Муниципальная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку» Физико-математическое направление (физика, математика, информатика) Лист Мёбиуса Выполнили: Долинская Алина Андреевна, Савастьянова Анастасия Викторовна ученицы 6 класса МБОУ СОШ № 24 пос. Бира Научный руководитель: Мостовая Д.В. учитель математики МБОУ СОШ № 24 пос. Бира 2016г. Оглавление Стр. Введение 3 История открытия 4 Изготовление листа Мебиуса 5 Свойства листа Мёбиуса 6 Эксперименты с листом Мёбиуса 7 Применение листа Мёбиуса 10 Заключение 14 Список литературы 14 2 Введение У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверхность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. У всех этих поверхностей по две стороны. Но существует поверхность у которой только одна сторона. Она называется "Лист Мёбиуса". Впервые о таинственной и знаменитой петле мы узнали из фантастического рассказа Дж. Дейча «Лист Мёбиуса». Учитель в школе показала нам, как он выглядит и нас очень заинтересовала эта тема, поэтому мы решили узнать как можно больше о его свойствах, особенностях и истории открытия. Мы изучили литературу, затем сами изготовили лист Мебиуса, проводили исследования, ставя опыты, изучая его удивительные свойства. Лента Мёбиуса – бумажная лента, повёрнутая одним концом на полоборота (то есть 180 градусов) и склеенная с его другим концом. Актуальность нашей темы в том, что миллионы людей во всех частях света даже не подозревают, что они каждый день используют ленту Мёбиуса: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т.д. Кроме того, существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности- чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуется с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. Из этого можно сделать вывод о реальности зеркальных миров- ведь космонавты, совершившие путешествие по ленте Мёбиуса и вернувшиеся в исходную точку, превратятся в зеркальных своих двойников. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти- спираль замыкается сама на себе и происходит самоуничтожение. Физики утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности отражение в зеркале- это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника. В связи с этим гипотеза нашей работы заключается в том, что принципы построения листа Мебиуса применяются в науке и искусстве. Поэтому цель нашей работы: рассказать и показать людям, что на вид простая лента, повёрнутая на пол-оборота со склеенными концами, может заключать в себе много неожиданностей и замечательных свойств. Перед собой мы поставили следующие задачи: 1. познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса; 2. научиться самим и научить других изготавливать лист Мёбиуса; 3 3. изучить разнообразные свойства листа Мёбиуса; 4. узнать, где используются его свойства; 5. провести несколько опытов с лентой Мёбиуса демонстрировать их; 6. Рассмотреть применение листа Мёбиуса на практике. и научиться История открытия Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (лента Мёбиуса) придумал в 1858 г. Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мёбиус (17901868), ученик «короля математиков» Гаусса. Август Фердинанд Мёбиус годы жизни 1790-1868г.г., немецкий геометр. Родился в городе Шульпфорт. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. Профессор Лейпцигского университета с 1816 года. Мёбиус впервые ввёл проективную геометрию систему координат и аналитические методы исследования; получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования; исследовал коррелятивные преобразования. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. Стал её директором. Работая в спокойном уединении, Мёбиус сделал много интересных открытий. Установил (1858г.) существование односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса. Существуют две легенды открытия односторонней поверхности. По первой легенде, знаменитую ленту Мебиуса изобрел вовсе не сам Август Фердинанд Мебиус, немецкий астроном и математик, а его горничная, которая в силу невезения неправильно прострочила воротничок рубашки ученого, таким образом, войдя в историю. По второй легенде, открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, ученик знаменитого К.Ф. Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор 4 Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году. Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса – всего одна сторона и один край. Открытие листа Мёбиуса положило начало новой науке, которая называется топология. Изготовление листа Мёбиуса Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВВ А', перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и А'В', т.