Макарычев С.В. Основы физических знаний

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
С.В. Макарычев, А.А. Лёвин
ОСНОВЫ
ФИЗИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ
Рекомендовано учебно-методическим советом при УМО
по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению высшего профессионального
образования 020700 – «Почвоведение»
Барнаул
Издательство АГАУ
2008
1
УДК 537.8(076.5)
Рецензенты:
кандидат физ.-мат. наук, доктор педагогических наук, декан
физического факультета БГПУ А.В. Овчаров;
кандидат технических наук, зав. кафедрой инженерных сооружений ФГОУ ВПО АГАУ С.П. Щеглов.
Макарычев С.В. Основы физических знаний: учебное пособие / С.В. Макарычев, А.А. Лёвин. – Барнаул: Изд-во АГАУ,
2008. – 275 с.
ISBN 978-5-94485-126-0
Учебное издание содержит основные понятия, постулаты и
законы науки о природе – физики. Состоит из семи разделов:
механики, молекулярной физики, электричества, магнетизма,
колебаний и волн, оптики, атомной, ядерной физики и физики
элементарных частиц. Создано в соответствии с учебной программой курса «Физика» для аграрных вузов.
Изложены как классические сведения, так и современные
представления о физических явлениях, особенно из области
элементарных частиц.
Предназначено для студентов очного и заочного отделений
инженерных, биологических и экономических специальностей.
ISBN 978-5-94485-126-0
 Макарычев С.В., Лёвин А.А., 2008
 ФГОУ ВПО АГАУ, 2008
 Издательство АГАУ, 2008
2
Содержание
Предисловие
Глава 1. Механика
1.1. Кинематика материальной точки
1.1.1. Основные понятия и законы прямолинейного движения
1.1.2. Скорость материальной точки
1.1.3. Ускорение материальной точки и его составляющие
1.1.4. Основные понятия и законы вращательного движения
1.2. Динамика поступательного движения тел
1.2.1. Основные понятия и законы динамики
1.2.2. Динамика системы материальных точек.
Закон сохранения импульса
1.2.3. Движение тел переменной массы.
Уравнение Мещерского
1.2.4. Сила трения
1.2.5. Сила упругости
1.2.6. Сила гравитационного взаимодействия (тяготения)
1.2.7. Работа и мощность
1.2.8. Механическая энергия
1.3. Динамика вращательного движения твердого тела
1.3.1. Основные понятия
1.3.2. Основное уравнение динамики
вращательного движения
1.3.3. Кинетическая энергия вращательного движения
1.4. Элементы гидростатики и гидродинамики
1.4.1. Основные понятия гидростатики
и гидродинамики. Законы Паскаля и Архимеда
1.4.2. Уравнение неразрывности струи
1.4.3. Уравнение Бернулли
Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ
ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
2.1. Молекулярная физика
2.1.1. Основные понятия молекулярной физики
2.1.2. Молекулярно-кинетическая теория газов
2.1.2.1. Законы идеального газа
2.1.2.2. Основное уравнение
молекулярно-кинетической теории газов
3
8
9
9
9
11
12
14
17
17
19
21
22
24
25
27
29
33
33
36
38
38
38
42
43
46
46
46
48
49
52
2.1.3. Статистические закономерности
молекулярной физики
2.1.3.1. Распределение энергии по степеням свободы
2.1.3.2. Распределение Больцмана.
Барометрическая формула
2.1.3.3. Распределение Максвелла
2.1.3.4. Опыт Штерна
2.1.4. Явления переноса в газах или физическая кинетика
2.1.4.1. Основные понятия физической кинетики
2.1.4.2. Диффузия
2.1.4.3. Теплопроводность
2.1.4.4. Внутреннее трение
2.2. Термодинамика
2.2.1. Основные понятия термодинамики
2.2.2. Применение первого начала термодинамики
к изопроцессам
2.2.2.1. Изохорный процесс
2.2.2.2. Изобарный процесс
2.2.2.3. Изотермический процесс
2.2.3. Адиабатный процесс. Уравнение Пуассона
2.2.4. Тепловая машина. Цикл Карно
2.2.5. Энтропия. Второе начало термодинамики
2.3. Свойства агрегатных состояний вещества
или свойства реальных газов, жидкостей и твердых тел
2.3.1. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса
2.3.2. Жидкости и их свойства
2.3.2.1. Поверхностное натяжение
2.3.2.2. Смачивание. Капиллярные явления
2.3.2.3. Испарение
2.3.3. Твердые тела
2.3.3.1. Свойства твердых тел
Глава 3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
3.1. Электростатика
3.1.1. Основные понятия
3.1.2. Закон Кулона
3.1.3. Напряженность электростатического поля
3.1.4. Теорема Остроградского-Гаусса
3.1.5. Работа электростатического поля
4
55
55
56
58
60
61
61
64
65
66
67
67
70
70
71
72
73
75
77
80
80
86
88
91
93
93
95
100
100
100
101
102
104
106
3.1.6. Потенциал электростатического поля
3.1.7. Электроемкость
3.1.8. Энергия электростатического поля
3.2. Электродинамика
3.2.1. Основные понятия
3.2.2. Закон Ома для однородного участка цепи
3.2.3. Закон Ома для неоднородного участка цепи
3.2.4. Законы Кирхгофа
3.2.5. Работа и мощность тока
3.2.6. Закон Джоуля-Ленца
3.2.7. Электрические токи в различных средах
ГЛАВА 4. МАГНЕТИЗМ
4.1. Магнитное поле
4.1.1. Основные характеристики магнитного поля
4.1.2. Закон Био-Савара-Лапласа
4.1.3. Магнитная индукция соленоида и тороида
4.1.4. Закон Ампера
4.1.5. Сила Лоренца
4.1.6. Эффект Холла
4.1.7. Работа в магнитном поле
4.2. Электромагнитная индукция
4.2.1. Закон электромагнитной индукции
4.2.2. Самоиндукция
4.2.3. Взаимная индукция
4.2.4. Энергия магнитного поля
4.3. Переменный ток
4.3.1. Получение переменного тока
4.3.2. Закон Ома для цепей переменного тока
4.3.3. Резонанс токов и напряжений
4.3.4. Мощность в цепи переменного тока
4.4. Магнитное поле в веществе
Глава 5. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
5.1. Свободные гармонические колебания
5.1.1. Основные понятия
5.1.2. Скорость и ускорение
при гармоническом колебательном движении
5.1.3. Энергия гармонического колебательного движения
5.1.4. Затухающие колебания
5
108
112
116
117
117
121
121
122
124
125
126
143
143
143
146
147
147
149
151
152
153
153
155
157
159
161
161
165
166
168
170
176
176
176
178
179
180
5.1.5. Вынужденные колебания
5.1.6. Сложение колебаний
5.2. Гармонические осцилляторы
5.3. Электромагнитные колебания
5.3.1. Свободные электромагнитные колебания
5.3.2. Затухающие электромагнитные колебания
5.3.3. Вынужденные колебания в контуре
5.4. Волновые процессы
5.4.1. Механические волны
5.4.2. Уравнение волны
5.4.3. Энергия волны
5.4.4. Электромагнитные волны
5.4.5. Энергия электромагнитной волны
ГЛАВА 6. ОПТИКА
6.1. Геометрическая оптика
6.1.1. Развитие представлений о свете
6.1.2. Принципы и законы геометрической оптики
6.2. Волновая оптика
6.2.1. Интерференция света
6.2.2. Дифракция света. Зоны Френеля
6.2.3. Поляризация света
6.2.4. Поглощение света
6.2.5. Рассеяние света
6.2.6. Дисперсия света
6.3. Квантовая оптика
6.3.1. Тепловое излучение
6.3.2. Фотоэффект. Законы фотоэффекта
6.3.3. Энергия и импульс фотона
6.3.4. Эффект Комптона
Глава 7. ОСНОВЫ АТОМНОЙ
И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
7.1. Теория атома водорода по Бору
7.1.1. Модели атома
7.1.2. Спектральные закономерности
7.1.3. Постулаты Бора
7.1.4. Спектр атома водорода
7.2. Элементы квантовой механики
7.2.1. Волны де-Бройля
6
182
184
186
188
188
189
191
192
192
193
194
195
196
197
197
197
200
202
202
207
216
218
218
219
221
221
225
227
229
231
231
231
231
233
233
237
237
7.2.2. Соотношение неопределенностей
7.2.3. Уравнение Шредингера
7.2.4. Гармонический осциллятор
7.2.5. Потенциальная яма
7.2.6. Потенциальный барьер
7.3. Квантовые числа. Периодическая система элементов
7.3.1. Атом водорода и квантовые числа
7.3.2. Периодическая система элементов
7.4. Лазеры
7.4.1. Спонтанное и индуцированное излучение света
7.4.2. Рубиновый лазер
7.4.3. Гелий-неоновый лазер
7.5. Ядерная физика
7.5.1. Строение ядер и их свойства
7.5.2. Энергия связи ядра
7.5.3. Радиоактивность
7.5.4. Реакции деления тяжелых ядер
7.5.5. Синтез легких ядер. Термоядерные реакции
7.6. Элементарные частицы
7.6.1. Основные свойства
7.6.2. Античастицы
7.6.3. Виды взаимодействий
7.6.4. Законы сохранения
7.6.5. Систематика элементарных частиц. Кварки
Библиографический список
7
239
240
241
243
244
247
247
249
251
251
253
255
257
257
257
258
259
263
265
265
269
270
271
272
275
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга состоит из семи глав, в которых изложены основные
сведения из курса физики. Первая глава посвящена физическим
основам классической механики. Во второй – рассматриваются
законы и явления молекулярной физики и термодинамики. Третья глава включает в себя электростатику и электродинамику.
Основы магнетизма изложены в четвертой главе, в пятой –
сведения о механических и электромагнитных колебаниях, а
также о волновых явлениях. В шестой главе рассматриваются
элементы геометрической оптики и волновая оптика. Седьмая
глава содержит элементы квантовой механики, физики ядра и
элементарных частиц.
Учебное издание имеет небольшой объем, что достигнуто
путем тщательного отбора материала и исключением громоздких математических выкладок. Вместе с тем особое внимание
уделено физической сущности явлений и процессов, а также
описывающим их понятиям и законам.
Основной целью данной работы является краткость и доступность материала, чтобы наиболее эффективно представить
систему знаний не по отдельным вопросам курса физики, а по
предмету в целом.
8
ГЛАВА 1. МЕХАНИКА
1.1. Кинематика материальной точки
1.1.1. Основные понятия
и законы прямолинейного движения
Простейшей формой движения материи является механическое движение, которое заключается в изменении положения тел или их частей относительно друг друга с течением
времени. Для изучения закономерностей механического движения в механике используются две основные модели: материальная точка и абсолютно твердое тело (АТТ).
Материальная точка – тело, размерами и формой которого в данных условиях можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел. Например, автомобиль, движущийся
по шоссе, длина которого десятки сотен километров, можно
считать материальной точкой. Любое тело или совокупность
нескольких тел можно рассматривать как систему материальных точек.
Абсолютно
твердое
тело – это идеализированz
ная система материальных
z
точек, при любых движениях которой расстояния
P
между ними остаются неr
изменными.
k
При изучении механиj
y
ческого движения необхоi
y
димо установить тело отсчета – тело, относительно
x
P'
которого изучается движеx
ние. Кроме того, обязательно
Рис. 1.1. Система координат
должна быть определена
система координат, связанная с телом отсчета, и прибор для измерения времени (часы). Тело
отсчета, система координат и часы в совокупности образуют
систему отсчета. Наиболее широко используется трехмерная
прямоугольная (Декартова) система координат. Иногда в качестве
такой системы выбирают сферическую или цилиндрическую.
9
В классической механике рассматривается изотропное пространство, в котором законы движения во всех направлениях
одинаковы.
Положение материальной точки в пространстве определяют
либо координаты, либо радиус-вектор – вектор, проведенный
от начала координат к данной точке (рис. 1.1).
Связь этих величин находится по формуле:
r = x⋅i + y⋅ j + z ⋅k,
(1.1)
где i , j , k – единичные векторы (орты) осей x, y, z. При этом
модуль радиус-вектора.
r = x2 + y 2 + z 2 .
(1.2)
Если материальная точка перемещается, то ее координаты,
а вместе с ними и радиус-вектор изменяются со временем. Для
определения местоположения точки в любой момент времени
необходимо знать зависимости координат от времени:
x = x(t ), y = y (t ), z = z (t )
(1.3)
или же в векторном виде:
(1.4)
r = r (t ).
Система
скалярных
z
уравнений (1.3) или векторное уравнение (1.4) являются кинематическим
А
∆s
законом движения матеr1
риальной точки.
∆r
В
Траекторией движения
материальной точки
r2
o
при ее перемещении из одy
ного пункта в другой называется линия, соединяющая последовательные поx
Рис. 1.2. Перемещение
ложения точки, через кои пройденный путь
торые она проходит. В
зависимости от характера
траектории движение можно разделить на два простейших вида:
прямолинейное и движение по окружности (криволинейное).
Длина участка траектории, пройденного материальной точкой
10
с момента начала отсчета времени, характеризует ее пройденный путь ∆s (рис. 1.2). Перемещением ∆r материальной
точки называют вектор, соединяющий ее начальное и конечное
положения.
При этом имеет место закон независимости движений:
точка, участвующая одновременно в нескольких движениях,
совершает результирующее перемещение, равное векторной
сумме всех перемещений, совершаемых ею за это же время в
каждом из движений порознь.
При прямолинейном движении модуль вектора перемещения равен пройденному пути, т.е. ∆r = ∆s.
1.1.2. Скорость материальной точки
Для характеристики механического движения точки вводится скорость – векторная физическая величина, определяющая быстроту движения и его направление в данный момент
времени.
Средней скоростью υ движения материальной точки
называется физическая величина, численно равная отношению
перемещения материальной точки к интервалу времени, в течение которого произошло данное перемещение:
∆r
υ = .
(1.5)
∆t
При уменьшении величины ∆t отношение (1.5) стремится к
некоторому пределу:
∆r dr
υ = lim
= ,
(1.6)
∆t → 0 ∆t
dt
который называется мгновенной скоростью материальной точки в данный момент времени.
По мере дальнейшего уменьшения ∆t длина пути ∆s все
больше будет приближаться к ∆r , поэтому модуль мгновенной
скорости определится первой производной пути по времени:
∆r
∆r
∆s ds
υ = υ = lim
(1.7)
= lim
= lim
= .
∆t → 0 ∆t
∆t → 0 ∆t
∆t → 0 ∆t
dt
11
В случае неравномерного движения модуль мгновенной
скорости изменяется, и тогда средняя скорость находится по
формуле:
∆s
υ = .
(1.8)
∆t
Используя выражение (1.7) можно определить длину пути,
пройденного точкой за определенный промежуток времени:
t +∆t
s=
∫
t
t2
υ ⋅ dt , или s = ∫ υ (t ) ⋅ dt.
(1.9)
t1
Так как в системе СИ расстояние измеряется в метрах, а
время – в секундах, единицей измерения скорости будет:
[S ] м
[υ ] = = .
[t ] с
1.1.3. Ускорение материальной точки
и его составляющие
При изучении неравномерного движения очень
υ1
∆υτ
важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени.
∆υ
В
Пусть движущаяся мате∆υn
риальная
точка за время ∆t
r
при перемещении из положения А в В изменила свою
υ 2 скорость, причем как по наРис. 1.3. Изменение скорости
правлению, так и по величине (рис. 1.3). Тогда средним
ускорением называется физическая величина, численно равная
отношению изменения скорости материальной точки к интервалу времени, за который произошло данное изменение:
∆υ
a =
.
(1.10)
∆t
А
12
Уменьшая временной интервал, получим мгновенное ускорение – физическую величину, численно равную пределу, к которому стремится среднее ускорение при ∆t → 0 :
∆υ dυ d 2 r
(1.11)
a = lim
=
= 2 .
∆t → 0
∆t
dt
dt
Таким образом, ускорение есть векторная величина, определяемая первой производной скорости по времени.
На основе выражения (1.10) можно получить единицу измерения ускорения:
[υ ] м м
[a] = = = 2 ..
[t ] с ⋅ с с
Вектор изменения скорости ∆υ можно разложить на две
составляющие (рис. 1.3), одна из которых определяет изменение
скорости по модулю ( ∆υτ ), а вторая показывает, как изменяется
скорость по направлению ( ∆υn ). Отношения изменений скоростей к промежутку времени определяют:
тангенциальное ускорение
∆υ
∆υ dυ
=
(1.12)
aτ = lim τ = lim
∆t → 0 ∆t
∆t → 0 ∆t
dt
нормальное ускорение
∆υ υ 2
an = lim n = .
(1.13)
∆t → 0 ∆t
r
Полное ускорение в векторном виде оказывается равным:
dυ
υ2
⋅τ + ⋅ n,
(1.14)
a = aτ + an =
dt
r
а его модуль:
2
2
2
 dυ   υ 
(1.15)
a = a = aτ + a = 
+
   .
 dt   r 
В зависимости от величин, входящих в формулу (1.15),
можно провести классификацию движения:
1) aτ = 0 и an = 0 – равномерное прямолинейное движение.
В этом случае выражение (1.9) принимает вид: s = υ ⋅ t ;
2
2
n
13
2) aτ = const = a, an = 0 – прямолинейное равнопеременное
движение. Для такого вида движения
∆υ υ2 − υ1
aτ = a =
=
,
∆t
t2 − t1
или, принимая t1 = 0, t2 = t ,υ1 = 0,υ2 = υ , получим:
(1.16)
υ = υ0 + a ⋅ t.
Тогда, учитывая, что пройденный путь: ds = υ ⋅ dt , и
s
t
s0
t0
∫ ds = ∫υ ⋅ dt ,
найдем:
s = s0 + υ0 ⋅ ( t − t0 ) +
a ⋅ ( t − t0 )
2
;
(1.17)
2
3) aτ = f ( t ) , an = 0 – неравномерное прямолинейное движение;
4) aτ = 0, an = const – равномерное движение по окружности;
5) aτ = 0, an ≠ 0 – равномерное криволинейное движение;
6) aτ = const , an ≠ 0 – криволинейное равнопеременное
движение;
7) aτ = f ( t ) , an ≠ 0 – криволинейное движение с переменным ускорением.
1.1.4. Основные понятия и законы
вращательного движения
Другим простейшим видом механического движения является вращательное движение материальной точки, т.е. такое
движение, при котором точка описывает окружность. Ось
вращения – это прямая, на которой лежит центр описываемой окружности, плоскость которой перпендикулярна данной
прямой.
Вращательное движение тела или точки характеризуется
углом поворота, угловой скоростью и угловым ускорением.
Угол поворота φ – это угол, отсчитанный между двумя последовательными положениями радиус-вектора r, соединяющего
14
тело или материальную точку с осью вращения (рис. 1.4). Мерой перемещения тела за малый промежуток времени служит
вектор элементарного поворота тела dϕ , по модулю равный
углу поворота за это время
ω
и направленный вдоль оси
вращения таким образом,
чтобы из его острия повоdϕ
рот тела (точки) был виден
происходящим против чаA1
совой стрелки.
Угловая скорость ω –
∆ϕ
векторная физическая веr
личина, численно равная
A0
отношению вектора элементарного поворота к его
продолжительности или
0
первой производной от угРис. 1.4. Вращательное движение
ла поворота по времени:
ω=
В случае, если
dϕ
dϕ
.
, или ω =
dt
dt
(1.18)
dϕ
(1.19)
= const ,
dt
то вращение будет равномерным, при этом угол поворота тела:
ϕ = ω ⋅ t.
Равномерное вращение характеризуется периодом вращения Т, т.е. временем, за которое тело делает один полный оборот ( 2π ), при этом угловая скорость (круговая, или циклическая частота)
2π
ω= .
T
Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении по окружности в единицу времени, называется частотой вращения:
N 1
ω
.
ν= = =
(1.20)
t T 2 ⋅π
ω=
15
Угловая скорость не всегда остается постоянной, она может
меняться как по величине, так и по направлению. В этом случае
вводится понятие углового ускорения – векторной физической
величины, численно равной изменению угловой скорости за единицу времени или второй производной от угла поворота по времени:
dω
d 2ϕ
ε=
, ε= 2.
(1.21)
dt
dt
Направления векторов
угловых ускорения и скорости совпадают в случае ускоренного вращения и противоположны при замедленном
S
∆
∆ϕ
движении.
r
Угловые скорости материальных точек вращающегося тела одинаковы, линейРис. 1.5. Перемещение
ные же зависят от расстояпри вращательном движении
ния, на котором находится
точка от оси вращения.
Если точка находится на расстоянии r от оси вращения
(рис. 1.5), то путь, который она проходит по дуге окружности,
будет определяться выражением:
(1.22)
∆S = r ⋅ ∆ϕ ,
где ∆S – длина дуги;
r – радиус окружности;
∆ϕ – угол поворота.
Поделим обе части равенства на ∆t :
∆S
∆ϕ
.
=r⋅
∆t
∆t
При ∆t , стремящемся к 0:
∆S
∆ϕ
= r ⋅ lim
lim
,
∆t → 0 ∆t
∆t → 0 ∆t
окончательно:
υ = r ⋅ ω.
(1.23)
16
Используя формулу (1.15) и выражение (1.23), можно получить:
(1.24)
aτ = r ⋅ ε ,
(1.25)
an = r ⋅ ω 2 .
Формулы (1.23), (1.24), (1.25) показывают связь линейных и
угловых характеристик движения.
1.2. Динамика поступательного движения тел
1.2.1. Основные понятия и законы динамики
Кинематика устанавливает законы движения материальной
точки, но не указывает причины этого движения. Изучением
таких причин занимается динамика.
В основе динамики лежат фундаментальные законы Ньютона, с помощью которых можно выяснить, почему тела движутся и как они взаимодействуют друг с другом.
Первый закон Ньютона: существуют такие системы отсчета, в которых всякое тело сохраняет состояние покоя
или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействия со стороны других тел не заставят его изменить это состояние. Такое свойство тела сохранять данное
состояние движения называют инертностью.
При взаимодействии тел изменение их скорости зависит от
массы, которая является мерой инертности тела. Скорости
тел, обладающих большей массой, под воздействием со стороны
других тел, меняются в меньшей степени, чем менее массивные.
Масса тела определяется его объемом и плотностью:
(1.26)
m = ρ ⋅V ,
где ρ – это масса единицы объема тела.
В системе СИ масса измеряется в килограммах (кг).
Для определения степени воздействий тел друг на друга
вводится понятие силы. Сила – векторная величина, определяющая количественную меру взаимодействия тел, во время
которого они получают ускорение. Если на тело одновременно
действует несколько сил, то их воздействие определяется рав17
нодействующей силой, т.е. векторной суммой всех приложенных к телу сил. Сила характеризуется величиной, направлением и
точкой приложения.
При взаимодействии тел разной массы большее ускорение
приобретает самое легкое, а самое массивное движется с минимальным ускорением, т.е. ускорение обратно пропорционально
массе тел. В случае, когда на одно и то же тело поочередно действуют разные силы, ускорение прямо пропорционально величине силы. Таким образом,
F
(1.27)
a= .
m
dυ
В случае поступательного движения a =
, поэтому можdt
d ( m ⋅υ )
dυ
= F или
= F.
dt
dt
Произведение ( m ⋅ υ ) называют импульсом тела или коли-
но записать: m ⋅
чеством движения, т.е. импульс тела – это векторная физическая величина, численно равная произведению массы тела на его
скорость и совпадающая по направлению с вектором скорости:
(1.28)
p = m ⋅υ .
Таким образом, выражение (1.27) примет вид:
dp
= F.
(1.29)
dt
Формула (1.29) отображает второй закон Ньютона: скорость изменения импульса тела определяется равнодействующей всех приложенных к нему сил.
Взаимодействие двух тел описывается третьим законом
Ньютона: силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю, противоположны по направлению и направлены вдоль прямой, соединяющей эти тела, т.е.
(1.30)
F12 = − F21 .
Все законы Ньютона справедливы только для инерциальных систем отсчета.
18
1.2.2. Динамика системы материальных точек.
Закон сохранения импульса
Третий закон Ньютона позволяет перейти от динамики отдельной материальной точки к системе материальных точек.
Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называют механической системой. При
этом силы взаимодействия между телами системы называют
внутренними, а силы, с которыми на систему действуют окружающие ее тела, – внешними. Механическая система, на
которую не действуют внешние силы (тела), называется замкнутой (изолированной).
Для каждого тела системы можно записать второй закон
Ньютона:
d
(mi ⋅ υi ) = Fi ′ + Fi ,
dt
где Fi ′ – равнодействующая всех внутренних сил, действующих
на данную точку;
Fi – равнодействующая всех внешних сил, действующих на
данную точку.
Согласно третьему закону Ньютона геометрическая сумма
всех внутренних сил равна нулю, следовательно, для всей системы в целом получим:
d n
 n
⋅
m
υ
(
)
∑
i
i
 = ∑ Fi .
dt  i =1
 i =1
Так как
n
∑ ( m ⋅υ )
i =1
i
i
является импульсом механической сис-
темы, можно записать:
dp n
= ∑ Fi .
dt i =1
Если же рассматриваемая механическая система замкнута,
то производная импульса будет равна нулю, а это означает, что:
n
p = ∑ mi ⋅ υi = const.
i =1
19
(1.31)
Формула (1.31) является математическим выражением одного из фундаментальных законов – закона сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется с течением
времени. Данный закон будет выполняться и для любой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил окажется равной нулю.
Закон сохранения импульса для двух материальных точек
будет иметь вид:
m1 ⋅ υ1 + m2 ⋅ υ2 = const.
Тогда скорость, как производная радиус-вектора
dr
dr
m1 ⋅ 1 + m2 ⋅ 2 = const.
dt
dt
Так как масса тела постоянна, то
d
( m1 ⋅ r1 + m2 ⋅ r2 ) = const.
dt
Разделив обе части полученного уравнения на сумму масс,
получим:
d  m1 ⋅ r1 + m2 ⋅ r2 
const
= const ′.
(1.32)

=
dt  m1 + m2  m1 + m2
Выражение в скобках представляет собой распределение
массы системы материальных точек. Отсюда следует, что центр
инерции (центр масс) – это воображаемая точка, положение
которой характеризует распределение массы системы, а радиус-вектор определяется как
n
rc =
∑m ⋅ r
i
i =1
i
n
∑m
i =1
.
(1.33)
i
Уравнение (1.32) позволяет сделать вывод, что центр масс
движется с постоянной скоростью:
dr
υc = c .
dt
В этом случае
(m1 + m2 ) ⋅ υc = m1 ⋅υ1 + m2 ⋅υ2 = p1 + p2 ,
т.е. импульс системы равен сумме импульсов тел, составляющих данную систему. Другими словами, импульс – величина
аддитивная.
20
Второй закон Ньютона для центра инерции системы можно
представить в виде:
n
dυ
(1.34)
m ⋅ c = ∑ Fi .
dt
i =1
Выражение (1.34) представляет собой закон движения центра
масс: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе системы, под действием силы, равной геометрической сумме всех внешних сил.
Из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс
замкнутой системы либо движется равномерно и прямолинейно, либо остается неподвижным.
1.2.3. Движение тел переменной массы.
Уравнение Мещерского
В некоторых случаях во время движения тела происходит
изменение его массы, при этом тело может получать дополнительный импульс, который увеличивает или уменьшает начальную скорость его движения. Рассмотрим этот процесс на примере движения ракеты, когда масса уменьшается в результате сгорания топлива и выброса продуктов сгорания в окружающее
пространство.
Изменение импульса данной системы за бесконечно малый
промежуток времени будет определяться выражением:
(1.35)
dp = m ⋅ dυ + u ⋅ dm,
где u – скорость истечения из ракеты газов, образующихся при
сгорании;
dm – изменение массы ракеты.
В результате действия на ракету внешних сил импульс меняется, т.е. dp = F ⋅ dt. Подставив данное значение в формулу
(1.35) и поделив обе части на dt , получим:
dυ
dm
m⋅
= F −u ⋅
,
(1.36)
dt
dt
dm
= Fр – реактивная сила, появление которой обусловгде u ⋅
dt
лено истечением продуктов сгорания.
21
Если скорость истечения противоположна направлению
скорости движения, то она дает дополнительный импульс движению, в противном случае оказывает сопротивление движущемуся телу.
Окончательно формулу (1.36) можно представить в виде:
m ⋅ a = F − Fр .
(1.37)
Данное уравнение впервые было получено русским ученым
И.Б. Мещерским и легло в основу современного ракетостроения
и космонавтики.
1.2.4. Сила трения
Все тела подвержены действию сил со стороны других тел.
Природа этих сил имеет разный характер. Силы, возникающие в
результате движения, носят название сил трения. Они препятствуют относительному перемещению соприкасающихся тел
и зависят от их относительных скоростей. В результате действия
сил трения всегда происходит нагревание соприкасающихся поверхностей.
Внешнее (сухое) трение возникает в плоскости касания
двух тел при их относительном перемещении. Если тела неподвижны друг относительно друга, то говорят о трении покоя; для
движущихся тел различают трение скольжения, качения, вращения.
Внешнее трение обусловливается шероховатостью соприкасающихся поверхностей или силами межмолекулярного взаимодействия (для очень гладких поверхностей). Экспериментальным путем было установлено несколько законов внешнего
трения.
Для трения скольжения шероховатых поверхностей:
(1.38)
Fтр = µ ⋅ N ,
где µ – коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств
соприкасающихся поверхностей.
Для трения скольжения гладких поверхностей:
Fтр = µист ⋅ ( N + S ⋅ p0 ) ,
(1.39)
где µист – истинный коэффициент трения скольжения;
22
S – площадь контакта;
p0 – давление, обусловленное силами межмолекулярного
взаимодействия.
Для трения качения:
N
Fтр = µ к ⋅ ,
(1.40)
r
где µк – коэффициент трения качения;
r – радиус катящегося тела.
Для уменьшения сил внешнего трения используют либо
смазку (трение скольжения), либо заменяют трение скольжения
трением качения.
Внутреннее трение возникает между движущимися
частями одной и той же среды (слои жидкости или газа).
Внутреннее трение, обусловленное перемещением слоев жидкости или газа, иногда
называют вязкостью. Для
введения количественной характеристики вязкости рассмотрим следующую модель
(рис. 1.6).
Между двумя плоскими
Рис. 1.6. Трение в жидкости
твердыми пластинами (одна
неподвижная внизу и вторая подвижная – сверху) имеется жидкость. Под действием касательной силы верхняя пластина начинает двигаться, при этом слои жидкости тоже приходят в движение – верхние со скоростью, близкой к скорости пластины,
нижние – с меньшей скоростью.
Вследствие «прилипания» молекул жидкости к пластине на
ней образуется пограничный слой жидкости, в результате чего
молекулы пластины не участвуют в процессе трения. Таким образом, трение возникает только между слоями жидкости. При
этом сила трения
23
dυ
,
(1.41)
dl
где η – коэффициент вязкости жидкости (динамическая вязкость);
S – площадь пластины;
dυ
– градиент скорости, показывающий, как быстро измеdl
няется скорость при переходе от слоя к слою в направлении, перпендикулярном движению слоев.
Уравнение (1.41) называется законом Ньютона для внутреннего трения.
В системе СИ единицей измерения коэффициента динамичеF =η ⋅ S ⋅
ской вязкости является 1 Па ⋅ с (1
Н ⋅ с ), т.е. коэффициент дим2
намической вязкости такой жидкости, в которой 1 м2 поверхности
слоя испытывает силу 1 Н при градиенте скорости 1 м / с .
м
1.2.5. Сила упругости
В результате воздействия тел друг на друга всегда возникают деформации – изменения размеров и форм взаимодействующих тел. При этом различают два вида деформаций:
упругая – при которой после прекращения действия силы
тело возвращается в первоначальное состояние;
пластическая – после прекращения действия силы тело
приобретает новые размеры и форму.
Силы, возникающие в результате деформаций, называют
силами упругости. При этом напряжением называется физическая величина, численно равная силе упругости, действующей
на единицу площади поперечного сечения тела:
F
σ= .
(1.42)
S
При действии силы по нормали к поверхности напряжение
будет нормальным, если же сила направлена по касательной к
поверхности – тангенциальным. Степень деформации тел определяется относительной деформацией:
24
∆l
,
l0
где ∆l = l − l0 – абсолютная деформация;
ε=
(1.43)
l0 – начальная длина тела.
Английский физик Гук экспериментальным путем выяснил,
что для малых деформаций напряжение пропорционально относительному удлинению, в результате чего был установлен закон, получивший его имя:
σ=
или
1
E
⋅ε
(1.44)
E⋅S
⋅ ∆l = k ⋅ ∆l ,
(1.45)
l
где E – модуль Юнга, определяемый напряжением при относительном удлинении, равном единице;
S – площадь поперечного сечения;
∆l – абсолютная деформация.
Н
Единица измерения модуля Юнга: [ E ] = 1
.
2
м
В зависимости от того, каким образом происходило изменение размеров и формы тел различают деформации растяжения (сжатия), изгиба, кручения, сдвига.
F=
1.2.6. Сила гравитационного взаимодействия
(тяготения)
Силы всемирного тяготения обусловлены взаимодействием
(притяжением) тел на расстоянии посредством гравитационного
поля. Закон всемирного тяготения был открыт Ньютоном в
XVII веке. Сейчас он формулируется так: между двумя материальными точками всегда действует сила притяжения,
величина которой пропорциональна произведению масс этих
точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния
между ними:
25
F =G⋅
m1 ⋅ m2
,
r2
(1.46)
где F – сила притяжения;
m1 и m2 – массы точек;
r – расстояние между ними.
В векторной форме закон всемирного тяготения представляется выражением:
m ⋅m
F = G ⋅ 1 3 2 ⋅ r.
(1.47)
r
Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной, G = 6, 67 ⋅ 10
−11
H⋅м
2
.
2
кг
При свободном падении тела на Землю с высоты h под
действием только силы тяготения оно приобретает ускорение,
которое можно найти из второго закона Ньютона:
F = m ⋅ g,
где g – ускорение свободного падения.
G⋅m⋅M
m⋅ g =
,
( R + h) 2
где M – масса Земли;
R – радиус Земли;
h – высота тела над Землей.
Откуда
(1.48)
G⋅M
G⋅M
g=
.
=
2
2
( R + h)
h

R 2 ⋅ 1 + 
R

Если высота подъема тела много меньше, чем радиус Земh
ли, то
<< 1, и этой величиной можно пренебречь. Тогда
R
G⋅M
м
= 9,81 2 . Оно одинаково для всех тел на Земле.
g=
2
R
с
Сила притяжения может быть уравновешена силой упругости нити или опоры, если подвесить тело или положить его на
26
стол. Сила, с которой тело давит на опору или растягивает нить
подвеса, называется весом тела ( P ). Вес неподвижного тела
равен силе тяжести:
(1.49)
P = m ⋅ g.
При падении тела с ускорением a вес тела будет определяться выражением:
(1.50)
P = m ⋅ g − m ⋅ a = m ⋅ ( g − a ).
В случае, когда a = g , вес тела будет равен нулю. Такое состояние тела называется невесомостью.
При поднятии тела с ускорением его вес увеличивается:
(1.51)
P = m ⋅ g + m ⋅ a = m ⋅ ( g + a ).
1.2.7. Работа и мощность
Элементарной работой dA
силы F при перемещении на dl
называется их скалярное произведение (рис. 1.7):
dA = F ⋅ dl = F ⋅ dl ⋅ cos α , (1.52)
α
или
Fl
(1.53)
dA = Fl ⋅ dl ,
dl
где Fl = F ⋅ cos α – проекция
силы на направление перемеРис. 1.7. Элементарная работа
щения.
Для того, чтобы рассчитать работу на всей траектории движения, необходимо просуммировать все элементарные работы на каждом участке:
F
n
A=
∑
Fi ⋅ dli ⋅ cos α i .
(1.54)
i =1
Для случаев, когда сила является непрерывной функцией
координат, суммирование можно заменить интегрированием:
2
A=
∫
2
F ⋅ cos α ⋅ dl =
1
∫
1
27
Fl ⋅ dl.
(1.55)
Если тело движется прямолинейно, то при этом F = const и
α = const , тогда:
(1.56)
A = F ⋅ l ⋅ cos α .
π
работа силы поИз формулы (1.56) следует, что при α <
2
ложительна, при α > π работа силы имеет отрицательное зна2
чение. Если сила направлена перпендикулярно перемещению,
т.е. α =
то
π
2
то работа будет равна нулю и, наконец, если α = 0,
A = F ⋅ l.
(1.57)
Формула (1.57) позволяет получить единицу работы:
[ A] = [ F ] ⋅ [l ] = 1 Н ⋅ 1 м = 1 Дж.
Следовательно, 1 джоуль –
это
работа, которую соверша1
ет сила в 1 Н при перемещении
тела на 1 м.
В
Если работа силы не зависит
от
формы
пути, а определяется
А
только начальным и конечным
положениями материальной точ2
ки, то ее численное значение на
участке АВ (рис. 1.8) равно рабоРис. 1.8. Работа
те на участке ВА. При этом знаки
на замкнутой траектории
совершаемых работ противоположны:
B
A1 =
∫
A
∫
F (r ) ⋅ dr = − F (r ) ⋅dr = − A2 .
A
(1.58)
B
Таким образом, работа при перемещении по замкнутой траектории окажется равной нулю, а интеграл
∫
F (r ) ⋅ dr = 0
будет называться циркуляцией вектора силы.
28
(1.59)
Силы, работа которых не зависит от формы траектории
(циркуляция равна нулю), называются потенциальными (консервативными). К таким силам относятся, например, упругие
силы F = − k ⋅ x, так как совершаемая ими работа
x2
A=
∫
x1
x2
∫
F ( x) ⋅ dx = − k ⋅ x ⋅ dx =
1
⋅ k ⋅ ( x12 − x22 )
2
(1.59 а)
x1
не зависит от вида траектории и определяется только начальным
и конечным положениями.
В то же время примером сил, работа которых зависит от
формы траектории, являются силы трения.
Для характеристики быстроты выполнения работы вводится
понятие мощности:
dA
(1.60)
N= .
dt
Мощность – это скалярная физическая величина, численно
равная работе, совершаемой в единицу времени.
С учетом (1.52) можно записать, что
F ⋅ dl ⋅ cos α
(1.60 а)
N=
= F ⋅ υ ⋅ cos α ,
dt
dl
где υ =
– скорость движения материальной точки.
dt
Формула (1.59) позволяет получить единицу мощности:
[ A] 1 Дж = 1 Вт,
[N ] = =
[t ] 1 с
т.е. 1 Вт – это мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж.
1.2.8. Механическая энергия
Потенциальная энергия характеризует взаимодействие
тел и зависит от их взаимного расположения. Данной энергией
тело может обладать только в случае действия консервативных
сил. Примером такой силы является гравитационная, т.е. сила
тяжести, действующая в гравитационном поле.
29
Пусть тело массы m находится в поле тяготения Земли. Определим работу, которую совершает сила тяжести при свободном падении (перемещение тела изменяется от r1 до r2).
Сила тяготения является переменной силой, так как ее величина зависит от расстояния:
m⋅ MЗ
(1.61)
Fт = G ⋅
,
r2
где r – расстояние от центра Земли до тела массы m;
M З – масса Земли;
G – гравитационная постоянная.
Тогда элементарная работа на участке dr будет равна:
m⋅ MЗ
(1.62)
⋅ dr.
dA = F ⋅ dr = G ⋅
r2
Полную работу при перемещении тела от r1 до r2 можно
рассчитать, интегрируя данное уравнение:
r2
A=
∫
r1
G ⋅ m⋅ MЗ
 1  r2 G ⋅ m ⋅ M З G ⋅ m ⋅ M З . (1.63)
=
⋅
⋅
−
G
m
M
З −  =
r1
r2
r2
 r  r1
dr
G ⋅m⋅ MЗ
называется
r
потенциальной энергией тела в гравитационном поле Земли и
обозначается как WП (можно встретить также обозначения EП ,
П). Тогда
(1.64)
A = WП 1 − WП 2 .
Таким образом, работа в поле силы тяжести совершается за
счет уменьшения потенциальной энергии тела.
Чаще всего потенциальную энергию тела, находящегося в
гравитационном поле Земли, определяют из уравнения
(1.65)
WП = m ⋅ g ⋅ h.
Для упруго деформированной пружины потенциальная
энергия будет равна:
k ⋅ x2
.
(1.66)
WП =
2
В полученной формуле величина
30
Кинетическая энергия. Под воздействием некоторой силы
F, приложенной к телу, оно получает ускорение. При этом совершается работа:
dA = F ⋅ dl = F ⋅ dl ⋅ cosα .
С учетом второго закона Ньютона ( F = m ⋅ a )
dA = m ⋅ a ⋅ dl ⋅ cos α .
Так как направление силы совпадает с направлением ускорения, то работа будет равна:
dυ
dl
dA = m ⋅
⋅ dl = m ⋅ ⋅ dυ = m ⋅ υ ⋅ dυ .
dt
dt
А полная работа на всем пути
 2 υ2 
υ2
υ

