Медицинская физика МФТИ
Курс лекций
Механика
Лекция 1
Лекция 1. Кинематика.
Движение материальной точки.
Виды занятий на кафедре Общей физики:
- лекции
- семинары
- лабораторные
- самостоятельные занятия
- вопрос по выбору
Система оценок.
- оценка на лабораторной учитывает форму и содержание, в итоге дифференцированный зачет
- оценка за полусеместровую контрольную в семестре влияет на
оценку за 1 задание. Всего в семестре 2 задания.
- экзамен состоит из письменной контрольной и устного экзамена.
Оценка устного экзамена зависит от письменного и заданий.
Учебники.
Сивухин Д.В. Механика
Кириченко Н.А., Крымский К.М.
Физика - наука экспериментальная, строгость законов
физики не является самоцелью (этим занимается
Математика)
Физические величины всегда приближенные, указание
физической величины без указания точности бессмысленно.
Точность указывается как среднеквадратичное отклонение
измеряемой величины, подробно этот вопрос будет
рассмотрен в вводных лабораторных работах - при
выполнении этих работ очень важно разобраться со
статистическими распределениями.
Существуют различные системы физических единиц
измерения, основная мировая система - СИ (кг, м, сек), но в
физике часто используют также систему СГС (г, см, сек).
Для механики эта система неудобна, поэтому на первом
курсе мы чаще будем использовать СИ (тем более, что все
приборы калиброваны только в СИ).
Существуют эталоны основных единиц СИ, если раньше это
были эталоны физической длины, веса и времени, то теперь
происходит переход на новые, более стабильные единицы,
связанные с квантовыми свойствами атомов.
Существуют также внесистемные единицы, очень важно
уметь надежно пересчитывать единицы из одной системы в
другую, так как это часто вызывает ошибки
1- м
1- и
=
100 см
"
1%7--10 дин
ЕДУ
1
Кинематика - начальный раздел механики, изучает движение
материальной точки
Для этого вводится система координат, простейший и самый
распространённый вариант - декартовы прямоугольные
координаты, правая (обязательно!) тройка.
У
ТТТ
арты
ё-
ТТТТ
1
й
×
ай
+
Айяд
4-1=5-51
Эвклидова мера
2-
( Еда )
axbxtaybg-azbz-lal.tl/coaaI
Пишут таĸже :
Б-
Скалярное произведение векторов
Б. Ё-
находят угол
отсюда
витраж
Векторное произведение векторов
ТТ
⇐
По модулю
[а- Б ]
Правая тройĸа
если
знаĸ
арты
:
между
( от
-
двойной
txj-I.FI ТЕЙ
перепутать
-
поменяется
Полярные координаты
§
у
у
4
×
Год
-
ГТУ
-
ага
4=0
.
-10
.
.LT
Цилиндрические координаты - на основе полярных
*
ТЩ
44,7
аналогично
полярным
,
✗
4410
Сферические координаты
4=011,25 ; @
z.tt
=
региона
↳
Ё•
✗
2-
<
-
0,8
папочĸу
Гана
смещение
Что такое скорость
ДЕНА ты
-
у
тд
И
ЕЕЕЕ:[÷
мы
7-
✗
ЦЕНТРЫ
2- Мгновенная скорость v направлена по касательной к
траектории и сонаправлена с dr. Векторные
величины обозначают чертой над символом или
жирным шрифтом.
.
й/
-
-
ППП
це
ДДТ »
При плоском криволинейном движении можно прочертить
траекторию (путь) s(t) материальной точки, при этом мы можем
в каждой точке считать, что движение происходит по
окружности. Но радиус этой окружности может меняться в
каждой точке траектории, как и положение ее центра.
Вводится понятие кривизны, она равна 1/R, где R - радиус
мгновенной окружности.
Также вводятся единичный вектор касательной s и единичный
вектор главной нормали n (направленный к центру мгновенной
окружности). Касательный вектор также часто обозначают
греческой буквой тау.
Плоское движение встречается на практике достаточно часто
(например, движение планет), но в общем случае кривая
может быть в пространстве (пример - спираль), тогда она
называется кривой двоякой кривизны.
1
Так как скорость направлена всегда по касательной, то она
параллельна тангенциальному вектору.
✓
=
V.
§
Плоскость, в которой лежит касательная и главная нормаль
называется соприкасающейся плоскостью, при этом плоская
кривая вся лежит в соприкасающейся плоскости.
Перпендикуляр к этой плоскости называется бинормалью к
кривой.
Понятно, что вектор скорости в общем случае будет постоянно
меняться как по величине, так и по направлению. Если ввести
начало отсчета для векторов скорости, то кривая, которую
будет описывать вектор скорости называется годограф
скорости.
У
Л
R
-
в
-
радиус
ы
•
-
ПСБ
о
точĸе
$
-
ĸривизны
Нормаль
точĸи
единичный
веĸтор ĸастель
-
-
✗
НОЙ
в
точĸе
Получим выражения для ускорения, как производной от
скорости.
