В. Е. Зализняк, О. А. Золотов Введение в математическое моделирование Учебное пособие для вузов Рекомендовано Учебно-методическим отделом высшего образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по естественнонаучным, математическим направлениям Книга доступна на образовательной платформе «Юрайт» urait.ru, а также в мобильном приложении «Юрайт.Библиотека» Москва Юрайт 2020 УДК 519.6(075.8) ББК 22.193я73 З-23 Авторы: Зализняк Виктор Евгеньевич — PhD, доцент базовой кафедры математического моделирования и процессов управления Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета (главы 1—3, 5, 8); Золотов Олег Александрович — кандидат физико-математических наук, доцент базовой кафедры математического моделирования и процессов управления Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета (главы 4, 6, 7, 9). З-23 Зализняк, В. Е. Введение в математическое моделирование : учебное пособие для вузов / В. Е. Зализняк, О. А. Золотов. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 133 с. — (Высшее образование). — Текст : непосредственный. ISBN 978-5-534-12249-7 В учебном пособии рассматриваются основные идеи и подходы, позволяющие строить математические модели изучаемых объектов. Представлены примеры построения математических моделей на основе использования фундаментальных законов сохранения и вариационных принципов. Приводятся примеры построения математических моделей в различных областях знаний, таких как физика, химия, биология, экономика и гуманитарные науки. Для студентов бакалавриата направлений «Прикладная математика и информатика» и «Математика и компьютерные науки», а также для всех интересующихся математическим моделированием. УДК 519.6(075.8) ББК 22.193я73 Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав. ISBN 978-5-534-12249-7 © Зализняк В. Е., Золотов О. А., 2020 © ООО «Издательство Юрайт», 2020 Оглавление Введение........................................................................................... 6 Глава 1. Основные принципы моделирования.............................. 9 1.1. Определение и свойства моделей……………………………………… 9 1.2. Возникновение математической модели…………………………… 10 1.3. Классификация математических моделей…………………………… 12 1.4. Основные требования к модели……………………………………… 13 Контрольные вопросы.............................................................................. 13 Литература............................................................................................. 13 Глава 2. Универсальность математических моделей..........................................................................................14 2.1. Движение шарика на пружине………………………………………… 14 2.2. Простейшая модель изменения зарплаты и занятости …………… 15 Контрольные вопросы.............................................................................. 16 Литература............................................................................................. 16 Глава 3. Применение законов сохранения к построению математических моделей..............................................................17 3.1. Течение идеальной жидкости…………………………………………… 17 3.2. Распространение тепла………………………………………………… 20 3.3. Движение транспорта…………………………………………………… 22 3.4. Рост дерева………………………………………………………………… 25 Контрольные вопросы.............................................................................. 26 Литература............................................................................................. 27 Глава 4. Применение вариационных принципов к построению математических моделей.....................................28 4.1. Брахистохрона и цепная линия………………………………………… 28 4.2. Законы Кирхгофа………………………………………………………… 34 4.2.1. Электрические цепи постоянного тока..................................34 4.2.2. Первое правило Кирхгофа......................................................36 4.2.3. Второе правило Кирхгофа.......................................................38 4.3. Стационарные физические поля……………………………………… 41 4.3.1. Поля электрического тока в проводнике. Основные понятия............................................................................42 4.3.2. Уравнение для потенциала электрического поля..................43 4.3.3. Расчет поля электрического тока в параллепипеде...............46 3 Контрольные вопросы.............................................................................. 47 Литература............................................................................................. 48 Глава 5. Моделирование физических процессов.......................................................................................49 5.1. Модели частиц…………………………………………………………… 49 5.1.1. Молекулярная динамика.........................................................50 5.1.2. Гранулированная среда...........................................................57 5.2. Решеточные модели……………………………………………………… 60 5.3. Движение жидкости в пористой среде………………………………… 66 Контрольные вопросы.............................................................................. 69 Литература............................................................................................. 70 Глава 6. Моделирование в химии.................................................71 6.1. Химическая кинетика…………………………………………………… 71 6.2. Графическое представление молекул и их свойств………………… 76 Контрольные вопросы.............................................................................. 78 Литература............................................................................................. 