Лекция 1. Элементы теории вероятностей Теория вероятностей как наука. История возникновения и развития В жизни часто встречаются такие ситуации, когда исход проводимого нами эксперимента нельзя предсказать заранее с полной уверенностью. Примером может служить бросание монеты (невозможно заранее предсказать, что выпадет – «орел» или «решка»). На исход опыта влияет множество факторов: начальное положение монеты в момент броска, сопротивление воздуха, начальная скорость, особенности поверхности, на которую падает монета, и ряд других факторов. Аналогично невозможно предсказать, выпадет ли выигрыш на лотерейный билет, сдаст ли студент экзамен, выиграет или нет команда, за которую вы болеете. Во всех подобных ситуациях мы вынуждены считать результат опыта зависящим от случая, т.е. рассматривать его как случайное событие. Определение. Событие называется случайным, если в результате испытания оно может произойти или не произойти. События обозначают заглавными буквами латинского алфавита (A, B, C, D…). Определение. Испытание – это процесс, включающий определенные условия и приводящий к одному из нескольких возможных исходов. Примеры случайных событий: - появление «герба» при подбрасывании монеты; - сдача студентом экзамена по определенной дисциплине; - попадание стрелком в цель. В дальнейшем нас будут интересовать только такие испытания, которые носят массовый характер, т.е. их можно повторить неограниченное число раз. Теперь мы можем ответить на вопрос, с которого и должно начаться знакомство с дисциплиной: «Что изучает теория вероятностей?» Определение. Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным событиям. Данное определение кажется на первый взгляд противоречивым. Действительно, само утверждение о том, что случайным явлениям присущи закономерности, звучит довольно неожиданно. Однако такие закономерности реально существуют. Простейшим примером закономерности такого рода является опыт с бросанием монеты. Предположим, что бросание производится много раз подряд. Исход каждого отдельного испытания является случайным, однако средний результат большого числа подбрасываний утрачивает случайный характер, становится закономерным, а именно: «доля» тех подбрасываний, при которых выпадает «герб», с увеличением числа подбрасываний приближается к 0,5. Чтобы подтвердить это обстоятельство, Бюффон (французский естествоиспытатель, который впервые стал заниматься задачами на геометрические вероятности) в XVIII в. произвел 4040 подбрасываний монеты, из них «герб» выпал 2048 раз, при этом частота выпадения «герба» равна 0,508. Позднее Пирсон произвел 24000 подбрасываний, «герб» при этом выпал 12012 раз, таким образом, частота выпадения «герба» равна 0,5005. Причем это явление имеет общий характер: при достаточно большом числе опытов можно с практической достоверностью ожидать сколь угодно близкого совпадения частоты с вероятностью. Яков Бернулли впервые дал теоретическое обоснование этому эмпирическому факту. Теорема Я. Бернулли – простейшая форма закона больших чисел – устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления (теорема будет рассмотрена позднее при изучении закона больших чисел). Теория вероятностей, подобно другим математическим наукам, развилась из потребностей практики. Начало систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появление соответствующего математического аппарата относятся к XVII в. Именно в этот период Галилей уже пытался подвергнуть научному исследованию ошибки физических измерений, рассматривая их как случайные. К этому времени относятся первые попытки создания общей теории страхования, основанной на анализе закономерностей в таких массовых случайных явлениях, как заболеваемость, смертность, статистика несчастных случаев. В.Я. Буняковский – автор первого курса по ТВ на русском языке, создатель современной терминологии в ТВ. Ему принадлежит ряд работ в области статистики и демографии, с середины XIX в. он был главным экспертом правительства по вопросам статистики и страхования. Современное развитие теории вероятностей характеризуется всеобщим подъемом интереса к ней и резким расширением круга ее практических применений. Методы теории вероятностей широко применяются в теории надежности, теории массового обслуживания, страховании, при планировании и организации производства, при контроле качества продукции. Виды событий Если при каждом испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой В (В включает событие А) А В. Пример. А – изделие первого сорта; В – изделие стандартное. Если одновременно А влечет за собой В и В влечет за собой А, то в этом случае события называются равносильными. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате данного испытания. Обозначение: . Примеры. 1) в урне содержатся белые шары, извлечение из нее белого шара – событие достоверное; 2) камень, брошенный вверх, упадет на землю. Невозможным называется событие, которое в результате испытания вообще не может произойти. Обозначение: . Примеры. 