РАСЧЁТ МЕЖУЗЕЛЬНОЙ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ В ДВУХКУБИТНОЙ МОДЕЛИ КВАНТОВОЙ СЕТИ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования «Самарский национальный исследовательский
университет имени академика С.П. Королёва»
(Самарский университет)
Естественнонаучный институт
Физический факультет
Кафедра общей и теоретической физики
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
«РАСЧЁТ МЕЖУЗЕЛЬНОЙ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ В ДВУХКУБИТНОЙ
МОДЕЛИ КВАНТОВОЙ СЕТИ»
по направлению подготовки 03.03.02 Физика
(уровень бакалавриата)
Направленность (профиль) «Физика»
обучающийся _____________________________________________________ А.И. Ковалёв
Руководитель ВКР
д.ф.-м.н., профессор________________________________________________ А.В. Горохов
Самара 2023
Введение
Квантовая информатика является активно развивающейся областью физики. В
связи с некоторыми особенностями квантовой механики, вроде принципа суперпозиции и
квантовой спутанности, квантовые сети и квантовые компьютеры используются
преимущественно для передачи информации и кодирования сообщений [1]. В связи с
постоянным совершенствованием элементной и программной базы компьютеров и их
периферийного оборудования, квантовая информатика стала активно развивающейся
областью физики. Передача информации и расчёт параметров, описывающих качество
информационного канала, имеет большое значение для квантовой информатики . Сегодня
активно создаются и развиваются технологии квантовых каналов связи, для которых
можно однозначно определить была ли попытка прослушивания канала [2]. Поэтому
передача информации и расчёт параметров, описывающих качество информационного
канала, имеет большое значение для квантовой информатики. Основное отличие
квантовой информатики от классической теории информации, развитой в прошлом веке,
является то, что в квантовой информатике оперируют не битами, кодирующими
информацию, а невоспроизводимыми (доказательство этому будет предложено в
приложении) квантовыми состояниями. Несмотря на развитие квантовой механики, но
даже описание динамики простых водородоподобных атомов сложная задача, нерешаемая
в общем виде. Поэтому в данной работе применена упрощённая модель кубита,
предложенная Джейнсом и Каммингсом. В рамках этого приближения при рассмотрении
атома как квантовой системы, предполагается, что атом может находиться только в двух
возможных квантовых состояниях; основном и возбуждённом. Чтобы передать от одного
кубита другому информацию о состоянии, в котором он находится, необходимо привести
их в спутанное состояние [1]. Было предложено несколько физических реализаций в
квантовой оптике, включая ионные ловушки [9] и резонаторную КЭД [10], а также
«инженерную» запутанность, которая была продемонстрирована в лабораторных условиях
для обеих этих систем [11, 12]. Запутывание унитарного превращения были реализованы в
ЯМР жидкого состояния на «псевдочистых» состояниях ядерных спинов в небольших
органических молекулах [13], хотя настоящая запутанность еще была не получена в этих
термических образцах [14]. Предложения были сделаны также для ряда
конденсированных сред и нелинейных сред, например Кэрровской среде [15]. Но самый
распространённый и конструктивно простой способ ввести кубиты в такое состояние это
установив между ними диполь-дипольное взаимодействие [3]. Именно этот способ
взаимодействия кубитов мы и будем рассматривать.
Целью работы являются;



Расчёт динамики кубитов при диполь-дипольном взаимодействии
Вычисление времени декогерентности и качества передачи информации между
кубитами при учёте температуры кубитов в приближении Вигнера-Вайскопфа.
Те же самые задачи в условиях учёта квантового шума, смоделированного
определённым образом.
Актуальность работы состоит в том, в ней проанализированы различные способы
увеличения времени «жизни» спутанных состояний, повышение качества передачи
информации и влияния различных факторов на связь между узлами квантовой сети. Такие
расчёты могут иметь интерес среди инженеров-конструкторов, проектирующих квантовые
компьютеры.
1.Общие сведения о кубите и основные принципы квантовой
информатики
1.1 Базис Белла, Полнота, Теорема Парсеваля
Пространство состояний являются гильбертовым и для него справедливы все аксиомы
линейного пространства. А из этого следует, что в пространстве состояний можно ввести
базис. В гильбертовом пространстве всегда может быть введён счётный
ортонормированный базис |𝑏⟩, по которому можно разложить любой кет-вектор |𝑎⟩ [4].
|𝑎⟩ = ∑𝑖⟨𝑒𝑖 |𝑎⟩|𝑒𝑖 ⟩
(1.1.1)
Так как данное выражение справедливо для любого вектора, то отсюда следует условие
полноты
|𝑎⟩⟨𝑎| = 𝐸̂
(1.1.2)
Где 𝐸̂ – тождественный оператор. В терминах бра- и кет-векторов теорема Парсеваля
примет вид
⟨𝑎|𝑎⟩ = ∑𝑖|⟨𝑒𝑖 |𝑎⟩|2
(1.1.3)
Так же, как и в любом линейном пространстве, в пространстве состояний будут
справедливы неравенство треугольника и неравенство Коши-Буняковского-Шварца [5].
Рассмотрим базис перепутанных состояний. Для этого запишем общий вид волновых
функций двух невзаимодействующих кубитов.
|𝜓1 ⟩ = 𝛼1 |0⟩ + 𝛽1 |1⟩
(1.1.4)
|𝜓2 ⟩ = 𝛼2 |0⟩ + 𝛽2 |1⟩
Волновая функция двух невзаимодействующих кубитов получается перемножением их
волновых функций.
Ψ = 𝛼1 𝛼2 |00⟩ + 𝛼1 𝛽2 |01⟩ + 𝛽1 𝛼2 |10⟩ + 𝛽1 𝛽2 |11⟩
(1.1.5)
Такое состояние не является перепутанным. Для того, чтобы состояние системы было
перепутанным, необходимо чтобы вместо коэффициентов, стоящих перед кет-вектором
как в формуле (1.1.5) были такие значения, которые невозможно получить
перемножением двух каких-либо волновых функций. Перепутанное состояние двух
кубитов – это состояние, при котором измерение одного из кубитов однозначно
определяет состояние второго кубита. Волновые функции системы двух перепутанных
кубитов можно записать следующим образом:
|Ψ1 ⟩ =
|Ψ2 ⟩ =
|Ψ3 ⟩ =
|Ψ4 ⟩ =
1
√2
1
√2
1
√2
1
√2
(|00⟩ + |11⟩)
(|01⟩ + |10⟩
(1.1.6)
(|00⟩ − |11⟩)
(|01⟩ − |10⟩)
Из линейной комбинации |Ψ𝑖 ⟩ – можно получить любое перепутанное состояние, и из-за
этого свойства эти волновые функции называют базисом Белла [2].
1.2 Модели Джейнса-Каммингса и Тависа-Каммингса
Стандартная в квантовой оптике модель Джейнса-Каммингса это система, которая может
находиться только в двух возможных состояниях; возбуждённом и основном. Причиной
возбуждения является передача энергии фотоном. Построим гамильтониан
взаимодействия двухуровневой системы с электромагнитным квантованным полем.