2
2

 = m ⋅ υ2 − m ⋅ υ1 = WК 2 − WК 1,
A = m ⋅ υ ⋅ dυ = m ⋅
2
2
 2

υ1


υ1 

2
m
⋅
υ
где W =
(1.67)
К
2
называется кинетической энергией тела. Можно также встретить обозначения Eк и T . Таким образом, изменение кинетической энергии тела определяется суммарной работой, совершенной всеми силами, действующими на тело в течение некоторого
промежутка времени.
Итак, потенциальная энергия есть энергия положения, а
кинетическая – энергия движения тела.
Полная механическая энергия системы материальных точек, находящейся в каком-либо поле, складывается из кинетической WК и потенциальной WП энергии, т.е.
(1.68)
E = WК + W П .
Пусть тело массой m движется со скоростью υ . В этом
случае оно обладает кинетической энергией:
m ⋅υ 2
WК =
.
2
Если на тело действует консервативная сила со стороны какого-либо поля, то она равна градиенту потенциальной энергии:
dW
F =− П.
dx
∫
31
Под действием данной силы кинетическая энергия меняется:
dWК
dυ
dυ
= m ⋅υ ⋅
= m⋅
⋅υ = m ⋅ a ⋅υ = F ⋅υ.
dt
dt
dt
С другой стороны,
dWП dx
dWП
⋅
=−
.
F ⋅υ = −
dx dt
dt
Таким образом,
dWК
dWП
=−
dt
dt
или
d
(WК + WП ) = 0.
dt
Это будет при условии
(1.69)
WК + WП = const.
Следовательно, полная механическая энергия замкнутой
системы (или тела) не изменяется с течением времени, т.е.
остается постоянной. Выражение (1.69) является математической записью закона сохранения полной механической энергии.
Применение законов сохранения для решения задач. Рассмотрим взаимодействие двух шаров, движущихся навстречу
друг другу вдоль прямой, соединяющей их центры (рис. 1.32).
Условимся, во-первых, что на шары внешние силы не действуют
(либо направление их
m1
m2
действия перпендикуυ2
υ1
лярно движению шаров). А во-вторых, положим, что в процессе
Рис. 1.32. Взаимодействие шаров
столкновения не происходит превращения
механической энергии в тепловую. Тогда можно применить оба
закона сохранения – импульса и механической энергии.
Обозначим скорости шаров после удара через u1 и u 2 .
Применяя законы сохранения, получим систему уравнений:
(1.70)
m1 ⋅ υ1 + m2 ⋅ υ 2 = m1 ⋅ u1 + m1 ⋅ u2 ,
32
1
2
⋅ m1 ⋅ υ1 +
1
2
⋅ m2 ⋅ υ 2 =
1
2
⋅ m1 ⋅ u1 +
1
2
⋅ m1 ⋅ u 2 .
(1.71)
2
2
2
2
Для совместного решения этих уравнений необходимо первое векторное уравнение заменить скалярным; при этом допустим, что скорости шаров, направленные вправо, будут положительными, а влево – отрицательными. Ввиду этого в левой части
уравнения (1.70) перед вторым слагаемым появится знак «минус». Так как направления скоростей после удара неизвестны,
можно сделать какое-либо предположение о данных направлениях и решить систему. Если предположения были правильными, то расчет даст для скоростей шаров положительные знаки;
если же у какой-нибудь из этих скоростей получится отрицательный знак, то предварительно выбранное направление этой
скорости следует изменить на обратное.
1.3. Динамика вращательного движения твердого тела
1.3.1. Основные понятия
Помимо поступательного движения твердые тела совершают вращательное движение, которое может происходить как
вокруг оси, проходящей сквозь тело, так и вокруг одной точки,
жестко связанной с данным телом.
Одной из основных категорий вращательного движения является момент силы.
Если рассматривается враM
щательное движение материальной точки вокруг некоторого
произвольного центра вращения (рис. 1.9), то моментом
F
силы М относительно данного
O
r
центра называется векторное
α
h
A
произведение радиус-вектора r,
Рис. 1.9. Момент силы
относительно точки
проведенного от центра вращения в точку приложения силы, на вектор силы:
M = [ r , F ].
(1.70)
33
Направление вектора М определяется по правилу правого
винта: в результате вращения правого винта по направлению
от радиус-вектора к вектору силы по кратчайшему пути, его
поступательное движение покажет направление вектора момента силы.
Абсолютная величина момента силы определяется по формуле:
(1.71)
M = r ⋅ F ⋅ sin α ,
где r ⋅ sin α = h – плечо силы – кратчайшее расстояние или
перпендикуляр от центра (оси) вращения до
линии действия силы.
Если же рассматривать
O
вращение твердого тела воM
круг произвольной оси (рис.
F
F
1.10), то моментом силы М
относительно данной оси
называют векторное произF⊥
r
ведение радиус-вектора, проα
веденного от оси вращения в
А
точку приложения силы, на
составляющую вектора силы, перпендикулярную оси
вращения:
O′
(1.72)
M =  r , F⊥  .
Рис. 1.10. Момент силы
относительно оси
Модуль данного вектора определяется по аналогии с выражением
(1.71). Единицей измерения момента
силы является 1 Н · м.
Момент силы можно увеличить,
не только изменяя расстояние или величину силы, но и путем приложения
дополнительной силы, направление
которой противоположно данной. Две
силы, равные по величине, противоположно направленные и действующие
34
F1
r12
F2
Рис. 1.11. Пара сил
вдоль разных прямых, называют парой сил (рис. 1.11). Согласно
данному определению для таких сил выполняются условия:
F1 = F2 и F1 = − F2 .
(1.73)
Момент пары сил определяется по формуле:
M =  r12 , F  ,
(1.74)
где r12 – радиус-вектор, соединяющий точки приложения сил.
Под действием одного и того же момента силы вращение
различных материальных точек происходит по-разному. Объясняется данное обстоятельство тем, что каждая материальная
точка имеет свой момент инерции. Это скалярная физическая
величина, численно равная произведению массы материальной
точки на квадрат расстояния от нее до оси вращения:
J = m ⋅ r2.
(1.75)
2
Единица измерения момента инерции в СИ – 1 кг · м .
Для твердого тела, вращающегося относительно какой-либо
оси, момент инерции равен сумме моментов инерции материальных точек, составляющих данное тело, т.е.
n
J=
n
∑ J = ∑m ⋅ r .
2
i
i =1
i
i
(1.76)
i =1
Таким образом, данная величина характеризует инерционные свойства твердых тел при вращательном движении и зависит от геометрии тела. Минимальным момент инерции любого
тела будет в том случае, если ось вращения проходит через его
центр масс. Удаление оси вращения от центра масс вызывает
увеличение момента инерции тела. В таких случаях для определения момента инерции используется теорема Штейнера: момент инерции тела относительно оси вращения равен сумме
момента инерции этого тела относительно параллельной оси,
проходящей через центр масс, и произведения массы тела на
квадрат расстояния между осями:
(1.77)
J = J0 + m ⋅ a2.
Как уже говорилось, любое твердое тело можно представить в виде суммы материальных точек, обладающих малыми
массами. Так как под действием момента сил происходит вра35
щение тела, каждый его элемент будет двигаться с определенной скоростью, т.е. иметь импульс. Однако при вращательном
движении следует учитывать расстояние от выделенного элемента до оси вращения. В связи с этим вводится понятие момента импульса.
Момент импульса L – это физическая величина, численно
равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного
от оси вращения к данной точке, на ее импульс:
(1.78)
L = [ r , m ⋅ υ ] = [ r , p ].
Направление вектора момента импульса, так же как и момента силы, определяется правилом правого винта. Единицей
измерения момента импульса в СИ служит 1
кг ⋅ м 2
.
с
1.3.2. Основное уравнение динамики
вращательного движения
Если угол между вектором скорости и радиус-вектором
прямой, то для данной материальной точки момент импульса
Li = ri ⋅ mi ⋅ υi = ri ⋅ mi ⋅ ω ⋅ ri = ω ⋅ mi ⋅ ri2 = ω ⋅ J i .
Тогда для всего тела момент импульса будет равен сумме
всех элементарных моментов:
L = J ⋅ ω.
(1.79)
Дифференцируя выражение (1.78), получим:
dL  dr   dp 
, p + r,
.
(1.80)
=
dt  dt   dt 
Первое слагаемое правой части будет равно нулю вследствие того, что направления перемножаемых векторов совпадают
(угол между векторами равен нулю). Во втором слагаемом соdp
= F,
гласно II закону Ньютона, можно произвести замену:
dt
тогда выражение (1.80) запишется в следующем виде:
dL
=  r , F  = M .
(1.81)
dt 
36
Данная формула представляет собой основное уравнение
динамики вращательного движения для отдельно выбранной
материальной точки. Если же рассматривать систему материальных точек, на которую действуют внешние и внутренние силы, то уравнение (1.81) примет вид:
n
∑
i =1
dLi
=
dt
n
∑
n
M iвнеш +
i =1
∑M
внут
.
i
(1.82)
i =1
Вследствие третьего закона Ньютона сумма моментов
внутренних сил системы равна нулю, а сумма изменений моментов импульсов всех материальных точек будет равна изменению момента импульса всей системы. Тогда
dL
=
dt
n
∑M
внеш
.
i
(1.83)
i =1
Итак, производная момента импульса системы материальных точек по времени равна сумме моментов внешних сил, действующих на систему. Для замкнутой системы суммарный момент внешних сил будет равен нулю, следовательно,
(1.84)
L = const.
Это закон сохранения момента импульса: для замкнутой
системы материальных точек момент импульса не изменяется
с течением времени.
dL
= M заменить момент импульса, исЕсли в формуле
dt
пользуя выражение (1.79), то получим:
d ( J ⋅ω )
dω
=J⋅
= J ⋅ε = M.
dt
dt
откуда
M
(1.85)
ε= .
J
Последнее уравнение также представляет собой основной
закон динамики вращательного движения: угловое ускорение
тела прямо пропорционально моменту приложенных к нему сил
и обратно пропорционально его моменту инерции.
37
1.3.3. Кинетическая энергия вращательного движения
O
Так как при вращательном движении тело имеет определенную скорость,
ω
то оно обладает кинетической энергией.
Для вывода формулы энергии рассмотυi
рим движение твердого тела относиri
тельно оси OO′ (рис. 1.12). Если выде∆mi ленный элемент ∆mi вращается со скоростью υi , то его кинетическая энергия
определяется как
∆mi ⋅ υi2
∆Eki =
.
(1.86)
2
O′
Используя связь линейной и углоРис. 1.12. Вращение
вой скоростей υi = ω ⋅ ri , можно преобтвердого тела
разовать данное выражение:
2
∆mi ⋅ ω ⋅ ri2 ω 2
ω2
∆Eki =
=
⋅ ∆mi ⋅ ri2 =
⋅ Ji .
(1.87)
2
2
2
Итак, полная кинетическая энергия вращательного движения тела будет равна сумме энергий всех элементов (материальных точек), составляющих данное тело, то есть
J ⋅ω2
Ek =
.
(1.88)
2
1.4. Элементы гидростатики и гидродинамики
1.4.1. Основные понятия гидростатики и гидродинамики.
Законы Паскаля и Архимеда
В жидкости силы, действующие между молекулами, значительно меньше, чем в твердых телах, и быстрее убывают с расстоянием. Поэтому в жидкости некоторая упорядоченность в
расположении молекул наблюдается лишь вблизи каждой данной молекулы и в течение короткого времени, пока молекула
колеблется у некоторого положения равновесия. Затем, под дей38
ствием импульсов соседних молекул, она покидает это положение и свободно движется до какого-то нового положения равновесия. Затем этот процесс многократно повторяется.
Если на некоторый объем жидкости действуют внешние силы, стремящиеся сообщить ему деформацию всестороннего
сжатия, то силы отталкивания оказывают противодействие
сближению молекул уже при обычных условиях. При этом жидкости можно считать практически несжимаемыми.
Равновесие жидкостей рассматривается в разделе, называемом гидростатикой. Раздел механики, изучающий состояние
равновесия и движения жидкостей под действием внешних сил,
называется гидродинамикой.
Предметом изучения в гидростатике являются равновесие
жидкости и воздействие покоящейся жидкости на погруженные
в нее тела. При изучении поведения жидкости и газа часто с
большой степенью достоверности в условиях данной задачи
можно пользоваться моделями несжимаемой жидкости и газа.
В этом случае в любом месте объема, занимаемого газом или
жидкостью, плотность одинакова, то есть несжимаемые газы и
жидкости – это среды, однородные по плотности во всех своих точках.
При относительном перемещении слоев жидкости или газа
на их границе возникают силы вязкого трения. Когда этими силами можно пренебречь, говорят о невязких газах или жидкостях. Простейшими моделями, которые используются в механике жидкостей или газов, являются несжимаемые и невязкие
жидкости и газы.
Медленное изменение формы жидкости без изменения объема может происходить под действием сколь угодно малой силы. В поле сил тяжести жидкость не обладает собственной формой, а принимает форму сосуда. Поверхность покоящейся жидкости перпендикулярна направлению силы тяжести (горизонтальна) независимо от формы сосуда, иначе не было бы равновесия.
Давление при равновесии жидкостей или газов подчиняется
закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся
жидкостью.
39
В неподвижной жидкости давление определяется отношением модуля силы, действующей перпендикулярно выделенной
площадке, к ее площади:
F
(1.89)
p= .
S
В жидкости, находящейся в поле тяжести, давление увеличивается с ростом глубины погружения. Для несжимаемой жидкости ( ρ = const ) на некоторой глубине h давление будет определяться соотношением
(1.90)
p = ρ ⋅ g ⋅ h.
Суммарное давление в жидкости складывается из давления
p0 , производимого внешними силами на поверхность жидкости, и давления, обусловленного весом столба жидкости:
p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ h,
которое называется гидростатическим.
В поле тяжести сила давления жидкости на дно сосуда
Fд = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ S
может не совпадать с весом налитой жидкости. В расширяющихся кверху сосудах сила давления меньше веса жидкости, а в
сужающихся – больше. В этом заключается так называемый
гидростатический парадокс, который объясняется тем, что сила
давления жидкости на наклонные стенки сосуда имеет вертикальную составляющую, направленную вниз в расширяющемся
сосуде и вверх – в сужающемся.
Наличие обусловленного полем тяжести гидростатического
давления приводит к существованию статической подъемной
силы, действующей на погруженное в жидкость тело. Значение
выталкивающей силы устанавливается законом Архимеда: сила
направлена противоположно вектору g, а ее модуль равен
весу жидкости, вытесненной объемом погруженной в жидкость части тела.
Сила Архимеда определяется по формуле
(1.91)
FА = ρ ⋅ g ⋅ V ,
где ρ – плотность жидкости,
V – объем погруженной части тела.
40
Для описания движения жидкости, в отличие от материальных точек, применяется несколько иной метод, развитие которого связано с практическими успехами гидро- и аэродинамики.
Аналитические формулы, описывающие движения тел в жидкости, очень громоздки, к тому же они содержат большое количество параметров, поэтому более эффективным оказался метод
моделирования. При таком методе описания движения жидкости или газа измеряется не скорость (ускорение) различных частиц, а скорости и ускорения в некоторых фиксированных точках, через которые проходят отдельные частицы (или отдельные
выделенные малые объемы).
Если в любой выбранной точке значения скорости (или ускорения) не меняются с течением времени, то такое движение
называется стационарным. Обычно различают два типа движения жидкости: ламинарное и турбулентное. При ламинарном
течении жидкость перемещается слоями, причем один слой
скользит по другому, но они не перемешиваются между собой.
В случае турбулентного движения происходит интенсивное
перемешивание движущихся слоев, появляются вихри.
Для отображения движения жидкости (газа) вводится понятие линий тока, которые представляют собой линии, касательные к которым в любой точке совпадают по направлению
с вектором скорости в этой же точке. В случае стационарного
движения линии тока неподвижны и совпадают с траекториями
частиц жидкости. Кроме того, для облегчения изучения движения жидкости вводится понятие трубка тока – поверхность,
образованная линиями тока, которые проведены через все точки замкнутого контура. В случае установившегося движения
жидкости трубки тока не изменяются с течением времени и
представляют для частиц жидкости как бы непроницаемую
стенку. При этом частицы движутся так, что каждая из них все
время остается в пределах определенной струи.
В реальных жидкостях между отдельными слоями потока
наблюдается внутреннее трение, однако в некоторых случаях им
можно пренебречь. Опытным путем установлено, что при течении жидкостей в коротких и достаточно широких трубах и каналах, а также вокруг удобообтекаемых тел (например, крыла
самолета), влияние внутреннего трения проявляется только в
слое, который непосредственно прилегает к поверхности труб,
41
каналов и обтекаемых жидкостью тел. Такой слой называют пограничным. Вне пограничного слоя течение реальной жидкости
(газа) практически ничем не отличается от движения идеальной.
1.4.2. Уравнение неразрывности струи
Выделим настолько
тонкую
трубку тока, что
направлев
каждой
точке ее попеdF
ние тече2
речного сечения величи2 υ2 ⋅ dt
ну скорости частиц жидкости можно считать
одинаковой. Обозначим
′
1
dS1
в сечении dS1 (рис. 1.13)
υ1 ⋅ dt
h
2
скорость
частиц жидко1
dF1
сти через υ1 . За малый
h1
промежуток
времени
через сечение пройдет
объем жидкости
Рис. 1.13. Трубка тока
V1 = υ1 ⋅ dS1 ⋅ dt.
Если плотность жидкости в этом сечении равна ρ1, то масса
жидкости, проходящей через сечение
m1 = ρ1 ⋅ V1 = ρ1 ⋅υ1 ⋅ dS1 ⋅ dt.
Через второе сечение за это же время протекает жидкость
массой
m2 = ρ 2 ⋅ V2 = ρ 2 ⋅ υ2 ⋅ dS 2 ⋅ dt.
При стационарном движении количество вещества, проходящее через любые сечения, одинаково m1 = m2 или:
ρ1 ⋅ υ1 ⋅ dS1 ⋅ dt = ρ 2 ⋅ υ2 ⋅ dS2 ⋅ dt.
Для несжимаемой жидкости плотность постоянна ρ1 = ρ 2 ,
откуда υ1 ⋅ dS1 = υ2 ⋅ dS2 или:
υ ⋅ S = const.
(1.92)
Выражение (1.92) носит название уравнения неразрывности струи. Примером проявления свойств жидкости, описываемых этим уравнением, может служить река: в узких местах
скорость течения больше, чем в широких.
dS 2
2′
42
1.4.3. Уравнение Бернулли
Выделим в трубке тока (рис. 1.13) элемент, ограниченный
плоскими сечениями dS1 и dS2 . Пусть скорости движения жидкости в этих сечениях равны υ1 и υ2 , при этом атмосферные
давления в сечениях – p1 и p2 соответственно. За малый промежуток времени выделенный элемент перемещается в направлении, указанном стрелкой, так, что сечения dS1 и dS2 смеща-
ются на расстояния υ1 ⋅ dt и υ 2 ⋅ dt , занимая новые положения
1′ и 2′. При перемещении происходит изменение кинетической
и потенциальной энергии данного элемента. По закону сохранения энергии величина этого изменения определяется работой
сил давления dF1 = p1 ⋅ dS1 и dF2 = p2 ⋅ dS2 , которые действуют
на плоскости сечений. Как видно на рисунке 1.13, часть элемента между сечениями остается неподвижной, в результате чего
изменение его положения сводится к перемещению объема, ограниченного сечениями 1 − 1′, в новое положение 2 − 2′. Как
отмечалось ранее, m1 = ρ1 ⋅ υ1 ⋅ dS1 ⋅ dt и m2 = ρ 2 ⋅ υ2 ⋅ dS2 ⋅ dt.
Тогда кинетическая и потенциальная энергии для каждого
элемента будут определяться следующим образом:
m ⋅ υ 2 ρ ⋅ dS1 ⋅ υ13 ⋅ dt
Ek 1 = 1 1 = 1
;
2
2
E p1 = m1 ⋅ g ⋅ h1 = ρ1 ⋅ υ1 ⋅ dS1 ⋅ dt ⋅ g ⋅ h1 ;
m2 ⋅ υ22 ρ 2 ⋅ dS 2 ⋅ υ 23 ⋅ dt
;
=
2
2
= m2 ⋅ g ⋅ h2 = ρ 2 ⋅ υ2 ⋅ dS 2 ⋅ dt ⋅ g ⋅ h2 ,
Ek 2 =
E p2
где h1 и h2 – высоты центров тяжести первого и второго выделенных элементов относительно произвольно
выбранного уровня отсчета потенциальной энергии.
На основании закона сохранения механической энергии
можно записать:
Ek 2 + E p 2 − ( Ek1 + E p1 ) = dF1 ⋅ υ1 ⋅ dt − dF2 ⋅ υ2 ⋅ dt.
(1.93)
43
Работа силы dF2 взята со знаком минус потому, что ее направление противоположно направлению перемещения.
Подставляя в уравнение (1.93) значения кинетических и потенциальных энергий, с учетом того, что dF = p ⋅ dS , получаем:
ρ 2 ⋅ dS 2 ⋅ υ23 ⋅ dt
+ ρ 2 ⋅ υ2 ⋅ dS2 ⋅ dt ⋅ g ⋅ h2 −
ρ1 ⋅ dS1 ⋅υ13 ⋅ dt
−
(1.94)
2
2
− ρ1 ⋅ υ1 ⋅ dS1 ⋅ dt ⋅ g ⋅ h1 = p1 ⋅ υ1 ⋅ dS1 ⋅ dt − p2 ⋅ υ2 ⋅ dS 2 ⋅ dt.
Разделив уравнение (1.94) на dt и учитывая, что
υ1 ⋅ dS1 = υ2 ⋅ dS2 , будем иметь:
ρ 2 ⋅ υ22
+ ρ 2 ⋅ g ⋅ h2 + p2 =
2
или окончательно:
ρ ⋅υ 2
ρ1 ⋅υ12
2
+ ρ1 ⋅ g ⋅ h1 + p1
(1.95)
+ ρ ⋅ g ⋅ h + p = const.
2
Последнее выражение называется уравнением Бернулли,
которое выражает закон сохранения удельной энергии: при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления, кинетической и потенциальной удельных энергий остается постоянной на любом поперечном сечении потока.
Следствия из уравнения Бернулли. Если движение жидкости
или газа происходит на постоянной высоте, то
ρ 2 ⋅ υ22
ρ ⋅υ 2
(1.96)
+ p2 = 1 1 + p1.
2
2
Данное уравнение позволяет сформулировать принцип
Бернулли: с уменьшением скорости происходит рост давления
внутри трубки тока; если же скорость растет, то давление
снижается.
Согласно данному принципу при обтекании воздушным потоком крыла самолета определенной конфигурации скорость
воздуха над крылом больше, чем под крылом. Поэтому давление
в потоке воздуха, движущегося под крылом, больше, чем в потоке над крылом, что вызывает появление результирующей силы, направленной вверх и называемой подъемной.
44
Нечто похожее наблюдается при обтекании неподвижной
крыши домов потоками воздуха при ураганных ветрах: внутри
дома воздух неподвижен, тогда как на наружной части крыши
его скорость может достигать 40 м/c. В этом случае давление
воздуха изнутри, которое больше наружного, как бы поднимает
крышу вверх. При больших скоростях потока прочности конструкции скрепляющих балок может оказаться недостаточно, и
ветер снесет крышу с дома.
Еще одним примером проявления принципа Бернулли
2
3
служит пульверизатор, который
схематически изображен на ри1
сунке 1.14. Если пробка 1 сосуда 4, содержащего жидкость,
плотно прижата, то при сжимании резиновой груши 2 образу4
ется ток воздуха, давление в
потоке уменьшается, и жидкость устремляется вверх. Горизонтальная трубка сужена в виРис. 1.14. Работа
де сопла 3, что способствует
пульверизатора
еще большему увеличению скорости потока воздуха, который
увлекает за собой капли поднимающейся жидкости. Аналогом
пульверизатора является устройство для разбрызгивания краски.
45
Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ
ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
2.1. Молекулярная физика
2.1.1. Основные понятия молекулярной физики
Молекулярной физикой называется наука, изучающая физические свойства и агрегатные состояния тел в зависимости
от их молекулярного строения, сил взаимодействия между
частицами, образующими тела, и характера теплового движения этих частиц.
В связи с тем, что число атомов или молекул в любом теле
порядка 1022-1023 см-3, поведение отдельной молекулы не может
быть изучено методами классической механики.
Поэтому для изучения физических свойств макроскопических систем, состоящих из очень большого числа частиц, используются два взаимно дополняющих друг друга метода: статистический и термодинамический.
Статистический метод состоит в изучении свойств
макроскопических систем, состоящих из огромного числа частиц или молекул, с использованием теории вероятности и методов математической статистики. Задачей статистической
физики является исследование поведения и свойств таких систем на основе определенных представлений об их атомной
структуре. При этом движение отдельной частицы (ее траектория или скорость) несущественно. Все сводится к отысканию
средних значений физических величин, характеризующих состояние системы как целого или статистических закономерностей, отличных от законов, которым подчиняется каждая из
частиц, входящих в макроскопическую систему.
Термодинамический метод основан на анализе условий и
количественных соотношений при различных превращениях
энергии, происходящих в системе. Этот метод не связан с конкретными представлениями о внутреннем строении тел и характере движения образующих их частиц. Термодинамика основывается на нескольких экспериментально установленных положениях – законах, или началах.
46
Термодинамической системой называется совокупность
макроскопических объектов, обменивающихся в форме работы
или теплоты друг с другом и с внешней средой. Все тела, не
входящие в состав системы, называются внешними телами, или
внешней средой. В зависимости от возможных способов изоляции системы от внешней среды различают несколько видов термодинамических систем.
Открытая система может обмениваться веществом и
энергией с внешней средой. Система называется изолированной,
если отсутствует всякий обмен энергией. Для адиабатически
изолированной системы отсутствует теплообмен между нею и
внешней средой. Если система диатермически изолированная,
то взаимодействие осуществляется только путем теплообмена.
Состояние системы может быть либо неравновесным (если
в разных точках системы неодинаковые параметры состояния),
либо равновесным (все параметры системы имеют определенные значения, остающиеся при неизменных внешних условиях
постоянными сколь угодно долго).
Термодинамический процесс, состоящий из непрерывной
последовательности равновесных состояний, называется равновесным, или квазистатическим. Если равновесный процесс
проводится в обратном направлении через те же состояния, что
и при прямом ходе, но в обратной последовательности, то такой
процесс называют обратимым. Процесс, при котором система
после ряда изменений возвращается в исходное состояние, называется круговым (или циклом).
Для характеристики состояния термодинамической системы используются термодинамические параметры (параметры состояния). Примерами термодинамических параметров являются температура, давление, объем, концентрация. Различают
экстенсивные (пропорциональные количеству вещества в данной термодинамической системе, например, объем) и интенсивные (не зависящие от количества вещества в системе, например, температура и давление) параметры.
В системе СИ [V ] = 1 м3 ;
[ p] =
47
1Н
= 1 Па.
1 м2
В отличие от давления и объема понятие температуры является более сложным и имеет смысл только для равновесных состояний системы. Температура системы, находящейся в равновесном состоянии, служит мерой интенсивности теплового движения ее атомов и молекул. Измерение температуры возможно
только косвенным путем, при котором используются зависимости от температуры ряда физических свойств тела, поддающихся прямым измерениям. Например, при изменении температуры
тела изменяются его линейные размеры, плотность, электрическое сопротивление и другие. Необходимо только знать соответствующую функциональную зависимость данных свойств от
температуры.
Для практических измерений температуры применяются:
1) международная температурная шкала – температура
выражается в градусах Цельсия (°С) и обозначается t, причем
принимается, что при нормальном давлении (105 Па) температура плавления льда составляет 0°С, а кипения воды равна 100°С;
2) термодинамическая температурная шкала – температура выражается в градусах Кельвина (К) и обозначается T.
Связь между термодинамической температурой по Кельвину и
температурой по Цельсию определяется формулой
T = t + 273,15 °С.
Температура T = 0 К называется абсолютным нулем температуры. При этом t = −273,15 °С.
2.1.2. Молекулярно-кинетическая теория газов
Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) изучает свойства веществ, состоящих из атомов, участвующих в тепловом
движении. В основе теории газов лежат следующие постулаты,
или положения:
‫ ـ‬все тела состоят из большого количества атомов и молекул;
‫ ـ‬атомы и молекулы всегда находятся в непрерывном
хаотическом движении, называемом тепловым;
‫ ـ‬между частицами любого вещества существуют силы
взаимодействия – притяжения и отталкивания.
48
При изучении закономерностей поведения вещества, находящегося в газообразном состоянии, используют идеализированную модель реальных газов – идеальный газ. Идеальным
называют такой газ, в котором отсутствуют межмолекулярные силы; размеры молекул много меньше длины свободного
пробега, а взаимодействие при столкновениях молекул абсолютно упругое.
2.1.2.1. Законы идеального газа
Опытным путем для идеального газа было установлено несколько основных законов, характеризующих его состояние.
Закон Авогадро: при одинаковых условиях в равных объемах
любого газа содержится одинаковое число молекул, т.е. моль любого газа при нормальных условиях занимает V = 22, 4 ⋅ 10−3 м3 ,
при этом в нем содержится N A = 6,02 ⋅ 1023 моль−1 молекул.
Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме парциальных давлений ее компонентов:
p = p1 + p2 + ... + pn .
(2.1)
Парциальное давление – это
p
давление, которое создавал бы
один компонент смеси, занимая
весь объем, в котором находится смесь.
T2 > T1
Закон Бойля-Мариотта:
для данной массы газа при постоянной температуре произведение создаваемого давления
T2
на занимаемый объем является
постоянной величиной:
T1
(2.2)
P ⋅ V = const.
0
V
При этом протекающий
Рис. 2.1. Изотермический
процесс
называется изотермичепроцесс
ским, так как температура не
изменяется. Графиком данного процесса является гипербола,
называемая изотермой (рис. 2.1).
49
Закон Гей-Люссака:
для данной массы газа
p2 > p1
при постоянном давлении
p1
объем прямо пропорционален температуре:
V = V0 ⋅ (1 + α ⋅ t ), (2.3)
p2
1
K −1
где α =
273
или
V1 T1
t
0
= .
(2.4)
−273 °С
V2 T2
Рис. 2.2. Изобарный процесс
Процесс, протекающий при постоянном
p
давлении называется изобарным (рис. 2.2).
V2 < V1
Закон Шарля: для
V2
данной массы газа при
постоянном объеме давление линейно растет с
V1
увеличением температуры:
p = p0 ⋅ (1 + α ⋅ t ), (2.5)
или
t
0
p1 T1
−273 °С
= .
(2.6)
p2 T2
Рис. 2.3. Изохорный процесс
Протекающий
при
этом процесс называется изохорным (рис. 2.3).
На практике наиболее часто встречаются случаи, когда одновременно изменяются все параметры состояния системы.
Найдем взаимосвязь между ними.
Пусть первоначальное состояние данной массы газа характеризуется параметрами p1 , V1 , T1 , а конечное, соответственно,
– p2 , V2 , T2 .
Увеличим давление в системе при неизменной температуре
(изотермический процесс). По закону Бойля-Мариотта
p1 ⋅ V1 = p2 ⋅ V
V
50
или
p1 ⋅ V1
.
(2.7)
p2
Затем при установившемся давлении уменьшим температуру (изобарный процесс). При этом по закону Шарля
V2 T2
= ,
V T1
откуда
V ⋅T
V = 2 1.
(2.8)
T2
Приравнивая правые части уравнений (2.7) и (2.8) и проводя преобразования, получим:
p1 ⋅ V1 p2 ⋅ V2
=
.
T1
T2
Из данного выражения следует, что для произвольно выбранного состояния взаимосвязь термодинамических параметров в общем виде можно записать так:
p ⋅V
= const , или p ⋅ V = const ⋅ T .
(2.9)
T
Данное выражение представляет собой объединенный газовый закон.
Значение постоянной в данном уравнении зависит от массы
и химического состава газа, а также от выбора единиц давления,
объема и температуры. Для 1 моля любого газа она одинакова и
называется универсальной газовой постоянной ( R ). В системе
Дж
СИ R = 8,31
.
моль ⋅ К
Тогда для одного моля газа выражение (2.9) примет вид:
(2.10)
p ⋅ Vm = R ⋅ T ,
а для произвольной массы газа
m
(2.11)
Р ⋅V = ⋅ R ⋅ T .
V=
µ
Последнее соотношение называется уравнением Клапейрона-Менделеева.
51
2.1.2.2. Основное уравнение
молекулярно-кинетической теории газов
Рассмотрим движение молекул газа в сосуде. Совершая бесυ yi
υi
порядочные движения, молекулы
взаимодействуют между собой и
−υ xi
стенками сосуда. В результате
S
возникает давление газа на его
стенки.
υi
В силу хаотического движеυ yi
ния молекул газа все направления,
по которым они перемещаются,
υ xi
являются равноправными, т.е. по
каждому направлению в среднем
Рис. 2.4. Взаимодействие
молекулы со стенкой
перемещается равное число молекул.
Для нахождения давления, оказываемого на стенки сосуда,
рассмотрим взаимодействие одной из молекул и стенки (рис. 2.4).
Вектор скорости υi можно разложить на составляющие. B результате абсолютно упругого удара о стенку направление скорости меняется, причем углы падения и отражения будут равны.
При этом вертикальная составляющая скорости молекулы
υ yi остается прежней, а горизонтальная υ xi – меняет направление на противоположное.
Тогда импульсы молекулы до и после соударения
px = m ⋅ υ xi и p′x = −m ⋅ υ xi . Таким
υx
i
S
Рис. 2.5. Взаимодействие
произвольного числа
молекул со стенкой
образом, изменение импульса молекулы ∆p′ будет равно - 2 ⋅ m ⋅ υ x . По
i
закону сохранения импульса для
стенки ∆p = 2 ⋅ m ⋅ υ xi .
Очевидно, что все молекулы,
находящиеся в объеме цилиндра с
площадью основания S и высотой
υ xi в течение одной секунды доле52
тят до стенки сосуда и испытают с ней столкновение (рис. 2.5).
С учетом того, что половина из них движется в обратном направлении, число этих молекул окажется равным
1
⋅ ni ⋅ V ,
(2.12)
2
где ni – концентрация молекул,
V – объем.
В результате площадка S получит суммарный импульс, равный m ⋅ S ⋅ ni ⋅ υ x2i .
По второму закону Ньютона
n
F=
n
∑ ∆p = S ⋅ ∑ m ⋅ n ⋅υ .
i
i
i =1
2
xi
i =1
Разделив обе части уравнения на S, определим давление
молекул:
n
Р=m
Учитывая, что
∑ n ⋅υ
i
∑ n ⋅υ .
2
xi
i
i =1
2
xi
= n ⋅ υ x2 , а также соотношение
υ 2 = υ x2 + υ y2 + υ z2 , в котором в силу хаотического движения молекул ( υ x2 = υ y2 = υ z2 ), получим υ x2 =
υ2
3
. Таким образом,
1
p = ⋅ n ⋅ m ⋅υ 2 .
(2.13)
3
Умножив и разделив правую часть этого равенства на 2
2
m ⋅υ 2
p = ⋅n⋅
,
3
2
получим
2
p = ⋅ n ⋅ Wк.
(2.15)
3
Величина Wк в формуле (2.15) представляет собой среднюю кинетическую энергию одной молекулы газа. Следовательно, давление газа равно двум третям средней кинетической
53
энергии молекул, содержащихся в единице объема газа. Уравнение (2.15) называют основным уравнением кинетической теории идеальных газов.
Итак, давление газа определяется средней кинетической
энергией его молекул, т.е. оно имеет статистический характер.
Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона в виде
Р ⋅V = ν ⋅ R ⋅ T .
N
N
Концентрация молекул равна n = , число молей ν =
.
NA
V
Выразив давление и подставив его в формулу (2.15), получим:
3 R
⋅T.
Wк = ⋅
2 NA
R
= k называется постоянной Больцмана. Она
Отношение
NA
Дж
равна 1,38 ⋅ 10−23
. Окончательно имеем:
К
3
(2.16)
Wк = ⋅ k ⋅ T .
2
Следовательно, средняя кинетическая энергия молекул
пропорциональна температуре газа. В этом случае температуру
можно определить как физическую величину, характеризующую тепловое равновесие. При установлении теплового равновесия перераспределяется энергия молекул, то есть выравнивание температуры означает выравнивание средней кинетической
энергии молекул в газе. Таким образом, выражая температуру
через кинетическую энергию T = 2 ⋅ Wк , можно сделать вывод,
3 k
что единицей температуры может служить единица энергии.
С учетом постоянной Больцмана уравнение p ⋅ Vm = R ⋅ T
для одного моля газа можно привести к виду:
R ⋅T k ⋅ NA ⋅T
p=
=
= n ⋅ k ⋅T ,
(2.17)
Vm
Vm
откуда следует, что давление идеального газа при данной температуре пропорционально концентрации его молекул (или
плотности газа).
54
2.1.3. Статистические закономерности
молекулярной физики
2.1.3.1. Распределение энергии по степеням свободы
Движение молекул может быть как поступательным, так и
вращательным, при этом происходит изменение их местоположения относительно какого-либо начала отсчета, которое определяется числом степеней свободы, т.е. числом независимых
координат, однозначно определяющих положение тела (молекулы) или системы тел (молекул) в пространстве.
Поступательное движение характеризуется тремя степенями свободы, так как молекула может перемещаться вдоль трех
осей: x, y, z. Вращательное движение у молекулы идеального
газа отсутствует, поскольку она представляет собой материальную точку.
Так как кинетическая энергия поступательного движения
молекул идеального газа пропорциональна температуре, то на
1
каждую степень свободы приходится энергия: ε 0 = ⋅ k ⋅ Т .
2
Эта закономерность получила название теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы: если
система молекул находится в тепловом равновесии при температуре Т, то средняя кинетическая энергия равномерно распределена между всеми степенями свободы, и для каждой степени
k ⋅Т
свободы молекулы она равна
.
2
Рассмотрим двухатомную
z
молекулу (рис. 2.6). Если расy
стояние между атомами не меняется, то такая молекула должна иметь шесть степеней свобоx
ды: три для поступательного
движения ее центра масс и три
для вращательного движения
Рис. 2.6. Степени свободы
двухатомной молекулы
молекулы вокруг осей x, y, z.
55
Так как молекулы суть материальные точки, то вращением их воy
круг оси x можно пренебречь. Тогда энергия двухатомной молекулы
5
x
окажется равной ⋅ k ⋅ T .
2
В случае трехатомной молекулы число степеней свободы станоРис. 2.7. Степени свободы
вится равным 6: три поступательтрехатомной молекулы
ных и три вращательных (рис. 2.7)
6
и энергия молекулы равна ⋅ k ⋅ Т .
2
Таким образом, энергия одного моля одноатомного идеаль3
3
5
ного газа W = ⋅ k ⋅ N A ⋅ T = ⋅ R ⋅ T , двухатомного – W = ⋅ R ⋅ T ,
2
2
2
6
трехатомного – W = ⋅ R ⋅ T .
2
В общем случае эту энергию можно записать так:
i
W = RT . (2.18)
2
m ⋅υ 2 3
Исходя из равенства
= ⋅ k ⋅ T , можно определить
2
2
среднюю квадратичную скорость молекул. Она окажется равной
3⋅ k ⋅Т
3⋅ R ⋅T
υ2 =
=
.
(2.19)
µ
m0
z
2.1.3.2. Распределение Больцмана.
Барометрическая формула
Тепловое движение молекул приводит к тому, что частицы
газа равномерно распределяются в объеме сосуда. Для равновесного состояния системы давление и температура газа одинаковы во всем объеме. Но при действии внешней силы распределение молекул изменится. На молекулы воздуха, участвующие в
тепловом движении в земной атмосфере, действует сила тяже56
сти. При этом устанавливается
вполне определенное распределеdx
ние молекул по высоте.
p
Рассмотрим
вертикальный
столб воздуха (рис. 2.8) с площадью основания, равной условной
x
единице.
Пусть у поверхности Земли
p0
x=0
( x = 0 ) давление p0 , а на высоте
x оно равно p. При изменении
Рис. 2.8. Распределение
молекул по высоте
высоты на dx давление уменьшается на dp. Оно равно весу столба воздуха высотой dx с площадью основания в одну единицу:
dp = − ρ ⋅ g ⋅ dx,
где ρ – плотность воздуха;
g – ускорение силы тяжести.
Плотность газа выражается произведением массы молекулы
на их число в единице объема:
ρ = m0 ⋅ n.
p
Учитывая, что n =
из уравнения (2.17), получим:
k ⋅T
m⋅ g
dp = −
⋅ p ⋅ dx.
k ⋅T
Разделим переменные в этом уравнении:
dp
m⋅ g
=−
⋅ dx.
p
k ⋅T
Если T – постоянная величина, то при интегрировании получим:
p − dp
m⋅ g
−
⋅x
m⋅ g
ln p = −
⋅ x + ln C или P = C ⋅ e k ⋅T ,
k ⋅T
где С – постоянная интегрирования. Найдем эту постоянную.
При x = 0 давление равно p0 , т.е. C = p0 . Тогда
p = p0 ⋅ e
57
−
m⋅ g
⋅x
k ⋅T .
(2.20)
Поскольку m =
µ
N0
( µ – молярная масса газа), то
−
µ⋅g
⋅x
p = p0 ⋅ e R⋅T .
(2.21)
Данная зависимость называется барометрической формулой. Она показывает, что давление газа убывает с высотой экспоненциально.
Поскольку давление газа пропорционально числу молекул в
единице объема, выражение (2.20) можно записать в виде
−
m0 ⋅ g
⋅x
n = n0 ⋅ e k ⋅T ,
(2.22)
где n0 – концентрация молекул воздуха у поверхности Земли.
Так как величина m0 ⋅ g ⋅ x = U (потенциальная энергия молекулы на высоте x ), а зависимость (2.22) не будет определяться видом сил, действующих на молекулы, для любого потенциального поля справедливо выражение
−
U
n = n0 ⋅ e k ⋅T ,
(2.23)
которое получило название формулы Больцмана.
n
с энергией U определяется
Таким образом, доля частиц
n0
как величиной этой энергии, так и температурой.
2.1.3.3. Распределение Максвелла
Теоретически молекулы имеют скорость в интервале от -∞
до +∞. Практика показывает, что скорости молекул конечны,
причем той или иной скоростью обладает различное число молекул. В газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям. Данное распределение подчиняется вполне определенному статистическому закону, теоретически выведенному Максвеллом в 1859 году.
Он описывается некоторой функцией, называемой функцией распределения молекул по скоростям:
3/ 2
 m0

f (υ ) = 4 ⋅ π ⋅ 

 2 ⋅π ⋅ k ⋅T 
58
⋅υ ⋅ e
2
−
m0 ⋅υ 2
2⋅k ⋅T .
(2.24)
Конкретный вид
данной функции зависит от рода газа
(массы молекулы) и
от параметра состояния
(температуры
T ).
Функция
распределения по скоростям
определяет
долю молекул едиυ
0
ницы объема газа,
υ
υ кв
υв
скорости
которых
Рис. 2.9. Функция распределения
заключены в интермолекул по скоростям
вале скоростей, равном единице, включающем данную скорость. График функции представлен на рисунке 2.9.
Из него следует, что она обращается в 0 при υ = 0 и при
υ → ∞. Кроме того, функция имеет максимум при определенной
скорости υв . Это значит, что наибольшая доля всех молекул
движется со скоростями, близкими к υв , которая называется
наивероятнейшей. Величину данной скорости можно определить, если производную от функции распределения приравнять
к нулю и провести анализ полученного выражения:
3/ 2
m ⋅υ 2 
− 0
m0
d
d 


2

⋅ υ ⋅ e 2⋅k ⋅T  = 0.
( f (υ ) ) =  4 ⋅ π ⋅ 

dυ
dυ
2 ⋅ π ⋅ k ⋅ T 



Это равенство справедливо, если
m ⋅υ 2
d  2 − 2⋅0k ⋅T 
υ ⋅ e
 = 0.

dυ 


Проведя дифференцирование, получим:
f (υ )
2 ⋅υ ⋅ e
−
m0 ⋅υ 2
2⋅k ⋅T
 m0 ⋅ υ 2 
1 −
 = 0.
 2 ⋅ k ⋅T 
59
Условия υ = 0 и υ = ∞ не соответствуют максимуму кривой распределения, следовательно, значения наивероятнейшей
скорости определятся из условия
m ⋅υ 2
1 − 0 в = 0,
2 ⋅ k ⋅T
откуда
2 ⋅ k ⋅T
2 ⋅ R ⋅T
=
.
(2.25)
υв =
µ
m0
Из данного выражения видно, что при увеличении температуры максимум функции распределения сместится вправо. Однако площадь, ограниченная кривой, останется неизменной,
следовательно, кривая распределения молекул по скоростям
правее максимума будет быстрее стремиться к нулю.
Средняя скорость молекулы (средняя арифметическая
скорость) может быть определена из уравнения
∞
∫
υ = υ ⋅ f (υ ) ⋅ dυ .
(2.26)
0
Интегрируя данное выражение, предварительно подставив
значение функции распределения, получим:
8 ⋅ k ⋅T
8 ⋅ R ⋅T
υ =
(2.27)
=
.
π ⋅ m0
π ⋅µ
2.1.3.4. Опыт Штерна
ω
2
1
К
R
Рис. 2.10. Опыт
Штерна
l
Первое экспериментальное определение скоростей молекул выполнено
немецким физиком О. Штерном. Также его опыты позволили оценить распределение молекул по скоростям. Два
цилиндра (рис. 2.10), находящихся на
одной оси, помещаются под колокол
насоса, создающего вакуум. Во внутреннем цилиндре (1) имеется щель, а
по его центру проходит серебряная
60
проволока (К), которая нагревается под действием тока. При
этом молекулы серебра испаряются, вылетают через щель и откладываются на внутренней поверхности большого цилиндра
(2), образуя узкую полоску.
Затем система цилиндров приводится во вращение с угловой скоростью ω. Атомы серебра попадут при этом уже не в
первоначальную точку, а окажутся смещенными на некоторое
расстояние l. Расстояние от щели до внешнего цилиндра атомы
l
, при этом каждая точка внешнего
пройдут за время τ =
R ⋅ω
цилиндра сместится на то же расстояние l. Обозначив радиус
цилиндра через r , получим:
R−r
ϕ
l
R−r
⋅ R ⋅ ω.
τ=
; τ= =
; υ=
υ
ω R ⋅ω
l
Измерив расстояние между полосками и зная R , ω , r
можно найти скорость атомов серебра. Причем смещенные полоски оказываются размытыми и разной толщины – в центре
толще, чем по краям, в соответствии с законом распределения
Максвелла. Этот опыт позволяет определить среднюю квадратичную скорость и подтвердить закон распределения молекул
по скоростям.
2.1.4. Явления переноса в газах,
или физическая кинетика
2.1.4.1. Основные понятия физической кинетики
Столкновения молекул определяют все процессы, происходящие в газе и, прежде всего, обеспечивают переход газа в равновесное состояние. Такой переход называется процессом релаксации, а промежуток времени, за
который первоначальное отклонение
какой-либо величины от ее равновесРис. 2.11. Траектория
ного значения уменьшается в е раз –
молекулы
временем релаксации.
В результате хаотического движения молекулы газа ее траектория представляет собой ломаную линию (рис. 2.11), так как
61
в момент столкновения с другой молекулой направление скорости меняется. Расстояние, которое молекула проходит между
двумя последовательными столкновениями, называется средней длиной свободного пробега. При этом за единицу времени
молекула испытывает определенное число столкновений, которое тоже может быть различным, поэтому мы можем говорить
только о его среднем значении.
Средняя длина свободного пробега и среднее число столкновений в единицу времени являются главными характеристиками процесса столкновений молекул газа.
Допустим, что движется одна молекула, а все остальные
неподвижны. Выпрямим расстояние, которое прошла эта молекула за единицу времени, – оно и будет определять среднюю
относительную скорость молекуυ
υ
лы.
α
υотн
Пусть две молекулы, двигаясь со скоростями υ и υ1 , взаиυ1
υ1
модействуют между собой. Геометрическая сумма их скоростей
Рис. 2.12. Взаимодействие
молекул
будет являться относительной
скоростью (рис. 2.12).
Тогда
2
υотн
= υ 2 + υ12 − 2 ⋅ υ ⋅ υ1 ⋅ cos α .
Усредняя, получим:
2
υотн
= υ 2 + υ12 − 2 ⋅ υ ⋅ υ1 ⋅ cos α .
Окончательно
2
υотн
= 2 ⋅ υ 2 ;υотн = 2 ⋅ υ .
Найдем среднее число
столкновений за 1 с. Вокруг
d
d
выбранной молекулы построυотн
им цилиндр радиусом, равным
диаметру молекулы, и длиной,
соответствующей относительРис. 2.13. Длина свободного
ной
скорости
молекулы
пробега молекулы
62
(рис. 2.13). Очевидно, что она, двигаясь по оси цилиндра, испытает столкновения с другими молекулами, центр которых попадает внутрь этой фигуры. Число столкновений, которое испытает молекула, будет равно объему цилиндра, умноженному на
концентрацию молекул:
Z = 2 ⋅ π ⋅ d 2 ⋅ n ⋅υ .
Длина свободного пробега в этом случае определится как
υ
1
l = =
,
z
2 ⋅π ⋅ d 2 ⋅ n
где σ = π ⋅ d 2 – эффективное поперечное сечение молекул.
Окончательно
1
l =
.
(2.28)
2 ⋅σ ⋅ n
Формула (2.28) показывает, что длина свободного пробега
молекул обратно пропорциональна концентрации, а следовательно, давлению газа. Кроме того, она зависит и от температуры, так как средняя скорость движения молекул определяется их
эффективным сечением. При одной и той же силе взаимодействия быстрые молекулы испытывают меньшее отклонение, чем
медленные. Поэтому эффективное сечение молекул с повышением температуры уменьшается. Длина же свободного пробега
молекул растет.
Статистическая физика имеет дело с равновесными состояниями тел и с обратимыми процессами, т.е. процессами, при которых система проходит через последовательность равновесных
состояний. Наука, изучающая процессы, возникающие при нарушениях равновесия, носит название физической кинетики.
Ограничимся рассмотрением явлений, возникающих в газах при
небольших отклонениях от состояния равновесия. При нарушении равновесия в телах возникают потоки энергии, массы, импульса. Такие процессы получили названия явлений переноса.
К ним относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее
трение в газах.
63
2.1.4.2. Диффузия
Диффузией называют явление проникновения двух или нескольких соприкасающихся веществ друг в друга. Процесс диффузии возникает в газе, если он неоднороден по составу, т.е. состоит из двух или нескольких различных компонентов, концентрация которых неодинакова в объеме газа. Тогда каждый из
компонентов смеси движется в направлении уменьшения концентрации. При этом концентрации компонента выравниваются.
Такая диффузия называется нестационарной.
Экспериментально был установлен закон диффузии (закон
Фика): число переносимых через поперечное сечение молекул
прямо пропорционально градиенту их концентрации, площади
поперечного сечения и времени переноса.
Его математическое выражение:
dn
∆N = − Д ⋅ ⋅ S ⋅ τ ,
(2.29)
dx
1
где Д = ⋅ υ ⋅ l – коэффициент диффузии. Он численно равен
3
количеству молекул, проходящих через единицу поперечного сечения за единицу времени при единичном градиенте концентра-
ции. В системе СИ [ Д ] = 1
м
2
.
c
Таким образом, коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению газа, так как l ≈ 1/ p, и прямо пропорционален квадратному корню из температуры, поскольку υ ≈ Т .
Эту величину можно назвать коэффициентом самодиффузии, так как рассматривалось движение молекул одного компонента смеси газа.
Для смеси различных газов определяется коэффициент взаимной диффузии
n
1 n

Д12 = ⋅  2 ⋅ υ1 ⋅ l1 + 1 ⋅ υ 2 ⋅ l2  .
3  n
n

64
2.1.4.3. Теплопроводность
Если газ неравномерно нагрет, то наблюдается выравнивание температуры. Это связано с потоком тепла (энергии) от горячей части газа к холодной. Явление возникновения потока тепла в газе называется теплопроводностью.
Пусть вдоль оси x темпеl
ратура изменяется, в то время
S
x
как в перпендикулярном направлении она всюду одинакова
l
T
(рис. 2.14).
T1
T2
Изменение
температуры
Рис. 2.14. Градиент
вдоль
оси
x
характеризуется
температуры
dT
градиентом температуры
.
dx
Существование градиента и является необходимым условием
для возникновения теплопроводности. Направление потока совпадает с направлением падения температуры. Опыт показывает,
что количество теплоты, перенесенной теплопроводностью
прямо пропорционально градиенту температуры, площади сечения, через которую идет процесс теплопередачи, и времени
переноса (закон Фурье):
dT
∆Q = −λ ⋅
⋅ S ⋅τ ,
(2.30)
dx
1
где λ = ⋅ i ⋅ n ⋅ k ⋅ υ ⋅ l – коэффициент теплопроводности. В
6
Вт
.
системе СИ [ λ ] =
м⋅К
Полученная зависимость показывает, что коэффициент теплопроводности не зависит от давления газа, так как концентрация молекул пропорциональна, а длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению. В то же время этот коэффициент зависит от Т .
65
2.1.4.4. Внутреннее трение
Вязкость газов – это свойство, благодаря которому выравниваются скорости движения различных слоев газа. Выравнивание скоростей соседних слоев газа происходит потому, что
из слоя газа с большей скоростью
движения импульс переносится в
P2
P1
υ
слой, движущийся с меньшей скоростью. При постоянной разности
скоростей различных слоев газа
Рис. 2.16. Градиент
поток импульса из одного слоя в
скорости
другой будет постоянным (стационарным), причем этот поток будет направлен вдоль падения
скорости. Это наблюдается при медленном течении газа в трубе
под действием разности давлений, направленной вдоль движения (рис. 2.16).
Наибольшая скорость имеет место в средней части трубы.
По мере приближения к стенкам скорость уменьшается. Происходит перенос импульса от центрального слоя с большей скоростью в слои, где скорость меньше. Это обусловлено хаотическим движением молекул, которые могут двигаться как вдоль
слоя, так и поперек.
Опытным путем было установлено, что сила внутреннего
трения между двумя слоями жидкости прямо пропорциональна
разности скоростей слоев dυ , площади их соприкосновения S и
обратно пропорциональна расстоянию между слоями dx : (закон Ньютона):
dυ
F = −η ⋅
⋅ S,
(2.31)
dx
dυ
где
– градиент скорости вдоль оси x, показывающий, как
dx
быстро изменяется скорость при переходе от слоя к
слою в направлении, перпендикулярном их движению
 dυ

< 0 ;

dx


η – коэффициент вязкости, или внутреннего трения. Физический смысл его заключается в том, что он численно равен силе, действующей на единицу площади при
градиенте скорости, равном единице.
66
Коэффициент вязкости определяется как
1
1
η = ⋅ n ⋅ m ⋅υ ⋅ l = ⋅ ρ ⋅υ ⋅ l ,
(2.32)
3
3
где ρ – плотность газа.
Единицей измерения данного коэффициента в системе СИ
является [η ] = 1 Па ⋅ с.
Формула (2.32) показывает, что коэффициент η не зависит
от давления, так как произведение ρ ⋅ l постоянно. Но коэффициент внутреннего трения должен зависеть от температуры, поскольку определяется средней скоростью, которая, как известно,
пропорциональна Т . В действительности вязкость растет несколько быстрее, чем Т , так как при повышении температуры
уменьшается эффективное сечение молекул, от которого зависит
длина свободного пробега, входящая в формулу коэффициента
вязкости.
2.2. Термодинамика
2.2.1. Основные понятия термодинамики
Термодинамика – это наука, которая занимается изучением общих свойств вещества, связанных с тепловым движением
в условиях равновесия.
В отличие от молекулярно-кинетической теории она изучает макроскопические свойства тел, не интересуясь их микроскопическим строением. Не вводя в рассмотрение молекулы и атомы, термодинамика позволяет делать целый ряд выводов относительно протекания тепловых процессов.
Внутренней энергией U называется энергия системы, зависящая только от ее термодинамического состояния и включающая в себя энергию теплового движения микрочастиц системы, а также энергию их взаимодействия. Она является однозначной функцией состояния и зависит только от абсолютной
температуры тела или системы тел.
Под количеством теплоты понимают изменение внутренней энергии системы при ее нагревании или охлаждении
контактным способом либо излучением.
67
Для термодинамической системы закон сохранения и превращения энергии может быть записан в форме
∆U = Q + A′,
где A′ – работа, совершенная над системой внешними силами;
Q – количество теплоты, сообщенное системе;
∆U – изменение внутренней энергии системы.
Учитывая, что работа, совершаемая системой над внешними телами (против внешних сил) (А = -А′), получим:
∆U = Q + A.
(2.33)
Данное уравнение выражает закон сохранения энергии и
называется первым началом термодинамики: количество тепла, сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними
телами (против внешних сил).
Очевидно, что изменить внутреннюю энергию системы
можно, совершая над ней работу (например, путем трения) или
передавая ей некоторое количество
S
теплоты (нагревая ее). В первом
случае имеет место адиабатический
2
процесс, который идет без теплообмена с внешней средой, а во втором
∆h
– диатермический путем теплопередачи, но без совершения работы.
1
Пусть газ заключен в цилиндрический сосуд, закрытый плотно
пригнанным, но легко скользящим
p
поршнем (рис. 2.17). При расширении газ совершает работу по перемещению поршня на расстояние ∆h,
Рис. 2.17. Работа газа
равное
∆A = F ⋅ ∆h,
где F – сила, с которой газ действует на поршень. Заменив ее
произведением давления газа на площадь поршня, получим:
∆A = p ⋅ S ⋅ ∆h.
Работа газа считается отрицательной, а внешних сил над газом – положительной.
68
Если давление газа постоянно, то работа будет
определяться выражением
A12 = p (V2 − V1 ) . (2.34)
p
При переменном давлении работу можно вычислить интегрированием:
pi
V2
V
0
V1
∆Vi
V2
А12 =
∫ р ⋅ dV .
(2.35)
V1
Процесс
изменения
объема
газа
показан
на диаРис. 2.18. Работа расширения
грамме (рис. 2.18). Элементарной работе ∆Ai = pi ⋅ ∆Vi соответствует площадь узкой заштрихованной полоски. Очевидно, что площадь, ограниченная
осью V , графиком и ординатами объемов V1 и V2 , численно
равна работе расширения.
Работа кругового процесса также определяется площадью
полученной фигуры (рис. 2.19). Участок 1-2 характеризует работу расширения газа, а участок 2-1 – работу сжатия. В этом случае первое начало термодинамики можно записать:
dQ = dU + p ⋅ dV .
Значительную роль при
p
рассмотрении законов термодинамики играет теплоем1
кость тела (газа) – физическая
2
величина, определяемая количеством теплоты, необходимым для изменения температуры тела на 1 К:
V
Q
C=
.
(2.36)
0
V
V1
2
∆T
Рис. 2.19. Работа
кругового процесса
69
Теплоемкость единицы массы вещества называется удельной:
C
Q
C
Q
c= =
, а одного моля – молярной: Cµ = =
.
m m ⋅ ∆T
ν ν ⋅ ∆T
Молярная и удельная теплоемкости связаны соотношением
(2.37)
Cµ = µ ⋅ c.
2.2.2. Применение первого начала термодинамики к
изопроцессам
2.2.2.1. Изохорный процесс
P
Теплоемкость всегда является функцией процесса,
поэтому необходимо различать теплоемкость при постоянном объеме cV , CV µ и при
постоянном давлении c p , C pµ .
0
При изохорном процессе (рис.
2.20) тепло идет на изменение
внутренней энергии, поэтому
dQ = dU , и тогда внутренняя
энергия системы может быть
V
Рис. 2.20. Изохорный процесс
в координатах P-V
выражена:
dU = ν ⋅ CV µ ⋅ dT .
При неизменном объеме работа газа равна нулю, и первое
начало термодинамики записывается как
dU
dQ =
dT .
dT
Следовательно, вся подводимая к газу теплота идет на увеличение его внутренней энергии. Отсюда
dU  dQ 
=
 = ν ⋅ CV µ .
dT  dT V
70
Так как энергия одного моля W =
лоемкость газа окажется равной:
3
одноатомного – CV µ = ⋅ R,
2
5
двухатомного – CV µ = ⋅ R,
2
6
трехатомного – CV µ = ⋅ R.
2
i
⋅ R ⋅ T , то молярная теп2
2.2.2.2. Изобарный процесс
Для изобарного процесса (рис. 2.21) работа расширения газа
определяется как
dA = p ⋅ dV , или A12 = p ⋅ (V2 − V1 ) .
Воспользуемся первым началом термодинамики:
dQ = dU + dA.
Учитывая, что dU = ν ⋅ CV µ ⋅ dT , получим:
P
А
dQ = ν ⋅ CV µ ⋅ dT + p ⋅ dV .
Уравнение
КлапейронаМенделеева для изобарическоν ⋅ R ⋅T
. Дифго процесса V =
p
ференцируя его, найдем, что
p ⋅ dV = ν ⋅ R ⋅ dT .
Тогда первое начало термодинамики будет
dQ = ν ⋅ ( CV µ + R ) ⋅ dT .
V
Учитывая, что
 dQ 
Рис. 2.21. Работа газа

 = ν ⋅ C pµ = ν ⋅ ( Cvµ + R ) ,
при изобарном процессе
 dT  p
придем к уравнению:
C pµ = CV µ + R,
(2.38)
которое получило название уравнения Майера.
V1
V2
71
При этом молярная теплоемкость газов будет равна:
3
5
одноатомного – С pµ = ⋅ R + R = ⋅ R,
2
2
5
7
двухатомного – С pµ = ⋅ R + R = ⋅ R,
2
2
6
8
трехатомного – С pµ = ⋅ R + R = ⋅ R.
2
2
2.2.2.3. Изотермический процесс
P
Изотермический
процесс,
график которого изображен на
рисунке (2.22), характеризуется
постоянством температуры Т.
Кроме того, не меняется и произведение давления на объем данной массы газа ( p ⋅ V = const ).
Этот процесс можно осущеT
ствить над газом в сосуде, снаб0
женном поршнем (рис. 2.23).
V1
V2
V
Чтобы обеспечить постоянство
Рис. 2.22. Изотермический
температуры сосуд помещают в
процесс
термостат – аппарат, имеющий какой-либо источник энергии (электронагреватель, горелка
и т.д.).
Терморегулятор автоматически поддерживает температуру в
Q
термостате постоянной.
Чтобы определить работу
при этом процессе, необходимо
найти интеграл
V2
V2
V1
V1
T = const
∫ dA = ∫ p ⋅ dV .
Рис. 2.23. Схема
термостата
72
При этом давление – величина переменная, которая может
быть выражена из уравнения Клапейрона-Менделеева:
ν ⋅ R ⋅T
p=
.
V
Подставив это выражение под знак интеграла, получим:
V2
∫
dV
A = ν ⋅ R ⋅T ⋅
=ν ⋅ R ⋅T
V
V1
V2
∫V
V1
dV
= ν ⋅ R ⋅ T ⋅ ln
V2
.
V1
(2.39)
Из данной формулы следует, что работа изотермического
расширения не зависит от отношения объемов. Так как по закону Бойля-Мариотта
p1 V2
= ,
p2 V1
то формулу работы можно записать и так:
p
A = ν ⋅ R ⋅ T ⋅ ln 1 .
(2.40)
p2
При этом
 dQ 
CT µ = 
.

