смятие

МОУ «Четкаринская средняя общеобразовательная школа»
Тема: « Как смять пакет от молока, чтобы в него вошло
больше?»
Исполнители: математический
кружок «Принцип».
в составе: Коротких М.
Туманова М.
Репей М.
Чернова Е.
Кожанов М.
Юрин А.
Руководитель: учитель математики
И.Н.Дегтянникова
С.Четкарино
2007 год.
Содержание
стр
1.Предисловие ______________________________________________________3
2.Обзор исследованной литературы в рамках проекта_____________________ 3
3.Описание изготовления модели правильного тетраэдра __________________4
4.Описание изготовления модели смятого тетраэдра из правильного
тетрадра___________________________________________________________ 6
5.Выполнение расчета по формуле объема и построение графика____________7
6.Перспективы исследования __________________________________________9
7.Заключение_______________________________________________________ 9
8.Список литературы________________________________________________ 10
9.Приложения ______________________________________________________11
2
Предисловие
Руководитель кружка познакомила нас с содержанием статьи:
Александров В.А., Как смять пакет от молока, чтобы в него вошло больше
//Соросовский образовательный журнал,2000,№2. Её содержание
заинтересовало нас настолько, что мы решили проверить гипотезу с помощью
расчетов по формуле, приведенной в статье, а само название статьи выбрать в
качестве темы проекта. Так как моделью является многогранник, то возникло
желание раскрасить его грани в разные цвета и узнать, какое наименьшее
количество различных красок нужно для того, чтобы соседние грани не были
окрашены одинаково. Обе задачи являются задачами на оптимизацию, которые
всегда интересовали человека. В настоящее время продолжается поиск
функциональных, эстетичных упаковок для любой продукции, поэтому
выбранная нами тема является актуальной. Мы отобрали материал, содержащий
понятие многогранной поверхности, историю изготовления пакетов для молока,
проблему раскраски поверхностей. Это помогло сформулировать цель и задачи.
Для оформления проекта выбрали тематическую структуру.
Цель: исследование понятия «Смятый тетраэдр» для проверки увеличения
объёма тетраэдра при его смятии и возможности раскраски в четыре цвета.
Задачи:
 Составить обзор литературы по теме «Тетраэдр».
 Изготовить и раскрасить тетраэдр и смятый тетраэдр.
 Выполнить расчёт по формуле объёма, построить график в компьютерной
программе «Excel».
 Наметить перспективы исследования.
Обзор исследованной литературы в рамках проекта
Александров В.А., Как смять пакет от молока, чтобы в него вошло
больше //Соросовский образовательный журнал,2000,№2
Во введении говорится, что интуиция подсказывает: объем смятого пакета
молока меньше, чем исходного. Но, в данной статье доказано, что, если мять
умеючи, то объем может и возрасти. Доказательство начинается с описания
деформации грани по вновь намеченным ребрам. В результате смятия
некоторые части тетраэдра уходят внутрь тетраэдра, а другие выпячиваются.
Автор предлагает формулу для вычисления объема нового многогранника и
график, иллюстрирующий увеличение объёма смятого тетраэдра по отношению
к объёму исходного, в зависимости от выбранных параметров.
В заключении говорится, что разные категории школьников могут поразному использовать данную статью: от изготовления модели до проверки
вычислениями. Отмечено, что смятый тетраэдр не получен непрерывным
изгибанием из правильного тетраэдра, а переход осуществляется скачком.
Александров В.А.. «Изгибаемые многогранные поверхности »//
Соросовский образовательный журнал,1997,№5.
В статье дается описание видов многогранных поверхностей. Они
бывают различные: с самопересечениями, с изгибаемыми и с
выпуклыми гранями и поверхностями. В качестве примера замкнутого
изгибаемого многогранника с самопересечениями приведен
3
октаэдр Брикара, моделью незамкнутой изгибаемой поверхности служит
многогранная поверхность Штеффена. Бумажные модели этих поверхностей
можно изготовить по описанию, приведенному в статье, и проверить изменение
их пространственной формы без деформации граней. Утверждается, что объем
изгибаемого многогранника при изменении его формы остается постоянным.
Автор рассматривает возможные приложения изгибаемых
многогранников в архитектуре, стереохимии, изучении изменения объема в
процессе изгибания.
Самохин. А.В. Проблема четырех красок: неоконченная история
доказательства//«Соросовский образовательный журнал, 2000,№7 .
