 93, 96
– – íåïîäâèæíîé òî÷êå 150, 153
– – ïîëíîòå 69, 72, 102
– – ñóùåñòâîâàíèè ìîäåëè 97, 118
– Ïîñòà 62, 144
– Ðàéñà 151
– Ðîáèíñîí Þ. 135
– Ðîáèíñîí Ð. 134
– Ñòîóíà 31
– Öåðìåëî 44
Òåîðåìû òåîðèè 98
Òåîðèÿ êàòåãîðè÷íàÿ 122
– m-êàòåãîðè÷íàÿ 122
– ðàâåíñòâà 99
– ýëåìåíòàðíàÿ 98
– – íåïîëíàÿ 99
– – íåïðîòèâîðå÷èâàÿ 99
– – ïîëíàÿ 99
– – ïðîòèâîðå÷èâàÿ 99
– E 99
– P 99
– Q 99
– R 99
– ZF 100
Òåðì 58
– çàìêíóòûé 75
– ñâîáîäíûé äëÿ ïåðåìåííîé â
ôîðìóëå 75
– äàííîé ñèãíàòóðû 74
Òðàíçèòèâíîñòü 8, 32, 37
Òðèõîòîìèÿ 45
Óëüòðàïðîèçâåäåíèå 109
Óëüòðàñòåïåíü 109
Óëüòðàôèëüòð 24, 108
Óñëîâèå èíäóêòèâíîñòè 29
– ìèíèìàëüíîñòè 29
– îáðûâà óáûâàþùèõ öåïåé 29
Óòîí÷åíèå 64, 90
Ôàêòîðìíîæåñòâî 22
Ôèëüòð ãëàâíûé 108
– ìàêñèìàëüíûé 24
– íà áóëåâîé àëãåáðå 23
– íàä ìíîæåñòâîì 108
– ïðîñòîé 24
– ñ÷åòíî ïîëíûé 108
– Ôðåøå 108
Ôîðìà äèçúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ 51
– êîíúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ 51
– íîðìàëüíàÿ Êëèíè 146
– ïðåäâàðåííàÿ íîðìàëüíàÿ 81
– ïðåíåêñíàÿ íîðìàëüíàÿ 81
– ñîâåðøåííàÿ äèçúþíêòèâíàÿ
íîðìàëüíàÿ 52
ÏÐÅÄÌÅÒÍÛÉ ÓÊÀÇÀÒÅËÜ
– ñîâåðøåííàÿ êîíúþíêòèâíàÿ
íîðìàëüíàÿ 52
Ôîðìóëà àëãåáðû âûñêàçûâàíèé 50
– àòîìíàÿ 75
– âûâîäèìàÿ 65, 92
–– èç ìíîæåñòâà ôîðìóë 65, 92
– âûïîëíèìàÿ 51, 81
– äàííîé ñèãíàòóðû 75
– äâîéñòâåííàÿ 55
– äîêàçóåìàÿ 63
– çàâèñÿùàÿ îò ñèñòåìû ôîðìóë 66
– çàìêíóòàÿ 75
– èñòèííàÿ 76
– ëîæíàÿ 77
– íåçàâèñèìàÿ îò ñèñòåìû ôîðìóë 66
– îáùåçíà÷èìàÿ 66
– îïðîâåðæèìàÿ 51
– ñåìàíòè÷åñêè ñëåäóþùàÿ èç ñèñòåìû ôîðìóë 81
– ñëåäóþùàÿ èç ñèñòåìû ôîðìóë 63
– òîæäåñòâåííî èñòèííàÿ 51, 81
– – ëîæíàÿ 51
– óíèâåðñàëüíàÿ 81
– óñëîâíî ôèëüòðóþùàÿñÿ 109
– ôèëüòðóþùàÿñÿ 110
– õîðíîâñêàÿ 114
– ýêçèñòåíöèàëüíàÿ 82
Ôóíêöèÿ 14
– Àêêåðìàíà 135
– àëãåáðû ëîãèêè 57
– áîëüøîãî ðàçìàõà 130 .
