МЕТОД ПОСОБ ГЕОДЕЗИЯ

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГАРМАНОВ В. В.
ПРИКЛАДНАЯ ГЕОДЕЗИЯ
Методические указания для выполнения практических заданий
СПб-Пушкин
2021
1
СОДЕРЖАНИЕ
№№
1
2
4.
5.
6.
7.
Название раздела
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
ПЕРЕСЧЕТ КООРДИНАТ ИЗ ОДНОЙ ПЛОСКОЙ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ В ДРУГУЮ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПО КООРДИНАТАМ
УГЛОВ
ПРИВЯЗКА МЕЖЕВЫХ ЗНАКОВ ГРАНИЦ
ПРЯМОЙ УГЛОВОЙ ЗАСЕЧКОЙ
ПРИВЯЗКА МЕЖЕВЫХ ЗНАКОВ ГРАНИЦ
ОБРАТНОЙ УГЛОВОЙ ЗАСЕЧКОЙ
ПРИВЯЗКА МЕЖЕВЫХ ЗНАКОВ ГРАНИЦ
ЛИНЕЙНОЙ ЗАСЕЧКОЙ
ЛИТЕРАТУРА
Страницы
3
7
10
12
15
17
19
2
ВВЕДЕНИЕ
Учебно-методическое пособие предназначено для приобретения
навыков решения геодезических задач наиболее часто используемых при
управлении земельными ресурсами: прямую и обратную геодезические
задачи; пересчет координат из одной плоской прямоугольной системы в
другую; вычисление площади участка по координатам поворотных точек
границы; привязку межевых знаков с использованием прямой и обратной
угловых засечек; привязку межевых знаков с использованием линейной
засечки.
1. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Прямая геодезическая задача заключается в том, что по известным
координатам исходной точки (например, А), вычисляют координаты искомой
точки (например, В), с использованием горизонтального проложения (длины
линии между точками) и ее дирекционного угла, рис. 2.
Для ее решения используются следующие формулы:
XB = XA + ∆Х,
YB = YA +∆Y,
∆Х =d ×cos αAB ,
∆Y =d ×sin αAB.
где: XВ, YВ – координаты искомой точки; XA , YA – координаты исходной
точки; ∆Х, ∆Y – приращения координат X и Y; d – горизонтальное
проложение линии между точками А и В; cos αAB, sin αAB – косинус и синус
дирекционного угла линии АВ между исходной и искомой точками.
Знаки приращений координат ∆Х, ∆Y зависят от четверти, в которой
находится заданное направление, табл.1.
Таблица 1
Четверть
1
2
3
4
Значение
дирекционного
угла
Название
румба
0° – 90°
90° – 180°
180° – 270°
270° – 360°
СВ
ЮВ
ЮЗ
СЗ
Связь между румбами и
дирекционными углами
r=α
r = 180° – α
r = α – 180°
r = 360° – α
Знаки приращения
координат
∆Х
+
–
–
+
∆Y
+
+
–
–
Рассмотрим пример решения прямой геодезической задачи, рис. 2.
Дано: координаты точки А (XA =25 м, YA=140 м); горизонтальное
проложение линии dАВ=124 м, дирекционный угол линии АВ (α =217°14´23´´).
Найти: координаты точки В (XВ, YВ).
3
Решение:
1) Определяем приращения координат.
∆Х=d cosα = 124м ×(–0,7962)= –98,73м;
∆Y=d sinα = 124м ×(–0,6051)= –75,03м.
По знакам приращений координат с использованием таблицы 1
определяем четверть в которой находится линия. На рис.1 видно, что она
находится в 3 четверти.
Рис. 1. Расположение линии между точками А и В в системе координат
2) Определяем координаты точки В.
XВ = XА+∆Х =25м – 98,73м = –73,73 м,
YВ = YА+∆Y =140м –75,03м = 64,97м.
Для решения прямой геодезической задачи в режиме онлайн можно
использовать
программный
модуль
из
интернета
(http://sitegeodesy.com/prgeozadachaonline.html).
В открывшееся окно рис. 2. вносятся координаты исходной точки,
горизонтальное проложение линии между точками и значение
дирекционного угла линии. Далее активизируется процедура «Решение» и в
результате получают подробные расчеты по определению координат второй
точки.
4
Рис. 2. Окно для ввода исходных данных для решения прямой геодезической
задачи
Обратная геодезическая задача заключается в том, что по известным
(исходным) координатам вершин отрезка АВ вычисляют его дирекционный
угол и горизонтальное проложение (длину), рис. 3.