В начале статьи краткая история, в которой описывается, как впервые
начали разрабатывать проблему о четырех красках: допускает ли
географическая карта раскраску в четыре цвета так, чтобы две страны, имеющие
общую границу, были окрашены по-разному. Данную проблему можно
рассмотреть и на сфере. Далее отмечается, что известно более двадцати
переформулированных эквивалентных проблем, которые оказываются
полезными для описания реальных объектов в природе. Некоторые теоремы
доказаны.
Белюсева Л., Это было недавно…Это было давно// Наука и
жизнь,2006,№10
В заметке описывается история возникновения упаковки для молока в
форме тетраэдра. Её придумал в 1943 году шведский изобретатель и
предприниматель Рубен Раусинг, основатель компании «Тетра Пак». Из рулона
бумаги формуется труба, которая тут же наполняется молоком. Через
определенные промежутки верхняя часть трубы запечатывается под прямым
углом к нижней грани. Получаются пакеты в виде тетраэдра (см. приложение
1),объёмом 100 мл. Производство максимально безотходно. В России молоко в
таких пакетах стали продавать в 1959 году. Далее описывается история
возникновения упаковок для других продуктов.
Составив данный обзор, мы пришли к выводу, что при исследовании будем
использовать знакомые нам из курса черчения понятия «тетраэдр», «развертка
поверхности». Руководитель кружка пояснил нам, что понятие «объем
тетраэдра» рассматривается в курсе геометрии 11 класса, а понятия «смятие
тетраэдра», «изгибаемая поверхность», «проблема 4 красок» выходят за рамки
школьной программы. В этом заключается для нас новизна темы исследования.
Мы определили, что основным инструментом исследования будет выполнение
практических работ.
Описание изготовления модели правильного тетраэдра
Модель правильного тетраэдра мы получили, сконструировав из 6 спичек 4
равных треугольника. Задача имеет решение, если одна из вершин не лежит в
одной плоскости с тремя другими вершинами.
4
Выполняя практическую работу, мы убедились, что разверткой тетраэдра
служит равносторонний треугольник, в котором проведены средние линии. По
ним необходимо согнуть развертку для получения модели.
Другой разверткой правильного тетраэдра является параллелограмм с
углом 600 и со сторонами, находящимися в отношении 1:2.
Мы выяснили, что из произвольного прямоугольника, отличного от
квадрата, также можно получить модель тетраэдра. Для этого на одной стороне
отмечаем середину, а на противоположной откладываем отрезок, равный
половине стороны. Соединив точки отрезками, делаем по ним сгибы.
Модель тетраэдра мы изготовили из 4 заготовок равносторонних
треугольников разного цвета. Таким образом, все соседние грани оказались
окрашенными в разные цвета. Чтобы объем тетраэдра равнялся 100 мл = 1 дм3,
сторону треугольника взяли равной 2,1 дм. Это значение мы вычислили по
формуле объёма правильного тетраэдра V =  2  x3 /12,где х – длина ребра
тетраэдра.
Мы убедились, что равные тетраэдры заполняют пространство «без просветов».
5
По данному этапу исследования мы сформулировали следующие выводы:
самый быстрый способ изготовления тетраэдра из равностороннего
треугольника, достаточно сделать сгибы так, чтобы вершина
оказалась на противоположной стороне;
самой удобной разверткой, с точки зрения производителя, служит
развертка в форме параллелограмма, так как механическое
«запаивание» производится по непрерывной линии;
условию жесткости удовлетворяет модель тетраэдра, изготовленная
из отдельных треугольников с «запасами» для склеивания;
если упаковка будет в форме тетраэдра, то она удобна при
складировании.
Описание изготовления модели смятого тетраэдра из правильного
тетраэдра
Следуя описанию построения модели, предложенному в статье, мы
изготовили смятый тетраэдр. Мы решили, что наша модель должна
удовлетворять условию жесткости. Поэтому, в каждом из четырех равных
равносторонних треугольников выполнили соответствующие построения:
восставили равные перпендикуляры к серединам сторон, соединили их
отрезками между собой и с вершинами треугольника. По ограничению,
приведенному в статье для тетраэдра с ребром 1, длина перпендикуляра не
более  3/6. В нашем тетраэдре длина ребра 2,1 дм, поэтому длину
перпендикуляра взяли не более 0,6 дм. Согнули грани по намеченным отрезкам,
сделав «запасы» по периметру равносторонних треугольников, склеили модель
смятого тетраэдра.
Затем мы занялись раскраской граней. Удалось найти несколько способов
раскраски. Ниже приведена раскраска одной смятой грани. Остальные грани
раскрашиваются аналогично, меняя цвет центрального треугольника на другой.
6
Таким образом, мы убедились, что тетраэдр можно «смять».