79 Глава 7. Моделирование в биологии............................................80 7.1. Модель отношений в системе «хищник — жертва»………………… 80 7.1.1. Модель Лотки — Вольтерры....................................................80 7.1.2. Модель Холлинга — Тэннера...................................................84 7.2. Популяции с дискретным размножением…………………………… 87 7.3. Замкнутые экосистемы………………………………………………… 92 7.3.1. Система с одним уровнем и одним биогеном........................94 7.3.2. Система с одним уровнем и двумя биогенами.......................96 7.3.3. Система с двумя уровнями и одним биогеном.......................98 Контрольные вопросы............................................................................ 103 Литература........................................................................................... 104 Глава 8. Моделирование экономических процессов..................................................................................... 105 8.1. Оптимизация прибыли предприятия……………………………… 105 8.2. Модели рынка одного товара………………………………………… 107 8.3. Рекламная кампания………………………………………………… 110 Контрольные вопросы............................................................................ 113 Литература........................................................................................... 114 Глава 9. Моделирование в гуманитарных науках........................................................................................... 115 9.1. Анализ текстов………………………………………………………… 115 9.1.1. Частотные характеристики текстов..................................... 115 9.1.2. Закон Зипфа.......................................................................... 117 9.2. Социальная система «политика — экономика»…………………… 119 9.3. Модель работы человеческой психики…………………………… 124 Контрольные вопросы............................................................................ 128 Литература........................................................................................... 128 4 Приложение. Практические задания на построение математических моделей...........................................................129 Новые издания по дисциплине «Математическое моделирование» и смежным дисциплинам ............................. 132 Введение В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надежно использовано на практике без помощи и вмешательства математики. Фрэнсис Бэкон Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления. А. Н. Колмогоров Невозможно представить себе современную науку и технологию без широкого применения математического моделирования. Суть этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» — математической моделью и дальнейшем изучении модели аналитическими методами или с помощью компьютерного моделирования. Этот метод познания сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные) эксперименты с моделями объектов позволяют подробно и глубоко изучать объекты (преимущества эксперимента). Поэтому методология математического моделирования бурно развивается и охватывает все новые сферы — от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов. Различные системы, изучаемые современной наукой, часто не поддаются исследованию с нужной полнотой и точностью обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними либо дорог, либо опасен, либо попросту невозможен. Поэтому компьютерное моделирование является важной составляющей научно-технического прогресса. Его можно условно разбить на три этапа: математическая модель — вычислительная модель — программа. 6 На первом этапе строится «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства. Математическая модель исследуется теоретическими методами, что позволяет получить предварительные знания об объекте. Второй этап — выбор (или разработка) вычислительной модели (алгоритма) для реализации математической модели на компьютере. Алгоритм определяет последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы не должны искажать основные свойства математической модели, должны быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров. На третьем этапе создаются программы, «переводящие» модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. Их можно назвать «электронным эквивалентом» изучаемого объекта, пригодным для проведения вычислительных экспериментов с помощью «экспериментальной установки» компьютера. Создав такую «экспериментальную установку», исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается и тестируется. После этого с моделью проводятся разнообразные опыты, из которых можно определить требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. В процессе моделирования все звенья вычислительного эксперимента могут улучшаться и уточняться по мере необходимости. В данной книге мы рассмотрим первый этап компьютерного моделирования — построение математических моделей. Нам представляется полезным появление книги, в которой бы рассматривались основные идеи построения математических моделей. Несмотря на то что создание любой новой модели есть творческий процесс, существуют общие подходы, методы, инструменты, пригодные для различных предметных областей. Именно технологии создания математических моделей и будет уделено наибольшее внимание. Предлагаемая книга основана на материале курсов лекций «Элементы математического моделирования» и «Концепции современного естествознания», которые авторы читают студентам Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета. Идея создания курса лекций «Элементы математического моделирования» принадлежит профессору В. К. Андрееву, заведующему базовой кафедрой математического моделирования и процессов управления Института математики и фундаментальной информатики СФУ. Книга ориентирована в первую очередь на студентов бакалавриата направлений «Прикладная математика и информатика» и «Математика и компьютерные науки». 