Теория вероятностей и случайные величины Лекция

Элементы комбинаторики
Перестановкой из n элементов называется любой
упорядоченный набор этих элементов.
Число различных перестановок из n элементов
обозначается Рn и вычисляется по формуле
Рn = n!= 1*2*…*n 0!=1
Число различных сочетаний (порядок элементов не
важен) по m элементов из n элементов обозначается С𝑚
𝑛 и
вычисляется по формуле
𝑛!
𝑚
𝐶𝑛 =
𝑚! 𝑛 − 𝑚 !
Число различных размещений (порядок элементов
важен) по m элементов из n элементов обозначается 𝐴𝑚
𝑛 и
вычисляется по формуле
𝑛!
𝑚
А𝑛 =
𝑛−𝑚 !
Примеры.
1. Сколькими способами можно рассадить 5
человек за столом?
2. Есть 6 белых и 7 красных роз. Сколькими
способами можно составить букет из 3 белых и
2 красных роз?
3. Сколькими способами могут определиться
призеры соревнований (первое, второе и третье
места), в которых участвуют 8 спортсменов?
Решение.
1. 5!=1*2*3*4*5=120
6!
2. 𝐶63 = 3! 6−3 ! =
3!∙4∙5∙6
3!∙3!
= 20
Ответ: 20*21=420
8!
5!∙6∙7∙8
3. А38 = 8−3 ! = 5! = 336
𝐶72 = 2!
7!
7−2 !
=
5!∙6∙7
2!∙5!
= 21
Вероятность события – это выраженная в числовой форме мера
возможности появления некоторого события (А или B) в
результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).
В теории вероятностей отличают:
- достоверное событие гарантированно происходит в
результате опыта Р(Ω) = 1;
- невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
- случайное событие лежит между достоверным и
невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но
не гарантирована (вероятность случайного события всегда в
пределах 0≤Р(А)≤ 1).
Отношения между событиями
Сумма событий А+В, когда событие засчитывается при
осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или
обоих – А и В.
По отношению друг к другу события могут быть:
Равновозможными. Если два события могут произойти с равной
вероятностью, то они равновозможные
Совместными. Если появление события А не сводит к нулю
вероятность появление события B, то они совместные
Несовместными. Если события А и В никогда не происходят
одновременно в одном и том же опыте, то их называют
несовместными
Противоположными (взаимоисключающими). Если
наступление одного события делает невозможным
наступление другого, то их называют противоположными.
Одно из них обозначают как А, а другое – Ā (читается как
«не А»). Появление события А означает, что Ā не
произошло. Эти два события формируют полную группу с
суммой вероятностей, равной 1.
A + Ā – полная группа Р(A + Ā) = 1
Зависимыми. Зависимые события имеют взаимное влияние,
уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.
•
«И» – умножение
«ИЛИ» - сложение
Пример.
В ящике находится 7 красных, 5 белых и 4 желтых шара. Наудачу
вынимают 5 шаров. Найти вероятности следующих событий:
1. 2 желтых, 1 белый и 2 красных;
2. 3 красных и 2 белых или 4 желтых и 1 белый;
Решение:
5
Все возможные исходы 𝐶16
=
1.
Р=
𝐶42
∙
𝐶51
6∙5∙21
24∙13∙14
∙
𝐶72
=
=
4!
5!
7!
∙
∙
2!2! 1!4! 2!5!
=
12∙13∙14∙15∙16∙2
1∙2∙3∙4∙5
= 24 ∙ 13 ∙ 14
= 6 ∙ 5 ∙ 21
3∙5
8∙13
2. 𝐶73 ∙ 𝐶52 + 𝐶44 ∙ 𝐶51 =
355
Р=
24∙13∙14
16!
5!11!
7!
5!
∙
3!4! 2!3!
+
4!
5!
∙
4!0! 1!4!
= 35 ∙ 10 + 1 ∙ 5 = 355
Основные теоремы теории вероятностей
Сложение вероятностей
Теорема 1. Вероятность суммы конечного числа попарно
несовместных событий равна сумме вероятностей этих
событий
Р(А1+А2+…+Аn) = Р(А1) + Р(А2) +…+ Р(Аn)
Теорема 2. Вероятность появления хотя бы одного из двух
совместных событий равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их совместного появления
Р(А+B) = Р(А) + Р(B) - Р(А·B)
А
B
Условная вероятность
Определение. Условной вероятностью
Р(В|А) или РА(В)
называется вероятность появления события В
при условии, что событие А уже наступило
Умножение вероятностей
Теорема 3. Вероятность произведения
(совместного наступления) двух событий равна
произведению вероятности одного из них на
условную вероятность другого, вычисленную при
условии, что первое имело место
Р(А·B) = Р(А) · Р(В|А)
Р(А·B) = Р(В) · Р(А|В)
Умножение вероятностей
Теорема 4. Вероятность произведения
(совместного наступления) двух независимых
событий равна произведению вероятностей этих
событий
Р(А·B) = Р(А) · Р(В)
•
Формула Бейса (Байеса) (Thomas Bayes)
Теорема 6. Пусть событие А произошло, тогда
вероятность гипотезы Hk определяется по
формуле:
𝑃(𝐻𝑘 ) ∙ 𝑃 𝐴 𝐻𝑘
𝑃 𝐻𝑘 𝐴 =
𝑃(𝐴)
Три метеобюро составляют прогнозы погоды на следующий день. Вероятность
ошибки для первого составляет 0,15, второго – 0,18, третьего – 0,12. В
распечатке содержится 6 прогнозов первого бюро, 4 прогноза второго и 10
прогнозов третьего бюро. 1) Из распечатки прогнозов наудачу взяли один.
Какова вероятность того, что этот прогноз окажется точным? 2) Взятый наудачу
прогноз оказался ошибочным, какова вероятность того, он был составлен 1-ым
метеобюро?
Решение: 1) А – прогноз точный.
Н1 – первое бюро Р(Н1) = 6/20
Р(A|Н1) = 0,85
Н2 – второе бюро Р(Н2) = 4/20
Р(A|Н2) = 0,82
Н3 – третье бюро Р(Н3) = 10/20
Р(A|Н3) = 0,88
Р(А) = 6/20*0,85 + 4/20*0,82 + 10/20*0,88=0,859
2) 𝑃 𝐻1 А =
𝑃(𝐻1 )∙𝑃 А 𝐻1
𝑃(А)
=
6/20∙0,15
1−0,859
= 0,32
Парадокс Бейеса
При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить
заболевание туберкулёзом у больного туберкулёзом равна 0,9,
вероятность принять здорового человека за больного равна 0,01.
Доля больных туберкулёзом по отношению ко всему населению
равна 0,001.
Какова вероятность того, что человек, признанный больным,
является здоровым?
Р(здоров│признан больным) -?
Парадокс Бейеса
Р(здоров(Н1)) = 0,999
Р(болен (Н2)) = 0,001
Р(признан больным| здоров) = 0,01
Р(признан больным| болен) = 0,9
Р(признан больным) = 0,999*0,01 + 0,001*0,9 = 0,01089
Р(здоров│признан больным) =
𝑃(𝐻1 )∙𝑃 А 𝐻1
𝑃(А)
=
0,999∙0,01
0,01089
= 0,917
Таким образом, 91,7 % (!) людей, у которых обследование
показало результат «болен», на самом деле здоровые люди.
При возникновении такого результата лучше всего сделать
повторное рентгеновское обследование. Эта рекомендация
основана на гипотезе, что повторное исследование не является
полностью независимым от предыдущего. Если бы повторное
было полностью независимо, то в этом случае вероятность
повторного ложноположительного диагноза можно было бы
вычислить по формуле Бейеса.
Оценка вероятности события. Выводы.
Психологические эксперименты показали, что люди часто
неверно оценивают вероятность события на основе полученного
опыта, поскольку игнорируют саму вероятность предположения.
Поэтому правильный результат по формуле Бейеса может сильно
отличаться от интуитивно ожидаемого.
Теорема показывает, как личный уровень доверия может
кардинально измениться вследствие количества наступивших
событий. В этом заключаются выводы Бейеса, которые стали
основополагающими для бейесовской статистики. Однако теорема
используется не только в бейесовском анализе, но и активно
применяется для большого ряда других расчетов.
Формула Бернулли (n мало)
Теорема 7. Пусть в испытании может произойти событие А с
вероятностью р, либо событие Ā с вероятностью (1- р). Тогда
вероятность Рn(m) того, что в серии из n одинаковых
независимых испытаний событие А произойдет ровно m раз,
определяется по формуле
Pn (m)  C  p  (1  p )
m
n
m
nm
Лечение некоторого заболевания приводит к выздоровлению в
75% случаев. Лечилось 5 больных. Какова вероятность того,
что вылечатся ровно трое? Не менее двух?
Решение:
p = 0,75; n = 5; m = 3
𝑃5 3 = 𝐶53 ∙ 0,753 ∙ 1 − 0,75
2
= 0,264
𝑃5 не менее двух = 1 − Р 0 + Р 1
1
=1−
+ 5 ∙ 0,751 ∙ 0,254 = 1 − 0,02 = 0,98
1024
•
•
Банк ежедневно обслуживает 500 клиентов. Вероятность того, что
клиент обратится за кредитом равна 0,22. Найти вероятность того,
что ровно 108 клиентов обратятся за кредитом.
Решение: p = 0,22; n = 500; m = 108; n*p = 110 >10
𝑃500 108 =
1
∙𝜑
108 − 110
= 0,108 ∙ 𝜑 −0,216
110 ∙ 0,78
110 ∙ 0,78
= 0,108 ∙ 𝜑 0,216 = 0,108 ∙ 0,3894 = 0,042
Теорема Пуассона (n·p < 10; n·p·(1-p) < 9)
Теорема 9.
Если вероятность р наступления события в каждом испытании
постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно
велико, то вероятность наступления события ровно m раз
приближенно равна
Pn (m) 
где λ = n·p.
 e
m
m!

Каждый 40-ой билет лотереи выигрышный. Куплено 125 билетов.
Какова вероятность того, что выиграет ровно 3 билета? Выиграет
хотя бы один билет?
Решение: p = 1/40 = 0,025; n = 125; m = 3; n*p = 3,125
3,1253 ∙ 𝑒 −3,125
𝑃125 3 =
= 0,224
3!
𝑃125 хотя бы один = 1 − 𝑃125 0 = 1 − 𝑒 −3,125 = 1 − 0,044
= 0,956
Интегральная теорема Лапласа (n*p > 10)
Теорема 10.
Если вероятность р наступления события в каждом испытании
постоянна, а число независимых испытаний n достаточно велико,
то вероятность наступления события не менее m1 раз и не более m2
приближенно равна
 m2  n  p 
 m1  n  p 
Pn (m1 ; m2 )   



 n  p  (1  p ) 
 n  p  (1  p ) 




где интегральная функция Лапласа Ф(х) — нечетная
Ф(-х) = -Ф(х).
Банк ежедневно обслуживает 500 клиентов. Вероятность того, что клиент обратится за
кредитом равна 0,22. Найти вероятность того, что: более 104 клиентов обратятся за
кредитом; не менее 101 и не более 113 клиентов обратятся за кредитом.
Решение: p = 0,22; n = 500, m1= 104; m2 = 500;
𝑃500 101; 113 = Ф
113 − 110
110 ∙ 0,78
= 0,12552 + 0,33398 = 0,46
𝑃500 104; 500 = Ф
500 − 110
110 ∙ 0,78
= 0,5 + 0,24215 = 0,74215
−Ф
−Ф
101 − 110
110 ∙ 0,78
104 − 110
110 ∙ 0,78
m1=101; m2 = 113
= Ф 0,32 − Ф −0,97 = Ф 0,32 + Ф 0,97
= Ф 42,1 − Ф −0,648 = Ф 42,1 + Ф 0,648
Случайные величины
Определение. Случайной называется величина,
которая в результате испытания может принимать
только одно числовое значение, зависящее от
случайных факторов и заранее непредсказуемое.
Случайные величины, как правило, обозначают через X,
Y, Z , а их значения – соответствующими маленькими
буквами с подстрочными индексами, например
X – x1, x2, …, xn, ..
Определение. Случайная величина называется
дискретной, если множество ее значений счетное.
Определение. Случайная величина называется
непрерывной, если множество ее значений
непрерывное.
Дискретная случайная величина
•
Ряд распределения
X
х1
х2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
Многоугольник распределения
P
p4
p2
p1
p5
p3
pn
x1
x2
0
x3
x4
x5
xn
X
•
•
•
•
Свойства функции распределения
•
X х1
х2 …
xn
P p1
p2 …
pn
F(x) = P(X < х1) = 0
F(x) = P(X < х2) = p1
F(x) = P(X < х3) = p1 + p2
x= х1
x= х2
x= х3
……………………………………………………………
F(x) = P(X < хn) = p1 + p2 +…+ pn-1
F(x) = P(X < хn) = 1
F(x) = P(X < x)
x= хn
x > хn
1
p1 + p2+ p3
p1 + p2
p1
х1
0
х2
х3
х4
хn
х
Мода и Медиана
Модой СВ называется значение СВ, которое
имеет наибольшую вероятность. Обозначается
Мо.
Распределение с одной модой – унимодальное,
С несколькими – полимодальное.
Медианой СВ (Ме) называется значение СВ, для
которого Р(Х< Ме) = 1/2
•
M(X) то же самое, что и Е(Х)
Свойства математического ожидания
1. Е(Const) = Const
2. E(C·X) = C·E(X)
3. E(X+Y+Z+W) =E(X) + E(Y) + E(Z) + E(W)
4. Если случайные величины X, Y и Z взаимно
независимы, то
E(X·Y·Z) = E(X)·E(Y)·E(Z)
5. Для биномиального распределения
E(X) = n·p
6. Для распределения Пуассона
E(X) = 1/λ (λ= n·p)
10 – 36,6
всего 100
15 – 37
25 – 37,5
40 – 38
10 – 38,5
Среднее = (36,6*10 + 37*15 + 37,5*25 + 38*40 + 38,5*10)/100 = 36,6*0,1 +
37*0,15 + 37,5*0,25 + …
Е С = С ∙ 𝑝1 + С ∙ 𝑝2 + ⋯ + С ∙ 𝑝𝑛 = 𝐶 ∙ 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑛 = 𝐶
Е С ∙ 𝑋 = С ∙ 𝑥1 ∙ 𝑝1 + С ∙ 𝑥2 ∙ 𝑝2 + ⋯ + С ∙ 𝑥𝑛 ∙ 𝑝𝑛