– âñþäó îïðåäåëåííàÿ 124
– âûáîðà 44
– âû÷èñëèìàÿ 125
– – ïî Òüþðèíãó 137
– øäåëÿ 130
– êóñî÷íî çàäàííàÿ 128
– ëèíåéíàÿ 59
– ìîíîòîííàÿ 59
– íèãäå íå îïðåäåëåííàÿ 132
– íóìåðóþùàÿ êàíòîðîâñêàÿ 129
– – êëèíèåâñêàÿ 148
– îáùåðåêóðñèâíàÿ 125
– ïðàâèëüíî âû÷èñëèìàÿ 137
– ïðåäñòàâèìàÿ òåðìîì 58
– ïðåäñòàâëÿþùàÿ 142
255
– ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíàÿ 125
– ïðîñòåéøàÿ 124
– ñàìîäâîéñòâåííàÿ 59
– ñêóëåìîâñêàÿ 85
– ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ïåðåìåííîé 57
– óíèâåðñàëüíàÿ 126
– õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ 20, 142
– – ÷àñòè÷íàÿ 142
– ÷àñòè÷íàÿ ÷èñëîâàÿ 124
– ÷àñòè÷íî âû÷èñëèìàÿ 125
– ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíàÿ 125
– B-ìàæîðèðóåìàÿ 136
– n-ìåñòíàÿ 15
Öåïü 22
×èñëî êàðäèíàëüíîå 32
– – áåñêîíå÷íîå 32
– – êîíå÷íîå 32
– êîíñòðóêòèâíîå 133
– íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùåå 38
– îáùåðåêóðñèâíîå 133
– îðäèíàëüíîå 36
– ïîðÿäêîâîå 36
– – ïðåäåëüíîå 37
– ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà 31
×ðô 125
Ýêâèâàëåíòíîñòü 22
– ìíîæåñòâ 31
– ôîðìóë 51
– ýëåìåíòàðíàÿ äëÿ ñèñòåì 116
Ýëåìåíò ìàêñèìàëüíûé 22
– ìèíèìàëüíûé 22
– íàèáîëüøèé 22
– íàèìåíüøèé 22
– íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèé 38
K-ïîäñèñòåìà 116
K-ðàñøèðåíèå 116
K-ñèñòåìà 116
m-ñâîäèìîñòü 148
∀-ôîðìóëà 81
∃-ñîñòàâëÿþùàÿ 87
∃-ôîðìóëà 81
∃∀-ôîðìóëà 82
μ-îïåðàòîð 125
1−1-ôóíêöèÿ 14
ËÀÂÐÎÂ Èãîðü Àíäðååâè÷
ÌÀÊÑÈÌÎÂÀ Ëàðèñà Ëüâîâíà
ÇÀÄÀ×È ÏÎ ÒÅÎÐÈÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ,
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ËÎÃÈÊÅ
È ÒÅÎÐÈÈ ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
Ðåäàêòîð À.Ô. Ê ó ð á à ò î â
Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà Î.À. Ï å ë è ï å í ê î, Ë.Â. Ò à ð à ñ þ ê
ËÐ ¹ 071930 îò 06.07.99.
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 15.03.01. Ôîðìàò 60½901/16.
Áóìàãà îôñåòíàÿ ¹ 1. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ.
Óñë. ïå÷. ë. 16,0. Ó÷.-èçä. ë. 16,0. Òèðàæ 2000 ýêç. Çàêàç ¹
Èçäàòåëüñêàÿ ôèðìà «Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëèòåðàòóðà»
ÌÀÈÊ «Íàóêà/Èíòåðïåðèîäèêà»
117864, Ìîñêâà, óë. Ïðîôñîþçíàÿ, 90
Îòïå÷àòàíî â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè
ñ êà÷åñòâîì ïðåäîñòàâëåííûõ äèàïîçèòèâîâ
â ÏÏÏ «Òèïîãðàôèÿ «Íàóêà»
121099, Ìîñêâà, Øóáèíñêèé ïåð., 6
