Институт Проблем машиноведения РАН,
Санкт-Петербург.
Лаборатория интеллектуальных электромеханических систем
Борис Александрович Кулик
ba-kulik@yandex.ru
Математическая модель логического
анализа систем на основе законов
алгебры множеств
1
О чем речь?
Многие, увидев в заглавии доклада термин
«алгебра множеств», скажут:
А не изобретает ли автор велосипед?
Что можно узнать новое о такой примитивной и
многократно упоминаемой в публикациях
алгебре множеств?
Постараюсь в этом докладе показать, что такая
примитивная и «завершенная» система как
алгебра множеств
таит в себе немало сюрпризов.
2
Два подхода в логике
В логике известно два подхода:
Содержательный (интенсиональный)
Объект: львы
Признаки:
хищники, млекопитающие
Объемный (экстенсиональный)
Логика и основания математики развивались в основном в русле
«содержательного» подхода.
Математическая логика и аксиоматическая теория множеств созданы в русле
этого подхода.
Объемный подход почти не развивался. Хотя многие проблемы логического
анализа для ряда систем можно решить на основе этого подхода.
3
Взгляд на историю логики
Книга Л. Эйлера «Письма к одной немецкой принцессе о
разных физических и философских материях»
(Опубликована в 1767 – 1772 гг., Петербург на французском и русском языках)
С. 219. «Поскольку в общее понятие входит неопределенное число индивидуальных объектов, можно рассматривать его как некое пространство или круг,
внутри которого находятся все эти индивиды».
С. 227.
4
Аксиоматическая теория множеств
Аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля (ZF)
5
Помимо ZF известно еще несколько вариантов аксиом теории
множеств: фон Неймана – Бернайса – Геделя, Морса – Келли,
Тарского – Гротендика, Крипке – Платека и т.д.
Аксиоматическая теория множеств
Дополнительная аксиома (система ZFC)
Аксиома выбора:
Аксиома выбора простыми словами
Для всякого семейства X непустых множеств
существует функция f, которая каждому
множеству семейства сопоставляет
один из элементов этого множества.
Следствием аксиомы выбора является
Парадокс Банаха –Тарского:
Доказано, что шар можно «разбить» на куски
и собрать из них два таких же шара.
6
Аксиоматическая теория множеств
В связи с некоторыми открытиями Кантора возникают «наивные» вопросы.
1. Кантор с помощью принципа взаимно однозначного соответствия
доказал, что множества четных чисел (N2) и множества квадратов чисел (N2)
равномощны множеству чисел натурального ряда (N)
N: 1 2 3 4
5 …
Принцип
…
взаимно однозначного
N2 : 2 4 6
8 10 …
соответствия
…
(актуальная бесконечность)
N2 : 1 4 9 16 25 …
Получается: N2=N2=N
В то же время ясно, что множествa N2 и N2 строго включены в N :
123456789…N…
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11… N …
(потенциальная бесконечность)
При этом, если N , то
7
Как совместить эти результаты?
Алгебра множеств
Иной подход к развитию понятия множества содержится в книге
книга Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика?»,
первое издание которой вышло в 1941 году.
В ней в качестве дополнения к главе 2 «Математическая числовая
система» содержится небольшой раздел «Алгебра множеств»,
который занимает всего 10 страниц (в книге 568 страниц).
В ней были приведены 26 законов алгебры множеств, которые
соответствуют законам классической логики.
Необычность данной книги заключается в том, что авторами
было высказано крамольное по тем временам и сегодняшним
временам предположение, что законы алгебры множеств можно
обосновать без аксиом.
Р. Курант:
«Представление, согласно которому человеческий интеллект
может творить лишенные какого бы то ни было смысла
системы постулатов, есть обман, точнее, полуправда.»
8
Алгебра множеств
9
Алгебра множеств
Из книги «Что такое математика?».