 dT T =const
Таким образом, теплоемкость газа при расширении стремится к +∞, а при сжатии – к -∞.
2.2.3. Адиабатный процесс. Уравнение Пуассона
При адиабатном процессе газ должен быть теплоизолирован, т.е. в этом случае dQ = 0, и закон сохранения энергии принимает вид
− dU = dA.
Это значит, что работа, связанная с изменением объема газа, должна сопровождаться изменением внутренней энергии и
температуры. Знак «-» указывает на то, что при расширении газа
его температура понижается, а при сжатии – возрастает. В первом случае работа совершается только за счет внутренней энергии газа, поэтому такой процесс будет наиболее экономичным.
Запишем первое начало термодинамики в виде
ν ⋅ CV µ ⋅ dT + p ⋅ dV = 0.
(2.41)
73
Дифференцируя уравнение Клапейрона-Менделеева
p ⋅V =ν ⋅ R ⋅ T ,
получим:
p ⋅ dV + V ⋅ dp = ν ⋅ R ⋅ dT ,
откуда
p ⋅ dV + V ⋅ dp
dT =
.
ν ⋅R
Подставляя данное значение в выражение (2.41) и проводя
преобразования, найдем:
p ⋅ dV ⋅ ( CV µ + R ) + CV µ ⋅ V ⋅ dp = 0.
Разделим это выражение на CV µ ⋅ p ⋅ V . Учитывая, что
CV µ + R = C pµ ,
С pµ dV dp
⋅
+
= 0.
CV µ V
p
При интегрировании последнего найдем:
C pµ
⋅ ln V + ln p = ln C.
CV µ
Обозначив отношение γ =
C pµ
CV µ
и подставляя его в преды-
дущее уравнение, придем к выражению γ ⋅ ln V + ln p = ln C. Потенцирование дает окончательное уравнение:
p ⋅ V γ = const.
(2.42)
Данное соотношение называется уравнением Пуассона, или
уравнением адиабаты, а величина γ называется показателем
адиабаты.
Из уравнения Пуассона видно, что при адиабатическом изменении объема газа его давление меняется обратно пропорционально V γ , причем γ > 1, так как C pµ > CV µ . Более быстрое
изменение давления при расширении газа в адиабатическом
процессе, в отличие от изотермического, объясняется тем, что в
этом случае давление меняется не только за счет расширения, но
и вследствие понижения температуры.
74
Используя уравнение Клапейрона-Манделеева, легко найти
соотношения между другими параметрами газа в уравнении Пуассона:
T ⋅ V γ −1 = const ,
(2.43)
T γ ⋅ p1−γ = const.
(2.44)
Работа при адиабатическом расширении газа определяется
из формулы dA = p ⋅ dV и оказывается равной:
1
A=
⋅ ( p ⋅ V − p2 ⋅ V2 ) .
(2.45)
γ −1 1 1
2.2.4. Тепловая машина. Цикл Карно
рабочее
тело
Передача тепла газу при расширении сопровождается совершением работы. В технике используются процессы, в которых передача тепла и преобразование его в работу периодически
повторяется. При этом тело, совершающее работу, после получения теплоты от источника должно вернуться в исходное состояние, чтобы снова начать такой же процесс, т.е. оно должно
совершать круговые процессы, или циклы.
В циклических процессах обязательно
выполняется принцип
нагреватель
T1
Кельвина: нельзя осуществить круговой процесс, в результате котоQ1
рого совершалась бы работа, и тепло не переходило бы от горячих
Q2
тел к холодным.
Согласно этому принципу теплота может быть превращена в рахолодильник
T2
боту при непременном условии, что
кроме источника тепла и газа, соРис. 2.24. Схема
вершающего работу (рабочего тетепловой машины
ла), должно быть еще одно, которое
бы поглощало тепло. В этом случае источник тепла называют
нагревателем, a тело с более низкой температурой, которому
теплота передается, – холодильником (рис. 2.24).
Утверждение о том, что для совершения работы в циклической машине необходимо участие двух тел с различной температурой, называется принципом Карно.
75
Рассмотрим круговой
процесс, для осуществления которого нужны наA
греватель, холодильник и
рабочее тело.
B
Если в начальный момент рабочее тело нахоD
дится в контакте с нагреC
вателем, то оно имеет температуру Т1 (точка A на
0
V1
рис. 2.25), и при изотермиV2 V3
V1 V4
ческом расширении (кривая AB ) будет совершена
Рис. 2.25. Цикл Карно
работа. Полученное рабочим телом тепло необходимо передать холодильнику. Для охлаждения рабочего тела изолируем его от нагревателя и дадим
возможность расширяться адиабатно (кривая BC ) до тех пор,
пока температура не окажется равной температуре холодильника. На этом этапе тело совершает дополнительную работу за
счет своей внутренней энергии.
Чтобы вернуть газ в первоначальное состояние, необходимо
его сжать, причем сначала изотермически (кривая CD ), а затем
адиабатно (кривая DA ), совершая над ним работу. При этом
температура рабочего тела возрастает и оказывается равной
температуре нагревателя. На этом цикл завершается.
Данный круговой процесс состоит из двух изотермических
и двух адиабатных процессов и носит название цикла Карно. В
таком процессе часть тепла, полученная от нагревателя, преобразуется в механическую работу. Совокупность нагревателя,
рабочего тела и холодильника, которая преобразует тепло в
работу, является тепловой машиной (идеальной).
Если провести цикл Карно в обратном направлении, забирая тепло от холодильника и передавая его нагревателю, то получается холодильная машина. При этом работа внешних сил
окажется больше, чем работа газа при его расширении, поэтому
обратный цикл может быть совершен только за счет потребления энергии от внешнего источника.
p
76
КПД тепловой машины. Полезная работа в цикле Карно
окажется равной разности количеств теплоты, полученной от
нагревателя и переданной холодильнику: A = Q1 − Q2 . Следовательно, коэффициент полезного действия (КПД) цикла
Q − Q2
η= 1
,
(2.46)
Q1
V
где Q1 = ν ⋅ R ⋅ T1 ⋅ ln 2 – количество тепла, полученное при изоV1
термическом расширении;
V3
Q2 = ν ⋅ R ⋅ T2 ⋅ ln
– количество тепла, отдаваемое при изоV4
термическом сжатии.
Подставляя эти значения в формулу КПД, получим:
V
V
T1 ⋅ ln⋅ 2 − T2 ⋅ ln⋅ 3
V1
V4
(2.47)
η=
.
V2
T1 ⋅ ln⋅
V1
Из уравнений Пуассона для адиабатических процессов проводимого цикла T1 ⋅ V2γ −1 = T2 ⋅ V3γ −1 и T1 ⋅ V1γ −1 = T2 ⋅ V4γ −1 следует,
V V
что 2 = 3 . Тогда формула (2.50) принимает вид:
V1 V4
T −T
η= 1 2.
(2.48)
T2
Эта зависимость является математическим выражением
теоремы Карно: КПД любой квазистатической машины Карно
зависит только от температур нагревателя и холодильника и
не зависит от вида рабочего вещества.
2.2.5. Энтропия. Второе начало термодинамики
Сравнивая выражения (2.46) и (2.48), можно сделать вывод,
что
Q1 − Q2 T1 − T2
.
=
Q1
T1
77
(2.49)
Из данного выражения следует, что если количества теплоQ Q
Q
ты не равны между собой, то 1 = 2 . Отношение
называют
T
T1 T2
приведенной теплотой.
На бесконечно малом участке процесса приведенное колиdQ
чество теплоты будет определяться как
. Тогда для всякого
T
dQ
будет равно
обратимого кругового процесса значение
T
нулю, т.е. подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, которая не зависит от направления процесса и определяется только состоянием системы.
Эта величина S называется энтропией и является функцией состояния системы, причем изменение ее при переходе из состояния А в состояние В равно:
∫
B
SB − S A =
∫
A
dQ
.
T
Изменение энтропии системы, которой сообщено бесконечно малое количество тепла dQ определяется соотношением
dQ
dS =
.
(2.50)
T
Для обратимых круговых процессов изменение энтропии
равно нулю. Энтропия системы, совершающей необратимый
цикл, возрастает. Откуда следует
(2.51)
∆S ≥ 0.
Данное выражение называется неравенством Клаузиуса,
т.е. энтропия замкнутой системы может либо возрастать
(для необратимых процессов), либо оставаться постоянной
(для обратимых процессов).
Воспользовавшись первым началом термодинамики
dQ = dU + dA, получим:
(2.52)
T ⋅ dS = dU + dA.
Это уравнение носит название термодинамического тождества. Его называют вторым началом термодинамики для обратимых процессов.
78
Утверждение о том, что энтропия изолированной системы
может только возрастать, носит название закона возрастания энтропии, или второго начала термодинамики.
Клаузиус сформулировал второе начало следующим образом: невозможны такие процессы, единственным конечным результатом которых был бы переход тепла от тела, менее нагретого, к телу, более нагретому. Второе начало не запрещает
переход тепла от холодного тела к более теплому (холодильная
машина). В этом случае переход тепла – не единственный результат. Он также сопровождается совершением над системой
работы.
Кельвину принадлежит еще одна формулировка второго
начала термодинамики: невозможны такие процессы, единственным конечным результатом которых явилось бы отнятие
от некоторого тела определенного количества тепла и превращение этого тепла полностью в работу.
В тепловой машине превращение тепла в работу обязательно сопровождается дополнительным процессом – передачей некоторого количества тепла более холодному телу, вследствие
чего получаемое от нагретого тела количество тепла не может
быть полностью превращено в работу.
Используя процессы, запрещаемые вторым началом термодинамики, можно было бы создать двигатель, совершающий
работу за счет тепла, получаемого от такого, например, практически неисчерпаемого источника энергии, как океан. Такой двигатель равнозначен вечному двигателю. Поэтому второе начало
термодинамики иногда формулируется так: невозможен вечный
двигатель второго рода, т.е. такой периодически действующий
двигатель, который получал бы тепло от одного резервуара и
превращал это тепло полностью в работу.
Коэффициент полезного действия этой машины оказался
бы равным единице. В действительности такая машина действовать не сможет, так как не могут молекулы рабочего тела самопроизвольно собраться в одной части сосуда, чтобы затем совершить работу (это уменьшило бы энтропию системы, что невозможно). Заметим, что здесь речь идет о невозможности циклической машины, все время повторяющей процесс превраще79
ния тепла в работу. В то же время однократное превращение
вполне возможно – оно не противоречит ни первому, ни второму началам термодинамики.
Второе начало термодинамики, будучи статистическим законом, описывает закономерности хаотического движения
большого числа частиц, составляющих изолированную систему.
Второе начало термодинамики, установленное для изолированных систем на Земле, не может быть распространено на всю
бесконечную Вселенную. Такое распространение с философской и физической точек зрения приводит к неправильному выводу о том, что температура всех тел во Вселенной должна постепенно выровняться. При этом все формы движения, кроме
хаотического теплового движения, прекращаются – наступает
так называемая «тепловая смерть» Вселенной. В действительности в связи с ее бесконечностью неизбежны флуктуации, которые нарушают тепловое равновесие. Продолжительность и величина этих флуктуаций могут быть весьма значительными
(рождение новых звезд и галактик). Поэтому для бесконечной
Вселенной не может быть равновесного состояния, соответствующего «тепловой смерти».
2.3. Свойства агрегатных состояний вещества,
или свойства реальных газов, жидкостей и твердых тел
2.3.1. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса
p
C
B
A
0
V2
V1
V
Рис. 2.25. Кривая сжатия
реального газа
80
До сих пор мы рассматривали идеальные газы, молекулы которого являются
материальными точками, не
имеющими объема и не
взаимодействующими между
собой.
Рассмотрим реальный
газ, например, СО2, находящийся в сосуде под поршнем. По мере сжатия газа его
давление непрерывно растет,
но при достижении некоторой величины, соответствующей объему V1, перестает изменяться (рис. 2.25). В это время на поверхности поршня и стенках сосуда появляются капельки жидкости.
Дальнейшее сжатие газа приводит к увеличению количества
жидкости до тех пор, пока весь газ не обратится в жидкость. Затем при объеме V2 давление резко увеличивается. На участке BC
часть объема сосуда занята жидкостью, другая часть – газом, который в этом случае называется насыщенным паром.
На рисунке 2.26 показаp
ны изотермы, соответствующие различным температурам, причем если температура
повышается, то горизонтальК
pK
ный участок становится все
короче. Наконец, при определенной температуре (критическая температура) гориC
B
зонтальный участок кривой
исчезает, вырождаясь в точку
A
перегиба, при этом плотности
жидкости и пара становятся
0
V
V2 VK V1
одинаковыми. Давление и
Рис. 2.26. Изотермы
объем при этой температуре
реального газа
также называют критическими. При температуре выше критической образование жидкости
уже ни при каких давлениях невозможно.
Уравнение состояния, которое учитывает конечные размеры молекул и силы взаимодействия между ними, было предложено Вен-дер-Ваальсом в 1873 году.
Если внешнее давление стремится к бесконечности, то объем газа под поршнем должен стремиться к нулю, но такого явления для реального газа не может быть, так как необходимо
учитывать собственный объем молекул. Определим поправку на
объем, учитывая то, что в газе происходят в основном двойные
столкновения между молекулами, тройные же крайне редки,
поэтому ими можно пренебречь:
p ⋅ (V − b ) = R ⋅ T .
81
На рисунке 2.27 пунктиром
d
показан объем, окружающий
каждую молекулу, в пределы
которого не может попасть
центр взаимодействующей с
ней молекулы. Этот объем ра4
вен π d 3 . Так как в каждом
Рис. 2.27. Эффективный
3
диаметр молекулы
акте столкновения участвуют
две молекулы, придем к выводу, что для каждой из них существенна не вся запретная зона (сфера), окружающая одну из участниц взаимодействия, а только та половина, которая обращена
к соседней молекуле. Тогда на каждую молекулу придется ров1 4
но половина указанного объема ⋅ π d 3 . Заменяя диаметр сфе2 3
ры через радиус молекулы и учитывая, что в одном моле содержится N 0 молекул, получим:
16
b = ⋅ π ⋅ r 3 ⋅ N0 .
(2.52)
3
Введем далее поправку, учитывающую силы притяжения,
которые приводят к тому, что давление на стенку сосуда со стороны молекул реального газа меньше, чем для идеального газа.
Любая молекула, находящаяся около стенки сосуда, испытывает силу притяжения со стороны внутренних молекул и эта
сила оказывается направленной внутрь газа. В результате давление на стенку становится меньше на некоторую величину ∆p.
Тогда давление в газе определится по формуле
R ⋅T
p=
− ∆p.
V −b
Давление, которое испытывает пристенный слой молекул,
равно силе, действующей на все молекулы на единице поверхности слоя. Очевидно, что эта сила пропорциональна плотности
молекул n. С другой стороны, число молекул в пристенном слое,
испытывающих силу притяжения, также пропорционально n .
Следовательно, ∆p ∼ n 2 . Поскольку концентрация обратно
82
а
,
V2
где V – молярный объем газа и а – коэффициент пропорциональности, численное значение которого зависит от характера
сил притяжения между молекулами.
В результате получим:
а
R ⋅T
р+ 2 =
V
−b
V
или после преобразований:
a 

(2.53)
 p + 2  ⋅ (V − b ) = R ⋅ T .
V 

Данное соотношение является уравнением состояния реального газа и называется уравнением Ван-дер-Ваальса. Для
произвольного количества газа оно принимает вид
a 

2
(2.54)
 р + ν ⋅ 2  ⋅ (V − ν ⋅ b ) = ν ⋅ R ⋅ T .
V 

Если в уравнении (2.54) перенести все величины в левую
часть, раскрыв при этом скобки, и разделить на p, то
пропорциональна объему газа, занимаемому молем, то ∆р =

R ⋅T  2 a
a ⋅b
(2.55)
V 3 − b +
= 0.
 ⋅V + ⋅V −
p 
p
p

Это уравнение третьей
p
степени относительно объема, имеющее три корня.
На рисунке 2.28 изображен
график кубического уравнения, который имеет макp1
симум и минимум, так что
данному значению давления p1 соответствует три
значения молярного объема: V1 , V2 , V3 . При этом
0
V2 V3
V1
V
минимальному значению
Рис. 2.28. Изотерма
(максимальной плотности)
Ван-дер-Ваальса
соответствует жидкое со83
стояние, а максимальному – газообразное. Вычислим критические параметры реального газа. Известно, что

R ⋅ Tк  2 a
a ⋅b
V 3 − b +
⋅V −
= V 3 − 3 ⋅ Vк ⋅ V 2 + 3 ⋅ Vк2 ⋅ V − Vк3 .
 ⋅V +
p
p
p
к 
к
к