е. так, что совместятся точки А и В' и точки А' и В. Получим перекрученное кольцо. ' Полоска для изготовления листа Мёбиуса должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Из квадратного листа ленты Мёбиуса не сделаешь. Это верно, но нельзя недооценивать тот факт, что ограничения на размер имеют значения в том случае, когда бумагу запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то лист Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров – склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее не 5 склеиваемых. Сделать это можно так. Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его чётное количество раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим лист Мёбиуса, вставляя соответствующие части гармошки друг в друга. Из рисунка 1 видно, что лист бумаги, из которого склеен лист Мёбиуса, оказался смятым. Рис.1 Рис.2 Рис.3 Предположим теперь, что бумажную полоску можно изгибать, но не мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из неё лист Мёбиуса. Таким образом, существует число λ, что из полоски длины больше λ, лист Мёбиуса склеить можно, а из полоски длины меньше λ – нельзя (что будет для полоски, длина которой в точности равна λ, нас не интересует). Очень хотелось бы найти это λ. Удивительно, но решение этой задачи до сих пор неизвестно, но ученые нашли ограничения на число λ Свойства Листа Мёбиуса 1. Лист Мебиуса – односторонняя поверхность. Односторонность – из любой точки поверхности можно попасть в любую другую не пересекая край. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: если постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, то по завершении работы, можно обнаружить, что весь он полностью окрашен. 6 2. Лист Мебиуса – неориентированная поверхность. Если бы муравей прошёл по листу Мёбиуса, то когда он вернулся в исходную точку он превратился бы в своё зеркальное отражение. 3. Если разрезать лист Мебиуса по его средней линии, то он превращается в перекрученное кольцо. 4. Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). 5. Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами. 7 Подробнее все свойства листа Мебиуса мы рассмотрим в следующем пункте. Эксперименты с листом Мёбиуса №1. Нужно взять полоску бумаги и сделать два разреза по бокам. Соединить между собой пары концов, как у листа Мебиуса, перекручивая их в разных направлениях. Получится сиамский лист Мебиуса. №2. Что получится, если обыкновенное (не перекрученное) бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? Очевидно – два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого колечка. А если вы разрежете лист Мебиуса вдоль его средней линии, то вместо двух лент получится одна длинная лента с двумя полуоборотами - «афганская лента». №3. Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами. 8 №4. Если разрезать ленту на четыре равные части, то мы получим две ленты с двумя полуоборотами. №5. Зацепим лист Мёбиуса и простое кольцо и разрежем каждое звено этой цепочки по средней линии вдоль. Получится лента с двумя полуоборотами. И за эту ленту зацеплены два кольца, каждое из которых в два раза уже исходного. №6. Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии. Вы поразитесь тому, что получится, если разрезать двойное кольцо. 9 Получилась квадратная рамка! Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мёбиуса. Мы убедились в том, что лист Мёбиуса обладает такими топологическими свойствами как односторонность, непрерывность, связность. Физики, утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой, зеркального своего двойника! В силу своих необычных свойств лента Мёбиуса широко используется на протяжении последних 75 лет фокусниками. На основе исследований проведённых нами с кольцами из перекрученной ленты можно показать серию фокусов. 1. Если трижды перекрученную ленту продеть сквозь перстень склеить концы, а затем разрезать её вдоль посередине, то получим одно большое кольцо с узлом, завязанным вокруг перстня. 2. Проблема завязывания узлов. Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок. 10 3. Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека. Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку. Тот же самый эксперимент можно провести и, не расстегивая жилета. Единственное неудобство будет заключаться в том, что жилет слишком узок для снятия через голову. Поэтому жилет можно заменить свитером. Манипуляции со свитером в точности повторяются. Этот эксперимент можно демонстрировать и на себе, для чего нужно соединить шнуром кисти рук, оставляя между ними сантиметров 40, чтобы обеспечить свободу движений, и руки сцепить впереди. 11 4. Распутывание колец из верёвок. Двое участников связаны веревками за руки. Тем самым руки и веревки образовывают два сцепленных кольца. Необходимо, не развязывая веревок, распутаться. Отгадка этого опыта кроется в том, что на руках у участников есть еще по две петли. Необходимо одну веревку протянуть через одну из петель на руках другой веревки и снять петлю через кисть руки. Применение листа Мёбиуса Удивительные свойства листа Мёбиуса применяются и используются сейчас в технике, физике, оптике. Он вдохновил на творчество многих писателей, художников и архитекторов. Во многих странах мира запатентованы на его основе удивительные механизмы. Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза, потому что вся поверхность листа равномерно изнашивается. В технике, например, при шлифовании, широко используются мебиусные ленты. Подобные устройства способны не только шлифовать, но и резать различные материалы, те же граниты и базальты. Эта лента отлично работает при обвязке и переноске грузов в портах. Ленты конвейеров для перемещения горячих материалов, если их вывернуть по Мебиусу, будут по очереди «отдыхать» от раскаленных материалов. В итоге охлаждение ленты улучшается, а лента равномерно изнашивается, а значит, и служить она будет дольше. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и соответственно время звучания. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это даёт ощутимую экономию. Лист Мёбиуса применяют в велосипедной и волейбольной камере. 12 Совсем недавно ей нашли другое применение - она стала играть роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лист Мёбиуса же, вопреки всем законам, направление срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках – её нельзя перекрутить, как обычную – своего рода вечный двигатель. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Аттракцион "Американские горки" напоминает форму листа Мебиуса. В Москве находятся самые большие в мире американские горки инвертированного типа, где человек сидит в подвешенном кресле, а его ноги находятся в воздухе. Скорость - 81 км/ч, высота 30 м. Высота, по сравнению с зарубежными аналогами, невелика, но это с лихвой окупается обилием спиралей, колец и мёртвых петель. Современная лента Мёбиуса нарисована на одной из стен в Праге, Чехия. По ленте двигаются два типа машин: танки и строительно-дорожная техника. Символ современной цивилизации: разрушаем-строим-разрушаемстроим. В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт” находится памятник "Ленте Мёбиуса". Памятник был установлен в 1997 году. Авторы памятника: скульптор А.З.Налич, архитектор О.Н.Иванченко и строитель Г.Л.Федорков. В Екатеринбурге на улице Свердлова установлен памятник листу Мёбиуса в 2008 году. Скульптор Адуашвили. 13 Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса. Наиболее распространена вторичная, третичная и т. д. переработка в том или ином масштабе таких материалов, как стекло, бумага, алюминий, асфальт, железо, ткани и различные виды пластика. Также с глубокой древности используются в сельском хозяйстве органические сельскохозяйственные и бытовые отходы. Лист Мёбиуса считают символом современной математики, так как именно он дал толчок новым математическим исследованиям. Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла». В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса». Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп». Мёбиусовый лист понравился не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных 14 фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины). Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса. Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из г. Токио Джина Акияма. Его представление напоминало шоу иллюзиониста, где было место и листу Мёбиуса (работа с бумагой « Лист Мёбиуса и его модификации»). 15 Заключение Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников. Нам были очень интересны открытые свойства листа Мёбиуса: Лист Мебиуса имеет один край, одну сторону; Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, он не меняет своих свойств, пока его не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски; Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния; Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в технике, физике, и архитектуре. Он вдохновил на творчество многих писателей и художников; Чудесные свойства ленты порождают множество научных трудов, изобретений. Работая над данной темой, мы получили удовольствие от полезной и интересной информации о листе Мёбиуса от того, что мы смогли сделать своими руками и поделиться этим с одноклассниками. Нами не исчерпаны опыты с листом Мёбиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения. Список литературы 1. Б. А. Кордемский «Математическая смекалка»: М.: «В - 71», 1957 2. В. В. Трошин «МАГИЯ ЧИСЕЛ И ФИГУР «Занимательные материалы по математике»»: М.: «Глобус», 2007 3. Волошинов А.В., "Математика и искусство" издательство: "Просвещение" 4. Гарднер М. «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978г 5. интернет - ресурсы сайта: http://ru.wikipedia. 6. Кордемский Б. А. Топологические опыты своими руками Квант, 1974 7. Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь «Педагогика»,1987 8. Стинрод Ю. и Чинн У. «Первые понятия топологии», Москва, издательствово «Мир», 1967 год 9. «Я познаю мир «Математика»»: Минск: «АСТ – ЛТД», 1998 10. А. Дж.Дейч. Лист Мебиуса 16