Рекомендации по доказательству законов алгебры множеств
10
Алгебра множеств
Определения основных понятий алгебры множеств
Множество, элемент. Совокупность объектов, объединенных общим свойством или
несколькими свойствами, будем называть множествами, а сами объекты элементами. Если известно, что множество D состоит из элементов a, c и f и только
из них, то используется запись D={a, c, f}.
Отношения в алгебре множеств
Отношение принадлежности. Отношение между элементом и множеством
называется отношением принадлежности и обозначается символом ().
Запись a D означает, что элемент a принадлежит множеству D. В то же время запись
b D означает, что элемент b не принадлежит множеству D.
Отношение включения множеств. Пусть даны множества A и B. Тогда A B
(читается «A включено в B или равно ему»), если в множестве A не существует
элементов, не принадлежащих множеству B.
Такое «отрицательное» определение обусловлено тем, что допускается случай, когда
множество A не содержит элементов, т.е. является пустым множеством (A = ). Тем
самым из этого определения следует, что пустое множество включено в любое
множество.
11
Алгебра множеств
Операции алгебры множеств
12
Алгебра множеств
Обоснование законов алгебры множеств без аксиом
Из диаграммы Венна видно, что
области (множества) c, d, e, f образуют разбиение U,
поэтому можно принять следующие исходные данные:
U = {c, d, e, f},
A = {c, d},
B = {d, e}.
Используя определения операций, докажем первый закон де Моргана
Но для полного доказательства надо учесть все возможные варианты
соотношений между множествами A и B.
13
Алгебра множеств
Всего таких вариантов
для 2-х множеств 16.
Вот они:
Докажем закон де Моргана
для варианта 8
14
Алгебра множеств
Докажем закон контрапозиции:
В этом законе соотношение A B является обязательным условием,
поэтому необходимо рассматривать только те варианты, в которых
соблюдается это соотношение. К ним относятся 8 вариантов:
5, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16.
Докажем этот закон для варианта 5:
U = {d, e, f }; A = {d}; B = {d, e}.
Нетрудно убедиться, что и во всех других вариантах этот закон
подтверждается.
15
Чем отличается алгебра множеств от теории множеств?
1) Отношение принадлежности ()
в теории множеств – основное
в алгебре множеств – вспомогательное, основным
(системообразующим) является отношение включения (, ).
2) В теории множеств в ряде случаев множество используется в
качестве элемента множества («множество всех множеств»,
«самоприменимое множество»). Это допущение порождает
парадоксы.
В алгебре множеств это необязательно
Пример:
Множество:
Система всех подмножеств множества:
{a, b, c}
, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.
Элементами системы множеств являются не множества,
а их обозначения.
В силу этого в алгебре множеств противоречия исключены.
16
Алгебра множеств
В современном варианте, особенно в
русскоязычной математической литературе
термин алгебра множеств существенно
отличается от этого термина по Куранту и
Роббинсу. Термин «урезали» в нем перестало
присутствовать отношение ВКЛЮЧЕНИЕ ().
Как показано в работах по алгебре кортежей это отношение
соответствует отношению следования в логике
А именно это отношение позволяет сформулировать и
обосновать новую математическую модель логического
анализа.
17
Математическая модель полисиллогистики
Суждения в посылках это расширенные варианты Аристотелевых
суждений:
Всем R (не) присуще Q (общее суждение);
Некоторым R (не) присуще Q (частное суждение)
В модели допускается возможность равенства некоторых множеств
пустому множеству и разрешается использовать термин с
отрицанием в начале суждения.
18
Математическая модель полисиллогистики
Задачи, решаемые в математической модели полисиллогистики:
Из этих задач видно существенное расширение аналитических
возможностей логического анализа по сравнению с силлогистикой.
Для решения Задач 1, 2, 3 используются известные законы алгебры
множеств. Для решения остальных Задач потребовалось
сформулировать и обосновать новые законы.
19
Новые законы алгебры множеств
Закон существования соответствует известному
правилу логического вывода Modus ponens
Эти законы просты и легко доказываются. Но почему же они не были
ранее сформулированы?