Действительно, в результате смятия, некоторые части тетраэдра уходят внутрь
тетраэдра, а другие выпячиваются. Для увеличения жесткости модели, её надо
клеить из отдельных треугольников. В каждой грани число таких новых
треугольников равно 10. Раскрашенная модель выглядит очень эстетично. Мы
проверили, что достаточно 4 различных цвета, чтобы соседние грани были
окрашены в разные цвета. Очевидно, что равные смятые тетраэдры уже не
заполняют пространство, так как являются невыпуклыми многогранниками (см.
приложение 2). Упаковка такой формы не выгодна производителям, хотя бы
потому, что неудобна при транспортировке.
Выполнение расчета по формуле объема и построение графика
В статье приведено доказательство формулы объема смятого тетраэдра
2
 3 – х2
V= х3 +
12
24
 3 – х2
4х2 – 3
 3 –1
2
2
 3 – х2
24
 3 -1
-
2
В этой формуле величина 1/  3  х  1.
В компьютерной программе «Еxcel» мы вычислили значения объема
смятого тетраэдра по этой формуле, значения х помещены в столбце А1.
=2^(1/2)*A1^3/12+((3-A1^2)^(1/2)/24)*(4*A1^2-3*((3^(1/2)*A1-1)/((3^(1/2)1))^2)-(2^(1/2)/24)*((3^(1/2)*A1-1)/(3^(1/2)-1))^2
В результате получили следующую таблицу (см. ниже). Первый столбец значения х, второй столбец - значения объема смятого тетраэдра, третий столбец
– отношение объема смятого тетраэдра к объему исходного тетраэдра.
Наибольшее значение V(x)/ V(1) = 1,313113 , вычисленное нами, не совпало с
указанным в статье значением V(x)/ V(1) = 1,37718. Таким образом, расчет по
формуле показал увеличение объема на 31,3 % а не на 37,7% как указано в
статье.
Мы задались вопросом: « Какой должна быть длина ребра тетраэдра, чтобы
при смятии его объем стал равным 1 л?» Очевидно что объем исходного
тетраэдра должен быть меньше на 31,3 %. Подставив новое значение в формулу
объема тетраэдра, мы вычислили длину ребра тетраэдра. Она будет равной
1,8дм. Это означает, что длина уменьшится на (2,1-1,8):2,1  100% =14,3%. По
формуле площади поверхности правильного тетраэдра S = 3  3  х2/2
вычислили площадь поверхности при х =2,1дм и х=1,8дм. Получили
соответственно 11,5 дм2 и 8,4дм2. Это означает, что площадь поверхности
уменьшится на (11,5- 8,4): 11,5  100%=26,9%.
С точки зрения экономии материала при получении пакетов, идея
изготовления их в форме смятого тетраэдра должна заинтересовать
производителей.
7
Таблица: отношение объема смятого тетраэдра к объему исходного тетраэдра
х
V(x)
0,57 0,110312
0,58 0,114488
0,59 0,118447
0,6 0,122192
0,61 0,125723
0,62 0,129042
0,63 0,132152
0,64 0,135052
0,65 0,137745
0,66 0,140234
0,67 0,142518
0,68 0,144601
0,69 0,146483
0,7 0,148168
0,71 0,149656
0,72 0,150951
0,73 0,152052
0,74 0,152964
0,75 0,153688
0,76 0,154225
0,77 0,154579
0,78 0,154752
0,79 0,154745
0,8 0,154561
0,81 0,154203
0,82 0,153673
0,83 0,152973
0,84 0,152107
0,85 0,151076
0,86 0,149883
0,87 0,148531
0,88 0,147024
0,89 0,145363
0,9 0,143551
0,91 0,141592
0,92 0,139489
0,93 0,137244
0,94 0,134862
0,95 0,132344
0,96 0,129695
0,97 0,126918
0,98 0,124016
0,99 0,120992
1 0,117851
V(x)/ V(1)
0,936028
0,971461
1,005059
1,036833
1,066797
1,094963
1,121345
1,145956
1,16881
1,189922
1,209307
1,226979
1,242955
1,257249
1,269878
1,280859
1,290209
1,297945
1,304085
1,308647
1,31165
1,313113
1,313055
1,311497
1,308458
1,303959
1,298022
1,290669
1,281921
1,271801
1,260332
1,247539
1,233444
1,218074
1,201452
1,183605
1,164559
1,144342
1,122979
1,1005
1,076933
1,052308
1,026653
1,000001
По данным таблицы, используя «мастер диаграмм», получили график
аналогичный графику в статье. Он наглядно подтверждает существование
наибольшего значения отношения объемов смятого и исходного тетраэдров.