7 В результате изучения книги студент должен: знать — основные понятия, методы, место и роль математического моделирования в решении научно-практических задач с использованием современного математического аппарата; уметь — применять современный математический аппарат моделирования при решении научно-практических задач прикладной математики; владеть — навыками решения практических задач с помощью математического моделирования, основываясь на базовых знаниях естественных наук. Глава 1. Основные принципы моделирования Наилучшей моделью кота является другой кот, а еще лучше — тот же самый кот. Н. Винер 1.1. Определение и свойства моделей Все то, на что направлена человеческая деятельность, называется объектом (лат. objectum — предмет). Большинство философий определяют объекты как некоторые цельные сущности, выделяемые из материи (или сознания) и взаимодействующие между собой и внешней средой. С этой точки зрения целью любой науки является разделение множества объектов на классы и их исследование, и науки прежде всего различаются методологией получения и обработки информации об объектах. Модель (лат. modulus — мера) — это объект‑заместитель объекта‑оригинала, служащий для изучения некоторых свойств оригинала. Тогда моделирование есть замена объекта его моделью для получения информации о нем через проведение экспериментов с его моделью. И. Т. Фролов отмечал, что «моделирование означает материальное или мысленное имитирование реально существующей системы путем специального конструирования аналогов (моделей), в которых воспроизводятся принципы организации и функционирования этой системы» [2]. Таким образом, модель есть средство познания через отображение. Теория замещения одних объектов другими объектами (их моделями) и исследование свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования. Среди научных моделей наиболее успешными оказались математические модели. Математическая модель — описание объекта моделирования, выраженное через математические объекты. Любая математическая модель позволяет по исходным данным найти значения интересующих исследователя параметров моделируемого объекта, т. е. суть модели заключается в отображении некоторого заданного множества P допустимых входных параметров Х на мно9 жество значений R допустимых выходных параметров Y, и математическая модель есть некоторый математический оператор А, т. е. A : X → Y , X ∈ P , Y ∈ R. В зависимости от природы моделируемого объекта элементами множеств Х и Y могут быть числа, векторы, функции, функционалы, множества и др. Рассмотрим основные этапы математического моделирования. • Первый этап — определение целей моделирования. Эти цели могут быть различными: — модель нужна для того, чтобы понять, как функционирует объект, каковы его структура, основные свойства и каковы законы взаимодействия объекта с окружающим миром (понимание); — модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить оптимальные способы управления при заданных целях и критериях (управление); — модель нужна для того, чтобы прогнозировать последствия различных форм воздействия на объект (прогнозирование). • Второй этап — определение входных и выходных параметров модели; разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. • Третий этап — построение математической модели. На этом этапе происходит переход от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей математическое представление. Математическая модель — это уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциальные уравнения или системы таких уравнений и пр. 1.2. Возникновение математической модели Математическая модель может возникнуть тремя путями. 1. В основе всех последующих моделей лежат феноменологические модели, формулируемые в математической форме в виде законов природы и получающиеся в результате прямого изучения реальных объектов и дальнейшего обобщения полученных массивов данных. 2. Из общих законов следуют частные случаи. Их тоже рассматривают как модели. Такие модели получаются дедукцией и называются асимптотическими. 3. В некоторых случаях объект можно представить как систему из большого количества подобных друг другу объектов, модели которых известны. Такие модели получаются с помощью индукции и называются моделями ансамблей. Естественно, что математическая модель и реальный процесс не тождественны. Математическая модель строится под конкретные 10 цели исследования путем отбрасывания зависимостей, представляющихся несущественными, и путем упрощения существенных зависимостей, если они сложны. Также часто существенные зависимости известны только качественно. Поэтому математическая модель всегда приближенно отражает реальный объект. Точность этого отражения зависит от степени адекватности модели и объекта и от точности применяемых методов вычислительной математики. Схема построения математических моделей состоит из следующих блоков. 1. Качественное описание объекта или явления. Исходя из целей исследования объекта используются общие сведения о его природе и делаются некоторые предположения, 2. Идеализация объекта. Опять же исходя из целей исследования объекта отбрасываются все факторы и эффекты, которые представляются несущественными. При возможности влияние отброшенных факторов оценивается количественно. 3. Выделение величин и зависимостей, подлежащих исследованию. 4. Выбор законов, которым подчиняются эти величины. В качестве определяющих законов, например в физике, используются универсальные законы (законы сохранения, симметрии, правила размерности), соотношения, следующие из вариационных принципов, и феноменологические законы (типа законов Ньютона, Кулона, Гука, Фурье, Дарси). 5. Выбор области значений параметров, в которой требуется изучить данное явление. Например, если математическая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений, то задание области требует задания начальных и (или) граничных условий. Наиболее часто математическая модель представляется системой дифференциальных уравнений. Можно выделить несколько наиболее распространенных типов задач для систем дифференциальных уравнений: 1) задача Коши, или задача с начальными условиями, в которой по заданным в начальный момент времени переменным (начальным условиям) определяются значения этих переменных для любого момента времени; 2) начально-граничная, или краевая, задача, когда условия на искомую функцию задаются в начальный момент времени для всей пространственной области и на границе последней в каждый момент времени; 3) задачи на собственные значения — это краевые задачи, в которых правые части зависят от одного или нескольких параметров. Значения этих параметров неизвестны, а решения краевых задач существуют только при определенных значениях параметров, которые называются собственными значениями. 11 1.3. Классификация математических моделей Классификация математических моделей, очевидно, определяется прежде всего целью, с которой она проводится. Так, для подготовки научных сотрудников необходима классификация математических моделей по научным отраслям их применения. Также можно классифицировать их по характеру поведения модели — линейные и нелинейные, стационарные и динамические. Для математиков наиболее важным представляется математическое содержание модели — например, дискретные и непрерывные модели, стохастические и детерминированные модели. Также им важно и представление модели — дифференциальные уравнения, алгебраические уравнения, … — из которого следуют возможные способы исследования модели. Не менее важен и допускаемый представлением конкретный способ исследования — аналитический или численный. Рассмотрим следующую классификацию математических моделей [1]. Все математические модели в соответствии с вышеуказанными целями моделирования можно разбить на четыре группы. 1. Модели прогноза. Основное назначение этих моделей: зная начальное и граничное условия, определить поведение системы во времени и в пространстве. Примерами могут служить модели механики, гидродинамики, распространения тепла, химической кинетики. 2. Оптимизационные модели. Эти модели используются для проектирования различных технологических систем и оптимального управления различными процессами — технологическими, экономическими и др. Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями часто называются методами математического программирования. 3. Кибернетические модели. В данных моделях отсутствует непосредственное подобие физических процессов реальным процессам. В этом случае реальный объект рассматривают как некий «черный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между выходами и входами. Чаще всего при использовании кибернетических моделей проводят анализ поведения объекта при различных воздействиях внешней среды. Таким образом, в основе кибернетических моделей лежит отражение некоторых процессов управления, что позволяет оценить поведение реального объекта. 4. Модели трудноформализуемых объектов. Существуют различные ситуации, которые не могут быть полностью формализованы. Для изучения таких процессов необходимо включение в математическую модель дополнительного звена — 12 человека. В таких ситуациях используются имитационное моделирование, а также методы экспертиз и информационных процедур. 1.4. Основные требования к модели Адекватность. Важнейшим требованием, предъявляемым к модели, является требование ее адекватности (лат. adaequatus — приравненный), т. е. правильного соответствия изучаемому реальному объекту относительно выбранных свойств объекта. При этом адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых критериев. Если модель адекватна объекту, тогда она может служить основой для прогнозирования поведения или свойств исследуемого объекта. Простота. Предпочтительна та модель, которая, позволяя достичь желаемых результатов, является более простой. При этом адекватность и простота не являются противоречивыми требованиями. Потенциальность. Потенциальность модели (лат. potentia — мощь, сила) — это предсказательность модели, т. е. возможность получения новых знаний об исследуемом объекте. Именно свойство потенциальности модели позволяет выступать модели в качестве самостоятельного объекта исследования. Доступность исходных данных. Если исходные параметры и зависимости неизвестны, то результаты математического моделирования дадут ответ на вопрос — какими свойствами могут обладать объекты рассматриваемого класса. Моделирование конкретного объекта может оказаться затруднительным. Контрольные вопросы 1. Что такое модель? 2. Чем математические модели отличаются от других? Приведите примеры нематематических моделей. 3. Каковы наиболее распространенные типы задач для моделей, описываемых дифференциальными уравнениями? 4. Что такое модели трудноформализуемых объектов? 5. Каковы основные требования к модели? Литература 1. Мадаев, С. Р. Моделирование как важная составляющая в современной науке / С. Р. Мадаев // Системные технологии. 2015. № 16. С. 95—103. 2. Фролов, И. Т. Гносеологические проблемы моделирования / И. Т. Фролов. — Москва : Наука, 1961. С. 20.
