50. Методика изучения показательной функции. Показательная функция служит математической формой выражения обширная класса процессов, происходящих в реальной действительности и имеющих общее название процессов естественного роста или убывания величин, например: численности населения, скорости распада радиоактивных веществ, изменения атмосферного давления с высотой над уровнем моря, падения температуры охлаждаемых тел, скорости размножения бактерий, скорости движения тела в сопротивляющейся среде и т.д. Изучение показательной функции в школе начинается с того, что рассматриваются процессы из жизни, приводящие к понятию показательной функции. Рассмотрим некоторые из них: 1. Рост числа бактерий в идеальных условиях происходит по такой зависимости: 𝑁 = 5𝑡 , где 𝑡 – время размножения, 𝑁 – число колоний бактерий 2. радиоактивный распад веществ : если при радиоактивном распаде количество вещества за сутки уменьшается в двое, то тогда мо истечению x суток масса будет 1 М = М0 (2)𝑥 . 3. Рост древесины происходит по закону k t A- изменение количества древесины во времени;A A0a A0- начальное количество древесины; t-время, к, а- некоторые постоянные. 4. Давление воздуха убывает с высотой по закону: P P0 a k h P- давление на высоте h, P0 - давление на уровне моря, а- некоторая постоянная. После рассмотрения примеров мы должны выйти на определение показательной функции. Задаем вопрос учащимся: «Что общего определяет эти процессы?» Таким образом, выходим на определение. Определение: Функция вида 𝑦 = 𝑎 𝑥 при a>0, a≠1 называется показательной функцией. Следующим этапом в схеме изучения любой функции является исследование ее свойств. 1 Изучение свойств будет проходить на фокус - примерах: 𝑦 = 2𝑥 и 𝑦 = (2)𝑥 . Сначала будем рассматривать функции 𝑦 = 2𝑥 План исследования функции. 1. 2. 3. 4. 5. Область определения функции; Нули функции; Четность (нечетность); Промежутки возрастания и убывания функции; Построение графика. Часть свойств изучается аналитически, часть считывается с графика, принимая без доказательств. 1. Область определения функции (аналитически) Неизвестная величина, или аргумент стоит в показателе степени, следовательно, при любом значении х мы можем всегда найти у, следовательно, D(у)= множество R чисел. 2. Нули функции (аналитически) если x=0, то у=1; случая, когда у=0 быть не может, так как не существует такого значения х, чтобы при возведении в степень было равным 0. Переведем полученный результат на графический язык: график функции у = 2х пересекает ось ординат в точке (0;1), но не пересекает ось абсцисс. Делаем вывод о том, что график функции располагается выше оси ОХ и эта ось является горизонтальной асимптотой. 3. Четность (аналитически) Проверяем, выполняются ли условия четности и нечетности для функции у = 2х . 1 F(-x)=y(-x)=(2)−𝑥 = 2𝑥 , то есть данная функция ни четная ни нечетная. 1 Проиллюстрируем это свойство на примере : x=-1 и x=1, соответственно у=2 и у = 2. Делаем вывод о том, что график функции не симметричен относительно оси ОУ. 4. Построение графика функции (по точкам). Строить график будем по выбранным значения х будем находить значения у. В качестве х возьмем точки: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Построим в системе координат точечный график, опираясь на выше исследованные свойства. Необходимо доступно объяснить, что построенные точки мы имеем право соединить плавной линией. Это устанавливается при помощи приближенного вычисления. Если аргументу х придать рациональное значение, то в принципе 2х вычислить можно. А если аргументу х придать иррациональное значение? Как, например, вычислить 2√3 ? Математики нашли выход из положения; вот как они рассуждали. Известно, что √3 = 1,7320508... Рассмотрим последовательность рациональных чисел — десятичных приближений числа √3 по ненедостатку: 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... Ясно, что 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание подобных повторов отбросим те члены последовательности, которые заканчиваются цифрой 0. Тогда получим возрастающую последовательность: 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... . Соответственно возрастает и последовательность 21 , 21,7 , 21,78 , 21,782 , 21,782 , 21,78205 , 21,7820508 , … Все члены этой последовательности — положительные числа, меньшие, чем 22 , т.