«Пенальти» - 6 марта 2012 года 1.

«Пенальти» - 6 марта 2012 года
1. В каждой вершине каркаса куба, сделанного из проволоки, сидит муравей. Муравьи собрались в одной точке на некотором ребре. Каждый из них дополз до этой точки по рёбрам, используя наименьший из возможных путей. Сумма расстояний, которые проползли все муравьи, равна 240 см. Найдите длину ребра куба. (20см=0,2м. Пусть длина ребра куба равна a. Разобьём муравьев на пары,
находящиеся в противоположных вершинах куба. Муравьи из одной пары вместе проползли расстояние 3a (см. рис.). Всего пар четыре и, значит, сумма расстояний, которые
проползли муравьи вместе, равна 12a. С другой стороны она равна 240см, следовательно,
ребро куба равно 240:12=20 см.)
2. Представьте число 2009 в виде суммы трёх квадратов различных натуральных чисел.
(например, 2009=442+82+32=402+202+32)
3. Сколькими способами можно поставить на шахматной доске 88 ладью и слона так, чтобы
они били друг друга? (0 способов)
4. Разность двух натуральных чисел в два раза меньше одного из них и не равна другому. Найдите наибольшее натуральное число, на которое гарантированно делится разность кубов этих чисел. (19. Пусть a>b – данные по условию натуральные числа. Тогда 2(a–b)=a или 2(a–b)=b. В первом случае получим a=2b, откуда a–b=b, что по условию невозможно. Во втором случае получается, что 2a=3b. Из этого равенства следует, что 2a делится на 3, а так как числа 2
и 3 взаимно простые, то на 3 делится само число a. Это значит, что найдется натуральное число k такое, что a=3k
и, учитывая, что 2a=3b, получаем b=2k. Итак, a3–b3=(3k)3–(2k)3=19k3. Так как k3 - целое, то разность кубов чисел a и
b гарантированно делится на 19. При этом для случая a=3, b=2 разность кубов равна ровно 19.)
5. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в котором любые 4 подряд идущие цифры дают четырёхзначное число, делящееся на 4. (9756840)
6. В остроугольном треугольнике ABC B=60. Пусть C' – основание высоты, проведенной из
вершины C. Биссектрисы углов ВAС, АCВ и AC'C внутри треугольника образуют правильный
треугольник. Найдите углы треугольника АВС. (A=30, C=90: . Правильный ответ:
условие задачи некорректно. Решение: Пусть P - точка пересечения биссектрис A и
AC'C. Тогда APC'=180–60=120. С другой стороны, APC'=180–(C'AC+AC'C)/2.
Таким образом, C'AC+AC'C=120. AC'C=90, т.е. C'AC=30. Отсюда C=180-6030=90, но …, к огромному сожалению, в условии сказано, что треугольник АВС – остроугольный, значит, остроугольный треугольник с требуемым свойством не существует.)
7. Приведите пример множества из трёх различных чисел, элементы которого являются и
последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, и последовательными
членами некоторой геометрической прогрессии. (Например, (1, -2, 4) – геометрическая
прогрессия со знаменателем (-2), а (-2, 1, 4) – арифметическая прогрессия с разностью 3.)
8. В куб со стороной a вписан шар. Найдите радиус меньшего шара, касающегося трёх граней куба и первого шара.
( a (2  3 ) . Диагональ куба равна a 3 и пусть одна из таких диагоналей АВ пересекает первый шар Т1 в точках
2
Р и Q (P ближе к A, чем к B), при этом AP  a 3  a и AQ  a 3  a . Произведём преобразование гомотетии с цен2
2
2
2
тром в точке A и коэффициентом гомотетии k 
AP
3  1 ( 3  1) 2


 2  3 . Тогда точка Q перейдёт в точку
AQ
2
3 1
P, а шар Т1 перейдёт в шар Т2, касающийся первого шара в точке Р и касающийся всех граней куба, сходящихся в
точке А. Радиусы шаров относятся как |k| и тогда радиус маленького шара Т2 равен k  a  a (2  3 ) .)
2
2