Воспользуемся дипольным приближением для описания взаимодействия. 𝑉̂ = − 𝑑⃗𝐸⃗⃗ . При
̂𝑥 (𝑧, 𝑡) = ℰ0 (𝑎̂+ + 𝑎̂) sin 𝜔𝑧 и
квантовании электромагнитного поля оно имеет вид: 𝐸
𝑐
оператор дипольного взаимодействия: 𝑑⃗ = 𝑑𝑒𝑔 (𝜎̂ + 𝜎̂ + ), тогда оператор взаимодействия
внешнего поля и двухуровневого атома примет вид;
𝑉̂ = ℏΩ𝑅 (𝑎̂ + 𝑎̂ + )(𝜎̂ + 𝜎̂ + )
(1.2.1)
Где ΩR – частота Раби, поляризованного в поле «одного фотона», поляризованного вдоль
оси x, она играет роль константы связи с полем. Для записи полного гамильтониана надо
добавить к ней гамильтониан свободного поля и системы.
̂𝐽𝐶 = ℏ𝜔МР 𝑎̂+ 𝑎̂ + ℏ𝜔ДУС 𝜎̂ + 𝜎̂ + ℏΩ𝑅 (𝑎̂ + 𝑎̂+ )(𝜎̂ + 𝜎̂ + )
𝐻
(1.2.2)
Для моделирования квантовой сети, в основе которой лежит квантовое состояние
некоторого числа двухуровневых атомов была предложена модель Тависа-Каммингса.
Для анализа динамики квантовой системы и построения гамильтониана рассмотрим N
двухуровневых атомов, взаимодействующих с модой электромагнитного поля в
идеальном резонаторе. Атомы взаимодействуют с электромагнитным полем полости,
испуская или поглощая фотон. При поглощении фотона атом возбуждается, при
испускании – переходит в основное состояние. В представлении взаимодействия такая
система описывается гамильтонианом Тависа-Каммингса [4]:
̂𝑇𝐶 = ℏ𝜔МР 𝑎̂+ 𝑎̂ + ℏ𝜔ДУС ∑𝑁
𝐻
̂𝑖+ 𝜎̂𝑖 + ∑𝑁
̂ + 𝑎̂+ )(𝜎̂𝑖 + 𝜎̂𝑖 + )
𝑖=1 𝜎
𝑖=1 𝑔𝑖 (𝑎
(1.2.3) ?
Где 𝜔МР – частота фотонов в полости, 𝜔ДУС – частота атомного перехода, 𝑔𝑖 – константа
взаимодействия атома с полем. При этом условие применимости модели
Тависа-Каммингса |𝜔МР − 𝜔ДУС | ≪ 𝜔МР + 𝜔ДУС .
1.3 Информация Шеннона и пропускная способность канала с шумом
Если X и Y – случайные величины на одном вероятностном пространстве, имеющие
совместное распределение {px,y}, то можно определить их условную энтропию.
𝐻(𝑌|𝑋) = ∑𝑥 𝑝𝑥 𝐻(𝑌|𝑋 = 𝑥) = − ∑𝑥 𝑝𝑥 ∑𝑦 𝑝(𝑦|𝑥) log 𝑝(𝑦|𝑥) = 𝐻(𝑋, 𝑌) − 𝐻(𝑋)
(1.3.1)
Канал связи с шумом описывается вероятностями переходов p(y|x) из входного алфавита
𝒳 в выходной алфавит 𝒴, т.е. условными вероятностями того, что принят символ y ∈ 𝒴
при условии, что был послан символ x ∈ 𝒳. Входное распределение вероятностей
P ={px} трансформируется каналом в совместное распределение 𝑝𝑥,𝑦 = 𝑝(𝑦|𝑥)𝑝𝑥 и
порождает выходное распределение 𝑃′ = {𝑝𝑦′ }, где 𝑝𝑦′ = ∑𝑥 𝑝(𝑦|𝑥)𝑝𝑥 . В этих терминах
Шенноновское количество информации (о случайной величине X, содержащееся в Y)
определяется формулой.
𝐼(𝑋, 𝑌) = 𝐻(𝑌) − 𝐻(𝑌|𝑋)
(1.3.2)
Явное выражение для Шенноновской информации через входное распределение и
переходные вероятности канала имеет вид
𝐼(𝑋, 𝑌) = ∑𝑥𝑦 𝑝𝑥 𝑝(𝑦|𝑥) log (∑
𝑝(𝑦|𝑥)
′
𝑥′ 𝑝(𝑦|𝑥 )𝑝𝑥′
)
(1.3.3)
Рассмотрим канал X→Y, определяемый переходной вероятностью p(y|x). Важнейшей
характеристикой канала является шенноновская пропускная способность.
𝐶𝑆ℎ𝑎𝑛 = max 𝐼(𝑋; 𝑌)
𝑋
(1.3.4)
Где максимум берётся по всем возможным распределением P ={px} на входе X.
2. Диполь-дипольное взаимодействие атомов, передача энергии и
информации
2.1 Динамика диполь-дипольного взаимодействия кубитов
Рассмотрим атомы с диполь-дипольным взаимодействием, без внешнего поля. В такой
модели гамильтониан запишется в виде;
̂1 = ∑2𝑖=1 ℎ𝜔ДУС 𝜎̂𝑖+ 𝜎̂𝑖 + ℎΩ(𝜎̂1 + 𝜎̂2 − + 𝜎̂2 + 𝜎̂2 − )
𝐻
(2.1.1)
Где Ω – параметр, характеризующий энергию диполь-дипольного взаимодействия.
Динамика вероятности нахождения атомов в возбужденном состоянии
представлена на рис. 1. Параметры для вычисления были выбраны следующим
образом; 𝜔ДУС – резонансная частота атома 87Rb, полученная из экспериментов [6],
а Ω равна энергии взаимодействия диполей на расстоянии 23,2 нм, делённой на
постоянную Планка
0.8
1( t )0.6
2( t )
0.4
0.2
0
0
1
2
3
t
.
Рис. 1: Время на графике отложено в наносекундах, ν1 – вероятность нахождения кубита первого кубита в
возбуждённом состоянии, ν2 – вероятность нахождения второго кубита в возбуждённом состоянии. В
начальный момент времени первый кубит был в основном состоянии, а второй кубит перевели в
возбуждённое состояние.
Получив динамику связных кубитов, найдём некоторые характеристики
информационного канала. Энтропия H(X) является мерой неопределённости,
изменчивости или информационного содержания случайной величины X.
𝐻(𝑃) = − ∑𝑑𝑥=1 𝑝𝑥 log 𝑝𝑥
(2.1.2)
где x – возможные исходы событий (в нашем случае это обнаружить кубит в
возбуждённом или основном состоянии) px – вероятность соответствующего события.
0.8
0.6
H1( t )0.4
0.2
0
0
1
2
3
t
Рис. 2 Информационная энтропия первого кубита.
Для расчёта переброски энергии придётся рассмотреть когерентные состояния атомов. В
терминах когерентных глауберовых состояний |z> гамильтониан (2.1.1) перепишется
следующим образом;
̂ = 𝜔дус 𝑆̂3(1) + 𝜔дус 𝑆̂3(2) + Ω(𝑆̂+(1) 𝑆̂−(2) + 𝑆̂−(1) 𝑆̂+(2) )
𝐻
(2.1.3)
(𝑗)
(𝑗)
Где 𝑆̂3 , 𝑆̂+ , 𝑆̂−(𝑗) – операторы, являющиеся генераторами групп SU(2).
1 1
0
0
𝑆̂3 = 2 (
) , 𝑆̂+ = (
0 −1
0
1 ̂
0 0
) , 𝑆− = (
)
0
1 0
(2.1.4)
Для того, чтобы определить динамику кубита в глауберовых состояниях введём матричный
элемент
̂ |𝑧1 , 𝑧2 ⟩
ℋ = ⟨𝑧1 , 𝑧2 |𝐻
(2.1.5)
Динамика когерентных состояний z1 и z2 в гамильтониане (2.1.3) описывается системой
уравнений через матричный элемент (2.1.5).
𝜕ℋ
𝑧̇1 = −𝑖(1 + 𝑧1 𝑧̅1 )2 𝜕𝑧̅̅̅
1
{
2 𝜕ℋ
𝑧̇2 = −𝑖(1 + 𝑧2 𝑧̅2 ) 𝜕𝑧̅̅̅
(2.1.6)
2
Операторы (2.1.4) воздействуют на состояния |z> ;
1 1−𝑧𝑧̅
𝑧
𝑧̅
⟨𝑧|𝑆̂3|𝑧̅⟩ = − 2 (1+𝑧𝑧̅ ) , ⟨𝑧|𝑆̂+ |𝑧̅⟩ = 1+𝑧𝑧̅ , ⟨𝑧|𝑆̂− |𝑧̅⟩ = 1+𝑧𝑧̅
(2.1.7)
Таким образом, динамика когерентных состояний при гамильтониане (2.1.3) имеет вид,
представленный на рис. 3
а)
b)
2
2
1
1
Im_z1 0
Im_z2 0
1
1
2
2
1
0
1
2
2
2
Re_z1
1
0
1
2
Re_z2
Рис. 3 Фигуры, описываемые когерентными состояниями a) первого кубита во времени, b) второго кубита
Формула для расчёта коэффициента передачи энергии с одного кубита другому имеет вид;
𝒦=
𝑡
1
∫ 22 𝑛 (𝑡)𝑑𝑡
𝑡22 −𝑡21 𝑡21 2
𝑡
1
∫ 12 𝑛 (𝑡)𝑑𝑡
𝑡12 −𝑡11 𝑡11 1
(2.1.7)?
где ni(t) - населенность верхнего уровня кубита зависящая от времени, tki - временной
интервал в течении которого происходит воздействие на компоненты системы, tk(i+1) - tki
- величина этого интервала. Величина ni(t) при известных когерентных состояниях
рассчитывается следующим образом.
𝑧𝑧̅
𝑛𝑖 (𝑡) = 1+𝑧𝑧̅
(2.1.8)?
По формулам (2.1.8) и (2.1.7) видно, что коэффициент 𝒦 ≅ 1, т.е. в отсутствии внешнего поля
информация и энергия передаётся без потерь, а информация без искажения, а время
декогерентности связного состояния будет равна бесконечности.
2.2 Передача энергии и информации при наличии внешнего поля
После того, как модель Джейнса-Каммингса была сильно упрощена, следует вернуться к
гамильтониану, описывающему взаимодействие с внешним электромагнитным полем (1.2.3).
Константа взаимодействия в этой формуле должна описывать колебательный процесс в связи с
волновой природой фотона. Пусть электрическое поле действует на систему в течение
некоторого времени, а потом исчезает.
𝑔𝑖 (𝑡) = 𝑔0 (𝐻(𝑡) − 𝐻(𝑡 − 𝜏))𝑒 −𝑖𝜛𝑡
(2.2.1)
Где H(t) – функция Хевисайда.
a)
b)
Im_z1
1
1
0.5
0.5
Im_z2
0
 0.5
0
 0.5
1
1
 0.5
0
0.5
1
1
1
 0.5
0
Re_z1
0.5
1
Re_z2
Рис. 4 Динамика когерентных состояний кубита во внешнем электромагнитном поле резонансной частоты с
параметрами; 𝑔0 = 0,5 и 𝜏 = 5 нс во временном интервале от 0 до 25 нс (такие же значения параметров и для
графиков, представленных ниже).
В предыдущей части главы был опущен расчёт условной энтропии и передачи информации, так
как мы имели дело с идеальным каналом без помех. Из принципов квантовой механики, задавая
начальные когерентные состояния, можно получить вероятность нахождения кубита в
возбуждённом и основном состоянии соответственно, и в таком случае, чтобы получить
информационную энтропию необходимо представить динамику когерентных состояний как
марковский процесс с непрерывным временем. Тогда через вероятности нахождения кубита в
основном и возбуждённом состоянии можно составить матрицу условных вероятностей,
применив к ним уравнения Колмогорова и тогда найти интенсивности переходов.
2.42
2.414
2.408
2.402
Hn
2.396
2.39
2.384
2.378
2.372
0
5
10
15
20
n
Рис. 5 Условная энтропия квантовой системы
25
Возвращаясь к главе 1.3, в квантовой информатике энтропию H(Y) можно интерпретировать как
информационное содержание выхода, а условная энтропия H(Y|X)- является бесполезной
составляющей, обусловленной шумом в канале связи.
2.8
2.79
2.78
2.77
2.76
H1n 2.75
2.74
2.73
2.72
2.71
2.7
0
5
10
15
20
25
n
Рис. 6 Информационная энтропия системы перепутанных кубитов
0.375
0.373
0.37
0.367
0.365
In
0.363
0.36
0.358
0.355
0.353
0.35
0
5
10
15
20
25
n
Рис. 7 Шенноновское количество информации
В формуле (2.1.7) было дано определение коэффициента передачи энергии от одного кубита
другому. Для системы кубитов, имеющей, параметры такие же, какие был использованы для
построения рис. 4-7, коэффициент передачи энергии имеет значение 𝒦 ≈ 0,1314, что
приблизительно соответствует отношению шенноновского количества информации к
информационной энтропии.