Тогда коэффициенты при одинаковых степенях V в обеих
частях данного уравнения будут одинаковы:
R ⋅ Tк
а
а ⋅b
= Vк3 .
(2.56)
= 3 ⋅ Vк2 ,
b+
= 3 ⋅ Vк ,
рк
рк
pк
Решая полученную систему уравнений, найдем значения
критических параметров, выраженные через постоянные a и b :
а
8⋅а
Vк = 3 ⋅ b,
рк =
Тк =
.
,
(2.57)
2
27 ⋅ R ⋅ b
27 ⋅ b
Между теоретической и экспериментальной изотермами реального газа имеется существенное различие (рис. 2.29). Вместо
горизонтального участка
p
ас изотерма Ван-дерВаальса не прерывается.
g
Легко заметить, что состояния,
отвечающие
d
точкам на участке кривой fbd не могут сущеa
c
b
ствовать, так как здесь с
h
f
увеличением давления
растет объем. Достигая
точки d , при дальней0
шем незначительном поV
вышении давления вещеРис. 2.29. Сравнение теоретической
ство стазу переходит в
и экспериментальной изотерм
состояние, отвечающее
точке f .
Вещество на участке cd характеризуется пересыщенным
состоянием (переохлажденным). Это возможно только для идеально чистого газа, в котором отсутствуют всякие примеси и
электрические заряды. Незначительного внешнего воздействия
достаточно, чтобы пересыщенный пар начал конденсироваться.
84
Точки на участке af отвечают жидкому состоянию, которое
называют перегретой жидкостью. Состояния, соответствующие
состояниям на участках cd и af , в отличие от нестабильных
состояний участка fbd , называют метастабильными.
Джоуль и Томпсон, используя расширение реального газа,
достигли его сильного охлаждения. Газ при достаточно большом, но постоянном давлении (создаваемом компрессором) заставляют протекать через пористую теплоизолированную перегородку, т.е. адиабатно. Сопротивление перегородки приводит к
потере части давления газа, и он выходит при более низком давлении или дросселируется. В этом случае явление изменения
температуры газа при его адиабатном расширении (дросселировании) называется эффектом Джоуля-Томпсона.
Изменение температуры реального газа при этом объясняется тем, что при его расширении увеличивается расстояние
между молекулами и совершается работа против сил взаимодействия молекул. За счет этой работы снижается кинетическая
энергия молекул, а следовательно, и температура газа.
Количественно эффект Джоуля-Томпсона характеризуется
∆Т
коэффициентом дросселирования: µ =
. Оказывается, что
∆р
для большинства реальных газов (азот, кислород и др.), у которых внутренняя энергия зависит не только от температуры, но и
от объема, коэффициент µ больше нуля, и газ в процессе дросселирования охлаждается. Для водорода и гелия µ – отрицательный, и при тех же условиях они нагреваются.
Процесс Джоуля-Томпсона необратим, поэтому он сопровождается повышением энтропии. Кроме того, для одного и того же газа в одной области температур µ может быть положительным, а в другой – отрицательным. Таким образом, существует температура Ti , характерная для данного газа, при которой
коэффициент меняет свой знак. Она называется температурой
инверсии и приблизительно равна Ti ≈ 6,7 ⋅ Tк .
Эффект Джоуля-Томпсона лежит в основе действия первой
машины для сжижения газов, т.е. получения низких температур.
Это машина Линде. В настоящее время для этих целей приме85
няются машины с расширением в детандерах или поршневых
машинах, в которых сжатый газ совершает работу и охлаждается, постепенно переходя в жидкое состояние и скапливаясь в
приемнике.
2.3.2. Жидкости и их свойства
Жидкое состояние, занимая промежуточное положение между газами и кристаллами, сочетает в себе некоторые черты
этих состояний. Для жидкостей характерно наличие определенного объема, но жидкость принимает форму сосуда, в котором
находится. В расположении частиц жидкости наблюдается так
называемый ближний порядок. Это означает, что по отношению
к любой частице расположение ближайших к ней соседей является упорядоченным. Однако по мере удаления от данной частицы расположение по отношению к ней других частиц становится все менее упорядоченным, и довольно быстро порядок
полностью исчезает. Ближний порядок обусловливает квазикристаллический характер жидкости.
Радиальная функция распределения, характеризующая распределение молекул в пространстве, и их взаимодействие для
различных фаз вещества выглядит по-разному (рис. 2.30).
f (r )
f (r )
газ
f (r )
тв. тело
жидкость
r
r
r
Рис. 2.30. Функция распределения молекул для различных фаз вещества
На рисунке видно, что функция распределения для газа начиная с расстояния, равного диаметру молекулы, остается неизменной. Твердое состояние характеризуется наличием точек, в
86
которых молекулы фиксированы и могут только колебаться
около положения равновесия. В жидкостях на расстояниях порядка нескольких диаметров молекулы порядок сохраняется за
счет взаимодействия соседних молекул, но с увеличением этого
расстояния силы взаимодействия настолько ослабевают, что молекулы жидкости уподобляются молекулам газа.
В результате большой подвижности частиц в жидкости возникают микроскопические разрывы, микрополости – дырки. Тепловое движение приводит к тому, что дырки самопроизвольно
исчезают в одних местах и появляются одновременно в других.
Это эквивалентно хаотическому перемещению дырок. В отличие от газа молекула жидкости колеблется около положения
равновесия в течение некоторого времени τ , называемого временем оседлой жизни, или временем релаксации. После этого
положение равновесия скачком смещается на расстояние, по
порядку величины равное среднему расстоянию d между соседними молекулами:
1
µ
,
d ≈3
=3
(2.58)
n0
NA ⋅ ρ
где n – концентрация молекул;
ρ – плотность жидкости.
При повышении температуры время релаксации быстро
уменьшается. Этим объясняется большая подвижность молекул
и малая вязкость жидкостей при высоких температурах.
Для перехода молекулы от одного положения равновесия к
другому необходима затрата некоторой энергии активации W.
Такой переход рассматривается как переход через потенциальный барьер высотой W. Весь процесс оказывается возможным
потому, что в результате столкновений при тепловом движении
на отдельных молекулах концентрируется большая энергия, переданная им другими. Зависимость времени релаксации от W и
температуры имеет вид
W
τ = τ 0 ⋅ е k ⋅T ,
(2.59)
где k – постоянная Больцмана;
τ 0 – средний период колебаний молекулы около положения
равновесия.
87
2.3.2.1. Поверхностное натяжение
Молекулы жидкости располагаются настолько близко друг
к другу, что силы притяжения между ними имеют значительную
величину, но начиная с некоторого расстояния силами притяжения между молекулами можно пренебречь. Это расстояние называется радиусом молекулярного действия, а сфера радиуса r
называется сферой молекулярного действия. Радиус молекулярного действия имеет величину порядка нескольких эффективных диаметров молекулы.
Каждая молекула испытывает притяжение со стороны всех
соседних молекул, находящихся в пределах сферы молекулярного действия. Равнодействующая всех этих сил равна нулю для
молекулы с r , большим ее диаметра (рис. 2.31). Иначе обстоит
дело, если молекула находится
r
от поверхности на расстоянии,
меньшем r. Так как плотность
пара (или газа, с которым граничит жидкость) во много раз
F
меньше плотности жидкости,
выступающая за пределы жидРис. 2.31. Сфера
кости часть сферы молекулярмолекулярного действия
ного действия будет менее заполнена молекулами, чем остальная часть сферы. В результате
на каждую молекулу, находящуюся на поверхности в слое толщиной r , будет действовать сила, направленная внутрь жидкости.
Переход молекулы из глубины жидкости в поверхностный
слой обусловлен совершением работы против действующих в
поверхностном слое сил за счет запаса ее кинетической энергии.
В итоге увеличивается потенциальная энергия молекулы. При
обратном движении молекулы вглубь жидкости потенциальная
энергия, которой она обладала в поверхностном слое, переходит
в кинетическую энергию.
Итак, молекулы в поверхностном слое имеют дополнительную потенциальную энергию. Поскольку положение равновесия
соответствует минимуму потенциальной энергии, жидкость,
88
предоставленная самой себе, будет принимать форму с минимальной поверхностью, т.е. форму шара.
Из-за наличия поверхностной энергии жидкость обнаруживает стремление к сокращению своей поверхности. Если мысленно выделить часть поверхности жидкости, ограниченную
замкнутым контуром, то тенденция этого участка к сокращению
приводит к тому, что он действует на граничащие с ним участки
с силами, распределенными по всему контуру. Эти силы называются силами поверхностного натяжения. Направлены они
по касательной к поверхности жидкости, перпендикулярно к
участку контура, на который идет воздействие. Обозначим силу
поверхностного натяжения, приходящуюся на единицу длины
контура, через α. Ее называют коэффициентом поверхностного
натяжения:
F
α= .
(2.60)
l
Если имеется прямоугольная
рамка с подвижной перекладиной, затянутая пленкой жидкости
(рис. 2.32), то вследствие стремления поверхностного слоя к сокращению со стороны пленки на
перекладину будет действовать
сила, равная 2 ⋅ α ⋅ l. Чтобы она
dx
находилась в равновесии, нужно
приложить внешнюю силу F,
F = 2 ⋅α ⋅ l
равную силе натяжения пленки.
Если перекладина под действием
Рис. 2.32. Сила
силы F переместится на расстояповерхностного натяжения
ние dx, то будет совершена работа:
dA = −2 ⋅ α ⋅ l ⋅ dx = −α ⋅ dS ,
где dS – приращение площади пленки. Это означает, что при
изотермическом расширении, т.е. увеличении площади поверхностного слоя свободная энергия жидкости
возрастает на dU = α ⋅ dS .
89
Отсюда следует, что коэффициент поверхностного натяжения α представляет собой дополнительную свободную энергию
единицы площади поверхностного слоя:
dU
α=
.
(2.61)
dS
Если поверхность жидкоа
сти не плоская, то стремление
ее к сокращению приведет к
p + ∆p
возникновению давления, дополнительного к тому, которое
p − ∆p
испытывает жидкость с плоской поверхностью. В случае
b
выпуклой поверхности это
давление положительно, в
Рис. 2.33. Действие изогнутой
случае вогнутой – отрицательповерхности жидкости
но (рис. 2.33).
Вычислим добавочное давление для сферической поверхности. Свободная энергия, например, мыльной сферической
пленки для внешней и внутренней поверхностей окажется равной:
U = 8 ⋅π ⋅ r2 ⋅α.
Для увеличения радиуса шара на величину dr нужно совершить работу против сил поверхностного натяжения:
(2.62)
dA = p ⋅ dV .
В этом случае увеличение свободной энергии окажется
равным:
dU = 16 ⋅ π ⋅ r ⋅ α ⋅ dr.
4
Так как V = ⋅ π ⋅ r 3 , то после дифференцирования и под3
становки в формулу (2.62) получим:
dA = p ⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ dr.
Отсюда
4 ⋅α
16 ⋅ π ⋅ r ⋅ α ⋅ dr = p ⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ dr ⇒ p =
.
r
В случае одной поверхности
2 ⋅α
p=
.
r
90
Лаплас получил зависимость (формулу Лапласа) для любых
поверхностей в виде
1 1
p = α ⋅  + ,
(2.63)
 r1 r2 
где r1 и r2 – радиусы кривизны соответствующих поверхностей.
2.3.2.2. Смачивание. Капиллярные явления
Поверхность жидкости
образует с твердой поверхВоздух
ностью угол, называемый
краевым. Величина этого
Жидкость
θ
угла зависит от соотношения
между коэффициентами поα
α
верхностного натяжения на
границах: жидкость – возТвердое тело
дух, жидкость – твердое тело
и твердое тело – воздух (рис.
Рис. 2.34. Смачивание
2.34). Из условия механического равновесия элемента
жидкости на границе раздела трех сред получим:
αТТ − В = α Ж −ТТ + α Ж − В ⋅ cosθ (на единицу длины), откуда
α
− α Ж −ТТ
cos θ = ТТ − В
.
(2.64)
α
ТТ − В
Ж −В
Ж −ТТ
α Ж −В
Из анализа выражения (2.64):
cos θ > 0 – смачивание жидкостью твердого тела;
cos θ < 0 – несмачивание твердого тела;
cos θ ≥ +1 – полное смачивание твердого тела жидкостью;
cos θ ≤ −1 – полное несмачивание твердого тела.
Существование краевого угла приводит к искривлению поверхности жидкости вблизи стенки сосуда. В узкой трубке, диаметр которой во много раз меньше ее длины (капилляре), искривленной оказывается вся поверхность, которая называется
мениском.
91
R
r
θ
h
h
θ
Рис. 2.35. Смачивающая жидкость
в капилляре
Рис. 2.36. Несмачивающая
жидкость в капилляре
Если поместить капилляр одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то под искривленной поверхностью в капилляре давление будет отличаться от давления над плоской
поверхностью в широком сосуде на величину ∆p, определяемую формулой Лапласа. При смачивании капилляра мениск вогнутый и расположен выше уровня жидкости в сосуде (рис.
2.35), при несмачивании форма мениска выпуклая, и он находится ниже уровня жидкости (рис. 2.36). Это явление получило
название капиллярности.
Между жидкостью в капилляре и широком сосуде устанавливается такая разность уровней h, при которой гидростатическое давление ρ ⋅ g ⋅ h уравновешивало бы капиллярное ∆p :
2 ⋅α
,
ρ ⋅ g ⋅h =
R
где α – поверхностное натяжение на границе жидкость – газ;
R – радиус кривизны мениска. Его можно выразить через
краевой угол и радиус капилляра r.
r
.
На рисунке 2.35 видно, что R =
cos θ
Подставив это значение в предыдущую формулу, получим:
2 ⋅α
h=
⋅ cos θ .
(2.65)
ρ ⋅g ⋅r
92
2.3.2.3. Испарение
В жидкости всегда имеется некоторое количество молекул,
энергия которых достаточна для того, чтобы преодолеть притяжение других молекул, покинуть жидкость и перейти в газообразное состояние. Такой переход называют испарением.
При испарении из жидкости вылетают наиболее быстрые
молекулы, вследствие чего средняя энергия оставшихся уменьшается, и происходит охлаждение жидкости. Чтобы температура не менялась, к жидкости требуется подводить тепло. Количество тепла, необходимого для испарения единицы массы жидкости, называется удельной теплотой испарения:
Q
L= .
(2.66)
m
Это количество теплоты идет на разрушение межмолекуДж
лярных связей в жидкости. В системе СИ [ L ] = 1
.
кг
При конденсации выделяется такое же количество теплоты,
которое поглощается при испарении.
Явление парообразования, происходящее во всей толще
жидкости, называется кипением. При этом возникают воздушные пузырьки, внутрь которых испаряются молекулы жидкости. Поднимаясь на поверхность, они лопаются, вызывая характерный шум. Температура кипения определяется внешним
давлением: чем оно выше, тем больше температура кипения и
наоборот.
2.3.3. Твердые тела
Как известно, твердые тела сохраняют свои форму и объем.
Большая часть твердых тел в природе имеет кристаллическое
строение.
В кристаллах атомы упорядочены во всем объеме – в них
действует дальний порядок. Характерная черта кристаллического состояния, отличающая его от жидкости и газа, заключается в
наличии анизотропии, т.е. зависимости физических свойств от
направления.
93
Причиной анизотропии кристаллов является упорядоченное
расположение атомов или молекул, из которых они построены.
Оно же проявляется в правильной внешней огранке кристаллов.
Упорядоченность расположения атомов кристалла обусловливает размещение атомов в узлах геометрически правильной пространственной решетки. Весь кристалл может быть получен
путем многократного повторения в трех различных направлениях одного и того же структурного элемента, называемого элементарной кристаллической ячейкой. Точки, в которых располагаются атомы такой ячейки, называются узлами решетки.
В зависимости от природы частиц, расположенных в узлах
кристаллической решетки, и от характера сил взаимодействия
между частицами различают четыре типа решеток и, соответственно, кристаллов: ионные, атомные, металлические и молекулярные.
В узлах кристаллической
решетки ионных кристаллов
размещены ионы разных знаков.
Силы взаимодействия здесь в основном электростатические (гетерополярные). Типичным примером такой решетки служит
изображенная на рисунке 2.37
решетка каменной соли (NaCl).
Положительные ионы натрия
изображены в виде черных кружРис. 2.37. Кристаллическая
ков, а отрицательные ионы хлора
решетка каменной соли
– в виде белых кружков.
В узлах кристаллической решетки атомных кристаллов
расположены нейтральные атомы. В этом случае связь, объединяющая их, называется гомеополярной (ковалентной). Силы
взаимодействия носят также электрический (но не кулоновский)
характер. Такая связь осуществляется электронными парами –
по одному электрону от каждого атома (валентными электронами). Примерами атомных кристаллов служат алмаз и графит.
Такую же решетку, как алмаз, имеют типичные полупроводники
– германий (Gе) и кремний (Si). Для них характерно то, что каждый атом окружен четырьмя равноотстоящими от него соседя94
ми, расположенными в вершинах правильного тетраэдра. Каждый из четырех валентных электронов входит в электронную
пару, связывающую данный атом с одним из соседей.
В узлах кристаллической решетки металлических кристаллов расположены положительные ионы металла. Между
ними беспорядочно движутся электроны, оторвавшиеся от атомов, которые принадлежат всему металлу и носят название коллективизированных.
В узлах кристаллической решетки молекулярных кристаллов помещаются определенным образом ориентированные молекулы. Удерживают эти молекулы те же силы притяжения, что
и в реальных газах. Молекулярные решетки образуют азот, кислород, углекислый газ, лёд.
В отличие от кристаллических твердых тел в меньшем количестве встречаются аморфные вещества. Аморфные вещества
(стекло, смолы) ведут себя как жидкости с аномально большой
вязкостью. При низких температурах они тверды и не текут. По
сути, это переохлажденные жидкости, при остывании которых
не восстановилась их структура (решетка). Свойства таких тел
одинаковы по всем направлениям, т.е. они изотропны.
2.3.3.1. Свойства твердых тел
Плавление. Повышение температуры твердого тела влечет
за собой увеличение энергии теплового движения молекул (атомов), которые совершают колебания около положения равновесия, обусловленные характером зависимости сил взаимодействия от расстояния между молекулами или атомами. Возрастание
амплитуды колебаний атомов вследствие нагревания кристалла
вызывает преобладание сил отталкивания над силами притяжения между атомами, что приводит к разрушению кристаллической решетки.
При дальнейшем увеличении температуры начинается процесс плавления твердых тел – переход вещества из твердого
состояния в жидкое, причем этот процесс является изотермическим. Вся подводимая извне теплота идет на разрушение кристалла, а уже потом – на нагревание образовавшейся жидкости.
95
Процесс плавления характеризуется удельной теплотой
плавления ( λ ), т.е. отношением количества теплоты, необходимого для того, чтобы перевести твердое тело в жидкость при
температуре плавления:
Q
λ= .
(2.67)
m
Единицей измерения удельной теплоты плавления в систеДж
.
ме СИ является 1
кг
Если после расплавления жидкости прекратить ее нагревание, то при охлаждении начинается процесс кристаллизации –
переход вещества из жидкого состояния в твердое. Данный
процесс изотермический и сопровождается выделением теплоты
кристаллизации, которая равна теплоте плавления. Начинается
процесс кристаллизации вблизи так называемых центров кристаллизации, которыми могут быть пылинки, мельчайшие примеси, неоднородности.
При отсутствии центров кристаллизации (чистая жидкость)
и быстром охлаждении можно получить переохлажденную жидкость (с температурой ниже температуры кристаллизации), но
такое состояние неустойчиво.
У некоторых твердых тел, например, таких как нафталин,
йод, твердая углекислота (сухой лед) наблюдается процесс перехода из твердого состояния в газообразное минуя жидкую фазу
– сублимация. Все твердые тела сублимируют, но при комнатной температуре скорость протекания данного процесса настолько мала, что сублимация практически незаметна.
Рассмотренные выше процессы испарения, плавления, кристаллизации являются фазовыми переходами первого рода, которые характеризуются тем, что при их протекании поглощается
или выделяется теплота. Для описания состояния вещества и
происходящих в нем фазовых переходов используют диаграмму
состояний, на которой в координатах ( p, T ) задается зависимость между температурой фазового перехода и давлением.
На рисунке 2.38 представлена диаграмма состояния, поле
которой разделено на три области, соответствующие условиям
96
существования разных фаз вещества. Границами данного деления служат кривые фазового равновесия: КИ – испарения,
КП – плавления, КС – сублимации. Каждая точка на этих кривых соответствует условиям равновесия двух сосуществующих
фаз.
Точка, в которой пересекаются кривые фазового равновесия, определяющая условия одновременного равновесного сосуществования трех фаз вещества, называется тройной точкой.
Для некоторых веществ
p
КП
(например, вода, чугун) объем
жидкой фазы меньше объема
КИ
твердой фазы, следовательно,
увеличение давления сопровождается понижением темpТР
пературы плавления (штриховая линия на рисунке).
Тепловое
расширение.
КС
При повышении температуры
T
линейные размеры твердых
тел увеличиваются, а с пониTТР
жением – уменьшаются. ТепРис. 2.38. Диаграмма состояний
ловым расширением называвещества
ется увеличение линейных
размеров тела и его объема, происходящее при повышении температуры тела.
Количественно тепловое расширение характеризуется коэффициентами линейного и объемного расширения. Если тело
длиной l при изменении температуры на ∆T градусов изменяет
свою длину на ∆l , то коэффициент линейного расширения определяется
1 ∆l
,
α= ⋅
l ∆T
а коэффициент объемного расширения
1 ∆V
.
β= ⋅
V ∆T
Другими словами, они равны относительному изменению
длины или объема при изменении температуры на один градус.
97
Температурные коэффициенты линейного и объемного
расширения связаны между собой соотношением:
β = 3 ⋅α.
(2.68)
Таким образом, если тело нагревается, то его длина l и
объем V будут определяться соотношениями:
l = l0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆t ) ,
(2.69)
V = V0 ⋅ (1 + β ⋅ ∆t ) ,
(2.70)
где l0 и V0 – начальные длина и объем тела.
Увеличение объема тел при плавлении приводит к уменьшению их плотности, которое можно определить из формулы
ρ=
ρ0
.
1 + β ⋅ ∆t
(2.71)
Однако для некоторых веществ (например, кремний, висмут, германий) плотность при плавлении увеличивается, а при
отвердевании – уменьшается. К таким веществам относится и
лед (вода). Это объясняется особенностями строения кристаллической решетки льда, так как при кристаллизации расстояние
между ближайшими молекулами воды увеличивается, и в кристалле образуются «пустоты», что приводит к уменьшению
плотности.
Расположение частиц в узлах кристаллической решетки отвечает минимуму их взаимной потенциальной энергии. При
смещении частиц из положения равновесия в любом направлении появляется сила, стремящаяся вернуть частицу в первоначальное положение, вследствие чего возникают колебания частицы. Колебание вдоль произвольного направления можно
представить как суперпозицию колебаний вдоль трех перпендикулярных направлений. Поэтому каждой частице следует приписать три колебательные степени свободы.
На каждую степень свободы, как известно, приходится
1
энергия, равная k ⋅ T , причем ⋅ k ⋅ T приходится на кинетиче2
1
скую и ⋅ k ⋅ T – на потенциальную энергию. Следовательно,
2
каждая частица (атом в атомной решетке) обладает в среднем
98
энергией, равной 3 ⋅ k ⋅ T . Энергию моля вещества в кристалле
можно найти, умножив среднюю энергию одной частицы на
число частиц, расположенных в узлах кристаллической решетки, т.е. на число Авогадро (для химически чистых веществ).
Поэтому для внутренней энергии одного моля вещества
можно записать:
Um = N A ⋅ 3⋅ k ⋅T = 3⋅ R ⋅T ,
откуда
CV µ = 3 ⋅ R.
(2.72)
Последнее соотношение носит названия закона Дюлонга и
Пти.
Твердое тело представляет собой совокупность атомов, совершающих колебания, которые передаются со скоростью звука
от одних атомов к другим.
При этом возникает волна и переносит энергию в виде тепла. Количественно перенос тепла определяется из соотношения
dT
q = −λ ⋅
,
dx
dT
где
– градиент температуры в направлении x;
dx
λ – коэффициент теплопроводности.
Величина q называется потоком тепла.
99
Глава 3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
3.1. Электростатика
3.1.1. Основные понятия
Термин «электричество» произошел от древнегреческого
«электрон» – янтарь. Все тела в природе состоят из мельчайших
частиц, которые условно называются элементарными, хотя могут иметь свою внутреннюю структуру. Из известных в настоящее время элементарных частиц электрическим зарядом обладают электроны, позитроны, протоны, антипротоны и ряд
других. Обладание электрическим зарядом является неотъемлемым фундаментальным свойством некоторых элементарных
частиц.
Несмотря на большое разнообразие заряженных частиц, в
природе существует только два рода электрических зарядов –
положительные и отрицательные. Положительными называют
заряды, подобные возникающим на стекле, потертом о кожу, а
отрицательными – на янтаре потертом о шерсть. Величина элементарного заряда e = 1,6 ⋅ 10−19 Кл . Элементарный положительный заряд имеет протон ( m = 1, 67 ⋅ 10
−27
кг ), а отрицательный
−31
– электрон ( m = 9,1 ⋅ 10 кг ). Большинство тел состоит из равного числа протонов и электронов, поэтому в целом они электрически нейтральны.
Любой произвольный заряд содержит определенное количество элементарных зарядов:
N
q=
∑e,
i
i =1
(3.1)
где N – любое целое положительное число (1, 2, 3, ….).
Следовательно, любой макроскопический заряд дискретен и
может изменяться на 1, 2, 3 и т.д. элементарных зарядов.
Процесс, при котором происходит перераспределение
электрических зарядов как в одном теле, так и между несколькими телами, называется электризацией. Данный процесс осу100
ществляется трением тел друг о друга либо путем индукции
(наведения). В случае электризации через индукцию электроны
перемещаются под влиянием сил притяжения или отталкивания
со стороны внешнего заряда к одному концу проводника, на котором возникает избыток электронов (отрицательный заряд), а
на противоположном конце проводника из-за недостатка электронов появляется положительный заряд.
В природе действует закон сохранения электрического заряда: в замкнутой системе тел алгебраическая сумма зарядов
есть величина постоянная. Данный закон был установлен экспериментально Ф. Эпинусом (Россия) и М. Фарадеем (Англия) в
конце 18 – начале 19 вв.
Элементарные заряды называются свободными, если они
могут перемещаться по всему объему тела, и связанными, если
прочно удерживаются атомами или молекулами.
3.1.2. Закон Кулона
Взаимодействие заряженных тел определяется законом Кулона: сила взаимодействия двух точечных электрических зарядов q1 и q2 прямо пропорциональна произведению данных зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между
ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды:
q ⋅q r
F =k⋅ 1 2 ⋅ ,
(3.2)
2
r
r
где r – радиус-вектор между зарядами;
k – коэффициент пропорциональности, величина которого
зависит только от выбора системы единиц. В системе
СИ он определяется по формуле:
1
(3.3)
k=
,
4 ⋅π ⋅ε0
Ф
где ε 0 = 8,85 ⋅ 10−12
– электрическая постоянная (диэлектричем
ская проницаемость вакуума), и равен:
k = 9 ⋅ 10
9
101
Н⋅м
Кл
2
2
.
Известно, что одноименные заряды отталкиваются, а разноименные – притягиваются.
В скалярной форме закон Кулона записывается в виде
q ⋅q
F =k⋅ 1 2 2 .
(3.4)
r
Любой электрический заряд вызывает в окружающем пространстве определенные физические изменения, которые проявляются в том, что на всякий другой заряд, помещенный на некотором расстоянии от рассматриваемого, действует сила (отталкивания или притяжения). Такое взаимодействие на расстоянии
возможно только посредством некоторой среды, которая, по М.
Фарадею, называется электростатическим полем. По определению электростатическое поле есть особая форма материи,
возникающая вокруг неподвижных зарядов и распространяющаяся со скоростью света в бесконечность.
3.1.3. Напряженность электростатического поля
Для исследования электростатического
поля
используется
q
пробный заряд – положительный
0
r
заряд q0 , величина которого равна единице.
q
Если поместить пробный заряд
Рис. 3.1. Взаимодействие
в некоторую точку поля (рис. 3.1),
зарядов
то на него будет действовать сила:
q ⋅ q0
F1 = k ⋅
.
2
r
На заряд, равный 2 q0 , помещенный в эту же точку, действует другая сила:
q ⋅ 2 ⋅ q0
F2 = k ⋅
,
2
r
но отношение
F2
2 ⋅ q0
=
F1
q0
=k⋅
q
r
102
2
= const .
Таким образом, отношение силы к величине заряда, помещенного в данную точку, есть величина постоянная, и его можно принять за характеристику электростатического поля.
Векторная физическая величина, численно равная силе, действующей со стороны поля на пробный заряд, называется напряженностью электростатического поля:
F
E= .
(3.5)
q0
Она является силовой характеристикой электростатического поля и совпадает по направлению с вектором силы. Формула
(3.5) позволяет получить единицы измерения напряженности:
[E] =
[F ] Н
=1
[ q ] Кл
=1
В
м
.
Если электростатическое поле создается системой зарядов,
то напряженность результирующего поля будет равна сумме
напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:
n
E=
∑E ,
(3.6)
i
i =1
то есть для напряженности справедлив принцип суперпозиции. Графически электростатическое поле изображают при помощи силовых линий – линий, касательные к которым в каждой точке показывают направление вектора напряженности.
Силовые линии поля положительного заряда направлены от него, а отрицательного – к нему и не пересекаются (рис. 3.2).
E
E
Рис. 3.2. Силовые линии электростатических полей
положительного и отрицательного зарядов
103
3.1.4. Теорема Остроградского-Гаусса
Число силовых линий dФ , проходящих через некоторую
площадь dS , называется потоком вектора напряженности:
d Φ = E ⋅ dS = E ⋅ dS ⋅ cos α = En ⋅ dS .
(3.7)
Тогда полный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность будет равен сумме элементарных потоков, т.е.
Φ=
∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ dS.
n
S
S
М.В. Остроградский и К.Ф. Гаусс доказали, что поток может быть рассчитан для любого количества зарядов, находящихся внутри произвольной замкнутой поверхности и сформулировали теорему: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы зарядов, охватываемых данной поверхностью, к диэлектрической проницаемости вакуума:
Φ=
∫
∫
E ⋅ dS =
S
En ⋅ dS =
S
1
ε0
n
⋅
∑q .
(3.8)
i
i =1
Данная теорема позволяет найти напряженность электростатического поля. Например, если заряды охвачены сферической поверхностью радиуса r , то
n
1
∫ E ⋅ dS = 4 ⋅ π ⋅ ε
n
S
⋅
0
∑
n
qi
i =1
2
r
∑q
i
2
⋅ 4 ⋅π ⋅ r =
i =1
ε0
=
q
ε0
.
Таким образом,
∫
или
En ⋅ dS =
S
q
ε0
,
∫ D ⋅ dS = q,
n
S
где Dn = ε ⋅ ε 0 ⋅ En – индукция электростатического поля.
104
(3.9)
(3.10)
Уравнения (3.9) и (3.10) называют уравнениями Максвелла.
Если заряд распределен по тонкому поверхностному слою
какого-либо тела, то данное распределение характеризуется поверхностной плотностью заряда, т.е. зарядом, приходящимся
на единицу площади поверхности:
Кл
dq
σ = , [σ ] = 1 2 .
(3.11)
dS
м
В случае распределения заряда по тонкому бесконечному
цилиндру говорят о линейной плотности заряда, численно равной заряду, приходящемуся на единицу длины:
Кл
dq
τ = , [τ ] = 1 .
(3.12)
dl
м
Когда заряд распределяется по всему однородному телу,
имеет место объемная плотность заряда, равная заряду единицы объема:
Кл
dq
, [ρ] = 1 .
(3.13)
3
dV
м
Таким образом, зная заряд внутри какой-либо поверхности
и ее форму, т.е. площадь, можно найти напряженность электростатического поля (табл. 1).
Таблица 1
Примеры расчета напряженностей некоторых полей
ρ=
№
Рисунок
1
2
1
σ
2
+
E+
σ+
E+
E−
E−
dS
E+
σ
−
E−
Источник
поля
3
Равномерно
заряженная
бесконечная плоскость
Две бесконечные параллельные
разноименно заряженные плоскости
105
Формула
4
E=
σ
2 ⋅ ε ⋅ ε0
E=
σ
ε ⋅ ε0
Окончание табл. 1
1
2
3
E
σ
3
+
r
+
+
R
+
+
+
+
+
+
Равномерно
заряженная
сферическая поверхность
радиуса R
4
1
q
⋅ ,
4 ⋅π ⋅ ε ⋅ ε0 r2
при r ≥ R;
E = 0, при r < R
E=
1
E=
4
+ +
+ + r +
ρ
+ + + +
+ + R
Объемно
заряженный
шар
r
⋅
4 ⋅ π ⋅ ε ⋅ ε0
q
r
2
,
при r ≥ R;
E=
1
4 ⋅ π ⋅ ε ⋅ ε0
⋅
q⋅r
R
3
,
при r ≤ R
5
r
+
+
E
+
τ
R
Равномерно
заряженный
бесконечный цилиндр
E=
1
2 ⋅ π ⋅ ε ⋅ ε0
⋅
τ
r
,
при r ≥ R;
E = 0, при r < R
E
3.1.5. Работа электростатического поля
При перемещении пробного заряда в электростатическом
поле под действием внешней силы по произвольной траектории
работа будет совершаться против сил поля. Рассмотрим бесконечно малый участок траектории, по которой движется заряд q0
из одного положения в другое (рис. 3.3). Элементарная работа
на данном участке
106
dA = F ⋅ dl = F ⋅ dl ⋅ cos α = F ⋅ dr ,
q⋅q
1
⋅ 20.
где F =
4 ⋅π ⋅ε0 r
Тогда полная работа на всей траектории
r2
(3.14)
r2
q ⋅ q0 dr
q ⋅ q0  1 1 
(3.15)
⋅ 2 =
 − .
4 ⋅π ⋅ε0 r
4 ⋅ π ⋅ ε 0  r1 r2 
r1
r1
Как следует из формулы
(3.15), работа электростатиF
ческих сил определяется
2
только начальным и конечα
dr
ным положениями перемеdl
1
щаемого заряда и не зависит
q0
от формы траектории. Следовательно, электростатичеr2
ские силы являются консерr
r1
вативными, а электростатическое поле точечного заряда – потенциальным. Кроме
того, работа, совершаемая
по перемещению заряда в
q
электростатическом поле по
любой замкнутой траектории, будет равна нулю, т.е.
Рис. 3.3. Перемещение заряда
∫ ∫
A = dA =
в электростатическом поле
∫ dA = 0.
(3.16)
L
В потенциальном поле сил тело обладает потенциальной
энергией, при этом работа сил поля совершается за счет ее убывания. Таким образом, формулу (3.15) можно представить в виде
q ⋅ q0
q ⋅ q0
A=
−
= WП 1 − WП 2 ,
(3.17)
4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r1 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r2
откуда следует, что потенциальная энергия заряда q0 , находящегося в поле заряда q, будет равна:
WП =
1
4 ⋅ π ⋅ ε ⋅ ε0
107
⋅
q ⋅ q0
r
.
(3.18)
В случае одноименных зарядов потенциальная энергия их
взаимодействия (отталкивания) положительна, а если заряды
разноименные – энергия такого взаимодействия (притяжения)
отрицательна.
Когда заряд q0 находится в электростатическом поле, создаваемом системой зарядов, его потенциальная энергия равна
сумме потенциальных энергий каждого из зарядов
n
WП =
∑W
n
Пi
= q0 ⋅
i =1
∑ 4 ⋅π ⋅ε
i =1
q
0
⋅ ri
.
(3.19)
3.1.6. Потенциал электростатического поля
Рассмотрим электростатическое поле заряда q, в некоторую точку B которого из бесконечности перемещается заряд
q0 . При этом будет совершена работа:
A 1= k ⋅
q ⋅ q0
.
r
При таком же перемещении заряда 2 ⋅ q0 работа окажется
равной:
q ⋅ 2 ⋅ q0
A 2= k ⋅
.
r
Разделим величины работ на величины перемещаемых зарядов:
A1
q A2
q
A
=k⋅ ,
= k ⋅ , или
= const .
q0
r 2 ⋅ q0
r
q'
Таким образом, данные отношения не зависят от величины
пробных зарядов, а определяются только радиус-вектором r .
Для точки B они постоянны и могут характеризовать электростатическое поле:
ϕ=
A
q
.
(3.20)
Данная величина является энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом.
108
Потенциал электростатического поля – это физическая
величина, численно равная работе по перемещению единичного
положительного заряда из бесконечности в данную точку поля.
Единица измерения потенциала:
[ϕ ] =
[ A] 1 Дж
=
[ q ] 1 Кл
= 1 В.
Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q, определяется выражением
q
(3.21)
ϕ=k⋅ .
r
При помещении одинакот. B
вых зарядов в разные точки
q0
поля B и C (рис. 3.4) между
ними возникнет разность поrB
тенциалов:
q
∆ϕ = ϕC − ϕ B .
(3.22)
rC
q0
В этом случае работу, сот. C
вершаемую по перемещению
пробного заряда из одной точРис. 3.4. Возникновение
ки в другую, можно предстаразности потенциалов
вить как произведение величины заряда на разность потенциалов поля в начальной и конечной точках:
A = q0 ⋅ ( ϕ1 − ϕ 2 ) = q0 ⋅ ∆ϕ .
(3.23)
Таким образом, разность потенциалов двух точек в электростатическом поле будет определяться работой, совершаемой
силами поля, при перемещении единичного положительного
заряда из первой точки во вторую:
A
ϕ1 − ϕ2 = .
(3.24)
q0
Если работу по перемещению заряда записать через напряженность поля
2
∫
A12 = q0 ⋅ E ⋅ dl ,
1
109
(3.25)
и приравнять выражения (3.24) и (3.25), получим:
2
∫
ϕ1 − ϕ2 = E ⋅ dl .
(3.26)
1
Так как при перемещении единичного заряда по замкнутой
траектории работа работ равна нулю, получим:
∫ E ⋅ dl = 0.
(3.27)
Данное выражение является вторым уравнением Максвелла.
При перемещении заряда из точки 1 в точку 2 вдоль оси x
выражение (3.26) примет вид:
x2
ϕ1 − ϕ 2 =
∫ E ⋅ dx = E ⋅ ∆x = −∆ϕ ,
x
x
x1
или
Ex = −
Если ∆x → 0, то
∆ϕ
∆x
→
∆ϕ
.
∆x
dϕ
dx
, где
dϕ
dx
называют градиен-
том потенциала.
Следовательно, зная напряженность электростатического
поля в каждой точке, можно найти разность потенциалов между
любыми точками:
E x = − grad ϕ .
Для трехмерного пространства
E = − gradϕ .
(3.28)
Данная формула выражает связь между напряженностью
поля (силовой характеристикой) и его потенциалом (энергетической характеристикой).
Используя выражение (3.28) и значения напряженностей
электростатических полей, записанные ранее, получим значения
разности потенциалов для данных полей (табл. 2).
110
Таблица 2
Вычисление разности потенциалов
для некоторых электростатических полей
№
Источник поля
1
Равномерно заряженная бесконечная плоскость
2
Две бесконечные параллельные разноименно заряженные
плоскости, расстояние
между которыми d
Формула
ϕ1 − ϕ 2 =
σ
⋅ ( x2 − x1 )
2 ⋅ ε0
ϕ1 − ϕ 2 =
σ
⋅d
ε0
вне сферы:
3
Равномерно заряженная сферическая поверхность
ϕ1 − ϕ2 =
1 1
⋅  − ;
4 ⋅ π ⋅ ε 0  r1 r2 
q
внутри потенциал одинаков:
ϕ=
q
4 ⋅π ⋅ε0 ⋅ R
вне шара ( r1 > R , r2 > R , r2 > r1 ):
4
Объемно заряженный
шар
ϕ1 − ϕ2 =
внутри шара ( r1 < R , r2 < R , r2 > r1 ):
ϕ1 − ϕ2 =
5
1 1
⋅ −  ;
4 ⋅ π ⋅ ε 0  r1 r2 
q
q
8 ⋅π ⋅ε0 ⋅ R
ϕ1 − ϕ2 =
Равномерно заряженный бесконечный цилиндр
3
(
⋅ r22 − r12
)
r
τ
⋅ ln 2
2 ⋅π ⋅ε0
r1
( r1 > R , r2 > R , r2 > r1 )
Примечание. Для пунктов 3 и 4 расстояния считаются от центров сферы и
шара, а для пункта 5 – от оси цилиндра.
111
3.1.7. Электроемкость
Опытным путем установлено, что различные проводники,
которым сообщаются одинаковые заряды, имеют разные потенциалы, но при этом ни один проводник невозможно заряжать до
бесконечности. Поскольку заряды дискретны, то в силу отталкивания они располагаются по поверхности проводящего тела.
С увеличением заряда происходит возрастание потенциала, при
этом может наступить момент, когда заряды на проводнике более не вмещаются.
Рассмотрим металлический шар, которому сообщен заряд
q0 . Потенциал шара в данном случае окажется равным:
ϕ 1= k ⋅
q0
.
r
Если переместить на шар еще один такой же заряд, то
2 ⋅ q0
ϕ 2= k ⋅
и т.д.
r
Однако отношение заряда к потенциалу в каждом случае
будет одинаково, т.е.
q0 2 ⋅ q0 r
=
= = const .
k
ϕ1
ϕ2
Данное отношение обозначают буквой C и называют электроемкостью. Электроемкость (емкость) проводника – физическая величина, численно равная заряду, необходимому для изменения потенциала проводника на единицу:
q
(3.29)
C= .
ϕ
Таким образом, электроемкость характеризует способность
проводника или системы проводников накапливать электрические заряды.
Единица измерения емкости в СИ:
[ q ] 1 Кл
=
= 1 Ф (1 фарада).
[C ] =
[ϕ ] 1 В
112
Электроемкость проводников шарообразной формы:
r
C = = 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε ⋅ R.
k
Как следует из этой формулы, электроемкость пропорциональна размерам проводника, и для получения больших емкостей требуются гигантские размеры проводников. Даже для шара, по размерам сравнимого с Землей, емкость будет чуть больше 600 мкф. Поэтому на практике для увеличения емкости проводников используются конденсаторы.
Конденсатор – устройство, способное при малых размерах
и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, т.е. обладать
большой емкостью. Состоит конденсатор из двух проводников,
называемых обкладками, между которыми находится диэлектрик. Геометрически это может быть плоская, цилиндрическая
или шаровая конфигурация (так как только в этих случаях поле,
создаваемое накапливаемыми зарядами, будет сосредоточено в
узком зазоре между обкладками).
Емкость конденсатора определяется отношением накопленного заряда к разности потенциалов между обкладками:
q
C=
.
ϕ1 − ϕ2
Она зависит от геометрии и диэлектрических свойств среды
между его обкладками.
Рассмотрим плоский конденсатор, площадь пластин которого S во много раз больше, чем расстояние d между ними.
Учитывая, что для двух параллельных пластин ϕ1 − ϕ 2 =
получим C =
q ⋅ ε ⋅ ε0
σ ⋅d
=
q ⋅ ε ⋅ ε0 ⋅ S
q⋅d
C=
σ
⋅ d,
ε0
, или окончательно:
ε ⋅ ε0 ⋅ S
(3.30)
.
d
Аналогично можно получить формулы для цилиндрического
2 ⋅π ⋅ε ⋅ε0 ⋅ L
(3.31)
C=
,
R
ln
r
113
и сферического
C=
4 ⋅π ⋅ε ⋅ε0 ⋅ r ⋅ R
R−r
(3.32)
конденсаторов.
Если же между обкладками имеется несколько слоев различных диэлектриков, то емкость определяется как
ε0 ⋅ S
ε0 ⋅ S
C=
n
∑ε
i =1
=
di
d1
ε1
i
+
d2
ε2
+
d3
ε3
,
+ ...
где d 1, d 2, d 3 и т.д. – толщина слоя диэлектрика.
Виды соединений конденсаторов. Для получения заданного
значения емкости из конденсаторов можно составлять батареи
путем последовательных и параллельных соединений. Рассмотрим батарею параллельно соединенных конденсаторов (рис. 3.5).
∆ϕ
C1
C2
q1
q2
C3
Cn
qn
q3
Рис. 3.5. Параллельное соединение конденсаторов
В этом случае разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна ϕ 1− ϕ 2, а заряды конденсаторов:
q1 = C1 ⋅ (ϕ 1− ϕ 2 ) ,
q2 = C2 ⋅ (ϕ 1− ϕ 2 ) ,
q3 = C3 ⋅ (ϕ 1− ϕ 2 ) ,
qn = Cn ⋅ (ϕ 1− ϕ 2 ) .
Заряд всей батареи
n
q=
∑ q = (C + C
i
1
2
(
)
+ C3 + ... + Cn ) ⋅ ϕ 1 − ϕ 2 .
i =1
114
Тогда полная емкость батареи
C=
q
ϕ1 − ϕ 2
,
или
n
C=
∑C .
(3.33)
i
i =1
Таким образом, при параллельном соединении нескольких
конденсаторов общая емкость батареи возрастает.
В случае последовательного соединения (рис. 3.6) разность
потенциалов на зажимах батареи конденсаторов
n
∆ϕ =
n
∑ ∆ϕ = q ⋅ ∑ C .
1
i
i =1
i =1
i
∆ϕ
ϕ1
∆ϕ1
∆ϕ 2
∆ϕ 3
∆ϕ n
ϕ
2
+
C1
C3
C2
Cn
Рис. 3.6. Последовательное соединение конденсаторов
С другой стороны,
∆ϕ =
q
.
C
Тогда общую емкость батареи можно определить по формуле:
1
=
C
n
∑ C1 .
i =1
(3.34)
i
Таким образом, при последовательном соединении результирующая емкость всегда меньше минимальной емкости, используемой в батарее.
115
3.1.8. Энергия электростатического поля
Известно, что любое заряженное тело обладает потенциальной энергией. Рассмотрим процесс зарядки уединенного
проводника. Каждая порция зарядов, перемещаемых на проводник, приводит к повышению его потенциала. Но условия поступления этих порций различны: если первая партия зарядов без
сопротивления распределилась по поверхности тела, то уже следующая будет испытывать отталкивание со стороны предыдущей. Поэтому в процессе зарядки приходится преодолевать силу
сопротивления находящихся на теле зарядов, увеличивая его
энергию.
Итак, переместим на проводник заряд dq, при этом потенциал окажется равным ϕ . Совершенная при этом работа
dA = ϕ ⋅ dq.
Так как dA = dWП , можем записать:
dWП = ϕ ⋅ dq.
Если заряд на теле изменяется от 0 до q, то энергия тела
q
q
∫
WП = ϕ ⋅ dq =
0
∫
0
q
q2
⋅ dq =
.
C
2⋅C
Таким образом, энергия заряженного проводника
WП =
q
2
=
C ⋅ϕ
2
=
q ⋅ϕ
(3.35)
.
2⋅C
2
2
Конденсатор также обладает энергией, так как представляет
собой систему двух проводников, разделенных диэлектриком.
При этом имеет место не потенциал поля, а разность потенциалов между обкладками конденсатора:
C ⋅ ( ∆ϕ )
2
q ⋅ ∆ϕ
q2
=
.
(3.36)
2
2
2⋅C
При этом между обкладками конденсатора возникает сила
притяжения, которая считается отрицательной, в отличие от силы отталкивания:
q2
F =−
.
2 ⋅ ε ⋅ε0 ⋅ S
W=
=
116
Преобразуем формулу W =
C ⋅ ( ∆ϕ )
2
с учетом того, что ем2
ε ⋅ε0 ⋅ S
и разность потенциакость плоского конденсатора C =
d
лов между его обкладками ∆ϕ = E ⋅ d :
W=
ε ⋅ε0 ⋅ S ⋅ E2 ⋅ d 2
=
ε ⋅ε0 ⋅ E2 ⋅ S ⋅ d
=
ε ⋅ε0 ⋅ E2
⋅V ,
2⋅d
2
2
где V = S ⋅ d – объем конденсатора.
Тогда энергия единицы объема, т.е. объемная плотность
энергии электростатического поля:
W ε ⋅ε0 ⋅ E2
ϖ= =
.
(3.37)
V
2
3.2. Электродинамика
3.2.1. Основные понятия
Раздел электричества, в котором рассматриваются явления
и процессы, обусловленные движением электрических зарядов
или макроскопических заряженных тел, называется электродинамикой.
Любое упорядоченное (направленное) движение заряженных частиц называется электрическим током. Для возникновения и существования электрического тока необходимо выполнение двух условий: наличие свободных носителей заряда и
электрического поля.
За направление электрического тока принимают направление движения положительных зарядов, поэтому направление
тока противоположно движению электронов.
Количественной характеристикой электрического тока является сила тока – физическая величина, численно равная заряду dq, проходящему через поперечное сечение проводника за
промежуток времени dt к величине этого промежутка:
dq
I= .
(3.37)
dt
117
Электрический ток, величина и направление которого с
течением времени не изменяются, называется постоянным.
Единица измерения силы тока
[ dq ] 1 Кл
=
= 1 A.
[I ] =
[ dt ] 1 с
1 А (Ампер) – это сила тока, не изменяющегося с течением
времени, при которой отрезки бесконечных параллельных проводников, расположенных друг от друга на расстоянии 1 м в
вакууме, взаимодействуют с силой 2·10-7 Н (0,0000002 Н), приходящейся на каждый метр их длины.
Плотность тока – это физическая величина, численно равная силе тока, проходящего через единицу площади поперечного
сечения проводника, перпендикулярного направлению тока:
dI
.
(3.38)
j=
dS ⊥
Измеряется плотность тока в
A
м
2
.
Рассмотрим проводник, в котором концентрация носителей
тока с зарядом e (элементарный заряд) равна n. За время dt через поперечное сечение проводника S переносится заряд
dq = n ⋅ e ⋅ υ ⋅ S ⋅ dt ,
где υ – средняя скорость зарядов.
Тогда сила тока
I=
dq
= n ⋅ e ⋅ υ ⋅ S,
dt
а его плотность
j = n⋅e⋅ υ .
Учитывая, что скорость – векторная величина, получим:
j = n⋅e⋅ υ .
(3.39)
Таким образом, плотность тока – вектор, направление которого совпадает с направлением упорядоченного движения положительных зарядов, а величина пропорциональна концентрации носителей заряда и их скорости.
Для того чтобы электрический ток не прекращался, необходимо, чтобы заряды двигались против действующих на них
118
электростатических сил, т.е. под действием сил неэлектростатического происхождения, называемых сторонними силами.
Устройства, обеспечивающие возникновение и действие сторонних сил, называются источниками тока.
Работу сторонних сил по перемещению заряда характеризует электродвижущая сила (ЭДС; ℰ) – физическая величина,
численно равная работе, совершаемой сторонними силами при
перемещении единичного положительного заряда:
A
(3.40)
ℰ = ст .
q0
Эта работа производится за счет энергии, затрачиваемой
источниками тока (гальваническими элементами, аккумуляторами, генераторами и др.), в результате преобразования энергии
различных видов (механической, химической, тепловой, ядерной) в электрическую энергию.
Работу электростатических сил по перемещению пробного
заряда характеризует величина, которая называется разностью
потенциалов (∆φ). Разность потенциалов (∆φ) – это физическая величина, численно равная работе Aк , совершаемой кулоновскими силами при перемещении единичного положительного
заряда:
A
∆ϕ = ϕ1 − ϕ 2 = к .
(3.41)
q0
Электрическим напряжением на участке 1-2 называется
физическая величина, определяемая работой, совершаемой суммарным полем электростатических (кулоновских) и сторонних
сил по перемещению единичного положительного заряда на
данном участке цепи:
U =
Aк + Aст
q0
,
или с учетом формул (3.40) и (3.41)
U = (ϕ1 − ϕ2 ) + ℰ12.
(3.42)
Таким образом, понятие напряжения является обобщением
понятия разности потенциалов: напряжение на концах участка
равно разности потенциалов в том случае, когда сторонние
119
силы отсутствуют (на участке цепи не действует ЭДС). Если
цепь замкнута, то напряжение будет равно ЭДС, так как начальная и конечная точка при движении зарядов совпадают и ∆φ = 0.
Единица напряжения (как и разности потенциалов, а также
ЭДС) названа вольтом (обозначается В) в честь итальянского
ученого Алесандро Вольта:
[ A] 1 Дж
=
= 1 В.
[U ] =
[ q ] 1 Кл
При протекании электрического тока в проводнике происходит взаимодействие носителей заряда с ионами кристаллической решетки металла, что является причиной появления сопротивления – противодействия проводника протеканию в
нем электрического тока.
Сопротивление проводника зависит от его размеров и природы материала, из которого он изготовлен (строения кристаллической решетки):
l
R= ρ⋅ ,
(3.43)
S
где l – длина проводника;
S – площадь его поперечного сечения;
ρ – удельное сопротивление.
Удельное сопротивление – это сопротивление проводника
длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м2.
Кроме того, сопротивление проводника и его удельное сопротивление зависят от температуры:
R = R0 ⋅ (1 + α ⋅ t ),
(3.44)
ρ = ρ0 ⋅ (1 + α ⋅ t ) ,
(3.44-а)
где t – температура проводника;
α – температурный коэффициент сопротивления;
ρ0 – удельное сопротивление при t = 00С;
R0 – сопротивление проводника при t = 00С.
Единицей измерения сопротивления проводника в системе
СИ является
1 Ом – сопротивление такого проводника, в котором при
напряжении в 1 вольт сила тока равна 1 амперу.
120
3.2.2. Закон Ома для однородного участка цепи
Впервые установить закономерности протекания тока в
проводнике удалось немецкому физику Георгу Ому. При постановке экспериментов рассматривался однородный участок цепи – такой участок, который не содержит источника ЭДС.
Впоследствии закон получил название закона Ома для однородного участка цепи: сила тока на однородном участке электрической цепи прямо пропорциональна электрическому напряжению на этом участке и обратно пропорциональна его
электрическому сопротивлению:
U
I= .
(3.45)
R
Подставив в формулу (3.45) вместо сопротивления его значение из формулы (3.43), получим:
U ⋅S
I=
.
ρ ⋅l
После преобразований данное уравнение примет вид:
I 1 U
= ⋅ ,
S ρ l
1
где = γ – удельная электрическая проводимость.
ρ
I
U
= j;
= E и учитывая, что направления вектоl
S
ров j и E совпадают, получим закон Ома для однородного
участка цепи в дифференциальной форме:
j = γ ⋅ E.
(3.46)
Заменяя
3.2.3. Закон Ома для неоднородного участка цепи
При рассмотрении зависимости силы тока от напряжения и
сопротивления в замкнутых цепях, необходимо учитывать внутреннее сопротивление источника ЭДС. Согласно закону сохранения энергии, ЭДС источника тока равна сумме падений напряжений на внешнем ( R ) и внутреннем ( r ) участках цепи, так
121
как при перемещении по замкнутой цепи заряд возвращается в
исходное положение (в точку с тем же потенциалом, т.е.
ϕ1 = ϕ2 ), тогда:
ℰ = I ⋅ R + I ⋅ r,
(3.47)
откуда
I=
ε
.
(3.48)
R+r
Полученная формула выражает закон Ома для полной цепи: сила тока в замкнутой цепи прямо пропорциональна действующей в цепи ЭДС и обратно пропорциональна сумме сопротивлений цепи и внутреннего сопротивления источника.
Если ЭДС способствует движению положительных зарядов
в выбранном направлении, то она считается положительной
(ℰ > 0), а если препятствует – отрицательной (ℰ < 0).
3.2.4. Законы Кирхгофа
На практике широкое применение имеют сложные цепи,
имеющие множественные ветви и узлы. Ветвью называют участок цепи между двумя соседними узлами, в котором все элементы соединены последовательно. Узлом электрической цепи
называют место соединения трех и более ветвей. Замкнутая
цепь называется контуром. Расчет параметров таких сложных
электрических цепей с использованием только закона Ома не
всегда представляется возможным и поэтому в большинстве
случаев применяются законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узловой точке равна нулю, т.е.
N
∑ I = 0.
i
(3.49)
i =1
При составлении уравнений согласно первому правилу
Кирхгофа необходимо произвольно выбрать направления токов
во всех ветвях и обозначить их на схеме стрелками. В каждом
узле должны быть как входящие токи, которые считаются положительными, так и выходящие, т.е. отрицательные.
122
Например, для узловой точки,
изображенной на рисунке (3.7),
I5
токи I1, I2, I4, будут иметь знак
«+», а токам I3, I5 приписываем
знак «−».
I3
Тогда, записывая уравнение,
I1
получаем:
I2
I1 + I 2 − I 3 + I 4 − I 5 = 0.
Рис. 3.7. Узел
Второй закон Кирхгофа: в
электрической цепи
любом замкнутом контуре разветвлённой электрической цепи
алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях в
замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре, т.е.
I4
N
N
∑I ⋅ R = ∑ ℰ .
i
I
i
i =1
(3.50)
i =1
Применяя законы Кирхгофа для расчета сложных цепей,
необходимо выполнить определенные операции:
1) выбрать (выделить) в цепи независимые замкнутые контуры (содержащие хотя бы 1 элемент цепи, не встречавшийся в
ранее выбранных, при этом первый контур всегда независим);
2) указать на схеме (произвольно) направление токов на
отдельных участках выбранных контуров (с учетом особенностей применения первого правила);
3) выбрать произвольно направление обхода независимых
замкнутых контуров (по направлению часовой стрелки или против него), одинаковое для всех;
4) определить знаки ЭДС и токов в выбранных контурах.
При этом положительными считаются те токи, направление которых совпадает с направлением обхода, а отрицательными –
токи, направление которых противоположно направлению обхода. Знак ЭДС принимается положительным, если при обходе
контура переход внутри источника осуществляется от минуса к
плюсу.
В качестве примера рассмотрим схему, представленную на
рисунке 3.8. Число уравнений, составленных по первому закону
123
R2
Кирхгофа, должно быть на 1
меньше, чем узлов, тогда имея
два узла (A и D), запишем для
ℰ1
I2
I1
узла D уравнение:
R3
I1 − I 2 + I 3 = 0.
I3
R1
Для контура ABCD второй
R
закон
Кирхгофа запишется в
4
направление
виде:
обхода
B
A
F
− I1 ⋅ R1 − I1 ⋅ R ⋅2 − I 2 ⋅ R3 = −ℰ1,
Рис. 3.8. Применение
а для контура ADEF
правил Кирхгофа
I 2 ⋅ R3 + I 3 ⋅ R4 = ℰ2.
Решая полученную систему из трех уравнений, можно рассчитать искомые величины тока, напряжения и т.д. Если указано
внутреннее сопротивление источников, то его тоже необходимо
учитывать при записи уравнений по второму закону.
C
D
ℰ2 E
3.2.5. Работа и мощность тока
Опыты показывают, что прохождение электрического тока
по проводнику сопровождается выделением в проводнике тепла.
Это явление обусловлено движением зарядов, т.е. работой электрических сил.
Рассмотрим произвольный однородный участок цепи (нить
лампы накаливания, обмотка электродвигателя и т.п.), по которому течет электрический ток. При перемещении зарядов электрическое поле совершит работу:
A = q ⋅U .
(3.51)
Поскольку q = I ⋅ t , то
A = I ⋅ U ⋅ t.
(3.52)
Таким образом, работа тока на участке цепи равна произведению силы тока на напряжение и на время, в течение которого
она совершалась. При этом работа согласно закону сохранения
энергии должна быть равна изменению энергии рассматриваемого участка цепи.
Одна и та же работа может совершаться разными электроприборами за различные промежутки времени. Для характери124
стики быстроты совершения работы используется мощность
электрического тока – физическая величина, численно равная
работе, совершаемой током за промежуток времени:
dA
U2
P=
=U ⋅I = I2 ⋅ R =
.
(3.53)
dt
R
Единицей измерения мощности электрического тока в системе СИ является 1 Вт:
[ P] =
[ A] 1 Дж
=
[t ] 1 с
= 1 Вт.
3.2.6. Закон Джоуля-Ленца
Если механическая работа не совершается и ток не производит химических действий, то вся работа, совершаемая электрическим током, идет на нагревание проводника. Для вычисления электрической энергии, затраченной на нагревание проводника, необходимо знать падение напряжения на данном участке:
U = I ⋅ R. Подставляя данное выражение в формулу (3.52), получим:
Q = A = I 2 ⋅ R ⋅ t.
(3.54)
Полученная формула выражает закон Джоуля-Ленца: количество теплоты, которое выделяется в проводнике при прохождении тока, пропорционально квадрату силы тока, времени
его протекания и сопротивлению проводника.
Используя закон Ома для однородного участка цепи, можно
записать еще одну формулу для закона Джоуля-Ленца:
U2
Q= A=
⋅ t.
(3.55)
R
Таким образом, часть энергии работающих электроприборов выделяется в виде теплоты. Например, при работе электродвигателя энергия электрического тока I ⋅ U ⋅ t расходуется на
совершение механической работы и нагревание обмотки
I ⋅ U ⋅ t = Aмех + I 2 ⋅ R ⋅ t.
(3.56)
125
Если выделить в проводнике цилиндрический объем
dl
dV = dS ⋅ dl , сопротивление которого R = ρ ⋅ , то по закону
dS
Джоуля-Ленца за время dt в нем выделится количество теплоты:
ρ ⋅ dl
2
⋅ ( j ⋅ dS ) ⋅ dt = ρ ⋅ j 2 ⋅ dV ⋅ dt.
dQ = I 2 ⋅ R ⋅ dt =
dS
Преобразуем полученное выражение:
dQ
= ρ ⋅ j2.
(3.57)
dV ⋅ dt
dQ
= ϖ называется удельной тепловой мощВеличина
dV ⋅ dt
ностью тока. Она показывает, какое количество теплоты выделяется за единицу времени в единице объема проводника при
протекании тока. Таким образом,
ϖ = ρ ⋅ j2.
(3.58)
Формула (3.58) выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Используя закон Ома в дифференциальной
1
форме j = γ ⋅ E и соотношение ρ = , получим еще одно выра-
γ
жение для закона Джоуля – Ленца:
ϖ = γ ⋅ E2.
(3.59)
Тепловое действие тока находит широкое применение в быту и промышленности – лампы накаливания, нагревательные
приборы, дуговая сварка и т.п.
3.2.7. Электрические токи в различных средах
Электрический ток в металлах. Электрический ток в металлических проводниках никаких изменений, кроме их нагревания,
не вызывает, что подтверждается опытами Э. Рикке (1901 г.). В
этих опытах электрический ток пропускался в течение года через три прижатых друг к другу, хорошо отшлифованных цилиндра – медный, алюминиевый и опять медный. Общий заряд,
прошедший за это время через цилиндры, был очень велик (око126
6
ло 3, 5 ⋅ 10 Кл). По завершении опытов измерения, проведенные
с высокой степенью точности, показали, что масса каждого из
цилиндров осталась неизменной. Это доказывает, что свободными носителями заряда в металлах не могут являться ионы
кристаллической решетки. Поскольку массы атомов меди и
алюминия существенно отличаются друг от друга, то масса цилиндров должна была бы заметно измениться, если бы носителями заряда были ионы. Следовательно, огромный заряд, который прошел через цилиндры, был перенесен частицами с ничтожной массой, т.е. электронами.
Прямое и убедительное доказательство справедливости этого предположения было получено в опытах, поставленных в
1913 г. русскими физиками Л.И. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси и в 1916 г. – английскими физиками Р. Толменом и
Т. Стюартом. В основе этих опытов лежит предположение о
том, что кроме электронов, связанных с ядром атома, в металлах
имеются и свободные электроны, оторвавшиеся от атомов. Эти
свободные электроны движутся в пространстве между ионами
кристаллической решетки.
Если металлический проводник привести в движение и резко затормозить, то свободные электроны должны по инерции
продолжать движение относительно ионной решетки. Следовательно, в проводнике должен возникнуть кратковременный ток.
Опыт по обнаружению инерционного движения электронов в
металле был поставлен следующим образом. На катушку наматывали проволоку, концы которой припаивали к двум металлическим дискам, изолированным друг от друга. Диски при помощи скользящих контактов соединялись с чувствительным гальванометром. Катушку приводили в быстрое вращение, а затем
резко останавливали, при этом стрелка гальванометра отклонялась, что свидетельствовало о возникновении кратковременного
тока. По направлению отклонения стрелки было установлено,
что ток создавался движением отрицательно заряженных частиц.
На основании измерения количества электричества, протекшего через гальванометр, параметров проводника, намотанного на катушку, и скорости движения катушки до торможения
127
можно вычислить отношение заряда частиц, создавших ток, к их
массе. Получаемые результаты соответствуют данным для электронов:
q
=
1, 6 ⋅ 10
−19
12
≈ 0,18 ⋅ 10
Кл
.
m 9,1 ⋅ 10 −31
кг
Электроны в металлах находятся в непрерывном хаотическом движении подобно тепловому движению молекул в газе.
Это дало основание считать, что электроны в металлах образуют
своеобразный электронный газ. Но скорость теплового беспорядочного движения электронов в металле значительно больше
скорости молекул в газе (она составляет примерно 105 м/с).
Когда в металле создается электрическое поле, оно действует на электроны с некоторой силой и сообщает им ускорение
в направлении, противоположном направлению вектора напряженности поля. Поэтому беспорядочно движущиеся электроны
смещаются в одном направлении. Такое упорядоченное перемещение электронов проводимости (дрейф электронов) вдоль силовых линий поля и представляет собой электрический ток в
металлах.
Сталкиваясь с ионами, колеблющимися в узлах кристаллической решетки, электроны отдают им свою энергию, что приводит к повышению температуры проводника. В промежутках
между столкновениями с ионами электроны ускоряются электрическим полем и опять приобретают кинетическую энергию
благодаря работе, которую совершает электрическое поле.
Скорость упорядоченного переноса (дрейфа) электронов
очень мала (в сотни миллионов раз меньше средней скорости
теплового движения электронов). Но при замыкании электрической цепи лампа, находящаяся в нескольких десятках метров от
выключателя, загорается «мгновенно». Вообще при замыкании
электрической цепи все приборы, на каком бы расстоянии они
ни находились друг от друга, начинают работать практически
одновременно. Следовательно, скорость распространения тока и
скорость упорядоченного перемещения носителей тока – это не
одно и то же.
Когда говорят об огромной скорости распространения тока в
проводниках, то имеют в виду, что с такой скоростью распро128
страняется действие электрического поля на заряды в проводнике. Оно вовлекает в упорядоченное движение почти мгновенно
все свободные электроны, находящиеся в различных точках проводника, даже очень удаленных друг от друга. Электрическое
поле распространяется со скоростью 300000 км/с, т.е. со скоростью света. Эту скорость имеют в виду, когда говорят о скорости
распространения тока. В то же время электроны в проводнике в
любой его точке перемещаются под действием поля с очень малой скоростью, измеряемой долями миллиметра в секунду.
Электрический ток в жидкостях. Существует такой класс
проводников, в которых электрический ток всегда сопровождается определенными химическими изменениями. К ним относятся растворы солей, кислот и оснований, т.е. электролиты, а
также расплавы металлов.
При протекании электрического тока через электролиты
вместе с зарядом всегда имеет место выделение вещества на
электродах. Это явление называется электролизом. Следовательно, носителями тока в жидкостях являются заряженные
атомы или группы атомов, т.е. ионы, которые образуются в результате электролитической диссоциации. Это явление расщепления нейтральных атомов на положительные и отрицательные ионы в результате химических реакций:
+
−
NaOH
Na + OH .
Растворы электролитов всегда содержат некоторое число
ионов: катионов (положительных ионов) и анионов (отрицательных ионов), которые в отсутствие электрического поля совершают только беспорядочное тепловое движение. При помещении в раствор электродов, подсоединенных к полюсам источника тока, возникает электрическое поле, под действием которого ионы, подобно электронам в металлах, начинают дрейфовать
в направлении действующей на них силы: катионы – к катоду
(отрицательному электроду), анионы – к аноду (положительному электроду).
Таким образом, электрический ток в растворах (или расплавах металлов) электролитов представляет собой перемещение ионов обоих знаков в противоположных направлениях. При
этом сила тока линейно зависит от напряжения, т.е. для электролитов справедлив закон Ома.
129
Законы Фарадея
Электронная теория позволяет рассчитать массу веществ,
выделяющихся на электродах при электролизе:
m = m0 ⋅ N ,
где m0 =
µ
NA
– масса одного иона;
q
– число ионов, осевших на электроде;
q0
q – заряд, прошедший через электролит;
q0 – заряд одного иона.
Следовательно,
µ ⋅q
m=
.
(3.60)
N A ⋅ q0
Заряд иона равен заряду электрона e, умноженному на валентность иона Z :
q0 = e ⋅ Z .
Таким образом,
N=
m=
µ
NA ⋅e ⋅ Z
⋅q =
µ
µ
NA ⋅e ⋅ Z
⋅ I ⋅ t,
(3.61)
= k – электрохимический эквивалент данного веNA ⋅e ⋅ Z
щества.
Следовательно,
(3.62)
m = k ⋅ I ⋅ t.
Полученная формула выражает первый закон Фарадея:
масса вещества, выделившегося на электроде при протекании
тока в растворе, пропорциональна силе тока и времени протекания заряда. Формула (3.61) позволяет получить единицы измерения электрохимического эквивалента в системе СИ:
кг
.
[k ] = 1
А⋅с
где
130
Второй закон гласит: электрохимические эквиваленты веществ прямо пропорциональны отношениям их атомных (молярных) масс к валентностям:
1 µ
k= ⋅ ,
(3.63)
F Z
где F = N A ⋅ e – постоянная Фарадея.
Подставляя (3.63) в (3.62), получим объединенный закон
Фарадея:
1 µ
(3.64)
m = ⋅ ⋅ I ⋅ t.
F Z
Закон Фарадея позволяет определить заряд электрона. Из
формулы (3.61) получаем:
µ ⋅ I ⋅t
.
e=
(3.65)
m ⋅ NA ⋅ Z
Следовательно, чтобы определить заряд электрона e, необходимо в опыте с электролизом какого-либо электролита, например, медного купороса, определить массу выделившейся меди, время процесса и силу тока в цепи. Тогда, зная молярную
массу меди и ее валентность, можно вычислить заряд электрона.
Опыты, выполненные с различными электролитами, показали,
что величина заряда оказывается равной заряду электрона, т.е.
e = 1,6 ⋅ 10−19 Кл. Любой другой электрический заряд состоит из
целого числа элементарных зарядов, т.е. кратен модулю заряда
электрона.
Также опытами было установлено, что для выделения одного моля любого одновалентного вещества требуется всегда одно
и то же количество электричества.
Применение электролиза
Электролиз получил широкое применение в технике. На
нем основана электрометаллургия – получение щелочных и щелочноземельных металлов (алюминия, магния, бериллия и др.)
путем электролиза расплавленных руд.
131
Электролитическим способом извлекают чистые металлы
не только из раствора, но и из расплавов руд, содержащих металлы (например, из бокситов получают чистый алюминий).
На явлении электролиза основаны такие распространенные
в технике технологические процессы, как гальваностегия и
гальванопластика. Для предохранения металлов от коррозии их
поверхность часто покрывают трудноокисляемыми металлами,
т.е. производят никелирование или хромирование. Этот процесс
называется гальваностегией. Ее также применяют для покрытия
ювелирных изделий тончайшими слоями серебра или золота. С
этой целью покрываемый слоем другого металла предмет помещают в качестве катода в электролитическую ванну. Анодом
служит пластинка металла, которым требуется покрыть предмет, а ванна содержит раствор соли этого металла.
С помощью электролиза можно также изготовить рельефные металлические копии предметов. Этот процесс называется
гальванопластикой, его изобрел русский ученый Б.С. Якоби в
40-х годах прошлого века.
Для изготовления рельефной копии предмета его покрывают вначале каким-нибудь пластичным материалом (воском) и
делают из этого материала слепок. Затем слепок покрывают
графитом, чтобы сделать его электропроводным, и помещают в
электролитическую ванну, в которой он служит катодом. Анодом и в этом случае является пластинка металла, из которого
хотят изготовить рельефную копию, а ванна содержит раствор
соли этого металла. Таким же образом в типографском деле изготавливают металлические (медные) копии с пластмассовых
или восковых слепков набранного текста. Полученные рельефные копии текста затем применяются для печатания.
Электрический ток в вакууме. Если два электрода поместить в герметичный сосуд и удалить из него воздух, электрического тока в вакууме не возникает, так как нет заряженных частиц, способных переносить электрические заряды от одного
электрода к другому. Заряженные частицы – электроны и положительно заряженные ионы – есть в каждом из электродов, но
они не могут выйти из них, так как удерживаются силами кулоновского притяжения.
132
Для освобождения электрона с поверхности твердого тела
нужно совершить работу против сил электростатического притяжения, действующих на отрицательный электрон со стороны
положительно заряженных атомных ядер. Работа освобождения электрона с поверхности тела называется работой выхода.
Работа выхода обычно выражается в электрон-вольтах и для
большинства металлов лежит в пределах от 2 до 6 эВ.
Американский ученый и изобретатель Т.А. Эдисон в 1879 г.
обнаружил, что в вакуумной стеклянной колбе может возникнуть электрический ток, если один из находящихся в ней электродов нагреть до высокой температуры. Изучение свойств частиц, испускаемых нагретыми телами, показало, что это электроны. Явление испускания свободных электронов с поверхности
нагретых тел называется термоэлектронной эмиссией.
Явление термоэлектронной эмиссии объясняется тем, что
при повышении температуры тела увеличивается кинетическая
энергия некоторой части электронов в веществе. Если кинетическая энергия электрона превысит работу выхода, то он может
преодолеть действие сил притяжения со стороны положительных ионов и вылететь с поверхности тела в вакуум.
Под действием электрического поля электроны свободно
движутся в вакууме, создавая электрический ток. Вместо источника свободных электронов в вакууме можно использовать источник положительных ионов (например, радиоактивный препарат, испускающий α-частицы). Таким образом, электрический
ток в вакууме может создаваться упорядоченным движением
любых свободных заряженных частиц: электронов, положительных и отрицательных ионов.
Электрический ток в газах. При давлениях, близких к атмосферному, газы являются хорошими диэлектриками (изоляторами). Если заряженный электрометр с хорошей изоляцией
находится в сухом воздухе, то его заряд долго остается неизменным.
При помещении между пластинами пламени спички (спиртовки) или освещении воздуха между пластинами электрической дугой электрометр разряжается. Это доказывает, что под
действием пламени или света газ может стать проводником
электрического тока.
133
Повышение температуры газа делает его проводником
электрического тока, потому что часть нейтральных атомов или
молекул газа превращается в ионы. Для отрыва электрона от
атома необходимо совершить работу против сил кулоновского
притяжения между положительно заряженным ядром и отрицательно заряженным электроном. Процесс отрыва электрона от
атома называется ионизацией атома. Минимальная энергия,
которую необходимо для этого затратить, называется энергией ионизации.
Процесс возникновения свободных электронов и положительных ионов в результате столкновений атомов и молекул
газа при высокой температуре называется ударной ионизацией. Ионизация атомов или молекул под действием света называется фотоионизацией.
Явление протекания электрического тока через газ, наблюдаемое только при условии какого-либо внешнего воздействия,
называется несамостоятельным электрическим разрядом.
Предположим, что
I
на воздушный промежуток между обкладками конденсатора возC
действует ультрафиолеA
B
товое излучение. Если с
Iн
помощью потенциометра плавно увеличивать
напряжение, то сила
тока будет увеличиU
ваться пропорционально напряжению до не0
Uз
Uн
которого значения, наРис. 3.9. Зависимость тока
зываемого током насыот
напряжения
для несамостоятельного
щения (рис. 3.9). Дальразряда в газах
нейшее увеличение напряжения тока не изменяет, а при некотором его значении возникает самостоятельный разряд. Данное напряжение называют
напряжением пробоя или напряжением зажигания газового разряда.
134
Разряд в газе, сохраняющийся после прекращения действия
внешнего ионизатора, называется самостоятельным. Различают следующие типы самостоятельного разряда:
искровой – возникающий при больших напряженностях
электрического поля (порядка 3 ⋅ 106 В/м) в газе, находящемся
под давлением порядка атмосферного;
коронный – высоковольтный электрический разряд при высоком давлении в резко неоднородном поле вблизи электродов с
большой кривизной поверхности (например, острия);
кистевой – разряд в виде отдельных светящихся ветвей, образующийся из коронного при увеличении напряжения между
электродами;
дуговой – непрерывный искровой разряд, возникающий при
сближении электродов, в результате чего сила тока резко возрастает до сотен ампер, а напряжение на разрядном промежутке
падает до нескольких десятков вольт;
тлеющий – наблюдается при низких давлениях (менее 20
Па) и напряжении между электродами в несколько сотен вольт.
Схематически вид данного разряда изображен на рисунке (3.10).
1
3
5
К
А
2
4
Рис. 3.10. Тлеющий разряд:
1 – первое катодное свечение (катодная пленка);
2 – катодное темное пространство; 3 – тлеющее свечение;
4 – фарадеево темное пространство; 5 – положительный
светящийся столб
Такое характерное свечение газа при тлеющем разряде связано с распределением потенциала в разрядной трубке. Свечение положительного столба определяется излучением возбужденных атомов, поэтому имеет характерную окраску. Если
трубку заполнить неоном, то свечение будет оранжево-красным,
а при заполнении аргоном оно будет синевато-зеленым.
135
Сильно ионизированный газ, в котором концентрации положительных и отрицательных зарядов практически одинаковы, называется плазмой. Плазма, возникающая при сверхвысоких температурах, является высокотемпературной, а возникающая при газовом разряде – газоразрядной. Основной характеристикой плазмы является степень ионизации, т.е. отношение числа ионизованных частиц к общему их числу в единице
объема плазмы. Плазма обладает большой электропроводностью, свечением, сильным взаимодействием с электрическим и
магнитным полями, одновременным взаимодействием большого
числа частиц.
Электрический ток в полупроводниках. Промежуточное положение между проводниками и диэлектриками (по способности проводить электрический ток) занимают полупроводники.
Это обусловлено концентрацией свободных зарядов: для проводников n = 1022-1023, для диэлектриков n = 103-104 для полупроводников n = 1012-1013 м-3.
Граница между полупроводниками и диэлектриками условна, так как диэлектрики при соответствующем значительном
повышении температуры становятся подобными полупроводникам, а чистые полупроводники при весьма низкой температуре
ведут себя как диэлектрики.
Характерной особенностью полупроводников является необычайно высокая чувствительность к примесям. Чем лучше
очистка полупроводника, тем выше его удельное сопротивление.
В чистых полупроводниках (без примесей), находящихся
при низких температурах, свободные электроны (электроны
проводимости) отсутствуют, так как все они участвуют в образовании связей между атомами кристаллической решетки. Для
того чтобы валентный электрон стал электроном проводимости
и мог принимать участие в переносе заряда, необходимо сообщить атому дополнительную энергию. Это можно осуществить
путем повышения температуры полупроводника или воздействуя на него излучением.
Процесс отрыва электрона от нейтрального атома сопровождается образованием на его месте вакансии, которую называют дыркой (рис. 3.11).
136
освободившийся электрон
В чистом полупроводнике число электронов проводимости
равно числу вакансий. В результате теплового возбуждения
электроны соседних нейдырка
тральных атомов могут
переходить на вакантное
+4
+4
+4 Si
место. Такое коллективное поочередное движение электронов, находя+4
+4
+4
щихся в положении равновесия около атомов,
можно представить в виде
встречного потока дырок.
+4
+4
+4
Перемещение как свободных электронов, так и дыРис. 3.11. Образование электронов
рок в отсутствие электрипроводимости и дырок
ческого поля носит хаотический характер.
Если к полупроводнику приложить определенную разность
потенциалов, то возникает электрическое поле, и движение дырок и электронов примет направленный характер. Электроны
будут перемещаться в сторону большего потенциала (против
направления линий напряженности внешнего электрического
поля), а дырки – в сторону меньшего потенциала (вдоль направления линий напряженности поля). Таким образом, в чистом
полупроводнике имеется два вида проводимости – электронная
и дырочная. Электронная проводимость (n-типа) обусловлена
движением свободных электронов, а дырочная (p-типа) – коллективным движением связанных с атомами валентных электронов.
Электропроводность веществ, обусловленная свободными
электронами и дырками, образовавшимися в равных количествах при тепловых движениях атомов, называется собственной
проводимостью.
В практических целях чаще используются полупроводники
с добавками других элементов – примесей, наличие которых
приводит к преобладанию одного из типов проводимости. Проводимость, обусловленная присутствием в полупроводнике
примесей какого-либо типа, называется примесной.
137
Так, если к четырехвалентному кремнию добавить незначительное количество пятивалентного мышьяка или сурьмы, то в
нем образуется избыток слабосвязанных с ядром электронов
(рис. 3.12). Обусловлено это
свободный
тем, что четыре валентных
электрон
электрона примеси участвуют
в создании химической связи
+4 Si
+4 Si
+4 Si
с атомом германия, а пятый
валентный электрон оказывается слабо связанным с атомом примеси, поэтому он
+4 Si
+5 Sb
+4 Si
легко становится «свободным». Эти электроны уже при
комнатной температуре могут
принимать участие в созда+4 Si
+4 Si
+4 Si
нии тока проводимости.
Примеси, добавление коРис. 3.12. Донорная проводимость
торых к собственному полупроводнику приводит к увеличению концентрации свободных электронов, называются донорными, а проводимость в этом случае будет электронной (nтипа).
Добавление к германию
дырка
примеси с валентностью,
равной трем, например, бора или индия, приводит к
+4 Si
+4 Si
+4 Si
повышению концентрации
дырок (рис. 3.13). Объясняется это нехваткой у атома
индия одного электрона для
+4 Si
+3 In
+4 Si
установления прочной связи
с атомом германия, при
этом между этими двумя
атомами получается неза+4 Si
+4 Si
+4 Si
полненная валентная связь,
или «дырка». Число дырок в
кристалле равно числу ато- Рис. 3.13. Акцепторная проводимость
мов примеси.
138
Примеси, при добавлении которых к чистому полупроводнику возрастает концентрация дырок, называются акцепторными, а проводимость будет дырочной (p-типа).
Большая часть полупроводниковых приборов работает на
основе электронно-дырочного перехода, который представляет собой границу между двумя областями полупроводника, одна из которых p-типа, а другая n-типа. Создание такого перехода осуществляется, например, диффузионным способом или
путем ионной имплантации (ионной бомбардировкой поверхности полупроводника с последующим высокотемпературным отжигом).
В p-области перехода основными носителями являются
дырки, а неосновными – электроны. В n-области, наоборот, основными носителями являются электроны, а неосновными –
дырки. Следовательно, в каждой области концентрация основных носителей много больше концентрации неосновных носителей заряда и в области контакта полупроводников с различным типом проводимости существует градиент концентрации
электронов и дырок, вызывающий их диффузию через пограничный слой во встречных направлениях.
В результате ухода
Eк
электронов и дырок из атомов в приконтактных областях возникает область
положительно и отрицательно заряженных ионов
(доноров и акцепторов) –
область
двойной запирающий слой.
область
p-типа
n-типа
Этот слой обладает больобласть
шим сопротивлением, так
p-n перехода
как в нем отсутствуют своРис. 3.14
бодные носители заряда.
Сами электроны и дырки,
перейдя в соседние области p-n перехода, рекомбинируют (нейтрализуются) там с основными носителями. Таким образом, на
границе двух полупроводников появляется контактное поле напряженностью Ek (рис. 3.14).
139
Направление контактного поля таково, что оно препятствует дальнейшему переходу через двойной слой основных носителей с той и другой стороны p-n перехода и, наоборот, способствует переносу неосновных носителей.
Если на полупроводник p-типа подать положительный потенциал, а на полупроводник n-типа – отрицательный, то двойной слой обогатится основными носителями заряда и его сопротивление снизится (прямое смещение p-n перехода). При смене
полярности основные носители заряда будут оттягиваться от
области двойного электрического слоя, ширина его увеличится
и сопротивление возрастет (обратное смещение перехода). Ток
через p-n переход будет мал и обусловлен движением неосновных носителей заряда, концентрация которых незначительна.
Такой ток называют обратным, или тепловым.
Таким образом, сопротивление p-n перехода при одном направлении тока больше, чем при другом, следовательно, p-n переход хорошо пропускает ток только в одном направлении (обладает выпрямляющими свойствами). Эти свойства легли в основу работы полупроводникового диода – полупроводникового
прибора с одним p-n переходом и двумя контактами.
Электронно-дырочный переход нельзя получить, наложив
одну пластину на другую, так как между ними неизбежно наличие поверхностных пленок или очень тонкого слоя воздуха. Такой переход создается лишь посредством образования областей
с различными электропроводностями в одной пластине полупроводника методом вплавления.
Важнейшее значение в теории полупроводниковых приборов представляет аналитическая зависимость между напряжением, приложенным к p-n переходу, и возникающим при этом
током. Такая зависимость называется вольт-амперной характеристикой p-n перехода (диода) и описывается уравнением:
 U

I = IТ ⋅ еϕT − 1 ,
(3.66)


