Статья Лариошина Д - Сибирский федеральный университет

УДК 514.48: 371.3
ТЕОРЕМА ПОЛЬКЕ В ЛИЦАХ. ЭТАПЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Лариошина Д.А.,
научный руководитель доцент кафедры НГиЧ Борисенко И.Г
ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», Политехнический
институт
Теорема Польке-Шварца является основной теоремой аксонометрии и имеет
важнейшее практическое значение. Открыта немецким геометром Карлом Польке,
доказательство этой теоремы вывел немецкий геометр Г.А.Шварц. Обобщенная
теорема аксонометрии стала называться теоремой Польке - Шварца.
Первая формулировка, высказанная К.Польке в 1853 году: «Три отрезка
О'Е'х,О'Е'у,О'Е'z произвольной длины, лежащие в одной плоскости и выходящие из
одной точки О' под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную
проекцию трех равных отрезков ОЕх,ОЕу,ОЕz,отложенных на прямоугольных осях
координат от начала О.
Вторая формулировка, обобщенная
Г.Шварцем в 1864 году: Всякий
невырождающийся полный четырехугольник можно рассматривать как параллельную
проекцию тетраэдра наперед заданной формы.
Доказательство:
Полным четырехугольником называется фигура, образованная четырьмя
точками общего положения(вершинами) и шестью прямыми определяемыми
вершинами. Невырождающимся считается такой четырехугольник .у которого не все
четыре вершины лежат на одной прямой.
Пусть даны произвольный тетраэдр А0В0С0D0 и полный четырехугольник
ABCD(рис.),который будем рассматривать как проекцию некоторого тетраэдра.
Следовательно, шесть сторон полного четырехугольника являются проекциями
ребер этого тетраэдра. Обозначим диагональную точку пересечения двух сторон двумя
буквами, относя ее к ребру AD(буква L) или к ребру ВС(буква М).Так как простое
отношение трех точек не меняется при параллельном проектировании, то мы можем
найти точки L0 и М0 соответственно на ребрах A0D0 и В0С0 тетраэдра оригинала из
условий:
(A0D0L0)=(ADL)
(B0C0M0)=(BCM)
1
Пусть направление прямой M0L0 совпадает с направлением проектирования ,так
как прямая M0L0 должна проектироваться в одну точку.
При проектировании тетраэдра по направлению.
M0L0 получим проектирующую призму. Пересечем полученную призму
произвольной плоскостью II'. В сечении получим полный четырехугольник A'B'C'D'
при этом будем иметь:
(A'D'L')=(A0D0L0)=(ADL)
(B'C'M')=(B0C0M0)=(BCM)
Следовательно, полный четырехугольник A'B'C'D' является аффинным
четырехугольнику ABCD.Рассматривая четырехугольник A'B'C'D' как основание
призмы ,можно построить сечение A1B1C1D1 проектирующей призмы плоскостью IIх,
которое было бы подобно четырехугольнику ABCD .Легко заметить ,что полный
четырехугольник A1B1C1D1 является параллельной проекцией данного тетраэдра
А0В0С0D0 ,а заданный четырехугольник ABCD является проекцией тетраэдра,
подобного данному, что и требовалось доказать.
Из хода доказательства теоремы видно ,что если заданы проекция тетраэдра на
плоскости II(полный четырехугольник ABCD).а также форма тетраэдра оригинала ,то
направление проектирования и
положение плоскости проекций могут быть
определены.точно также можно и определить истинные размеры тетраэдра оригинала.
Простое доказательство этой теоремы дал в 1917г. профессор Московского
университета А.К. Власов.
В одной из работ по начертательной геометрии
«Обобщение теоремы Польке» Н. А. Глаголев дает обобщение известной теоремы,
лежащей в основе всей аксонометрии.
Развивая мысль Мёбиуса (Möbius) относительно родства двух поверхностей
независимо от родства пространства, содержащего эти поверхности, Н. А. Глаголев
показывает, что из двух поверхностей, находящихся в аффинном родстве, каждую
можно привести в перспективно-параллельное расположение с поверхностью,
подобной другой.
Применяя эти рассуждения к тетраэдрам, Нил Александрович показывает, что
теорема Польке—Шварца является предельным случаем общего свойства двух
родственных тетраэдров.
2
Теорема Польке-Шварца имеет фундаментальное значение ,как для теории
аксонометрии ,так и для многих практических ее применениях. На основании этой
теоремы система аксонометрических осей ,а также и аксонометрических масштабов на
них может быть задана совершенно произвольным образом. Всегда найдется такое
положение прямоугольной системы натуральных координат в пространстве и такой
размер натурального масштаба по осям, что заданная аксонометрическая система
окажется параллельной проекцией натуральной системы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1) Николенко , Н.С. Из истории развития начертательной
геометрии[Электронный ресурс] / Н.С. Николенко //-Режим доступа:
http://elib.altstu.ru/elib/books/Files/pa1999_3/pages/14/pap_14.html.
2) Четвертухин, Н.С. Начертательная геометрия : учебник/Н.С. Четвертухин Москва : Высшая школа-1963,420 с.
3