Стереометрия и разнобойчикx

Стереометрия и разнобойчик.
Стереометрия и разнобойчик.
1. Пусть P(x) – многочлен с целыми коэффициентами, P(x)>0 при x≤0 .
Последовательность a0, a1, a2,… задана соотношениями a0 = 0 и an = P(an-1) при
n≥1 . Докажите, что a) a(n,m) = (an,am) ; b) an+1an+2… an+k кратно a1a2…ak для любых
натуральных n, k .
2. Докажите, что если в графе 2n вершин, степень каждой не меньше n, то там
существует гамильтонов цикл.
1. Пусть P(x) – многочлен с целыми коэффициентами, P(x)>0 при x≤0 .
Последовательность a0, a1, a2,… задана соотношениями a0 = 0 и an = P(an-1) при
n≥1 . Докажите, что a) a(n,m) = (an,am) ; b) an+1an+2… an+k кратно a1a2…ak для любых
натуральных n, k .
2. Докажите, что если в графе 2n вершин, степень каждой не меньше n, то там
существует гамильтонов цикл.
3. По кругу расставлены 37 различных чисел. Докажите, что среди всевозможных
сумм 12 чисел, стоящих подряд, есть хотя бы 6 различных.
4. Докажите, что в параллелепипед можно вписать шар тогда и только тогда,
когда площади всех граней параллелепипеда одинаковы.
3. По кругу расставлены 37 различных чисел. Докажите, что среди всевозможных
сумм 12 чисел, стоящих подряд, есть хотя бы 6 различных.
4. Докажите, что в параллелепипед можно вписать шар тогда и только тогда,
когда площади всех граней параллелепипеда одинаковы.
5. Тетраэдр называется р а в н о г р а н н ы м , если все его грани – равные
треугольники или, что тоже самое, противоположные ребра равны. Докажите,
что равногранность тетраэдра и следующие условия эквивалентны:
а) сумма плоских углов при любых трех вершинах тетраэдра равны 1800;
б) сумма плоских углов при каких-то двух вершинах тетраэдра равны 1800,
кроме того, какие-то два противоположных ребра равны;
в) сумма плоских углов при какой-то вершине тетраэдра равна 1800, кроме того,
существует две пары равных противоположных ребер;
г)  ABC =  ADC =  BAD =  BCD, где ABCD – данный тетраэдр;
д) все грани равновелики;
е) центры вписанной и описанной сфер совпадают;
ё) центр тяжести и центр вписанной сферы совпадают;
ж)центр тяжести и центр описанной сферы совпадают.
6. Доказать, что для равногранного тетраэдра
5. Тетраэдр называется р а в н о г р а н н ы м , если все его грани – равные
треугольники или, что тоже самое, противоположные ребра равны. Докажите,
что равногранность тетраэдра и следующие условия эквивалентны:
а) сумма плоских углов при любых трех вершинах тетраэдра равны 1800;
б) сумма плоских углов при каких-то двух вершинах тетраэдра равны 1800,
кроме того, какие-то два противоположных ребра равны;
в) сумма плоских углов при какой-то вершине тетраэдра равна 1800, кроме того,
существует две пары равных противоположных ребер;
г)  ABC =  ADC =  BAD =  BCD, где ABCD – данный тетраэдр;
д) все грани равновелики;
е) центры вписанной и описанной сфер совпадают;
ё) центр тяжести и центр вписанной сферы совпадают;
ж)центр тяжести и центр описанной сферы совпадают.
6. Доказать, что для равногранного тетраэдра
а) радиус вписанного шара вдвое меньше радиуса шара, касающегося одной из
граней и продолжения трех других (вневписанный шар);
б) центры четырех вневписанных шаров являются вершинами тетраэдра,
равного данному.
а) радиус вписанного шара вдвое меньше радиуса шара, касающегося одной из
граней и продолжения трех других (вневписанный шар);
б) центры четырех вневписанных шаров являются вершинами тетраэдра,
равного данному.
7. (Сфера 12 точек) Докажите, что в равногранном тетраэдре основания высот,
середины высот и ортоцентры граней лежат на одной сфере.
8. Даны полуокружность с диаметром AB и центром O и прямая, пересекающая
полуокружность в точках C и D , а прямую AB – в точке M Пусть K – отличная от
O точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AOC и DOB.
Докажите, что угол MKO – прямой.
9. В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около
треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в
точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z.
Докажите, что окружности, описанные около треугольников ABC и XYZ,
касаются.
7. (Сфера 12 точек) Докажите, что в равногранном тетраэдре основания высот,
середины высот и ортоцентры граней лежат на одной сфере.
8. Даны полуокружность с диаметром AB и центром O и прямая, пересекающая
полуокружность в точках C и D , а прямую AB – в точке M Пусть K – отличная от
O точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AOC и DOB.
Докажите, что угол MKO – прямой.
9. В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около
треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в
точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z.
Докажите, что окружности, описанные около треугольников ABC и XYZ,
касаются.