2.3 Элементарная квантовая сеть из двух узлов
Если взаимодействие между кубитами и фотонной модой включается на достаточно малый
интервал времени τ, то вне интервала включения гамильтониан системы сводится к сумме
гамильтонианов осциллятора и кубита, невзаимодействующих между собой. Для такой системы
решение временного уравнения Шредингера (с точностью до фазового множителя) задается
некоторым когерентным состоянием. Поскольку включение кратковременное тогда можно
предположить, что вектор состояния |𝜓(𝑡)⟩ можно представить в виде
|𝜓(𝑡)⟩ = 𝑒 𝑖𝛾(𝑡) |𝛼(𝑡), 𝑧1 (𝑡), 𝑧2 (𝑡)⟩
(2.3.1)
здесь γ(t) - несущественная для дальнейшего фаза вектора состояния, а |𝛼(𝑡), 𝑧1 (𝑡), 𝑧2 (𝑡)⟩ =
|𝛼(𝑡)⟩⨂|𝑧1 (𝑡)⟩⨂|𝑧2 (𝑡)⟩ - прямое произведение осцилляторного когерентного состояния |𝛼(𝑡)⟩
и когерентных состояний |𝑧1 (𝑡)⟩ и |𝑧2 (𝑡)⟩ двух кубитов.
Вычисляя гамильтониан в обкладках когерентных состояний [7], получаем систему
уравнений для параметров когерентных состояний, описывающую динамику нашей
системы:
𝑧 +𝑧̅
𝑧 +𝑧̅
1
1
2
2
𝑖𝛼̇ = (𝜔0 − 𝑖𝛾)𝛼 + 𝑔1 (𝑡) 1+𝑧
+ 𝑔2 (𝑡) 1+𝑧
𝑧̅
𝑧̅
1 1
2 2
{𝑖𝑧̇ = 𝜔 𝑧 + 𝑔 (𝑡)(𝛼 + 𝛼̅)(1 − 𝑧 2 ) + 𝐴(𝑡)(𝑒 −𝑖𝜔𝑡 − 𝑧 2 𝑒 𝑖𝜔𝑡 )
1
1 1
1
1
1
𝑖𝑧̇2 = 𝜔1 𝑧2 + 𝑔2 (𝑡)(𝛼 + 𝛼̅)(1 − 𝑧2 2 )
(2.3.2)
Константы взаимодействия 𝑔1 (𝑡) и 𝑔2 (𝑡) определяются формулой (2.2.1). A(t) - зависящая от
времени интенсивность воздействия, пропорциональная амплитуде электромагнитного
импульса, ω - частота поля, близкая к частоте первого кубита, которая в свою очередь
определяет расстояние между уровнями кубита. Анализируя и проводя численные расчеты
коэффициента передачи, нами был получен следующий результат по формуле (2.1.7) 𝒦 =
0,0218022, который хорошо согласуется с результатами, полученными в реально проводимых
экспериментах. Например, в эксперименте, осуществленном физиками из Германии под
руководством Стефана Риттера [8], где для передачи информации использовали атомы
рубидия-87 помещенные в резонатор Фабри-Перро достигли вероятности передачи в 2%. При
моделировании мы использовали безразмерные параметры, являющиеся отношениями
параметров которые характерны для приборов современной квантовой оптики. Столь низкие
результаты реальных экспериментов связаны с диссипативными процессами, такими как потери
моды резонатора из-за рассеивания и поглощения зеркал и процессом декогеренции разрушения когерентного состояния, из-за взаимодействия с окружающей средой.
Современные технологии изготовления зеркал позволяют свести потери при отражении
практически на нет. Поэтому для того чтобы увеличить эффективность передачи квантовой
информации нужно улучшать изоляцию системы от воздействия окружающей среды и
увеличивать атом-полевые константы взаимодействия. При реальном проектировании схем
передачи взаимодействия очень сложно достичь высоких констант взаимодействия, возможно
требуется какой-то другой способ чтобы это обеспечить. Но используя методы компьютерного
моделирования это осуществить можно, что в принципе пригодится для последующей
практической реализации схем по передаче квантовой информации. Из ряда проведенных
численных расчетов было решено проанализировать зависимость коэффициента передачи от
параметра характеризующего атом-полевое взаимодействие( константа связи g) и от параметра
характеризующего сам резонатор (β). Используя при этом параметры с помощью которых был
получен результат сопоставимый с результатами реальных экспериментов. Полученная
зависимость коэффициента передачи от устройства резонатора K (β) изображена на рис. 9.I.а, а
зависимость коэффициента передачи от константы связи K (g) на рисунке 9.I.b. Из графика 9.I.а
видно, что для системы с g = 0,1 большую пользу представляют значения β в пределах от 0,02
до 0,065. Это объясняется тем, что β являясь параметром резонатора, определяет время
взаимодействия атома с полем, а так как константа g зависит от времени, то при определенном
подборе этих двух параметров, возможно получить высокие результаты передачи. На рисунке
9.I.b видно, что по сравнению с β константа связи g влияет на коэффициент передачи
значительно сильнее, но константы больше 0,3 пока что недостижимы в реальных
экспериментах, за исключением схем, где используются джозефсоновские кубиты. Поэтому
пока не будут найдены способы достичь более высоких численных значений параметра g,
нужно комбинировать другие параметры системы.
Рис. 8 Выполненные численные расчёты траектории когерентных состояний, временная зависимость среднего
числа фотонов и населенности на верхних уровнях атомов. (a) - траектория КС для α; (b) - траектория КС z1
первого кубита; (c) - траектория состояния z2 для второго кубита; (d) - временная зависимость среднего числа
фотонов; (e) и (f) - графики населенности верхнего уровня первого и второго кубитов. В расчете использовались
константы: α(0) = 0,001, z1(0) = 0,001, z2(0) = 0,001, ω = 1, ω0 = 1, ω1 = 0,999, ω2 = 1,001, g = 0,1, β = v=l = 0,02,
γ = 0,002, τ = 2, A = 0,95
Рис. 9 I. (a) - зависимость коэффициента передачи от β; (b) - зависимость коэффициента передачи от g
II. Зависимость коэффициента передачи одновременно от двух параметров (g и β)
3. Спонтанное излучение. Приближение Вигнера-Вайскопфа.
Декогеренция
3.1 Спонтанное излучение двухуровневого атома
В ряде экспериментов по квантовой оптике [16] атом в возбуждённом состоянии
распадается с характерным временем жизни и переходит в основное состояние. Чтобы
качественно описать распад атома, необходимо рассмотреть континуум мод,
соответствующий квантованию бесконечно протяжённого резонатора. Для этой системы в
представлении взаимодействия гамильтониан в приближении вращающейся волны имеет
вид;
𝒱 = ℏ ∑𝑘 𝑔𝒌 𝑒 𝑖𝒌𝒓𝟎 𝜎+ 𝑎𝒌 𝑒 𝑖(𝜔−𝜈𝒌)𝑡
(3.1.1)
𝒓0 – координата положения атома. Предположим, что в начальный момент времени атом
находился в возбуждённом состоянии, а моды поля в вакуумном состоянии. Волновая
функция такой системы;
|𝜓(𝑡)⟩ = 𝑐𝑎 (𝑡)|𝑎, 0⟩ + ∑𝒌 𝑐𝑏,𝒌 (𝑡)|𝑏, 1𝒌 ⟩
(3.1.2)
Где 𝑐𝑎 (0) = 1 и 𝑐𝑏,𝒌 (0) = 0. Для того, чтобы получить функции 𝑐𝑎 (𝑡) и 𝑐𝑏,𝒌 (𝑡), применим
к волновой функции (3.1.2) временное уравнение Шрёдингера. И в результате получим
систему дифференциальных уравнений.