= 𝐶 ∙ 𝑥1 ∙ 𝑝1 + 𝑥2 ∙ 𝑝2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ∙ 𝑝𝑛 = 𝐶 ∙ 𝐸(𝑋)
E(X)
•
𝑛
(𝑥𝑘 − 𝐸 𝑋 )2 ∙ 𝑝𝑘
𝐷 𝑋 =
𝑘=1
𝑛
(𝑥𝑘2 − 2𝑥𝑘 ∙ 𝐸 𝑋 + (𝐸 𝑋 )2 ) ∙ 𝑝𝑘
=
𝑘=1
𝑛
𝑛
𝑥𝑘2
=
𝑘=1
=𝐸 𝑋
=𝐸 𝑋
∙ 𝑝𝑘 −
2𝑥𝑘 ∙ 𝐸 𝑋 ∙ 𝑝𝑘 +
𝑘=1
2
2
𝑛
−2 𝐸 𝑋
𝑘=1
𝑛
− 2𝐸 𝑋 ∙
𝐸 𝑋
𝑥𝑘 ∙ 𝑝𝑘 + 𝐸 𝑋
𝑘=1
2
+ 𝐸 𝑋
2
2
2
∙ 𝑝𝑘
𝑛
∙
𝑝𝑘
𝑘=1
=𝐸 𝑋
2
− 𝐸 𝑋
2
Свойства дисперсии
1. D(X) ≥ 0
2. D(Const) = 0
3. D(C·X) = C2·D(X)
4. Если случайные величины X, Y и Z взаимно независимы,
то
D(X+Y+Z) = D(X) + D(Y) + D(Z)
5. Для биномиального распределения
D(X) = n·p·(1-p)
6. Для распределения Пуассона
D(X) = 1/λ2 (λ= n·p)
𝑛
𝐷 𝐶 =
𝑛
2
𝐶−𝐸 𝐶
𝑘=1
𝑛
𝐷 𝐶∙𝑋 =
𝑛
=
=
(𝐶 − 𝐶)2 ∙ 𝑝𝑘 = 0
∙ 𝑝𝑘 =
𝑘=1
𝐶 ∙ 𝑥𝑘 − 𝐸 𝐶 ∙ 𝑋
2
∙ 𝑝𝑘
𝑘=1
𝐶 ∙ 𝑥𝑘 − 𝐶 ∙ 𝐸 𝑋
𝑘=1
𝐶 2 ∙ 𝐷(𝑋)
𝑛
2
∙ 𝑝𝑘 =
𝐶2
∙
𝑥𝑘 − 𝐸 𝑋
𝑘=1
2
∙ 𝑝𝑘
Определение: среднеквадратическим
отклонением (стандартное отклонение)
случайной величины X называется
 ( Х )  D( Х )
Комментарий. СВ Х всегда имеет размерность
(ед.изм), тогда размерность дисперсии (ед.изм)^2,
а размерность среднеквадратического отклонения
– (ед.изм)
Пример
Построить график функции распределения
вероятностей для с.в. Х и найти Р(-2 ≤ X<5) и
Р(0 ≤ X<8,5)
Найти дисперсию случайной величины
Z = 2X – 3Y + 5,
где случайные величины X и Y независимы и
заданы следующими законами распределения
X
-3
-1
0
4
P
0,1 0,2 0,3 0,15
7
0,25
Y
1
P 0,15
2
3,5
0,35
5
0,3
X
P
-3 -1
0
4
0,1 0,2 0,3 0,15
7
0,25
F(x) = P(X < x)
1
0,75
0,6
0,3
0,1
-3
-1
0
4
7
х
Р(-2 ≤ X<5) = 0,2 + 0,3 + 0,15 = 0,65
Р(0 ≤ X<8,5) = 0,7
D(Z) = D(2X – 3Y + 5) = D(2X) + D(-3Y) + D(5) = 4D(X) + 9D(Y) = 4*12,3275 + 9*2,0118 =
67,4162
E(X) = -3*0,1 + (-1)*0,2 + 0*0,3 + 4*0,15 + 7*0,25 = 1,85
E(Y) = 1*0,15 + 2*0,2 + 3,5*0,35 + 5*0,3 = 3,275
E(X^2) = (-3)^2*0,1 + (-1)^2*0,2 + 0^2*0,3 + 4^2*0,15 + 7^2*0,25 = 15,75
E(Y^2) = 1^2*0,15 + 2^2*0,2 + 3,5^2*0,35 + 5^2*0,3 = 12,7375
D(X) = 15,75 – (1,85)^2 = 12,3275
D(Y) = 12,7375 - (3,275)^2 = 2,0118
X
-3
-1
0
4
7
Y
1
P
0,1
0,2
0,3
0,15
0,25
P
0,15
2
0,2
3,5
5
0,35
0,3
Моменты случайной величины
Определение: Начальным моментом k-го порядка случайной
величины Х называется математическое ожидание k-ой степени
этой величины:
𝜈𝑘 = 𝐸(𝑋 𝑘 )
Для дискретной случайной величины
𝜈𝑘 =
𝑥𝑖𝑘 ∙ 𝑝𝑖 ,
если 𝜈𝑘 = 𝑥𝑖𝑘 ∙ 𝑝𝑖 < +∞
Для непрерывной случайной величины
+∞
𝑥 𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ,
𝜈𝑘 =
−∞
если 𝜈𝑘 =
+∞
−∞
𝑥 𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 < +∞
Моменты случайной величины
Определение: Центральным моментом k-го порядка
случайной величины Х называется математическое ожидание
k-ой степени отклонения этой величины от ее математического
ожидания:
𝜇𝑘 = 𝐸((𝑋 − 𝐸 𝑋 )𝑘 )
Для дискретной случайной величины
𝜇𝑘 =
𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋)
𝑘
∙ 𝑝𝑖 ,
Для непрерывной случайной величины
+∞
(𝑥 − 𝐸(𝑋))𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ,
𝜇𝑘 =
−∞
Ассиметрия (skewness)
Симметричным является распределение, в котором
вероятности любых двух значений, равноотстоящих в обе
стороны от центра распределения, равны между собой. Для
симметричных распределений имеет место равенство
математического ожидания, моды (для унимодальных
распределений) и медианы.
Степень асимметрии можно оценить с помощью
показателя (коэффициента)
асимметрии.
n
As 
  x  E( X )
i 1
i
3
 pi
3