Предполагается, что одна из основных причин несоответствие их (в
частности, закона парадокса) с некоторыми «экстравагантными»
результатами аксиоматической теории множеств, в первую очередь, с
необычными свойствами актуально бесконечных множеств.
20
Математическая модель полисиллогистики
Пример. (подражание Кэрроллу) Даны посылки:
1) те, кто нарушает свои обещания, не заслуживают доверия;
2) все любители выпить очень общительны;
3) человек, выполняющий свои обещания, честен;
4) ни один трезвенник не мошенник;
5) тому, кто очень общителен, всегда можно верить;
6) все честные люди не мошенники.
Ограничение пустоты: мошенники существуют.
Необходимо проверить выполняется ли ограничение.
Обозначим: U – люди; S1 – нарушающие обещания; S2 – заслуживающие
доверия; S3 – любители выпить; S4 – очень общительные; S5 – честные;
S6 - мошенники.
21
Математическая модель полисиллогистики
Граф включений для посылок:
Посылки с контрапозициями:
Ограничение: S6 .
Выберем начальный литерал (S6) и построим пути из него:
Вопрос: Как избавиться от парадокса без существенных изменений
в рассуждении?
22
Математическая модель полисиллогистики
Предлагается сделать «незначительную» правку:
Заменить «Все любители выпить очень общительны» на
«Некоторые любители выпить очень общительны», т.е.
вместо суждения S3 S4 вставить два суждения k S3 и k S4.
Тогда получим следующий граф включений:
23
Найден простой способ избавиться от логической катастрофы.
Выводы
1. Показано, что «непопулярный» вариант алгебры
множеств, предложенный в книге Куранта и Роббинса
«Что такое математика?», позволяет доказать законы
классической логики без аксиом и существенно
расширяет аналитические возможности логического
анализа систем.
2. Сформулированы и обоснованы новые законы алгебры
множеств: закон парадокса, условие непустого
пересечения, закон существования.
3. Показано на примере, как можно распознавать и
устранять парадоксы с помощью преобразования хотя
бы одного из общих суждений в частное суждение.
24
Нерешенные проблемы
1. Не подтверждена и не опровергнута гипотеза о том,
что ЗАКОН ПАРАДОКСА не совместим с
результатами аксиоматической теории множеств о
свойствах актуально бесконечных множеств
(равномощность множества и его строгого
подмножества, парадокс Банаха – Тарского и т.д.).
2. Не исследована возможность использования
предложенной математической модели рассуждений
для анализа и распознавания логических ошибок и
приемов манипуляции сознанием.
25
Список использованной литературы
1. Алгебра множеств. – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебра_множеств (дата обращения:
25.05.2024).
2. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир. 1965. 455 с.
3. Кулик Б.А. Логика и математика: просто о сложных методах логического анализа (под общ. ред.
А.Я. Фридмана). СПб.: Политехника. 2020. 144 с. – URL: http://logic-cor.narod.ru/index/knigi/0-9
(дата обращения: 25.05.2024).
4. Кулик Б.А. Почему в учебниках логики содержатся логические ошибки? // Образовательные
ресурсы и технологии. 2023. № 1(42). С. 7–14.
5. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2001. – 568 с. –
URL: https://azbyka.ru/deti/wp-content/uploads/2021/09/chto-takoe-matematika.-kurrant-robbins.pdf
(дата обращения: 25.05.2024).
6. Кэрролл Л. Символическая логика / Пер. с англ. Ю.А. Данилова // Кэрролл Л. История с узелками.
М.: Мир, 1985. С. 189-362.
7. Математическая энциклопедия. – М.: Советская энциклопедия. Т.1. 1977. – 576 с.
8. На чем основана логика? Часть 1. Алгебра множеств без аксиом / Хабр. – URL:
https://habr.com/ru/articles/781386/ (дата обращения: 25.05.2024).
9. Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. Перевод с англ. Ю.А. Гастева. М:
Мир. 1966. – 557 с.
10. Halmos P. Naive Set Theory. New York: D. Van Nostrand Company, 1960. – 104 p.
26
27