1
а-
{
(т )
обозначим
вычислим
Ем
_
4¥
дд
,
а
:
-
-
КА
-
"
.
-
н
1=1-4
Ё-одна
элемента
v17
ȴk
-
ЁПТА
6-
ДНЕИ
17=17
усĸорение
Ай
Гг
ii.
тангенциальное
14
ЁПТ
v12
-
,
-
пр
+
ПЁТР
%
d-dj-Ipna-dst-annF-%ea.tt
итого
:
→
нее
(
или
ĸасательное)
усĸорения
Норманд
Тангенциальное ускорение меняет скорость по модулю, нормальное
ускорение меняет скорость по направлению
Рассмотрим равномерное движение по окружности
Ё-
→
v
а- то +
-
Ёп
равномерного
для
вращения :
а-
Кп
и
К
-
+
7£
R
✗
-
-
Ё-
=
Ё-
→
ДЕК Да
lw.FI
2- аĸ
-
✗
a
N
-
аĸсиальные
D=
ИРА
веĸтора
Пит
-
полярные
веĸтора
И
часто движение описывается параметрически, например:
{
«
у
-
исĸлючим
Rcoacot
Г- +уг
Rsincot
Вычислим скорость вращения:
2-
-
t :
К2
оĸружность
ТТ ГЕТ RJFt-m.it
-
-
✓ =wR
Знакомая формула!
Если величины R различны для двух координат, то получим
движение по эллипсу. Если R для одной из координат будет равно
нулю - то получим уравнение синосоидальных колебаний.
Вычислим кривизну траектории:
1--17=-42
Ё- ЩА
Хх
-
[ней ! ]
ул
одной
Дж
µ
dt-f-dgT-dxf-yf-Rddkd-I
-LF-F.la
-1+-67=1+5
Ё-
"
"
*
.
-
12--77
"
Ё. dy
ах
>
✗
При вращении часто бывает удобно представить угловые
величины в виде векторов:
Т
т
а- ✗ в-✗ E
и
=
=
И✗
=
Б- рй
*
Ё
!
т
АП
"
II. ТУШ
✓=
✗
Та
=
=
=
А- Г
{
й
Выразим из этой формулы вектор
омега:
R
Б. (ай)
Бхатт
311
Ё- Ё- йхтт
=
-
I
Сай)
БТТ)
в
-
-
Формула
ТТТТно
сĸаляр нам
и
=
Уĸ
)
=
Й R'
-
виде ;
До сих пор мы решали задачу поиска скорости, если знаем r(t).
Решим теперь обратную задачу - мы знаем скорость - как найти
путь? Обратная задача решается интегрированием. Если
используется определенный интеграл - то у нас есть начальное и
конечное времена интегрирования. Смысл определенного
интеграла в том, что мы составляем сумму площадей под кривой
пути и ищем полную площадь. Если разбиение устремить к нулю, то
в пределе бесконечно малых площадей мы получим определенный
интеграл.
Неопределенный интеграл заключается в поиске первообразной
для величины (в данном случае) скорости, то есть это действие
обратное дифференцированию. Так как при дифференцировании
производная константы равна нулю, то мы можем взять интеграл
только с точностью до некоторой постоянной, которую мы
добавляем к результату. Мы можем найти постоянную из начальных
условий. Если начальные условия одинаковы, то и два этих
интеграла будут одинаковы, тот или иной способ выбирается
только из соображений удобства.
Определенный интеграл считается быстрее, а неопределенный
имеет более общий вид.
✓
^
t.FI#t:t
t,
§
>
$
.
-
рамт
to
Рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту.
По вертикальной оси оно движется равнозамедленно с
ускорением g
Рассмотрим вертикальное движение под действием силы
тяжести. Ускорение постоянно.
у
Ау
-
д
=
const
{ agdt
д-
-
=
-
gt-cgo.IS
Так как мы берем неопределенный интеграл, то появляется
константа, она зависит от начальных условий. Считаем, что в
начале движения была начальная скорость.
1-
Гто)
о
подставим
ЦА)
-
Го
И
получим
и
-
-
!
С
,
-
Го
gt
Чтобы вычислить пройденный путь возьмем еще один интеграл:
fktdt-f va-gtldt-vt-GE-s.tn
УК)
-
-
Считаем, что в начале пути тело было на земле (у=0)
ужо)
-
о
9--0
результат
получили
711-124
-
:
{
ди
I
V0
у
д
✗
-
Теперь рассмотрим бросок под углом к горизонту. В этом случае
движение происходит по двум осям. Уравнение по оси Y не
изменится, только изменится начальная скорость. Движение по
оси Х - равномерное.
7=6
✗ А)
аааа
5=242
i
Аааа -1
{ НА rr.sin.at
=
.
-
7¥
-
gt
Параметрическое
уравнение движения
брошенного тела с
параметром t
Теперь построим траекторию в координатах Х, Y
+
=
НА
7%2
=
выразим время через координату Х
ЖАН
-
КАЙЁ
Получили уравнение параболы в координатах Х, Y. Если в нем
приравнять Y=0, то получаем два решения. Одно тривиальное Х=0,
точка старта, второе - точка падения Хп, то есть дальность полета.
✗÷
2Й%%G
=
2422
.
}
"
Видно, что дальность полета зависит от начальной скорости и от
угла бросания. Чтобы определить оптимальный угол броска для
максимальной дальности, можно продифференцировать по углу и
приравнять нулю результат (поиск экстремума):
¥2
"
г
дз
22
тогда
-
.
Соа 22
ЕТ
→
.
2
=
да
0
=
Ё- ЧЕ
Можно также вычислить скорость в любой момент времени:
✓ А)
=
FЁ-gТ
Можно найти угол между скоростью и горизонталью:
СЫНА)
=
%-)
µ
ТЦ
,
•
И
А
ТТ
•
При этом вычислении мы использовали физическую модель:
- тело - точечная масса
- трения о воздух нет
- движение происходит в инерциальной системе отсчета
- скорость полета достаточно низкая, чтобы не учитывать
релятивистских эффектов
- размер тела достаточно велик, чтобы не учитывать квантовых
эффектов
Если мы считаем тело точечной массой, то точность измерений
расстояния ограничена размерами тела. Есть только одно
исключение - если тело имеет форму идеального шара, то многие
процессы (например, гравитационное взаимодействие) можно
вычислять без учета реальных размеров шара - как с точечной
массой, находящейся в центре шара.
Трение о воздух может значительно изменить результаты решения.
Для малых скоростей трение о воздух пропорционально скорости и
площади сечения тела, для больших скоростей (десятки метров в
секунду и выше) трение пропорционально второй степени скорости
и площади сечения. Если скорость тела превышает скорость звука,
то возникают скачки уплотнения, которые полностью меняют всё
решение. При рекордных выстрелах на дальность (например, в
первую мировую войну немцы обстреливали Париж из рекордной
пушки на дальности 130 км, при этом скорость вылета снаряда
оказывалась 1.6км/с, максимальная высота подъема 45 км)
оказывается, что оптимальный угол возвышения 55 градусов, а не
45. Это связано с тем, что плотность атмосферы выше 10 км резко
падает, поэтому при таком угле возвышения снаряд быстрее
пробивает плотные слои атмосферы и трение о воздух резко падает.
Понятно, что для такого выстрела наша формула бесполезна.
Инерциальность системы отсчета - совершенно неочевидное
предположение. Земля вращается, например точка экватора при
вращении Земли вокруг своей оси движется со скоростью порядка
450 м/сек. Помимо дополнительной скорости имеются еще
дополнительные эффекты, например при выстреле из пушки сила
Кориолисса, которая проявляется в неинерциальных системах,
сносит снаряд в сторону настолько сильно, что это требуется
учитывать в специальных таблицах. Поэтому мы можем считать, что
находимся в инерциальной системе только для небольших
скоростей и не очень дальних расстояний.
Таким образом, наша модель практически идеальна, например,
для задачи броска шарообразной свинцовой дробинки со
скоростью 30 м/сек.
Релятивистские эффекты возникают при очень больших скоростях.
На практике релятивистские эффекты нужно учитывать, например,
при движении навигационных спутников типа Глонасс или GPS.
Скорость такого спутника порядка 8 км/сек, что составляет менее
0.003% от скорости света - но требования к точности там так
высоки, что такая погрешность уже будет слишком грубой.
Размер тела важен еще и потому, что при слишком маленьких
размерах проявляются квантовые эффекты, поведение тел
может значительно отличаться от классического. Типичный
размер шага элементарной решетки - порядка 1нм. Но уже
для наночастиц размером порядка 10нм физические свойства
частиц заметно отличаются от таковых для макроскопических
материалов. Например, на графике видна температура
плавления золота в зависимости от размера наночастицы.
Нужно учесть, что математически
современная физика основана на
дифференциальном и интегральном
вычислении, где предполагается,
что можно получить бесконечно
малые приращения величин. Но
практически это невозможно в силу
дискретности кристаллической
решетки и соотношения
неопределенности.
Поэтому в физике производная выступает как отношение
конечных, хотя и достаточно малых приращений функции и
аргумента - а не как предел этого отношения.
Важный вопрос - с какой точностью производить расчеты. Как
правило при решении задач большая точность не требуется.
Например, величину g часто принимают за
д- ДЕ
-
Но если в задаче указано, например, что начальная скорость
равна 30.0 м/с, то это означает, что число содержит три значащие
цифры, следовательно, исходная точность порядка 0.3%.
Следовательно, нужно брать точное значение g:
д- 9.815%2
Эта цифра приведена для Подмосковья. Если для решения задач
чаще всего достаточно брать округленную цифру 10, то для
расчета лабораторных всегда нужно брать точную величину.