𝑐̇𝑎 (𝑡) = −𝑖 ∑𝑘 𝑔𝒌 𝑒 𝑖𝒌𝒓𝟎 𝑒 𝑖(𝜔−𝜈𝒌)𝑡 𝑐𝑏,𝒌 (𝑡)
{
𝑐̇𝑏,𝒌 (𝑡) = −𝑖𝑔𝒌 𝑒 −𝑖𝒌𝒓𝟎 𝑒 −𝑖(𝜔−𝜈𝒌)𝑡 𝑐𝑎 (𝑡)
(3.1.3)
В этом выражении нас интересует только 𝑐𝑎 (𝑡), проинтегрировав систему уравнения,
избавившись от 𝑐𝑏,𝒌 (𝑡) в выражении для 𝑐𝑎 (𝑡) получаем дифференциально-интегральное
уравнение.
𝑡
′
𝑐̇𝑎 (𝑡) = − ∑𝒌|𝑔𝒌 |2 ∫0 𝑑𝑡 ′ 𝑒 𝑖(𝜔−𝜈𝒌)(𝑡−𝑡 ) 𝑐𝑎 (𝑡)
(3.1.4)
Так как в формулах (3.1.1) – (3.1.4) было проквантовано поле в бесконечно протяжённом
резонаторе, то можно предположить, что моды поля расположены очень близко, и тогда
сумма заменится интегралом по соответствующей переменной. В приближении
взаимодействия атома и квантованного электромагнитного поля атом считается диполем.
2
2℘
∞
𝑡
′
𝑐̇𝑎 (𝑡) = 3(2𝜋)2𝑎𝑏𝜀 ℏ𝑐 3 ∫0 𝑑𝜈𝑘 𝜈𝑘 3 ∫0 𝑑𝑡 ′ 𝑒 𝑖(𝜔−𝜈𝒌)(𝑡−𝑡 ) 𝑐𝑎 (𝑡 ′ )
0
(3.1.5)
Где ℘𝑎𝑏 – дипольный момент атома, вычисляется как матричный элемент; ℘𝑎𝑏 = 𝑒⟨𝑎|𝒓̂|𝑏⟩
в этой формуле e – заряд электрона, 𝜀0 – электрическая постоянная, c – скорость света
[17, 18]. В спектре излучения интенсивность света, которая связана с полем испущенным
атомом должна быть центрирована на частоте атомного перехода ω, 𝜈𝒌 – изменяется
незначительно относительно ω, для которой интеграл по времени (3.1.5) даёт основной
вклад, поэтому в приближении 𝜈𝒌 3 можно заменить на ω3, а нижний предел
интегрирования по 𝜈𝒌 устремить к -∞ [17]. И так как
∞
′
∫−∞ 𝑑𝜈𝒌 𝑒 𝑖(𝜔−𝜈𝒌)(𝑡−𝑡 ) = 2𝜋𝛿(𝑡 − 𝑡 ′ )
(3.1.6)
То в приближении Вигнера-Вайскопфа уравнение относительно 𝑐𝑎 (𝑡) примет вид;
1
4𝜔 3 ℘𝑎𝑏 2
1
𝑐̇𝑎 (𝑡) = − 2 4𝜋𝜀
0
3ℏс3
Γ
𝑐𝑎 (𝑡) = − 2 𝑐𝑎 (𝑡)
(3.1.7)
То есть при спонтанном излучении вероятность обнаружить атом в возбуждённом
состоянии падает экспоненциально. Для атома рубидия 87 коэффициент Γ = 1,183·10-10 с-1.
При этом (как это показано в приложении)
𝜌𝑎𝑎 = |𝑐𝑎 (𝑡)|2 = 𝑒 −Γ𝑡
(3.1.8)
6
5.25
4.5
In
3.75
Sn
3
H1n
2.25
1.5
0.75
0
0
2.5
5
7.5
10 12.5 15 17.5 20 22.5 25
n
Рис. 10 Изменение во времени Шенноновской информации I, H1 – условной энтропии и S – информационной
энтропии в приближении Вигнера-Вайскопфа (время выражено в нс).
Как видно из графиков на рис. 10 шум в приближении спонтанного излучения примерно равен
полезной переданной информации. В такой системе коэффициент передачи энергии
𝒦 ≅ 0,0281, что приблизительно совпадает с результатом, полученным в главе 2.3, что может
косвенно говорить о том, что приближение Вигнера-Вайскопфа отлично согласуется в рамках
математической модели квантовой сети, что была описана выше.
3.2 Декогеренция. Разрушение перепутанных состояний
В главе 1.1 было дано определение основным свойствам спутанных состояний и пояснено в чём
их принципиальное отличие от волновой функции двух частичной квантовой системы. Дадим
геометрическую интерпретацию пространству возможных состояний системы. Для этого
спроецируем все возможные состояния на двухмерную плоскость и используем ещё одно
важное понятие в квантовой физике. Чистые и смешанные состояния.
Чистым состоянием называется такое состояние системы, которое может быть описано одним
вектором состояния. Смешанным состоянием называется такое состояние системы, которое не
может быть описано одним вектором состояния, а может быть представлено только матрицей
плотности [19]. Рассмотрим такое определение в терминах матриц плотности в гильбертовом
пространстве состояний. В качестве состояния в квантовой механике можно взять вектор ψ ∈ H
и определить состояние как
𝜙(𝐴) = ⟨𝜓, 𝐴𝜓⟩
(3.2.1)
Где ⟨∙ ,∙⟩ есть операция скалярного произведения в ℋ - гильбертово пространство и ψ есть
вектор единичной длины |ψ| = 1. Такое состояние называется чистым. Здесь φ(A) называется
средним наблюдаемым A по состоянию φ (которое определяется вектором ψ). В более общем
случае, состояние φ есть положительный нормированный функционал на алгебре наблюдаемых
A, то есть φ(A*A) ≥ 0, ∀ A∈ 𝒜, φ(e) = 1, где e есть единица в алгебре 𝒜. Состояние определяется
оператором плотности ρ (матрицей плотности).
⟨𝑥, 𝜌𝑥⟩ ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℋ
(3.2.2)
Подробнее о матрице плотности и её свойствах написано в приложении. Математически
смешанное состояние определяется следующим образом
𝜙(𝐴) = 𝑡𝑟𝜌𝐴
(3.2.3)
Чистое состояние есть частный случай смешанного, когда матрица плотности имеет ранг один
— матрица плотности есть проектор на вектор ψ.
𝜌𝑥 = ⟨𝜓, 𝑥⟩𝜓
(3.2.4)
Учитывая всё выше написанное, составим таблицу из возможных состояний, в которых могут
находиться составные квантовые системы.
Рис. 11 Математическое описание состояний составных квантовых систем с помощью векторов состояния и
матриц плотности.
Теперь у нас есть всё необходимое, чтобы дать геометрическую интерпретацию для всех
возможных состояний составной квантовой системы. На рис. 12 изображено отношение
множеств всех этих состояний. Стоит понимать, что геометрическая интерпретация,
изображённая на рис. 12 весьма условная, но тем не менее геометрическая интерпретация
помогает понять физический смысл такой характеристики перепутанных состояний как
отрицательность.
Рис. 12 Отношение множеств состояний составной квантовой системы.
Рассмотрим такую операцию над матрицей, как транспонирование с помощью векторов
состояний. 𝑀: ℋ 𝐵 → ℋ 𝐵
𝑑
𝐵
𝑀𝑇 = ∑𝑖,𝑗=1
|𝑗⟩⟨𝑖|𝑀|𝑗⟩⟨𝑖|
(3.2.5)
Где dB – количество векторов базиса состояний. Для двух частичной системы можно ввести два
возможных варианта частичного транспонирования по частице A и частице B. 𝑋: ℋ 𝐴𝐵 → ℋ 𝐴𝐵 .
Тогда формулы, реализующие частичное транспонирование осуществляются следующим
образом;
𝑑𝐵
¬
𝑋 =𝑋
𝑇𝐵
= ∑ 𝐸⨂|𝑗⟩⟨𝑖| ∙ 𝑋 ∙ 𝐸⨂|𝑗⟩⟨𝑖|
𝑖,𝑗=1
(3.2.6)
𝑑𝐵
𝑋 𝑇𝐴 = ∑ |𝑗⟩⟨𝑖|⨂𝐸 ∙ 𝑋 ∙ |𝑗⟩⟨𝑖|⨂𝐸
𝑖,𝑗=1
Где E – единичный оператор. Теперь можно дать определение для критерия ПересаГородецких; Матрица плотности двух кубитов является сепарабельной тогда и только тогда,
когда она остается матрицей плотности при частичном транспонировании. При этом не важно,
над какой частью производится транспонирование (A или B). Для систем большей размерности
– только необходимое условие. Т.е. существуют перепутанные состояния двух кутритов, для
которых частичные транспонирования являются положительными (матрицами плотности).
Таким образом, отрицательность – это параметр, который показывает насколько перепутанное
состояние близко к сепарабельным состояниям. Численно она равна умноженной на -2 сумме
собственных вещественных чисел меньше нулю. И лежит в пределах от 0 до 1. И 0
соответствует сепарабельным состояниям, а 1 – максимально перепутанному состоянию.
a)
b)
Рис. 13 отрицательность перепутанных кубитов при их диполь-дипольном взаимодействии a) При воздействии
исключительно внешнего поля b) В приближении Вигнера-Вайскопфа.
Как видно из рис. 13 при спонтанном излучении кубитов перепутанные состояния разрушаются
быстрее, чем при учёте только внешнего поля.
4. Квантовый шум
Одна из основных проблем квантовой информатики – учёт шумов [20]. Как бы конструктивно
инженеры не пытались уменьшить их, но полностью от них избавиться невозможно. И при этом
квантовый шум влияет на качество передачи информации, энергии и разрушает спутанные
состояния, поэтому учёт квантовых шумов и его математическое моделирование имеет
большую значимость для обеспечения работы квантовых компьютеров.
4.1 Математическое моделирование квантовых шумов
Определимся со средней по абсолютной величине амплитудой электромагнитного поля. Атом,
выполняющий роль кубита помещают в камеру, охлаждая её до температур 1K – 10-2 К [6].
Для джозефсоновских кубитов температуру опускают ещё ниже [2]. Оценим величину в
классическом пределе.
𝑊 = (𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑⃗) =
𝑘𝑇
2
(4.1.1)
Где W – энергия взаимодействия диполя и внешнего поля, k – постоянная Больцмана. Так как
мы проводим оценку, то нас не интересует, сколько степеней свободы имеет атом. Также будет
считать, что вектор напряжённости поля квантового шума не меняет направления. В теории
вероятности доказано, что сумма различных независимых случайных слагаемых (независимо от
их закона распределения) оказывается случайной величиной, распределенной согласно
нормальному закону (так называемая центральная предельная теорема) [22]. Поэтому
нормальное распределение хорошо моделирует самый широкий круг явлений, для которых
известно, что на них влияют несколько независимых случайных факторов [23]. И квантовый
шум подходит под категорию такого процесса. В описанной выше математической модели,
внешнее поле в 103 больше помех. В модели квантового шума предположим, что в течении
некоторого времени, много меньшего, чем промежуток времени, на котором мы рассчитываем
его воздействие напряжённость поля постоянна. Т.е. произведём дискретизацию по времени. С
точки зрения функционального анализа мы приблизили функцию шума к сумме ортогональных
на пространстве вещественных чисел функций [24]. Также для такой функции с помощью
математической статистики проще осуществляется Фурье-преобразование и разложение в ряд
на больших промежутках времени [25], что имеет преимущество для расчёта времени
декогеренции перепутанных состояний [26].
4.2 Взаимодействие кубитов в приближении Вигнера-Вайскопфа и
воздействии шума
Большая часть факторов, влияющих на разрушение перепутанных состояний, были нами
описаны или математически выведена. При учёте квантового шума величина 𝒦 ≅ 0,0243, что
меньше значения, полученного в 3.1, что говорит о том, что квантовый шум является помехой
для передачи энергии. Теперь для шума введём коэффициент, показывающий ухудшение
передачи информации [1];
𝛿𝐼 =
𝑡
1
∫ 22 (𝐼(𝑡)−𝐼1 (𝑡))𝑑𝑡
𝑡22 −𝑡21 𝑡21
𝑡
1
∫ 12 𝐼(𝑡)𝑑𝑡
𝑡12 −𝑡11 𝑡11
(4.2.1)
Где I(t) – Количество информации без шумов, I1(t) – оно же, но с учётом шумов. В результате
расчётов 𝛿𝐼 ≅ 0,03, т.е. количество переданной информации уменьшилось на 3%. Однако,
несмотря на то, что для полученного нами шума как передача информации, так и энергии
между кубитами ухудшается, это не значит, что так будет при любых условиях. Высказывается
идея, что в некоторых случаях диссипация и шум могут, напротив, являться источником
перепутывания. Ряд работ был посвящен исследованию возможности генерации перепутывания
атомов в резонаторах, индуцированного тепловым шумом. В работе [21] впервые было
показано, что перепутывание всегда возникает при взаимодействии произвольной системы с
большим числом степеней свободы в смешанном состоянии и одиночного кубита в чистом
состоянии, и общие результаты проиллюстрированы на примере модели Джейнса-Каммингса
одиночного атома в чистом состоянии, взаимодействующего с модой теплового поля в
идеальном резонаторе. В работе [27] установлено, что одномодовый тепловой шум может также
индуцировать атом-атомное перепутывание в системе двух двухуровневых атомов в идеальном
резонаторе. Так что, нет оснований полагать, что тепловой шум не может улучшить качество
передачи информации между кубитами, а то и вовсе являться причиной возникновения канала.
Кубит (quantum bit) – это единица квантовой информации, также, как и бит он может находится
в основном и возбуждённом состоянии (|0> и |1> - аналог логического «нет» и логического
«да»). Кубит, как любой другой объект квантовой механики, способен по принципу
суперпозиции, находится одновременно в основном и возбуждённом состоянии. И описывается
такое квантовое состояние с помощью вероятностей нахождения кубита в одном из двух
состояний. Так как любой квантовый объект, способный находится в двух возможных
состояниях может быть кубитом, то вариации возможных видов кубита самые разнообразные;
поляризация фотона, джозефсоновский кубит, твердотельные (полупроводниковые) кубиты, но
простейшей системой, которую можно использовать в качестве кубита является квантовая
частица со спином 1/2 в постоянном магнитном поле. Такой частицей может быть как электрон,
так и ядро. Безусловно, при измерениях состояния |0> или |1> должны быть физически
различимы, то есть спиновое состояние должно быть каким либо образом измерено. Из
описанного выше можно приблизительно предположить, какие принципиальные отличия
возникают между квантовой информатикой и классической теорией информации, но об этом
ещё будет сказано далее. Обозначим в общих чертах предмет и область изучения квантовой
информатики.
Основные принципы квантовой информатики
Если в классической теории информации вычислительные процессы опираются на числа, но в
квантовой информатике основным носителем информации служат квантовые состояния. В
связи с тем, что квантовые состояния сложно, а в некоторых случаях и невозможно повторить,
то квантовую информацию невозможно скопировать. Это условие сильно ограничивает
квантовую информатику, как науку, предлагающую осуществление алгоритмов, но при этом
такая технология позволяет шифровать сообщения, а в совокупности с эффектами квантовой
телепортации позволяет также передавать информацию с возможностью определить, был ли
информационный канал прослушан или нет. Чтобы не перечислять факты о квантовой
информации изложим коротко основные принципы;
1. Волновая функция кубита. Сфера Блоха.
Волновая функция кубита, с учётом состояний в которых он может находится выглядит
следующим образом;
|𝜓⟩ = 𝛼(𝑡)|0⟩ + 𝛽(𝑡)|1⟩
(1.1)
При этом;
𝛼(𝑡)2 + 𝛽(𝑡)2 = 1
(1.2)
Используем то, что кет-векторы |0> и |1> ортогональны друг другу. В вещественном
гильбертовом пространстве множество таких состояний можно отобразить на окружности
(рис. 1).
Рис. 1 Геометрическое изображение кубита с
волновой функцией |𝜓⟩ для вещественных
коэффициентов; α и β.
Из квантовой механике нам известно, что волновая функция в общем случае комплексно
значная, а значит, в общем случае коэффициенты α и β также комплексны. Но при этом условие
нормировки также не должно нарушаться;
𝛼𝛼 ∗ + 𝛽𝛽 ∗ = 1
(1.3)
Тогда эти коэффициенты можно представить в следующем виде;
𝛼 = 𝑒 𝑖𝛾 sin 𝜗 , 𝛽 = 𝑒 𝑖𝜆 cos 𝜗
(1.4)
Без нарушения правил нормировки, поделим оба коэффициента на 𝑒 𝑖𝛾 , тогда
𝛼 = sin 𝜗 , 𝛽 = 𝑒 𝑖𝜙 cos 𝜗
(1.5)
Теперь углы φ и ϑ можно представить как координаты волновой функции на единичной сфере в
гильбертовом пространстве.
Рис. 2 Геометрическое изображение кубита ψ
=α +β 0 1 для случая комплексных
коэффициентов α и β - сфера Блоха.
И мы получили сферу Блоха, на которой можно изобразить все возможные состояния кубиты.
2. Матрица плотности.
Среднее значение оператора в квантовой механике рассчитывается следующим образом; ⟨𝑓̂⟩ =
(1.6)
∫ Ψ ∗ 𝑓̂Ψ𝑑𝑟⃗
Напишем это же выражение, использую дираковский формализм, чтобы можно было выбрать
дискретный базис состояний |n>
𝑓 ̅ = ∑𝑛,𝑛̀ ⟨𝑛̀ |𝑐𝑛̀∗ 𝑓̂𝑐𝑛 |𝑛⟩ = ∑𝑛,𝑛̀ 𝑐𝑛̀∗ 𝑐𝑛 ⟨𝑛̀ |𝑓̂|𝑛⟩ = ∑𝑛,𝑛̀ 𝑓𝑛,𝑛̀ 𝑐𝑛̀∗ 𝑐𝑛
(1.7)
Произведение коэффициентов разложения в формуле (1.7) (параметров, определяющих
состояние в данном базисе) можно представить в виде матрицы.
𝜌𝑛,𝑛̀ = 𝑐𝑛 𝑐𝑛̀∗
(1.8)
Вновь запишем выражение для среднего значения оператора в терминах матрицы плотности
𝑓 ̅ = ∑𝑛,𝑛̀ 𝑓𝑛,𝑛̀ 𝜌𝑛,𝑛̀ = 𝑇𝑟(𝑓̂𝜌̂)
(1.9)
Матричный элемент матрицы плотность находится через базис состояний
𝜌𝑛,𝑛̀ = ⟨𝑛|𝜌|𝑛̀ ⟩
(1.10)
Сама матрица плотности может быть вычислена через коэффициенты разложения волновой
функции в пространстве состояний
𝜌̂ = ∑𝑛 𝑐𝑛 |𝑛⟩ ∑𝑛̀ 𝑐𝑛̀∗ ⟨𝑛̀ | = |Ψ⟩⟨Ψ|
(1.11)
3. Попытка копирования неизвестного кубита с помощью двухкубитного квантового
элемента.
Ранее было озвучено, что квантовая информация не копируется. Теперь покажем это с
помощью двухкубитного элемента.
xx
xx
00
xx
Рис.3 Копирование неизвестного
кубита с помощью классического
элемента CNOT
классический элемент CNOT (XOR) можно использовать для копирования неизвестного бита.