Ее решение осуществляется в следующем порядке:
1) Определяются приращения координат:
∆Х = XВ – XA,
∆Y = YВ– YA,
2) Из решения прямоугольного треугольника АВ'В, определяется румб
(r) линии АВ:
tgr = ∆Y/∆Х,
r=arctg |∆Y/∆Х |.
3) По знакам приращения координат ∆Х и ∆Y с помощью таблицы 1
определяется, в какой четверти находится заданное направление и по румбу
линии rAB определяют ее дирекционный угол αAB.
4) Определяется горизонтальное проложение отрезка AB, которое
может быть вычислено тремя способами.
dAB=∆Х/ cos αAB,
dAB=∆Y/ sin αAB,
где: XA , YA , XВ, YВ – координаты вершин отрезка АВ; ∆Х, ∆Y – приращения
координат X и Y; d – горизонтальное проложение линии между вершинами
отрезка АВ; cos αAB, sin αAB – косинус и синус дирекционного угла отрезка АВ.
Рассмотрим пример решения прямой геодезической задачи.
Дано: координаты точек А (XA =247,32 м, YA=870,54 м) и В (XВ =705,65
м, YВ= –567,83 м);
Найти: горизонтальное проложение линии и дирекционный угол
отрезка АВ.
Решение:
1) Определяем приращения координат точек А и В (∆Х, ∆Y).
5
∆Х= XВ – XA =705,65–247,32=458,33м,
∆Y= YВ – YA= –567,83–870,54= –1438,37м.
2) Определяем румб отрезка АВ.
rAB= arctg |∆Y/∆Х |=|–1438,37/ 458,33|= arctg |–3,13829|=72°19´33˝.
3) По знакам приращения координат, с использованием таблицы 1,
определяем, в какой четверти находится отрезок (в нашем случае в 4), рис. 3
и формулу связи между румбом и дирекционным углом (в нашем случае r =
360° – α), тогда:
α =360°– r = 360°– 72°19´33˝=287°40´27˝.
4) Определяем горизонтальное проложение отрезка АВ.
dАВ = ∆Х/cos αAB = 458,33/ cos 287°40´27˝=1509,63м,
dАВ = ∆Y/sin αAB = –1438,37/sin 287°40´27˝=1509,63м,
Рис. 3. Расположение искомого отрезка в системе координат
Для решения обратной геодезической задачи в режиме онлайн можно
использовать
программный
модуль
из
интернета
(http://sitegeodesy.com/obrgeozadachaonline.html).
В открывшееся окно рис. 4 вносятся координаты двух исходных точек.
Далее активизируется процедура «Решение» и в результате получают
подробные расчеты по определению горизонтального проложения линии и ее
дирекционный угол.
6
Рис.4. Окно для ввода
геодезической задачи
исходных
данных
для
решения
обратной
2. ПЕРЕСЧЕТ КООРДИНАТ ИЗ ОДНОЙ ПЛОСКОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ В ДРУГУЮ
Пересчет координат из одной системы в другую представляет собой
смещение начала координат на вектор (dx, dy, dz), вращений вокруг осей, (ωx,
ωy, ωz) и масштабирование. Для примера на рисунке 5 показано только
вращение вектора вокруг оси Z.
Алгоритм пересчета предусматривает использование хотя бы двух
связующих точек, для которых известны плоские прямоугольные координаты
исходной (х1, у1, х2, у2, …, хn, yn) и новой (х1′, у1′, x2′, y2′,…, хn′, yn′) систем. Эти
точки называются связующими. В нашем случае в качестве связующих
выступают точки 1 и 2. Требуется определить координаты оставшихся точек
в новой системе координат — х3′, у3′, ..., хn′, yn′.
Рис. 5. Сдвиг системы координат [images.yandex.ru]
Алгоритм решения задачи [1, с. 15].
1) Вычисляется угол разворота (поворота) θ между новой и старой
системами плоских прямоугольных координат.
2) Решаются две обратные геодезические задачи:
7
 для отрезка, координаты вершин, которого заданы в старой системе
координат;
 для этого же отрезка, но координаты вершин, которого заданы в
новой системе координат.
В результате решения этих задач получают: дирекционные углы α и
горизонтальные проложения d, для старой (α1 и S1) и новой (α2 и S2) систем.
3) Вычисляются угол разворота θ, масштабный множитель m и
коэффициенты К1 и К2:
θ = α2 ̶ α1,
m = S2 / S1,
К1 = т cosθ,
К2 = т sinθ.