8
Отношение объема смятого тетраэдра к объему исходного тетраэдра
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Перспективы исследования
За рамками нашего исследования остался вопрос о том, насколько
сминанием можно увеличить объем других многогранников. Это может стать
направлением дальнейшего исследования, тем более что в статье указан
источник получения информации по данной проблеме.
Другим возможным направлением исследования может быть проверка
практическим путем утверждения о том, что объем изгибаемого многогранника
при деформации остается постоянным.
Решение этих проблем можно осуществить с помощью практических
работ, аналогичных тем, которые провели в данном проекте.
Заключение
Работа над проектом позволила нам получить дополнительные сведения
по предмету математика. Мы научились склеивать бумажную модель тетраэдра
из его развертки разных видов.
Мы узнали, что модель правильного тетраэдра применяется в
производстве пакетов для молока, а вопрос об увеличении, уменьшении,
сохранении объема при смятии или изгибании можно использовать при
решении архитектурных проблем или описании структуры химических молекул.
Нам удалось практическим путем проверить увеличение объема тетраэдра
при его смятии и убедиться, что для раскраски граней достаточно 4 разных
цвета.
9
Мы отметили преимущества и недостатки идеи изготовления пакетов в
форме тетраэдра и вынуждены согласиться с автором статьи, что
производителям эффективнее использовать упаковку в форме прямоугольного
параллелепипеда.
Данная проблема вывела нас на определение перспектив дальнейших
исследований. С материалами нашего исследования можно ознакомить
учащихся 7-11 классов, так как результаты изложены в доступной для учеников
форме.
Литература
1. АлександровВ.А.. «Изгибаемые многогранные поверхности »//
Соросовский образовательный журнал,1997,№5.
2..Александров В.А., Как смять пакет от молока, чтобы в него вошло
больше //Соросовский образовательный журнал,2000,№2
3.Белюсева Л., Это было недавно…Это было давно// Наука и
жизнь,2006,№10
4.Самохин. А.В. Проблема четырех красок: неоконченная история
доказательства//«Соросовский образовательный журнал, 2000,№7 .
10
Автореферат
Команда кружка «Принцип» работала по направлению исследовательской
деятельности «математика и естественные науки». Тема проекта: «Как смять пакет от
молока, чтобы в него вошло больше?».
Цель проекта: исследование понятия «смятый тетраэдр» для проверки увеличения
объема тетраэдра при его смятии и возможности раскраски в четыре цвета.
Задачи:
-составить обзор литературы по теме «Тетраэдр»;
-изготовить и раскрасить тетраэдр, смятый тетраэдр;
- выполнить расчет по формуле объёма, построить график в компьютерной программе
«Excel»;
-наметить перспективы исследования,
Актуальность: производителей интересуют функциональные, эстетические упаковки
для продуктов.
Описание основной математической модели:
Математическими моделями являются формулы площади поверхности и объёма
тетраэдра, объёма смятого тетраэдра, вычисление изменения величины в процентах.
Рассмотрены развёртки и бумажные модели тетраэдра и смятого тетраэдра.
Описание оптимизации данной модели:
Вычислено отношение объёма смятого тетраэдра к объёму исходного, которое
подтвердило увеличение объёма тетраэдра, при его смятии, на 31,3%. Объём смятого
тетраэдра равен 1 л, если длину ребра исходного тетраэдра уменьшить на 14,3%, при этом
площадь уменьшится на 26,9%. Проверено, что наименьшее количество цветов для раскраски
равно 4
.Обзор исследованной литературы:
Составлен обзор статей из журналов «Соросовский образовательный журнал», «Наука
и жизнь». В статьях описаны понятия деформации изгибаемости многогранников, проблема
раскраски. Есть иллюстрация пакета молока в форме тетраэдра.
Краткое описание решения поставленных задач:
Изготовлены и раскрашены модели тетраэдра и смятого тетраэдра. В компьютерной
программе «Excel» проведены формулам и построен график.
Использование вычислительной техники:
Для работы использовался персональный компьютер, программы Microsoft Excel
2002, Microsoft Word.
Описание адекватности модели:
Математические модели проекта достаточно адекватны, поскольку позволили
средствами в пределах школьных знаний проверить или доказать некоторые утверждения
автора статьи.
Дальнейшие перспективы исследования:
Поиск способов смятия.
Проверка утверждения, что объём изгибаемого многогранника при деформации
остаётся постоянным.
Вывод:
Отмечены преимущества и недостатки модели. Производителям эффективнее
использовать упаковку в форме параллелепипеда. С результатами исследования можно
ознакомить учащихся 7-11 классов.
11