As 
  x  E( X )

3
3
f ( x)dx
Ассиметрия (skewness)
Величина коэффициента асимметрии As может быть
положительной и отрицательной.
Положительная величина коэффициента асимметрии
указывает на наличие правосторонней асимметрии. При
правосторонней асимметрии существует соотношение:
Мо < Me < Е(Х)
Отрицательная величина коэффициента асимметрии
указывает на наличие левосторонней асимметрии. При
левосторонней асимметрии существует соотношение:
Мо > Me > Е(Х)
Если |As |<0,25, то асимметрия считается незначительной;
если 0,25 <|As |<0,5, то асимметрия считается умеренной;
если |As |>0,5, асимметрия значительна.
n
As 

  x  E( X )
i 1
i
3
3
 pi

1
3
x
n
3
i
i 1
3
3



3





3



1 
1
2
1
3
3
1
1

3
 3 xi2  E ( X )  3 xi  E 2 ( X )  E 3 ( X )   pi 

3

2





3

1 
2
1
3
𝜈𝑘 = 𝐸(𝑋 𝑘 )
f(x)
As>0
Mo
As<0
Mo
x
Эксцесс (kurtosis)
Для симметричных распределений рассчитывается показатель
эксцесса (островершинности) Ex.
n
Ex 
  x  E( X )
i 1
i

4
 pi
4
3

Ex 
  x  E( X )


4
4
f ( x)dx
3
У нормального распределения, Ex = 0. Если Ex > 0, то это
означает, что график плотности вероятностей f (x) сильнее
“заострен”, чем у нормального распределения, если же Ex < 0, то
“заостренность” графика f(x) меньше, чем у нормального
распределения.
n
Ex 

  xi  E ( X ) 
i 1
4
4
 pi
3 
1
4
x
n
i 1
4
i
 4 xi3  E ( X )  6 xi2  E 2 ( X )  4 xi  E 3 ( X )  E 4 ( X )   pi  3 
2
4
4


4




6




4




3
4
3
1
2
1
1
1
4
4
1
1

4

4
 4 3  1  6 2  12  3 14   3
Пример
1. Вычислить коэффициент ассиметрии для
случайной величины X, заданной законом
распределения
X
P
-3 -1
0,1 0,2
0
0,3
4
7
0,15 0,25
2. Вычислить эксцесс для случайной величины X,
заданной законом распределения
X
P
-3 -1
0,1 0,2
0
0,4
1
0,2
3
0,1
Непрерывная случайная величина
Определение: Случайная величина Х называется
непрерывной, если множество ее значений полностью
заполняет некоторый отрезок числовой оси (конечный или
бесконечный)
Определение: Функцией распределения вероятностей
непрерывной случайной величины Х называется функция
F(x),
F(x) = P(X<x),
Свойства функции распределения
1. Определена при x ϵ (-∞; +∞)
2. 0 ≤ F(x) ≤ 1
3. F(x) – неубывающая функция для x ϵ (-∞; +∞)
4. Вероятность попадания случайной величины Х в
интервал (a, b)
P(a<X<b) = F(b) – F(a)
5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х
примет какое-либо конкретное значение равна 0
6. F(-∞) = 0, F(+∞) = 1
Плотность распределения вероятностей
Определение: плотностью распределения
вероятностей (дифференциальной функцией
распределения) непрерывной случайной величины
Х называется
f(x) = F′(x)
График функции f(x) называется кривой
распределения непрерывной случайной величины
Х.
Свойства плотности распределения вероятностей
1. f(x) ≥ 0 для x ϵ (-∞; +∞)
2. Функция распределения
x
F ( x) 
b
3. P(a<X<b) =
 f ( x)dx
 f ( x)dx