4) Вычисляются координаты точек в новой системе координат:
x'j = x′j-1 + (xj ̶ xj-1)*К1 ̶ (yj ̶ yj-1 )* K2 ,
y'j = y'j-1 + (yj ̶ yj-1)*K1 + (xj ̶ xj-1)*K2 ,
где j = 2, 3,…, n.
Рассмотрим решение задачи по пересчету прямоугольных координат из
одной системы в другую с использованием «Геодезического калькулятора в
EXCEL».
В качестве примера выполним пересчет координат поворотных точек
границ земельного участка из системы координат МСК 64 в систему
координат МСК 47.
Дано: координаты четырех точек в МСК 64 №1(X1 =32346,03 м,
Y1=113432,90 м), №2 (X2 =32316,38 м, Y2=113432,73м), №3 (X3 =32318,18 м,
Y3=113385,81 м), №4 (X4 =32350,99 м, Y4=113391,97 м) и двух точек в МСК
47 №1(X1 =374234,08 м, Y1=2213491,53 м), №2 (X2 =374204,44м,
Y2=2213490,94м)
Найти: координаты всех точек в МСК 47.
Решение:
Для пересчета координат из одной системы в другую в режиме онлайн
можно
использовать
программный
модуль
из
интернета
(http://4du.ru/katalogprog/progs_geod/geodezicheskiy_kalkulyator_excel.html).
Расчеты с использованием программного модуля осуществляются в
следующей последовательности:
1) Выбирается процедура «Параметры пересчета, после чего
открывается лист 1, в который вносятся исходные данные, для пересчета рис.
6.
8
Рис. 6. Исходные данные для пересчета координат
2) Активизируется процедура «Параметры пересчета». В результате
чего получают данные о параметрах пересчета: угле разворота системы
координат. D.mmss; смещении координат по оси Х; смещении координат по
оси Y, рис. 7.
Рис. 7. Параметры пересчета координат из системы МСК 64 в систему МСК
47.
3) Активируется процедура «Пересчет координат». В результате чего
получают координаты границ земельного участка в системе координат МСК
47, рис. 8.
9
Рис. 8. Координаты земельного участка пересчитанные в систему координат
МСК 47.
3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ УЧАСТКА ПО КООРДИНАТАМ
ПОВОРОТНЫХ ТОЧЕК ГРАНИЦЫ
Определение площади земельного участка по координатам поворотных
точек его границы выполняют аналитическим способом. Для этого
используются следующие формулы:
где: X, Y– координаты вершин поворотных точек границы участка; m – общее
количество вершин поворотных точек; n – номер исследуемой вершины
поворотной точки; (n+1) – номер последующей вершины поворотной точки;
(n-1) – номер предыдущей вершины поворотной точки.
10
По обеим формулам должно получиться одно и то же значение
площади земельного участка.
Рассмотрим пример решения геодезической задачи по определению
площади земельного участка по координатам поворотных точек его границы.
Дано: координаты поворотных точек границы земельного участка,
таблица 2:
Таблица 2
№№
точек
1
2
3
4
5
Координаты точек
X
Y
289,41
266,54
66,01
-44,48
78,54
206,93
471,08
511,48
398,81
191,42
Найти: площадь земельного участка.
Решение:
1) Определяются разности соответствующих ординат и абсцисс,
поворотных точек земельного участка, их число должно быть равно числу
поворотных точек, таблица 3.
Таблица 3
№№
п/п
1
2
3
4
5
Разности
ординат
Y2 – Y5
Y3 – Y1
Y4 – Y2
Y5 – Y3
Y1 – Y4
Значения
разностей
279,66
304,55
-72,27
-320,06
-191,88
Разности
абсцисс
X5 – X2
X1 – X3
X2 – X4
X3 – X5
X4 – X1
Значения
разностей
-188,00
223,40
311,02
-12,53
-333,89
Алгебраическая сумма разностей абсцисс и ординат должна равняться
нулю.
2) Значения координат поворотных точек границы земельного участка
и разностей ординат и абсцисс записываются в ведомость вычисления
площади участка, таблица 4.
