Фамилия Имя ____________________ Класс ______ Дата ___________ геометрия Применение свойств вписанных и описанных четырёхугольников при решении геометрических задач Задание 1 Запиши решение задачи, указав используемое свойство при её решении. Четырёхугольник ABCD описан около окружности. Найди стороны АВ и СD, если ВС = 6 см, АD = 9 см, АВ в два раза больше, чем СD. Задание 2 Докажи. Докажи, что в любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Вычисли. Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и АD, равные радиусу этой окружности. Вычисли углы четырехугольника АВСD. 1 Фамилия Имя ________________________________ Класс _____________ Дата ____________________ Задание 4 Найди. Найди периметр прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 7,5 см, если стороны прямоугольника относятся как 3 : 4. Задание 5 Определи. В равнобедренной трапеции разность оснований равна 20 см, а радиус вписанной в неё окружности равен 2 14 см. Определи стороны трапеции. Работаем с чертежом. Используя данные чертежа, найди градусную меру угла D. 2 Ответы Задание 1. Пусть длина отрезка СD равна Х см, тогда, по условию, длина отрезка АВ будет равна 2 * Х см. Тогда 9 + 6 = Х + 2 * Х. 3 * Х = 15. Х = СD = 15 / 3 = 5 см. АВ = 2 * СD = 2 * 5 = 10 см. Использованное свойство: Так как четырехугольник описан вокруг окружности, то у него сумма длин противоположных сторон равны. АD + ВС = АВ + СD Задание 2. Задание 3. Задание 4. 3 Ответы Задание 5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон. Найдем боковые стороны трапеции (они равны). Опустим из тупого угла В трапеции высоту ВН на большее основание AD. По свойству этой высоты, она делит большее основание на два отрезка, меньший из которых АН равен полуразности оснований. Итак, АН = 10см. Высота описанной около окружности трапеции равна двум радиусам этой окружности, то есть ВН = 4√14см. Мы имеем прямоугольный треугольник с катетами 10см и 4√14 см. Гипотенуза этого треугольника - боковая сторона трапеции АВ. АВ = √(АН² + ВН²) = √(100 + 224) = 18см. По свойству, приведенному выше, 2АВ = ВС + АD или ВС + AD = 36. Но AD - BC = 20 (дано), значит AD = 28см, а ВС = 8см. Ответ : стороны трапеции AB = CD = 18см, ВС = 8см, AD = 28см. Задание 6. Сумма противолежащих углов 180 градусов, значит искомый угол 180 – 105 = 75 градусов 4