Тренировочные стереомыx

Тренировочные задачи на стереометрию
Тренировочные задачи на стереометрию
1. Докажите, что любую четырехугольную пирамиду можно пересечь плоскостью
так, что в сечении получится параллелограмм.
1. Докажите, что любую четырехугольную пирамиду можно пересечь плоскостью
так, что в сечении получится параллелограмм.
1а. Докажите, что для любых четырех попарно скрещивающихся прямых можно
найти такую плоскость, что эти четыре прямые пересекают её в вершинах параллелограмма.
1а. Докажите, что для любых четырех попарно скрещивающихся прямых можно
найти такую плоскость, что эти четыре прямые пересекают её в вершинах параллелограмма.
2.Докажите, что периметр любого четырехугольного сечения правильного тетраэдра с ребром 1 не больше 3 и не меньше 2.
2.Докажите, что периметр любого четырехугольного сечения правильного тетраэдра с ребром 1 не больше 3 и не меньше 2.
3.Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с
точкой пересечения медиан противоположной грани. Бимедианой тетраэдра
называется отрезок. Соединяющий середины противоположных ребер. Докажите, что медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. В каком
отношении эта точка делит каждый из отрезков?
3.Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с
точкой пересечения медиан противоположной грани. Бимедианой тетраэдра
называется отрезок. Соединяющий середины противоположных ребер. Докажите, что медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. В каком
отношении эта точка делит каждый из отрезков?
4. Всегда ли существует прямая, проходящая через данную точку и образующая с
данными двумя плоскостями равные углы?
4. Всегда ли существует прямая, проходящая через данную точку и образующая с
данными двумя плоскостями равные углы?
5. Докажите, что плоскости, проходящие через ребра трехгранных углов и биссектрисы противоположных плоских углов, пересекаются по одной прямой.
5. Докажите, что плоскости, проходящие через ребра трехгранных углов и биссектрисы противоположных плоских углов, пересекаются по одной прямой.
6. Плоские углы трехгранного угла равны 45, 45 и 60. Через его вершину проведена прямая, перпендикулярная одной из граней, плоский угол которой равен
45. Найдите угол между этой прямой и ребром трехгранного угла, не лежащим в
указанной грани.
6. Плоские углы трехгранного угла равны 45, 45 и 60. Через его вершину проведена прямая, перпендикулярная одной из граней, плоский угол которой равен
45. Найдите угол между этой прямой и ребром трехгранного угла, не лежащим в
указанной грани.
7. В тетраэдре ABCD плоские углы при вершине A прямые. Точка О удалена от всех
вершин тетраэдра на одинаковое расстояние. Докажите, что это расстояние
равно бимедиане тетраэдра.
7. В тетраэдре ABCD плоские углы при вершине A прямые. Точка О удалена от всех
вершин тетраэдра на одинаковое расстояние. Докажите, что это расстояние
равно бимедиане тетраэдра.
8. Длины одной пары скрещивающихся ребер тетраэдра равны a, второй пары –
b, третьей пары – с. Найдите объём тетраэдра.
8. Длины одной пары скрещивающихся ребер тетраэдра равны a, второй пары –
b, третьей пары – с. Найдите объём тетраэдра.
9. Дан остроугольный треугольник ABC. Найдите геометрическое место проекций
на плоскость ABC всех точек M, для которых треугольники ABM, BCM и CAM остроугольные.
9. Дан остроугольный треугольник ABC. Найдите геометрическое место проекций
на плоскость ABC всех точек M, для которых треугольники ABM, BCM и CAM остроугольные.
10. Найдите геометрическое место таких точек M внутри данного правильного
тетраэдра, что расстояние от M до граней тетраэдра служат длинами сторон некоторого четырехугольника.
10. Найдите геометрическое место таких точек M внутри данного правильного
тетраэдра, что расстояние от M до граней тетраэдра служат длинами сторон некоторого четырехугольника.