Функция нескольких переменных Е.В. Милованович, Л.В. Розовский, Т.Ю. Ивановская, А.М. Камоцкая, И.Л. Степанова, Н.И. Травина Точечные множества в n-мерном пространстве • N-мерное координатное пространство –это множество всевозможных упорядоченных совокупностей n вещественных чисел (х1, х2, …хn). Каждую такую совокупность называют точкой nмерного пространства, а сами числа – ее координатами. • Например, плоскость – двумерное координатное пространство, в котором любая совокупность двух вещественных чисел определяет точку (координаты точки на плоскости можно обозначить (х1, х2), а не только (х, у) Прямая – одномерное координатное пространство. Координаты точки в трехмерном пространстве можно обозначить (х1, х2, х3) или (х, у, z). Для координат можно использовать различные обозначения, но при этом число координат должно соответствовать размерности пространства (т.е. в двумерном пространстве – две координаты, на прямой – одна координата, в трехмерном пространстве – три координаты, в десятимерном – десять координат и т.д.) Отметим, что если пространства размерности до трех включительно можно зрительно представить себе и даже изобразить, то пространства большей размерности представляют собой научную абстракцию. Декартова система координат в трёхмерном пространстве Замкнутый шар на плоскости представляет собой круг. Сфера на плоскости представляет собой окружность. Замкнутый шар на прямой – это отрезок (центр – его середина, радиус – половина длины). Сфера – концы этого отрезка. В трехмерном пространстве шар и сферу легко представить себе визуально. В пространствах большей размерности они представляют собой научную абстракцию. Следует отметить, что если к открытому шару присоединить сферу того же радиуса с тем же центром, то будет получен замкнутый шар. Например, круг на плоскости – это открытый круг вместе с окружностью. -окрестность точки X(0)- это открытый шар радиуса > 0 с центром в точке X(0) . Например, на прямой всякий интервал с серединой в точке х0 длиной 2 называется -окрестностью точки х0. На плоскости всякий oткрытый круг радиуса с центром в точке М0(х0,y0)- это -окрестность точки М0. Граничная точка множества - это точка, в любой -окрестности которой содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и не принадлежащие ему. Например, для шара любая точка соответствующей сферы (с тем же центром и радиусом) является граничной. Граница множества-это множество всех его граничных точек. Если множество содержит все свои граничные точки, оно называется замкнутым. В противном случае множество называется открытым. В частности, в этом заключается отличие замкнутого шара от открытого: открытый шар не содержит свои граничные точки. Открытый круг Замкнутый круг ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Если каждой точке X = (х1, х2, …хn) из множества {X} точек n–мерного пространства ставится в соответствие одно-единственное, вполне определенное значение переменной величины z, то говорят, что задана функция n переменныx z = f(х1, х2, …хn) = f (X). При этом переменные х1, х2, …хn называют независимыми переменными или аргументами функции, z - зависимой переменной, а символ f обозначает закон соответствия. Множество {X} называют областью определения функции (это некое подмножество n-мерного пространства). Функция вида z = а1х1 + а2х2 + … + аnхn + b, где а1, а2,…, аn, b — постоянные числа, называется линейной.Ее можно рассматривать как сумму n линейных функций от переменных х1, х2, …хn. Все остальные функции называют нелинейными. 1 Например, функция 𝑧 = – нелинейная, а 𝑥1 𝑥2 функция z = х1 + 7х2 - 5 – линейная. Задачи, связанные с исследованием линейных функций n переменных, называют задачами линейного программирования. Любой функции z = f (X) = f(х1, х2, …хn) можно поставить в соответствие n функций одной переменной, если зафиксировать значения всех переменных, кроме одной. Поверхностью уровня функции n переменных называется множество точек в n–мерном пространстве, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Само число С в этом случае называется уровнем. В общем виде уравнение поверхности уровня имеет вид 𝑓 𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 … . . 𝑥𝑛 = 𝐶 Обычно для одной и той же функции можно построить бесконечно много поверхностей уровня (соответствующих различным уровням). Для функции двух переменных поверхность уровня принимает вид линии уровня Предел и непрерывность функции нескольких переменных ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Перейдём к рассмотрению простейшего случая функций нескольких переменных- функции двух переменных. Пусть заданы два непустых множества D и E. Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре значений (x,y) из множества D соответствует вполне определенное единственное значение переменной z из множества E, при этом x и y называются независимыми переменными или аргументами, а переменная z называется функцией х и у. Область D называется областью определения функции, множество E={z=f(x,y),(x,y)∈ D}-множеством значений функции. Обозначение функции 2-х переменных: z=f(x,y), или z=F(x,y), или z=z(x,y). Символ f обозначает закон соответствия Частным значением функции z=f(x,y) называют число соответствующее какой-либо определенной паре значений аргументов. Графики функций двух переменных Пример 1 Линии уровня Линией уровня функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) называется множество всех точек плоскости XOY , в которых функция z принимает постоянное значение, т. е. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐶, где C – постоянная. Число C в этом случае называется уровнем. Функция z = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 и её линия уровня при С=1 Предел функции двух переменных Частные производные функции двух переменных Полный дифференциал функции двух переменных Применение дифференциала к приближенным вычислениям ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ В общем случае, дифференциал любого порядка функции двух переменных можно условно записать с помощью символической формулы: Эту формулу следует понимать как некий «оператор», применение которого к функции z=f(x,y) предполагает выполнение частного дифференцирования этой функции, причём порядок этих частных производных определяется степенью соответствующего слагаемого в правой части, которая раскрывается как бином Ньютона Производная по направлению. Градиент Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x, y), определённую на некоторой плоской области D. Под направлением мы будем понимать любой вектор 𝑙Ԧ на плоскости XOY. Пусть М0(х0;у0)- некоторая точка, лежащая в области D. Рассмотрим вектор 𝑙Ԧ = 𝑀0 𝑀 , где M- точка с координатами (х;у), 𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦 = 𝑦0 + ∆𝑦 (см. рис) Обозначим за ∆𝑙 величину отрезка М0М, а ∆z- разность значений исходной функции в точке М и М0 соответственно: ∆𝑧=f(M)-f(M0) Производной функции z=f(x,y) в направлении вектора 𝑙Ԧ называется предел 𝜕𝑧 𝜕𝑙 𝑓 𝑀 −𝑓(𝑀0 ) = lim ∆𝑙 ∆𝑙→0 Производная по направлению показывает насколько сильно меняется функция в направлении, определяемым данным вектором. В частном случае, если вектор 𝑙Ԧ сонаправлен какой-либо координатной оси, то производная по направлению будет совпадать с частной производной. Экстремумы функции двух переменных Решите задачу Формула Тейлора для функции нескольких переменных Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности Односторонние и двусторонние поверхности. Верхняя и нижняя стороны поверхности.