Таблица 4
№№
п/п
1
1
2
3
4
5
Координаты
точек
X
Y
2
3
289,41
266,54
66,01
-44,48
78,54
206,93
471,08
511,48
398,81
191,42
Значения разностей
ординат
4
абсцисс
5
279,66
304,55
-72,27
-320,06
-191,88
-188,00
223,40
311,02
-12,53
-333,89
Столбцы
(2×4)
Столбцы
(3×5)
6
7
80936,4
81174,76
-4770,54
14236,27
-15070,3
156506,6
-38902,8
105239,3
159080,5
-4997,09
-63913,2
156506,6
11
Суммы произведений в графах 6 и 7 составляют двойную площадь
земельного участка, которую надо разделить на 2.
Следовательно, площадь земельного участка, рассчитанная
координатам поворотных точек его границы составляет 78253,31 м2.
по
Для вычисления площади земельного участка по координатам углов
поворотных точек границ в режиме онлайн можно использовать
программный
модуль
из
интернета
(http://4du.ru/katalogprog/progs_geod/geodezicheskiy_kalkulyator_excel.html).
В открывшееся окно рис. 9 вносятся исходные координаты углов
поворотных точек.
Далее активизируется процедура «Решение» и в
результате получают значение площади земельного участка и его схему.
Рис. 9. Площадь земельного участка, рассчитанная по координатам углов
поворотных точек его границ [3]
5. ПРИВЯЗКА (ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ) МЕЖЕВЫХ ЗНАКОВ
ГРАНИЦ ПРЯМОЙ УГЛОВОЙ ЗАСЕЧКОЙ
Решение данной задачи может быть выполнено двумя способами:
1) если видимость между исходными пунктами есть, то координаты
межевого знака определяются по координатам двух исходных пунктов и
двум измеренным при них углам. В данном случае используются формулы
Юнга;
2) если видимость между исходными пунктами отсутствует, то
координаты межевого знака определяются по координатам двух исходных
пунктов, двум измеренным при них углам и двум дирекционным углам. В
данном случае используются формулы Гаусса.
12
Рассмотрим первый способ определения координат межевого знака
рис. .
Рис. Схема прямой угловой засечки
При его реализации необходимо соблюдать два условия:
 порядок нумерации исходных пунктов должен выполняться
следующим образом, если встать в середине линии между исходными
пунктами, лицом к межевому знаку, то исходный пункт, находящийся слева
будет первым, а справа – вторым;
 углы между исходным направлением и направлением от исходных
пунктов на межевой знак должны быть не менее 30°.
Координаты межевого знака в данном случае вычисляются по
формулам:
где: ХА, УА, ХВ, УВ – координаты соответственно пунктов А и В; 1 –
измеренный угол между исходным направлением АВ и определяемым АР; 2
– измеренный угол между исходным направлением АВ и определяемым ВР.
Для контроля правильности определения координат пункта Р может
быть введен третий пункт С на котором, как и в первом случае измеряются
углы 1' ,  2' .
Координаты межевого знака в данном случае вычисляются по
формулам:
13
где: ХВ, УВ, ХС, УС – координаты соответственно пунктов В и С; 1' –
измеренный угол между исходным направлением ВС и определяемым ВР; 2'
– измеренный угол между исходным направлением ВС и определяемым СР.
Рассмотрим пример решения прямой угловой засечки по двум
исходным пунктам А и В.
Дано: координаты пунктов А (XA =998,494 м, YA=646,537 м) и В (XВ
=932,319 м, YВ= 973,055 м); углы измеренные между исходным и
определяемыми направлениями 1 (49° 02' 36"), 2 (73° 47' 19").
Найти: координаты межевого знака Р (Хр', Yр' ).
Решение: результаты вычислений приведены в таблице
№№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Вычисляемый
показатель
ctg 1
ctg 2
ctg 1+ ctg 2
ХА ctg 2
ХВ ctg 1
YА ctg 2
YВ ctg 1
K
Хр'

Yр'
Значение вычисляемого
показателя
0,867959
0,290742
1,158701
290,304
809,215
187,976
844,572
1426,037
1230,720
1098,723
948,237
Для решения прямой угловой засечки в режиме онлайн можно
использовать
программный
модуль
из
интернета
(http://sitegeodesy.com/pryamaya-uglovaya-zasechka-online.html).
В открывшееся окно рис.10 вносятся исходные координаты точек и
значения углов. Далее активизируется процедура «Решение» и в результате
получают подробные расчеты по определению координат межевого знака.
14
Рис. 10. Окно для ввода исходных данных.
6. ПРИВЯЗКА (ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ) МЕЖЕВЫХ ЗНАКОВ
ГРАНИЦ ОБРАТНОЙ УГЛОВОЙ ЗАСЕЧКОЙ
Данная засечка носит название задачи Потенота. Для ее решения
существует более ста способов. Наиболее часто на практике используется
решение по формулам Пранис-Праневича.