 F (b)  F (a )
a
4. Условие нормировки

 f ( x)dx  1

Определение: математическим ожиданием
непрерывной случайной величины Х называется

E( Х ) 
 x  f ( x)dx

Определение: дисперсией непрерывной случайной
величины Х называется

D( X ) 
 ( x  E ( X ))
2
f ( x)dx


D( X ) 
x

2
f ( x)dx  ( E ( X ))
2
Определение: средним квадратическим
отклонением непрерывной случайной величины Х
называется
𝜎(𝑋) =
𝐷(𝑋)
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое
отклонение случайной величины, заданной функцией распределения
вероятностей
0,
𝑓 𝑥 =𝐹 𝑥 =
0
𝐸 𝑋 =
8
𝑥 ∙ 0𝑑𝑥 +
−∞
0
𝐸 𝑋2 =
0
8
𝑥 2 ∙ 0𝑑𝑥 +
−∞
0
𝑥
,
32
0,
𝑥<0
0≤𝑥≤8
𝑥>8
𝑥
𝑥 ∙ 𝑑𝑥 +
32
𝑥
2
𝑥 ∙ 𝑑𝑥 +
32
16
𝐷 𝑋 = 32 −
3
2
+∞
𝑥 3 8 16
𝑥 ∙ 0𝑑𝑥 =
=
96 0
3
8
+∞
8
32
=
9
4
𝑥
8
2
𝑥 ∙ 0𝑑𝑥 =
= 32
128 0
4 2
𝜎=
3
Распределения случайных величин
1. Равномерное распределение
2. Показательное распределение
3. Нормальное распределение
Равномерное распределение
Определение: равномерным называется
распределение непрерывной случайной величины
х ϵ [a, b], плотность распределения вероятностей
которой имеет вид:
при x  a
0,
 1

f ( x)  
, при a  x  b
b  a
при x  b
0,
при x  a
0,
 1

f ( x)  
, при a  x  b
b  a
при x  b
0,
Условие нормировки
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
+∞
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−∞
−∞
+∞
𝑏
0𝑑𝑥 +
−∞
𝐶𝑑𝑥 +
𝑎
𝑏
0𝑑𝑥 = 𝐶 ∙
𝑏
1
𝐶=
𝑏−𝑎
𝑑𝑥 = 𝐶 ∙ 𝑥
𝑎
0,
𝑥
𝑥
𝐹 𝑥 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−∞
𝑎
1
1
𝑑𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑏−𝑎
𝑎
𝐹 𝑥 =
𝑎
𝑥<𝑎
1
𝑥
𝑥−𝑎
𝑑𝑥 =
𝑥 =
,𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝑏−𝑎
𝑎
𝑏−𝑎
𝑏
0𝑑𝑥 +
−∞
𝑥
𝑏
=𝐶 𝑏−𝑎 =1
𝑎
𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑎
0,
𝑥−𝑎
,
𝑏−𝑎
1,
0𝑑𝑥 = 1,
𝑏
𝑥<𝑎
𝑎≤𝑥≤𝑏
𝑥>𝑏
𝑥>𝑏
График плотности вероятностей
равномерного распределения
f(x)
0
a
b
x
Функция распределения
при x  a
0,
x a

F ( x)  
, при a  x  b
b  a
при x  b
1,
График функции распределения
F(x)
1
𝑦=
0
𝑥−𝑎
𝑏−𝑎
a
b
x
при x  a
0,
 1

f ( x)  
, при a  x  b
b

a

при x  b
0,
+∞
𝐸 𝑋 =
𝑏2
𝑎
𝑥 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑥 ∙ 0𝑑𝑥 +
−∞
− 𝑎2
−∞
+∞
𝑎
𝑎
1
𝑥∙
𝑑𝑥 +
𝑏−𝑎
+∞
𝑏
1
𝑥2 𝑏
𝑥 ∙ 0𝑑𝑥 =
∙
𝑏−𝑎 2 𝑎
𝑏+𝑎
=
=
2 𝑏−𝑎
2
𝐸 𝑋2 =
𝑏3
−∞
𝑎3
𝑥 2 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−
=
=
3 𝑏−𝑎
𝑏2
+ 𝑏𝑎 +
3
𝑎2
𝑏
𝑥 2 ∙ 0𝑑𝑥 +
−∞
𝑎
1
𝑥2 ∙
𝑑𝑥 +
𝑏−𝑎
2
+∞
𝑏
3 𝑏
1
𝑥
𝑥 2 ∙ 0𝑑𝑥 =
∙
𝑏−𝑎 3 𝑎
𝑏2 + 𝑏𝑎 + 𝑎2
𝑏+𝑎
𝑏2 + 𝑏𝑎 + 𝑎2 𝑏2 + 2𝑏𝑎 + 𝑎2
2
2
𝐷 𝑋 =𝐸 𝑋 −𝐸 𝑋 =
−
=
−
3
2
3
4
𝑏2 − 2𝑏𝑎 + 𝑎2 (𝑏 − 𝑎)2
=
=
12
12
𝑏−𝑎
𝜎= 𝐷 𝑋 =
2 3
Числовые характеристики
ab
E( Х ) 
,
2
2