Для этого подадим на управляющий вход неизвестный бит x , а на управляемый вход подадим
0. Тогда, в соответствии с рис. 3 , управляющий бит не изменится, а управляемый
преобразуется в 𝒙⨁0. Используем формулу исключения констант из алгебры логики:
𝒙⨁0 = 𝒙. А значит, управляющий бит становится копией управляемого бита. Используем
квантовый оператор CNOT для копирования кубита. Подадим на управляющий кубит
|Ψ⟩ = 𝛼|0⟩ + 𝛽|1⟩
(1.12)
Управляющий кубит перейдём в основное состояние. Тогда входная волновая функция
двухкубитной системы
|Ψ⟩ = (𝛼|01 ⟩ + 𝛽|11 ⟩)⨂|02 ⟩ = 𝛼|00⟩ + 0|01⟩ + 𝛽|10⟩ + 0|11⟩
(1.13)
В базисе состояний кубитов волновая функция примет вид;
𝛼
0
|Ψ⟩ = (𝛽 )
0
(1.14)
̃ ⟩ = 𝑈̂
Тогда выходной вектор |Ψ
𝐶𝑁 |Ψ⟩ выразиться через входное состояние
1
̃ ⟩ = (0
|Ψ
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
𝛼
0
0) |Ψ⟩ = ( 0 )
0
1
𝛽
0
(1.15)
Для того, чтобы CNOT копировал кубит, на выходе у него должно было бы быть две копии
входного кубита. Тогда двухкубитное выходное состояние имело бы вид
̃ ⟩ = (𝛼|01 ⟩ + 𝛽|11 ⟩)⨂(𝛼|02 ⟩ + 𝛽|12 ⟩) = 𝛼 2 |00⟩ + 𝛼𝛽|01⟩ + 𝛼𝛽|10⟩ + 𝛽 2 |11⟩
|Ψ
(1.16)
𝛼2
̃ ⟩ = 𝛼𝛽 , приравнивая (1.14) и (1.16), получим три
Или в базисе состояний кубитов; |Ψ
𝛼𝛽
( 𝛽2 )
возможных решения, одно из которых тривиальный нуль, что не соответствует условию
нормировки. Остальные два решения; α = 1, β = 0 и α = 0, β = 1. Таким образом, копирование
кубита общего вида с помощью оператора CNOT невозможно. Полученные решения, в которых
копирование возможно, соответствуют классическим состояниям.
Литература
[1] А.С. Холево «Квантовые системы, каналы, информация» - М .: МЦНМО 2010. – 328с.
[2] Е.В. Ильичёв, Я.С. Гринберг «Квантовая информатика и квантовые биты на основе
сверхпроводниковых джозефсоновских структур» Новосибирск .: НГТУ, 2013. – 170 с.
[3] А.В. Горохов, Г.И. Ерёменко «Квантовая динамика системы кубитов во внешних полях»
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 68–75
[4] Андрианов, Е. С., Виноградов, А. П., Пухов, А. А. «Лекции по квантовой оптике» учеб.
пособие – М. : МФТИ, 2018. – 226 с.
[5] В.А. Александров «Ограниченные операторы в гильбертовом пространстве» методич.
Пособие – М .: НГУ, 1996 г.
[6] И.И. Бетеров, Е.А. Якшина, Д.Б. Третьяков, В.М. Энтин, Н.В. Альянова, К.Ю.Митянин, И.И.
Рябцев «РЕАЛИЗАЦИЯ ОДНОКУБИТОВЫХ КВАНТОВЫХ ОПЕРАЦИЙ НА СВЧПЕРЕХОДЕ В ОДИНОЧНОМ АТОМЕ РУБИДИЯ В ОПТИЧЕСКОЙ ДИПОЛЬНОЙ
ЛОВУШКЕ», ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 3, стр. 409-423.
[7] Горохов А. В. «Принципы симметрии и теория представлений групп». - Самара.: Самрский
государственный университет. 2014. - 109 с.
[8] S. Ritter, An elementary quantum network of single atoms in optical cavitie. S. Ritter, C.Nolleke,
C. Hahn, A. Reiserer, A. Neuzner, M. Uphoff, M. Mucke, E. Figueroa, J. Bochmann, G. Rempe. //
Nature. - 2012. V. 484. p. 195 - 201.
[9] Cirac J. I., Zoller P. Quantum computations with cold trapped ions //Physical review letters. –
1995. – Т. 74. – №. 20. – С. 4091.
[10] Unanyan R. G., Vitanov N. V., Bergmann K. Preparation of entangled states by adiabatic passage
//Physical review letters. – 2001. – Т. 87. – №. 13. – С. 137902.
[11] Turchette Q. A. et al. Deterministic entanglement of two trapped ions //Physical Review Letters. –
1998. – Т. 81. – №. 17. – С. 3631.
[12] Maitre X. et al. Quantum memory with a single photon in a cavity //Physical review letters. –
1997. – Т. 79. – №. 4. – С. 769.
[13] Cory D. G., Fahmy A. F., Havel T. F. Ensemble quantum computing by NMR spectroscopy
//Proceedings of the National Academy of Sciences. – 1997. – Т. 94. – №. 5. – С. 1634-1639.
[14] Braunstein S. L. et al. Separability of very noisy mixed states and implications for NMR quantum
computing //Physical Review Letters. – 1999. – Т. 83. – №. 5. – С. 1054.
[15] Е.К. Башкиров «Перепутывание двух дипольно-связанных кубитов, индуцированное
квантовым полем резонатора со средой Керра» VII Международная конференция и молодёжная
школа «Информационные технологии и нанотехнологии» (ИТНТ-2021)
[16] Какая-нибудь свежая статья о распаде нормального состояния
[17] М.О. Скалли, М.С. Зубайри. Квантовая оптика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003
[18] Zhu C. et al. Dipole blockade without dipole-dipole interaction //arXiv preprintarXiv:2106.11268.
– 2021.
[19] Давыдов А. С. Квантовая механика. – Рипол Классик, 1968.
[20] Башкиров Е. К. Динамика перепутывания атомов с двухфотонными переходами,
индуцированного тепловым полем //Компьютерная оптика. – 2020. – Т. 44. – №. 2. – С. 167-176.
[21] Schumacker D., Westmoreland M.D. Quantum Processes, Systems, and Information. New York:
Cambridge University Press, 2010. 469 p.
[22] Гарькина И. А., Фадеева Г. Д. Теория вероятностей и математическая стати стика //учеб.
пособие/ИА Гарькина, АМ Данилов, ГД Фа деева.–2 е изд., стер.–Пенза: ПГУАС. – 2010.
[23] Кибзун А. И., Кан Ю. С. Задачи стохастического программирования с~ вероятностными
критериями. – 2009.
[24] Kantorovich L. V., Akilov G. P. Functional analysis. – Elsevier, 2016.
[25] Thompson S. E. et al. Identification of bacterial spores using statistical analysis of Fourier
transform infrared photoacoustic spectroscopy data //Applied spectroscopy. – 2003. – Т. 57. – №. 8. –
С. 893-899.
[26] Im D. G., Kim Y. H. Decoherence-Induced Sudden Death of Entanglement and Bell Nonlocality
//Photonics. – MDPI, 2022. – Т. 9. – №. 2. – С. 58.
[27] Bose S., Fruentes-Guridi I., Knight P.L., Vedral V. // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. No 5. P.
050401.