где IT – тепловой ток p-n перехода;
U – приложенное к переходу напряжение (учитывает знак);
ϕT – температурный потенциал, определяемый из формулы:
140
k ⋅T
,
(3.67)
е
где k – постоянная Больцмана;
T – абсолютная температура среды;
е – заряд электрона.
Анализ
выражения
(3.66) для комнатных темI пр мА
К,
ператур
(T = 300
ϕT = 0,026 В) показывает
2
следующее. При прямых
напряжениях, превышающих 0,1 В, можно пренеб1
речь единицей по сравнеU пр
U обр
нию с экспоненциальной
В
В
составляющей, а при отрицательных напряжениях
3
−U > 0,1 В, наоборот,
4
значение экспоненциальной составляющей станоI обр мкА
вится пренебрежимо малым по сравнению с едиРис. 3.15. Вольт-амперная
ницей.
Следовательно,
характеристика диода
график зависимости прямого тока через полупроводниковый диод от прямого напряжения представляет собой экспоненциальную кривую. При обратном напряжении ток через диод становится очень малым и определяется только тепловым током. Таким образом, величина и
направление тока, протекающего через p-n переход (диод), зависят от величины и знака, приложенного к переходу напряжения.
На рисунке (3.15) приведена вольт-амперная характеристика I = f (U ) идеального полупроводникового диода. Для реальных диодов вольт-амперная характеристика может иметь несколько иной вид, но той же закономерности.
При прямом токе характеристика имеет вид круто восходящей ветви. На участке 1 Eвн < E зап и прямой ток мал. На уча-
ϕT =
141
стке 2 Eвн > E зап запирающий слой отсутствует, ток определяется только сопротивлением полупроводника.
В обратном направлении ток быстро достигает насыщения
и не изменяется до некоторого предельного обратного напряжения Uпр, после чего резко возрастает. На участке 3 запирающий
слой препятствует движению основных носителей, а небольшой
ток определяется движением неосновных носителей заряда. При
напряжении, большем предельного (Uпр), наступает пробой p-n
перехода, и обратный ток Iобр быстро растет (участок 4). Напряжение Uпр еще называют напряжением пробоя, или пробойным
напряжением диода. Напряжение пробоя диода – это одна из
характеристик, определяющих его режим работы. При использовании диодов в выпрямительных устройствах работа при обратных напряжениях, близких к Uпр, не допускается, так как может привести к выводу диода из строя. В этом случае p-n переход «выгорает», и диод становится проводником, одинаково хорошо пропускающим ток в обоих направлениях.
142
ГЛАВА 4. МАГНЕТИЗМ
4.1. Магнитное поле
4.1.1. Основные характеристики магнитного поля
В опытах К. Эрстеда (1820 г.) было обнаружено, что проводник с током действует на магнитную стрелку, которая при
включении тока поворачивается, ориентируясь по касательной к
воображаемой окружности, проведенной вокруг проводника.
При изменении направления тока стрелка отклоняется в противоположную сторону.
В связи с этим М. Фарадей в 1831 году предположил, что в
пространстве, окружающем проводник с током, возникает особая форма материи – магнитное поле, которое распространяется со скоростью света. В дальнейшем было установлено, что
данное поле действует не только на магниты, но и на проводники с током, а также на движущиеся электрические заряды.
Для изучения свойств магнитного поля пользуются пробным витком, т.е. замкнутым плоским контуром с током (рамкой
с током). Сила тока в нем ничтожно мала, чтобы не искажалось
исследуемое магнитное поле. В этом поле виток поворачивается
определенным образом, при этом его положение зависит от направления тока в проводнике. Такое свойство контура (витка)
используется для определения направления магнитного поля:
за направление магнитного поля принимается поступательное
движение буравчика (правого винта), если его вращение совпадает с направлением тока в контуре.
Поворот контура с током может происходить только под
действием момента пары сил, приложенных к нему. Следовательно, его можно использовать для нахождения количественной характеристики магнитного поля. Многочисленные опыты
показали, что величина момента пары сил зависит как от силы и
расположения токов, образующих магнитное поле, так и от
свойств самой рамки: ее размеров, ориентации и силы тока в
ней. В положении равновесия (нормаль совпадает с направлени143
ем поля) момент пары сил равен нулю, а если нормаль будет
перпендикулярна к направлению поля, то он максимален.
Опытным путем было установлено, что момент пары сил
пропорционален силе тока в рамке и ее площади. Величина, численно равная произведению силы тока контура на его площадь,
называется магнитным моментом рамки:
(4.1)
pm = J ⋅ S .
Если в данную точку поля помещать рамки с разными магнитными моментами, то вращающие моменты также будут неодинаковыми. В то же время отношение максимального вращающего момента к магнитному моменту для каждой рамки
окажется постоянным, поэтому оно может служить количественной характеристикой магнитного поля.
Физическая величина, численно равная максимальному вращающему моменту, действующему на рамку с единичным магнитным моментом, когда нормаль к рамке перпендикулярна
направлению поля, называется магнитной индукцией:
M
B = max .
(4.2)
pm
Для графического изображения магнитного поля используются силовые линии магнитного поля – линии, касательные к
которым в каждой точке совпадают с направлением вектора
магнитной индукции. Направление же данных линий (а значит,
и вектора B ) также определяется правилом правого винта: если
правый винт вращать так, чтобы его поступательное движение совпадало с направлением тока, то направление вращения
рукоятки будет указывать на
n
направление линий магнитной
B
индукции в каждой точке поля.
Bn
Линии магнитной индукции
α
всегда замкнуты и охватывают
проводники с током.
dS
В магнитном поле (рис. 4.1)
B
площадь dS будут пронизывать
силовые линии. Количество
Рис. 4.1. Определение
этих линий характеризует магмагнитного потока
нитный поток – физическую
144
величину, численно равную произведению проекции вектора магнитной индукции на площадь контура:
d Φ = Bn ⋅ dS = B ⋅ dS ⋅ cos α .
(4.3)
Магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю, так как в этом случае число входящих силовых линий равно
числу выходящих. Изменить магнитный поток можно путем изменения магнитной индукции по модулю или направлению, а
также изменяя ориентацию контура в магнитном поле путем его
поворота.
За единицу магнитного потока принимается вебер (1 Вб) –
2
поток через плоскую поверхность площадью 1 м , помещенную
в магнитное поле с индукцией 1 Тл перпендикулярно силовым
линиям:
1 Вб = 1 Тл ⋅ 1 м .
Исследование магнитного поля, создаваемого проводником
с током в различных средах, показывает, что магнитная индукция зависит от свойств среды. Физическая величина, показывающая, во сколько раз индукция магнитного поля в среде больше или меньше, чем в вакууме, называется относительной магнитной проницаемостью:
B
µ= ,
(4.4)
B0
где В – магнитная индукция в однородной изотропной среде;
B0 – магнитная индукция в вакууме.
Магнитная проницаемость, являясь безразмерной величиной, характеризует магнитные свойства среды, зависит от рода
вещества и температуры. Для вакуума µ = 1.
Магнитное поле в вакууме принято характеризовать не индукцией B0 , а напряженностью магнитного поля H. При этом
данные величины связаны между собой соотношением
(4.5)
B0 = µ0 ⋅ H ,
2
где µ0 = 4 ⋅ π ⋅ 10−7 Гн/м – магнитная постоянная.
Таким образом, индукция магнитного поля в среде определяется выражением
(4.6)
B = µ ⋅ µ0 ⋅ H .
145
4.1.2. Закон Био-Савара-Лапласа
Для нахождения напряженности магнитного поля используется закон, полученный математиком Лапласом в результате
обобщения экспериментальных данных физиков Био и Савара,
названный законом Био-Савара-Лапласа: напряженность магнитного поля, создаваемого элементом тока в некоторой точке, находящейся от него на некотором расстоянии, прямо пропорциональна произведению элемента тока на синус угла между радиусом-вектором, проведенным от элемента тока в данную точку поля и самим элементом, и обратно пропорциональна квадрату расстояния от элемента тока до рассматриваемой точки:
1 I ⋅ dl ⋅ sin α
⋅
.
(4.7)
dH =
4 ⋅π
r2
Таким образом, напряженность поля, создаваемого элементом проводника с током:
1 I ⋅ dl ⋅ sin α
⋅
.
H=
(4.8)
4 ⋅π
r2
Для определения напряженности поля, создаваемого всем
проводником, используется принцип суперпозиции полей:
∫
n
H=
∑H .
i
(4.9)
i =1
Применение закона. Используя закон Био-Савара-Лапласа и
принцип суперпозиции, можно вычислить напряженность и индукцию поля, создаваемого проводником с током любой формы.
Например, для бесконечно длинного прямолинейного проводника:
µ ⋅ µ0 ⋅ I
I
H=
; B=
,
(4.10)
2 ⋅π ⋅ R
2 ⋅π ⋅ R
где R – кратчайшее расстояние от проводника до данной точки
поля.
В центре кругового проводника с током:
µ ⋅ µ0 ⋅ I
I
(4.11)
H=
; B=
,
2⋅ R
2⋅ R
где R – радиус кругового витка.
146
Для кругового витка в произвольной точке на его оси:
µ ⋅ µ0 ⋅ I ⋅ R 2
I ⋅ R2
=
(4.12)
H=
;
.
B
2 ⋅ r3
2 ⋅ r3
4.1.3. Магнитная индукция соленоида и тороида
Цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа
витков проволоки, называется соленоидом. При плотной намотке соленоид можно рассматривать как систему последовательно
соединенных круговых витков с током одинакового радиуса с
общей осью. Тогда внутри соленоида на его оси индукция магнитного поля:
B = µ ⋅ µ0 ⋅ n ⋅ I ,
(4.13)
N
где n =
– число витков, приходящихся на единицу длины соl
леноида.
Кольцевая катушка с током, намотанная на сердечник,
имеющий форму тора, называется тороидом. Индукция магнитного поля внутри тороида:
µ ⋅ µ0 ⋅ N ⋅ I
(4.14)
.
B=
2 ⋅π ⋅ r
4.1.4. Закон Ампера
Изучая воздействие магнитного поля на различные подвижные проволочные замкнутые контуры, Ампер установил
закон, согласно которому на проводник с током, помещенный в
однородное магнитное поле, действует сила, пропорциональная
длине проводника l, величине тока I в нем и индукции магнитного поля В:
F = I(B·l); F = I ⋅ B ⋅ l ⋅ sin α ,
(4.15)
где α – угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной индукции.
Направление данной силы определяется правилом левой
руки: если левую руку расположить так, чтобы вектор B входил в ладонь, вытянутые вперед четыре пальца совпадали с на147
правлением тока в проводнике, то отставленный на 90° большой палец укаB1
B1
жет направление действия силы Ампера.
F12
Проявление силы Ампера очень заF21
метно при рассмотрении взаимодействия
B2
B2
двух параллельных проводников с токами (рис. 4.2). В этом случае каждый из
проводников находится в магнитном поРис. 4.2. Сила Ампера
ле другого, и в зависимости от направления токов происходит либо отталкивание
(в случае одностороннего направления), либо притяжение (для
противоположно направленных токов) проводников.
При этом сила притяжения
B
(отталкивания) будет определяться по формуле:
µ ⋅ µ0 I1 ⋅ I 2
A
dF =
⋅
⋅ dl. (4.16)
r
2 ⋅π
R
Так как электрический ток
α
Q
υ
представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц, можно сделать вывод, что
Рис. 4.3. Магнитное поле
любой движущийся заряд создадвижущегося заряда
ет вокруг себя магнитное поле.
Величину данного магнитного поля можно определить, зная
скорость и величину заряда:
I1
I2
B=
µ ⋅ µ0 Q ⋅ [υ , r ]
⋅
,
4 ⋅π
r3
(4.17)
или в скалярной форме:
µ ⋅ µ0 Q ⋅ υ ⋅ sin α
B=
⋅
,
(4.18)
4 ⋅π
r2
где α – угол между вектором скорости и радиус-вектором, проведенным от заряда в рассматриваемую точку поля.
Полученные зависимости справедливы только для скоростей нерелятивистских, т.е. для тех, величина которых во много
раз меньше скорости света.
148
4.1.5. Сила Лоренца
Так как магнитное поле обнаруживается по воздействию на
проводник с током, а ток представляет собой движение заряженных частиц, то на отдельно движущийся заряд в магнитном
поле действует так называемая сила Лоренца:
(4.19)
F = q ⋅ [υ × B ].
Из формулы (4.19) видно, что сила Лоренца определяется
величиной заряда и его скоростью, а также индукцией магнитного поля, в котором этот заряд движется.
Направление силы определяется правилом левой руки: если
левую руку расположить так, чтобы вектор B входил в ладонь,
а вытянутые четыре пальца совпадали с направлением скорости заряда, то отставленный на 90° большой палец укажет
направление действия силы (для положительного заряда). Для
отрицательного заряда направление силы меняется на противоположное.
Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения
заряженной частицы, поэтому изменяет только направление
скорости, не оказывая влияния на ее величину. Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля действует
еще и электрическое поле, то результирующая сила, приложенная к заряду:
F = q ⋅ E + q ⋅ [υ × B ].
(4.20)
По модулю силы Лоренца:
F = q ⋅ υ ⋅ B ⋅ sin α ,
(4.21)
где α – это угол между векторами скорости и магнитной индукции.
Если α = 0, то сила Лоренца равна нулю, и заряженная частица движется параллельно линиям магнитной индукции. В
случае, когда α =
π
, сила Лоренца направлена по нормали к
2
траектории частицы, что приводит к появлению центростремительного ускорения, т.е. частица начнет двигаться по окружности, при этом будет выполняться условие:
m ⋅υ 2
q ⋅υ ⋅ B =
,
r
149
откуда
m υ
⋅ .
(4.22)
q B
При этом период обращения частицы (время одного полно2 ⋅π ⋅ r
, с учетом (4.22), примет вид:
го оборота) T =
υ
2 ⋅π m
T=
⋅ .
(4.23)
B q
r=
υ
υ⊥
h
α
υ II
q
Fл
B
r
Рис. 4.4. Движение заряженной частицы в магнитном поле
Если же вектор скорости частицы направлен под произвольным углом к вектору магнитной индукции (рис. 4.4), движение данной частицы можно представить как результат двух
движений:
равномерное прямолинейное вдоль поля со скоростью
υΙΙ = υ ⋅ cos α ;
равномерное движение по окружности в плоскости, перпендикулярной полю со скоростью υ⊥ = υ ⋅ sin α .
Тогда траектория будет представлять собой спираль (винтовую линию), шаг которой:
2 ⋅ π ⋅ m ⋅ υ ⋅ cos α
h=
(4.24)
.
q⋅B
150
Направление, в котором закручивается спираль, зависит от
знака заряда частицы.
Свойство заряженных частиц ускоряться в электрическом
поле и вращаться в поперечном магнитном используется для
сообщения элементарным частицам больших энергий. Устройства, предназначенные для этого, называются циклотронами.
4.1.6. Эффект Холла
Существование силы Лоренца позволяет объяснить эффект Холла – возникновение в прямоугольном проводнике (полупроводнике) с током, помещенном в магнитное поле, перпендикулярной разности потенциалов. Если ток в пластинке (рис.
4.5) направлен от грани 1 к грани 2, а вектор магнитной индукции – снизу вверх, то в результате смещения зарядов под действием магнитного поля на гранях 3 и 4 образуются нескомпенсированные заряды противоположных знаков, что приводит к появлению разности потенциалов.
I
q+
1
B
B
B
4
Eх
q
3
−
I
2
b
Рис. 4.5. Эффект Холла
Холловская разность потенциалов пропорциональна силе
тока, индукции магнитного поля и обратно пропорциональна
ширине пластинки:
R⋅I ⋅B
(4.25)
Ex =
,
b
1
где R =
– постоянная Холла, которая зависит от вида и
q ⋅ n0
концентрации носителей заряда.
151
При этом, если R < 0, то проводимость электронная, а если
R > 0, то дырочная. В случае, когда в полупроводнике осуществляются оба типа проводимости, по знаку постоянной Холла
можно судить о том, какой из них является преобладающим.
Если известны характер проводимости и величина заряда носителей, можно, рассчитав постоянную Холла по экспериментальным данным, определить концентрацию носителей заряда.
4.1.7. Работа в магнитном поле
Если одну из сторон плоского контура (рис. 4.6) оставить
подвижной (используя скользящие контакты), то в магнитном
поле она под действием силы Ампера будет перемещаться. Таким образом, можно говорить о том, что магнитное поле способно совершать работу:
dA = F ⋅ dx.
Учитывая, что F = I ⋅ B ⋅ l , получим:
dA = I ⋅ B ⋅ l ⋅ dx = I ⋅ B ⋅ dS = I ⋅ d Φ.
dx
I
F
B
I
1
l
2
Рис. 4.6. Работа по перемещению проводника в магнитном поле
Таким образом, работа по перемещению проводника с током определяется произведением силы тока на величину изменения магнитного потока:
dA = I ⋅ d Φ.
(4.26)
152
При перемещении в магнитном поле замкнутого контура с
током работа будет определяться также произведением силы
тока на изменение магнитного потока, пронизывающего контур:
(4.27)
A = I ⋅ ∆Φ.
Данная формула справедлива для контура любой формы в
произвольном магнитном поле.
4.2. Электромагнитная индукция
4.2.1. Закон электромагнитной индукции
Поскольку электрические и магнитные поля порождаются
одними и теми же источниками – электрическими зарядами,
можно предположить, что между этими полями существует определенная связь. Это предположение нашло экспериментальное подтверждение в 1831 г. в опытах выдающегося английского физика М. Фарадея, в которых он открыл явление электромагнитной индукции.
В первом опыте соленоид
был замкнут на гальванометр,
который способен регистрировать наличие электрического тока
в обмотке соленоида (рис. 4.7 а).
Приближение к одному из торцов
катушки постоянного магнита и
его дальнейшее перемещение
внутри соленоида вызывает отклонение стрелки гальванометра.
а
б
Как только движение магнита
прекращается, стрелка гальваноРис.4.7. Опыты Фарадея
метра снова возвращается в нулевое положение. Если магнит извлекать из соленоида, то снова возникает ток, но в направлении,
противоположном первоначальному. Такое же явление наблюдается в результате перемещения катушки при неподвижном
магните. Аналогичная картина будет и в случае, когда в роли
постоянного магнита выступает катушка с током (рис. 4.7 б).
153
Возникновение электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменениях магнитного потока, охватываемого данным контуром, называется явлением электромагнитной индукции, а возникающий ток – индукционным.
Возникновение индукционного тока в замкнутом контуре
обусловлено появлением в нем электродвижущей силы под
влиянием изменяющегося потока магнитной индукции. Величину данной ЭДС можно определить, используя закон сохранения
энергии. Энергия источника тока расходуется на выделение теплоты и на перемещение проводника с током в магнитном поле:
(4.28)
ε ⋅ I ⋅ dt = I 2 ⋅ R ⋅ dt + I ⋅ d Φ.
Решая данное равенство относительно силы тока, получим:
dΦ
ε−
dt .
I=
R
Сопоставляя данное выражение с законом Ома для замкнутой цепи, можно отметить, что помимо ЭДС источника в цепи
присутствует дополнительная электродвижущая сила, называемая ЭДС индукции:
dΦ
εi = −
.
(4.29)
dt
Полученная формула выражает закон электромагнитной
индукции, или закон Фарадея: ЭДС индукции, возникающая в
замкнутом контуре, прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком. Знак «-»
введен в соответствии с правилом Ленца, которое было установлено экспериментально: индукционный ток всегда имеет
такое направление, при котором его собственный магнитный
поток компенсирует любое изменение магнитного потока, порождающего этот ток.
dΦ
Таким образом, увеличение потока индукции (
> 0 ) выdt
зывает ЭДС, действующую в направлении отрицательного обdΦ
< 0 ) вызывает
хода контура; уменьшение потока индукции (
dt
ЭДС, действующую в направлении положительного обхода контура.
154
Если замкнутый контур имеет несколько витков, то закон
Фарадея можно записать в виде:
dΨ
ℰ = −
,
(4.30)
dt
где Ψ = N ⋅ Ф – потокосцепление, или полный магнитный поток
замкнутого контура, состоящего из N витков,
обусловленный магнитным полем тока в самом
контуре.
4.2.2. Самоиндукция
Явление электромагнитной индукции наблюдается во всех
случаях, при которых меняется поток индукции через площадь,
ограниченную проводником. При этом совершенно безразлично,
чем вызвано изменение потока. Если в некотором замкнутом
контуре течет переменный ток, то магнитный поток, создаваемый этим током, также меняется. Изменение потока магнитной
индукции приведет к возникновению в контуре ЭДС. Таким образом, изменение тока в контуре влечет возникновение ЭДС
индукции в этом же контуре, т.е. наблюдается явление самоиндукции. Характерным примером явления самоиндукции служат так называемые экстратоки замыкания и размыкания.
Представим себе, что мы замыкаем контур, в результате чего в нем возникает электрический ток. При этом магнитное поле
тока возрастает, а следовательно, возрастает и поток магнитной
индукции через площадь, ограниченную контуром. Согласно
правилу Ленца, возникающий индукционный ток будет создавать поток индукции, компенсирующий увеличение первоначального магнитного потока. Следовательно, индуцируется ток,
создающий магнитное поле, направленное противоположно
магнитному полю первоначального тока. Отсюда заключаем,
что индукционный ток направлен противоположно замыкаемому току. Этот индуцируемый ток обратного направления называется экстратоком замыкания. Экстраток замыкания уменьшает ток, идущий в контуре. Наличие экстратока замыкания
приводит к тому, что нарастание тока в цепи при его включении
происходит медленнее, чем при отсутствии экстратока. Анало155
гичное явление мы наблюдаем при размыкании цепи. Если в
контуре сила тока снижается, то при этом уменьшается поток
магнитной индукции через площадь, ограниченную контуром. В
контуре индуцируется ток, создающий по правилу Ленца поток
индукции, увеличивающий убывающий поток, т.е. индуцируется ток в том же направлении, в котором шел основной ток. Этот
индуцируемый ток называется экстратоком размыкания. Экстраток размыкания направлен в ту же сторону, что и основной
ток.
Свойство контура обладать более или менее выраженным
явлением самоиндукции характеризуется физической величиной,
называемой коэффициентом самоиндукции, или индуктивностью.
Пусть в произвольном замкнутом контуре течет ток, сила
которого I. Согласно закону Био-Савара-Лапласа напряженность
магнитного поля, а следовательно, и вектор индукции, создаваемые этим током, пропорциональны в каждой точке силе тока.
Поэтому поток индукции, пронизывающий площадь, ограниченную контуром тока, пропорционален силе тока:
Φ = L ⋅ I,
(4.31)
где L – коэффициент самоиндукции контура, или индуктивность.
Физический смысл индуктивности заключается в следующем: коэффициент самоиндукции численно равен потоку
магнитной индукции через площадь, ограниченную контуром,
если по этому контуру идет ток, сила которого равна единице.
Единицей измерения индуктивности в СИ является
1 Вб
1 Гн =
– это индуктивность такого контура, в котором при
1А
силе тока в 1 А возникает потокосцепление в 1 Вб.
Подставляя в формулу, выражающую закон Фарадея вместо
магнитного потока его значение, получим:
d (L ⋅ I )
dI
ℰc = −
= −L ⋅ .
(4.32)
dt
dt
Если L = const , то согласно правилу Ленца ℰc (ЭДС самоиндукции) противодействует изменению электрического тока в
156
контуре, а индуктивность является мерой инертности контура
по отношению к изменению силы тока.
Коэффициент самоиндукции определяется только геометрической формой контура и средой, в которой расположен конΨ
тур. Например, для соленоида L = .
I
Учитывая, что потокосцепление соленоида
Ψ = N ⋅Ф = N ⋅ B ⋅ S,
а индукция магнитного поля в нем
B = µ ⋅ µ0 ⋅
N ⋅I
,
l
получим:
N2 ⋅S
(4.33)
,
l
где N – количество витков соленоида;
S – площадь поперечного сечения соленоида;
µ – относительная магнитная проницаемость среды внутри
соленоида;
l – длина соленоида.
Из формулы (4.33) видно, что индуктивность соленоида
растет с увеличением числа витков, площади, магнитной проницаемости вещества, из которого изготовлен сердечник, помещенный внутрь, а увеличение длины соленоида приводит к
уменьшению индуктивности.
L = µ ⋅ µ0 ⋅
4.2.3. Взаимная индукция
Дальнейшее изучение явления электромагнитной индукции
привело к открытию явления взаимной индукции, которое заключается в возникновении ЭДС в одном из соседних близлежащих контуров при изменении силы тока в другом (рис. 4.8). В
контуре 1 протекает ток I1 , который создает магнитный поток,
пропорциональный данному току. Часть потока пронизывает
второй контур:
Φ 21 = L21 ⋅ I1.
(4.34)
157
Изменение силы тока приводит к изменению магнитного
потока, что в свою очередь вызывает появление во втором контуре ЭДС индукции:
d Φ 21
ε2 = −
.
dt
Если размеры и положения
контуров остаются неизменныРис. 4.8. Взаимная индукция
ми, то коэффициент L21 в формуле (4.34) постоянен, и тогда
dI
ε i 2 = − L21 ⋅ 1 .
dt
Коэффициент пропорциональности L21 называется коэффициентом взаимной индукции.
Аналогичным образом можно представить, что при изменении тока во втором контуре в первом индуцируется ЭДС:
dI
ε i1 = − L12 ⋅ 2 .
dt
При этом выполняется условие:
L21 = L12 .
Данные коэффициенты зависят от геометрической формы,
размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной
проницаемости среды, в которой находятся контуры.
Явление взаимной индукции используют в трансформаторах, предназначенных для повышения или понижения напряжения переменного тока и для передачи электрической энергии на
расстояние. Простейший трансформатор представляет собой две
катушки с различным количеством витков, намотанных на общий замкнутый ферромагнитный сердечник.
Если в одной из катушек протекает переменный ток, то возникающий при этом магнитный поток вызывает появление электродвижущей силы взаимной индукции в другой катушке:
N
ε 2 = − 2 ⋅ ε1 .
(4.35)
N1
158
Знак «–» показывает, что ЭДС в первичной и вторичной
обмотках противоположны по фазе. Если коэффициент трансN
формации 2 больше единицы – трансформатор повышающий
N1
(увеличивает переменную ЭДС и уменьшает силу тока). Такие
трансформаторы применяются для передачи электроэнергии на
большие расстояния, так как снижают потери на выделение в
проводах джоулевой теплоты, пропорциональной квадрату силы
N2
меньше единицы, трансформатор
тока. Когда отношение
N1
является понижающим (уменьшается ЭДС, при этом повышается ток). Такие трансформаторы используются при проведении
сварочных работ.
4.2.4. Энергия магнитного поля
При протекании по проводам постоянного тока вся мощность, развиваемая источником ЭДС, расходуется на выделение
тепла. При непостоянных, возрастающих или убывающих токах
картина меняется. Увеличение тока в контуре приводит к возникновению ЭДС самоиндукции, направленной против ЭДС,
возбуждающей ток. В результате сила тока будет меньше, причем только часть работы, совершаемой внешней ЭДС, пойдет на
выделение тепла. Наоборот, при падении силы тока в контуре
возникает ЭДС самоиндукции того же направления, что и внешняя. При этом ток оказывается сильнее, в цепи выделяется
больше тепла, чем должно было бы выделиться при данной
внешней ЭДС.
Очевидно, что лишняя работа, затрачиваемая при возрастании тока, могла пойти лишь на создание какого-то вида энергии,
которая затем, при убывании силы тока, выделилась обратно в
цепи. Так как с усилением тока усиливается и создаваемое им
магнитное поле, то, очевидно, что эта возникающая энергия является энергией магнитного поля.
Для подсчета энергии магнитного поля рассмотрим контур,
содержащий источник ЭДС и индуктивность L, в котором сила
159
тока возрастает от нуля до некоторого конечного значения I .
При возрастании тока в контуре возникает ЭДС самоиндукции:
dI
ℰc = − L ⋅ .
(4.36)
dt
Работа против этой ЭДС и будет расходоваться на создание
энергии магнитного поля. Если в данный момент сила тока в
цепи равна I , то работа, совершаемая за малый промежуток
времени dt , равна:
dA = I ⋅ ℰc ⋅dt.
(4.37)
Подставляя в формулу (4.37) выражение (4.36) без учета
знака, получим:
dI
dA = I ⋅ L ⋅ ⋅ dt = L ⋅ I ⋅ dI .
(4.38)
dt
Чтобы подсчитать запас магнитной энергии, определяемой
работой, совершаемой при возрастании тока от нулевого до некоторого определенного значения I, необходимо проинтегрировать выражение (4.38) в пределах от 0 до I:
I
Wm =
∫ L ⋅ I ⋅ dI ,
0
что приводит к выражению:
L⋅I2
.
(4.39)
2
Здесь энергия магнитного поля выражена через параметры,
характеризующие контур с током – силу тока и индуктивность.
Выразим эту же энергию через параметры самого поля, а именно – через напряженность магнитного поля и магнитную индукцию. Это позволяет локализировать магнитную энергию в той
части пространства, где имеется магнитное поле, аналогично
тому, как энергию электростатических зарядов можно локализировать в пространстве, в котором имеется электростатическое
поле.
Рассмотрим соленоид, индуктивность которого
W=
N2 ⋅S
L = µ ⋅ µ0 ⋅
.
l
160
(4.40)
Сила тока и напряженность магнитного поля внутри соленоида связаны соотношением:
H H ⋅l
I= =
.
(4.41)
n
N
Подставляя выражения (4.40) и (4.41) в формулу (4.39), получим значение энергии магнитного поля:
µ ⋅ µ0 ⋅ N 2 ⋅ S H 2 ⋅ l 2 µ ⋅ µ0 ⋅ H 2
⋅
=
⋅V .
(4.42)
W=
2⋅l
2
N2
Тогда объемная плотность энергии магнитного поля, т.е.
энергия, заключенная в единице объема, будет определяться
выражением:
W µ ⋅ µ0 ⋅ H 2
ϖ= =
(4.43)
.
V
2
Если в пространстве одновременно имеются связанные между собой электрические и магнитные поля, объемная плотность энергии такого общего электромагнитного поля будет
равна:
ε ⋅ ε 0 ⋅ E 2 µ ⋅ µ0 ⋅ H 2
ϖ=
+
(4.44)
.
2
2
4.3. Переменный ток
4.3.1. Получение переменного тока
Наиболее важное применение явление электромагнитной индукции получило в генераторах переменного тока, которые преобразуют
механическую
энергию в электрическую.
Работа таких генераторов
основана на вращении рамки в магнитном поле.
Если в однородном
магнитном поле с постоян-
ω
N
n
α
S
B
Рис. 4.9. Вращение рамки
в магнитном поле
161
ной угловой скоростью вращается плоская рамка (рис. 4.9), то
изменение магнитного потока, сцепленного с рамкой, будет определяться выражением:
Φ = B ⋅ S ⋅ cos α = B ⋅ S ⋅ cos ω ⋅ t ,
(4.45)
где B – индукция магнитного поля;
S – площадь рамки;
α – угол между нормалью к рамке и направлением вектора
магнитной индукции.
Тогда по закону Фарадея:
d ( B ⋅ S ⋅ cos ω ⋅ t )
dΦ
=−
= ω ⋅ B ⋅ S ⋅ sin ω ⋅ t , (4.46)
ℰi = −
dt
dt
где ω ⋅ B ⋅ S = ℰ0 – собой амплитуду электродвижущей силы индукции (если рамка имеет n последовательно соединенных витков, амплитуда будет в
n раз больше).
Если концы проволоки, образующей рамку, замкнуть на
внешнюю цепь, то по цепи пойдет ток, сила и направление которого изменяются с течением времени – переменный ток. В
различных участках цепи сила такого тока может быть не постоянной, однако если для установившегося режима в каждый
момент времени относительные изменения токов и ЭДС малы,
то их мгновенные значения будут подчиняться всем законам
постоянного тока. Такие токи называют квазистационарными
(медленно меняющимися).
Активное сопротивление в цепи переменного тока. Подключим выводы рамки к резистору сопротивлением R (рис. 4.10 а).
Согласно закону Ома сила тока в этом случае:
ε ε
(4.47)
I = = 0 ⋅ sin ω ⋅ t = I 0 ⋅ sin ω ⋅ t ,
R R
где I 0 =
ε0
– амплитудное значение силы тока.
R
Следовательно, в цепи, содержащей источник переменного
тока и резистор, ток и напряжение изменяются одинаковым образом (рис. 4.10 б).
162
R
I0
U
∼
U 0 = R ⋅ I0
а
б
Рис. 4.10. Активное сопротивление в цепи переменного тока
Емкость в цепи переменного тока. Пусть электрическая
цепь содержит генератор переменного тока и конденсатор емкостью C (рис. 4.11 а). Напряжение на конденсаторе изменяется
по закону:
U = U 0 ⋅ sin ω ⋅ t.
(4.48)
C
I0
U
∼
UC =
а
1
ω ⋅C
⋅ I0
б
Рис. 4.11. Емкость в цепи переменного тока
Тогда заряд на обкладках конденсатора тоже будет изменяться:
(4.49)
Q = C ⋅ U = C ⋅ U 0 sin ω ⋅ t.
dQ
, следовательно, ток в
По определению сила тока I =
dt
данном случае будет изменяться по закону:
d ( C ⋅ U 0 ⋅ sin ω ⋅ t )
π

I=
= C ⋅ U 0 ⋅ ω ⋅ cos ω ⋅ t = I 0 ⋅ sin  ω ⋅ t +  , (4.50)
dt
2

где I 0 = C ⋅ U 0 ⋅ ω – амплитудное значение силы тока. Сопоставляя выражения (4.48) и (4.50), можно сделать
вывод, что ток опережает напряжение по фазе на
π
2
(рис. 4.11 б).
163
Данный сдвиг происходит вследствие того, что переменный
ток, протекающий при периодической зарядке конденсатора,
достигает максимального значения в те моменты времени, когда
напряжение равно нулю. В такой цепи закон Ома выполняется
для амплитудных значений тока и напряжения. Следовательно,
выражение для амплитуды силы тока можно записать в виде:
I0 =
U0
U
= 0,
1
RC
ω ⋅C
(4.51)
1
– емкостное сопротивление конденсатора.
ω ⋅C
Индуктивность в цепи переменного тока. Если в цепь с переменным напряжением включить катушку индуктивности
(рис. 4.12 а), то в ней будет протекать переменный ток:
I = I 0 ⋅ sin ω ⋅ t ,
(4.52)
в результате чего возникнет ЭДС самоиндукции:
dI
ℰc = − L ⋅ .
dt
где RC =
L
U L = ω ⋅ L ⋅ I0
U
∼
I0
а
б
Рис. 4.12. Индуктивность в цепи переменного тока
Полагая, что все приложенное к катушке напряжение уравновешивается электродвижущей силой самоиндукции U = − ℰc,
можно записать:
dI
π

(4.53)
U = L ⋅ = ω ⋅ L ⋅ I 0 ⋅ cos ω ⋅ t = U 0 ⋅ sin  ω ⋅ t +  .
2
dt

164
Сравнивая данное выражение с формулой (4.52), можно
сделать вывод, что напряжение на индуктивности опережает ток
π
(рис. 4.12 б).
2
Величина U 0 = ω ⋅ L ⋅ I 0 определяет амплитуду напряжения.
Согласно закону Ома для данного выражения получим:
U
I0 = 0 .
ω⋅L
Следовательно, катушка, включенная в цепь переменного
тока, обладает сопротивлением:
X L = ω ⋅ L,
(4.54)
которое называется индуктивным сопротивлением.
Емкостное RC и индуктивное RL сопротивления в отличие
от активного R называют реактивными.
на
4.3.2. Закон Ома для цепей переменного тока
Если переменное напряжение приложено к участку цепи,
содержащему последовательно включенные резистор, катушку
индуктивности и конденсатор (рис. 4.13 а), то в цепи будет протекать переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжений.
9
R
U L = ω ⋅ L ⋅ I0
C
U0
UR
UL
ϕ
UC
∼
U
UC =
а
1
⋅I
ω ⋅C 0
1 

⋅I
ω ⋅ L −
ω ⋅ C  0

U R = R ⋅ I0
б
Рис. 4.13. Цепь переменного тока,
содержащая последовательно включенные резистор, конденсатор
и катушку индуктивности
165
Для определения амплитуды приложенного напряжения используют векторную диаграмму амплитуд падений напряжений
на резисторе, катушке и конденсаторе (рис. 4.13 б). Построение
диаграммы основывается на зависимостях между током и напряжением для каждого элемента цепи, полученных ранее.
Амплитуда приложенного напряжения будет определяться
векторной суммой амплитуд падений напряжений на всех элементах. Угол ϕ определяет разность фаз между напряжением и
силой тока и находится из соотношения:
1 

1
⋅I
ω⋅L−
ω ⋅ L −
ω ⋅ C  o

ω ⋅C .
=
tgϕ =
R ⋅ I0
R
(4.55)
По теореме Пифагора:
( I0 ⋅ R )
2
2

1  
2
+  ω ⋅ L −
 ⋅ I0  = U 0 .
C
ω
⋅




Тогда амплитуда силы тока
I0 =
U0
1 

R2 +  ω ⋅ L −
ω ⋅ C 

2
,
(4.56)
2
1 

(4.57)
Z = R + ω ⋅ L −
где величина
ω ⋅ C 

называется полным сопротивлением цепи, а разность индуктивного и емкостного сопротивлений реактивным сопротивлением цепи.
2
4.3.3. Резонанс токов и напряжений
Анализируя выражение (4.56), можно заметить, что величина переменного тока существенно зависит от его частоты и при
выполнении условия
1
.
ω⋅L =
(4.58)
ω ⋅C
сдвиг фаз между током и напряжением обращается в нуль, т.е.
изменения тока и напряжения происходят синфазно. Данное явление называется резонансом напряжений, а частота
166
ω рез =
1
L ⋅C
,
(4.59)
удовлетворяющая условию (4.58), – резонансной частотой.
Явление резонанса напряжений следует учитывать при расчете изоляции электрических линий, содержащих конденсаторы
и катушки индуктивности, так как может наступить их пробой.
Это происходит вследствие уменьшения полного сопротивления
до активного, что приводит к увеличению силы тока до максимально возможных при данном амплитудном напряжении значений.
При включении катушки инC
дуктивности и конденсатора параллельно друг другу (рис. 4.14)
может наблюдаться резонанс токов – явление резкого уменьшения
амплитуды силы тока во внешней
L
цепи при приближении частоты
приложенного напряжения к реU
зонансной частоте. Формула для
определения
резонансной частоты
Рис. 4.14. Параллельное
такая
же,
как
и при резонансе насоединение конденсатора
пряжений.
и катушки индуктивности
Пусть напряжение в цепи изменяется по закону U = U 0 ⋅ cos ω ⋅ t , тогда в ветви, содержащей
конденсатор, потечет ток: I1 = I 01 ⋅ cos (ω ⋅ t − ϕ1 ) . Амплитуда силы тока, согласно выражению (4.56), при условии R = 0 и L = 0 :
U
I 01 = 0 .
1
ω ⋅C
При этом начальная фаза, определяемая из выражения
(4.55):
3

tgϕ1 = −∞, или ϕ1 =  2 ⋅ n +  ⋅ π , где n = 1, 2, 3...
(4.60)
2

Аналогично для ветви цепи, содержащей индуктивность,
получим:
U
I 02 = 0 ;
ω⋅L
∼
167
1

tgϕ2 = +∞, или ϕ2 =  2 ⋅ n +  ⋅ π , где n = 1, 2, 3... (4.61)
2

Сопоставляя выражения (4.60) и (4.61), можно заметить, что
разность фаз токов в ветвях с конденсатором и катушкой
ϕ1 − ϕ 2 = π .
(4.62)
Таким образом, токи в данных ветвях противоположны по
фазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи:
1
I 0 = I 01 − I 02 = U 0 ⋅ ω ⋅ C −
.
ω⋅L
1
, то I 01 = I 02 и I 0 = 0.
Следовательно, если ω = ω рез =
L⋅C
Если во внешней цепи есть сопротивление R, то разность
фаз не равна π . Следовательно, при резонансе токов амплитуда
I 0 будет отлична от нуля, но примет наименьшее возможное
значение при данном U 0 . Таким образом, при резонансе токов
во внешней цепи токи I 01 и I 02 компенсируются, при этом сила
тока в подводящих проводах достигает минимального значения,
обусловленного только током через резистор.
Резонанс токов используется в резонансных усилителях,
индукционных печах и т.п.
4.3.4. Мощность в цепи переменного тока
Ранее было показано, что для постоянного тока мощность
определяется как:
P = I ⋅ U = I 2 ⋅ R,
(4.63)
где U – напряжение участка цепи;
I – сила тока на этом участке;
I – активное сопротивление.
Для переменного тока помимо активного необходимо учитывать также индуктивное и емкостное сопротивления. При
протекании тока в цепи, содержащей катушку индуктивности
или конденсатор, происходит обмен энергией между ними и источником тока, следовательно, в цепи расходуется мощность:
(4.64)
P = I ⋅U ⋅ k ,
где k – некоторый коэффициент мощности данной цепи.
168
В течение малого промежутка времени переменный ток
можно считать постоянным, поэтому мгновенная мощность переменного тока:
Pt = I ⋅ U = I 0 ⋅ cos (ω ⋅ t − ϕ ) ⋅ U 0 ⋅ cos ω ⋅ t =
(
)
= I 0 ⋅ U 0 ⋅ cos 2 ω ⋅ t ⋅ cos ϕ + sin ω ⋅ t ⋅ cos ω ⋅ t ⋅ sin ϕ .
(4.65)
Наиболее важным является не мгновенное, а среднее значение мощности за период. Тогда учитывая, что для средних зна1
чений cos 2 ω ⋅ t = ⋅ sin ω ⋅ t cos ω ⋅ t = 0, а также векторную диа2
грамму амплитудных значений токов и напряжений, получим:
1
1
P = ⋅ I 0 ⋅ U 0 ⋅ cos ϕ = ⋅ R ⋅ I 02 .
(4.66)
2
2
Сравнивая выражения (4.63) и (4.66), можно ввести действующие значения тока и напряжения, которые связаны с амплитудными значениями соотношениями:
I
U
(4.67)
I= 0 ; U= 0.
2
2
Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.
С учетом действующих значений формулу (4.66) можно
привести к виду:
P = I ⋅ U ⋅ cos ϕ .
(4.68)
Сравнивая выражения (4.64) и (4.68), можно установить,
что в роли коэффициента мощности выступает cos ϕ , зависящий от сдвига фаз между током и напряжением, определяемого
по формуле (4.55).
В случае, когда cos ϕ = 0, мощность тоже равна нулю, какими бы большими ни были сила тока и напряжение. В этом
случае происходит постоянный обмен энергией между источником тока и элементами цепи. Если cos ϕ имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности
при данном напряжении генератора необходимо увеличивать
силу тока, что приведет либо к выделению большого количества
теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повысит затраты на прокладку линий электропередачи. Поэтому
169
на практике всегда стремятся увеличить коэффициент мощности, например, для промышленных установок его наименьшее
допустимое значение составляет 0,85.
4.4. Магнитное поле в веществе
Вещество, внесенное во внешнее магнитное поле, может
намагничиваться, т.е. создавать собственное магнитное поле,
взаимодействующее с внешним. Такие вещества называются
магнетиками. В сущности, любое вещество в той или иной
степени характеризуется магнитными свойствами.
Таким образом, в веществе, находящемся в магнитном поле,
устанавливается результирующее поле, индукция которого равна:
B = B0 + B '.
(4.69)
Магнитная индукция внешнего поля B0 связана с величиной напряженности магнитного поля соотношением:
B0 = µ0 ⋅ H ,
(4.70)
где µ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 Гн ⋅ м
−7
−1
– магнитная постоянная.
Появление собственного магнитного поля B′ в магнетике
обусловлено тем, что внутри отдельных атомов, молекул или
ионов вещества по круговым орбитам движутся заряды, которые
представляют собой множество круговых токов, создающих
собственные магнитные моменты. Электрон, движущийся по
круговой орбите вокруг ядра атома,
обладает орбитальным магнитным
моментом Рm:
pm = I ⋅ S ,
(4.71)
где I = e ⋅ν – сила тока;
ν – частота вращения электрона
по орбите;
S = π ⋅ r 2 – площадь орбиты
электрона.
Если электрон движется по часовой стрелке (рис. 4.15), то ток I на170
Рис. 4.15. Движение
электрона по орбите
правлен против, а вектор Рm в соответствии с правилом правого
винта направлен вдоль оси и перпендикулярно плоскости орбиты электрона.
Орбитальный электрон обладает и механическим моментом
импульса:
Le = m ⋅ υ ⋅ r ,
(4.72)
где m – масса электрона;
r – его радиус-вектор, проведенный из центра орбиты;
υ – скорость движения электрона.
Вектор Le противоположен направлению вектора Рm:
Pm = −γ ⋅ Le ,
(4.73)
e
где γ = −
– гиромагнитное (магнитомеханическое) отно2⋅m
шение орбитальных моментов электрона.
Кроме орбитальных моментов электрон обладает собственным механическим моментом импульса LeS, называемым спином. Спину электрона LeS соответствует собственный (спиновый) магнитный момент:
PmS = γ S ⋅ LeS ,
(4.74)
где γ S – гиромагнитное отношение для спинового момента.
Общий магнитный момент атома или молекулы Ра равен
векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых), входящих в атом или молекулу электронов:
Pa =
∑P + ∑P
m
mS .
(4.75)
Так как магнитные моменты атомных ядер в тысячи раз
меньше магнитных моментов электронов, то их влиянием на
магнитные свойства веществ можно пренебречь.
В ненамагниченном веществе электронные магнитные моменты отличны от нуля, но ориентированы хаотично, так что
результирующий магнитный момент в целом равен нулю. Во
внешнем магнитном поле эти моменты получают такую ориентировку, при которой результирующий момент уже отличен от
нуля, и вещество намагничивается. Степень намагниченности
характеризуется вектором намагничивания или намагниченно171
стью J . Для однородной среды среднее значение вектора намагничивания определяется выражением:
1
J=
⋅
∆V
n
∑p
mi .
(4.76)
i =1
Таким образом, для индукции собственного поля магнетика
B ' можно записать:
B′ = µ0 ⋅ J .
(4.77)
Способность вещества к намагничиванию характеризует
магнитная восприимчивость χ , определяемая отношением намагниченности вещества к напряженности внешнего магнитного
поля:
J
χ= .
(4.78)
H
С учетом (4.70) и (4.77) формула для результирующего поля
в магнетике примет вид:
B = µ0 ⋅ H + µ0 ⋅ J = µ0 ⋅ ( H + J ) = µ0 ⋅ (1 + χ ) ⋅ H .
(4.79)
Сопоставляя формулы B = µ 0 ⋅ µ ⋅ H и (4.79) получим, что
относительная магнитная проницаемость вещества
µ = 1 + χ.
(4.80)
В зависимости от значения магнитной проницаемости все
вещества делятся на три группы: парамагнетики ( µ > 1 ), диамагнетики ( µ < 1 ) и ферромагнетики ( µ >> 1 ).
У парамагнетиков магнитный момент каждого атома (молекулы) в отсутствие внешнего магнитного поля отличен от нуля,
но в результате теплового движения общий магнитный момент
равен нулю. Под воздействием внешнего магнитного поля магнитные моменты атомов или молекул ориентируются по полю,
что приводит к усилению магнитного поля.
Для диамагнетиков магнитные моменты атомов равны нулю. Под действием внешнего поля в электронных оболочках
атомов возникают индуцированные круговые токи, магнитное
поле которых будет противодействовать изменению внешнего
поля. Общий магнитный момент направлен противоположно
внешнему полю, в результате чего приводит к его ослаблению.
172
Особую, немногочисленную, но практически очень важную
группу парамагнетиков составляют ферромагнетики («феррум»
– железо) – это железо, кобальт, никель, некоторые редкоземельные элементы (гадолиний и др.) и ферромагнитные сплавы
из неферромагнитных элементов. У этих веществ магнитная
проницаемость значительна и непостоянна.
Ферромагнетик представляет собой совокупность областей
самопроизвольной намагниченности – доменов, линейные размеры которых имеют порядок 10-6-10-4 м. В отсутствии внешнего поля магнитные моменты доменов ориентированы произвольным образом. Внесение ферромагнетика во внешнее магнитное поле вызывает ориентацию доменов вдоль поля, поэтому
даже слабое магнитное поле приводит к сильной намагниченности вещества.
Характерной особенностью ферромагнетиков является
сложная нелинейная зависимость между намагниченностью J и
напряженностью поля H . В отличие от диамагнетиков и парамагнетиков, намагниченность которых изменяется линейно, у
ферромагнетиков сначала наблюдается быстрый рост намагниченности, а затем наступает насыщение (рис. 4.16).
J
J нас
ферромагнетик
парамагнетик
H
диамагнетик
Рис. 4.16. Зависимость намагниченности от напряженности поля
для разных видов магнетиков
173
Такой характер намагничивания можно объяснить тем, что
вначале неориентированных по полю доменов много, и поэтому
намагниченность увеличивается быстро. А по мере упорядочивания доменов рост замедляется, и когда направления магнитных моментов всех доменов совпадут с направлением внешнего
поля, наступает насыщение.
Если ферромагнетик намагнитить до насыщения J нас (кривая 0-1 на рис. 4.17), а затем уменьшать напряженность, то
уменьшение намагниченности идет по новой кривой (1-2). При
H = 0 ферромагнетик все еще обладает остаточной намагниченностью J ос .
J
1
J нас
J ос
− H нас
2
− Hc
3
0
6
H
Hc
H нас
5 −J
ос
4
− J нас
Рис. 4.17. Петля гистерезиса
Это явление используют при изготовлении постоянных
магнитов. Чтобы намагниченность стала равна нулю, необходимо приложить противоположно направленное магнитное поле
(кривая 2-3) с напряженностью − H c , которая называется коэрцитивной силой.
174
Дальнейшее увеличение напряженности противоположного
поля (кривая 3-4) приводит к тому, что ферромагнетик перемагничивается, достигая насыщения в точке 4. Затем его можно
снова размагнитить (кривая 4-5-6) и перемагнитить до насыщения (кривая 6-1). Таким образом, изменение намагниченности
описывается кривой 1-2-3-4-5-6-1, называемой петлей гистерезиса. Площадь, очерченная петлей гистерезиса, определяет количество энергии, переходящий в тепло при перемагничивании.
Различные ферромагнитные вещества дают кривые гистерезиса различной ширины, т.е. с разной величиной коэрцитивной
силы. Принято различать «мягкие» магнитные материалы, характеризуемые малой коэрцитивной силой, и «жесткие», характеризуемые большой коэрцитивной силой. К числу первых принадлежат мягкое железо, кремниевая сталь, сплавы железа с никелем (особенно сплав «пермаллой», содержащий 78% Ni). Такого рода материалы употребляются, например, для изготовления сердечников трансформаторов. К числу «жестких» магнитных веществ относятся углеродистые и специальные стали (например, сплав «магнико», содержащий Fe, A1, tu, Ni и Со). «Жесткие» магнетики употребляются для изготовления постоянных
магнитов.
175
Глава 5. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
5.1. Свободные гармонические колебания
5.1.1. Основные понятия
Довольно часто встречаются такие движения или процессы, которые имеют определенную повторяемость во времени.
Они называются колебаниями. Различают механические и
электромагнитные колебания, которые имеют общие признаки и
закономерности.
Свободными называют колебания, возникающие вследствие
начального отклонения системы от положения равновесия и
продолжающиеся без влияния внешних воздействий на колебательную систему. Если они соответствуют закону синуса (косинуса), то называются гармоническими.
Для всех систем, совершающих простое гармоническое
движение, при малом смещении от положения равновесия, возникает возвращающая сила, удовлетворяющая закону Гука:
F = − k ⋅ x.
(5.1)
Знак минус означает, что сила направлена в сторону, противоположную смещению. По второму закону Ньютона
d 2x
m ⋅ a = m ⋅ 2 = − k ⋅ x,
dt
откуда
2
d x
+
k
⋅ x = 0.
(5.2)
m
dt
Уравнение (5.2) является дифференциальным уравнением
свободных гармонических колебаний.
Решением данного уравнения являются гармонические
функции вида
x = A ⋅ sin ( ω ⋅ t + ϕ ) ,
(5.3)
где А – амплитуда колебаний;
( ω ⋅ t + ϕ ) – фаза колебаний;
ω – круговая или циклическая частота, которая определяет
начальную фазу колебаний ϕ 0 ( τ = 0 ). При этом
2
ϕ0 = ω ⋅ τ .
176
Тогда
x = A ⋅ sin ( ω ⋅ t ) .
Величина ω должна удовлетворять условию:
k
= ω 2.
m
В этом случае уравнение (5.2) примет вид:
2
d x
2
+ ω ⋅ x = 0.
(5.4)
dt
Системы, движение которых соответствует уравнению
(5.4), получили название гармонических осцилляторов.
Основное свойство гармонического колебательного движения – это его периодичность. Время, за которое система совершает один полный цикл движения и возвращается в исходное состояние, называется периодом колебаний:
2 ⋅π
T=
.
2
ω
Другими словами, это время, за которое фаза колебаний
получает приращение 2 ⋅ π .
Величина, обратная периоду
ν=
1
,
T
называется частотой колебаний.
Сопоставляя все три величины ω, ν и Т, получим:
2 ⋅π
ω=
= 2 ⋅ π ⋅ν .
T
Тогда для гармонического осциллятора будем иметь:
m
T = 2 ⋅π ⋅
.
k
Таким образом, мы видим, что период колебания зависит
исключительно от динамических характеристик: массы m и коэффициента k.
Во многих приложениях, связанных с рассмотрением колебательного процесса, удобен геометрический способ представления колебания с помощью вектора амплитуды. Этот способ
сводится к следующему (рис. 5.1).
177
Выберем на оси x произвольную точку О. Из этой точки
под углом α , равным начальной
фазе колебания, отложим в некотором масштабе вектор, численно равный амплитуде. На рисунке видно, что проекция вектора а
на ось x даст в том же масштабе
начальное смещение точки:
x = a ⋅ cos α .
Будем вращать вектор амРис. 5.1. Вращение вектора
плитуды с угловой скоростью
амплитуды
против часовой стрелки, тогда в
некоторый момент времени t он образует с осью x угол, равный
ωt + α , при этом его проекция на ось x будет равна
x = a ⋅ cos ( ω ⋅ t + α ) . Отсюда можно сделать заключение: гармоническое колебательное движение представляется движением
проекции на некоторую ось конца вектора амплитуды, отложенного из произвольной точки оси под углом, равным начальной
фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω вокруг этой точки. Отсюда становится ясным, почему величина ω называется
круговой частотой.
5.1.2. Скорость и ускорение
при гармоническом колебательном движении
Пусть материальная точка совершает колебания по закону
x = A cos ( ω t + ϕ ) .
(5.5)
Скорость точки υ численно равна первой производной
смещения х:
dx
υ=x=
= − A ⋅ ω ⋅ sin ( ω t + ϕ ) .
(5.6)
dt
Ускорение точки a найдем, взяв производную скорости:
dυ
2
a=
= x = − A ⋅ ω ⋅ cos ( ω t + ϕ ) .
(5.7)
dt
178
Сопоставляя выражения (5.5) и (5.7), получим:
a = −ω 2 ⋅ x.
Данное выражение подтверждает, что ускорение при гармоническом колебательном движении пропорционально смещению x и направлено к положению равновесия.
Скорость достигает максимума при прохождении колеблющейся точкой А положения равновесия. В крайних положениях ( x = ± A ) она равна нулю. Ускорение, наоборот, достигает
максимума при крайних положениях.
5.1.3. Энергия гармонического
колебательного движения
Пусть материальная точка массы m совершает колебания
под влиянием квазиупругой силы:
F = − k ⋅ x.
Она обладает скоростью, а, следовательно, и кинетической
энергией:
EК =
1
2
2
⋅ m ⋅υ =
1
2
⋅ m ⋅ ( − A ⋅ ω ⋅ sin ( ωt + ϕ ) ) =
2
1
2
⋅ m ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin ( ωt + ϕ ) .
2
2
2
Кроме того, колеблющаяся точка будет иметь и потенциальную энергию, которая определяется работой внешних сил:
1
1
1
2
2
2
2
E П = ⋅ k ⋅ x = ⋅ k ⋅ ( A ⋅ cos ( ωt + ϕ ) ) = ⋅ k ⋅ A ⋅ cos ( ωt + ϕ ) .
2
2
2
Таким образом, кинетическая энергия равна нулю там, где
потенциальная достигает максимума, и наоборот, максимальна
при прохождении через положение равновесия, при котором
потенциальная энергия имеет нулевое значение.
Полная энергия колеблющейся точки выразится суммой
энергий:
1
1
2
2
2
2
2
E = ⋅ m ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin ( ωt + ϕ ) + ⋅ k ⋅ A ⋅ cos ( ωt + ϕ ) .
2
2
2
2
2
Учитывая, что k = m ⋅ ω и sin α + cos α = 1, получим:
E=
1
2
2
⋅ m ⋅ω ⋅ x .
2
Таким образом, полная энергия постоянна в любой момент
колебания.
179
5.1.4. Затухающие колебания
На практике для всякого свободного колебания материальной точки амплитуда с течением времени уменьшается. Причина затухания обусловливается силами, тормозящими движение,
например, силой трения в месте подвеса маятника или силой
сопротивления среды.
Рассмотрим случай, когда точка совершает прямолинейное
колебание в вязкой среде. Сила сопротивления среды зависит от
скорости движения точки и в случае малых скоростей ее можно
считать пропорциональной скорости. Направлена она всегда
против вектора скорости. Таким образом, силу сопротивления
можно положить равной:
F = − r ⋅ x,
где r – постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления. Тогда полная сила, действующая на точку, согласно второму закону Ньютона
m ⋅ x = − k ⋅ x − r ⋅ x.
Деля правую и левую части этого уравнения на массу m,
получим:
k
r
x = − ⋅ x − ⋅ x.
m
m
k
r
2
= ω0 ,
= 2 ⋅ β , тогда
Обозначим
m
m
2
x = −ω0 ⋅ x − 2 ⋅ β ⋅ x.
(5.8)
Введем новую переменную z , связанную с х соотношением:
− β ⋅t
x = z⋅e .
(5.9)
Проводя замену переменных в уравнении (5.8), найдем:
(
2
z = − ω0 − β
2
) ⋅ z.
(5.10)
Положим, что сопротивление среды настолько мало, что
2
0
2
2
2
2
ω > β . При этом ω0 − β = ω . В результате уравнение (5.10)
принимает вид:
2
z + ω ⋅ z = 0.
180
Решением данного уравнения может являться:
z = A0 ⋅ cos (ω ⋅ t + ϕ ) .
Таким образом, величина z меняется периодически, причем период изменения
2 ⋅π
(5.11)
T =
.
2
2
ω0 − β
Подставляя в уравнение (5.9) вместо z его значение, получаем уравнение движения точки под действием упругой силы в
некоторой среде:
x = A0 ⋅ e
− β ⋅t
⋅ cos ( ω ⋅ t + ϕ ) ,
− β ⋅t
(5.12)
где A0 ⋅ e
= A – амплитуда затухающих колебаний,
График зависимости х от времени представлен на рисунке 5.2.
Логарифм отношения двух последовательных значений амплитуд, отстоящих друг от друга на время, равное периоду,
называется логарифмическим декрементом затухания:
A ⋅ e − β ⋅t
θ = ln 0 − β ⋅( t +T ) = ln e β ⋅t = β ⋅ t.
A0 ⋅ e
Энергия, сообщенная системе при
выводе ее из положения равновесия, при
наличии затуханий тратится на работу
против сил трения. Чтобы поддержать
колебания незатухающими, к системе
надо непрерывно подводить энергию
извне.
Примером системы, колебания коРис. 5.2. Затухающие
колебания
торой несмотря на наличие сил трения
происходят благодаря подводимой энергии с неизменной амплитудой, может служить часовой маятник.
Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо
за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза. Система такого рода, поддерживающая неизменной
амплитуду своих колебаний, носит название автоколебательной системы.
181
5.1.5. Вынужденные колебания
Рассмотрим колебания, которые совершает материальная
точка, если на нее, кроме упругой силы и сил сопротивления,
действует еще внешняя периодическая сила.
Примером таких колебаний может быть груз, подвешенный
на пружине, на который через равные промежутки времени действует вынуждающая сила, меняющаяся со временем по закону
синуса или косинуса:
f = S ⋅ cos ωt ,
Здесь величина S называется амплитудой силы, т.е. равна
ее наибольшему значению.
В этом случае уравнение, выражающее второй закон Ньютона
m ⋅ x = −k ⋅ x − r ⋅ x + S ⋅ cos ωt.
Проводя преобразования, получим:
x = −ω02 ⋅ x − 2 ⋅ β ⋅ x + s ⋅ cos ωt ,
S
где s = .
m
Математические выкладки показывают, что фаза и амплитуда установившихся колебаний определяются выражениями:
2 ⋅ β ⋅ω
tgϕ = − 2
,
ω0 − ω 2
s
A=
.
ω02 − ω 2 + 4 ⋅ β 2 ⋅ ω 2
(
)
Таким образом, амплитуда и фаза вынужденных колебаний
зависят от соотношения частоты вынуждающей силы и частоты
собственных колебаний точки. Кроме того, если сопротивление
среды равно нулю, т.е. β = 0, то в этом случае колебание и сила
имеют одинаковые фазы.
Наибольший интерес представляет выражение для амплитуды вынужденных колебаний. Если меняется частота вынуждающей силы при постоянной частоте собственных колебаний,
то при этом будет меняться и амплитуда вынужденных колебаний. Можно показать, что амплитуда вынужденных колебаний
182
имеет максимум при частоте вынуждающей силы ω рез , удовлетворяющей соотношению:
ω рез = ω02 − 2 ⋅ β 2 .
Появление такого максимума представляет собой явление
резонанса. При этом максимальная (резонансная) амплитуда
достигает значения:
s
Aрез =
,
2 ⋅ β ⋅ ω02 − β 2
т.е. когда частота вынуждающей силы ω становится равной
частоте ω0 собственных колебаний, амплитуда вынужденных
колебаний будет бесконечно большой.
Явления резонанса играют большую роль во многих физических процессах и в технике. В некоторых случаях явления резонанса вредны. Рассмотрим, например, мотор с эксцентриком,
укрепленный на подставке, способной совершать упругие колебания.
При вращении мотор создает периодическую силу, сотрясающую подставку и приводящую ее в состояние вынужденных
колебаний. При наступлении резонанса мотор передает подставке значительную энергию, и амплитуда ее колебаний может
достичь размеров, опасных для ее прочности. При дальнейшем
возрастании числа оборотов мотора изменяется разность фаз
между силой сотрясений и смещениями подставки, работа мотора на раскачивание подставки уменьшается, и число его оборотов возрастает, что также вредно.
Особый вид резонанса представляет собой так называемый
параметрический резонанс. Колебания в системе могут возникнуть не только под влиянием рассмотренных вынуждающих
сил, но и под влиянием периодического изменения одного из ее
параметров, который при свободных колебаниях остается постоянным. Например, в механической системе колебания могут
возникнуть в результате изменения ее момента инерции, размера, натяжений и т.д.
Условие возникновения параметрического резонанса выполняется тем легче, чем сильнее изменение параметра и чем
183
меньше потери энергии системы. Простейшим примером параметрического резонанса служит раскачивание качелей, когда
качающиеся приседают в такт с колебаниями качелей. В результате приседаний приведенная длина физического маятника, который представляют собой качели, периодически меняется.
Другой пример параметрического резонанса – возбуждение колебаний в струне путем периодического изменения ее натяжения. Если частота периодического изменения натяжения струны
близка к удвоенной частоте ее собственных колебаний, то в
струне возникнут сильные поперечные колебания, хотя внешние
силы (натяжение), действуют вдоль струны. Колебания, возникающие вследствие параметрического резонанса, могут оказаться вредными, например, в машинах, где имеются вращающиеся
части, они могут привести к разрушению подшипников.
5.1.6. Сложение колебаний
Колебания одного направления и одинаковой частоты. Необходимость сложения колебаний возникает в случае, когда тело участвует одновременно в
A
нескольких
колебательных
процессах. Для сложения колеA2
баний одного направления и
ϕ2 − ϕ1
одинаковой частоты воспользуϕ2
A1
емся методом вращающегося
ϕ
вектора амплитуды:
ϕ1
x
O
 x1 = A1 ⋅ cos (ω0t + ϕ1 )