1) извлечение черного шара из урны, где все шары белые; 2) камень, брошенный вверх, зависнет в воздухе. Несколько событий называются совместными, если в результате испытания наступление одного из них не исключает появления других. Примеры. 1) при бросании трех монет выпадение цифры на одной из них не исключает появления цифр на двух других. 2) событие А – в магазин вошел покупатель старше 60 лет и событие В – в магазин вошла женщина. Данные события совместные, т.к. в магазин может войти женщина старше 60 лет. 3)получение студентом оценок «отлично», «хорошо», «удовлетворительно» по трем различным дисциплинам – события совместные. Несколько событий называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. Примеры. 1) по результатам одной партии в шахматы события: выигрыш, проигрыш, ничья; 2) выпадение «орла» и «решки» при подбрасывании одной монеты. События называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. Примеры. 1) при бросании игральной кости появление каждой из граней – равновозможные события, если кость сделана из однородного материала; 2) при бросании монеты правильной формы выпадение «орла» и «решки» – события равновозможные. События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет. Примеры. 1) события, состоящие в том, что в семье из двух детей: А – два мальчика, В – две девочки, С – мальчик и девочка, D – девочка и мальчик являются единственно возможными, причем они несовместные; 2) события, состоящие в том, что при 10 выстрелах число m попаданий в цель: D – m<3, E – m<8, F – m>6 – являются единственно возможными, причем некоторые из них могут произойти одновременно (при m=7 произойдут события E, F). Противоположными называются два единственно возможных и несовместных события. Обозначение: A . Примеры. 1) А – выпадение «орла» и А – выпадение «решки»; 2) В – отсутствие брака в партии изделий, В – наличие хотя бы одной бракованной детали. Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий. Примеры. 1) при подбрасывании двух монет следующие события образуют полную группу: А1 – орел, орел; А2 – орел, решка; А3 – решка, орел; А4 – решка, решка; 2) при одном выстреле по мишени события: А попадание, В – промах, образуют полную группу событий. Вероятность события. Различные подходы к определению вероятности Рассматривая события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей. Причем для некоторых из этих событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое из них менее возможно. Поэтому для сравнения событий нужна определенная мера. Численная мера степени объективной возможности наступления события называется его вероятностью. Это определение качественно определяет понятие вероятности события, необходимо определить его количественно. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможные. Такие исходы называются элементарными. Исход, при котором данное событие наступает, называется благоприятствующим. Опр. Вероятностью события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу всех единственно возможных, несовместимых и равновозможных исходов: P( A) m n, где P(A) – вероятность события А; m – число благоприятствующих исходов; n – общее число элементарных исходов. Пример. Какова вероятность выпадения четного числа очков при бросании игральной кости? Решение. Рассмотрим событие А – появление четного числа очков. Для нахождения его вероятности воспользуемся классическим определением. Для этого нужно определить n и m . n=6, т. к. могут выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Причем эти события равновозможные (предполагается, что кубик сделан из однородного материала), единственно возможные (кроме этих исходов никакие другие не могут произойти), несовместные (если произошел один из этих исходов, то никакой другой не может наступить). При этом данному событию благоприятствует m =3 исхода (2, 4, 6 очков). Следовательно: 3 1 Р( А) . 6 2 Классическое определение вероятности долгое время, с XVII в. по XIX в., рассматривалось действительно как определение вероятности, т.к. в то время методы ТВ применялись в основном к азартным играм. В настоящий момент его следует рассматривать не столько как определение, а как метод вычисления вероятности. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Еще один недостаток классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о том, что элементарные исходы являются равновозможными, говорят из соображений симметрии. Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ При статистическом определении вероятности пользуются понятием относительной частоты события. Относительной частотой события называется отношение числа испытаний m, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний: m W (A) . n Статистической вероятностью события А называется относительная частота этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Р ( А) W ( A) . при n Недостатком статистического определения неоднозначность статистической вероятности. вероятности является ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.). Пусть отрезок составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: 1) поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L; 2) вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством: Р Длина . Длина L Пример. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину большую L . 3 Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. Решение. Разобьем отрезок ОА точками С и D на три равные части (рис. 1). Требование задачи будет выполнено, если точка В(x) попадет на отрезок СD длины L . 3 Искомая вероятность равна: P L3 1 . L 3 Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область f – часть области F, равна: mes f Р . mes F Аксиомы вероятности Для приведенного аксиоматического определения приняты три основные аксиомы вероятности. 1. Аксиома неотрицательности. Всякому событию соответствует неотрицательное число Р(A), называемое вероятностью события A: Р(A)0. 2. Аксиома нормированности. Вероятность достоверного события равна 1: p() = 1. 3. Аксиома сложения. Если A1, A2, A3, ... - конечное или счетное множество несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий: Р Ak Р( Ak ) k k , Ak Al = , если k l . Частный случай. Если два события A и B несовместны, т.е. AB = ,то Р(A + B) = Р(A) + Р(B). Некоторые следствия из аксиом: 1. Если А B, то p(A) p(B). 2. p() = p( ) = 0. 3. Для противоположных событий Р(A + A ) = 1, Р(A) + p( A ) = 1, p( A ) = 1 p(A). 4. Для несовместных событий А и B: p(AB) = p() = 0. Историческая справка. Построение теории вероятностей на основе этих аксиом принадлежит советскому математику А.Н. Колмогорову. Элементы комбинаторики Этот материал не относится непосредственно к теории вероятностей и математической статистике, однако необходим в дальнейшем при расчетах вероятностей. Комбинаторика происходит от латинского слова «combinatio», означающего «соединение». Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям. Эти комбинации можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При вычислении вероятностей часто используются формулы комбинаторики. Пусть Ai ( i 1, 2,..., n ) – элементы конечного множества. Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении комбинаторных задач: 1. Правило суммы. Если элемент А1 может быть выбран n1 способами, элемент А2 – другими n 2 способами, А3 – отличными от первых двух n3 способами и т. д., Аk – nk способами, отличными от первых (k-1), то выбор одного из элементов – или А1 , или А2 , …, или Аk – может быть осуществлен n1 n2 ... nk способами. Пример. В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них – первого сорта, 120 – второго, а остальные – третьего. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали второго или третьего сорта? Решение. Деталь второго сорта можно извлечь 120 способами, а деталь третьего сорта можно извлечь 30 способами, следовательно, всего150 способов извлечения детали второго или третьего сорта. 2. Правило произведения. Если элемент А1 может быть выбран n1 способами, после каждого такого выбора элемент А2 может быть выбран n2 способами и т. д., после каждого (k-1) выбора элемент Аk может быть выбран n k способами, то выбор всех элементов в указанном порядке может быть осуществлен n1 n2 ... nk способами. Пример. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать? Решение. Старосту можно выбрать 30 способами, его заместителя можно выбрать 29 способами, после выбора старосты и его заместителя для выбора профорга остается 28 способов. Выбрать старосту, заместителя и профорга можно 302928=24360 способами. Множества, составленные комбинациями (соединениями). из каких либо элементов, называются Различают три типа соединений: размещения, сочетания и перестановки. 1. Размещениями из n элементов по m называют такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения. Число размещений из n элементов по m определяется следующими формулами: A mn n (n 1) (n 2) ... (n m 1) , A mn n! . (n m)! Пример. Правление банка выбирает из 10 кандидатов 3 человека на различные должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько возможных групп по три человека можно составить из 10 кандидатов? Решение. Группы могут отличаться и составом претендентов и заполняемыми вакансиями, т. е. порядком, следовательно, число таких групп равно: 10! 10! A103 8 9 10 720. 10 3! 7! Пример. Экзамен сдает 30 студентов. В начале экзамена по порядку запускают 6 студентов. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Число способов равно (важен порядок ) A306 30! 25 26 27 28 29 30 427518000. 24! 2. Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов и которые отличаются друг от друга, по крайней мере, одним элементом. Число таких комбинаций можно вычислить по формуле: Cnm n! , m!(n m)! где n!