ЗАДАНИЯ для первого (заочного) тура по математике Прикаспийской межрегиональной олимпиады школьников 7 класс

ЗАДАНИЯ
для первого (заочного) тура по математике
Прикаспийской межрегиональной олимпиады школьников
7 класс
1. Можно ли на каждой грани куба закрасить по треугольнику так, чтобы любая прямая,
проходящая через центр куба, проходила хотя бы через одну закрашенную точку?
2. На сторонах треугольника, как на диаметрах, построены три окружности. Доказать, что
найдется точка, лежащая внутри всех трех окружностей.
3. Маша пригласила Сашу в гости, сказав, что живёт в 6-м подъезде, в квартире № 345, а этаж
сказать забыла. Подойдя к дому, Саша обнаружил, что дом 16-этажный. На какой этаж ему
следует подняться? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме
начинаются с единицы).
2014
4. Маша написала дробь 2015 . Вовочка может: 1) прибавлять любое натуральное число к
числителю и знаменателю одновременно, 2) умножать числитель и знаменатель на одно и то
же натуральное число. Сможет ли Вовочка с помощью этих действий получить дробь,
1
равную 2 ?
5. Дано 15 различных натуральных чисел (от 1 до 53). Докажите, что среди их
положительных попарных разностей есть три одинаковых.