x1
x2
 x2 = A2 ⋅ cos (ω0t + ϕ 2 ) .
Построим векторные диаРис. 5.3. Сложение
граммы данных колебаний
векторов амплитуд
(рис. 5.3). Так как угловая скорость вращения векторов A1 и
A2 одинакова, разность фаз между ними будет постоянной.
Уравнение результирующего колебания:
x = x1 + x2 = A ⋅ cos (ω0t + ϕ ) .
184
Из рисунка следует, что амплитуда результирующего колебания:
A2 = A12 + A22 + 2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ cos (ϕ2 − ϕ1 ) ,
а начальная фаза:
A ⋅ sin ϕ1 + A2 ⋅ sin ϕ 2
.
tgϕ = 1
A1 ⋅ cos ϕ1 + A2 ⋅ cos ϕ 2
Взаимно перпендикулярные колебания одинаковой частоты. Пусть два гармонических колебания одинаковой частоты
происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль
y
осей x и . Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы
начальная фаза первого колебания была равна нулю, тогда
 x = A ⋅ cos ωt

 y = B ⋅ cos (ωt + α ) .
Приведем данную систему к виду:
x
 A = cos ωt

 y = cos (ωt + α ) = cos ωt ⋅ cos α − sin ωt ⋅ sin α .
 B
x2
, и проводя
A2
преобразования, получим уравнение эллипса, оси которого
имеют произвольную ориентацию относительно координатных
осей:
x2 2 ⋅ x ⋅ y y 2
−
+ 2 = sin 2 α .
(5.13)
A⋅ B
A2
B
Такие колебания получили название эллиптически поляризованных.
В зависимости от амплитуд складываемых колебаний и
разности фаз между ними, ориентация эллипса и размеры его
осей могут изменяться. Если частоты колебаний различны, то
замкнутая траектория результирующего колебания довольно
сложна. Такие траектории называются фигурами Лиссажу.
Учитывая, что sin ωt = 1 − cos 2 ωt = 1 −
185
5.2. Гармонические осцилляторы
Пружинный маятник – твердое тело массой m, подвешенное на пружине жесткостью k . При этом масса тела много
больше массы пружины. Если груз вывести из положения равновесия, то он начнет совершать колебания согласно уравнению
(6.4). При этом круговая частота:
k
ω=
,
m
а период колебаний:
m
T = 2 ⋅π
.
k
Математический маятник – материальная точка массой m,
подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити. Предположим,
что маятник отклоняется на малый угол ϕ от вертикали, а тело
поднимается на некоторую высоту h = l ⋅ (1 − cos ϕ ) = 2 ⋅ l ⋅ sin 2
(рис. 5.4) Тогда его потенциальная энергия равна:
EП = m ⋅ g ⋅ h.
О
l
ϕ
С
mg
Рис. 5.5. Физический
маятник
Рис. 5.4. Математический
маятник
186
ϕ
2
Учитывая малость угла, можно считать, что sin
смещение по дуге x ≈ l ⋅ ϕ.
В результате потенциальная энергия:
m ⋅ g x2
⋅ .
EП =
2
l
ϕ
2
≈
Сопоставляя данное выражение с формулой EП = k ⋅
учитывая, что
ϕ
2
, а
x2
и
2
k
= ω 2 , получим:
m
ω=
g
,
l
l
.
g
Таким образом, период колебаний математического маятника и его собственная частота зависят лишь от длины маятника
l и ускорения свободного падения g в данном месте земного
шара.
Физический маятник – любое твердое тело, совершающее
колебания вокруг оси, не проходящей через центр масс тела
(рис. 5.5). При отклонении маятника от положения равновесия
на малый угол ϕ , возникает возвращающий момент силы тяжести:
M = −m ⋅ g ⋅ l ⋅ sin ϕ ,
или с учетом того, что при малых углах sin ϕ ≈ ϕ :
M = −m ⋅ g ⋅ l ⋅ ϕ .
Используя основной закон динамики вращательного движения, получим:
d 2ϕ
M = J ⋅ ε = J ⋅ 2 = −m ⋅ g ⋅ l ⋅ ϕ ,
dt
или
d 2ϕ m ⋅ g ⋅ l
+
⋅ ϕ = 0.
J
dt 2
T = 2 ⋅π ⋅
187
Сравнивая данное выражение с уравнением (6.4), найдем:
m⋅ g ⋅l
ω=
,
J
J
T = 2 ⋅π ⋅
.
m⋅ g ⋅l
J
Величина
= lпр называется приведенной длиной фиm⋅l
зического маятника. Она соответствует длине такого математического маятника, при которой периоды физического и
математического маятников будут одинаковы.
Приведенная длина физического маятника не зависит от его
полной массы, а определяется только его геометрической формой и распределением масс.
5.3. Электромагнитные колебания
5.3.1. Свободные электромагнитные колебания
Колебательный контур – это электрическая
цепь, состоящая из катушки
C
индуктивности
и последовательно соL
единенного с ней конденсатора, имеющего заряд q (рис. 5.6).
Когда конденсатор разряжается
через катушку, в контуре возникают
свободные колебания заряда на конРис. 5.6. Колебательный
денсаторе и тока в катушке, при этом
контур
энергия конденсатора
q2
Wэ =
2⋅C
периодически преобразуется в энергию магнитного поля катушки:
L⋅I2
Wм =
2
и наоборот.
188
Согласно закону сохранения энергии
W = Wэ + Wм = const.
Тогда
dW q dq
dI
= ⋅
+ L ⋅ I ⋅ = 0.
dt C dt
dt
dq
dI d 2 q
= I, а
Учитывая, что
, получим дифференци=
dt
dt dt 2
альное уравнение свободных электрических колебаний:
d 2q
1
+
⋅ q = 0.
2
L ⋅C
dt
Сопоставляя данное выражение с уравнением (5.4), будем
иметь:
1
,
ω=
L ⋅C
T = 2 ⋅π ⋅ L ⋅ C.
Последнее уравнение получило название формулы Томсона.
5.3.2. Затухающие электромагнитные колебания
Если замкнуть цепь, содержащую последовательно соединенные катушку индуктивности L, заряженный конденсатор ем-
костью C и сопротивление R, то в цепи потечет электрический
ток. При этом возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует возрастанию разрядного тока конденсатора. В момент времени, когда напряжение на конденсаторе становится равным
нулю, ток через индуктивность станет максимальным. Так как в
дальнейшем ЭДС самоиндукции стремится поддержать этот ток,
происходит перезарядка конденсатора. Процесс перезарядки
повторяется определенное число раз в зависимости от величины
потерь энергии на сопротивлении. Способность контура к перезарядке характеризуется качеством контура, или добротностью.
189
Добротность контура Q определяется отношением энергии,
запасенной на конденсаторе или в катушке индуктивности, к
величине потерь энергии на сопротивлении за период:
W
W
Q = 2 ⋅π ⋅ C = 2 ⋅π ⋅ L .
WR
WR
При рассмотрении переменного тока (глава 4), использовалось уравнение:
dI
q
L ⋅ + R ⋅ I + = 0.
dt
C
Используя определение силы тока, получим:
d 2 q R dq
1
+ ⋅
+
⋅ q = 0. .
2
L dt L ⋅ C
dt
R
1
Введем обозначение: β =
и учтем, что
= ω02 . ТоL⋅C
2⋅ L
гда данное выражение примет вид:
d 2q
dq
+ 2⋅β ⋅
+ ω02 ⋅ q = 0.
2
dt
dt
Данная формула является дифференциальным уравнением
затухающих электромагнитных колебаний, где β – коэффициент затухания.
Решением этого уравнения является функция:
q = q0 ⋅ e − β ⋅t ⋅ cos (ωt + ϕ ) ,
где величины q0 и ϕ определяются начальными условиями,
а ω = ω02 − β 2 . Очевидно, что при β = 0 колебания в контуре
становятся незатухающими, и частота этих колебаний равна ω0 .
Добротность контура:
L ⋅ I 02
L
1
L
=
= ⋅
Q = 2 ⋅π ⋅
.
2
2 ⋅ π ⋅ R ⋅ I0 R ⋅ L ⋅ C R C
Как следует из полученного выражения, величина добротности определяется лишь параметрами колебательного контура
L , C и R.
190
5.3.3. Вынужденные колебания в контуре
В колебательном контуре роль вынуждающей силы играет
подводимая внешняя периодически изменяющаяся ЭДС, или
переменное напряжение:
U = U 0 ⋅ cos ω t .
Тогда дифференциальное уравнение колебаний электрического заряда примет вид:
U
d 2q
dq
+ 2⋅β ⋅
+ ω02 ⋅ q = 0 ⋅ cos ωt.
2
dt
L
dt
Если обозначить α – сдвиг по фазе между зарядом и приложенным напряжением, то можно показать, что выражение
q = q0 ⋅ cos (ωt − α ) ,
будет решением данного дифференциального уравнения.
При этом амплитуда колебаний заряда в контуре и сдвиг фаз:
U0
q0 =
,
2
1


ω ⋅ R2 +  ω ⋅ L −
ω ⋅ C 

R
tgα =
.
1
−ω ⋅ L
ω ⋅C
Сила тока при установившихся колебаниях:
π
dq

I=
= −ω ⋅ q0 ⋅ sin (ωt − α ) = I 0 ⋅ cos  ωt − α +  ,
dt
2

U0
.
где I 0 = ω ⋅ q0 =
2
1


R2 +  ω ⋅ L −

ω
⋅
C


Если изменение силы тока записать в виде
I = I 0 ⋅ cos (ωt − ϕ ) ,
где ϕ = α −
π
2
– сдвиг по фазе между током и напряжением, то
получим:
1
π

tgϕ = tg  α −  = −
=
2
tgα

191
ω⋅L−
R
1
ω ⋅C .
5.4. Волновые процессы
5.4.1. Механические волны
Если точка совершает колебания в какой-либо среде, то
энергия их передается окружающим точкам. Явление распространения колебания в среде называется волной.
Примером образования волн может служить камень, брошенный в воду: область водной поверхности, которая непосредственно возмущена падающим камнем, начинает колебаться,
причем это колебание распространяется, и мы получаем на поверхности воды волну. Важнейшим свойством волн является
перенос энергии без перемещения частиц среды.
Если колебания частиц совпадают с направлением, вдоль
которого происходит распространение колебаний, то такая
волна называется продольной; если колебания частиц перпендикулярны к направлению распространения колебаний, то волна
называется поперечной.
Являются ли волны, распространяющиеся в среде, продольными или поперечными – зависит от упругих свойств среды.
Если при сдвиге одного слоя среды по отношению к другому
слою возникают упругие силы, стремящиеся возвратить сдвинутый слой в положение равновесия, то в среде могут распространяться поперечные волны (такой средой, например, служит
твердое тело).
Если в среде не возникают упругие силы при сдвиге параллельных слоев друг относительно друга, то поперечные волны
не могут образоваться.
Если в среде возникают силы упругости при деформации
сжатия и растяжения, то в такой среде могут распространяться
продольные волны. Так, в жидкости или газе при сжатии имеет
место увеличение давления, поэтому в данных средах распространяются только продольные волны. Но в твердых телах продольные волны могут существовать наряду с поперечными.
192
5.4.2. Уравнение волны
Представим себе перυ
воначально волны, бегущие вдоль некоторой
прямой (рис. 5.7). ОбознаA
O
чим через x смещение
точки из положения равновесия. Для описания
волнового процесса необходимо знать смещение
y
точки, как функцию вреРис. 5.7. Волновой процесс
мени и координат равновесного положения точек.
Выберем за начало координат О ту точку на прямой, которая является центром колебаний. Пусть колебания в точке О
происходят по закону
x = A ⋅ cos ωt ,
где А – амплитуда колебаний;
ω – круговая частота;
t – время, отсчитанное от момента начала колебаний.
Возьмем на прямой произвольную точку А, лежащую от начала координат на расстоянии y. Колебания, распространяясь
от точки О, дойдут до точки А через промежуток времени:
y
τ= ,
υ
где υ – скорость распространения волны.
Таким образом, точка А начнет колебаться позже точки О.
Считая, что волны, распространяющиеся вдоль рассматриваемой прямой, не затухают, мы получим, что для точки А, до которой дойдет волна, смещение х из положения равновесия выразится уравнением:
y

x = A ⋅ cos ω  t −  ,
 υ
которое и является уравнением плоской волны.
193
Расстояние, на которое определенная фаза колебания распространяется за один период колебания, называется длиной
волны:
λ = υ ⋅T.
Под скоростью распространения волны подразумевается ее
фазовая скорость, т.е. скорость распространения данной фазы
колебания.
Геометрическое место точек, до которых к некоторому
моменту времени дошло колебание, будет фронтом волны.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах, образует поверхность одинаковых фаз, или волновую поверхность. Очевидно, что фронт волны является частным случаем волновой поверхности. Форма фронта волны определяет типы волн, например, плоской волной называется волна, фронт
которой представляет плоскость и т.д.
5.4.3. Энергия волны
Распространение синусоидальной волны в пространстве сопровождается переносом энергии (например, разрушительная
сила ударной волны при взрывах). Изучение колебаний позволило установить, что энергия колебательного движения пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Поэтому можно допустить, что при распространении волны в любом выбранном малом
объеме пространства сосредоточена энергия, величина которой
также пропорциональна квадрату амплитуды колебаний в волне.
Для количественной характеристики энергии колебательного движения в волне используют объемную плотность энергии, определяемую отношением энергии к единице объема среды, в которой распространяется волна:
W
ϖ= .
V
Плотность перенесенной энергии через единичную площадку в единицу времени будет определяться как:
S = υ ⋅ϖ .
(5.13)
Следовательно, величина S должна быть вектором, направление которого совпадает с направлением скорости. Впервые этот вектор был введен профессором Н.А. Умовым, поэтому
его принято называть вектором Умова.
194
5.4.4. Электромагнитные волны
Согласно
теории
Максвелла, всякое изменяющееся во времени
магнитное поле порождает вокруг себя вихревое электрическое поле,
с другой стороны, всякое изменяющееся во
времени электрическое
поле порождает вокруг
Рис. 5.8. Электромагнитная волна
себя вихревое магнитное поле.
Решение системы уравнений Максвелла

 dB 
 ∫ El ⋅ dl = − ∫  dl  ⋅dS
n
S
L

 dE 
 ∫ Bl ⋅dl = µ0 ⋅ ε 0 ∫ 
 ⋅ dS
dt  n
L
S

1

 ∫ En ⋅ dS = ε ⋅ ∑ qk
k
0
S
 B ⋅ dS = 0
∫ n
S
позволяет получить волновые уравнения для электрического и
магнитного полей, распространяющихся в пространстве с одинаковой скоростью:
x

E = E0 ⋅ sin ω ⋅  t −  = E0 ⋅ sin (ωt − kx ) ,
 υ
x

H = H 0 ⋅ sin ω ⋅  t −  = H 0 ⋅ sin (ωt − kx ) ,
 υ
где k =
ω
– волновое число.
υ
195
При этом векторы E и H взаимно перпендикулярны и
всегда направлены под прямым углом к скорости распространения колебаний, т.е. электромагнитная волна является поперечной (рис. 5.8).
Связь между мгновенными значениями напряженностей
электрического и магнитного полей в каждой точке пространства определяется выражением:
ε ⋅ ε 0 ⋅ E = µ ⋅ µ0 ⋅ H .
5.4.5. Энергия электромагнитной волны
Как и все волны, электромагнитная волна является носителем энергии, при этом объемная плотность энергии определяется суммой плотностей энергий электрического и магнитного
полей:
ε ⋅ ε 0 ⋅ E 2 µ ⋅ µ0 ⋅ H 2
.
ϖ =ϖ э +ϖ м =
+
2
2
Учитывая связь между E и H , данное выражение примет
вид:
ε ⋅µ
ϖ = ε 0 ⋅ ε ⋅ µ0 ⋅ µ ⋅ E ⋅ H =
⋅ E ⋅ H.
c
Подставляя полученное выражение в формулу (5.13), получим, что для электромагнитной волны:
S = ϖ ⋅υ = E ⋅ H ,
или в векторном виде:
(5.14)
S =  E H  .
Вектор S , характеризующий плотность потока энергии и
ориентированный по направлению распространения электромагнитной волны, называется вектором Умова-Пойтинга.
196
ГЛАВА 6. ОПТИКА
6.1. Геометрическая оптика
6.1.1. Развитие представлений о свете
Оптика, или учение о свете, первоначально возникла как
попытка ответить на вопрос, почему человек может видеть окружающие предметы. Некоторые древнегреческие философы
полагали, например, что рассматривание предметов глазом аналогично до некоторой степени ощупыванию их рукой. По мнению этих философов, из глаза человека по направлению к рассматриваемому предмету тянется нечто вроде щупальцев.
Однако в той же древней Греции было высказано мнение,
что свет исходит от тел. Некоторые тела при определенных условиях являются источниками света, который, попадая в наш
глаз, вызывает зрительное ощущение. Другие тела становятся
видимыми благодаря тому, что они поглощают свет или меняют
направление его распространения (отражают, рассеивают).
Таким образом, слово «свет» стало употребляться для обозначения того объективного, происходящего вне нас явления,
которое, воздействуя на глаз, вызывает субъективное зрительное ощущение. Впоследствии физики обобщили это понятие и
стали, говоря о «свете», подразумевать более широкую совокупность единых по своей природе объективных явлений, сводящихся к распространению коротких электромагнитных волн,
независимо от того, способны ли они вызывать у человека субъективное зрительное ощущение или нет.
В качестве основного свойства света учеными древней
Греции было отмечено его прямолинейное распространение в
однородном веществе. Прямолинейность распространения света
вытекает из того факта, что при малом источнике света непрозрачные предметы отбрасывают резкие тени. Форма тени на экране соответствует форме геометрической проекции с помощью
пучка прямых, исходящих из центра проектирования, лежащего
в месте расположения источника света. При этом геометрическая прямая может быть физически воспроизведена с помощью
197
туго натянутой нити. При больших расстояниях, когда нити не
могут быть использованы, применяется обратный ход рассуждений: прямая линия отождествляется с направлением распространения света в однородном веществе.
Следующее свойство света, которое необходимо отметить,
– это способность световых лучей проходить друг сквозь друга
без каких-либо последствий. В обычных условиях лучи, исходящие от различных объектов, многократно пересекаются. Эти
пересечения не мешают каждому из лучей распространяться
независимо от других. Лучи от объектов, расположенных сбоку
от наблюдателя, пересекают лучи, идущие от объектов, расположенных спереди. Но это обстоятельство не влияет на четкость предметов, находящихся перед нами.
Вплоть до начала XIX в. развитие оптики в основном базировалось на представлении о прямолинейно распространяющихся лучах. Однако начиная еще с XVII в. были известны факты,
указывающие, что в действительности имеют место отступления
от прямолинейного распространения света. Например, было замечено, что при прохождении света через очень узкие отверстия
в непрозрачном экране за ним наблюдается возникновение чередующихся светлых и темных полос. Чередование светлых и
темных полос можно также наблюдать на границе тени, полученной с помощью малого источника света.
Отказываясь от гипотезы о световых частицах, датский
ученый Гюйгенс считал, что свет представляет собой распространение волн в эфире – упругой среде, заполняющей всё доступное нашим наблюдениям пространство. Таким образом, к
концу XVII в. возникли две теории света, одна из которых, получившая название теории истечения, или корпускулярной, считала, что свет представляет собой поток прямолинейно летящих
частиц, испускаемых источником света. Вторая теория рассматривала свет как распространение волн в эфире – гипотетической
сплошной среде.
Основоположником корпускулярной теории принято считать английского ученого И. Ньютона, хотя в своей знаменитой
«Оптике», вышедшей первым изданием в 1704 г., он пользовался как корпускулярными, так и волновыми представлениями.
Главным аргументом в пользу корпускулярной теории Ньютон
198
считал прямолинейное распространение света. Вместе с тем он
видел трудности, которые встречает корпускулярная теория при
попытках объяснить образование чередующихся светлых и темных полос на границе тени.
Противником корпускулярной теории был Гюйгенс. В своем «Трактате о свете», вышедшем в 1690 г., он писал, что свет
«распространяется так же, как и при звуке, сферическими поверхностями и волнами; я называю эти поверхности волнами по
сходству с волнами, наблюдаемыми на поверхности воды, в которую брошен камень». Последовательным сторонником волновой теории света был русский ученый М.В. Ломоносов, который
пытался связать световые колебательные движения с движением
частиц вещества.
Несмотря на то, что теории Гюйгенса и М.В. Ломоносова
правильно установили волновую природу света, они еще не содержали в себе достаточно четко основной характеристики волнового процесса – его двоякой, пространственной и временной
периодичности, и вытекающей отсюда возможности объяснить
волновые явления. Гюйгенс даже отрицал периодичность световых волн, он писал: «... не нужно представлять себе, что волны
следуют друг за другом на одинаковых расстояниях».
Пространственно – временная периодичность светового
процесса, характерная для распространяющихся колебаний, была впервые в отчетливой форме высказана академиком Петербургской Академии наук Л. Эйлером. Однако возможность объяснить на основании волновых представлений явления интерференции (наложения) и дифракции (огибания) света была установлена лишь в начале XIX в. в результате работ Т. Юнга и
О.Ж. Френеля. Было показано, что свет представляет собою
волны весьма малой длины: видимый свет, т.е. свет, действующий на человеческий глаз, имеет длины волн в пределах от 0,76
до 0,40 мк (в зависимости от цвета), т.е. длины, составляющие
стотысячные доли сантиметра.
Благодаря такой малой длине волн загибание света в область геометрической тени в обычных условиях весьма незначительно, что и обусловливает кажущееся прямолинейное распространение света. Волновая теория света первой половины XIX в.
представляла световые колебания в виде механических упругих
колебаний сплошной среды – мирового эфира. После открытия
199
электромагнитных волн удалось показать, что световые волны
также представляют собою электромагнитные волны малой
длины. Таким образом, возникла электромагнитная теория света, сыгравшая большую роль в развитии всей физики конца XIX
и начала XX вв.
В настоящее время весь спектр электромагнитных волн
принято делить на радиоволны, инфракрасное, видимое, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма-излучения.
Скорость света впервые была определена Ремером (1666 г.)
при наблюдении за спутником Юпитера, который периодически
выходил из тени планеты. За полгода запаздывание выхода
спутника составило 22 мин. За это время Земля удалялась от
Юпитера на расстояние, равное диаметру земной орбиты. Скорость света, определенная астрономическим путем, составила
220000 км/с.
В опыте Физо, впервые проведенном в земных условиях в
1849 году, значение скорости света оказалось равным 313000 км/с.
Наиболее точное значение скорости света получил Майкельсон
в 1926 г. с помощью вращающегося зеркала. Она оказалась равной 299793±0,3 км/с.
Оказалось также, что скорость света в вакууме согласно
специальной теории относительности Эйнштейна не зависит от
движения источника и является постоянной величиной (только в
инерциальных системах отсчета).
6.1.2. Принципы и законы геометрической оптики
Распространение света в среде подчиняется принципу
Ферма (1601–1675), согласно которому свет при распространении из одной точки в другую выбирает путь, которому соответствует наименьшее время распространения. На его основе
был получен закон преломления и найден показатель преломления света.
Световые волны подчиняются также принципу суперпозиции, который является математическим выражением закона независимости световых пучков. Наряду с этим при распространении света справедлив и принцип Гюйгенса: каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн, при этом
огибающая вторичных волн будет новым фронтом волны. Под
200
волновым фронтом понимают геометрическое место точек,
до которых дошла волна в данный момент времени. Касательная, проведенная к волновому фронту, всегда перпендикулярна
направлению распространения света (световому лучу).
Принцип Гюйгенса лежит в основе доказательства
законов отражения и преломϕ′
B
ления света. Эти законы не
ϕ
зависят от физической прироD
ϕ
ды света и от конкретного
ψ
механизма отражения и преA
ломления.
F
Закон отражения: угол
ψ
падения равен углу отражения; луч падающий, отраженный и перпендикуляр, восстаРис. 6.1. Закон преломления
новленный в точке падения,
лежат в одной плоскости.
Закон преломления: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению абсолютных показателей преломления двух сред; луч, падающий, преломленный и
перпендикуляр, восстановленный в точке падения, лежат в одной плоскости.
Для доказательства рассмотрим волну, падающую на границу раздела двух сред. Она возбуждает возмущение, распространяемое вдоль границы раздела со скоростью (рис. 6.1):
υ
BD
AD =
= 1 ,
sin ϕ sin ϕ
где υ1 – скорость света в первой среде. Но отраженная и преломленная волны порождаются падающей и поэтому распространяются вдоль границы раздела с той же скоростью. Следовательно, можно написать, что
AD =
υ1
= υ2 ⋅ sinψ ,
sin ϕ ′
где υ 2 – скорость света во второй среде;
ϕ ′ – угол отражения.
201
В результате получается:
sin ϕ sin ϕ ′ sinψ
.
=
=
υ1
υ1
υ2
(6.1)
Этими соотношениями определяются направления фронтов
отраженной и преломленной волн. А так как в плоской волне
световые лучи перпендикулярны к волновым фронтам, то эти же
соотношения определяют также направления отраженных и
преломленных лучей. Из выражения (6.1) следует, что ϕ = ϕ ′
sin ϕ υ1
=
(закон преломления).
sinψ υ2
Таким образом, скорость света зависит от коэффициента
преломления среды и для относительного показателя преломле-
(закон отражения) и
ния справедливо соотношение: n21 =
υ1
, тогда как для абсолютυ2
c
ного: n = .
υ
6.2. Волновая оптика
6.2.1. Интерференция света
Интерференцией света называется явление наложения когерентных волн, приводящее к установлению во всех точках
пространства колебаний с постоянной амплитудой.
В основе этого явления лежит принцгип суперпозиции. Для
получения устойчивой интерференционной картины необходимо наличие когерентных световых волн – волн, имеющих одинаковую частоту, близкие амплитуды и постоянный во времени
сдвиг фаз между ними. Для получения когерентных волн используют расщепление светового пучка с помощью зеркал или
призм (зеркало Френеля, бипризма Френеля, зеркало Ллойда).
Интерференция света от двух источников. Рассмотрим
действие двух когерентных источников света S1 и S2 в некоторой точке А экрана (рис. 6.2). Обозначим через l1 и l2 расстояния
от источников до данной точки. Пусть расстояние между источ202
никами d, a l – расстояние от них до экрана, причем точка О
одинаково удалена от S1 и S2. Используем уравнения плоской
волны:
l 

E1 = E0 ⋅ cos 2 ⋅ π ⋅ ν ⋅ τ − 1  ,
λ

l 

E2 = E0 ⋅ cos 2 ⋅ π ⋅ ν ⋅ τ − 2  .
λ

А
l1
S1
x
d
2
∆
S2
l
О
Экран
l2
d
d
2
Рис. 6.2. Интерференция от двух источников
Складывая два колебания, получим:
l −l
l +l 

E = 2 ⋅ E0 ⋅ cos π ⋅ 2 1 ⋅ cos 2 ⋅ π ⋅ ν ⋅ τ − 1 2  .
2⋅λ 
λ

Тогда результирующая амплитуда:
l −l
∆l
2 ⋅ E0 ⋅ cos π ⋅ 2 1 = 2 ⋅ E0 , если π ⋅ = 0, π , 2 ⋅ π ,...;
λ
λ
l −l
∆l π 3
2 ⋅ E0 ⋅ cos π ⋅ 2 1 = 0, если π ⋅ = , ⋅ π ,...
λ
λ 2 2
d
При этом разность хода ∆l = x ∆l = x ⋅ ; ∆l = l2 − l1 = max
l
1
3
,
,...
при 0, λ , 2 ⋅ λ ,..., а минимальна при
2⋅λ 2⋅λ
203
Аналогичный результат получается при сложении амплитуд
данных колебаний графическим способом.
Интерференция света в тонких пленках
Полосы равного наклона. На рисунке 6.3 показан ход лучей
в плоскопараллельной пластинке с показателем преломления n.
Рассмотрим два отраженных луча с близкими амплитудами. Они
когерентны, так как имеют одну длину и постоянную разность
хода. Найдем ее:
λ

∆l = ABC ⋅ n −  AD −  ,
2

так как в точке A при отражении наблюдается потеря половины
длины волны.
α
D
α
C
A
d
n
β
B
Рис. 6.3. Полосы равного наклона
Имеем:
ABC = 2 ⋅ AB = 2 ⋅
d
;
cos β
AD = AC ⋅ sin α ;
Тогда
AC = 2 ⋅ d ⋅ tg β .
λ
n⋅d
− 2 ⋅ d ⋅ tg β ⋅ sin α + .
cos β
2
sin β
Зная, что sin α = n ⋅ sin β , tg β =
,
cos β
∆l = 2 ⋅
204
получим:
∆l =
2⋅n⋅d
λ
⋅ (1 − sin 2 β ) + ,
cos β
2
откуда:
∆l = 2 ⋅ n ⋅ d ⋅ cos β +
λ
.
2
Итак, при ∆l = 0, λ , 2 ⋅ λ , ... – волны усиливают друг друга
1
3
(свет), а если ∆l = ⋅ λ , λ , ... – волны ослабляют друг друга
2
2
(тьма).
C
В проходящем свете разA
ность хода оказывается равной:
ϕ
B
∆l = 2 ⋅ n ⋅ d ⋅ cos β .
ϕ
Полосы равной толщины. На
рисунке (6.4) показаны две светРис. 6.4. Полосы
лые полосы, разность хода межравной
толщины
ду которыми равна длине волны
λ. Учитывая, что 2 ⋅ CB ⋅ n = λ , а CB = AB ⋅ ϕ , получим расстояние между соседними полосами:
АВ =
Рис. 6.5. Возникновение
колец Ньютона
λ
(6.2)
.
2 ⋅ n ⋅ϕ
Кольца Ньютона. Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона,
которые наблюдаются при отражении света от зазора, образованного плоскопараллельной пластиной и соприкасающейся с ней
плосковыпуклой линзой с большим
радиусом кривизны (рис. 6.5).
Параллельный пучок света
нормально падает на плоскую поверхность линзы. Образованные
при этом полосы равной толщины
имеют вид концентрических окружностей.
205
В отраженном свете оптическая разность хода будет определяться как
λ
λ
r2
∆ = 2⋅d + 0 = 2⋅
+ 0.
2
2⋅ R 2
Радиусы светлых колец:
1

rm =  m −  ⋅ λ0 ⋅ R ,
2

где m = 1, 2, 3, ..., а для темных колец:
rm = m ⋅ λ0 ⋅ R ,
(6.3)
(6.4)
где m = 0, 1, 2, ...
При наблюдении интерференции в проходящем свете максимумы будут соответствовать минимумам интерференции в
отраженном свете и наоборот.
Интерферометрами называют оптические измерительные
приборы, действие которых основано на явлении интерференции света. Они позволяют с высокой степенью точности измерять линейные и угловые расстояния, малые разности показателей преломления, исследовать структуру спектральных линий и
пр.
Для примера рассмотрим
оптическую схему интерферометра Майкельсона (рис.
6.6). Свет от источника S падает на стеклянную пластинку P1 , покрытую полупрозрачным слоем серебра, которая делит его на два луча 1
и 2. После отражения от зеркал M1 и M2 лучи возвращаются на пластинку P1 (1′ и
2′ ), в результате чего наРис. 6.6. Схема интерферометра
блюдается интерференционМайкельсона
ная картина. Прозрачная пластинка P2 необходима для того, чтобы луч 2, как и луч 1, дважды проходил через пластинку.
206
Достаточно сдвинуть одно из зеркал в направлении луча на
полволны, чтобы интерференционная картина на экране сдвинулась на целую полосу. Продвигая зеркало 1 вдоль измеряемого объекта и считая полосы, проходящие в поле зрения прибора,
можно измерять длины в долях световой волны. Так была измерена длина эталонного метра. При этом точность составляет
0,5x10-6 измеряемой величины.
6.2.2. Дифракция света. Зоны Френеля
Дифракция света – это явление отклонения света от прямолинейного распространения, не связанное с отражением,
преломлением или изгибанием в средах с непрерывно меняющимся показателем преломления.
Различные проявления дифракции нетрудно объяснить,
пользуясь принципом Гюйгенса-Френеля: действие любого
источника света может быть определено как суммарное действие вторичных волн, имеющих амплитуды и фазы первичных
в местах вторичных источников. Амплитуда вторичной волны
пропорциональна косинусу угла между лучом и направлением
распространения волны.
b
a0
А
a1
a2
a3
S
Рис. 6.7. Зоны Френеля
Для вычисления суммарного действия всего волнового
фронта рассмотрим плоскую волну. Пусть расстояние от точки
207
наблюдения А до волнового фронта S равно b (рис. 6.7). Все
точки фронта S колеблются в одной фазе. В то же время все точки фронта находятся от т. А на различных расстояниях, вследствие чего суммарное действие всего фронта будет определяться
разностью фаз интерферирующих колебаний, приходящих в т. А
от отдельных элементов волнового фронта S. Проведем из т. А
ряд сфер с радиусами:
Аа0 = b, Аа1 = b +
λ
λ
λ
, Аа2 = b + 2 ,..., Ааn = b + n .
2
2
2
На поверхности волнового фронта S эти сферы вырежут ряд
колец, называемых зонами Френеля (рис. 6.7).
Каждая последующая зона расположена от т. А на полволны
дальше, чем предыдущая. Следовательно, в т. А колебания приходят от двух соседних зон в противофазе и при сложении частично уничтожают друг друга. Полного уничтожения не наблюдается. Для доказательства вычислим площадь n-й зоны Френеля:
2
2
2
2
Sn = π ( а0 аn ) − ( а0 аn −1 )  = π ( Ааn ) − b 2 − ( Ааn −1 ) + b 2  =




2
2

λ
2
2
2 λ 
= π ( Ааn ) − ( Ааn −1 )  = π b 2 + bnλ + n 2
− b 2 − b ( n − 1) λ − ( n − 1)
=


4
4 


λ2 
= π bλ + ( 2n − 1)  .
4

2
2
2
2
S n = π ⋅ ( a0 an ) − ( a0 an −1 )  = π ⋅ ( Aan ) − b 2 − ( Aan −1 ) + b 2  =




2

λ2
2 λ 
= π ⋅ b 2 + b ⋅ n ⋅ λ + n 2 ⋅
− b 2 − b ⋅ ( n − 1) ⋅ λ − ( n − 1) ⋅  =
4
4