=123…n, причем, 0!=1. Имеют место следующие равенства: С nn 1 ; C n1 n ; C n0 1 ; Cnm Cnnm . В их справедливости предлагается убедиться самостоятельно. Пример. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между двумя любыми участниками должна быть сыграна одна партия? Решение. Каждая партия играется 2 участниками и отличается только составом пар, но не порядком. Следовательно, количество партий равно: 16! 15 16 2 C16 15 8 120. 2!14! 2 Пример. Группе из 25 студентов надо выбрать делегацию из 3 человек на студенческую конференцию. Сколькими способами это можно сделать? Решение. 3. Перестановками из n элементов называются такие соединения, каждое из которых содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга только порядком расположения элементов. Число перестановок определяется следующей формулой: Рn=n! Пример. Порядок выступления 5 участников конкурса определяет жребий. Сколько различных вариантов жеребьевки возможно? Решение. В каждом варианте жеребьевки участвуют все конкурсанты, эти варианты отличаются друг от друга только порядком следования участников, следовательно, количество вариантов жеребьевки можно вычислить по формуле: Р5 5! 1 2 3 4 5 120. Пример. Студенты должны сдать 4 экзамена. Сколькими способами деканат может составить последовательность сдачи экзаменов? Решение. Число способов равно Р4 4! 1 2 3 4 24. Выше предполагалось, что все n элементов различны, если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляются по другим формулам. Число сочетаний с повторениями из n элементов по m равно m C n Cnm m 1 , а число размещений с повторениями из n элементов по m равно m An nm . Если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов второго вида…, n k элементов k го вида, то число перестановок с повторениями определяется формулой: Pn (n1 , n2 ,..., nk ) n! , n1!n2 !... nk ! где n1 n2 ... nk n. Примеры. 1. Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где 4 разных сорта пирожных? Решение. 6 пирожных из 4 можно выбрать только с повторением, причем порядок не важен, следовательно, это сочетания с повторениями. Число таких комбинаций равно: 6 C4 C96 9! 7 8 9 7 4 3 84. 6!3! 23 2. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5, 6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, цифры 5 и 6 повторяются по 2 раза? Решение. Количество таких чисел определяется по формуле числа перестановок с повторениями, т. к. все эти числа состоят из одних и тех же семи цифр и отличаются друг от друга только порядком расположения этих цифр в числе. Следовательно: P7 (3,2,2) 7! 4567 5 6 7 210. 3!2!2! 22 3. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установили различные призы? Решение. Каждый вариант распределения призов представляет собой комбинацию из 10 по 5 кинофильмов, причем варианты друг от друга могут отличаться составом фильмов, порядком по номинациям (т.к. призы различны), фильмы могут повторяться, т.к. один фильм может победить по нескольким 5 номинациям одновременно. Их число равно A10 =105=100000. Примеры непосредственного вычисления вероятностей Пример 1. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковые? Решение. Пусть А – событие, заключающееся в том, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковые. Для нахождения вероятности этого события воспользуемся классическим определением: m P( A) , n где n – число двузначных чисел (двузначные числа 10-99, всего их 90), m – количество чисел, имеющих одинаковые цифры (таких чисел 9, это – 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Следовательно: 9 P( A) 0,1. 90 Пример 2. На 6 одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова ТАЛАНТ – по одной на каждой. Карточки тщательно перемешаны, их вынимают наудачу и располагают на столе одна за другой. Какова вероятность получить слово ТАЛАНТ? Решение. Обозначим А – получилось слово «талант». Занумеруем карточки с буквами: т а л а н т 12 3 4 5 6 Если буквы «а» переставить местами, то слово не изменится, но изменится порядок цифр: 1 4 3 2 5 6. Если переставить местами буквы «т», то получим следующую комбинацию номеров: 6 2 3 4 5 1 или 6 4 3 2 5 1. Следовательно: m =4; n =6!, т. к. каждая комбинация будет содержать все буквы и отличаться от других только порядком расположения букв. Значит P( A) 4 1 . 720 180 Можно воспользоваться формулой числа перестановок с повторениями: n P6 (2,2,1,1) 6! 3 4 5 6 180 ; 2!2! 2 m =1, значит 1 Р(А)= 180 . Пример 3. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что количества очков на двух костях равны? Решение. Всего вариантов выпадения очков на двух костях равно числу клеток в таблице, т.е. 36. Число благоприятных случаев совпадает с числом клеток таблицы, в которых стоит «+». Таких клеток всего 6. Следовательно, P A 6 1 . 36 6 Пример 4. В партии из 100 деталей 90 стандартных и 10 бракованных. Наугад выбираем 3 детали. Какова вероятность, что среди них точно 2 детали стандартные? Решение.