Рассмотрим процедуру его реализации:
1) Расчет начинается с того, что точки (А, В, С) нумеруются, а углы (α и
β) подписываются против часовой стрелки, рис. .
Рис.11. Схема обратной угловой засечки
2) Вычисляются координаты точки N (Хn, Yn) по следующим формулам:
15
где: х1, х2, х3, y1, y2, y3 – координаты соответственно пунктов А(1), В(2),
C(3); α, β – измеренные углы с межевого знака на исходные пункты; хN, yN –
координаты межевого знака; ∆ хN, ∆ yN – приращения координат.
Рассмотрим пример решения обратной угловой засечки по трем
исходным пунктам А, В и С.
Дано: координаты пунктов А(1) (x1=310,610 м, y1=115,330 м), В(2) (х2
=420,110 м, y2= 117,310 м), C(3) (х3=499,520 м, y3=260,750); измеренные углы
с межевого знака на исходные пункты α (50°46´23˝), β 135°36´24˝).
Найти: координаты межевого знака N (хN, yN ).
Решение: результаты вычислений приведены в таблице
№№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
Вычисляемый
показатель
ctg
Z1
Z2
Z
∆ хN
∆ yN
хN
yN
Значение вычисляемого
показателя
-0,129093
-96,088121
-96,087975
-96,088048
-94,513
12,201
325,597
129,511
Для решения обратной угловой засечки в режиме онлайн можно
использовать
программный
модуль
из
интернета
(http://sitegeodesy.com/obruglzasechkaonline.php).
В открывшееся окно рис.12 вносятся координаты исходных точек и
значения измеренных углов с межевого знака на исходные пункты. Далее
активизируется процедура «Решение» и в результате получают подробные
расчеты по определению координат межевого знака.
16
Рис.12. Окно для ввода исходных данных.
7. ПРИВЯЗКА МЕЖЕВЫХ ЗНАКОВ ГРАНИЦ ЛИНЕЙНОЙ ЗАСЕЧКОЙ
Линейной засечкой называется нахождение положения межевого
знака (P) по координатам двух исходных пунктов (A и B) и расстояниям от
этих пунктов до определяемой межевого знака dAP, dBP, рис . 13.
Рис.13. Схема линейной засечки
Алгоритм практической реализации линейной засечки включает в себя
следующие действия:
1) решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и
получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB.
2) вычисление в треугольнике ABP углов β1 и β2 по теореме косинусов:
17
3) вычисление угла засечки γ
4) вычисление дирекционных углов сторон AP и BP:
пункт P справа от линии AB
пункт P слева от линии АВ
5) решение прямых геодезических задач из пункта A на пункт P и из
пункта B на пункт P:
1-е решение
2-е решение
Результаты обоих решений должны совпадать.
Рассмотрим пример привязки межевого знака (Р) линейной засечкой с
пяти исходных пунктов (А, B,C, D, N), рис.14.
Рис. 14. Схема линейной засечки
Расчеты проведем в режиме онлайн с использованием программного
модуля
из
интернета
(http://4du.ru/katalogprog/progs_geod/geodezicheskiy_kalkulyator_excel.html).
В открывшееся окно рис. 15 вносятся исходные координаты пунктов
A(XA=688,312, YA= –1435,012), B(XB=1435,012, YB=688,32), C(XC=121,410,
18
YC=1586,912), D(XD= –1449,686, YD= 656,844), N(XN= –898,600, YN= –
1313,602); и расстояния AP(516,205), BP(1873,344), CP(2564,920),
DP(2540,442), NP(1465,917).
Далее активизируется процедура «Решение» и в результате получают
значение координат межевого знака (Р).
Рис. 15. Координаты межевого знака, рассчитанные с использованием
программного модуля [3]
ЛИТЕРАТУРА
1. Неумывакин Ю.К., Перский М.И. Земельно-кадастровые геодезические
работы. — М.: КолосС, 2005. — 184 с.: ил. ̶ (Учебники и учеб. пособия для
студентов высш. учеб. заведений).
2. Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. Геодезия. ̶ М.:КолосС, 2008. ̶
598 с.: ил. ̶ (Учебники и учеб. пособия для студентов высш. учеб. заведений).
3. 4du.ru› Каталог программ›…_geod/geodezicheskiy
Геодезический калькулятор EXCEL - Программы по геодезии...
19