λ2 
= π ⋅ b ⋅ λ + ⋅ ( 2 ⋅ n − 1) ⋅  .
4 

Учитывая, что величина λ весьма мала по сравнению с
расстоянием b, вторым слагаемым в скобках можно пренебречь.
Тогда площади зон будут почти одинаковы и равны:
Sn = π ⋅ b ⋅ λ.
208
Вместе с тем угол между линией, соединяющей зону с т. А,
и нормалью к фронту волны для каждой последующей зоны
больше, чем для предыдущей, вследствие чего амплитуда колебаний, приходящих в т. А, постепенно падает с увеличением номера зоны. В то же время амплитуда в т. А волны от произвольной зоны является средним арифметическим амплитуд от двух
смежных зон:
IА = Е1 – Е2 + Е3 – Е4 + Е5 – …
Е + Е3
Е + Е4
Е3 = 2
Е2 = 1
,
,...
2
2
Е  Е
Е 
Е Е
Е
ЕА = 1 +  1 − Е2 + 3  +  3 − Е4 + 5  + .... = 1 .
2  2
2   2
2 
2
Таким образом, колебания, вызываемые в т. А волновой поверхностью S, имеют такую же амплитуду, как если бы действовала только половина центральной зоны. Следовательно, мы
можем говорить о прямолинейном распространении света. Он
как бы сосредоточен в канале, сечение которого в любом месте
равно половине центральной зоны Френеля.
P1
P2
a
С1 В1 А1
O
А2 В2 С2 D2
свет
Рис. 6.8. Дифракция на круглом отверстии
209
Дифракция на малом отверстии. На рисунке (6.8) изображен экран с круглым отверстием. На отверстие снизу падает параллельный пучок света. О – центр отверстия. Р1 и P2 две произвольные точки на перпендикуляре к NN. Из центра P1 опишем
концентрические сферы, одна из которых проходит через т. О, а
каждая следующая имеет радиус на
щая. Тогда
PO
1 = a; P1 A1 = a +
λ
2
больший, чем предыду-
λ
λ
; P1 B1 = a + 2 ⋅ ; …
2
2
Точно также поступим с т. Р2. Оба ряда сфер будут вырезать
в отверстии зоны Френеля. Сферы, описанные вокруг P1, вырезают три зоны, а вокруг Р2 – четыре. При больших расстояниях
от источника света амплитуды волн, исходящих из т. A1, B1, С1 и
достигающих т. P1, практически одинаковы. То же и в т. Р2.
Поскольку действие двух соседних зон в т. P1 взаимно
уничтожается, то светлыми будут те точки, которые находятся
на таком расстоянии от центра О, когда в отверстии укладывается нечетное число зон Френеля. В результате свет будет поступать только от одной зоны.
В точках, для которых число
зон четное, будет темнота. Поэтому
P
если за отверстием NN поставить
экран, который можно перемещать,
а
то центр экрана будет светлым или
темным в зависимости от расстояb
b
ния ОР.
λ
λ
O
Дифракция на круглом экране.
2
2
На рисунке 6.9 изображен небольшой круглый экран. На него падасветовые лучи
ют параллельные световые лучи.
Рис. 6.9. Дифракция
Проведем сферы, центром которых
на препятствии
является т. Р, лежащая на оси. Радиус первой сферы РN = b, a следующих:
b+
λ
λ
λ
, b + 2 ⋅ , b + 3 ⋅ ...
2
2
2
210
Эти сферы вырезают на волновом фронте зоны Френеля,
площади которых равны. В результате получим, учитывая, что
амплитуда одной зоны равна среднему арифметическому амплитуд соседних зон, что в т. Р приходит свет только от половины первой зоны. То есть за экраном всегда будет свет.
Дифракция от узкой щели.
Найдем действие щели в разных
точках экрана, находящегося в фоB
кусе линзы, если на щель падает
плоская волна (рис. 6.10). При проа
C
хождении света через щель его луϕ
чи отклоняются на угол φ. Найдем
разность хода между соседними
лучами, опустив перпендикуляр на
направление луча. Тогда расстояние ВС и будет искомой разностью
P
хода. В этом случае зоны Френеля
имеют вид полосок, параллельных
Рис. 6.10. Дифракция
щели. Число зон зависит от шириот узкой щели
ны щели а, угла наблюдения ϕ и
длины волны λ. Поскольку разность хода между лучами, проходящими через края одной зоны Френеля, равна
λ
λ
2
, то ширина
⋅ sin ϕ . При этом число зон, укладывающихся в щели
2
2 ⋅ а ⋅ sin ϕ
n=
, поэтому число зон при постоянных а и λ зависит
зоны
λ
от угла φ. В этом случае при углах φ, соответствующих четным
n, будут темные полосы. Формула для этих углов имеет вид:
λ
a ⋅ sin ϕ = 2 ⋅ k ⋅ .
(6.5)
2
Если же n равно целому нечетному числу ( n = 2 ⋅ k + 1) , то
действие щели будет эквивалентно действию одной зоны Френеля, так как действие остальных зон компенсируется. При этом
наблюдается максимум света, условие которого:
λ
а ⋅ sin ϕ = ( 2 ⋅ k + 1) ⋅ .
2
211
(6.6)
Таким образом, если разность хода между крайними лучами, проходящими сквозь щель, равна четному числу полуволн,
то наблюдается темнота; если разность хода равна нечетному
числу полуволн, то будет максимум освещенности.
Дифракционная решетка. Дифракционная решетка –
важнейший спектральный прибор, предназначенный для разложения света в спектр и измерения длин волн. Он представляет
собой плоскую стеклянную или металлическую поверхность, на
которой делительной машиной нарезано очень много (до сотен
тысяч) прямых равноотстоящих штрихов. На стекле наблюдения
производят как в отраженном, так и в проходящем свете.
На рисунке (6.11) представa
лена простейшая решетка шириB
A
ной щели а и шириной непроC
b
зрачного участка b. Величина
ϕ
d = a+b называется периодом
решетки. В решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, исходящих
от щелей при ее освещении. Ди- Рис. 6.11. Схема дифракционной
фракционная картина наблюдарешетки
ется по методу Фраунгофера, т.е.
либо на бесконечно удаленном экране, либо в фокальной плоскости линзы, поставленной на пути дифрагированного света.
Пусть на две щели падает плоская волна. В направлении φ
получим амплитуду суммарного колебания, определяемую разностью хода
BC = ( a + b ) ⋅ sin ϕ .
В зависимости от того, будет ли разность хода составлять
четное или нечетное число полуволн, будет виден свет или темнота.
Для светлой полосы:
( а + b ) ⋅ sin ϕ = 2 ⋅ k ⋅
для темной:
λ
2
,
( а + b ) ⋅ sin ϕ = ( 2 ⋅ k + 1) ⋅
212
λ
2
.
Условие главных максимумов в решетке аналогично условию интерференционного максимума от многих источников
света:
d ⋅ sin ϕ = k ⋅ λ.
(6.7)
Наряду с ними в дифракционной решетке имеют место побочные максимумы и минимумы. Увеличение числа щелей приводит к перераспределению интенсивностей света из побочных
в главные максимумы.
В случае сложного света решетка раскладывает его на составляющие, т.е. в спектр. Если угол φ незначителен, то для
двух разных длин волн имеет место соотношение:
mλ ′
mλ ′′
ϕ′ =
; ϕ ′′ =
.
а+b
a+b
λ ′′
Отношение
будет называться разрешающей споλ ′ − λ ′′
собностью решетки. Под ней понимают способность решетки
разделять близкие спектральные линии. Она численно равна
произведению числа щелей на порядок спектра:
λ ′′
= k ⋅ N.
∆λ
Дифракционная решетка характеризуется также угловой
дисперсией: это угол отклонения двух спектральных линий, различающихся на единицу:
dϕ k
= .
dλ d
Она обратно пропорциональна периоду решетки.
Дифракция рентгеновских лучей. Рентгеновскими лучами называют электромагнитное излучение, длина волн которого примерно равна 10-10 м. Длина волны
рентгеновских
лучей
много
меньше световых волн, поэтому
наблюдать дифракцию этих лучей
в стандартных схемах не удается.
Препятствиями, размеры которых
Рис. 6.12. Дифракция
на кристалле
213
сравнимы с длиной волны рентгеновских лучей, могут служить
лишь межатомные расстояния в твердых телах. Схема дифракции показана на рисунке (6.12).
Атомы кристалла расположены в правильном порядке, образуя плоскости, отражающие лучи. Коэффициент преломления
лучей близок к единице, и лучи отражаются от различных плоскостей без заметного преломления (≈ 1). Обозначая угол скольжения лучей через α , а расстояние между отдельными слоями
через d , можно заметить, что разность хода между интерферирующими лучами: δ = AD + DC − BC. Из ∆ADF имеем:
FD
AD =
, AF = d ⋅ tgα , а из ∆ABC : BC = 2 ⋅ AF ⋅ cos α . . С учеsin α
том того, что AD = DC, получим:
2 ⋅ d 2 ⋅ d ⋅ cos 2 α
δ=
−
= 2 ⋅ d ⋅ sin α .
sin α
sin α
Условие максимума будет выполняться при δ = k ⋅ λ , тогда:
2 ⋅ d ⋅ sin α = k ⋅ λ ,
(6.8)
где k – целое число.
Полученная формула носит название формулы ВульфаБрэггов.
Рассмотренный случай дифракции относится к конкретным
межатомным плоскостям и монохроматическому излучению,
что заметно упрощает анализ условий образования максимумов.
В действительности же межатомные плоскости могут быть ориентированы произвольным образом, причем в роли интерферирующих лучей могут выступать лучи, отраженные не только от
соседних плоскостей. Кроме того, следует иметь ввиду, что реальные кристаллические структуры имеют три измерения, каждому из которых могут соответствовать различные условия образования максимумов. Тем не менее рентгенографический метод анализа кристаллов нашел широкое применение в петрографии, рентгеноструктурном анализе и ряде других приложений.
Понятие о голографии. Безлинзовое получение оптических
изображений путем восстановления волнового фронта называется голографией.
214
Ф
A
Зеркало
Зеркало
Идея голографии обоснована в 1947 г. английским инженером Габором. При освещении или просвечивании предмета от
него распространяется рассеянная или прошедшая волна. Отделившись от предмета, рассеянная волна сохраняет в дальнейшем
независимое существование и несет полную информацию о
форме и других свойствах предмета, какая может быть получена
путем освещения его световыми лучами. Попадая в глаз, эта
волна образует на сетчатке изображение предмета. Если любым
путем создать такую же волну, то она может вызвать те же эффекты, что и исходная, рассеянная предметом. На этом и основана голография.
В этом случае вначале изготовляется голограмма – фотопластинка, с помощью которой можно восстановить световую волну, рассеянную телом (рис. 6.13). Затем эту волну восстанавливают и получают оптическое изображение.
Г
A1
получение
восстановление
A2
Рис. 6.13. Голография
Пусть предмет А освещается пучком монохроматических
лучей. Рассеянные лучи попадают на фотопластинку Ф. Дополнительную информацию о фазе можно получить и записать на
той же фотопластинке, если осветить ее вторым пучком от того
же лазера и заставить его интерферировать с пучком, рассеянным предметом. Интерференционная картина фотографируется
и становится голограммой.
215
Голограмма в закодированной форме содержит полную информацию об амплитудах и фазах рассеянной волны, которая
достаточна для ее восстановления и получения оптического
изображения (путем просвечивания голограммы).
6.2.3. Поляризация света
Свет, как известно, является электромагнитной волной, а
эти волны – поперечные. Световые волны испускаются отдельными секциями или цугами, продолжительность которых не
превышает 10-8с. Процесс испускания является случайным, а
фаза испущенной волны, а также ориентации векторов напряженности электрического и магнитного полей в плоскости, перпендикулярной направлению излучения, могут быть любыми. Так как
E
векторы E и B в волне всегда перпендикулярны друг другу, имеет
смысл рассматривать лишь один из
них (обычно это вектор E ). Для естественного света характерны все допустимые ориентации вектора E
(рис. 6.14).
Существуют приспособления, наРис. 6.14. Естественный
зываемые поляризаторами, которые
свет
обладают способностью пропускать
через себя световые лучи только с одним направлением плоскости колебаний электрического вектора Е, так что на выходе из
поляризатора свет становится плоско (линейно) поляризованным. Человеческий глаз не в состоянии обнаружить, поляризован свет или нет, поэтому необходимо использовать второе такое же приспособление, которое называют анализатором. Если
направление пропускания анализатора и поляризатора совпадают, луч света на выходе из анализатора имеет максимальную
интенсивность.
При произвольном угле α между направлениями анализатора и поляризатора (рис. 6.15) амплитуда световых колебаний,
выходящих из анализатора:
E A = E П ⋅ cos α ,
где EП – амплитуда колебаний на выходе из поляризатора.
216
В электромагнитной волне
плотность энергии (интенсивность) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний E ,
анализатор
EП
EA
α
т.е. I П ∼ E П2 и I A ∼ Е А2 . На основании этого получаем соотношение:
I A = I П ⋅ cos α , (6.9)
Рис. 6.15. Направления
пропускания света
которое называется законом
поляризатора
и анализатора
Малюса.
Простейшим приспособлением для поляризации света может служить прозрачное диэлектрическое зеркало. Пусть на диэлектрик, показатель преломления которого n2 (рис. 6.16), падает луч естественного света из среды с показателем преломления
n1.
Представим
направления
α α
колебаний вектора E в виде
точек
и двунаправленных стреn1
лок, при этом точка изображает
направление вектора, перпендиn2
кулярное плоскости чертежа, а
стрелка показывает, что вектор
β
E лежит в плоскости чертежа.
Рис. 6.16. Поляризация
В естественном свете равновепри отражении и преломлении
роятны все направления колебаний E , поэтому количество точек и стрелок одинаково. Опыты показывают, что и отраженный, и преломленный лучи становятся частично поляризованными, причем в отраженном свете преобладающими становятся
колебания, плоскость которых перпендикулярна плоскости чертежа, а в преломленном предпочтительнее оказываются направления колебаний в плоскости чертежа.
Изменяя угол падения, можно найти такое направление, при
котором отраженные лучи становятся полностью поляризованны217
ми. Соответствующий данному условию угол называется углом
Брюстера, а его значение определяется по закону Брюстера:
tgα = n21 ,
(6.10)
n
где n21 = 2 – относительный показатель преломления.
n1
6.2.4. Поглощение света
При прохождении света через вещество часть энергии световой волны поглощается, переходя во внутреннюю энергию
молекул вещества, при этом опыты показывают, что при прохождении через очень тонкий слой вещества толщиной dx отношение изменения интенсивности dI в этом слое к интенсивности падающего света I 0 , , пропорционально толщине этого слоя:
dI
= − k ⋅ dx,
I0
где k – множитель, зависящий от свойств вещества, называемый коэффициентом поглощения.
Знак «–» отражает убывание интенсивности с ростом x.
Для нахождения изменения интенсивности света при прохождении слоя конечной толщины проинтегрируем полученное выражение, и после потенцирования получим закон Бугера:
I = I0 ⋅ e−k ⋅x .
(6.11)
6.2.5. Рассеяние света
Плоская волна, распространяющаяся в однородной среде,
остается плоской. Однако если среда неоднородна, и в ней имеются примеси с другими оптическими свойствами, то кроме
волны, распространяющейся в первоначальном направлении,
появляются рассеянные волны. Данные волны уносят часть
энергии, при этом наблюдается уменьшение интенсивности первоначального луча. На характер рассеяния оказывают влияние
размеры и природа неоднородностей. Если их размеры больше
длины волны, то наблюдается только геометрическое рассеяние
218
(при наличии твердых частиц, взвешенных в воздухе). Падающий на разные участки поверхности частицы солнечный свет
отражается под различными углами. Если при этом спектральный состав света не меняется, то рассеянный свет остается белым (например, белый цвет неба в пустынях, когда восходящие
воздушные потоки переносят в верхние слои атмосферы мелкие
частицы песка).
Если размеры неоднородностей существенно меньше длин
волн света, то интенсивность рассеянного света удовлетворяет
закону Рэлея:
I рас ∼ I 0 ⋅ ω 4 ,
где ω – частота падающего света.
При этом интенсивность рассеянного света различна по
разным направлениям (т.е. анизотропна). Следовательно, наиболее сильно рассеиваются волны, имеющие большую частоту.
Например, если через среду идет волна от источника белого
света, то при наблюдении сбоку среда кажется голубоватой, а
сам источник на просвет выглядит более красным. Именно этим
объясняется голубой цвет неба и красный цвет зари для наблюдателя, находящегося на поверхности Земли. Изменение расположения в пространстве источника света и наблюдателя друг
относительно друга приводит к появлению разных цветовых
оттенков.
6.2.6. Дисперсия света
Дисперсией называется зависимость скорости распространения световой волны в среде от частоты (зависимость
показателя преломления среды от длины волны падающего света). Следствием дисперсии является разложение белого света в
спектр при прохождении его через призму (рис. 6.17).
С точки зрения электронной теории дисперсии, выдвинутой
Лоренцем, дисперсия является результатом взаимодействия
электромагнитных волн с заряженными частицами, входящими
в состав вещества и совершающими вынужденные колебания в
электромагнитном поле волны, абсолютный показатель преломления среды определяется как:
219
n = ε ⋅µ,
где ε – диэлектрическая проницаемость среды;
µ – ее магнитная проницаемость, причем в видимой области
спектра µ = 1.
Рис. 6.17. Разложение белого света на спектр
Тогда n = ε и, следовательно, необходимо установить зависимость диэлектрической постоянной от частоты света. Известно, что
ε =1+ χ,
(6.12)
где χ – диэлектрическая восприимчивость, определяющая соотношение между поляризацией вещества P и действующим электрическим полем E :
P = ε 0 ⋅ χ ⋅ E.
(6.13)
С другой стороны, величина вектора поляризации равна
суммарному дипольному моменту единичного объема:
P = N ⋅ q ⋅ x.
Под действием переменного электрического поля световой
волны электрон совершает вынужденные колебания. Таким образом, амплитуда колебаний электрона в атоме:
e⋅E
x=
,
m ⋅ (ω02 − ω 2 ) 2 + 4 ⋅ ω 2 ⋅ β 2
(
)
где β характеризует затухание колебаний,
ω0 – собственная частота колебаний электрона в атоме.
220
Если принять β = 0, получим:
P = N ⋅ e2 ⋅
(
E
m ⋅ ω02 − ω 2
)
.
С учетом (6.13) данное выражение примет вид:
χ=
N ⋅ e2
(
m ⋅ ε 0 ⋅ ω02 − ω 2
)
.
Тогда
n2 = ε = 1 + χ = 1 +
N ⋅ e2
(
m ⋅ ε 0 ⋅ ω02 − ω 2
)
.
(6.14)
6.3. Квантовая оптика
6.3.1. Тепловое излучение
Излучение света происходит в результате переходов атомов
или молекул из состояний с большей в состояния с меньшей
энергией. Тепловое излучение отличается от других только способом перехода излучающих систем в возбужденное состояние.
Равновесное излучение. Для рассмотрения этого понятия
представим полость с неподвижными и непрозрачными стенками, температура которых не меняется. Атомы и молекулы стенок переходят в возбужденные состояния за счет энергии теплового движения и при обратных переходах создают излучение,
заполняющее полость. Падая на стенки, лучистая энергия частично отражается, частично поглощается. Происходит изменение направления распространения, спектрального состава, плоскости поляризации, интенсивности излучения. В итоге в полости
устанавливается макроскопически вполне определенное состояние излучения, при котором за каждый промежуток времени
количество излученной энергии определенного цвета, направления, распространения и поляризации в среднем равно количеству поглощенной энергии тех же параметров. Данному равновесному состоянию соответствует то, что для каждого микропроцесса, идущего в прямом направлении найдется обратный микропроцесс. В результате имеет место макроскопически неизменное во времени состояние.
221
Равновесное излучение обладает определенными свойствами: плотность лучистой энергии, ее распределение по частотам,
направление распространения и поляризации не зависят от формы и материала стенок, а определяются только их температурой.
Излучение изотропно и не поляризовано, т.е. все возможные
направления поляризации представлены с равной вероятностью.
Так как излучение находится в равновесии со стенками, то можно говорить о температуре самого излучения.
Плотность лучистой энергии, приходящейся на интервал
частот от ν до ν + dν , называется спектральной плотностью лучистой энергии.
Поток лучистой энергии, проходящей за единицу времени
через единицу площади в единичном телесном угле, ось которого перпендикулярна площадке, называют удельной интенсивностью излучения JV .
Удельная интенсивность, соответствующая определенной
частоте, называется удельной интенсивностью частоты Iν .
Закон Кирхгофа. Лучеиспускательной способностью тела называется физическая величина, численно равная лучистой
энергии, испускаемой единицей поверхности нагретого тела во
всех направлениях в единичном интервале частот.
Поглощательная способность тела есть дробь, которая
показывает, какая доля падающей на тело лучистой энергии
поглощается в единичном интервале частот.
Установим связь между излучательной и поглощательной
способностью тела (соответственно, Eν и Aν ). Предположим,
что излучающее тело со всех сторон окружено равновесным излучением, температура которого равна температуре тела. Кирхгофом в 1859 г. было установлено, что отношение лучеиспускательной способности тела к его поглощательной способности
одинаково для всех тел и является универсальной функцией
только частоты и температуры:
Eν
= fν .
Aν
222
Тело будет называться абсолютно черным, если его поглощательная способность Аν равна единице для излучений всех
частот. Излучательную способность его обозначим через eν .
Очевидно, что eν = Iν .
Еν
= Iν .
Aν
Тогда закон Кирхгофа: отношение лучеиспускательной
способности тела к его поглощательной способности есть универсальная функция частоты и температуры тела, равная лучеиспускательной способности абсолютно черного тела.
Таким образом, абсолютно черное тело обладает максимальной излучательной способностью. Отсюда же следует, что
всякое тело при данной температуре излучает преимущественно
лучи таких же длин волн, которые при той же температуре
сильнее всего поглощает.
На рисунке 6.18 приведен
пример абсолютно черного тела.
Луч света, попадая в полость, испытывает многократное отражение
от ее стенок. При каждом отражении часть энергии поглощается. В
Рис. 6.18. Модель
абсолютно черного тела
итоге из полости свет не выйдет
совсем или выйдет его ничтожная
часть. Другими словами, полость ведет себя как абсолютно черное тело.
Закон Стефана-Больцмана. В XIX веке проводились многочисленные исследования зависимости интегральной лучеиспускательной способности или суммарной энергии всех длин
волн, излучаемых нагретым телом. В 1879 г. И. Стефаном было
найдено, что для черных тел интегральная излучательная способность пропорциональна четвертой степени температуры:
R = σ ⋅T 4.
(6.15)
Спустя некоторое время Л. Больцман получил этот же результат теоретически на основе термодинамических представ223
лений и показал, что он верен для абсолютно черных тел. В результате данный закон получил название закона СтефанаБольцмана.
Закон Вина. Важные результаты в термодинамике излучения были получены В. Вином в 1893-1894 гг. Он доказал, что
равновесное излучение, заключенное в оболочке с идеально отражающими стенками, будет оставаться равновесным при квазистатическом сжатии или расширении оболочки.
Введем внутрь оболочки бесконечно малую черную пылинку. Через определенное время неравновесное излучение в оболочке станет равновесным. Затем начнем бесконечно медленно
адиабатически расширять оболочку. Потом удалим пылинку,
при этом равновесие внутри оболочки нарушится. Давление лучистой энергии на стенки уменьшится, и оболочка, сжимаясь,
перейдет в первоначальное состояние.
Обычно закон Вина записывают следующим образом:
λm ⋅ T = b = const ,
(6.16)
где b = 0, 2898 см ⋅ К .
Этот закон носит название закона смещения: при повышении температуры максимум лучеиспускательной способности
смещается в сторону более коротких волн.
На рисунке 6.19 показано распределение энергии по длинам
волн в излучении абсолютно черного тела. Видно, что суммарная энергия быстро возрастает с увеличением температуры. При
этом чем выше температура, тем большая энергия приходится
на долю коротких волн.
В то же время каждой температуре соответствует определенная длина волны λm , которая характеризует максимальную
энергию U .
Формула Планка. Точная формула для определения спектральной плотности энергии равновесного излучения была найдена М. Планком в 1900 г.
14 декабря на заседании Немецкого физического общества
он сделал доклад, высказав идею о квантах. Этот день считается
днем зарождения квантовой физики. Гипотеза Планка состоит
в том, что излучение и поглощение света веществом осуществляется отдельными порциями, или корпускулами, которые но224
сят название квантов света, или энергии. Формула Планка,
которая определяет энергию кванта, имеет вид:
8 ⋅ π ⋅ h ⋅ν 3
8 ⋅π ⋅ h ⋅ c
1
Uν =
, или U λ =
,
h⋅c /( к ⋅Т ⋅λ )
3
5
−1
c
λ
e
где h = 6,62 ⋅ 10−34 Дж ⋅ с – постоянная Планка.
U
dλ
T2
T2 > T1
T1
0
λ1
λ2
λ
Рис. 6.19. Распределение энергии по длинам волн
6.3.2. Фотоэффект. Законы фотоэффекта
Явление испускания электронов под действием света называется фотоэффектом.
Это явление было детально изучено в 1888-1669 гг. русским
ученым А.Г. Столетовым, который установил следующие закономерности:
- испускаемые под действием света заряды имеют отрицательный заряд;
- наибольшее действие оказывают ультрафиолетовые лучи;
- величина испущенного заряда пропорциональна поглощенной телом энергии.
Позднее было обнаружено, что этими зарядами являются
электроны. Различают внешний и внутренний фотоэффект. При
внешнем электроны освобождаются светом из поверхностного
слоя вещества и переходят в другую среду (вакуум или воздух).
225
При внутреннем – оптически возбужденные электроны остаются внутри освещаемого тела, не нарушая электрическую нейтральность последнего.
Электроны, вырванные под
свет
действием света, называют фотоэлектронами. ФотоэлектриA
K
ческими свойствами обладают
металлы, диэлектрики, полупроводники.
На рисунке 6.20 показана
принципиальная
схема устаmA
новки для изучения фотоэффекта.
Рис. 6.20. Внешний
Фотоэлектроны, вырванфотоэффект
ные из катода, увлекаются
электрическим полем к аноду и
замыкают цепь. Если при постоянном световом потоке и частоте
света менять напряжение между катодом и анодом, то зависимость тока от напряжения IФ = f (U ) будет иметь вид сложной
кривой (рис. 6.21), которая называется вольт-амперной характеристикой
фотоэлемента.
При некотором напряжении фототок перестает изменяться и
носит название фототока насыщения ( I нас ). Насыщение будет
тогда, когда все электроны, вырванные из катода, достигнут
анода. При этом сила фототока определяется только колиРис. 6.21. Вольт-амперная
чеством фотоэлектронов, т.е. характеристика фотоэлемента
ток насыщения строго пропорционален интенсивности падающего света при постоянной
частоте – 1-й закон Столетова.
Объяснение фотоэффекта на основе волновой теории оказалось невозможным, поскольку максимальная скорость фотоэлектронов не зависела от интенсивности падающего света, а
определялась только его частотой – 2-й закон Столетова.
Кроме того, фотоэффект оказался безынерционным, т.е. начинался сразу при попадании света на вещество.
226
Указанные трудности исчезают, если фотоэффект рассматривать с точки зрения квантовой оптики. Взаимодействуя с
электроном, квант света, или фотон, может обмениваться с ним
энергией и импульсом. Другими словами, фотон мгновенно поглощается электроном. Этим объясняется безынерционность
фотоэффекта.
Максимальную кинетическую энергию фотоэлектрона определяют из формулы, полученной А. Эйнштейном:
m ⋅υ 2
h ⋅ν = А +
(6.17)
,
2
где A – работа выхода;
m – масса покоя электрона;
h ⋅ν – энергия фотона.
Из этой формулы вытекают два следствия, подтвержденные
экспериментами:
а) максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов
линейно зависит от частоты падающего света и не зависит
от его интенсивности – 3-й закон;
б) существует низкочастотная граница (порог) фотоэффекта, т.е. такая частота ν0, ниже которой фотоэффект не
наблюдается. При этом работа выхода определится из формулы:
A = h ⋅ν 0 ,
где ν 0 – низкочастотная («красная») граница фотоэффекта –
4-й закон.
Обратная разность потенциалов, приложенная к электродам, препятствует фотоэлектронам двигаться к аноду и при
определенном значении напряжения фототок прекращается.
Это напряжение называется задерживающим.
6.3.3. Энергия и импульс фотона
Квант света, или фотон, существует только в движении. При
взаимодействии с веществом он поглощается электроном. Известно, что энергия фотона (кванта) определяется по формуле:
ε = h ⋅ν
или учитывая, что h = ⋅ 2 ⋅ π , а 2 ⋅ π ⋅ν = ω , получим, что энергия фотона:
ε = ⋅ ω.
227
Поскольку фотон обладает энергией, то он должен иметь
импульс, который определяет величину светового давления.
Импульс и энергия фотона взаимосвязаны:
2
2
ε 
2
  − p = ( m0 ⋅ c ).
c
Так как состояния покоя для фотона не существует, то его
масса покоя m0 = 0, , поэтому:
ε
p= .
c
Если на единицу поверхности в единицу времени падает ε
джоулей лучистой энергии, то плотность излучения окажется
равной:
U=
ε
= p.
c
Учитывая, что освещаемое тело имеет коэффициент отражения r , давление увеличится в (1 + r ) раз:
ε ⋅ (1 + r )
F
= p=
.
S
c
В случае полного отражения:
ε
p = 2⋅ .
c
зеркало
1
5
2
6
3
7
4
7
Рис. 6.22. Опыт Лебедева
Давление света незначительно. Оно было впервые определено в 1900 г. русским ученым П.Н. Лебедевым с помощью вакуумированного сосуда,
в котором располагалось устройство, изображенное на рис.
6.22. Кружки 1-7 сделаны из
платины, алюминия и слюды
толщиной 0,02-0,1 мм. На нити
укреплено зеркало. Система
приводилась в колебательное
движение. При освещении характер колебаний изменялся, так
как давление света вызывало
228
появление вращающего момента. Из величины закручивания вычислялось значение действующей силы. Давление света можно
наблюдать визуально при движении комет, когда их «хвост» отклоняется в сторону от Солнца.
6.3.4. Эффект Комптона
В 1922 г. Артур Комптон открыл явление, которое подтверждает квантовый характер электромагнитного излучения.
Он изучал рассеяние жестких рентгеновских лучей на телах, состоящих из легких атомов (графит, парафин). Схема установки
приведена на рисунке
R
K
6.23. Источником рентгеновских лучей являA
лась рентгеновская трубД1
Д2
ка. Узкий пучок данных
N
лучей выделялся диафрагмами Д1 и Д2 и расP
сеивался на исследуемом
Рис. 6.23. Опыт Комптона
теле R. Спектральный
состав рассеянного излечения определялся с помощью кристалла N (рентгеновского
спектрографа) и фотопластинки Р. Оказалось, что в рассеянном
излучении наряду с исходной длиной волны λ появлялась смещенная линия с длиной волны λ ′ > λ. Явление изменения длины
волны ∆λ = λ ′ − λ в длинноволновую сторону спектра при рассеянии излучения получило название эффекта Комптона.
Опыт показал, что смещение не зависит от длины падающей волны, а определяется квадратом синуса половинного угла
рассеивания. Согласно волpэ
новой теории длина волны
рассеянных лучей должна
ε 0 , p0
быть равна длине волны
p0
падающих, поэтому было
α
э
сделано предположение о
квантовом характере отp, ε
крытого явления.
Рассмотрим столкноРис. 6.24. Рассеяние фотона
вение фотона со свободным
229
электроном, воспользовавшись законами сохранения энергии и
импульса, учитывая, что взаимодействие абсолютно упругое
(рис. 6.24).
Закон сохранения энергии при этом:
(
h ⋅ν 0 + m0 ⋅ c 2 − h ⋅ν = ε эл ; ε эл = m02 ⋅ c 4 + c 2 ⋅ pэ2
)
1
2
,
(6.18)
где h ⋅ν 0 + m0 ⋅ c 2 – суммарная энергия фотона и электрона до
взаимодействия;
(
h ⋅ν + m02 ⋅ c 4 + c 2 ⋅ pэ2
)
1
2
– суммарная энергия фотона и электрона после.
Тогда закон сохранения импульса:
(6.19)
Р0 − Р = Рэ .
h ⋅ν 0
h ⋅ν
2 ⋅ h2
; Р=
; 2 ⋅ р0 ⋅ р = 2 ⋅ν ⋅ν 0 ⋅ cos α ,
c
c
c
то, возведя уравнение (6.18) в квадрат и разделив на c 2 , вычтем
из него квадрат уравнения (6.19).
Тогда
4
h ⋅ν 0 ⋅ m0 ⋅ c 2
h 2 ⋅ν 0 ⋅ν
m0 ⋅ c 2 ⋅ h ⋅ν
h 2 ⋅ν 2
h 2 ⋅ν 2
2 c
m
+
⋅
+
+
⋅
−
⋅
−
⋅
−
2
2
2
0
c2
c2
c2
c2
c2
c2
h2
− Р02 − Р 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ν 0 ⋅ν ⋅ cos α = m02 ⋅ c 2 + Р02 − Рэ2 .
c
Откуда
m0 ⋅ c 2 ⋅ν 0 = ν ⋅ h ⋅ν 0 + m0 ⋅ c 2 − h ⋅ν 0 ⋅ cos α .
Преобразуя последнее уравнение и выражая частоту через
длину волны, найдем:
h
α 
(6.20)
⋅ sin 2   .
λ = λ0 + 2 ⋅
m0 ⋅ c
2
h
Здесь величина
= λк = 2, 43 ⋅ 10−12 м называется комm0 ⋅ c
птоновской длиной для электрона. Она представляет собой
изменение длины волны фотона при его рассеянии на угол
α = π/2 на свободном электроне.
Таким образом, эффект Комптона еще раз подтвердил справедливость квантовых представлений о природе электромагнитного излучения.
Так как Р0 =
(
)
230
Глава 7. ОСНОВЫ АТОМНОЙ И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
7.1. Теория атома водорода по Бору
7.1.1. Модели атома
В начале XX столетия было установлено, что в состав атома
входит положительно заряженное ядро и окружающая его электронная оболочка. Линейные размеры ядра порядка 10-13-10-12см.
Размеры атома примерно в 105 раз больше. Однако почти вся
масса атома сосредоточена в ядре (99,95%), которое состоит из
«тяжелых» нейтронов и протонов. Число электронов в оболочке
равно заряду ядра, если за единицу принять элементарный заряд. При потере электронной оболочкой электронов атом превращается в положительно заряженный ион.
Окончательное экспериментальное доказательство такой
модели атома (планетарной) было дано Резерфордом в 1911 году при изучении рассеивания α-частиц ( 24 He ) тонкой металлической фольгой. Подавляющее число частиц рассеивалось на
углы до 3°. Однако наблюдались отдельные частицы, отклоняющиеся на углы, доходившие до 150°. Резерфорд предположил, что каждое большое отклонение появляется в результате
единичного акта взаимодействия точечного силового центра и
близко пролетающей α-частицы. Таким центром является положительно заряженное ядро атома. Это подтвердилось снимками
треков α-частиц в камере Вильсона.
7.1.2. Спектральные закономерности
Накаленные твердые тела испускают сплошные спектры. У
газов наблюдаются линейчатые и полосатые спектры. Линейчатый спектр состоит из ряда закономерно расположенных узких
спектральных линий. К началу XX века было известно, что линейчатые спектры испускаются атомами, а полосатые – молекулами.
231
Положение спектральной линии в спектре характеризуется
c
длиной волны λ или частотой ν = . Довольно часто использу-
λ
ется спектроскопическое волновое число ν , т.е. число волн, ук1
ладывающихся в вакууме на 1 см длины: ν = .
λ
В спектроскопии основным законом является комбинационный принцип Ритца, установленный в 1908 году. Он определяет спектральные линии через парные комбинации так называемых термов. При этом ν = 1/ λ = Т n1 − Т n 2 , а n1 < n2 и, кроме
того n2 = n1 + 1.
Для простейшего атома водорода терм имеет вид:
R
Т n = н ( n = 1, 2, 3...) ,
(7.1)
n2
где RH = 109678,76 см −1 – постоянная Ридберга.
Из формулы (7.1) можно получить следующие спектральные серии:
Серия Лаймана:
1
ν = = RH ⋅ 1 − 1/ n 2 , n = 2, 3, 4, …,
λ
(
)
которая наблюдается в ультрафиолетовой части спектра.
Серия Бальмера:
1
1 
 1
ν = = RH ⋅  2 − 2  , n = 3, 4, 5, …
λ
n 
2
Четыре первые линии этой серии принадлежат видимой
части спектра и обозначаются через Нα, Нβ, Нγ, Нσ, остальные – в
ультрафиолетовой.
Серия Пашена:
1
1 
 1
ν = = RH ⋅  2 − 2  , n = 4, 5, 6…
λ
n 
3
относится к инфракрасной части спектра. Имеются также
серии Брэккета и Пфунда, которые имеют место в инфракрасной
области.
232
7.1.3. Постулаты Бора
Объяснить спектральные закономерности и длительное существование атомов на основе волновых представлений невозможно, поэтому Н. Бором в 1913 году были сформулированы
постулаты:
‫ ـ‬атом может находиться в стационарных состояниях,
характеризующихся определенными дискретными значениями
энергии ε1, ε2, ε3…, в которых он не излучает;
‫ ـ‬при переходе из стационарного состояния с большей
энергией в стационарное состояние с меньшей энергией атом
излучает фотон, энергия которого равна:
h ⋅ν = ⋅ ω = ε n 2 − ε n1 = ∆ε .
Таким образом, атомная система переходит из одного состояния в другое скачками, которые называют квантовыми.
Второй постулат Бора объясняет комбинационный принцип
Ритца:
ε
1 ε
ν = = n 2 − n1 .
λ c⋅h c⋅h
Сравнивая это соотношение с (7.1), найдем: Т n = −
ε
.
c⋅h
В итоге спектральные термы определяются энергией атома.
Совокупность значений энергии стационарных состояний
атома ε1, ε2, ε3 образует энергетический спектр атома. Поэтому
излучаемые частоты можно представить в виде ряда ν1, ν2, ν3.
7.1.4. Спектр атома водорода
Определение значений энергии атома в стационарных состояниях называется квантованием этой энергии. Рассмотрим
бальмеровские спектральные термы:
Ζ2 ⋅ R
с ⋅ h ⋅ Ζ2 ⋅ R
Т n = 2 ; ε n = −c ⋅ h ⋅ Т n = −
(7.2.)
,
n2
n
где Z – заряд ядра.
Целое число n называют главным квантовым числом. С его
ростом соседние уровни энергии сближаются, и дискретность
233
спектра становится все менее заметной. В предельном случае
(n → ∞) квантовая система ведет себя подобно классической.
Это положение называют принципом соответствия. Он позволяет выразить постоянную Ридберга через фундаментальные
характеристики атома.
Рассмотрим водородоподобный атом (ион с зарядом ядра
+Z⋅e), в котором вокруг ядра вращается один электрон. Для простоты примем за траекторию электрона окружность. По классическим представлениям частота излучаемого света равна частоте обращения электрона по круговой орбите. Будем считать ядро бесконечно тяжелым и потому неподвижным. При вращении
электрона по окружности радиуса r с угловой скоростью ω центростремительная сила равна силе его электрического притяжения к ядру:
Z ⋅ e2
(7.3)
m ⋅ω2 ⋅ r = 2 ,
r
Ζ ⋅ е2
ω=
,
откуда
L⋅r
где L = m ⋅ r 2 ⋅ ω – момент количества движения электрона.
Полная энергия орбитального электрона складывается из
суммы его кинетической и потенциальной энергий:
1
Ζ ⋅ e2
Ζ ⋅ e2
ε = ⋅ m ⋅ r2 ⋅ω2 −
=−
.
2
r
2⋅r
Тогда:
2 ⋅ε
ω=−
(7.4)
.
L
Кроме того, при переходе с одного уровня на другой произ2
ε ⋅ n не меняется, поэтому при больших квантовых
ведение n
числах и их малых изменениях должно выполняться соотношение:
∆ε
∆n
+ 2⋅
= 0.
εn
n
234
Отсюда с учетом второго постулата Бора ( ∆ε = ⋅ ω ) получим:
2⋅ε
ω=−
⋅ ∆n.
(7.5)
⋅n
Здесь ∆n > 0. Наименьшая частота соответствует переходу
∆n = 1. Это основная частота. Значениям ∆n = 2; 3; … соответствуют ее гармоники или обертоны. По принципу соответствия
основная частота в формуле (7.5) должна совпадать с классической частотой (7.4). Это возможно, если L = n ⋅ .
Значит, по теории Бора момент импульса, особенно при
больших n квантуется, т.е. принимает дискретные значения.
Из формулы (7.3) получим:
(m ⋅ r
Отсюда rn =
2
⋅ω
)
2
= Z ⋅ e2 ⋅ r ⋅ m = ( n ⋅
)2 .
n2 ⋅ 2
, а следовательно,
Ζ ⋅ e2 ⋅ m
(
)
2 2
Ζ⋅e ⋅m
Ζ ⋅ e2
εn = −
.
=−
(7.6)
2⋅r
2 ⋅ 2 ⋅ n2
Формула (7.6) для энергии
∞
справедлива при любых n. В спектроскопии термы и энергетические
4
уровни изображаются горизонтальными линиями, а переходы между
П 3
ними – вертикальными стрелками.
Переход с высших уровней на низБ
2
шие соответствует излучению, а
обратный – поглощению. На рисунке 7.1 показан спектр водорода.
Уровни энергии здесь нумеЛ
1
руются квантовым числом n. За
нулевую принята энергия уровня с
Рис. 7.1. Спектр
n → ∞. Данный уровень изображен
атома водорода
верхней горизонтальной линией.
Нижним энергетическим уровням соответствуют отрицательные
значения полной энергии атома. Выше пунктирной линии
спектр будет сплошным. Ядро и электрон образуют связанную
систему только в случае дискретного энергетического спектра.
235
Квантовые переходы из состояний непрерывного энергетического спектра, т.е. из состояний, в которых атом ионизован,
в состояния дискретного спектра сопровождаются рекомбинацией электронов с соответствующими положительными
ионами. Излучение, возникающее при этом, называется рекомбинационным.
Переход атома из нормального состояния на более высокий
энергетический уровень означает получение избыточной энергии, т.е. «возбуждение» атома. Переход с одного из уровней дискретного спектра в область сплошного спектра превращает
атом в несвязанную систему и называется ионизацией атома,
при этом электрон окончательно покидает атом.
Если атом водорода находился в нормальном состоянии с
n = 1, то его минимальная энергия будет равна:
(Ζ ⋅е )
=
2 2
ε мин
⋅m
2
= 2 ⋅ π ⋅ c ⋅ ⋅ Ζ 2 ⋅ R∞ = c ⋅ h ⋅ Ζ 2 ⋅ R∞ .
2⋅
При подстановке численных значений для Z = 1, найдем:
εион = 21,8 x10-19 Дж = 13,6 эВ.
В нормальном состоянии радиус орбиты электрона называют Боровским rБ :
2
= 0,529 x 10-8 см.
m ⋅ е2
По порядку эта величина совпадает с размерами атомов.
Напряженность электрического поля ядра на первой орбите в
атоме водорода:
е
Е = 2 = 51,5 x 108 В/см.
rБ
Экспериментальным подтверждением постулатов Бора являются опыты Д. Франка и Г. Герца, в которых через пары ртути
проходят ускоренные электрическим полем электроны. При
столкновении с молекулами последние переходят в возбужденное состояние. В условиях вакуума зависимость термоэлектронного тока от ускоряющего напряжения представлена на рисунке
(7.2 а). Опыт же показал, что в парах ртути кривая имеет другой
вид (рис. 7.2 б). На ней появляются резко выраженные экстремумы. Для паров ртути расстояния между ними равны 4,9 В, что
rБ =
236
свидетельствует о дискретном характере энергетических уровней атома ртути. При напряжении, меньшем 4,9 В, пары ртути
не светятся, поскольку в этом случае отсутствуют возбужденные атомы. Только U = 4,9 В позволяет ускорить электроны до
энергии, равной энергии ионизации.
I
I
U
U
4,9
а
9,8
б
Рис. 7.2. Зависимость термоэлектронного тока
от ускоряющего напряжения в вакууме и парах ртути
К недостаткам теории Бора можно отнести то, что правила
квантования не удалось распространить на многоэлектронные
атомы. Она позволяет вычислять только частоты спектральных
линий, но не их интенсивность и поляризацию. Основной же
недостаток теории в ее непоследовательности. Она принимает
существование стационарных состояний, но к движению электронов применяет законы классической механики. Эта теория
явилась промежуточным этапом на пути к созданию квантовой
механики.
7.2. Элементы квантовой механики
7.2.1. Волны де-Бройля
В 1923-1924 гг. Луи де Бройль выдвинул и развил идеи о
том, что все материальные объекты имеют волновой характер,
т.е. корпускулярно-волновой дуализм распространяется не только на световые явления, но и на обычное вещество.
237
Если частица движется в свободном пространстве с постоянной скоростью υ, то с ней связана некая плоская монохроматическая волна, распространяющаяся в направлении скорости.
О природе этих волн де Бройль не мог сказать ничего определенного, но они получили название волн вещества, или волн
де Бройля.
h
Известно, что для электромагнитных волн p = . Тогда для
λ
какой-либо материальной частицы, например, электрона:
h
λ=
.
m ⋅υ
Де Бройль использовал это понятие для истолкования правила квантования Бора в случае одноэлектронного атома. Если
на орбите длина волны λ укладывается целое число раз, то она
возвращается в исходную точку с той же фазой и амплитудой. В
каждой точке орбиты устанавливается неизменный колебательный режим и не возникает излучения. Орбита будет стационарной. Поэтому условие стационарности (правило квантования):
2 ⋅π ⋅ R
= n,
λ
где R – радиус орбиты;
n – целое число.
h 2 ⋅π ⋅
Полагая λ = =
и замечая, что L = R ⋅ p есть моp
p
мент количества движения электрона, получим:
L = n⋅ .
Гипотеза де Бройля получила
к гальванои экспериментальное подтверметру
ждение, прежде всего в опыте К.
A
Дэвиссона и Л. Джермера. ПаралC
+
лельный пучок электронов одинаковой скорости (рис. 7.3) направлялся на монокристалл никеля.
Рассеянные электроны улавРис. 7.3. Опыт Дэвиссона
ливались коллектором С, соедии Джермера
ненным с гальванометром. На
238
диаграмме интенсивности, когда угол падения был равен углу
отражения, наблюдался максимум, который имел интерференционный характер согласно условию Вульфа-Брэггов:
(7.7)
2 ⋅ d ⋅ sin α = m ⋅ λ.
При пропускании электронного пучка через золотую фольгу наблюдалась также дифракция электронов (дифракционные
кольца). Впоследствии О. Штерном было показано, что для атомов и молекул (Н2, Не) также наблюдаются дифракционные
картины, подчиняющиеся формуле (7.7).
Согласно статистической интерпретации волны де Бройля
следует рассматривать как волны вероятности: интенсивность
волны в каком-либо месте пространства пропорциональна вероятности обнаружить частицу в этом месте (вероятность
попадания электрона в то или иное место фотопластинки пропорциональна интенсивности волны де Бройля в этом месте).
Очевидно, что вероятность обнаружить частицу в какомлибо месте пространства можно представить квадратом модуля
волновой функции:
2
ψ = ψ * ⋅ψ ,
где ψ = ψ 0 ⋅ ei ( k ⋅r −ω ⋅τ ) .
В случае плоской волны де Бройля:
ψ * ( r ,τ ) ⋅ψ ( r ,τ ) = ψ 0* ⋅ψ = const ,
т.е. равновероятно обнаружить частицу в любом месте пространства. Здесь учитывается комплексный характер волновой
функции. Следует подчеркнуть, что плоская волна де Бройля
является частным случаем волновой функции (только при свободном движении).
7.2.2. Соотношение неопределенностей
В классической механике состояние материальной точки в
каждый момент времени характеризуется ее координатой и импульсом. Но характеризовать мгновенное состояние микрочастицы точными значениями местоположения и импульса невозможно по причине двойственной природы микрочастиц. Рассмотрим волновой пакет из волн де Бройля.
239
Каждой волне с волновым вектором k соответствует значение импульса p = ⋅ k . Определенного вектора импульса для
всего пакета не существует. Есть набор импульсов, заполняющих интервал от p = ⋅ k до p + ∆p = ⋅ ( k + ∆k ) .
Этот интервал представляет собой неопределенность в нахождении точного значения импульса микрочастицы.
Поэтому, выражая k через p, можно записать:
∆x ⋅ ∆p ≥ 2 ⋅ π ⋅ = h.
(7.8)
Это выражение называется соотношением, или принципом
неопределенностей Гейзенберга. Чем точнее мы определим
координату x, тем меньше точность в нахождении импульса р.
Истинный смысл соотношения неопределенностей отражает
тот факт, что в природе объективно не существует состояний частиц с точно известными значениями обеих переменных
x и р. Если ∆x → 0, то ∆p → ∞ и наоборот.
7.2.3. Уравнение Шредингера
Основная задача волновой механики состоит в нахождении
волновых функций и связанных с ними физических явлений в
самых разнообразных условиях. Решением ее будет волновое
уравнение, полученное Э. Шредингером в 1926 г. Это основное
уравнение квантовой механики, справедливое только для малых
скоростей микрочастиц.
Стационарное уравнение Шредингера можно получить путем дифференцирования волновой функции, в предположении,
что все наблюдаемые физические параметры с течением времени не изменяются:
2


⋅ ∇ 2 + U ( r )  ⋅ψ = ε ⋅ψ .
(7.9)
−
 2⋅m

Если задача одномерная, то данное выражение примет вид:
2
d 2ψ
⋅ 2 + (ε − U ) ⋅ψ = 0,
(7.10)
2 ⋅ m dx
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ
где ∇ 2 = 2 + 2 + 2 – оператор Лапласа;
∂x
∂y
∂Ζ
ε – полная энергия частицы;
U(r) – потенциальная энергия.
240
Если на решения уравнения (7.9) наложить естественные
ограничения (волновая функция и ее первые производные конечны, однозначны и непрерывны), то избранные значения параметра εn, для которых уравнение имеет решения, удовлетворяющие перечисленным ограничениям, называются собственными значениями величины ε. Эти значения принимаются за
возможные значения энергии в стационарных состояниях. Они
могут быть дискретными, а могут непрерывно заполнять конечный или бесконечный интервал (спектр – дискретный или непрерывный).
7.2.4. Гармонический осциллятор
Гармонический осциллятор в классической физике – это
маятник, который колеблется под действием возвращающей силы. Его потенциальная энергия:
1
U = ⋅ k ⋅ x2 .
2
Такой осциллятор совершает гармонические колебания с
k
частотой ω ⋅
.
m
Найдем энергии стационарных состояний осциллятора при
x = 0, U ( x) = 0.
Уравнение Шредингера для одномерного гармонического
осциллятора имеет вид:
2
d 2ψ 1
−
⋅ 2 + ⋅ k ⋅ x 2 ⋅ψ = ε ⋅ψ .
2 ⋅ m dx
2
Если ввести безразмерные величины:
2 ⋅ε
k
λ=
; ξ = x⋅
,
⋅ω
⋅ω
то оно преобразуется в
d 2ψ
(7.11)
− 2 + ξ 2 ⋅ψ = λ ⋅ψ .
dξ
241
При определенном значении λ это уравнение имеет решение:
ψ = eα ⋅ ξ 2 ,
(7.12)
где α – постоянная, которую вместе с λ можно определить,
дифференцируя уравнение (7.12) и подставляя эти
значения в предыдущее выражение.
Тогда
(1 − 4 ⋅ α ) ⋅ ξ
2
2
− 2 ⋅ α = λ.
Это соотношение должно быть тождественно по ξ, а следо1
вательно, в случае, когда 1 − 4 ⋅ α 2 = 0, λ = −2 ⋅ α , т.е. α = ± .
2
Положительное значение не подходит, так как функция
ψ = eα ⋅ ξ 2 обращалась бы в бесконечность при ξ = ±∞. Поэтому
ψ =e
−
ξ2
, если λ = 1.
Эта зависимость описывает основное состояние осциллятора, которому соответствует нулевая энергия:
⋅ω
λ
.
ε0 =   ⋅ ⋅ω =
2
2
В стационарном состоянии с энергией εn функция ψ должна
иметь n узлов:
2
ψ = Pn (ξ ) ⋅ e
−
ξ2
2
,
где Pn (ξ ) – полином n -той степени с некратными вещественными корнями.
Дважды дифференцируя данное выражение и подставляя
значения в уравнение Шредингера, найдем:
1

ε n = ⋅ ω ⋅  n +  , ( n = 0,1, 2, ...) .
2

242
7.2.5. Потенциальная яма
Рассмотрим одномерную симметричную потенциальную яму
прямоугольной формы. Так называется потенциальная функция
U ( x ) , принимающая в интервале
−a < x < + a постоянное значение
−U 0 и равная нулю вне этого интервала (рис. 7.4).
Внутри интервала уравнение
Шредингера принимает вид:
d 2ψ
+ k 2 ⋅ψ = 0,
dx 2
2 ⋅ m ⋅ε
где k 2 =
.
U ( x)
−a
x
0
+a
−U 0
Рис. 7.4. Потенциальная
яма
Общим решением уравнения будет:
ψ = A ⋅ cos kx + B sin kx.
Если x = ± a, ψ = 0, то
A ⋅ cos ka + B sin ka = 0 при x = + a,
A ⋅ cos ka − B sin ka = 0 при x = −aэ.
В результате все решения уравнения распадаются на два
класса:
‫ ـ‬с четными функциями: ψ = A ⋅ cos kx, ka = π/2, 3π/2,
5π/2…;
‫ ـ‬с нечетными функциями: ψ = B ⋅ sin kx, ka = 2(π/2),
4(π/2),6(π/2),…
n ⋅π
В обоих случаях k =
, так что при любом n:
2 ⋅α
2
2
⋅π 2
⋅k2 =
⋅ n2 ,
εn =
2⋅m
8 ⋅ m ⋅ a2
следовательно, энергия квантуется. Энергетические уровни дискретны, но при U0 → +∞ число их бесконечно. При n = 1:
2
⋅π 2
ε0 =
– нулевая энергия.
8⋅m⋅a
243
7.2.6. Потенциальный барьер
Рассмотрим одномерный потенциальный барьер. Потенциальная энергия U ( x ) при этом меняется скачкообразно
( U 2 > U1 ):
U1 = const в области 1, где x < 0,
U 2 = const в области 2, где x > 0.
Пусть слева движется частица с постоянной скоростью. С
классической точки зрения, если полная энергия ее ε > U 2 , то
она, достигнув барьера, продолжит движение, но с меньшей кинетической энергией. Если ε < U 2 , то частица вообще не проникнет через барьер, а отразится, и будет двигаться обратно с
той же кинетической энергией.
В случае квантовой механики, движение частицы связывают с распространением волны. В этом случае уравнение Шредингера:
d 2ψ
+ k 2ϕ = 0,
dx 2
2⋅m
где k 2 = 2 ⋅ ( ε − U ) .
Соответствующие энергиям U1 и U 2 значения k обозначим через k1 и k2 . Пусть в области 1 распространяется плоская
монохроматическая волна:
ψ 1 = ei⋅( k1 ⋅ x −ω ⋅τ ) ,
а в области 2 – прошедшая волна:
ψ 2 = d ⋅ ei⋅( k2 ⋅ x −ω ⋅τ ) .
Но в области 1 должна существовать также отраженная
волна:
ψ 1′ = r ⋅ ei⋅( k1 ⋅ x −ω ⋅τ ) .
Амплитуду падающей волны примем за единицу. Постоянные r и d являются амплитудными коэффициентами отражения и пропускания волн. Для их определения заметим, что
244
функция ψ и ее производная по x на границе барьера должны
быть непрерывны. Это значит, что при x = 0 выполняются соотношения:
dψ
d
(ψ 1 + ψ 1′ ) = ψ 2 ,
(ψ 1 + ψ 1′ ) = 2 ,
dx
dx
или:
1 + r = d ; k1 − k1 ⋅ r = k2 ⋅ d .
Отсюда:
k −k
2 ⋅ k1
r= 1 2; d=
.
k1 + k2
k1 + k 2
Эти соотношения совпадают с коэффициентами Френеля
при нормальном падении света на границу раздела двух сред.
Они справедливы для U2 > U1 (потенциальный барьер) и для
U2 < U1 (потенциальная яма).
При сравнении квантовомеханического решения с классическим рассмотрим случай ε > U 2 . При этом все три волны –
падающая, отраженная и прошедшая однородны. В классическом случае нет отраженного потока частиц. В квантовом есть
вероятность обнаружения частицы, движущейся навстречу падающему потоку. Введем понятие плотности вероятности потока вещества. Однородный поток не локализован и характеризуется определенной плотностью импульса. Тогда как его координата совершенно не определена, и можно говорить о скорости
распространения вероятности такого потока. Она совпадает с
классической скоростью и равна:
p
⋅k
υ= =
.
m
m
Плотность вероятности потока массы вещества будет:
m ⋅ υ ⋅ψ * ⋅ψ = ⋅ k ⋅ψ * ⋅ψ .
При этом в падающей волне:
⋅ k1 ⋅ψ 1* ⋅ψ 1 = ⋅ k1 ,
а в отраженной и прошедшей волнах равны соответственно:
2
2
r ⋅ ⋅ k1 и d ⋅ ⋅ k2 .
245
Отношение плотности вероятности потока массы в отраженной волне к падающей волне называют коэффициентом отражения частицы R. Аналогично определяется коэффициент
пропускания частицы Д . Он называется также пропускаемостью, или прозрачностью барьера.
Для этих величин находим:
2
k −k
R= r = 1 2 ;
k1 + k2
2
Д=
k2
4 ⋅ k1 ⋅ k2
2
⋅d =
,
k1
( k1 + k2 )2
причем R + Д = 1.
Если ε < U2, то формулы остаются справедливы для r и d .
Величина k2 будет чисто мнимой, а волна во второй области
станет неоднородной. В первой формуле числитель и знаменатель будут величинами комплексно сопряженными, поэтому
R = 1, т.е. отражение частиц будет полным. Однако волна во
второй области не исчезает. Если k2 = i ⋅ α , то для этой волны
получим:
2k1
ψ2 =
⋅ е −α ⋅ x ⋅ е −i⋅ω ⋅τ ,
k1 + k2
т.е. амплитуда волны в области 2 экспоненциально затухает. Глубина проникновения l определяется как расстояние, на
котором плотность вероятности потока вещества убывает в
е раз:
λ
1
l = ⋅α = 2 ,
2
4 ⋅π
2 ⋅π ⋅
h
=
.
где λ2 =
2 ⋅ m ⋅ (U 2 − ε )
2 ⋅ m ⋅ (U 2 − ε )
Таким образом, волна проникает в область 2 несмотря на
то, что отражается полностью, а вероятность отражения частицы
обращается в единицу. Следует отметить, что предложенное
решение относится к стационарному состоянию. Проникновение же волны во вторую область происходит в переходный период, когда состояние во времени еще не установилось. В этот
переходный период полного отражения волны еще может не
быть.
246
Практически частицу можно обнаружить только в тонком
поверхностном слое вблизи границы барьера, толщина которого
порядка глубины проникновения l.
Иллюстрацией прохождения частицы через барьер может
служить холодная эмиссия электронов из металла.
7.3. Квантовые числа. Периодическая система элементов
7.3.1. Атом водорода и квантовые числа
Уравнение Шредингера для атома водорода имеет вид:
∆ψ +
2 ⋅ me
2
⋅ (E +
Ζ ⋅ e2
) ⋅ψ = 0.
r
(7.13)
Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (7.13) обычно используют сферическую систему координат. В результате,
решая данное уравнение, получим:
m ⋅ l 4 Ζ2
En = − e 2 ⋅ 2 (n = 1, 2, 3).
2⋅
n
Случай E > 0 соответствует электрону, пролетающему
вблизи ядра и удаляющемуся в бесконечность. Случай E < 0
соответствует электрону, находящемуся в пределах атома.
Собственные функции уравнения Шредингера содержат три
целочисленных параметра, которые называют квантовыми числами:
n – главное квантовое число;
l – азимутальное квантовое число;
m – магнитное квантовое число.
При данном n числа l и m могут принимать значения:
l = 0, 1, 2, …, n-1,
т.е. всего n различных значений;
m = 0, ±1, ±2, ±…±l,
или (2l+ l) значение.
Таким образом, каждому En (кроме Е1) соответствует несколько волновых функций ψ n ⋅ lm , отличающихся квантовыми
числами. Это означает, что атом водорода может иметь одну и
247
ту же энергию, находясь в нескольких различных состояниях.
Такие состояния называют вырожденными, а число состояний с
одинаковой энергией называют кратностью вырождения данного энергетического уровня. Так, число состояний, соответствующих определенному n, равно:
n −1
∑ (2 ⋅ l + 1) = n2 ,
l =0
т.е. вырождение имеет кратность n 2 .
В квантовой механике азимутальное квантовое число l определяет величину момента импульса электрона в атоме, а магнитное квантовое число m – величину проекции этого момента
на заданное направление в пространстве (например, на направление вектора магнитной индукции магнитного поля).
Момент импульса оказывается равным:
М = ⋅ l ⋅ ( l + 1) .
А проекция момента импульса:
MΖ = m .
Таким образом, эти величины также квантованы.
Различные состояния электрона в атоме принято обозначать
в зависимости от значения числа l следующим образом:
Квантовое число l
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
Обозначение состояния s, p, d, f, g, h, I, k.
Исследование спектров щелочных металлов с одним валентным электроном показало, что каждая спектральная линия является двойной, т.е. представляет собой дублет. Очевидно, это обусловлено расщеплением энергетических уровней. Для объяснения
такой структуры спектров в 1925 г. С. Гаудсмит и Д. Уленбек выдвинули гипотезу о том, что электрон обладает собственным
моментом импульса Мs, который был назван спином. Это внутреннее свойство электрона, связанное с вращением вокруг собственной оси (spin – волчок). Такое предположение было впоследствии подтверждено большим количеством опытных фактов.
Величина собственного момента импульса электрона определяется спиновым квантовым числом S, равным ±1/2:
1 3 1
M S = ⋅ S ⋅ ( S + 1) = ⋅
⋅ = ⋅ ⋅ 3.
2 2 2
248
7.3.2. Периодическая система элементов
Итак, состояние каждого электрона в атоме характеризуется
четырьмя квантовыми числами:
главным
n (n = 1, 2, 3 ...);
азимутальным
l (l = 0, 1, 2, …, n-1);
магнитным
m (m = 0, ±1, ±2, ±…±l);
спиновым
ms (ms = +1/2, - 1/2).
В нормальном состоянии атома электроны должны располагаться на самых низких энергетических уровнях, т.е. все
должны были бы находиться в состоянии 1S (n = 1, l = 0). Однако на опыте наблюдается иная картина, поскольку в квантовой
механике действует принцип запрета Паули: в системе одинаковых фермионов не может быть двух одинаковых частиц, находящихся в одном и том же состоянии.
Другими словами, в атоме не может быть двух электронов,
обладающих одинаковой совокупностью четырех квантовых
чисел, поэтому в состояниях с данным значением n могут находиться не более 2 n2 электронов: n = 1 могут иметь два электрона, n = 2 – 8, n = 3 – 18 и т.д.
Совокупность электронов атома с заданным значением
главного квантового числа n образует электронный слой:
n
Слой
Максимальное число электронов
1
K
2
L
3
M
4
N
5
O
6
P
2
8
18
32
50
72
Совокупность электронов с заданными значениями n и l образуют оболочку. Различные состояния в оболочке отличаются
значениями квантового числа m. Так как оно равно 0, ±1, ±2,
±…±l, в оболочке с квантовым числом l может находиться не
больше 2(2l+1) электронов. Оболочки обозначаются строчными
буквами латинского алфавита:
l
0
1
2
3
4
Оболочка
s
p
d
f
g
Число электронов в оболочке
2
6
10
14
18
249
Символ, указывающий слои, оболочки и числа электронов в
каждой оболочке, называется электронной конфигурацией атома. Например, 1s22s22p6 означает, что в состоянии n = 1, l = 0
находятся два электрона, в состоянии n = 2, l = 1 – шесть электронов, в состоянии n = 2, l = 0 – только два.
Рассмотрим заполнение оболочек в реальных атомах периодической системы элементов Д.И. Менделеева. В действительности слои и оболочки заполняются в следующем порядке:
1s2
2 электрона
2s22p6
8 эл.
3s23p6
8 эл.
4s23d104p6
18 эл.
5s24d105p6
18 эл.
6s24f145d106p6
32 эл.
7s25f146d107p6
32 эл.
Слой с n = 1 состоит всего из одной S-оболочки (l = 0). В
водороде на этой оболочке находится лишь один электрон. В
атоме гелия к нему присоединяется второй в том же состоянии
1s. Эти два элемента образуют первый период системы.
Присоединим к атому третий электрон, увеличив на единицу
заряд ядра. Третий электрон не может находиться в слое К, так
как он уже заполнен. Он начинает заполнять S-оболочку слоя L
(n = 2), попадая в состояние 2s. Это щелочной металл 3Li. Четвертый электрон тоже определяет состояние 2s – имеет место 4Be.
Начиная с 5В заполняется 2p-оболочка. Последовательно располагаются элементы 6С, 7N, 8O, 9F. Построение оболочки 2p заканчивается газом 10Ne. Так образуется второй период системы.
Затем начиная с 11Na идет заполнение слоя М (n = 3). Однако после заполнения s и p-оболочек оно заканчивается благородным газом 18Ar. Это соответствует третьему (тоже короткому) периоду. С данного момента появляются нарушения порядка
заполнения слоев и оболочек. Сначала заполняется 4s-оболочка,
а после этого – пропущенная 3d-оболочка.
Каждый период начинается щелочным металлом, у которого только один наружный электрон. Поэтому эти металлы обладают наименьшими ионизационными потенциалами, легко отдавая внешние электроны, чем объясняется большая активность
щелочных металлов.
250
Каждый период заканчивается атомом благородных газов
Не, Nе, Аr, Kr, Xe, Rn. У этих атомов наружная оболочка заполнена, чем объясняется их химическая пассивность. А вот элементы соседней седьмой группы, имея по семь электронов, химически очень активны, так как внешняя оболочка может быть
легко дополнена путем присоединения недостающего восьмого.
Каждый полупериод заканчивается переходными элементами –триадами (железо, кобальт, никель и др.).
14 элементов от церия до лютеция называются редкими
землями или лантанидами. В них идет заполнение внутренней
4f-оболочки. При этом наружные остаются без изменения, и все
эти элементы обладают очень близкими свойствами.
Подобно лантанидам ведут себя актиниды от тория до лоуренсия. В них также сначала заполняется внутренняя
5f-оболочка.
7.4. Лазеры
7.4.1. Спонтанное и индуцированное излучение света
В 1916 году Эйнштейн дал новый вывод формулы Планка,
основанный на представлениях Бора о механизме излучения.
Здесь было введено понятие индуцированного излучения.
Пусть ε1, ε2, … – значения энергии, которые может принимать атом. Он может самопроизвольно перейти из высшего
энергетического состояния ε2 в низшее ε1 с испусканием света.
Такое излучение называют спонтанным. Если атом находится
в световом поле, то последнее может вызывать переходы как с
высшего уровня на низший, так и обратно. Первые переходы
сопровождаются излучением света, которое называют индуцированным (вынужденным). Обратные переходы сопровождаются поглощением света атомом.
Спонтанное излучение некогерентно. В данном случае
имеют место произвольные переходы с различных энергетических уровней и, следовательно, разные частоты световых волн.
Можно создать когерентные источники света, в которых атомы излучают волны согласованно с одинаковыми частотами,
251
фазами, поляризацией и направлением распространения. Такие
источники называются оптическими квантовыми генераторами, или лазерами.
Лазер работает на принципе индуцированного излучения.
Допустим, что на атом падает фотон с энергией ħω = ε2 – ε1. Если атом находится на нижнем уровне ε1, то падающий фотон
может поглотиться. Если же атом на верхнем уровне ε2, то может произойти вынужденный переход на нижний уровень с испусканием второго фотона. Индуцированно излученный фотон
характеризуется не только той же частотой, но и теми же фазой,
поляризацией и направлением распространения. Вместо одного
падающего фотона получается два тождественных. Это явление
используется в лазерах.
Рассмотрим среду из атомов. В обычных условиях, когда
среда находится в термодинамическом равновесии, n2 < n1, т.е.
на каждом простом верхнем уровне меньше атомов, чем на
нижнем.
Это следует из формулы Больцмана:
−
ε
n = n0 ⋅ e k ⋅T .
Искусственно полученная неравновесная среда, у которой
выполняется соотношение n2 < n1, называется активной или
средой с инверсной заселенностью по отношению к энергетическим уровням ε1 и ε2. Таким образом, для усиления световой
волны необходимо, чтобы среда, в которой волна распространяется, была активной. Пусть эта волна плоская и монохроматическая. Тогда она вызывает колебания в атомах среды. Последние
переизлучают шаровые волны, когерентные друг другу и падающей волне. Эти шаровые волны интерферируют. Если среда
прозрачна, то амплитуда должна оставаться постоянной. В поглощающих средах энергия частично переходит в тепло и амплитуда уменьшается. Но в активной среде атомы находятся в
возбужденных состояниях. За счет энергии возбуждения вторичные световые волны усиливаются. Однако их фазы и поляризация остаются прежними, как и у результирующей волны,
возникающей за счет интерференции. Растет только ее амплитуда.
252
Идея использования индуцированного излучения для генерации когерентных световых волн была впервые высказана в
1957 году советскими учеными А.М. Прохоровым и Н.Г. Басовым. Чтобы активное вещество превратить в генератор световых
колебаний, надо осуществить обратную связь. Необходимо, чтобы часть излученного света все время находилась в зоне активного вещества и вызывала вынужденное излучение все новых и новых атомов. Для этого его помещают между двух параллельных
зеркал. Тогда луч света, претерпевая многократные отражения от
зеркал, будет много раз проходить через активное вещество, усиливаясь при этом в результате вынужденных переходов атомов с
высшего уровня на низший. Получившийся резонатор не только
усиливает свет, но также коллимирует его, так как лучи, идущие
наклонно, в конце концов рассеются или выйдут из пространства
между зеркал. Усилятся же только те, которые параллельны оси,
соединяющей зеркала.
Если расстояние между зеркалами L, то 2L = m⋅λ. Такие
волны при отражении от зеркал усиливаются, так как к данному
зеркалу приходят всегда в одной фазе, и, следовательно, все остальные волны будут постепенно гаситься (исчезать). Это и вызывает монохроматизацию, т.е. усиливаются волны только одной длины.
В реальном лазере часть света должна быть выпущена наружу для ее использования. С этой целью одно из зеркал делается полупрозрачным.
7.4.2. Рубиновый лазер
Первый лазер был создан в 1961 году Т. Мейманом (США)
на рубине. Рубин – твердый кристалл, основой которого является корунд (Al2O3), в котором небольшая часть атомов алюминия
(около 0,05%) замещена ионами хрома, играющими основную
роль в генераторе. Корунд – диэлектрик с широкой запрещенной
зоной между валентной и зоной проводимости. Энергетические
уровни хрома лежат в запрещенной зоне.
Основным (невозбужденным) уровнем является уровень ε1
(рис. 7.5). Выше лежат близкие возбужденные уровни ε2а и ε2б.
Это узкие уровни. При переходе с них на основной излучается
красный свет с длинами 694,3 и 692,9 нм. Более интенсивна пер253
вая линия, поэтому только она и усиливается при работе лазера.
Выше уровней ε2а и ε2б расположены две сравнительно широкие
полосы энергий ε3 и ε4. Переходы между уровнями этих полос и
основным уровнем ε1 сопровождаются излучением зеленого и
голубого света соответственно.
Инверсная заселенность
ε4
создается между уровнями
ε1 и ε2. Для этого используется оптическая накачка, т.е.
ε 3 освещение кристалла мощной вспышкой света. Рубин
ε 2б имеет форму цилиндра с
диаметром 0,1-2,0 см и длиε
ной 2-20 см. Торцы такого
h
ν
2а
hν
стержня полируются и моλ = 694,3 нм
гут служить при серебрении
hν
ε1
зеркалами. Лампа-вспышка
представляет собой спиральную трубку, обвивающую рубиновый стержень.
Вспышка переводит атомы хрома из невозбужденного состояния в возбужденное, т.е. на уровни ε3 и ε4. Большое значение
имеет ширина этих полос. Если бы данные уровни были узкими,
то использовалась бы только незначительная часть энергии лампы. На уровнях ε3 и ε4 возбужденные атомы находятся в течение
10-8 с. За это время они переходят на один из уровней ε2. При
таком переходе атомы хрома не излучают, а расходуют энергию
на колебания кристаллической решетки. Вероятность перехода
обратно на уровень ε1 ничтожно мала по сравнению с вероятностью перехода на уровень ε2. Уровни ε2 метастабильны. Время
жизни атома на них 10-3 с, что способствует накоплению здесь
атомов. В результате на уровнях ε2 оказывается больше атомов,
чем на ε1, т.е. возникает инверсная заселенность уровней.
Так как рубин одноосный кристалл, то он может давать поляризованный свет, но для этого его геометрическая ось не
должна совпадать с его оптической осью.
Рубиновый лазер работает в импульсном режиме. Мощность его с последующим усилением может достигать значений
107 МВт.
Рис. 7.5
254
7.4.3. Гелий-неоновый лазер
Известно, что спектральные линии газов более узкие. Они
отличаются высокой оптической однородностью и малой плотностью и поэтому слабо расК
А
сеивают волны. Это дает возможность использовать между
зеркалами большие расстояния, получая остро направТ
ленные, монохроматические
P1
P2
S1
S 2 волны стабильной частоты.
Но мощности газовых лазеров
Рис. 7.6. Схема
существенно ниже рубиновых
газового лазера
(порядка нескольких КВт).
Гелий-неоновый лазер был создан в 1960 г. Джаваном
(США) с сотрудниками. Принципиальная схема его представлена на рисунке 7.6. Он состоит из газоразрядной трубки Т длиной
до 1,5 – 2,0 м и внутренним диаметром 7-10 мм. Трубка наполнена смесью гелия (около 1 мм рт.ст.) и неона (0,1 мм рт.ст.).
Концы трубки закрыты плоскопараллельными стеклянными или
кварцевыми пластинками Р1 и Р2, установленными под углом
Брюстера к оси. Это поляризует лазерное излучение. Зеркала S1
и S2 сферические, имеют высокие коэффициенты отражения и
практически не поглощают свет. Пропускаемость одного из зеркал около 2%, другого – менее 1%. Между электродами приложено напряжение 1-2 кВ. Лазер генерирует красный свет с длиной волны 632,6 нм и инфракрасное излучение, длины волн которого равны 1150,0 и 3390,0 нм. В этом случае зеркала должны
хорошо отражать инфралучи, а пластинки должны быть для них
прозрачны. Схема уровней неона приведена на рисунке 7.7.
Выше уровня ε4 у неона имеется еще 28 уровней с энергией,
меньшей ε3, но они не используются и не изображены. Возбуждение атомов неона происходит в результате столкновений их с
электронами газовой плазмы. Этот процесс приводит к инверсной заселенности уровней ε1 и ε2. Однако заселенность уровней
ε1 и ε3, а также уровней ε4 и ε3 остается неинверсной. Ей препятствует долгоживущий метастабильный уровень ε5, лежащий ниже короткоживущего уровня ε1. Заселенность уровня ε5 велика,
за счет чего происходит пополнение быстро опустошающегося
уровня ε1, и инверсии между ε1 и ε2 не возникает.
255
ε 3′
ε 2′
Ne
He
ε3
ε4
ε2
ε1
ε5
ε 0′
ε0
Рис. 7.7. Энергетические уровни гелия и неона
Добавление гелия меняет дело. Из всех уровней гелия, помимо нормального ε0, для работы лазера имеют значение метастабильные уровни ε2 и ε3 с энергиями 19,8 и 20,6 эВ. Спонтанный переход с этих уровней на основной ε0 «запрещен», поэтому
время жизни на уровнях ε2 и ε3 велико. В результате электронных ударов на этих метастабильных уровнях накапливается
много атомов гелия. Но уровни гелия ε2 и ε3 почти совпадают с
уровнями ε2 и ε3 неона. Благодаря этому при столкновениях возбужденных атомов гелия с невозбужденными атомами неона
интенсивно происходят безызлучательные переходы атомов гелия в невозбужденное состояние с резонансной передачей энергии атомам неона. На рисунке 7.7 они изображены горизонтальными пунктирными стрелками. В итоге концентрации атомов
неона на уровнях ε2 и ε3 сильно возрастают, и возникает инверсная заселенность по отношению к уровням ε1 и ε4, а разность заселенностей уровней ε2 и ε1 увеличивается в несколько раз.
Применение лазеров. Применение лазеров определяется когерентностью и монохроматичностью генерируемого света, а
также большой мощностью и узостью светового пучка. Угловая
ширина пучка столь мала, что, используя телескопическую фокусировку, можно получить на лунной поверхности пятно диаметром 3 км и точно определить расстояние до Луны. Фокусировка с помощью линз создает плотность потока энергии, в ты256
сячи раз превышающую мощность фокусированного солнечного
луча. Эти пучки света используют для механической обработки
и сварки, в медицине, для военных целей и пр.
7.5. Ядерная физика
7.5.1. Строение ядер и их свойства
В 1932 г. было установлено (после открытия нейтрона), что
атомные ядра состоят из протонов и нейтронов. Свободный протон – стабильная частица. Масса протона составляет 1836 масс
электрона. Масса нейтрона больше массы протона на 2,5 электронных массы. В свободном состоянии нейтрон распадается:
n → P+e- +ν .
Внутри ядра протон также нестабилен:
P → n +e+ +ν .
Таким образом, имеет место взаимное превращение частиц,
составляющих ядро.
Количество протонов Z, входящих в состав ядра, определяет его заряд, который равен +Ze. Число Z называется атомным
номером или зарядовым числом ядра. Сумма протонов и нейтронов А = Z+N определяет массовое число ядра. Атомы с
одинаковым Z, но разными N называют изотопами; с одинаковыми А, но различными Z – изобарами; с одинаковыми N, но
различными Z – изотонами.
Радиус ядра определяется формулой:
r = 1,3 x 10-13 A1/3 см = 1,3 А1/3 ферми.
Атомные ядра делятся на стабильные и радиоактивные.
7.5.2. Энергия связи ядра
Энергия связи ядра εсв – это величина, измеряемая минимальной работой, которую надо произвести, чтобы полностью
расщепить ядро на составляющие его протоны и нейтроны.
Если масса выражена в энергетических единицах, то энергия связи ядра:
εсв (Z, A) = ZMp + NMn – M(Z, A).
С учетом формулы А. Эйнштейна энергии связи получим:
εсв = С2((Zmp + (A – Z) mn) – mя.
257
Поскольку масса протона близка к массе атома водорода, а
масса ядра к массе атома, то:
εсв = C2 ((Zmн + (A – Z) mn) – ma.
Дефектом массы ядра называется разность между массой
рассматриваемого ядра, выраженной в атомных единицах массы
(1 а.е.м. = 10-27 кг) и соответствующим массовым числом А:
∆(Z, A) = Mя (Z, A) – A.
Ядерное взаимодействие между нуклонами получило название сильного взаимодействия. Его описывают с помощью
поля ядерных сил, отличительными особенностями которых являются:
‫ ـ‬ядерные силы короткодействующие. При расстояниях
2⋅10-13 см их действие уже не обнаруживается, но на расстояниях, меньших 10-13 см притяжение нуклонов сменяется отталкиванием;
‫ ـ‬сильное взаимодействие не зависит от знака заряда нуклонов. Это свойство называется зарядовой независимостью ядерных сил;
‫ ـ‬ядерные силы определяются взаимной ориентацией спинов взаимодействующих нуклонов. Так, нейтрон и протон образуют дейтон только тогда, когда их спины параллельны;
‫ ـ‬ядерные силы обладают свойством насыщения: один нуклон может взаимодействовать только с определенным и конечным количеством других нуклонов.
По современным представлениям сильное взаимодействие
обусловлено тем, что нуклоны виртуально обмениваются мезонами, т.е. меньшими по массе и коротко живущими частицами,
аналогично тому, как электроны обмениваются при взаимодействии фотонами.
7.5.3. Радиоактивность
Естественная радиоактивность была открыта в 1896 г.
А. Беккерелем, искусственная (1934 г.) – Ирен и Фредериком
Жолио-Кюри.
Радиоактивностью называют самопроизвольное превращение неустойчивых изотопов одного химического элемента в
изотоп другого, сопровождающееся испусканием элементарных
частиц или ядер. Различают α-распад, β-распад, спонтанное
деление ядра, протонный распад, k-захват и др.
258
Закон радиоактивного распада. Пусть N – число радиоактивных ядер в момент времени τ, a N +dN – в более поздний момент τ + dτ. Величина dN отрицательна, поскольку ядра распадаются и число их убывает. Тогда число распавшихся ядер будет равно:
dN = −λ ⋅ N ⋅ dτ .
Величина λ называется постоянной распада, поэтому
ln N = −λ ⋅ τ + C
или
N = N 0 ⋅ e − λ ⋅τ ,
где N0 – начальное количество ядер;
N – количество нераспавшихся ядер.
Соответственно, N0 – N = (1-e –λτ) – число распавшихся.
Выразим постоянную распада через среднее время жизни
ядра. Так как за время между τ и τ + dτ распадается dN ядер, то
можно сказать, что каждое живет в течение времени τ, считая от
начала отсчета. Суммарное время жизни dN ядер составляет
τ ⋅ dN , а всех N0 определяется интегралом:
0
∞
∞
N0
0
0
− ∫ τ ⋅ dN = λ ⋅ ∫ τ ⋅ N ⋅ dτ = λ ⋅ N 0 ⋅ ∫ τ ⋅ e − λ ⋅τ ⋅ dτ =
N0
λ
.
Итак, среднее время жизни одного ядра будет:
(N /λ)
τ = 0
или τ = 1/λ.
N0
Время Т, за которое число радиоактивных ядер убывает в
два раза (N = N0/2 = N0e-T/τ), называется периодом, или временем
полураспада:
T = τ ⋅ ln 2 = 0,693 ⋅τ .
7.5.4. Реакции деления тяжелых ядер
Виды радиоактивного распада. Альфа-распад есть самопроизвольный процесс испускания ядрами α-частиц, в результате которого массовое число ядра А уменьшается на четыре,
а зарядовое число Z уменьшается на два:
A
A− 4
4
z x → z − 2 x + 2 He.
259
Для α-распада необходимо, чтобы энергия связи исходного
ядра была меньше суммы энергии связи образовавшегося ядра и
α-частицы:
Q = εсв (A – 4, Z – 2) + εсв(α) – εсв(Z, А).
При этом Q должно быть больше нуля. Примером служит
реакция:
238
92 U
→
234
90Th
+ 24 He + Q.
Энергия вылетевшей частицы составляет несколько МэВ.
Пролетая через вещество, частица постепенно теряет энергию на
ионизацию молекул вещества. В среднем α-частица образует
105 пар ионов. В воздухе пробег составляет несколько см, в
твердом веществе – несколько десятков микрон. Покидая ядро,
α-частица преодолевает потенциальный барьер, высота которого
больше, чем полная энергия частицы (6 МэВ).
β-распадом называется самопроизвольный процесс, в котором нестабильное ядро Az x превращается в ядро-изобар z +A1 x,
или z −A1 x. Существуют электронный, позитронный распады и
электронный захват:
A
A
0
234
234
0
Z X → Z +1U + −1 e + ν ;
90Th → 91 Pa + −1 e + ν
A
ZX
A
ZX
→ Z −A1U + +1 e0 + ν ;
7N
13
+ +1 e0 → Z −A1U + ν ;
19 K
→ 136 C + +1 e0 + ν
40
40
Ar + ν .
+ −1 e0 → 18
Гамма-излучением называют электромагнитное излучение,
возникающее при переходе атомных ядер из возбужденных на
более низкие энергетические состояния. Число нуклонов при
этом не изменяется, но испускаются γ-кванты, энергия которых
лежит в пределах от 10 кэВ до 5 МэВ.
Реакция деления тяжелых ядер. В любых ядерных реакциях выполняются законы сохранения энергии, импульса, момента
импульса, электрического заряда и специфических ядерных показателей, таких как барионный и лептонный заряды и т.д.
В 1938 г. немецкие ученые О. Ган и Ф. Штрассман обнаружили, что при облучении урана нейтронами образуются барий и
238
лантан. Спонтанное деление ядер U было экспериментально
открыто в 1940 г. Г.Н. Флеровым и К.А. Петржаком.
Рассмотрим ядро 235U, захватившее нейтрон, в результате
чего образовалось составное ядро 236U. Оно в основном состоя260
нии практически стабильно и может совершать внутренние колебания около своей равновесной формы, не подвергаясь делению. Однако в результате захвата нейтрона получается ядро 236U
в сильно возбужденном состоянии и амплитуда колебаний становится такой, что ядро разлетается на две части. При разлете
превалируют электрические силы. В итоге части получают энергию около 200 МэВ. Для примера рассмотрим реакцию:
235
236
140
94
92 U + n → 92 U → 55 Cs + 37 Rb + 2n.
Кроме урана, при облучении нейтронами делятся также торий (90Тh) и протактиний (91Ра). Нейтроны сверхвысоких энергий (несколько сотен МэВ) делят и более легкие ядра. Ядра 235U
и 239Pu расщепляются в основном медленными или тепловыми
нейтронами с энергией ~0,025 эВ.
239
Возникновение при делении 235
и 232
90Th несколь92U , 94 Pu
ких нейтронов делает возможным осуществление цепной ядерной реакции. Действительно, испущенные при делении одного
ядра Z нейтронов могут вызвать деление Z ядер, в результате
будет испущено Z2 новых нейтронов, которые вызовут деление
Z2 ядер и т.д. При этом количество нейтронов нарастает в геометрической прогрессии. Нейтроны, испускаемые при делении
235
U имеют энергию около 2 МэВ, что соответствует скорости
~2⋅109 см/сек. Поэтому время, протекающее между рождением
нейтрона и захватом его новым ядром, очень мало, так что процесс размножения нейтронов протекает весьма быстро.
Цепная реакция деления – основной процесс, который
идет в ядерных реакторах. При этом объем, занимаемый делящимся веществом, называют их активной зоной. Эта реакция
осуществляется на обогащенном (до 2-5%) уране 235
Важ92U .
нейшей величиной, характеризующей активную зону реактора,
является коэффициент размножения нейтронов – отношение
общего числа нейтронов в какой-либо момент деления к общему
числу нейтронов в предыдущем. При К = 1 реакция стационарна, а состояние реактора при этом называют критическим.
При К > 1 число нейтронов быстро растет, и возникает неуправляемая ядерная реакция. При К < 1 число нейтронов падает и деление постепенно прекращается. Вероятность того, что
261
нейтрон не уйдет из активной зоны, зависит от ее состава, размеров и формы, а также от окружающей среды. Если среда отражает нейтроны обратно, то она увеличивает эту вероятность.
Такая среда обычно состоит из легких атомов, слабо поглощающих нейтроны (графит, бериллий).
Для уменьшения утечки нейтронов активной зоне придают
сферическую форму. Если масса активной зоны превышает критическую (для 235
– 9 кг), то цепная реакция приобретает ха92U
рактер взрыва, на чем основано действие атомной бомбы.
На рисунке 7.8 представлен разрез части активной зоны гетерогенного ядерного реактора. Здесь 1 – ТВЭЛы (тепловыделяющие элементы), 2 – замедлитель, 3 – теплоноситель, 4 – отражатель, 5 – регулирующие стержни.
Регулирование цепной реакции в ядерном реакторе осуществляется дистанционно с пульта управления путем передвижения в активной зоне вертикальных регулирующих стержней.
Такие стержни изготовлены из кадмия или карбида бора, сильно
поглощающих нейтроны. При
увеличении глубины погружения регулирующих стержней в активную зону число
поглощаемых нейтронов увеличивается, реакция ослабевает и может затухнуть. Таким образом, можно менять
мощность реактора. Отвод
тепла осуществляется теплоносителем, в качестве которого используют воду, пар, азот,
а при большом энерговыдеРис. 7.8. Часть активной зоны
лении – жидкий натрий.
гетерогенного ядерного реактора
Важная роль в настоящее
время отводится реакторамразмножителям, роль которых впоследствии будет определяющей. В них происходит не только выработка энергии, но и расширенное воспроизводство делящегося материала. Это могут
быть реакции превращения 238U в 239Pu или 232Th в 233U:
262
7.5.5. Синтез легких ядер. Термоядерные реакции
Энергия связи ядра, приходящаяся на один нуклон, с возрастанием атомного номера сначала увеличивается, достигая
максимума вблизи ядра железа, а затем убывает. Поэтому слияние легких ядер и деление тяжелых приводят к более прочной
связи между нуклонами. При этих реакциях должна освобождаться огромная энергия. Особый интерес представляют реакции:
2
2
3
1 H + 1 H → 2 He + n + 3,27 МэВ
2
1
H + 12 H → 31T + P + 4,03 МэВ
H + 31T → 24 He + n + 17,59 МэВ.
Существуют и другие экзотермические реакции:
2
1
3
2
6
3
He + 1 H → 2 He + P + 18, 3 МэВ
2
4
Li + P → 2 He + 2 He + 4 МэВ ,
4
3
которые могут быть использованы для решения термоядерной проблемы.
Для осуществления этих реакций нужно преодолеть силу
отталкивания между положительно заряженными ядрами. Поэтому ядрам должна быть сообщена кинетическая энергия, достаточная для их сближения до 10-11см. Только после этого начнется процесс слияния ядер.
В указанных реакциях используются в основном изотопы
водорода. Так, дейтерий – стабильный изотоп 12 H . В естественной воде содержится 0,015% ядер дейтерия, или в одном грамме
воды их около 5⋅1017. Так как на один нуклон в реакции
( 12 Н + 12 Н ) освобождается около 0,9 МэВ, то в 1 г воды может
выделиться 1,5⋅105 Дж, следовательно, 250 г воды в энергетическом отношении эквивалентны 1 кг каменного угля.
Тритий 13 Н радиоактивный изотоп с периодом полураспада
12,3 года, поэтому он не накапливается в естественных условиях. Его получают искусственно:
6
3
4
3 Li + n → 1 H + 2 He + 4,8МэВ.
263
Термоядерный синтез пока возможен только при взрыве водородной бомбы. В то же время разрабатываются и пути получения управляемой термоядерной реакции. Для этого необходима плазма из чистого дейтерия или равнокомпонентной смеси
дейтерия и трития, нагретая в результате какого-либо нетермоядерного процесса до сотен миллионов градусов. Если температура плазмы высока, то столкновения ионов будут заканчиваться реакциями с выделением термоядерной энергии. Для нагревания плазмы используются высокочастотные электромагнитные поля, лазеры, электронные пучки и т.д.
Основная же трудность состоит в удержании высокотемпературной и достаточно плотной плазмы в рабочем реакторе. Поэтому используют сверхсильные магнитные поля, получаемые в
специальном устройстве, называемом в России «Токамак». Это
тороидальная камера с магнитными катушками, разработанная
Л.А. Арцимовичем, М.А. Леонтовичем, Б.Б. Кадомцевым. Промышленное получение энергии с помощью управляемой термоядерной реакции ожидается к 2030 году.
Синтез ядер водорода в ядра гелия является источником
энергии Солнца и звезд, температура в недрах которых достигает 107-108оС. Этот синтез осуществляется двумя путями. При
более низких температурах имеет место протонно-протонный
(рр) цикл:
1
Н + 1Н → 2 Не → 12 Н + е + + ν
2
Н + 1Н → 3 Не + γ
(3 11Н → 2 11Н убывает).
3
Не + 3 Не + 4 Не + 1Н + 1Н
При более высоких температурах наблюдается углеродноазотный цикл:
12
1
13
6С + 1Н → 7 N + γ
13
13
+
7 N → 6C + e +
13
1
14
6С + 1Н → 7 N +
ν
14
7N
+
1
1H
→
15
15
+
8O → 7 N + e +
15
1
16
7 N + 1H → 8O
ν
15
8O
γ
+γ
( 4 11H → He )
→ 126 C + 24 He.
264
Итогом углеродного цикла является исчезновение четырех
протонов и образование одной α-частицы. Ядра углерода здесь
служат только катализаторами.
В этих циклах освобождается энергия 26-27 МэВ. Часть
энергии уносится нейтрино-нейтральными частицами ничтожной массы (во втором цикле 6,8%). Для Солнца преобладает водородный, а для более ярких звезд – углеродный цикл.
По мере «выгорания» водорода состояние звезды очень
медленно, но неуклонно меняется. После выгорания водорода в
центральной части звезды образуется гелиевое ядро и окружающая его водородная оболочка, где продолжаются ядерные
реакции. Оболочка сильно раздувается. Образуется красный
сверхгигант. Постепенно масса гелиевого ядра возрастает, а гравитационное сжатие усиливается, поднимается температура,
идет процесс «выгорания» гелия. Далее возможно образование
белых карликов, нейтронных звезд и, в итоге, «черной дыры».
Эволюция звезд, подобных Солнцу, составляет около 1010 лет.
7.6. Элементарные частицы
7.6.1. Основные свойства
Первоначально понятие элементарные частицы предполагало, что есть мельчайшие, далее неделимые частицы, из которых состоит вся материя. До начала 20 века такими частицами
считались атомы (слово «атом» в переводе с греческого означает «неделимый»). Исследования строения атома и атомного ядра
показали, что в состав атома входят электроны, протоны и нейтроны. Протоны и нейтроны, вступая в сильные взаимодействия
между собой, образуют ядро, а обращающиеся вокруг ядра
электроны – электронную оболочку. Вполне естественно назвать эти частицы, а также фотон, позитрон и нейтрино – элементарными.
Элементарные частицы первоначально представлялись как
нечто нерушимое, неизменное, но и в настоящее время нет четкого критерия элементарности, благодаря которому можно без
колебаний отнести ту или иную частицу к классу элементарных.
265
Общее, что роднит все элементарные частицы, состоит в
том, что все они являются специфическими формами материи,
не ассоциированной в атомы и атомные ядра.
Характерной особенностью элементарных частиц является
их способность к взаимным превращениям. Всего вместе с античастицами открыто более 350 элементарных частиц, и число
их продолжает расти. Большинство элементарных частиц нестабильно – они спонтанно превращаются в другие.
Для характеристики физических свойств элементарных частиц используются следующие величины.
Собственная масса m0 – масса частицы, измеренная в
той системе, в которой частица неподвижна. Она определяет
инерционные свойства, и взаимодействие с гравитационным
полем.
Спин – собственный момент количества движения частицы, измеряемый в единицах . Частицы, обладающие целым
спином и подчиняющиеся статистике Бозе-Эйнштейна, называются бозонами, а частицы, имеющие полуцелый спин, – фермионами, которые подчиняются статистике Ферми-Дирака.
Электрический заряд выражает свойство частицы создавать расходящееся электрическое поле и определяет ее взаимодействие с электромагнитным полем. Несмотря на различие
в массах частиц у большинства из них величина заряда равна
либо величине элементарного заряда, либо нулю.
Магнитный момент частицы характеризует ее магнитные свойства и определяет взаимодействие частицы с магнитным полем.
Время жизни частицы – средняя продолжительность существования нестабильных элементарных частиц. Обычно
различают время жизни в системе координат, связанной с частицей (собственное время жизни), и время жизни в неподвижной (лабораторной) системе координат. Согласно теории относительности они связаны соотношением:
1
(7.14)
τ л = τс ⋅
.
2
2
1−υ /с
266
Для выражения свойств и поведения элементарных частиц
сильного и слабого взаимодействия используются и другие характеристики: нуклонный заряд (барионное число), лептонный
заряд, странность и т.д.
По свойствам элементарных частиц их можно классифицировать на определенные классы и группы. К особой группе относятся γ-фотоны (спин s = 1, заряд e = 0, собственная масса
m0 = 0 ).
В зависимости от величины собственной массы все частицы
можно подразделить на три основные группы:
лептоны – легкие частицы с полуцелым спином, собственная масса которых меньше массы π-мезона, для которого
m0 = 273, 2 me ;
мезоны – частицы с целым (нулевым) спином, которые занимают промежуточное положение между лептонами и барионами ( 264, 2 me < m0 < 1074 me );
барионы – тяжелые частицы с полуцелым спином
( m0 ≥ 1836, 2 me ).
Рассматривая значения спина частиц, их можно разделить
на фермионы ( s = 1/ 2 ) и бозоны ( s = 1 или s = 0 ).
Таблица 3 позволяет более подробно рассмотреть классификацию частиц.
По знаку электрического заряда элементарные частицы могут быть положительно заряженными, нейтральными и отрицательно заряженными.
В зависимости от времени жизни частицы подразделяются
на стабильные (не распадаются спонтанно на другие частицы) и
−8
нестабильные ( τ < 10 с ).
Адронами называются частицы, участвующие в сильных
взаимодействиях, а также в электромагнитном и слабом. Их
насчитывается 400. Они бывают стабильные, квазистабильные и
резонансные. Стабильные адроны подразделяются на мезоны и
барионы. К мезонам относят π0 и π±-мезоны, К±-мезоны. А также
тяжелые D±, D0, F±-мезоны, масса которых больше массы протона.
267
Таблица 3
Классификация элементарных частиц
К адронам относятся и нуклоны (протоны и нейтроны), и
гипероны. Самые легкие барионы – протон и нейтрон. Все остальные барионные резонансы не стабильны. Гипероны представлены лямбда (Λ°), сигма (Σ-, Σ0, Σ+), кси (Ξ-, Ξ0), омега
(Ω-)-гиперонами. У них полуцелый спин 1/2 за исключением
Ω- (3/2). Время жизни от 10-10 до 10-19 с. За это время они распадаются на нуклоны и легкие частицы.
268
7.6.2. Античастицы
При рассмотрении таблицы элементарных частиц можно
заметить, что встречаются пары частиц, очень сходных между
собою по одним признакам и противоположных – по другим.
При определенных условиях пара таких частиц может исчезать
или рождаться из каких-либо других частиц. Поэтому оказалось
необходимым разделить известные элементарные частицы на
две большие группы: частицы и античастицы.
Деление на частицы и античастицы в некоторой степени
условно. Связано это с тем, что исторически первыми были обнаружены электроны, протоны, нейтроны, а уже позднее противоположные им частицы: позитроны, антипротоны, антинейтроны и т.д.
Первая античастица – позитрон (антиэлектрон) была обнаружена в 1935 г., его заряд равен +е. В вакууме позитрон столь
же стабилен, что и электрон. Однако при встрече электрона с
позитроном эти частицы аннигилируют, т.е. превращаются в
два, три или несколько γ-квантов (но не в один, так как в этом
случае нарушился бы закон сохранения импульса).
+
−
e + e → 2⋅γ.
В 1955 г. были открыты антипротоны. Антипротон р отличается от протона р знаком электрического заряда и собственного магнитного момента. Антипротон может аннигилировать не
только с протоном, но и с нейтроном.
В 1956 г. были обнаружены антинейтроны. Антинейтрон n
отличается от нейтрона n знаком собственного магнитного момента. Он аннигилирует при встрече с нуклоном (нейтроном и
протоном). Можно было бы и дальше перечислять античастицы.
Вместе с тем существуют частицы, тождественные со своими античастицами, т.е. они не имеют античастиц. Такие частицы
называют абсолютно нейтральными, например, фотон, π0-мезон
и η-мезон.
269
7.6.3. Виды взаимодействий
Известно, что все процессы и явления в природе осуществляются в результате четырех взаимодействий: сильных, электромагнитных, слабых и гравитационных.
Сильное взаимодействие вызывают быстропротекающие
процессы. Оно обеспечивает наиболее сильную связь между
частицами. Например, между нуклонами в ядрах. Им объясняется исключительная прочность атомных ядер. Радиус действия
10-13 см, время жизни 10-24 с.
Электромагнитное взаимодействие сводится к взаимодействию электрических зарядов и магнитных моментов частиц. Эти процессы менее быстрые. Оно отвечает за устойчивость электронов в атомах, ионов в кристаллах, атомов в молекулах. Характеризуется бесконечным радиусом действия.
Слабое взаимодействие вызывает очень медленно протекающие процессы с элементарными частицами. Например,
взаимодействие нейтрино низких энергий с веществом. С ним
связан относительно медленный распад квазистабильных частиц, время жизни которых 10-8-10-13 с.
Гравитационное взаимодействие доминирует в случае
больших макромасс. Но в мире элементарных частиц это взаимодействие ничтожно, и поэтому не учитывается. Радиус действия бесконечен.
За последние годы в физике элементарных частиц произошли революционные открытия, которые приближают ученых
к созданию теории «Великого объединения» – теории, которая
объединит 4 типа взаимодействия (сильное, электромагнитное,
слабое и гравитационное) в одно взаимодействие с единой природой всех сил. В настоящее время уже создана теория, в которой электромагнитное и слабое взаимодействия объединены в
единое электрослабое взаимодействие. Создание теории «Великого объединения» является главной проблемой современной
физики.
Из космоса на Землю непрерывно падает поток протонов
высокой энергии (от 10 до 1010 ГэВ). Эти первичные лучи образуют в атмосфере вторичное излучение, в котором есть все известные элементарные частицы. Частицы первичных космиче270
ских лучей претерпевают неупругие столкновения с ядрами
атомов в верхних слоях атмосферы, в результате возникает вторичное излучение. В составе последних имеется две компоненты. Одна сильно поглощается свинцом и называется мягкой,
вторая проникает через значительную толщину свинца и называется жесткой.
Мягкая компонента состоит из каскадов, или ливней электронно-позитронных пар за счет взаимодействия γ-квантов с
атомными ядрами. Жесткая компонента определяется в основном мюонами.
7.6.4. Законы сохранения
Уже говорилось выше, что при ядерных реакциях выполняются законы сохранения энергии, импульса и т.д. Справедливы они и при взаимном превращении элементарных частиц.
Законы сохранения энергии и импульса позволяют определить энергетический порог реакции, найти скорости образующихся частиц. Сохраняются электрический, лептонный и барионный заряды. Условно принято, что лептонный заряд Le равен
+1 (для νе и е-), Lµ = +1 (для µ- и νµ), Lτ = +1 (для τ- и ντ), и -1 для
всех антилептонов ( е + , ν е , µ + , ν µ , τ + , ν τ ). Все остальные частицы имеют лептонный заряд, равный нулю.
Барионный заряд равен +1 для всех барионов и -1 – для их
античастиц. Все заряды аддитивны. Это значит, что для сложной системы заряд каждого вида равен сумме зарядов того же
вида всех входящих в нее частиц.
Закон сохранения лептонного заряда требует, чтобы при
электронном β-распаде вместе с электроном рождалось и анти−
нейтрино ( n → p + e + ν e ), а при позитронном – нейтрино:
р → n + e+ + νe.
Из закона сохранения барионного заряда следует, что антибарион может рождаться только в паре с барионом (р + р →
→ р + p + р + р ). При столкновении двух протонов могут возникнуть и два антипротона, но тогда появится и два новых протона, т.е. шесть частиц.
271
7.6.5. Систематика элементарных частиц. Кварки
В 1964 г. Гелл-Манн и независимо от него Дж. Цвейг выдвинули гипотезу, подтвержденную дальнейшими исследованиями, что все элементарные частицы, участвующие в сильном
взаимодействии (их относят к классу адронов), построены из
трех более фундаментальных частиц, которые по предположению Гелл-Манна были названы кварками (Цвейг их назвал тузами). Три сорта кварков были обозначены буквами u (от англ.
up – вверх), d (от англ. down – вниз), s (от англ. strange – странный). Предполагается, что кварки имеют дробный электрический заряд, равный е/3, т.е. меньше заряда е, который раньше
считался элементарным (минимальным). Позднее были установлены еще три кварка: очарованный с, красивый, или прелестный b и истинный t кварки. Этим 6 кваркам соответствует
6 антикварков.
Все они имеют спин 1/2 и барионный заряд 1/3. Кварки u, c,
t называют верхними. Они имеют заряд +2/3, а нижние d, s, b
-1/3.
Протон состоит из двух u-кварков и одного d-кварка (p →
→ uud) Нейтрон – из одного u-кварка и двух d-кварков (n → udd).
Иx античастицы построены из антикварков: р → uud , n → udd .
Мезоны содержат две частицы: кварк и антикварк, поэтому
их барионное число равно нулю. Из трех самых легких кварков
и их антикварков можно построить девять комбинаций:
uu , ud , us
du , dd , ds
su , sd , ss .
Наиболее легкие заряженные мезоны: π + = ud ; π − = du .
Нейтральный мезон π0 представляет собой суперпозицию
состояний uu и dd . Эти состояния равновероятны.
Более тяжелые К-мезоны содержат кварк s и антикварк s :
K + = us ; K 0 = ds ; K − = su .
272
Спин барионов полуцелый, т.е. они должны быть построены из нечетного числа частиц. Пусть это кварки u, d, s. Когда
спины двух кварков параллельны, а третьего нет, то образуются
барионы:
Р(uud), n(udd), Λ0 =(uds)…,
а если все три параллельны, то, к примеру: ddd, udd, uud, uuu.
Триумфом кварковой модели является открытие «очарованных» частиц. Первая была открыта в 1974 г. двумя группами
ученых, поэтому обнаруженный мезон получил двойное название I/ψ . Особенность этой частицы – в ее относительной долговечности. Этот факт указывает на запрет по какому-то новому
квантовому числу, которое получило название очарования, или
шарма с. Ему соответствует новый кварк «с». Очарование определяется как разность между числом «с» и « с ».
Оказалось, что I/ψ-мезон построен из кварка «с» и антикварка « с » ( I / ψ = cc ). Его очарование равно нулю. По своей
структуре квантовая система cc , называемая чармонием, напоминает атом водорода.
Позднее были открыты и очарованные барионы.
В 1977 г. был открыт новый мезон: ипсилон-частица. Его
свойства не укладывались в схему четырехкварковой модели и
пришлось ввести пятый кварк b, который был назван прелестным или красивым. Полученный мезон оказался одним из возбужденных состояний системы bb со спином 1. Разность между числами b кварков и их антикварков называется красотой.
Учитывая все квантовые числа для адронов, его электрический
заряд можно вычислить по формуле:
q = T3 + (1/2)(B + S + C + b).
Для нуклонов S = С = b = 0, В = +1, для протона Т3 = +1/2,
для нейтрона Тз = -1/2.
Многочисленные поиски свободных кварков оказались безуспешными. Большинство ученых считают, что в свободном
состоянии кварки не существуют.
По современным представлениям сильные взаимодействия
осуществляются путем обмена между кварками безмассовыми
частицами со спином, равным 1, и нулевой массой покоя. Они
называются глюонами. Предполагают существование восьми
глюонов разного цвета и антицвета.
273
В заключение следует отметить:
1. Достоверно установлено существование структуры у адронов. На основе модели кварков предсказаны существование и
свойства большого числа частиц, позднее обнаруженных экспериментально.
2. Установлена общая природа электромагнитных и слабых
взаимодействий. Открыты переносчики слабых взаимодействий
W±, Z0-бозоны. Электрослабое взаимодействие действует на
расстояниях меньших радиуса действия слабых сил (10-16 см).
3. Открыты переносчики сильного взаимодействия кварков
– глюоны.
4. Поставлен вопрос о единой природе всех сил.
5. Обнаружена глубокая связь между физикой элементарных частиц и космологией.
274
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Курс общей физики: в 3 т. / С.Э. Фриш, А.В. Тиморева. – Л.:
Физматгиз, 1962.
2. Курс физики / К.А. Путилов. – М.: Физматгиз, 1963. – Т. 2.
3. Курс физики (механика) / М.М. Архангельский. – М.: Просвещение, 1965. – 448 с.
4. Физика: учеб. пособие для техникумов / В.Л. Прокофьев,
В.Ф. Дмитриева. – М.: Высш. шк., 1983. – 416 с.
5. Курс физики: учеб. пособие для студ. вузов / А.А. Детлаф,
Б.М. Яворский. – 4-е изд., испр. – М.: Академия, 2003. –
720 с.
6. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т.И. Трофимова. –
Изд. 9-е, перераб. и доп. – М: Академия, 2004. – 560 с.
7. Курс физики: учеб. пособие для вузов / В.Г. Хавруняк. – М.:
Высш. шк., 2007. – 400 с.
275
Учебное издание
Макарычев Сергей Владимирович
Лёвин Алексей Анатольевич
ОСНОВЫ
ФИЗИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ
Учебное пособие
Редактор С.И. Тесленко
Технический редактор Н.С. Тяпина
ЛР № 020648 от 16 декабря 1997 г.
Подписано в печать 30.12.2008 г. Формат 60х84/16. Бумага для множительных
аппаратов. Печать ризографная. Гарнитура «Times New Roman». Усл. печ. л.
17,5. Уч.-изд. л. 13,8. Тираж 300 экз. Заказ №
Издательство АГАУ
656049, г. Барнаул, пр. Красноармейский, 98,
тел. 62-84-26
276