b  a
D( Х ) 
12
ba
 (Х ) 
2 3
d c
P (c  X  d ) 
, с;d  a;b
ba
Пример
Случайная величина распределена равномерно на
отрезке [-1; 4]. Найти:
- f(x);
- F(x);
- E(X), D(X), σ(X);
- P(0<X<3), P(-2<X<3), P(1<X<7).
График плотности вероятностей
равномерного распределения
P(0<X<3) = 3/5 площадь прямоугольника
f(x)
P(-2<X<3) = P(-2; -1) +P(-1;3) = 0 + 4/5 = 4/5
P(1<X<7) = P(1;4) + P(4;7) = 3/5 + 0 = 3/5
1/5
-2
-1 0 1
3 4
7
x
Показательное распределение
Определение: показательным называется
распределение непрерывной случайной величины
х ϵ [0, +∞), плотность распределения вероятностей
которой имеет вид:
при x  0
0,
f ( x)  
 x


e
, при x  0

График плотности вероятностей
показательного распределения
f(x)
λ
0
x
при x  0
0,
f ( x)  
 x


e
, при x  0

0,
𝑥
𝐹 𝑥 =
𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−∞
𝜆∙𝑒
−𝜆𝑥
𝑑𝑥 = −𝑒
0
𝐹 𝑥 =
−𝜆𝑥
при 𝑥 < 0
𝑥
= −𝑒 −𝜆𝑥 − −1 = 1 − 𝑒 −𝜆𝑥 ,
0
0,
при 𝑥 < 0
1 − 𝑒 −𝜆𝑥 ,
при 𝑥 ≥ 0
при 𝑥 ≥ 0
Функция распределения
при x  0
0,
F ( x)  
 x
1  e , при x  0
График функции распределения
F(x)
1
0
x
Числовые характеристики
+∞
𝐸 𝑋 =
+∞
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 +
−∞
= −𝑥 ∙ 𝑒 −𝜆𝑥
𝐷 𝑋 =𝐸
0
+∞
+
0
𝑋2
−
𝐸2
+∞
𝑢=𝑥
𝑑𝑣 = 𝜆 ∙ 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥
−𝜆𝑥
𝜆𝑥 ∙ 𝑒 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 = −𝑒 −𝜆𝑥
𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 =
0
−𝑥 +∞ 1 −𝜆𝑥 +∞ 1
− 𝑒
=
𝜆
0
𝜆
𝑒 𝜆𝑥 0
2
1
1
𝑋 = 2− 2 = 2,
𝜆
𝜆
𝜆
𝜎=
1
𝐷 𝑋 =
𝜆
𝑢 = 𝑥2
−𝜆𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑣
=
𝜆
∙
𝑒
2
2
2
−𝜆𝑥
𝐸 𝑋 =
𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 +
𝜆𝑥 ∙ 𝑒
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
−∞
0
𝑣 = −𝑒 −𝜆𝑥
𝑢=𝑥
+∞
−𝜆𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑑𝑣
=
𝑒
+∞
1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
= −𝑥 2 ∙ 𝑒 −𝜆𝑥
+2
𝑥𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 =
=2 0+
𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥
0
𝜆
1
−𝜆𝑥
0
0
𝑣=− 𝑒
𝜆
2 −𝜆𝑥 +∞
2
= − 2𝑒
= 2
𝜆
0
𝜆
+∞
+∞
Числовые характеристики
при x  0
0,
F ( x)  
 x
, при x  0
1  e
𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 1 − 𝑒 −𝑏𝜆 − 1 − 𝑒 −𝑎𝜆 = 𝑒 −𝑎𝜆 − 𝑒 −𝑏𝜆 ,
при 𝑎 ≥ 0
𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 1 − 𝑒 −𝑏𝜆 − 0 = 1 − 𝑒 −𝑏𝜆 ,
при 𝑎 < 0
1
1
2
𝐴𝑠 = 3 𝜈3 − 3𝜈1 𝜈2 + 2𝜈13 , 𝜈1 = , 𝜈2 = 2
𝜎
𝜆
𝜆
1
6
6
2
𝐴𝑠 = 3 𝜈3 − 3𝜈1 𝜈2 + 2𝜈13 = 𝜆3 3 − 3 + 3 = 2
𝜎
𝜆
𝜆
𝜆
𝑢 = 𝑥3
+∞
+∞
−𝜆𝑥
𝜈3 = 𝐸 𝑋 3 =
𝑥 3 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 +
𝜆𝑥 3 ∙ 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣 = 𝜆 ∙ 𝑒 2 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 3𝑥 𝑑𝑥
−∞
0
𝑣 = −𝑒 −𝜆𝑥
𝑢 = 𝑥2
+∞
+∞
𝑑𝑣 = 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥
+∞
2
= −𝑥 3 ∙ 𝑒 −𝜆𝑥
+3
𝑥 2 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 = 3 0 +
𝑥𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥
0
𝜆
1 −𝜆𝑥
0
0
𝑣=− 𝑒
𝜆
𝑢=𝑥
−𝜆𝑥 𝑑𝑥
+∞
𝑑𝑣
=
𝑒
6
6
1
6
+∞
6
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
=
=
0+
𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑒 −𝜆𝑥
= 3
𝜆
𝜆
𝜆
𝜆
0
𝜆
1 −𝜆𝑥
0
𝑣=− 𝑒
𝜆
Числовые характеристики
E ( x) 
D( x) 
 ( x) 
1

,
1
2
1

P ( a  X  b)  e
P(a<X<b) = F(b) – F(a)
 a
e
 b
, a0
Пример
Случайная величина распределена по показательному закону с
параметром λ = 2. Найти:
- f(x);
0, при 𝑥 < 0
𝑓 𝑥 =
2𝑒 −2𝑥 , при 𝑥 ≥ 0
- F(x);
0, при 𝑥 < 0
𝐹 𝑥 =
1 − 𝑒 −2𝑥 , при 𝑥 ≥ 0
- E(X) = 1/2, D(X) = 1/4, σ(X) = 1/2;
- P(0<X<3) =𝑒 0 − 𝑒 −6 =1- 𝑒 −6 ,
- P(-2<X<3) = P(-2<X<0) + P(0<X<3) = 1 −𝑒 −6 .
Нормальное распределение
Определение: нормальным называется
распределение непрерывной случайной величины
х ϵ (-∞, +∞), плотность распределения
вероятностей которой имеет вид:

1
f ( x) 
e
 2
( xm)2
2 2
m – математическое ожидание,
σ – среднеквадратическое отклонение
В начале ХХ века бельгийский математик,
астроном и социолог Адольф Кетле одним из
первых применил нормальный закон к анализу
биологических и социальных процессов. Изучая
распределение солдат американской армии по
росту, Адольф Кетле обратил внимание, что
распределение роста подчиняется нормальному
закону.
Экспериментально доказано, что нормальному закону подчиняются погрешности
измерений и отклонения геометрических размеров.
В настоящее время нормальное распределение широко используется в биологии,
медицине, экономике и других областях науки.
Распределению Гаусса подчиняются почти все случайные величины, отклонение
которых от средних значений вызывается большой совокупностью случайных факторов,
каждый из которых в отдельности незначителен
График плотности вероятностей
нормального распределения (N(m, σ))
f(x)
1
 2
0
m
x
Функция распределения
 xm 1
F ( x )  Ф

   2
1
Ф x  
2
x
e
0
t2
2
dt
- функция Лапласа
нечетная
Ф(-х) = -Ф(х)
График функции Лапласа
Ф(x)
1/2
0
-1/2
x
График функции нормального распределения
F(x)
1
1/2
0
x
Числовые характеристики
E ( x)  m,
D( x)  
2
 ( x)  
bm
am
P ( a  X  b )  Ф
  Ф

  
  
 
P ( X  m   )  2  Ф 
 
Закон 3-х сигма
P(|X-m|<3σ) = 2*Ф(3σ/σ) = 2*Ф(3) = 2*0,49865 = 0,9973
Таблица значений локальной функции Лапласа
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,3989
0,3989
0,3989
0,3988
0,3986
0,3984
0,3982
0,3980
0,3977
0,3973
0,1
0,3970
0,3965
0,3961
0,3956
0,3951
0,3945
0,3939
0,3932
0,3925
0,3918
0,2
0,3910
0,3902
0,3894
0,3885
0,3876
0,3867
0,3857
0,3847
0,3836
0,3825
0,3
0,3814
0,3802
0,3790
0,3778
0,3765
0,3752
0,3739
0,3725
0,3712
0,3697
0,4
0,3683
0,3668
0,3653
0,3637
0,3621
0,3605
0,3589
0,3572
0,3555
0,3538
0,5
0,3521
0,3503
0,3485
0,3467
0,3448
0,3429
0,3410
0,3391
0,3372
0,3352
0,6
0,3332
0,3312
0,3292
0,3271
0,3251
0,3230
0,3209
0,3187
0,3166
0,3144
0,7
0,3123
0,3101
0,3079
0,3056
0,3034
0,3011
0,2989
0,2966
0,2943
0,2920
0,8
0,2897
0,2874
0,2850
0,2827
0,2803
0,2780
0,2756
0,2732
0,2709
0,2685
0,9
0,2661
0,2637
0,2613
0,2589
0,2565
0,2541
0,2516
0,2492
0,2468
0,2444
1,0
0,2420
0,2396
0,2371
0,2347
0,2323
0,2299
0,2275
0,2251
0,2227
0,2203
1,1
0,2179
0,2155
0,2131
0,2107
0,2083
0,2059
0,2036
0,2012
0,1989
0,1965
1,2
0,1942
0,1919
0,1895
0,1872
0,1849
0,1826
0,1804
0,1781
0,1758
0,1736
1,3
0,1714
0,1691
0,1669
0,1647
0,1626
0,1604
0,1582
0,1561
0,1539
0,1518
1,4
0,1497
0,1476
0,1456
0,1435
0,1415
0,1394
0,1374
0,1354
0,1334
0,1315
1,5
0,1295
0,1276
0,1257
0,1238
0,1219
0,1200
0,1182
0,1163
0,1145
0,1127
1,6
0,1109
0,1092
0,1074
0,1057
0,1040
0,1023
0,1006
0,0989
0,0973
0,0957
1,7
0,0940
0,0925
0,0909
0,0893
0,0878
0,0863
0,0848
0,0833
0,0818
0,0804
1,8
0,0790
0,0775
0,0761
0,0748
0,0734
0,0721
0,0707
0,0694
0,0681
0,0669
1,9
0,0656
0,0644
0,0632
0,0620
0,0608
0,0596
0,0584
0,0573
0,0562
0,0551
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2,0
0,0540
0,0529
0,0519
0,0508
0,0498
0,0488
0,0478
0,0468
0,0459
0,0449
2,1
0,0440
0,0431
0,0422
0,0413
0,0404
0,0396
0,0387
0,0379
0,0371
0,0363
2,2
0,0355
0,0347
0,0339
0,0332
0,0325
0,0317
0,0310
0,0303
0,0297
0,0290
2,3
0,0283
0,0277
0,0270
0,0264
0,0258
0,0252
0,0246
0,0241
0,0235
0,0229
2,4
0,0224
0,0219
0,0213
0,0208
0,0203
0,0198
0,0194
0,0189
0,0184
0,0180
2,5
0,0175
0,0171
0,0167
0,0163
0,0158
0,0154
0,0151
0,0147
0,0143
0,0139
2,6
0,0136
0,0132
0,0129
0,0126
0,0122
0,0119
0,0116
0,0113
0,0110
0,0107
2,7
0,0104
0,0101
0,0099
0,0096
0,0093
0,0091
0,0088
0,0086
0,0084
0,0081
2,8
0,0079
0,0077
0,0075
0,0073
0,0071
0,0069
0,0067
0,0065
0,0063
0,0061
2,9
0,0060
0,0058
0,0056
0,0055
0,0053
0,0051
0,0050
0,0048
0,0047
0,0046
3,0
0,0044
0,0043
0,0042
0,0040
0,0039
0,0038
0,0037
0,0036
0,0035
0,0034
3,1
0,0033
0,0032
0,0031
0,0030
0,0029
0,0028
0,0027
0,0026
0,0025
0,0025
3,2
0,0024
0,0023
0,0022
0,0022
0,0021
0,0020
0,0020
0,0019
0,0018
0,0018
3,3
0,0017
0,0017
0,0016
0,0016
0,0015
0,0015
0,0014
0,0014
0,0013
0,0013
3,4
0,0012
0,0012
0,0012
0,0011
0,0011
0,0010
0,0010
0,0010
0,0009
0,0009
3,5
0,0009
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
0,0007
0,0007
0,0007
0,0007
0,0006
3,6
0,0006
0,0006
0,0006
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0004
3,7
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
3,8
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
3,9
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001
Таблица значений функции Пуассона
Таблица значений интегральной функции Лапласа
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
0
0
0,5
0,19146
0,25
0,09871
0,75
0,27337
0,01
0,00399
0,51
0,19497
0,26
0,10257
0,76
0,27637
0,02
0,00798
0,52
0,19847
0,27
0,10642
0,77
0,27935
0,03
0,01197
0,53
0,20194
0,28
0,11026
0,78
0,2823
0,04
0,01595
0,54
0,2054
0,29
0,11409
0,79
0,28524
0,05
0,01994
0,55
0,20884
0,3
0,11791
0,8
0,28814
0,06
0,02392
0,56
0,21226
0,31
0,12172
0,81
0,29103
0,07
0,0279
0,57
0,21566
0,32
0,12552
0,82
0,29389
0,08
0,03188
0,58
0,21904
0,33
0,1293
0,83
0,29673
0,09
0,03586
0,59
0,2224
0,34
0,13307
0,84
0,29955
0,1
0,03983
0,6
0,22575
0,35
0,13683
0,85
0,30234
0,11
0,0438
0,61
0,22907
0,36
0,14058
0,86
0,30511
0,12
0,04776
0,62
0,23237
0,37
0,14431
0,87
0,30785
0,13
0,05172
0,63
0,23565
0,38
0,14803
0,88
0,31057
0,14
0,05567
0,64
0,23891
0,39
0,15173
0,89
0,31327
0,15
0,05962
0,65
0,24215
0,4
0,15542
0,9
0,31594
0,16
0,06356
0,66
0,24537
0,41
0,1591
0,91
0,31859
0,17
0,06749
0,67
0,24857
0,42
0,16276
0,92
0,32121
0,18
0,07142
0,68
0,25175
0,43
0,1664
0,93
0,32381
0,19
0,07535
0,69
0,2549
0,44
0,17003
0,94
0,32639
0,2
0,07926
0,7
0,25804
0,45
0,17364
0,95
0,32894
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
1
0,34134
1,5
0,43319
1,25
0,39435
1,75
0,45994
1,01
0,34375
1,51
0,43448
1,26
0,39617
1,76
0,4608
1,02
0,34614
1,52
0,43574
1,27
0,39796
1,77
0,46164
1,03
0,34849
1,53
0,43699
1,28
0,39973
1,78
0,46246
1,04
0,35083
1,54
0,43822
1,29
0,40147
1,79
0,46327
1,05
0,35314
1,55
0,43943
1,3
0,4032
1,8
0,46407
1,06
0,35543
1,56
0,44062
1,31
0,4049
1,81
0,46485
1,07
0,35769
1,57
0,44179
1,32
0,40658
1,82
0,46562
1,08
0,35993
1,58
0,44295
1,33
0,40824
1,83
0,46638
1,09
0,36214
1,59
0,44408
1,34
0,40988
1,84
0,46712
1,1
0,36433
1,6
0,4452
1,35
0,41149
1,85
0,46784
1,11
0,3665
1,61
0,4463
1,36
0,41309
1,86
0,46856
1,12
0,36864
1,62
0,44738
1,37
0,41466
1,87
0,46926
1,13
0,37076
1,63
0,44845
1,38
0,41621
1,88
0,46995
1,14
0,37286
1,64
0,4495
1,39
0,41774
1,89
0,47062
1,15
0,37493
1,65
0,45053
1,4
0,41924
1,9
0,47128
1,16
0,37698
1,66
0,45154
1,41
0,42073
1,91
0,47193
1,17
0,379
1,67
0,45254
1,42
0,4222
1,92
0,47257
1,18
0,381
1,68
0,45352
1,43
0,42364
1,93
0,4732
1,19
0,38298
1,69
0,45449
1,44
0,42507
1,94
0,47381
1,2
0,38493
1,7
0,45543
1,45
0,42647
1,95
0,47441
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
2
0,47725
2,5
0,49379
3
0,49865
2,02
0,47831
2,52
0,49413
3,05
0,49886
2,04
0,47932
2,54
0,49446
3,1
0,49903
2,06
0,4803
2,56
0,49477
3,15
0,49918
2,08
0,48124
2,58
0,49506
3,2
0,49931
2,1
0,48214
2,6
0,49534
3,25
0,49942
2,12
0,483
2,62
0,4956
3,3
0,49952
2,14
0,48382
2,64
0,49585
3,35
0,4996
2,16
0,48461
2,66
0,49609
3,4
0,49966
2,18
0,48537
2,68
0,49632
3,45
0,49972
2,2
0,4861
2,7
0,49653
3,5
0,49977
2,22
0,48679
2,72
0,49674
3,55
0,49981
2,24
0,48745
2,74
0,49693
3,6
0,49984
2,26
0,48809
2,76
0,49711
3,65
0,49987
2,28
0,4887
2,78
0,49728
3,7
0,49989
2,3
0,48928
2,8
0,49744
3,75
0,49991
2,32
0,48983
2,82
0,4976
3,8
0,49993
2,34
0,49036
2,84
0,49774
3,85
0,49994
2,36
0,49086
2,86
0,49788
3,9
0,49995
2,38
0,49134
2,88
0,49801
3,95
0,49996
2,4
0,4918
2,9
0,49813
4
0,49997