е. эта последовательность — ограниченная. А по теореме Вейерштрасса, если последовательность возрастает и ограничена, то она сходится. Кроме того, нам известно, что если последовательность сходится, то только к одному пределу. Этот единственный предел договорились считать значением числового выражения 2√3 . И неважно, что найти даже приближенное значение числового выражения 2√3 очень трудно; важно, что это — конкретное число. Итак, мы выяснили, какой смысл вкладывают математики в символ 2√3 . Аналогично 4 можно определить, что такое 3− √7 , 2,5𝜋 и т.д. Теперь мы можем говорить не только о степенях с произвольными рациональными показателями, но и о степенях с произвольными действительными показателями. Но самое главное, что теперь мы можем говорить о функции у=ах , определенной на множестве всех действительных чисел. Вернемся к функции у = 2х , теперь мы уверенно можем соединить построенные точки плавной линией. 5. Осталось исследовать еще одно свойство, возрастания и убывания функции. Это свойство считаем с графика и докажем его аналитически: Функция возрастает на всей числовой прямой, т.е. большему значению аргумента из ее области определения соответствует большее значение функции, или если 𝑥2 > 𝑥1 2 𝑥2 и 2 𝑥1 Рассмотрим разность двух выражений: 2𝑥2 − 2𝑥1 = 2𝑥1 (2𝑥2 −𝑥1 − 1) > 0, 2𝑥1 > 0, 𝑥2 − 𝑥1 > 0, 2𝑥2 −𝑥1 > 1, следовательно разность в скобках больше 1. Функция у =2х возрастает на промежутке (−∞; +∞), так как на всем промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции (значения функции растут при движении слева на право). Данный результат можно записать так: 𝑥2 > 𝑥1 , то 𝑎2𝑥 > 𝑎1𝑥 Путем вычислений значений функции у =2х , докажем, что она возрастает неограниченно. 232 < 264 < 277 < ⋯ На графике увидим, что равным значениям аргумента соответствуют неравные приращения функции ∆𝑥1 = ∆𝑥2 = ∆𝑥3 = ⋯ ∆𝑥𝑛 ∆у1 < ∆у2 < ∆у3 … < ∆у𝑛 ∆𝑥1 ≠ ∆𝑦1,… Итак, запишем все основные свойства показательной функции у = 𝟐х : 1. 2. 3. 4. 5. Д(у)=R; Е(у)=(0;+∞) Нули функции: х=0,у=1; Функция является ни четной ни нечетной; Возрастающая на всей области определения; Если x<0, у <1, х>0, y>1. х 1 Аналогичная работа строится для исследования функции у = 2 , 𝟏𝒙 Итак, запишем все основные свойства показательной функции у = 𝟐 : 1. 2. 3. 4. 5. Д(у)=R; Е(у)=(0;+∞); Нули функции: х=0,у=1; Функция является ни четной ни нечетной; Убывающая на всей области определения; Если x<0, у >1, х>0, y<1. После полученных исследований замечаем, что все свойства одинаковы, кроме возрастания и промежутков знакопостоянства. Это основной вывод, который должны усвоить дети. Дальше обобщаем полученные выводы: Если основание 𝟎 < 𝑎 < 0, то показательная функция 𝒚 = 𝒂𝒙 монотонно убывает на всей области определения; Если 𝒂 > 0, то показательная функция 𝒚 = 𝒂𝒙 монотонно возрастает на всей области определения. Дальнейшее изучение показательных функций сводится к решению показательных уравнений и неравенств. Простейшие показательные уравнения и неравенства Мы рассмотрели степенные уравнения – уравнения, у которых неизвестная стояла в основании степени. Теперь рассмотрим уравнения, в которых неизвестная стоит в показателе степени – показательные уравнения. Идея их решения очень похожа на ту, что мы использовали при решении степенных уравнений. Нужно свести уравнение к виду: Т. е. так, чтобы слева и справа были степени с одинаковым основанием. Из того, что следует, что . Это следует из монотонности графика показательной функции: каждому значению функции соответствует ровно одно значение аргумента (см. рис. 3). Если значения функций равны, то равны и их аргументы. Рис. 3. Графики функций при и Задание 4. Решить уравнение: Решение. Слева – основание , сделаем справа такое же: Тогда: Из этого следует, что: Получили линейное уравнение: Ответ: . Идея решения показательных неравенств очень похожа. Нужно привести неравенство к виду ; между частями может быть любой другой знак, все выводы будут аналогичными. Затем возможны два варианта. Первый вариант – основание . Тогда соответствующая показательная функция будет возрастающей (см. рис. 4). Значит, большему значению функции соответствует больший аргумент. И из будет следовать, что . Знак неравенства не поменялся. Рис. 4. График функции при Второй вариант – основание . Тогда соответствующая функция будет убывающей (см. рис. 5). Большему значению функции соответствует меньший аргумент. Значит, из следует, что Рис. 5. График функции . Знак неравенства изменился на противоположный. при В обоих случая получаем неравенство, обычно линейное или квадратное, которое решаем стандартными методами. Задание 6. Решить неравенство: Решение. Приводим левую и правую часть к одинаковым основаниям. Слева – основание . Справа из можно сделать степень с любым основанием: . Нужно – делаем : Получаем: Основания одинаковы и больше . Значит, для показателей степени знак неравенства не поменяется: Решая неравенство, получаем: Ответ: . Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов. Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ) можно построить функцию: , , область определения которой – множество действительных чисел. Необходимо ввести определение степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r1< α< r2. Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех ar1 и наименьшим среди всех ar2 , которое можно считать значением aα. Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=ax ( , ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(ax)=R; E(ax)=RТ; ax возрастает при a>1 и ax убывает при 0<a<1; напоминаются основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени. Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения ax=b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают logab, т.е. alogab=b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции: При любом (а ) и любых положительных x и y, выполнены равенства: 1. loga1=0 2. logaa=1 3. logaxy= logax+ logay 4. logax/y= logax- logay 5. logaxp= plogax Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием . Основные свойства выводится из свойств показательной функции: 1. 2. , , 3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1). Покажем, что при a>1 возрастает. Пусть что: функция и . Допустим противное, т.е. что , надо доказать, . Т.к. показательная при a>1 возрастает, то из неравенства следует: что противоречит выбору , . Следовательно: и функция при a>1 – возрастает. Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции. Дифференцирование показательной функции с основанием а Дано: Доказать: При любом допустимом основании а Доказательство: Вспомним основное логарифмическое тождество . Обратим внимание, что основание и у показательной, и у логарифмической функций здесь С помощью предыдущего соотношения дифференцируем, находим производную сложной функции: Что и требовалось доказать. Прокомментируем формулу Чтобы найти производную показательной функции, надо саму показательную функцию умножить на натуральный логарифм ее основания. Итак, мы умеем находить производную показательной функции с любым допустимым основанием . Интегрирование показательной функции Далее нам следует научиться интегрировать показательную функцию. Рассмотрим формулу произвольная постоянная. Почему? По определению. Производная правой части должна быть равна . Проверяем: . То есть формула 1. справедлива. Теперь вместо под интегралом , при любом допустимом основании Проверим эту формулу. То есть возьмем производную правой части и докажем, что она равна функции под интегралом. Что и требовалось доказать. Итак, мы умеем дифференцировать показательную функцию. Значит, мы умеем решать стандартные задачи на первообразную этой функции. Вот одна из стандартных задач: